ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS DE LOS NÚMEROS REALES MEDIANTE EL MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO

Uno de los métodos lógicos más utilizados para realizar demostraciones de teoremas matemáticos es el de Reducción al Absurdo. El método consiste en suponer que las suposiciones que se están utilizando en la demostración son falsas y basados en ellas, mediante el uso de deducciones matemáticas se llega a una contradicción o a un resultado absurdo, con lo que se comprueba que la proposición es necesariamente verdadera. En la lógica proposicional a la Regla de Reducción al Absurdo también se le conoce como Regla de introducción a la Negación y se conoce como método de demostración indirecta.

Ejemplo (01): Modelado utilizando la función exponencial

Un cultivo de bacterias triplica su población cada 12 horas. Un científico haciendo un experimento empieza con 300 células de bacteria. ¿Después de cuántas horas puede esperar el científico tener 8 100 bacterias?

Solución

a) De la información proporcionada, comprendemos lo siguiente:- Población inicial de 100 bacterias (Po = 300)- Duplica su población (Po.3)- Duplica su población cada 15 horas (Po.3t/12)

b) Podremos planificar un modelo de fórmula para resolver el problema:

P = 300.3t/12

- donde: P = población final de bacterias Po = población inicial de bacterias t = tiempo transcurrido en horas

c) Resolvemos el problema utilizando la fórmula que hemos deducido:

- Utilizando la fórmula para (P = 8100)

- 8100 = 300. 3t/12

- 8100300 = 3t/12

- 27 = 3t/12

- 33 = 3t/12

- 3 = t

12

- t = 36 horas

d) Comprobamos nuestra respuesta , utilizando la siguiente tabla:

t (horas) 0 1 3 6 12 24 36P (N° de bacterias) 300 329 395 520 900 2 700 8100

Ejemplo (02): Modelado utilizando la función logarítmica

El sonido se mide en una escala logarítmica usando una unidad que se llama decibel:

donde P es la potencia o intensidad del sonido y P0 es el sonido más débil que puede captar el humano.Un avión a reacción al despegar tiene un índice de ruido de 140 decibeles. Un concierto de rock, tiene un índice de ruido de 110 decibeles. ¿Qué tan intenso es el ruido del avión a reacción comparado con el ruido del concierto de rock?

Solución

a) De la información proporcionada, comprendemos lo siguiente:- P del avión a reacción = 140 db- P del concierto de rock = 110 db

b) Podremos planificar porque ya tenemos una fórmula propuesta en el enunciado del problema:

- donde: P = potencia o intensidad del sonido emitido por el objeto que lo causa Po = potencia o intensidad del sonido más débil que puede captar el ser humano d = índice de ruido del objeto que lo causa

c) Resolvemos el problema utilizando la fórmula que hemos deducido:

- Utilizando el índice de ruido del avión:

140 = 10.log(Pav/Po)

14 = log(Pav/Po)

1014 = Pav/Po

Po . 1014 = Pav …… (1)

- Utilizando el índice de ruido del concierto:

110 = 10.log(Pcr/Po)

11 = log(Pcr/Po)

1011 = Pcr/Po

Po . 1011 = Pcr …… (2)

d) Comprobamos el procedimiento aplicado al combinar (1) con (2):

Po. 1014

Po. 1011 = PavPcr

1000.Pcr = Pav

La intensidad del ruido de un avión a reacción es 1000 veces la intensidad del ruido de un concierto de rock

CONSOLIDACIÓN DE ESTRATEGIAS

01) Una estación de monitoreo de terremotos midió la amplitud de las ondas durante un temblor reciente. La medida fue de 100 000 veces más grande que A0, la onda más pequeña detectable. ¿Qué tan alto fue el terremoto en la escala de Richter?

02) Usando la fórmula de la población mundial P = 6.9(1.011)t, donde t es el número de años después de 2011 y P es la población mundial en billones de personas, estimar:

a) la población en el año 2050 en cientos de millones, yb) ¿en qué año se duplicará la población con respecto al 2011?