05/05/2017

1

ESTRATIFICACIÓN

Dos de los vicios más frecuentes en nuestro lenguaje son la generalización y la simplificación:“nunca llegas temprano” y “siempre logro mis objetivos”, son ejemplos de generalizaciones. Porotro lado, pareciera que los problemas más complejos (casi siempre en manos ajenas) pudieranresolverse fácilmente; si nos preguntaran qué opinamos acerca de un problema ajeno, diríamos:“¡fácil!, déjate de problemas, lo único que tienes que hacer es...” o “sigue un sencillo consejopara solucionar todos los problemas…”.

ESTRATIFICACIÓNLa vida cotidiana, en general, y la vida profesional de forma constante se enfrentan aproblemas complejos que no tienen soluciones simples, por el contrario son conflictivas oproducen nuevos problemas rodeados por una nube de datos, opiniones antagónicas yalternativas. La estratificación es una herramienta que permite despejar esa nubepara llegar al fondo del problema y destacar sus causas.

Para la solución de un problema de calidad es necesario organizar la multitud de datos queusualmente aparecen como parte de los síntomas o de sus causas reales. La estratificaciónconsiste en agrupar las observaciones de acuerdo con su naturaleza o con otros factoresque incluyen en el problema, como pueden ser: los tipos de fallas, la frecuencia con que sepresentan, los lugares donde

05/05/2017

2

ESTRATIFICACIÓNSupongamos que en una fábrica se analiza un problema de puntualidad. Los datos inicialespodrían presentarse mediante la siguiente lista:

ESTRATIFICACIÓNAl analizarlo se observa que Krueger destaca por supromedio de 5.1 minutos de retraso diario, seguidopor Takima con 3.6. La impuntualidad parece estarlocalizada en estas dos personas; sin embargo, laestratificación puede ser aplicada en formasucesiva. Como primer paso se organizan los datosconforme a un criterio y como segundo, la mismaorganización podría ser reinada de acuerdo con unsegundo criterio. En nuestro caso, una vezdetectado el fenómeno de impuntualidaddestacada en dos personas, se podría reinar la tablacomparando el promedio de retrasos por día de lasemana de todas las personas, con el in de buscaralgún patrón de conducta.

05/05/2017

3

ESTRATIFICACIÓN

La estratificación del problema nos indica que losmartes hay otro patrón en los retrasosrepetitivos de todos los trabajadores; además de losretrasos de Krueger y Takima el promedio deimpuntualidad de todas las personas se incrementalos martes casi al doble. Es probable que sean dosfenómenos separados, pero si no se hubieraanalizado el conjunto de datos desde dos ángulosdiferentes, no se hubiera detectado esta dualidad.

ESTRATIFICACIÓNProceso de estratificación1. Recolectar datos con un objetivo. No basta acumular mucha información, que con frecuencia escostosa, hay que investigar con propósitos definidos. Las variables y los puntos de vista debenseleccionarse antes de iniciar el acopio de datos.2. Representar gráficamente los datos y los puntos de vista. Las gráficas y las tablas ayudan adescubrir patrones y relaciones que a veces resultan difíciles de ver cuando se representan sólo connúmeros.3. Determinar las causas posibles de la variación en los datos obtenidos y las desviaciones de lonormal. Esto a veces lleva a nuevas investigaciones; por ejemplo, en el ejercicio anterior surge lasiguiente pregunta: la impuntualidad no es un fenómeno generalizado sino localizado en dospersonas, pero ¿por qué los martes todas las personas son impuntuales?4. Profundizar en la estratificación. Hay que examinar las diferencias entre los valorespromedio y las variaciones entre clases o individuos. Detectar nuevas diferenciaso relaciones.5. Sacar conclusiones. Una vez que se establecen y se comprueban relaciones claras de causas yefectos se pueden emitir conclusiones y formular hipótesis para la solución de problemas.

05/05/2017

4

ESTRATIFICACIÓNEJEMPLO:Una empresa fabricante de accesorios para cortinas inició un proceso para mejorar la calidad de sus productosy recopiló datos (primer paso) acerca de las fallas y los departamentos que las originan. Los resultados sepresentan en la tabla adjunta (paso 2).

La tabla nos indica dos hallazgos: que las fallas más frecuentes son los poros y que el departamento defundición produce el triple de fallas que los demás (paso 3). Dentro de este departamento se produce lamayoría de los poros, pero también la mayoría de las roturas de esquinas (paso 4). Lo primero sugiere unproblema de proceso o de materiales de fundición, pero lo segundo podría ser un error de diseño (paso 5).

ESTRATIFICACIÓNEJERCICIO:

Una pequeña fábrica de resistencias eléctricas para calefacción industrial recibió cierto número de quejas de susclientes debido a que algunas piezas no tienen el poder de calefacción especificado. El departamento de ingenieríahizo algunas investigaciones y encontró que, en efecto, 10% de la producción de los últimos tres meses no cumplecon las especificaciones. Esta información sólo confirma el problema pero no ayuda a resolverlo, por lo que esnecesario recopilar más datos. El gerente de ingeniería ordena una serie de pruebas y rastreos para determinar elorigen (dónde y quién lo produce) y las causas (cómo y por qué). Los resultados de la investigación se encuentran enla tabla adjunta.

La producción de la semana fue de800 resistencias; se observó que lostrabajadores no tienen lugar fijo detrabajo sino que el supervisor lesasigna semanalmente un espacio alo largo de una de las tres mesasexistentes. ¿A qué conclusiones sepuede llegar?

05/05/2017

5

HISTOGRAMA

En la estratificación y en el DP se organizan las variables de un proceso de mayor a menor;el histograma es otra representación grafican del comportamiento de un proceso, pero eneste caso las diferentes observaciones de una misma variable se grafican alrededor de unvalor medio o central. Lo importante es ver qué tanto se dispersa una misma variablealejándose de dicho valor central.

HISTOGRAMAPara aumentar la calidad de un proceso es necesario reducir al mínimo su variación; elhistograma es una gráfica de barras que permite determinar cuántas veces se repite unmismo valor, es decir, con qué frecuencia se repite una medición dentro de un rango y quétan ceñidos o dispersos están los valores de su promedio. Si se comparan histogramas deun mismo proceso, a lo largo del tiempo, se determina si hay algún patrón decomportamiento.

El histograma se inicia contando los resultados de un proceso que se consideran iguales;cada observación se marca en una forma para registro y luego las marcas se resumen entablas de números; finalmente se agrupan en forma gráfica. De esta manera resulta másfácil su interpretación que leyendo listados de números.

05/05/2017

6

HISTOGRAMA

Construcción:

1. Determinar el rango de las observaciones. ¿Entre qué valoresextremos pueden aparecer las observaciones que se hacen?

2. Determinar el número de clases. Las clases son el número deintervalos en los que se divide el rango, es decir, cuántas columnastendrá el histograma

HISTOGRAMA

Construcción:3. Contar las observaciones en cada clase. Se puede usar una tabla como lasiguiente:

• 4. Dibujar el histograma. El eje horizontal se divide en el número deintervalos; en el ejemplo, hay cinco intervalos y los límites se acotan con elvalor inferior de cada uno.

05/05/2017

7

HISTOGRAMA

Construcción:5. Ahora hay que trazar el eje vertical. Su altura está determinada por lacuenta máxima de observaciones en un intervalo; en el ejemplo, laclase 3 contiene seis observaciones, entonces el eje vertical puedetener seis o siete divisiones:

HISTOGRAMA

Construcción:6. A continuación, se dibuja una columna en cada clase; su altura es lacantidad de observaciones dentro del intervalo

05/05/2017

8

Ejemplo 1

Una compañía de bicicletas de alta performance, hizo un muestreo de susregistros de embarque para cierto día con los siguientes resultados:

Tiempo entre la recepción de una orden y su entrega (en días)

a) Construya una distribución de frecuencias para estos datos y unadistribución de frecuencias relativas. Use intervalo de 6 días.

b) Elabore una gráfica de barras de frecuencia absoluta.c) Hallar media, mediana, moda, desviación estándar y varianza.

4 12 8 14 11 6 7 13 13 1111 20 5 19 10 15 24 7 29 6

Ejemplo

4 12 8 14 11 6 7 13 13 1111 20 5 19 10 15 24 7 29 6

Límite Inf Cerr Límite Inf Abi

1 7 6.99999 Clase Frecuencia % acumulado7 13 12.99999 6.99999 4 20.00%

13 19 18.99999 12.99999 8 60.00%19 25 24.99999 18.99999 4 80.00%25 31 30.99999 24.99999 3 95.00%31 37 36.99999 30.99999 1 100.00%

36.99999 0 100.00%y mayor... 0 100.00%

Media 12.25Mediana 11Moda 11Desv Std 6.5604477Varianza 43.039474

0,00%20,00%40,00%60,00%80,00%100,00%120,00%

02468

10

6.99

999

12.9

9999

18.9

9999

24.9

9999

30.9

9999

36.9

9999

y m

ayor

...

Frec

uenc

ia

Clase

Histograma

Frecuencia

% acumulado

05/05/2017

9

Ejemplo 2Una empresa que se dedica a preparar dietas, proyecta lanzar al mercado una dieta rigurosa.Los empleados de una compañía se presentaron como voluntarios para dicha promoción. Serealizó un muestreo de 80 de dichos empleados elegidos aleatoriamente. Los resultados delchequeo de los pesos (kg) fueron los siguientes:

Se pide:a) Elaborar una distribución de frecuencias.b) Cuántos empleados tienen peso entre 45 y 60 kg?c) Qué porcentaje de empleados tienen peso mayores a 75.5 kg?d) La empresa promotora obsequia uniforme de trabajo a los empleados voluntarios,

suponiendo que los pesos de los empleados voluntarios es menor o igual a 80 kg ¿cuántosuniformes deben de ser devueltos?

80.6 65.8 49.6 79.1 84.4 66.2 79.3 59.4 72.9 73.653.2 60.2 91.2 74.8 78.6 81.4 58.6 68.2 67.4 55.676.9 77.4 67.9 63.7 49.9 46.4 68.8 67.3 72.3 75.888.3 94.6 57.3 87.3 74.3 73.2 90.4 76.3 52.7 71.745.6 41.8 73.6 71.4 83.2 67.4 99.3 62.3 89.2 86.865.2 62.1 44.8 82.9 81.7 70.4 74.6 76.9 85.7 40.954.2 75.8 50.1 61.1 42.3 68.6 56.2 70.8 47.3 66.980.2 60.2 71.6 77.1 94.9 61.4 82.1 78.3 51.2 79.3

HISTOGRAMAEJEMPLO 3:Una empresa empacadora de arroz y frijol compra esos productos por tonelada y los empaca en bolsas de unkilo; tiene tres máquinas dosificadoras iguales, pero compradas con tres años de diferencia cada una. Esimportante que cada bolsa contenga exactamente el peso indicado, porque si contiene menos es seguro quelos supermercados le rechazarán lotes completos de entrega.Por otro lado, si las bolsas contienen más peso del indicado la empresa pierde, por entregar más producto. Conobjeto de conocer cuál es la situación, se toma una muestra de 50 bolsas de la máquina más nueva y se verificael peso de cada una con una báscula de precisión. Los datos para construir un histograma se muestran en latabla adjunta.

05/05/2017

10

HISTOGRAMAEJEMPLO:

Histograma de la Máquina Empacadora Nueva

Se observa que la mayoría de las bolsas pesan 1001 g y los demás pesos estánuniformemente repartidos alrededor de esa medida. Veamos ahora el resto de la planta:

HISTOGRAMAEJEMPLO:

05/05/2017

11

HISTOGRAMAEJEMPLO:

Histograma Multimodal

En este ejemplo se nota que hay tres “picos” de frecuencia; parece haber más bolsas que contienen 996, 1 000 y 1 004 g que losdemás pesos, ¿qué significaría esto?

Como se indicó en el planteamiento del ejercicio, hay tres máquinas y es probable que cada una tenga, centrado en lascantidades que aparecen como “picos”, un promedio de exactitud diferente.

El histograma sirvió para descubrir que las máquinas se están comportando en forma distinta, aunque el promedio sea 1 000 gpor bolsa. A este tipo de histogramas o, para ser más precisos, a este tipo de fenómenos se les denomina variación multimodal ysirven para indicar que las muestras provienen de dos o más diferentes orígenes.

HISTOGRAMALos histogramas proporcionan diversos tipos de información:

a) Los picos indican la cantidad de elementos que haydentro de la medida especificada (la clase o casilla). Sila muestra proviene del mismo origen, el pico indica latendencia central de un grupo de mediciones, esdecir, anuncia el promedio o valor central. Los datosmás frecuentes coinciden con el promedio, los demásdatos aparecen como columnas simétricas a amboslados y caen en declive hacia los extremos.

Histograma Normal

b) Indican si el comportamiento de las mediciones essimétrico; si hay la misma cantidad de elementos aambos lados de la media o si hay asimetrías quepuedan indicar otro tipo de problemas. Si la gráfica noes simétrica, se dice que el proceso tiene sesgo. Lafigura presenta un sesgo hacia la izquierda, es decir,las observaciones más frecuentes no coinciden con elpromedio, sino que caen a su izquierda.

Histograma Sesgado

05/05/2017

12

HISTOGRAMALos histogramas proporcionan diversos tipos de información:

c) Varios picos indican variaciones multimodales, locual significa que las mediciones pueden variar pordiversas causas o provienen de varios procesosindependientes. La variación también se puede debera diferencias en los operadores de una mismamáquina.

Histograma Bimodal

d) Los acantilados son caídas bruscas de lasmediciones. En la práctica, los acantilados sepresentan cuando un proceso no puede rebasar ciertolímite; por ejemplo, si se hace un histograma decalificaciones escolares, no se encontraránobservaciones mayores de diez ni menores de cincoporque el proceso está limitado dentro de esosvalores.

Histograma Acantilado

HISTOGRAMALos histogramas proporcionan diversos tipos de información:

e) La variabilidad de los datos. En los casos anterioreshemos visto que hay una cantidad variable deobservaciones dentro de cada clase, la mayorfrecuencia coincide con la media, pero hay ocasionesen las que todas las clases contienen casi el mismonúmero de observaciones. Se dice que esa muestracontiene mucha variabilidad porque no hayuna frecuencia que destaque alrededor del valorcentral.

Histograma conmucha variabilidad

f) También es posible encontrar procesos con pocavariabilidad, como el caso de una muestra en la cualcasi todas las observaciones coinciden con elpromedio y unas cuantas aparecen arriba o debajo deél.

Histograma con pocavariabilidad

05/05/2017

13

HISTOGRAMA Y LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Si la variable de una población puede cambiar al azar conforme aumenta el número de elementos que semiden para formar un histograma, la frecuencia, alrededor del valor central, también aumenta; es decir, cadavez aparecen más elementos cuya medida coincide con la media y se agudiza el perfil de las barras delhistograma.

Histograma con un gran número deelementos

HISTOGRAMA Y LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La curva de distribución normal indica el comportamiento de cualquier medida que pueda variarexclusivamente por efecto del azar; por ejemplo, en una máquina siempre habrá variaciones en la medidade las piezas que produce, por mucho cuidado que se tenga al ajustarla. Esas variaciones se deben y sedistribuyen al azar alrededor del valor medio de la medida que se toma.

histograma con clases muy angostas se aproxima poco a poco hasta llegar a la curva de distribución normal

Por otro lado, si los límites entre una clase y otra se hacen más cerrados, el perfil delhistograma va adquiriendo la forma característica de la curva de distribución normal

05/05/2017

14

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN

Hemos visto que para solucionar un problema es necesario detectar y modificar sus causas;sin embargo, esta manipulación de causas para afectar un resultado no es una serie deensayos de prueba y error “a ver cuál sirve”, sino un procedimiento que determina,primero, cuáles causas están relacionadas con un determinado efecto y luego cuál tienemayor influencia sobre un resultado específico. Para encontrar ese grado de influencia seutilizan los diagramas de dispersión.

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNEn un diagrama de dispersión se grafican pares de valores relacionados entre sí. Lasvariables que se manipulan se llaman variables independientes y los resultados obtenidosse denominan variables dependientes, porque dependen de las primeras. Por ejemplo, laresistencia mecánica (variable dependiente) de una aleación depende del contenido de unelemento (variable independiente); la capacidad de carga de una grúa depende de lapotencia de su motor; el peso de un pollo de engorda depende de la cantidad decarbohidratos ingeridos.

Es importante establecer la relación de dependencia entre dos variables y no sólo larelación entre sí, porque si se busca un determinado efecto, se debe manipular la variableindependiente y no las otras variables que no modifican el efecto deseado. De estamanera, un criador de pollos podrá cambiar el contenido de los alimentos que da a susaves y al mismo tiempo éstos reaccionarán con un diferente peso y estatura.

05/05/2017

15

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNProcedimiento para construir un diagrama de dispersión:

1. Seleccionar las variables que se pondrán en la gráfica y obtener datos en pares, es decir,para cada valor de una variable independiente debe corresponder otro de la variabledependiente.2. Trazar los ejes de la gráfica. La variable independiente va sobre el eje horizontal (o eje delas X); la variable dependiente va sobre el eje vertical (o eje de las Y). Anotar el nombre delas variables junto al eje que las representa.3. Marcar la escala y las unidades. La escala comprende todos los valores que se utilizaron,desde el mínimo hasta el máximo de ambas variables. No forzosamente las gráficas seinician desde cero. Algunas variables pueden tomar valores negativos; en este caso, senecesitan ejes con valores negativos a la izquierda del cero en el eje de las X y debajo decero en el eje de las Y. El tamaño de las unidades de una escala puede ser diferente altamaño de las unidades en la otra.

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNProcedimiento para construir un diagrama de dispersión:

Si una variable sólo nos interesa en un rango que no incluye el cero, por ejemplo, elespesor de una lámina de asbesto-cemento que varía entre 5.8 y 6.3 mm, entonces lagráfica sólo contendrá estos valores o un rango ligeramente mayor, digamos, desde 5.5hasta 6.5 mm, para que el eje tenga diez divisiones.4. Colocar los pares de datos. Un punto en la gráfica está definido por sus coordenadas: unvalor de X y otro de Y. El cruce de las coordenadas localiza el punto. Si varios pares de datosse repiten, se trazan círculos concéntricos sobre el primer punto.5. Identificar la gráfica, las escalas, los ejes y, en caso necesario, los puntos anotados.

05/05/2017

16

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNEjemplo:

Un agricultor cultiva tomate en un terreno consuficiente irrigación. Él desea incrementar elrendimiento por hectárea y para ello, en diferentesparcelas, aplica un fertilizante que previamente fueseleccionado por el método de estratificación, peroque ahora se dosificará en diferentes cantidades conel fin de escoger la mejor opción, es decir, la quemayor peso de tomates produce. La gráfica de lospares de datos se muestra en la tabla adjunta.

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNEjemplo:

Se puede concluir que existe unarelación directa entre la cantidadde fertilizante aplicada ala tierra y el rendimiento de lasplantas de tomate.

05/05/2017

17

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNInterpretación de los diagramas de dispersión

La relación entre dos variables puede ser:• Positiva, si para un aumento en la variableindependiente se obtiene un aumento en lavariable dependiente.• Negativa, si para un aumento en la variableindependiente se obtiene una disminución enla variable dependiente.• No lineal, si la relación no se asemeja a unalínea recta.• Sin relación, si los pares de puntos sedispersan por toda la gráfica y para un mismovalor de variable independiente, aparecenvarios valores de la dependiente.

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN¿Cómo se interpreta un diagrama de dispersión?

Para interpretar correctamente un diagrama de dispersión es necesario observar la tendenciageneral de los puntos y no un punto aislado que pudiera provenir de un error de captura; otroaspecto que se observará es la posición de las variables sobre la gráfica: la variableindependiente se colocará sobre el eje horizontal y la dependiente sobre el vertical. La lecturade una gráfica es: “el efecto Y, depende de la causa X” o bien, “X influye en Y”.

05/05/2017

18

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNCoeficiente de correlación

Para decir que dos variables están relacionadas entre sí, es necesario calcular el coeficientede correlación r entre los elementos que componen todos los pares. Si r se calcula entre 0.9 y1.0, se dice que hay una fuerte correlación; entre 0.8 y 0.89 es buena; entre 0.7 y 0.79 esregular, y por debajo de 0.7 es mala. Se calcula así:

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNCoeficiente de correlación

La S no es varianza, sólo es una letra para abreviar las operaciones que siguen. De donde:

05/05/2017

19

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNEjemplo:

a) Mediante un diagrama de dispersión seobserva la relación entre el tiempo desecado y la cantidad de aditivo utilizado.b) Se calcula el coeficiente de correlaciónentre las variables y se interpreta.

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNEjemplo:

El signo negativo indica una correlaciónnegativa, es decir, la variable dependientedisminuye conforme aumenta la variableindependiente. En este caso, el tiempo desecado disminuye al aumentar el aditivo.Puesto que r se acerca a 1, la correlación esfuerte.

05/05/2017

20

Ejercicio 1

Un investigador cree que lainteligencia de los niños,medida a través delcoeficiente intelectual (CI enpuntos), depende delnúmero de hermanos. Tomauna muestra aleatoria de 15niños y ajusta una regresiónlineal simple. Los resultadosaparecen en la siguientetabla:

CI Hermanos110 0115 1120 1118 1110 2108 2105 2104 398 399 498 4

100 590 593 590 6

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONES¿Cómo se determinan las dimensiones de las tallas de ropa o zapatos? Son las medidaspromedio tomadas de muchas personas de diversas edades, pero ¿acaso alguien midiólas proporciones de todos los habitantes de un país para sacar las tallas?: no, solamentese midieron algunas personas seleccionadas cuidadosamente por ser las másrepresentativas de toda la población.

La toma estadística de decisiones se basa en tomar medidas de una variable o unatributo sobre una muestra que pertenece a un grupo más grande. La información quese saca de una muestra es útil para tomar decisiones acerca del total de la población ypara aceptar o rechazar hipótesis formuladas sobre ella; por ejemplo, el tamaño másfrecuente de calzado en niños de 12 años es 25 cm.

05/05/2017

21

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESConceptos Básicos:

La población es el total de individuos que conforman un grupo homogéneo de objetos que seestudian; por ejemplo, un lote completo de producción de una fábrica de ruedas parabicicletas, todos los jóvenes de 14 años que estudian secundaria en una determinada ciudad.

Una parte representativa de una población se llama muestra; por ejemplo, algunas piezasextraídas de un lote de producción o algunos jóvenes de 14 años.

La variable es una cualidad observable de un objeto, la cual puede ser medida con una escalacontinua; por ejemplo, dimensiones, peso, color, temperatura, resistencia eléctrica, resistenciamecánica, dureza superficial, contenido de azufre, etc. La variable toma diferentes valoressegún el individuo que se observa; es decir, cada pieza de un lote o cada persona de un grupopueden tener diferente valor que la pieza o la persona de junto.

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONES

Conceptos Básicos:

Un atributo es una cualidad observable que sólo puede adoptar dos estados discretos (queno tiene valores intermedios): sí o no, aceptado o rechazado, en favor o en contra, presente oausente, dentro o fuera de ciertos límites, etcétera.

La media, media aritmética o el promedio es la medida de la tendencia central de una variableen una población o en una muestra; por ejemplo, la estatura media de los jóvenes de 14 añoses de 1.65 m; el diámetro promedio de los pistones fabricados por la máquina número 3, ayeren el primer turno, fue de 41.538 mm; la media aritmética de las resistencias eléctricasproducidas la semana pasada fue de 1 050 ohms.

05/05/2017

22

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONES

Conceptos Básicos:

La media poblacional se denomina μ (letra griega, se pronuncia “mu” o “miu”) y es igual alpromedio de una variable de la población total; es la suma de los valores de una variablemedida en todos los elementos de una población, dividida entre el número total (N) deelementos en la población:

La media muestral se denomina X (equis barra, equis tilde o equis media) y es igual alpromedio de una variable en la muestra y se calcula así:

Se utilizan letras griegaspara referirnos a lapoblación y letras latinaspara indicar la muestra(N para la población y npara la muestra).

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESConceptos Básicos:

Las medidas de dispersión son indicadores que sirven para saber cómo se distribuyen lasobservaciones alrededor de la media; por ejemplo, si bien el promedio de estatura de losjóvenes de 14 años es 1.65 m, no todos miden eso, algunos miden más y otros miden menos.Dentro de las medidas de dispersión las más útiles son:

• La varianza es el promedio de las desviaciones elevadas al cuadrado.

La varianza de la población es:

• Para que el cálculo quede en las mismas unidades de las observaciones, se extrae la raízcuadrada de la varianza y se obtiene así la desviación estándar:

05/05/2017

23

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESConceptos Básicos:

Si se opera sobre una muestra, la varianza y la desviación estándar de la muestra son:

• La varianza de la muestra.

• desviación estándar de la muestra

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESLa distribución normal es una distribución de datoscontinuos que produce una curva simétricaen forma de campana. Si un histograma de eventosal azar se divide en clases cada vez máspequeñas y contiene un número muy grande dedichos eventos, la línea que une el borde superiorde cada barra vertical es la curva de distribuciónnormal; por ejemplo, en la manufactura de rines de14 pulgadas para llanta de automóvil, la inmensamayoría medirá 14 pulgadas de diámetro, algunosmedirán 14.05 o 13.95 y sólo unos cuantos medirán14.1 o 13.9; en una fábrica de ollas de peltre, elespesor del vitrificado promedio será de 0.03 mm,algunas piezas tendrán 0.02 o 0.04 mm y muy pocashabrán sido fabricadas con 0.01 o 0.05 mm deespesor.

05/05/2017

24

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESEjemplo:

Se utilizan dos máquinas diferentes paraproducir minidiscos para computadora; comosurgieron ciertos problemas con el diámetro delos discos, que debería ser de 3.0 pulgadas, setomó una muestra de la producción de cadauna. Las mediciones de los diámetros se anotanen la tabla adjunta.Calcula el promedio, la varianza y la desviaciónestándar. Si el objetivo disminuyera la variaciónalrededor de la media, ¿cuál sería el mejorproceso?

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESLa varianza de las muestras dela máquina 1 es 0.0581 y la dela máquina 2 es 0.0447;por lo tanto, el mejor procesoes el de la máquina 2, ya queproduce con menor variación.Las desviaciones estándar dela muestra son:

respectivamente.

05/05/2017

25

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESUnidades de la distribución normal

Para comparar cualquier unidad de medida, yasean metros, litros o kilos, con una distribuciónnormal, es necesario codificar los datos. A estacodificación se le llama estandarización.Puesto que la curva de distribución normal es unalínea que representa cualquier tipo de variable, notiene dimensiones, pero para utilizarla es necesarioconvertir las variables que se manejan en lapráctica a este valor estandarizado. Z o K es talvalor estandarizado y es la coordenada sobre el ejehorizontal entre el promedio y el valor observadoen un elemento de la población. Se puede decirque es la distancia desde el centro de la curva,hasta un punto cualquiera de ésta.

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESUnidades de la distribución normal

La distribución normal estandarizada tiene una media de cero. El área total bajo la curva es 1y el área desde la media hasta una coordenada Z se puede consultar en las tablas delapéndice y en algunas calculadoras de mano. Hay dos formas de tabular el área: algunastablas la presentan desde el centro de la curva, es decir, desde la media hacia la derecha, connúmeros positivos que van desde 0.0000 hasta 0.5000; considerando que la curva essimétrica, si el área que se busca está del lado izquierdo, simplemente se busca suequivalente del lado derecho.

Otras tablas presentan el área desde el extremo izquierdo de la curva (0.0000) y vanavanzando hasta llegar a la media (0.5000) y continúan tabulando valores hasta el extremoderecho de la curva (1.0000). Para saber de cuál se trata, hay que ver el esquema queaparece en la parte superior de las tablas; por ejemplo:

05/05/2017

26

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESUnidades de la distribución normal

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESUnidades de la distribución normal

Si consideramos los datos del ejercicio anterior, y suponiendo que las dimensiones de lapoblación de todos los discos producidos varían de acuerdo con una distribución normal, sepodrían estandarizar los datos de la siguiente manera:

Puesto que el diámetro de los discos debería ser 3.0 pulg, μ = 3.0; la máquina 1 los producecon un promedio de XM1= 3.56 pulg y la máquina 2 con XM2= 3.31 pulg; se anota sobre unagráfica de distribución normal cuáles serían las posiciones de μ, XM1 , XM2 . Considerandoque s2 (la varianza de la muestra) es igual a 0.0581, la desviación estándar ѕ será la raízcuadrada, es decir, 0.241 y 0.2114, respectivamente.

05/05/2017

27

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESUnidades de la distribución normal

Primero hay que codificar los datos:

Luego se consulta la tabla y se encuentra el área bajo la curva hasta la cota Z = 2.32 y Z = 1.47(redondeando).

0.4292

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESUnidades de la distribución normal

Puesto que 100% de las mediciones están bajo la curva, se puede interpretar el área debajode ésta como la probabilidad de que una medida se presente; por ejemplo, si se observa lafigura, primera parte, se puede decir que 48.98% de todas las mediciones que se hagan de losdiscos de la máquina 1 caerán entre la media y la cota 2.32; en la gráfica de la derecha, sepuede decir que 42.92% de todas las mediciones de los discos de la máquina 2 caerán entrela media y la cota 1.47.

05/05/2017

28

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESLa hipótesis (H subíndice) es la suposición que se hace del valor medio de una variable enuna población, pero como es muy difícil medir todos sus elementos se toma una muestra y elvalor medio encontrado se usa para aceptar o rechazar la hipótesis; por ejemplo, se formulala hipótesis de que la medida más común de calzado para alumnos de segundo año desecundaria es 26.5 cm y una fábrica toma una muestra de 10% de todos los alumnos de esegrado en la capital y mide su calzado. Si el promedio de la medida tomada sobre la muestraestá entre 26.3 y 26.7 cm (± 1% de 26.5 cm), se aceptará la hipótesis.

La decisión fundamental en asuntos de calidad es la aceptación o rechazo de un lote deproducción (la población), basándonos en la medición de variables o atributos de unamuestra y comparándolos con valores esperados, deseados o aceptables. Si la producción deque se habla es pequeña o puede ser detenida para inspección de todos sus elementos, ladecisión se puede tomar con un alto grado de confianza; es decir, si se pudieran medir todoslos objetos de un conjunto, sería difícil cometer el error de aceptar lo que debería haberserechazado o rechazar lo que debería ser aceptado.

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESSin embargo, cuando los lotes de producción son muy grandes o éste no puede detenerse,es necesario tomar muestras para medirlas y tomar decisiones basándonos en una parte deltotal. En la práctica, es imposible hacer inspecciones basadas en 100% de los artículos y 100%de sus variables; para tal efecto, se cuenta con instrumentos estadísticos que permiten tomardecisiones rápidas y confiables, aunque sólo se mida una parte del total.

Se puede tomar una buena decisión si se cuenta con toda la información, pero no siemprees así; el propósito de la estadística es reducir el grado de incertidumbre en las decisiones, apesar de no contar con toda la información. La principal herramienta para la toma decisionesen condiciones de incertidumbre es la prueba de hipótesis.

05/05/2017

29

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESSin embargo, cuando los lotes de producción son muy grandes o éste no puede detenerse,es necesario tomar muestras para medirlas y tomar decisiones basándonos en una parte deltotal. En la práctica, es imposible hacer inspecciones basadas en 100% de los artículos y 100%de sus variables; para tal efecto, se cuenta con instrumentos estadísticos que permiten tomardecisiones rápidas y confiables, aunque sólo se mida una parte del total.

Se puede tomar una buena decisión si se cuenta con toda la información, pero no siemprees así; el propósito de la estadística es reducir el grado de incertidumbre en las decisiones, apesar de no contar con toda la información. La principal herramienta para la toma decisionesen condiciones de incertidumbre es la prueba de hipótesis.

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESLa prueba de hipótesis comienza formulando una suposición “nula” H0 y una suposiciónalterna HA. Tomemos como ejemplo el de una envasadora de granos que vende arroz enbolsas de dos kilos:

La hipótesis nula dice que el promedio de contenido en todas las bolsas (toda la población)es de 2 kg; se prueba contra la hipótesis alterna de que el promedio de contenido de todaslas bolsas no es de 2 kg (nótese el signo). La hipótesis nula puede ser rechazada o norechazada, pero nunca se puede “aceptar” una hipótesis nula como “verdadera”.

Cuando no se rechaza una hipótesis, lo que se está diciendo es que con la muestra tomadano hay suficiente evidencia para rechazarla. Podría suceder que el promedio real de todas lasbolsas (toda la población) fuera de 1.95 kilos, pero por errores, de muestreo o de medición, elpromedio de la muestra se reportará de 2 kg; esto no prueba que el total sea de 2 kg.

05/05/2017

30

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESEn la prueba de hipótesis, se supone que H0 es verdadera hasta que se demuestra quees falsa y esto se logra sólo cuando la diferencia entre el valor observado en la muestra y elesperado por la hipótesis es suficientemente significativo; es decir, cuando esa diferencia esmayor que una diferencia debida al azar o a errores de muestreo.

Se dice que una diferencia es estadísticamente insignificante si la diferencia entre el valormedio de la población y el valor medio de la muestra es suficientemente pequeño como paraatribuirlo a un error de muestreo o al azar.

En la práctica, la media de la población es lo que se busca; ese valor se plantea como lahipótesis y luego se toma una muestra de dicha población. Se mide el valor medio en ésta yse compara con la hipótesis suponiendo que ambas se comportan en una distribuciónnormal, si la diferencia no es significativa, es decir, es menor que un porcentajepreestablecido de tolerancia, se acepta la hipótesis; si la diferencia es significativa, se rechazala hipótesis. El error de muestreo es el nivel de confianza con el que deseamos aceptar orechazar la hipótesis.

TOMA ESTADÍSTICA DE DECISIONESDe una población distribuida en forma estándar, 95% de los elementos están entreZ1 = –1.96 y Z2 = 1.96, ya que el área de cada una hasta la media es 0.475 y el área entreambas es 2 × 0.475 = 0.95 = 95%. Esto se puede interpretar también diciendo: “existe 95% deprobabilidad de que los resultados de la muestra caigan dentro de Z = ±1.96 si la hipótesisnula es verdadera”.

Los valores señalados para Z = ±1.96 son valores críticos porque determinan la zona derechazo; lo que falta para 100% es 5 y se denomina nivel de significancia o valor alfa porqueseñala los límites dentro de los cuales una diferencia entre los valores de la muestra y losvalores esperados de la hipótesis son suficientemente significativos como para rechazar lahipótesis nula. Ese 5% está repartido en los extremos de la curva, 2.5% a cada lado, porque95% corresponde a la zona central alrededor de la media.

Se puede señalar cualquier valor crítico, pero los más frecuentes son 95, 98 y 99% y susrespectivas cotas Z son: ±1.96, ±2.34 y ±2.58.

05/05/2017

31

EJEMPLO:

Es común ver que las botellas de refrescos no están llenas hasta el mismo nivel; si se anuncia queun refresco contiene 16 onzas (oz) y una muestra de 25 unidades resulta con un promedio de15.85 oz y una desviación estándar de 1 oz, ¿qué probabilidad hay de que esa media sea sólo unerror de muestreo y de que realmente todas las botellas tengan una media de llenado de 16 oz?Codificando:

Puesto que, como consumidores, sólo nos interesa si las botellas están menos llenas quelo que indica su etiqueta, la prueba se aplica sobre un solo extremo de la curva de distribuciónnormal. Para Z = –0.15, el área es 0.0596; si el llenado tiene únicamente variaciones al azar,5.96% de todas las botellas estarán llenas entre 15.85 y 16 oz; si se considera que también habrábotellas con más de 16 oz y que esta parte tiene 50% de probabilidad de suceder, 5.96 + 50 =55.96% de las botellas contendrán 15.85 oz o más y sólo 100 – 55.96 = 44.04%(aproximadamente una de cada dos) contendrán menos. En una prueba rápida, si el gerente dela tienda encuentra más de una botella con menos llenado en cada dos que observe, deberárechazar el lote completo porque es probable que tenga errores de llenado, más allá de lodebido, por variaciones al azar.