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1 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE LICENCIADO EN PEDAGOGIA. PRESENTA: BRENDA JANUET VELASCO PÉREZ DIRECTOR: FELIX AMADO DE LEON REYES MÉXICO, D.F. 2010
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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA
TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE
LICENCIADO EN PEDAGOGIA.
PRESENTA: BRENDA JANUET VELASCO PÉREZ
DIRECTOR: FELIX AMADO DE LEON REYES
MÉXICO, D.F. 2010
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A Dios por permitirme llegarA Dios por permitirme llegarA Dios por permitirme llegarA Dios por permitirme llegar
A este A este A este A este momento de mi vidamomento de mi vidamomento de mi vidamomento de mi vida
Junto a las personas que amo.Junto a las personas que amo.Junto a las personas que amo.Junto a las personas que amo.
A mi mami y mis A mi mami y mis A mi mami y mis A mi mami y mis 5 5 5 5 hermanoshermanoshermanoshermanos
Que siQue siQue siQue sin ellos jan ellos jan ellos jan ellos jamámámámás lo hubieras lo hubieras lo hubieras lo hubiera
Logrado, son mi inspiración Logrado, son mi inspiración Logrado, son mi inspiración Logrado, son mi inspiración
Y lo más hermoso que tengo.Y lo más hermoso que tengo.Y lo más hermoso que tengo.Y lo más hermoso que tengo.
A mis amigas por haberme A mis amigas por haberme A mis amigas por haberme A mis amigas por haberme
Acompañado en el procesoAcompañado en el procesoAcompañado en el procesoAcompañado en el proceso
De mi formaciónDe mi formaciónDe mi formaciónDe mi formación, tener siempre, tener siempre, tener siempre, tener siempre
Una sonrisa Una sonrisa Una sonrisa Una sonrisa y apoyarme y apoyarme y apoyarme y apoyarme
En todo momento.En todo momento.En todo momento.En todo momento.
A mi asesor y los profesoresA mi asesor y los profesoresA mi asesor y los profesoresA mi asesor y los profesores
QQQQue me brindaron suue me brindaron suue me brindaron suue me brindaron su tiempotiempotiempotiempo
Y dedicación a la revisión de Y dedicación a la revisión de Y dedicación a la revisión de Y dedicación a la revisión de
Mi trabajo.Mi trabajo.Mi trabajo.Mi trabajo.
A mi ángel de la guardaA mi ángel de la guardaA mi ángel de la guardaA mi ángel de la guarda
Que ha estado conmigoQue ha estado conmigoQue ha estado conmigoQue ha estado conmigo
En todo momento, En todo momento, En todo momento, En todo momento,
Comparte mi felicidad Comparte mi felicidad Comparte mi felicidad Comparte mi felicidad
Y Y Y Y es parte dees parte dees parte dees parte de mi vida.mi vida.mi vida.mi vida.
3
INDICE
INTRODUCCIÓN
I. . . . CONCEPTUALIZACIÓN DE MATEMÁTICAS
1.1. ¿Qué son las matemáticas?.................................................................. 11
1.2. Características de las matemáticas……………………………………… 19
1.3. Matemáticas y su problema de enseñanza en la escuela primaria 21
II. . . . MARCO CONTEXTUAL DE LA EDUCACIÓN BÁSICA…………………….. 37
2.1. Política Educativa. …………………………………………………………. 39
2.2. Artículo Tercero Constitucional…………………………………………... 41
2.3. Programa Sectorial de Educación 2007-2012………………………….. 42
2.4. Plan Nacional de Desarrollo 2007- 2012………………………………... 43
2.5. Reforma a la Educación Básica………………………………………….. 45
2.6. Competencias para la vida………………………………………………... 49
2.7. Plan y programas de estudios de matemáticas 1993………………….. 52
2.7.1. Organización general de los contenidos…………………………. 54
2.8. Programa de estudio de matemáticas 2009……………………………. 56
2.8.1. Suma, resta y multiplicación……………………………………… 61
III. CARACTERÍSTICAS DEL NIÑO DE SEGUNDO GRADO 66
3.1. Desarrollo físico y motor…………………………………………………. 72
3.2. Desarrollo afectivo………………………………………………………… 75
3.3. Desarrollo intelectual……………………………………...………………. 77
3.4. Marco teórico……………………………………………………………… 84
3.4.1. Piaget y su teoría del juego………………………........... 84
3.4.2. Vygotsky y su teoría sociocultural………..……………………… 86
3.4.3. La teoría de Ausubel…………………………………………… 88
4
3.4.4. Enfoque constructivista………………………………………… 89
3.4.5. Enfoque teórico de Resolución de problemas………… 90
3.4.6. George Polya y Schoenfeld…………………………………… 91
3.4.7. Inteligencias múltiples…………………………………………… 94
IV. ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA
4.1. Conceptualización de las estrategias de aprendizaje…………………. 102
4.2. El juego como estrategia…………………………………………………. 104
4.2.1. La maquina del cálculo 108
4.2.2. Laberinto de suma y resta 110
4.2.3. Roscas…………………………………………………………… 112
4.2.4. El rey en su trono………………………………………………… 114
4.2.5. Dominó…………………………………………………………… 115
4.2.6. Calculo mental de multiplicación………………………………… 118
4.3. La resolución de problemas como estrategia………………………… 119
4.4. Internet como estrategia……………………………………………… 123
4.4.1. Fundamentación teórica…………………… …………… 123
4.5. Portales que ofrecen ayuda al docente para la enseñanza de las
matemáticas……………………………………………………………….. 129
4.5.1. Mi ayudante……………………………………………………… …130
4.5.2. Cuadernos intercultural…………………………………………… 136
4.5.2.1. Cuadernos digitales Vindel 136
4.5.2.2. Generador de operaciones matemáticas……………… 142
4.5.3. Brain pop……………………………………………………………. 142
V.CONCLUSIONES……………….…………………………………………… 144
VI. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………...... 146
5
INTRODUCCIÓN
Las matemáticas fueron creadas a partir de las necesidades del hombre por
resolver ciertos problemas que se le presentan con frecuencia en la vida
cotidiana. “El campo matemático trata de construir, a través de la complejidad
de las vivencias del espacio y los números, un mundo único plenamente
objetivado” 1
Las matemáticas son una asignatura que se imparte desde el nivel preescolar,
hasta la universidad, de ahí la importancia de que los alumnos conserven esas
ganas con las que inician la escuela en todo su proceso educativo, está
asignatura propone una progresión de lo concreto a lo abstracto, que los
alumnos utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver problemáticas
que ocurren en su entorno, de esta manera el alumno tendrá una comprensión
más significativa
Hablo en especial del grupo de segundo año porque tuve la oportunidad de
trabajar en la escuela primaria “Ricardo Flores Magón” ubicada en el municipio
de Chalco Estado de México en el segundo grupo B. El grupo estaba
conformado por 14 hombres y 20 mujeres, en esta experiencia de dos meses,
me di cuenta de la problemática que surgía frente a la asignatura de
matemáticas. A los alumnos se les dificultaban las operaciones aritméticas, no
sabían cuando utilizar la suma o la resta ya que sólo mecanizaban la solución
de un problema o las memorizaban sin reflexionar, se tardaban mucho en
resolver los problemas, se desesperaban porque no les salía y terminaban
distraídos en clase.
El docente enseña al alumno a resolver operaciones con una formula y con
una serie de pasos, mediante varios ejercicios y siguiendo un mismo modelo,
pero ¿Qué sucede cuando los niños encuentran una manera diferente de
resolverlo?, el profesor regularmente mecaniza una manera de resolver
1 Dienes, z. p. La matemática moderna en la enseñanza primaria, Barcelona, Editorial TEIDE, pág. 7.
6
operaciones y algunas veces no entiende la manera como razona el niño al
resolver sus operaciones y se las toma como mal hechas y etiqueta al niño de
distraído, así que sólo acepta su método.
El problema abordado es la dificultad que presentan los alumnos en la
comprensión de las operaciones matemáticas (suma, resta y multiplicación).
Se sabe que el aprendizaje de las matemáticas es un sinónimo de algo
complejo, difícil y aburrido, se trata de que los alumnos logren ver a las
matemáticas como algo divertido, despertando el interés en ellos para llevarlas
a la práctica a través juegos, resolución de problemas y el Internet como
estrategia.
Enrique Castro menciona que “Las matemáticas se deben aprender porque
contribuyen al desarrollo intelectual de cada persona. Las matemáticas tiene
un alto valor formativo porque desarrollan las capacidades de razonamiento
lógico…” 2
Se hace referencia a tres operaciones básicas (suma, resta y multiplicación),
porque su aprendizaje es la base para resolver diferentes problemáticas,
ayuda a desarrollar el pensamiento lógico y en especial, estas operaciones
causan dificultad a los alumnos de 2ºB. Por ejemplo, para aprender las tablas
de multiplicar y que no sean una dificultad, es importante que los alumnos
tengan un buen manejo de la suma y que comprendan el concepto de está.
Según el interés que el maestro ponga en su quehacer diario dependerá el
aprendizaje del alumno, y si deja que esto pase sin darle la importancia que en
realidad se requiere, será este último un sujeto que en el futuro presentará
actitudes en contra de las matemáticas, creándole además aversión a la
misma. De lo que se trata es que los alumnos encuentren un sentido a la
enseñanza de esta asignatura, evitar la apatía en años posteriores, que ya no
se les dificulte la aritmética, que el alumno trate de recuperar sus
conocimientos previos para relacionarlos con los nuevos aprendidos.
2 Enrique Castro. Didáctica de la matemática en la educación primaria, Madrid, Editorial, Síntesis y
educación, pág. 26
7
Liliana Cattaneo y Noemí Lagreca mencionan que: “La solución será lograr que
el alumno adquiera la capacidad de aprender en el momento adecuado lo que
necesite. Para esto debe auto aprender, o sea, debe: aprender a aprender.”3
Por lo tanto, como objetivo general pretendemos que el docente se valga del
juego, actividades, resolución de problemas e Internet como estrategias y, de
esta manera, ayude al alumno en su concepción de las operaciones
aritméticas, para que desarrolle habilidades reflexivas y críticas que le
permitan solucionar situaciones de una forma más rápida y eficaz.
El presente trabajo está dividido en cinco capítulos, En el primero
retomaremos las diferentes concepciones de estudiosos de la matemática para
estructurar una. De esta manera podremos comprender mejor todo lo que
rodea a esta asignatura y su importancia en las escuelas, así como, sus
características. Se mencionarán diferentes problemáticas que existen en la
escuela entorno a las matemáticas, como son: la falta de preparación de los
docentes, los libros de texto, la falta de motivación de los alumnos hacia la
asignatura, la falta de tiempo para implementar estrategias y las constantes
reformas. Esto con el fin de conocer qué es lo que pasa en torno al fracaso
escolar en matemáticas.
En el segundo capítulo, tiene en cuenta el contexto educativo, basándonos en
la política educativa del gobierno actual, en especial, por la Secretaria de
Educación Pública (SEP). Aquí se describen algunos lineamientos para
mejorar la calidad educativa, donde se incluye el artículo tercero constitucional,
el cual habla del derecho a la educación y que debe ser laica y gratuita para
todos los individuos. El Programa Sectorial de Educación 2007-2012, que
muestra los objetivos, las líneas de acción y las estrategias que ayudan y
definen el camino, la actuación de las dependencias y de los organismos
federales que pertenecen a este sector. 4 El Plan Nacional de Desarrollo (2007-
3 Liliana Cattaneo, Noemí Lagreca, Matemáticas hoy en la E.G.B. ¿Qué enseñar? ¿Cómo? ¿Para qué?,
Editorial, Homo Sapiens, pág. 17
4 Algunos organismos que participan son la Secretaria de Educación Pública (SEP), Administración
Federal de Servicios Educativos del Distrito Federal (AFSEDF), Consejo Nacional de Fomento Educativo
8
2012) tiene como objetivo el desarrollo humano, que significa que todos los
mexicanos no tendrán carencias de sus necesidades básicas, como son: salud,
alimentos, educación, etc.
Otro documento citado en este capítulo es la Reforma a la Educación Básica,
donde se propone una educación básica que contribuya al desarrollo de
competencias. En este sentido, la Secretaría de Educación Pública, a través de
la Subsecretaría de Educación Básica, ha planteado la Articulación Curricular
de la Educación Básica como una estrategia que contribuye al desarrollo de
competencias amplias para mejorar la manera de vivir y convivir en una
sociedad cada vez más compleja. De esta manera y para tener un panorama
más amplio, poder ver los cambios que se hicieron en el curriculum, es
necesario mencionar la constitución del Plan y programas de estudio1993 y el
actual Programa de estudio 2009.
Se mencionará la importancia de las operaciones aritméticas (suma, resta y
multiplicación), el concepto de cada una, así como sus características.
En el capitulo tres, se describen las características físicas, motrices, intelectual
y afectiva del niño de segundo grado, que oscilan entre los seis y siete años.
La importancia de mencionar estas características es que los docentes deben
conocer el tipo de alumnos que está a su cargo, cuál es la capacidad intelectual
de cada uno, si existen problemas familiares que afecten su aprendizaje, de
esta manera el profesor podrá encontrar estrategias diferentes para modos de
aprendizaje diferentes.
La fundamentación teórica se sitúan bajo un enfoque constructivista, el
constructivismo nos habla de que cada contenido o actividad sea con un
significado para el alumno y que los pueda llevar a su realidad para establecer
una relación entre ambas. Se retoman los elementos teóricos del desarrollo y
aprendizaje de Jean Piaget, uno de los principales autores en el manejo de la
(CONAFE), Colegio de Bachilleres (COLBACH), Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica (CONALEP), entre otros. Éste Programa Sectorial ha sido diseñado con base en los programas visión
México 2030 y al Plan Nacional de Desarrollo.
9
inteligencia, así como, su teoría sobre el juego, bajo este contexto, resulta útil
la aportación de dicho personaje para la realización de este trabajo. Es
importante conocer la forma en que aprende el niño ya que al conocer el
proceso de aprendizaje poseerá los elementos necesarios para las
recomendaciones que el docente tenga respecto a las estrategias de
aprendizaje.
La resolución de problemas, estrategia que puede ser de mucha ayuda al
docente, retomaremos a Poyla y Schoenfeld, su aportación nos ayudaran a
comprender en que medida la resolución de problemas apoya en el proceso de
aprendizaje del niño de segundo año.
Vygotsky destaca la influencia de la cultura y la sociedad y señala que el
docente es el que le proporciona al alumno la ayuda necesaria para que
construya su conocimiento tomando en cuenta su realidad, el contexto, el
ambiente sociocultural donde se desarrolla; es decir, a partir de la manera de
vivir, de la interacción con las personas aprende cosas de lo que vive en su
cultura, y amplía más su aprendizaje. Con esto se quiere decir que, lo que el
alumno aprende en la escuela lo va a ir organizando y realizando desde el
marco de su cultura, que le va permitir un aprendizaje integral, ya que retoma
los distintos conocimientos que tiene en ese momento, adquiridos en diferentes
espacios. Gardner resalta la importancia de las inteligencias múltiples para que
el docente busque estrategias para obtener un aprendizaje significativo y
Ausubel, que además de aceptar lo anterior insiste en la importancia de que el
aprendizaje sea significativo.
En el capitulo cuatro, se hablara del concepto de estrategias, la importancia de
utilizar estrategias en el proceso educativo, está radica en que permite al
alumno reflexionar sobre los contenidos nuevos que va adquiriendo en la
escuela y los relacione con los previos. Algunos ejemplos de el juego, la
resolución de problemas e Internet como estrategia, así como, una breve
descripción de la manera como a poyan al proceso de aprendizaje de los niños.
10
Se aborda el surgimiento de Internet que es una gigantesca red en la que
podemos encontrar infinidad de información y que los docentes deben manejar
para utilizarla en el aula, así como la importancia que este toma en el ámbito
educativo. Se observan algunos de los recursos que este medio presenta
viables para crear espacios educativos pertinentes, retomándola como
estrategia. Se presentan, también algunos portales como estrategias de apoyo
a la labor docente, en los cuales se encontrará una manera diferente de
enseñar y que vaya de acuerdo al contexto que el niño vive, que es la
sociedad del conocimiento.
Seguidamente, en el capitulo cinco se presentan las conclusiones y por último
en el capitulo seis la bibliografía consultada. Es importante destacar que la
metodología adoptada ha sido básicamente documental, complementada con
mi experiencia docente en la escuela primaria “Ricardo Flores Magón”. Una
aclaración, sin ánimo de entrar en una polémica de hace muchos años, en este
trabajo ocuparemos indistintamente los términos matemática y matemáticas o
enseñanza de la matemática y enseñanza de las matemáticas.
11
IIII....---- CONCEPTUALIZACIÓN DE CONCEPTUALIZACIÓN DE CONCEPTUALIZACIÓN DE CONCEPTUALIZACIÓN DE MATEMÁTICASMATEMÁTICASMATEMÁTICASMATEMÁTICAS
1.1 ¿Qué son las matemáticas?
“No se puede abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas sin preguntarse al mismo tiempo qué son las matemáticas, en qué
consiste y para qué sirve hacer matemáticas.”5
¿Qué son las matemáticas? Es complicado dar un concepto estructurado por
las diferentes perspectivas de esta ciencia, por ejemplo: “trabajar con
números”, “manipular estructuras abstractas”, “resolver problemas”, etc.
Nuestra concepción de qué son las matemáticas: un conjunto de contenidos
definidos formalmente o una capacidad, una manera de actuar, de proceder
frente a diversos problemas. Creo que, sin desatender la necesidad de conocer
las herramientas matemáticas que la humanidad ha creado a lo largo de la
historia para resolver problemas, es fundamental que analicemos nuestra
concepción de lo que es saber matemáticas centrando la atención ya no sólo
en contenidos matemáticos formales, sino también en la capacidad de pensar
matemáticamente, de generar y crear procesos no comunes para resolver
problemas justo como la hicieron aquellos que fueron inventando las
matemáticas que hoy nos presentan los libros.
A rasgos generales la historia de las matemáticas tiene un lugar especial en el
pensamiento humano, en particular en la educación, tiene un primer
florecimiento en la Grecia Clásica. Se dice que los filósofos griegos, en tiempos
de Platón, colocaban a la entrada de sus escuelas el anuncio: “No entre a esta
escuela aquel que no haya aprendido los elementos de Euclides.6” Para estos
5 Chevallard Yves, Mariana Bosch, Josep Gascon, Estudiar Matemáticas, México, Agencia de cooperación
Española,SEP 1998. pág. 46
6 Euclides fue un matemático y geómetra griego, que vivió alrededor del 300 a.C. (ca. 325 - ca.
265 a. C.). Se le conoce como "El padre de la Geometría".Su vida es poco conocida. Ciertos autores
12
filósofos la naturaleza estaba escrita en el lenguaje de las matemáticas y, por lo
tanto, el estudio de las matemáticas era inseparable de la labor del filósofo.
Poco tiempo después, Aristóteles insiste en que la filosofía se desvía de sus
fines si trata de seguir los métodos matemáticos en sus propias indagaciones.
Debido a la profunda influencia de Aristóteles en la filosofía posterior, las
matemáticas fueron desplazadas de su lugar especial en el desarrollo del
pensamiento, papel que no recuperaría hasta los tiempos de Descartes y los
filósofos de la Ilustración francesa en los siglos XVII y XVIII. Para Galileo,
Descartes y Newton la estructura del mundo es matemática y por lo tanto, la
base de las ciencias de la naturaleza debe ser matemática también. A partir de
entonces las matemáticas han estado en el centro de toda actividad científica y
su papel central en la educación ha ido, en general, en aumento.
Cuando Napoleón tomó el poder en Francia se hizo asesorar por un grupo de
pensadores y científicos, entre los que se encontraba Laplace7 y Lagrange8.
Por recomendaciones de algunos de ellos se hizo una reforma educativa en la
cual las matemáticas ocuparían el papel central en la educación, papel que era
ocupado por la enseñanza del latín y que fue desplazado.
Para los educadores que realizaron la reforma hay algunos elementos
comunes entre el latín y las matemáticas como materia de enseñanza; árabes afirman que Euclides era hijo de Naucrates y se barajan tres hipótesis: Euclides fue un personaje histórico que escribió Los Elementos y otras obras atribuidas a él. Euclides fue el líder de un equipo de matemáticos que trabajaba en Alejandría.
7 Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 23 de marzo de 1749 - París; 5 de marzo de
1827) astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Expuso una teoría sobre la formación del Sol y del sistema solar a partir de una nebulosa o remolino de polvo y gas. Por otra parte, demostró también la estabilidad del sistema solar, sentó las bases científicas de la teoría matemática de probabilidades (en su obra Théorie analytique des
probabilités, donde, entre otros logros, formuló el método de los mínimos cuadrados que es fundamental para la teoría de errores) y formuló de manera muy firme e influyente la imagen de un mundo completamente determinista.
8 Joseph Louis Lagrange (25 de enero de 1736 en Turin - 10 de abril de 1813) fue un matemático, físico y
astrónomo francés nacido en Turin (Italia) que después vivió en Prusia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio (En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos
finitos o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo, desarrolló la mecánica lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.
13
desarrollan el pensamiento abstracto, permiten una rigurosa selección de
estudiantes que pasarán a formar la élite dirigente; por otra parte, como ya se
ha mencionado anteriormente, las matemáticas permiten el desarrollo del
pensamiento lógico en contraposición con el discurso retórico fomentado con la
enseñanza del latín. Desde entonces, las matemáticas ocupan un lugar central
en el curriculum no sólo de México, sino en países de todo el mundo y no sólo
estamos hablando del papel importante que juega en la educación, sino
también en la cultura científica. Para Díaz y Julián García “las matemáticas
contribuyen a la formación intelectual por cuanto desarrollan la capacidad de
pensar y ordenar las ideas lógicamente”9
A lo largo de la historia, el hombre ha contemplado esta disciplina desde
distintas perspectivas. A continuación daremos definiciones de algunos
filósofos y teóricos.
AUTOR DEFINICIÓN
Aristóteles10 Es la ciencia de la cantidad
René Descartes11 Es la ciencia del orden y de la medida y constituye un modo de habituar al espíritu a nutrirse con verdades y a no contestarse con falsas razones.
Lancelot Hogben12 Es un método que permite descubrir y expresar, de la manera más económica posible, reglas útiles de razonamiento correcto sobre cálculo, medida y forma.
9 Francisco Díaz y José Julián García, Evaluación Criterial del área de matemáticas, editorial CISSPRAXIS,
Barcelona, 2004, p. 52.
10 Aristóteles tiene en mente la manera de proceder de la matemática al hablar de la forma general de
las ciencias. Esta, dice, se va construyendo deductivamente, gracias a la derivación, que va de general a lo menos general…proclama el concepto de ciencia pura. Distingue entre geometría y entre aritmética, como teoría de los números…
11 (1596-1650). Gracias a Descartes, el lenguaje matemático logra difusión generalizada, y con este la
matemática misma adquiere un instrumento de trabajo que la llevará a conquistas cada vez más fecundas. Busca un criterio de verdad, que encuentra en las nociones claras y distintas, carácter esencial de las matemáticas. Las matemáticas no sólo tienen por estudio el número y la medida, sino que también el orden.
12 Citado por Mariano Perero. “Historia e Historias de matemáticas”, pág.99
14
Charles P. Steinmetz13 Es la ciencia más exacta y sus operaciones permiten la demostración absoluta. Pero eso ocurre sólo porque la matemática no trata de deducir conclusiones absolutas. Todas las verdades matemáticas son relativas, condicionales.
Carl F. Gauss14 Es la reina de las ciencias, y la aritmética es la reina de las matemáticas
Eric T. Bell15 Es la reina y la sirvienta de las ciencias
Felix Klein16 Es la ciencia de las cosas evidentes e incontrovertibles
Gustav J. Jacobi17 Es la ciencia de lo que es claro de por sí.
Julio Rey Pastor18 Es la “ciencia de los conjuntos”. De los conjuntos finitos nace, por abstracción, el concepto de número, fundamento de toda la matemática.
Bertrand Russell19 Se puede definir como la materia en la que nunca se
13
. Ibíd.
14 (1777- 1855), considerado el más grande matemático de la historia, sería llamado "el príncipe de las
matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. A los 17 años, Gauss se dio a la tarea de completar lo que a su juicio habían dejado a medias sus predecesores en materia de teoría de números. Así descubrió su pasión por la aritmética, área en la que poco después tuvo sus primeros triunfos.
15 Citado por Mariano Perero, op. Cit., pág. 99.
16 (1849-1925). Profesor de la universidad de Gotinga (1886), fue el fundador de la "Gran Enciclopedia
de las matemáticas" (1895) y uno de los abogados y artífices de la renovación de la enseñanza de las matemáticas en los estudios secundarios.
17 (1804-1851). fue un matemático alemán. Autor muy prolífico, contribuyó en varios campos de la
matemática, principalmente en el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuaciones diferenciales. También destacó en su labor pedagógica, por la que se le ha considerado el profesor más estimulante de su tiempo.
18 (1888-1962). Rey Pastor es considerado uno de los grandes renovadores de las matemáticas en todo
el mundo de habla española, y es el iniciador de una nueva ciencia, la preología
19 (1872-1970). Las matemáticas serían su fuente de felicidad. Russell hizo sus estudios de matemáticas
en Cambridge, aunque algo decepcionado por la manera en que en esos tiempos se enseñaba esta ciencia. Esto se debe principalmente a que las matemáticas, en esa época, se enseñaban mediante la constante resolución de ejercicios mecánicamente, sin ir muy a fondo en la parte puramente formal de la disciplina. Russell tuvo una gran influencia en la lógica matemática moderna. Russel continuó
15
sabe de qué se habla ni si lo que se dice es cierto
Alfred N. Whitehead20 En su significado más amplio, es el desarrollo de todo tipo de razonamiento formal, necesario y deductivo.
David Hilbert21
Es un juego con reglas muy sencillas que deja marcas sin significado en un papel.
Benjamin Pierce22 Es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias
G. Polya23 Decía que la matemática es saber/hacer más que saber
Henri Poincaré24
La matemática no estudia objetos sino relaciones entre objetos; podemos remplazar un objeto por otros siempre y cuando la relación entre ellos no cambie.
En el cuadro anterior, se citan matemáticos y filósofos, y nos podemos dar
cuenta que, Aristóteles, René Descartes, Charles P. Steinmetz, entre otros,
conciben a la Matemática como una “ciencia”; Alfred North Whitehead como un
defendiendo el logicismo, la visión que la matemática es en un sentido importante reducible a la lógica, y junto a su ex-profesor Alfred North Whitehead, escribió la monumental Principios de las Matemáticas, un sistema axiomático en el cual todas matemáticas pueden ser fundadas.
20 (1861-1947). Autor de Principios de las Matemáticas, junto a Bertrand Russell. Destacado filósofo y
matemático.
21 (1862-1943). Alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX.
Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
22 Mariano Perero, op. Cit., pág. 99
23 (1887-1985). Trabajó en una gran variedad de temas matemáticos, incluidas las series, la teoría de
números, geometría, álgebra, análisis matemático, la combinatoria y la probabilidad. En sus últimos años, invirtió un esfuerzo considerable en intentar caracterizar los métodos generales que usa la gente para resolver problemas, y para describir cómo debería enseñarse y aprender la manera de resolver problemas.” Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento
en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto a tu curiosidad
y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios métodos, puedes experimentar
la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento.”
24 (1854- 1912). Su creencia era que la lógica no era un camino para desarrollar ideas sino una forma de
estructurarlas, y por ende, sostenía que la lógica limitaba las ideas. Fue además un gran divulgador de la matemática.
16
desarrollo del razonamiento, mientras que Lancelot H. la concibe como un
método, una manera de hacer algo mediante estrategias y técnicas. Realmente
no hay diferencias en estas concepciones ya que todas estas se conjugan
para poder formar una sola.
Las posiciones filosóficas sobre la matemática, presentan esta ciencia de
diversas formas: como un cuerpo estático de verdades eternas y
universales que puedan ser descubiertas, cuya existencia es
independiente de los sujetos que, las piensan; como una creación
humana que es producto de la construcción de la razón; como una
actividad falible, sujeta a errores, con unas raíces no muy distintas del
quehacer del científico de la naturaleza.25
Estas definiciones tienen un enfoque filosófico, por lo tanto nos servirán para
tener un referente de cómo eran pensadas las matemáticas por los teóricos,
pero para poder entenderla hoy, es importante tener un concepto estructurado
que vaya de acuerdo con nuestro contexto, esto será el principio de un buen
entendimiento a esta asignatura.
Etimológicamente, podemos encontrar otras definiciones. Se entiende como;
“Las matemáticas o la matemática (del lat. Mathematĭca) es una ciencia que, a
partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico, estudia
las propiedades y relaciones de los entes abstractos (números, figuras
geométricas, símbolos).”26
Esta concepción es un ejemplo de la conjugación de las diferentes definiciones
que los matemáticos y filósofos antes citados nos dan.
El Diccionario de la Lengua Española (2001), nos dice que es la ciencia
deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números,
figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.
25
Antoni Villa Cortes, Mª Luz Callejo de la Vega. Matemáticas para aprender a pensar, El papel de las
creencias en la resolución de problemas, Madrid, Narcea, S.A de ediciones, 2004, pág. 44
26 Concepto de matemáticas, http://es.wikipedia.org/wiki/Matematicas. [consultada el 15 de agosto del
2009]
17
Pero las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo,
las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de
los objetos físicos. Las matemáticas desde sus inicios han tenido un fin
práctico. Acercándonos un poco más a la actualidad, en el plan y programas
de estudios de educación básica 1993 nos dice que matemáticas son: “un
producto del quehacer humano y su proceso de construcción está sustentado
en abstracciones sucesivas”27
Es por ello, que el concepto de matemáticas va cambiando con el transcurso
del tiempo, ya que las necesidades de los seres humanos son diferentes y
debe adoptar estos cambios. De esta manera, si los niños relacionan los
aprendizajes de la escuela con los que viven, podrán tener un aprendizaje
significativo y se reduciría el fracaso escolar en cuanto a esta asignatura.
En realidad, es complicado dar una definición exacta de lo que son las
matemáticas, pero estas definiciones revelan, al menos parcialmente, una
visión de esta ciencia, lo cual tiene consecuencias sobre la manera de
enfrentarse y desarrollar la actividad matemática y sobre el uso y aplicaciones
de esta ciencia.
Sin dejar de lado la necesidad de conocer las herramientas matemáticas que la
humanidad ha creado a lo largo de la historia para resolver problemas, es muy
importante que analicemos nuestra concepción de lo que es saber matemáticas
centrando la atención no sólo en contenidos, sino también en la capacidad de
pensar matemáticamente, de generar y crear procesos no comunes para
resolver problemas y eso nos lleva a recordar que en algún momento de la
historia hubo pensadores que llegaron a esas capacidades cognitivas y que
con el tiempo fueron creando ese mundo matemático que hoy rige gran parte
de nuestras actividades diarias.
Para Antonio Fernández: “La matemática es una actividad mental. El
pensamiento matemático es uno, y no varios. Su instrumento no es el cálculo
27
Ibídem.
18
sino el razonamiento. El ejercicio de la matemática consiste principalmente en
el descubrimiento y la aplicación de estructuras”28
El saber matemático no puede medirse ni por el tiempo que se dedica a la
manipulación, ni por la cantidad de ejercicios que hacen los niños, sino por la
actividad mental realizada para interpretar, resolver, formular, calcular y aplicar
correctamente.
Las matemáticas son parte de nuestra herencia cultural común, un campo al
cual los matemáticos y legos siempre han contribuido. Sin embargo,
usualmente los legos no se interesan por los aspectos técnicos de las
matemáticas, sino en aquellos temas en los que no importa si se es un
matemático profesional o no.
Habitualmente se distingue entre operaciones (uso de reglas, procedimientos y
algoritmos) y conceptos (solución de problemas y empleo de estrategias). Los
problemas de operaciones y de conceptos exigen que los estudiantes pongan
en juego sus conocimientos previos, pero el problema está en lo que
explícitamente dice el problema y qué operaciones realizar.
Como ya se había mencionado anteriormente, las matemáticas están
íntimamente ligadas al funcionamiento y al desarrollo de la sociedad. En otras
palabras, en un sentido general, podemos decir que, son una parte esencial de
la tecnología material e inmaterial y de la infraestructura social. Contribuye a
dar forma a la sociedad, y lo hacen en grado alto y creciente para bien o para
mal.
Podemos decir entonces, que las matemáticas son un conjunto de contenidos
definidos, una manera de actuar, de conducirse frente a diversos problemas de
la vida situados en un contexto social.
28
José Antonio Fernández, Números en color- Acción y reacción en la enseñanza -aprendizaje de las
matemáticas, Madrid, Editorial CCS, 2007, pág. 15
19
1.2. Características de las matemáticas
Hoy día, las matemáticas la usa todo el mundo como una herramienta
fundamental en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias
naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, informática, de
alguna u otra manera las matemáticas se relacionan con alguna ciencia.
Casi siempre damos por sentada la existencia de las matemáticas como
asignatura en la escuela y lo hacemos con la sensación de confianza y
seguridad que da el estar tratando con una materia que tiene casi tres milenios
de antigüedad y que disfruta de la categoría de ser la única asignatura que se
enseña en todas las escuelas del mundo.
La presencia de las matemáticas en el currículo no es en absoluto evidente por
sí misma, hay que justificar su presencia respecto al conjunto general de fines
y metas de la educación en la sociedad. Pero también es importante conocer
lo que rodea a las matemáticas, saber sus características, para comprender
por qué es importante y de qué manera nos ayudan en la vida diaria.
Algunas características de las matemáticas son29:
La primera es que es muy difícil de describir o definir su materia de estudio. Es
claro cuál es la materia de estudio de la Astronomía y de la Biología, pero no
de la K-Teoría Algebraica. Esto se debe fundamentalmente a que los objetos
de estudio son conceptos abstractos definidos que a menudo van encadenados
a otros conceptos previamente definidos. Su descripción se reduce a
definiciones formales que requieren de conexiones neuronales, las cuales
requieren de cierto tiempo para realizarse. Esto, aunado a una madurez
matemática o entrenamiento matemático le permite al ser humano asimilar una
buena cantidad de ideas abstractas.
29
Emilio Lluis, “ El desconocido mundo de las matemáticas II”, (http://laberintos.itam.mx/files/243.pdf)
[consultado 15 diciembre]
20
La segunda característica es que posee una lógica perfecta. La Matemática de
Euclides es tan válida hoy como en la época de Euclides. Esto contrasta con
otras teorías, como la de la tierra plana, la del flogisto o la del éter.
La tercera es lo conclusivo de la Matemática, esto es, las diferentes disciplinas
toman conclusiones con base en las manipulaciones matemáticas.
La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equipos costosos a
diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lápiz y papel, o ni
siquiera esto. Arquímedes dibujaba sobre la arena. A pesar de los regímenes
políticos de toda índole, la Matemática continúa evolucionando. Es interesante
observar que sus bibliotecas son menos grandes que las de otras disciplinas.
Hay varias características estéticas de la Matemática. La universalidad, en el
sentido de que casi cualquier rama del conocimiento posee aspectos que se
pueden analizar matemáticamente. El desarrollo de argumentos simples y
concisos son absolutamente indispensables para el progreso de la Matemática.
La selección y formulación de problemas son un arte que depende de la
intuición del matemático. Aquí, los aspectos estéticos juegan un papel muy
importante.
Al respecto con las características que se presenten sobre las matemáticas
Luis Puig y Juan Calderón citando a John Perry -un profesor británico de
ingeniería-, mencionan que el estudio de las matemáticas comenzó porque era
útil, continua porque sigue siendo útil, y es valioso para el mundo por la utilidad
de sus resultados. Sugirió ocho “formas obvias por la que es útil”:
Es la causa de intensas emociones y proporciona placer a la mente;
desarrolla el cerebro; da lugar a formas lógicas de pensamiento; las
herramientas matemáticas sirven de ayuda al estudio de la física; sirve
para aprobar los exámenes; al dar herramientas mentales tan fáciles de
usar como las piernas y los brazos, le permite continuar su educación
(desarrollo del alma y del cerebro) a lo largo de la vida, utilizando para
este propósito toda su experiencia; quizá incluido en la anterior: al
enseñar al hombre la importancia de pensar las cosas por si mismo le
libra así del actual y terrible yugo de la autoridad, y le convence de que,
ya sea obedeciendo o dando órdenes, es una de las criaturas más
elevadas; hace que los hombres de cualquier profesión de ciencia
21
aplicada sientan que conocen los principios sobre los que se funda y
según los cuales se desarrolla; da a mentes filosóficas agudas un ideal
lógico de perfección encantador y satisfactorio a la vez, e impide así que
intenten desarrollar cualquier tema filosófico desde un punto de vista
puramente abstracto, porque lo absurdo de tal intento se hace obvio.30
Es importante retomar las características de las matemáticas, así podremos
conocer a fondo esta asignatura y de esta manera podemos comprender su fin
en nuestra sociedad.
La enseñanza de las matemáticas tiene que contribuir a fomentar la ciudadanía
inteligente e inquieta para todos los miembros de la sociedad. La enseñanza de
las matemáticas debería darse a todo el mundo para ayudar a crear la
perspectiva de “lo general”, es decir, de los rasgos constitutivos y las fuerzas
directrices esenciales que hay detrás del desarrollo de la naturaleza, de la
sociedad y de la vida de los seres humanos.
1.3. Matemáticas y su problema de enseñanza en la escuela primaria
“A pesar de los quebrados de cabeza de docentes y alumnos, las matemáticas
siguen siendo la base sobre la que se construye la mayor parte del saber
científico de la humanidad”.31
Efectivamente, el pequeño entra en contacto con las matemáticas desde que
nace, puesto que el lenguaje que le rodea diariamente expresa, dependiendo,
en mayor o menor grado, del contexto cultural y social gran cantidad y variedad
de nociones matemáticas. Las palabras que las expresan se van adquiriendo
conjuntamente con el resto de la lengua sin que exista, la mayoría de las
veces, conciencia de ello por parte de los adultos que rodean al niño en
distintos momentos de su vida: los padres, los familiares y los educadores.
30
Luis Puig y Juan Calderón, Investigación y Didáctica de las matemáticas, Madrid, MINISTERIO DE
EDUCACIÓN Y CIENCIA, 1996, pág. 21.
31 Revista Iberoamericana de Educación, Enseñanza de la Matemática, Nº 43, 2007, pág. 9
22
La estructura piramidal supone la existencia de ciertos mecanismos de
selectividad. Uno de estos mecanismos es el fracaso escolar que se presenta
en todos los niveles educativos. Somos herederos de una larga tradición que
atribuye al alumno la propiedad de fracasar, dispensando de toda
responsabilidad a la escuela y, en particular, al profesor.32
El fracaso escolar es una problemática que preocupa tanto a los padres y
educadores como a la sociedad en general, pero en particular preocupa el alto
índice de dificultad que encuentran los alumnos en la asignatura de
matemáticas. Se dice que la escuela es el lugar donde se adquiere una
capacidad para analizar y resolver problemas de la realidad y esto está
relacionado particularmente con la asignatura de matemáticas, pero también
con la escuela y la educación en general, entonces ¿que está pasando con la
escuela? o ¿cuál es el verdadero problema de este fracaso que tienen los
niños?
Cuando hablamos de la estructura piramidal, se refiere al número de alumnos
que logran egresar de la primaria, donde si cada generación en nuestro país,
nacidos año con año entre 1998 y 2002, la visualizamos como un salón de
clase de 100 lugares, para el primer día de primaria no estarán presentes 2 de
cada 100 niños. Ya el último día de la escolaridad obligatoria, en tercero de
secundaria, estarán fuera de la escuela o en rezago 38 adolescentes de esa
misma generación. Apenas cruzando el verano, 40 ó 50 días después, sólo 46
de los 62 posibles estudiantes estarán cursando el bachillerato o la educación
profesional técnica; sólo 25 de ellos cerrarán adecuadamente ese ciclo, apenas
13 concluirán una licenciatura en tiempo y forma33. (Informe contra la pared,
Estado de la Educación en México 2009, elaborado por la organización
Mexicano Primero).
32
Gloria Mª. Pantoja Gil, Aritmética fácil con el uso de calculadora, México ,UPN, 2002, pág. 27
33 Sonia del Valle, “Genera alta deserción el sistema educativo”, Nacional Reforma, octubre 2009, pág. 8
23
En el siguiente cuadro podremos ver el número de alumnos que se inscriben al
nivel primario y el número de estos alumnos que terminan en estos seis años,
esto nos hace pensar en un cambio y nos habla precisamente de esa
estructura piramidal de esos alumnos que no encuentran atractiva o interesante
la escuela, o de esos niños que no tienen acceso. Para Yolanda Guevara y
Silvia Macotela “la eficiencia y eficacia de los programas educativos deben ser
evaluados de manera permanente y sistemática en todos los niveles de
educación, pero el de primaria reviste importancia fundamental, no sólo porque
sobre el se construye la enseñanza media y superior sino porque a él deben
tener acceso todos los mexicanos, por derecho y por necesidad social.”34
Alumnos inscritos, bajas, existencias y alumnos aprobados en primaria a fin de cursos
Ciclos escolares seleccionados de 1999/2000 a 2005/ 2006
Ciclo alumnos inscritos bajas existencias alumnos aprobados
1999/2000 15 172 383 648 376 14 524 007 13 587 916
2000/2001 15 212 472 656 244 14 556 228 13 683 315
2001/2002 15 277 889 622 901 14 654 988 13 815 586
2002/2003 15 281 436 613 856 14 667 580 13 878 842
2003/2004 15 225 103 627 460 14 597 643 13 840 493
2004/2005 15 165 742 654 669 14 511 073 13 832 487
2005/2006 15 005 814 608 824 14 396 990 13 773 025
Fuente: SEP. Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Fin de Cursos (varios años). México, DF.35
Los motivos por los cuales los alumnos no se inscriben o no aprueban pueden
ser diversos. El fracaso escolar puede ser por diferentes factores, por ejemplo:
34
Yolanda Guevara, Silvia Macotela, Escuela del fracaso al éxito, Editorial Pax México. 2005, pág. 12
35Anuario Estadístico de los Estados Unidos Mexicanos 2008, INEGI
(http://www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/pais/aeeum/2008/Aeeum081.pdf.) [consultado el 15 de enero 2010]
24
1) las características individuales del alumno, 2) las características del medio
social y familiar del que proceden los alumnos, y 3) las características de la
institución escolar.
Por fracaso escolar entendemos a la dificultad que los alumnos tienen al
quererse apropiar de un conocimiento. Baudillo Martínez lo describe como “la
dificultad grave que puede experimentar un niño, con un nivel de inteligencia
normal o superior, para seguir un proceso escolar de acuerdo con su edad.
Partimos del hecho de que este niño no tenga ninguna lesión cerebral, asista
regularmente a clase que se imparte en la escuela y su familia no posea un
nivel cultural excesivamente pobre.”36
Describiremos algunas características de los factores que dan pauta para que
el niño caiga en el fracaso escolar. Comenzaremos por el entorno social y la
familia de la que proceden los alumnos. En el medio familiar se les suele
considerar como vagos, flojos, distraídos, incapaces de concentrarse en las
tareas que se les exigen, en suma, sin interés ni responsabilidades. Estos
niños viven con frecuencia una fuerte presión ambiental en la que se mezclan
halagos, promesas, amenazas, etc. Algunas expresiones que los padres
utilizan son, por ejemplo, ¡si no estudias no saldrás a jugar!, ¡si no estudias no
te llevaré á…! ¡si no estudias el día de mañana serás un…! ¡si sacas buenas
calificaciones te compraré..!
La entrada en la escuela pone de manifiesto el precario equilibrio emocional
de muchos niños, de tal manera que, las dificultades de adaptación nos
permiten a los adultos tomar conciencia de que ésta no es sencilla y de que el
niño tiene que enfrentar importantes cambios y correr diversas vicisitudes para
acoplarse al nuevo medio. La escuela anticipa una serie de exigencias que el
entorno social ha de pedir al niño. Algunos padres y docentes no comprenden
este proceso que vive el niño y comienzan a llenarlo de tareas, de obligaciones
y cosas a las que se está acoplando, entonces el alumno se presionará y su
vida académica disminuirá.
36
Baudillo Martínez, La familia ante el fracaso escolar, Madrid, Ediciones Narcea, S. A., 1988, pág. 11
25
Baudillo nos dice que “no es preciso que le digamos al niño lo importante que
es la escuela, no es preciso que le insistamos acerca de la influencia que ha de
tener en su futuro y en su presente, no es preciso que recalquemos
permanentemente lo mucho que nos hace sufrir con su conducta y
rendimientos escolares, todo esto ya lo sabe el niño, lo ve y encuentra en su
experiencia evidencias abundantes”.37
Para dar una posible solución a este tipo de problema es importante que se
tengan en cuenta los problemas con los que se enfrentan los alumnos y buscar
estrategias que ayuden a estos niños a sobresalir. Algunos autores toman el
fracaso escolar como un problema biológico y de salud, mientras que otros lo
toman como un enfoque sicopedagógico. Respecto a esto Yolanda Guevara y
Silvia Macotela nos dicen “las anomalías de los niños con dificultades
académicas son el resultado de la aplicación de métodos inadecuados, que
pueden no corresponder al nivel de las nociones básicas que los alumnos han
adquirido en su experiencia cotidiana”. 38
Hay que revisar las expectativas del maestro en el rendimiento de los alumnos,
el porqué los alumnos no quieren aprender, porque no les interesa la
adquisición de conocimientos escolares, etcétera. Todo esto con la finalidad de
analizar la realidad del fracaso escolar, en especial, en la asignatura de
matemáticas y motivar un trabajo de alternativas para superarlo.
Existe un sentimiento generalizado de que para integrarnos en “una vida
normal” en nuestra sociedad, es necesario utilizar diariamente algún tipo de
matemáticas, aunque también es cierto que no existe consenso general sobre
lo que la sociedad demanda del alumnado en cuanto a la enseñanza de las
matemáticas. Esto lleva a cuestionarnos la necesidad de incluir las
matemáticas en cualquier curriculum. Carece de sentido ya que estas son
consideradas esenciales, se ven especialmente importantes, “son útiles”, es un
37
Ibíd, pág. 46
38 Ibíd., pág. 7
26
medio de comunicación que es poderoso, conciso y sin ambigüedades,
utilizadas para presentar información de muchos modos y pudiendo una misma
situación matemática presentar múltiples situaciones reales, son un
instrumento adecuado para predecir aunque sea en situaciones sencillas, de
gran utilidad para otros campos; capaces de desarrollar el pensamiento.
A pesar de este enorme valor formativo y funcional, el alto índice de fracaso
escolar las convierte en un instrumento de discriminación social. Podríamos
pensar, que cada uno de nosotros tomado individualmente puede vivir sin
necesidad de matemáticas o, por lo menos, sin muchas de las matemáticas
que se estudian en la educación obligatoria. Pero esta creencia se da porque
de hecho no vivimos solos, sino en sociedad, una sociedad que funciona con
base en las matemáticas y en la que hay gente que ha de convertirse en
matemático para cubrir las necesidades de los demás, incluso cuando estos no
descubren sus propias necesidades matemáticas.
Cada quien tienen su experiencia estudiantil con las matemáticas, y en la
mayoría de los casos esta experiencia no fue agradable. La situación se
complica si tomamos en cuenta que las matemáticas forman, junto con el
español, la columna vertebral de la enseñanza y por ello, desde el primer año
de primaria hasta el último de bachillerato, los estudiantes no pueden escapar
de ellas.
Es claro que la escuela es necesaria pero también es claro que no se ha
logrado que cumpla satisfactoriamente su función: desarrollar la capacidad de
los alumnos para resolver problemas utilizando los conocimientos matemáticos
con los que cuentan.
Intentemos revivir nuestros recuerdos en el salón de clase cuando
estudiábamos español y matemáticas. Las dos materias que se enseñan a lo
largo de la educación básica y nivel medio superior. Nuestros recuerdos acerca
de las horas en que estudiábamos español, ya sea lectura, gramática,
ortografía o redacción, son vagos. Otra cosa son las matemáticas, pocos
somos indiferentes a su recuerdo. Hemos escuchado a compañeros
quejándose de los maestros, de su falta de motivación cuando eran niños al
27
estudiar matemáticas, o bien de su falta de conocimiento sobre la materia.
Cuantos comentarios de nosotros: “No entendí nada, ¡es muy difícil!”, “¿Para
qué sirven las cosas que nos enseñan?”. Y aún en el nivel universitario
persisten esos problemas.
Las matemáticas desempeñan un papel fundamental tanto en el plano científico
como en el educativo. En el plano científico, son el lenguaje en el que se
escriben las leyes fundamentales que rigen los fenómenos de la naturaleza. El
matemático es el lingüista de este lenguaje tanto como el físico es el escritor.
En un mundo en el que la ciencia y la tecnología nos rigen, es importante y
deseable que por lo menos todos tengamos conocimientos básicos de estas.
La complejidad de la matemática y de la educación sugiere que los teóricos de
la educación matemática, y no menos los agentes de ella, deban permanecer
constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos
aspectos de nuestro contexto venga exigiendo.
La educación, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al
cambio, la cual no necesariamente es malo, pues una razonable resistencia
ante los cambios es la característica de los organismos vivos sanos.
La matemática es una actividad vieja y polivalente y a lo largo de los siglos ha
sido empleada con objetivos profundamente diversos. Está claro que, por
diversas circunstancias, tales como inercia, novedad, falta de preparación de
docentes, hostilidad de algunos..., aún no se han logrado encontrar moldes
plenamente satisfactorios. Éste es uno de los retos importantes del momento
presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseñanza
y sus contenidos tienen que experimentar drásticas reformas. Al respecto, Joan
Gómez nos dice: “En general, las matemáticas se enseñan del mismo modo
que hace cien años, en blanco y negro; el único cambio experimentado es la
sustitución de las tradicionales tablas de trigonometría y logarítmicas por las
calculadoras de bolsillo, quizá por imperativo de los estudiantes.”39
39
Joan Gómez, De la enseñanza al aprendizaje de las matemáticas, Barcelona, Editorial Paidós, pág. 28.
28
En la actualidad existen diversos problemas en la enseñanza de la matemática
y como resultado no obtenemos un aprendizaje significativo. Sabemos que
aunque existen diferentes trabajos en apoyo a este problema, no se ha podido
erradicar del todo. Es común escuchar que en la enseñanza de las
matemáticas se debe recurrir a problemas de la vida real, con el fin de
despertar el interés del niño y llegar a acontecimientos relevantes.
Tradicionalmente, los problemas se plantean a través de un texto que contiene
los datos necesarios para resolverlos. Pero aún y con esta relación con la vida
cotidiana siguen los problemas con esta asignatura.
La importancia de las matemáticas es muy especial. Representa, en la mayoría
de los casos, la única oportunidad que tiene el niño de entrenarse en el
pensamiento ordenado y sistemático. Al terminar los estudios de bachillerato
una persona ha recibido 12 años de educación matemática. En muchos casos
esta es la única educación matemática que recibirá en su vida, y
probablemente debería ser suficiente para las necesidades de la vida
cotidiana. Pero, ¿qué sabe realmente de matemáticas? ¿qué porción de la
información recibida se queda como parte de su cultura?
A lo largo de la primaria el niño resuelve algún problema o enunciado
semejante al siguiente:
Un campesino vende un saco de papas en 100 pesos. Sus gastos de producción son de 4/5 partes del precio de venta. ¿Cuál es la ganancia del campesino?
No es necesario discutir sobre la falta de atractivo de estos problemas para la
mayoría de los estudiantes. Problemas como éstos surgen de la presión de
practicar las operaciones y nociones básicas por medio de ejemplos “reales”,
una presión que cada vez es más fuerte e insistente. Los maestros sienten la
necesidad de justificar que lo que enseñan es de gran utilidad inmediata. Pero
hay en este enfoque dos problemas importantes: por una parte, los problemas
“reales” que se plantean resultan tan abstractos y ajenos al estudiante como las
simples mecanizaciones; por otra, se pierde de vista que la mayor utilidad de
29
la enseñanza y la práctica de las matemáticas es el entrenamiento en el
pensamiento ordenado y sistemático.
Brown (1991) al hablar de problemas auténticos y académicos, muestra las
diferencias:
Problemas auténticos Problemas académicos
No definidos Bien definidos
Función del contexto Independiente del contexto
Soluciones múltiples Soluciones simples
No es correcto Es correcto
Límite de tiempo flexible Tiempos rígidos
Consulta a fuentes externas Énfasis en solución única
Brown (1991)
Tradicionalmente, los problemas se han utilizado en la escuela para que los
alumnos apliquen conocimientos que les han enseñado previamente, sin
embargo, la experiencia ha mostrado que a pesar de que se dedican muchas
horas de trabajo con este propósito, la mayoría de los alumnos presenta serias
dificultades para aplicar dichos conocimientos en la resolución de problemas.
Una de las principales causas de estas dificultades reside en que los
contenidos se han trabajado de manera aislada, es decir, fuera de un contexto
que le permita al alumno descubrir su significado, sentido y utilidad.
Además, con frecuencia, la manera en que se plantean los problemas no
permite que los alumnos se enfrenten realmente a ellos. Se les dice cómo
resolverlos o se les proponen problemas modelo en los que deben aplicar el
conocimiento que se ha enseñado previamente (por ejemplo el algoritmo de la
suma). Es decir, no se promueve la búsqueda personal de soluciones,
anulando la posibilidad de los alumnos para crear procedimientos propios, es
importante también que el niño sepa qué tipo de problema es, si la solución
30
requiere de una sustracción, adición o multiplicación. Cuando se les pone a los
niños un problema regularmente preguntan: ¿es una suma o una resta?
Estas operaciones no son completamente desconocidas por el niño que por
primera vez llega a la escuela. Las conoce en cierta medida y aun la practica
con alguna destreza cuando es pequeño. Por pobre que sea el ambiente social
en el que haya vivido, siempre debió captar algún concepto de ellas. Algunos
niños cuando menos saben lo que es sumar o tal vez tengan noción, aunque
sea vaga, de las demás operaciones.
Cuando los alumnos resuelven problemas matemáticos en la escuela,
tienden a depender de la aprobación del maestro para saber si la forma en
que lo resolvieron es o no la correcta, sin embargo, es conveniente que sean
ellos mismos quienes reconozcan si el procedimiento que emplearon los llevó
a la solución del problema, verifiquen sus resultados y localicen el error, si es
que lo hay. “En ciertas ocasiones, el profesor presenta un problema, pero no
destina suficiente tiempo a los alumnos para que ellos propongan soluciones y
exploren posibilidades y en consecuencia no promueven el desarrollo del
pensamiento matemático entre sus alumnos.”40
El tema del tiempo también es un problema. Los docentes no tienen ese tiempo
para esperar al alumno, ya que existen otras asignaturas que se deben
enseñar, y mucho menos, si los grupos son tan grandes, y los niños muy
demandantes a esa edad (6 y 7 años).
La dificultad de la enseñanza de las matemáticas emana probablemente de dos
fuentes principales. Por un lado, se trata de una materia abstracta; por otro, la
comprensión de un tema requiere el dominio de los temas anteriores. Por ello,
la materia de matemáticas requiere que el alumno se involucre a profundidad.
Los niños se encuentran en un mundo en el que tal involucramiento no se
necesita: día tras día se los satura de “información” presentada de manera
amable y llamativa, desde la publicidad hasta las noticias. Es por eso que
40
Ricardo Cantoral, Rosa María Farfán, Francisco Cordero, Desarrollo del pensamiento matemático,
México, Editorial Trillas, 2000, pág. 36.
31
algunos maestros tratan de hacer “más amigables” y “más vivos” los
problemas abstractos poniéndoles una forma real, pero es poco el porcentaje
de estos docentes que se ocupan este tipo de estrategias. Pero volvemos a el
tema del tiempo, es complicado que los docentes se den el tiempo de dar
estrategias diferentes para los estilos de aprendizaje que existen en un salón
de clase de 30 a 40 alumnos.
Es sabido que los alumnos ingresan en la escuela conociendo algunos
conceptos relacionados con la matemática. También es cierto que la escuela
parece desconocer estos saberes y se empecina en comenzar a enseñar los
conceptos desde su raíz poniendo nombres complicados a situaciones muy
sencillas y posiblemente desde ese momento se hace tedioso al alumno.
Recordemos que muchos niños manejan el dinero con fluidez a través de
compras y ventas o por necesidades especiales como la entrada temprana al
mundo laboral; otros manifiestan acabadas destrezas en lo que se refiere al
uso de computadoras y algoritmos de resolución de problemas o
indispensables para disfrutar de juegos de videos. Esta diversidad hace que los
grupos no sean uniformes en las situaciones iníciales de aprendizaje, lo que
condiciona al docente a seleccionar sus estrategias de enseñanza de acuerdo
con los objetivos generales que quiere alcanzar.
La enseñanza de la matemática consiste hoy día en transmitir a los alumnos
los conocimientos de esta ciencia, la mecanización y la memorización, por ello
se piensa que el problema número uno de la educación básica en matemáticas
es la formación de docentes y el desarrollo de materiales y programas para esa
formación. La matemática, para su transmisión o socialización, sufre una serie
de adecuaciones, porque en la antigüedad era considerada un objeto de
conocimiento y ahora se transforma en objeto de enseñanza. Esta
transformación está mediada por complejos mecanismos ideológicos,
sociológicos y epistemológicos que influyen primeramente en la estructuración
del curriculum y después en la puesta en marcha del docente.
Tal vez este sea el resultado de la baja calidad de la educación ya que siguen
utilizando las estrategias de la enseñanza tradicional de las matemáticas, en
32
las que subyace la concepción de que los niños aprenden a través de recibir
información.
No obstante que los niños logran aprender, por ejemplo, las cuatro operaciones
fundamentales de la aritmética, tienen serias dificultades para utilizarlas en la
resolución de problemas; y de hecho no saben qué tipo de situaciones
problemáticas resuelve cada una, por ello lo que han aprendido resulta poco
útil y carece de significados.
Aunque los libros de texto están como apoyo a la tarea de la enseñanza de las
matemáticas, desafortunadamente algunas veces no cumplen esta función, ya
que contienen algunos ejercicios que los niños no comprenden, y no contienen
ejercicios para un mejor refuerzo, además, manejan los mismos problemas de
siempre, no van con la realidad y los intereses del pequeño.
Otra crítica común por parte de los maestros, es que los libros contienen
mucho texto y muy pocas ilustraciones y se repite lo de la falta de ejercicios. En
ese sentido habrá que pensar en la importancia de la iconografía de los
manuales escolares, así como en qué medida deben estar orientados a dar
información, a proponer ejercicios o a abordar los fundamentos de las diversas
asignaturas41.
Actualmente está en marcha la Reforma Integral a la Educación Básica
(RIEB) y precisamente se habla de la modificación a estos libros. Hoy día
circulan por las aulas libros de primero y sexto año de primaria, y se maneja
que para el siguiente año salgan los libros de segundo y quinto. Las malas
noticias son que expertos en la materia critican los contenidos de los nuevos
libros de texto, que en lugar de apoyar a la los niños, estos tendrán una
formación básica defectuosa, ya que los nuevos libros de texto presentan
diferentes problemáticas, una de ellas es la falta de correspondencia entre su
contenido y los programas de la reforma. En un seminario realizado en El
Colegio de México, el pasado 11 de noviembre del 2009, nos explicaba Carlos
41
“Los Libros de texto gratuito a 50 años de su creación”, México, 2009, Colmex,
(http://www.observatorio.org/comunicados/EducDebate22_LibrosGratuitos_4.html) [consultado
diciembre 2009].
33
Bosch42 que los libros de texto no tienen un sustento matemático, no hay
secuencia didáctica, el problema de la educación no está en los libros, si no en
los maestros, no se les dan las herramientas adecuadas para poder enseñar a
los alumnos. Los docentes no cuentan con una preparación para estos libros
de texto, y mucho menos, existen libros de texto para que el maestro aprenda.
Y por último, nos menciona que los libros de texto son perfectibles,
desafortunadamente no se tomaron como base los libros que ya existían, de lo
contrario con un equipo de profesionales estos libros se hubieran hecho-según
Bosch- “perfectibles”.
Con esto ¿cómo se espera que el libro de texto sea un apoyo al docente y al
mismo tiempo al alumno? En el programa sectorial, en el apartado de
“Estrategias y Líneas de Acción” se escribe como uno de los objetivos lo
siguiente: estimular nuevas prácticas pedagógicas en el aula para el
tratamiento de los contenidos de los libros de texto.43
Hoy día con la RIEB se habla de educación por competencias y proyectos.
Tuve la oportunidad de asistir a una reunión en la Escuela Primaria “Ricardo
Flores Magón” (ubicada en Chalco, Edo. Méx), donde los docentes trataron de
hacer una planeación semanal tomando en cuenta esta reforma y basándose
en los libros de primer grado y sexto grado. Precisamente, los comentarios que
en esa reunión circulaban era que no están preparados para hablar de
competencias, ni mucho menos para aplicarlas. Expresaban su inconformidad
porque tampoco conocían el material que se les estaba entregando. Este es un
ejemplo de que a los docentes no se les prepara para ir de la mano con esta
buena o mala Reforma, por lo tanto, se convierte en una problemática mayor.
Respecto a la formación del profesor para enseñar matemáticas en nuestra
sociedad es preocupante ya que no están preparados para atender la
diversidad cultural y las diversas necesidades de los escolares.
42
Carlos Bosch, “Los libros de texto de matemáticas”, en Seminario sobre los libros de texto gratuito, El
Colegio de México, 2009.
43 SEP, Programa Sectorial de Educación 2007- 2012, México, Comisión Nacional de Libros de Texto
Gratuito 2007, pág. 23
34
En las escuelas primarias, el docente -algunas veces- no está preparado para
impartir clases y por lo tanto no tiene un conocimiento pedagógico para apoyar
al alumno a la construcción de su aprendizaje, y para no perder la tradición, el
docente sigue al pie de la página el mismo libro de texto por mucho tiempo, no
hay un panorama amplio donde el alumno pueda experimentar, tal vez el
alumno sabe o memoriza la información, pero no la comprende y no la puede
ocupar en su entorno, por lo tanto, se vuelve una enseñanza tradicionalista y
conductista.
Para E. Castro, “el profesor de matemáticas, domina los contenidos escolares,
pero este dominio se limita a recordar aquellos conocimientos que recibió
como estudiante en su momento… el dominio básico de conceptos y
procedimientos no es suficiente para enseñar matemáticas…”44
Los niños cuando entran a la escuela estudian formalmente la aritmética y se
enfrentan a un vocabulario nuevo que aprenden a manejar con mayor o menor
eficacia, según sea el comportamiento del maestro en relación con ese mismo
lenguaje. Por ello, el maestro debe cuidar escrupulosamente el lenguaje
aritmético que usa, así como emplear palabras propias para los hechos,
además asegurarse de que los niños también los manejen apropiadamente. En
matemáticas, el lenguaje y el vocabulario son no solamente importantes, sino
fundamentales, los alumnos que leen un texto de matemáticas deben ser
capaces de asimilar lo que se pretende que aprendan sin que el lenguaje les
estorbe.
Al hablar de las matemáticas nos damos cuenta que tanto para el profesor
como para el alumno resulta algo complejo, uno como el otro deberán crear
una nueva expectativa para lograr una comprensión, un procedimiento de
conceptos más precisos para que sea más sencillo al alumno tener confianza
en el estudio de esta asignatura.
Uno de los procedimientos que sugieren los profesionales de matemáticas de
gran experiencia es que la forma de trabajar sea creativa y constructiva, para
44 E. Castro, op.cit, pág. 39.
35
que los alumnos creen una nueva forma de trabajar y al mismo tiempo de
aprender.
La comunicación entre el profesor y el alumno es algo que mejorará el
aprendizaje de los problemas matemáticos. Si el profesor no explica cómo
resolver las actividades, entonces sólo confunde al alumno en su resolución, es
por eso, que el docente es quien debe manejar correctamente las matemáticas
y sus procedimientos, por lo cual es importante comprender y crear un
compromiso para mejorar y explicar actividades que estén adaptadas a la vida
cotidiana del alumno.
Si se concibe el aprendizaje como un cambio de conducta (conductismo),
cuando se produce una conducta diferente de la esperada se considera que se
ha cometido un error de aprendizaje, y se trata de poner medios para evitarlo.
Si el niño no responde como el profesor espera, significa que no hay
aprendizaje. En un salón de clase hay diversidad de procesos cognitivos, por lo
tanto, es un error creer que todos los niños pensarán de la misma manera. Es
importante que el profesor cuente con un sustento pedagógico. Y de esta
manera dar la libertad de que el alumno construya su aprendizaje.
Respecto a esto, Ana Mª Viera dice “Desde una perspectiva constructivista,
más en consonancia con la historia de esta ciencia, el conocimiento
matemático surge de un problema que hay que resolver. Ante este problema, el
matemático, valiéndose de su intuición y de sus conocimientos, plantea una
conjetura y enseña pruebas.”45
Los aprendizajes cotidianos que están desde el nacimiento son para los
pequeños algo divertido, exploran las cosas a su alrededor, pero qué sucede
cuando la educación se vuelve formal, porque los niños pierden ese interés por
45
Ana Mª Viera, Matemáticas y medio. Ideas para favorecer el desarrollo cognitivo, Sevilla, Editorial
Diada S. L. pág. 24
36
lo nuevo por explorar. Son precisamente esos problemas los que hay que
solucionar para que los alumnos despierten ese interés por las matemáticas.
Las matemáticas representan el mayor índice de reprobación en todos los
niveles educativos. Es necesario mejorar la calidad de la enseñanza de esta
asignatura y proponer las estrategias que se adapten a los diferentes estilos de
aprendizaje y contextos.
37
II.II.II.II.----MARCO CONTEXTUAMARCO CONTEXTUAMARCO CONTEXTUAMARCO CONTEXTUAL DE LA L DE LA L DE LA L DE LA EDUCACIÓN BÁSICA EN MÉXICOEDUCACIÓN BÁSICA EN MÉXICOEDUCACIÓN BÁSICA EN MÉXICOEDUCACIÓN BÁSICA EN MÉXICO
“América Latina podrá cambiar su horizonte sólo si apuesta por un
desarrollo basado en la calidad de la formación de sus habitantes y en la
calidad y confiabilidad de sus instituciones”.46
.En los últimos años se han realizado en México múltiples esfuerzos por
mejorar la enseñanza de las matemáticas en la educación básica. Esos
esfuerzos se han concretado en sucesivas reformas curriculares que han
tomado en cuenta, en menor o mayor medida, los aspectos considerados por
los matemáticos como más importantes dentro del área, las experiencias de
docentes en el nivel, y las investigaciones más recientes acerca de los
problemas de enseñanza- aprendizaje de la materia y de las maneras de
resolverlo.
Desafortunadamente, con todo y estas reformas curriculares, no se ha podido
hacer mucho en esta asignatura, en la actualidad se sigue viviendo en las aulas
el desentendimiento del alumno hacia las matemáticas.
Es importante contextualizar un poco lo que sucede en la educación, ya que
ahí comienza la construcción de un proceso de enseñanza- aprendizaje no
sólo en matemáticas, sino en todas las asignaturas del curriculum. Cuando
hablamos de educación, implica muchos factores, entre los más importantes
destaca el institucional, el cual depende una gran parte de las acciones
gubernamentales, las que en un momento dado deben ajustarse a las
necesidades actuales, es decir, a un contexto.
La visión de la educación como un proceso que ocurre a lo largo de la vida,
adquiere cada vez más relevancia. El mundo moderno exige a los individuos
46
Susana Decibe, “Educación Básica: las reformas pendientes”, Revista Iberoamericana, núm. 31, pág.
49 http://www.rieoei.org/rie31a02.PDF [consultada el 26 septiembre del 2009]
38
disposición para ampliar su conocimiento y habilidades así como una formación
más solida que vaya de acuerdo con la sociedad del conocimiento que se vive
hoy día, por ello la educación deberá tener la flexibilidad de prever y adaptarse
a esos cambios y responder oportunamente a las nuevas necesidades de esa
sociedad.
Uno de los fines de toda reforma del currículo y de los nuevos materiales, es
precisamente que los niños mexicanos adquieran una formación cultural más
sólida y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con
independencia. Cabe mencionar, que actualmente se está aplicando la primera
etapa de la reforma a los planes y programas de estudio de la educación
primaria y con esta reforma surgen críticas alrededor de los nuevos materiales
(libros de texto gratuito). Pero de esto hablaremos más adelante con más
detalle.
Se espera que las matemáticas aporten las exigencias de “la sociedad del
conocimiento”47, pero para ello se debe dar los recursos necesarios para que la
educación pueda sobresalir y dar la oportunidad al individuo de desarrollar
estas capacidades. En un sistema educativo de la magnitud del nuestro, no
parece realista creer en reformas que rápidamente vayan a transformarlo todo
para superar problemas que se vienen arrastrando desde hace años. Sin
embargo, cuando los cambios se aplican seria y sistemáticamente, mediante
orientaciones y apoyos que cuenten con una visión de largo plazo, se traducen
en individuos y sociedades cada vez mejor educadas. Los efectos profundos de
la educación no son palpables en el transcurso de unos cuantos años.
Pero se comete el mismo error de los libros de texto gratuito como lo dice C.
Bosch, si se trabaja desde las reformas ya existentes, esta sería perfectible.
47
La sociedad del conocimiento es como un estado de Desarrollo de las Sociedades o de Sectores de las sociedades que se caracterizan porque prevalece la competencia y la competitividad basadas en el
dominio del conocimiento. Se habla de una sociedad del conocimiento como un concepto en boga en
los últimos 20 o 30 años a partir de la expansión de los medios de comunicación.
39
2.1. Política Educativa
Por medio de la Política Educativa se establecen lineamientos que determinan
cambios en el ámbito educativo. Toca mencionar la Política Educativa del
sexenio de Felipe Calderón Hinojosa (2007-1012).
En el proceso para la presidencia y como se espera de cada candidato, Felipe
Calderón presento un documento llamado “Cien acciones en los primeros cien
días de gobierno”, el cuál señala algunas acciones con respecto a la
educación, entre otras, son:
Ampliar el sistema de becas educativas a través de la asignación de un
mayor presupuesto; implementar un programa de escuelas seguras;
establecer un fondo de financiamiento educativo con recursos de la
federación, estados, municipios y la sociedad sobre todo para necesidades
de infraestructura; impulsar la opción a horarios extendidos en escuelas,
hasta las 5 de la tarde; fortalecer la educación física y artística en las
primarias, 4 horas a la semana...48
En el segundo documento llamado “Transformación Educativa”, Felipe
Calderón pone énfasis en objetivos y estrategias para elevar la calidad de las
escuelas y que sean de excelencia:
Garantizar el acceso al sistema educativo en todos sus niveles
refiriéndose también a una formación de calidad, que compita con el
desarrollo tecnológico ya que el mundo en el que se vive actualmente está
en constante transformación, impulsar mecanismos automáticos de
evaluación de aprendizaje de los estudiantes, de los maestros, de las
instituciones ya que esto ayudará a mejorar la calidad educativa y que los
estudiantes “aprendan a aprender” para estar al día en la información y en
nuevos conocimientos. 49
48
Teresa Bracho, Alejandro Canales, Daniel Cortés, Mery Hamui, “Propuesta Educativa de la nueva Administración”, Observatorio Ciudadano de la Educación, pág. 7, http://www.observatorio.org/comunicados/8a3df31d2b0.pdf [consultado 20 de noviembre 2009]
49 Ibíd. Pág. 7
40
Felipe Calderón no hace grandes promesas, mucho menos da solución a
problemáticas existentes en la educación, que por su naturaleza es sabido
necesitan de largos plazos para ser resueltos.
Entre las primeras acciones anunciadas en su discurso como presidente en
funciones, Felipe Calderón habla de un plan de austeridad por parte de los
servidores públicos, y una parte de ese “ahorro” sería destinado a la educación.
Cabe mencionar que la educación no fue un tema prioritario dentro de su
campaña, sino el empleo, incluso en su momento se autoproclamó “el
presidente del empleo”.
Pero como se mencionó al principio de este apartado, sólo son lineamientos
que debieran seguirse, desafortunadamente existen diferentes factores para
que esto no se lleve a cabo en su totalidad. Uno de esos factores por
mencionar es el económico. México está entre los países que más fondos
públicos desvían y también pierde terreno en calidad educativa. Según el Foro
Económico, México sigue bajando en cumplimiento a los 20 indicadores de
competitividad entre 2007 y 2009. El índice global de competitividad del foro
explica que en calidad de la educación primaria bajó del 95 al 115. Roberto
Michel, director de la Unidad de Evaluación y Control de la Auditoria Superior
de la Federación, dependiente de la cámara de Diputados, nos describe
algunos indicadores de porqué persiste la demanda social de la mejora de los
servicios y políticas públicas.
En el ámbito de la calidad de matemáticas y ciencias, bajó de 113 a 127. La
calidad del sistema educativo, del 92 a 115, el deterioro de estos indicadores
de competitividad de México sólo refleja rezago social. “El gasto en educación
del país-que ronda 7 por ciento del PIB- se encuentra entre los mayores
niveles de las naciones industrializadas. Sin embargo, en lectura, matemáticas
y ciencias, en México están las peores calificaciones dentro de la OCDE,
(Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos.)50
50
Roberto Garduño, “México, entre los que más fondos públicos debían: Foro Económico”, La Jornada, 12 de Diciembre de 2009, pág. 13
41
En opinión del ex Secretario de Educación del Distrito Federal Axel Didriksson
en una entrevista realizada por la Revista de la Educación y Cultura donde
habla de los cambios que requiere el modelo educativo para revertir los
rezagos que ubican a México en los últimos lugares en las mediciones
internacionales, como la OCDE. El ex secretario habla de tres pilares en
especial para este cambio:
El primero es la universalización de la educación para todos los grados,
desde la educación inicial hasta la universidad, desde afuera y desde
adentro del sistema escolar... El segundo pilar es la currícula, la
organización pedagógica a través de la cual el proceso de construcción de
objetivos de conocimientos ocurre también de manera formal y no formal.
No se está cubriendo la formación de bases cognitivas fundamentales y
genéricas en la currícula de las escuelas. Lo primero que tenemos que
hacer dentro de una estrategia para modificar planes, contenidos,
programas, etcétera, es cambiar la lógica en la que está organizada la
currícula, que es rígida, directiva, autoritaria, racista, tecnocrática,
meramente lineal y acumulativa. Y el último pilar del que habla en esta
entrevista para este cambio es que no habrá reforma posible ni cambios
en el aprendizaje si no redefinimos completamente las instituciones
formadoras de profesores, si no actualizamos y creamos capacidades
distintas para el docente que hoy requerimos , que no es un docente sólo
del aula.51
2.2. Artículo Tercero Constitucional
El Artículo Tercero Constitucional nos dice que todas las personas del país
tienen derecho a gozar de una educación. "La educación que imparte el
Estado, tenderá a desarrollar armónicamente todas las facultades del ser
humano y fomentará en él, a la vez el amor a la Patria y la conciencia de la
solidaridad interna en la independencia y en la justicia".
51
Alejandro Montes de Oca, “Descentralización y Reforma Educativa, el caso del DF, La construcción de la autonomía educativa”, Revista de Educación y Cultura, agosto 2008, No. 12. pág. 14.
42
La educación que imparte el Estado como obligatoria, laica y gratuita, es la
primaria y secundaria, a partir de la Reforma de 1993. En la actualidad, no se
ha cumplido como lo marca el Artículo 3° Constituci onal, ya que existen niños
que no pueden asistir a la escuela primaria y secundaria; una de las razones es
que algunas familias, en especial la de las zonas más pobres no cuentan con
los recursos económicos para mandar a los niños a la escuela ya que esto
genera gastos de pasajes e incluso gasto de materiales escolares. Lo único
gratuito que da el Estado en las escuelas primarias son los libros de texto, todo
lo demás es sostenida por cooperaciones de los padres de familia y lo más
preocupante es que se les obliga a pagar.
El Artículo 3° Constitucional expone que la educaci ón tendrá que fomentar en
los individuos el amor a su patria dando lugar a la convivencia de los grupos
sociales que componen la sociedad. En la actualidad, se observa a los niños
que en los honores a la bandera sólo participan, porque el maestro los lleva, no
porque les interese o tengan una iniciativa personal.
2.3. Programa Sectorial de Educación 2007-2012
Éste documento ha sido elaborado tomando como punto de partida la Visión
México 2030 y el Plan Nacional de Desarrollo y en él se plasman objetivos,
estrategias y líneas de acción que definirán la actuación de las dependencias y
de los organismos federales que pertenecen a este sector52 para lograr el
desarrollo del país y que México llegue a ser fuerte y competitivo, con igualdad
de oportunidades, tanto laborales como educativas. Este documento resalta la
importancia de la calidad educativa y la equidad de género, el papel que tiene
la familia para apoyar la educación de los niños, la necesidad de la
52
Algunas organismos que participan son la Secretaria de educación Pública (SEP), Administración
Federal de Servicios Educativos del Distrito Federal (AFSEDF), Comité Administrador del Programa Federal de Construcción de Escuelas (CAPFCE), Consejo Nacional de Fomento Educativo (CONAFE), Colegio de Bachilleres (COLBACH), Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica (CONALEP), entre otros.
43
actualización del docente, la importancia de la evaluación, así como,
innovación, la aportación de las tecnologías en la educación, y sobre esto
plasma estos objetivos y estrategias.
Para Felipe Calderón “buscamos una educación de calidad, con equidad a la
cual aspiramos mediante la utilización de las tecnologías de la información y la
comunicación…Para mejorar el rendimiento escolar de los alumnos, resulta
decisiva la familia, apoyando y estimulando, transmitiendo valores y hábitos.”53
Pero hasta el día de hoy, la equidad ha sido tradicionalmente medida en
términos de cobertura y de matricula más que en resultados.
2.4.- Plan Nacional de Desarrollo 2007- 2012
El Plan Nacional de Desarrollo 2007-2012 como ya se mencionó
anteriormente, está sustentado en Visión México 203054 y tiene por objetivo el
desarrollo humano que se logrará con la transformación de un México con base
en estrategias sólidas, realistas y, sobre todo, responsables. En este
documento generado por el gobierno, contiene estrategias para mejorar las
condiciones de vida de los ciudadanos. Menciona que esto debe ser un
compromiso compartido para alcanzar la transformación del país y hace un
llamado a no dejar de lado los desafíos que este siglo exige, como son la
sociedad del conocimiento y la competitividad del mundo, entre otros.
De igual manera, en este documento se compromete a los actores políticos (el
Poder Ejecutivo, Congreso de la Unión, Legislatura de los Estados, Poder
Judicial, Gobiernos Estatales y municipales, Partidos Políticos, Organizaciones
Sociales, entre otros) a dar soluciones a los problemas que enfrenta el país,
53
Ibídem.
54 Visión 2030 es una apuesta común por un Desarrollo Humano Sustentable, una descripción del
México deseable y posible por encima de las diferencias. La imagen del país en el que deseamos vivir dentro de 23 años da sentido y contenido a las acciones que como gobierno y como sociedad emprendemos a partir de ahora.
44
como: la inseguridad, la mortalidad infantil y materna, la falta de oportunidades
educativas, el analfabetismo, el rezago educativo, y muchos más.
En este plan se escribe que los ciudadanos son la mayor riqueza del país. En
los millones de niños y jóvenes que se esfuerzan todos los días por prepararse
y continuar sus estudios y que muchas veces se ven truncados por la falta de
oportunidades para ingresar a una escuela. “La importancia de la educación
para formar una generación de mexicanas y mexicanos libres de complejos, de
tabúes, de miedos y de prejuicios…Crear una generación de ciudadanos con
una mentalidad ganadora, pero esto no es suficiente si no hay presupuesto ni
ganas para mejorar el ámbito educativo”55.
Es importante retomar este documento, para darnos cuenta qué tan importante
es la educación para el desarrollo humano y cuáles son esas estrategias que
este plasma para lograr esta transformación educativa. Menciona como
objetivos elevar la calidad educativa. Los cinco ejes del Plan Nacional van
encaminados al compromiso de un desarrollo integral de la nación y una vida
digna a los ciudadanos.
El siguiente cuadro se relaciona precisamente con esa riqueza del país,
presenta las cifras de los alumnos de educación básica, (preescolar, primaria y
secundaria) en alumnos inscritos, existencias, aprobados y egresados en la
modalidad escolarizada en el ciclo escolar 2006/2007..56
55
Plan Nacional de Desarrollo 2007- 2012. OEI. http://pnd.presidencia.gob.mx/ [consultado 16 de septiembre del 2009]
56 Se encuentra disponible para su consulta el Anuario estadístico del Distrito Federal, 2008,
http://inegi.org.mx/est/contenidos/espanol/sistemas/sisnav/default.aspx?proy=aee&edi=2008&ent=09 [consultado el 17 de Enero de 2010]
Nivel Sostenimiento
Alumnos inscritos
Alumnos existencias
Alumnos aprobados
Alumnos egresados
Preescolar 351.692 331.706 307.379 147.387
Federal d/ 244.279 228.567 207.931 108.179
45
Se puede apreciar que el número de niños que egresan son muy pocos en los
tres niveles de educación básica si lo comparamos con los niños que se
inscriben, el promedio es muy alarmante, entonces qué pasa con las
oportunidades de esos niños que no terminan y de esos niños que ni siquiera
tienen la oportunidad de inscribirse.
2.5. Reforma a la Educación Básica
Antes de adentrarnos a los contenidos de esta Reforma, conviene mencionar
los referentes de ésta, es decir, contextualizar.
El 23 de octubre del 2007, se convocó a una reunión con subsecretarios de
educación estatales. Con el propósito de revisar y analizar el documento
“Acciones para la Articulación de la Educación Básica 2007-2012”, elaborado
por la Subsecretaría de Educación Básica, y poder definir líneas de acción que
permitan impulsar y consolidar la Reforma Integral de la Educación Básica.
Las conclusiones al término de esta reunión fue revisar: a) perfil de egreso y
currículo por niveles educativos (preescolar, primaria y secundaria); b)
estrategias para la actualización de maestros y el diseño de materiales
educativos; c) nuevas asignaturas y contenidos transversales: viabilidad y
pertinencia; d) el papel de los programas y proyectos nacionales en la
articulación curricular de la educación básica.57
57
SEP Ficha Técnica,( http://basica.sep.gob.mx/reformaintegral/sitio/pdf/linea/1.pdf) [Consultado el 23
septiembre 2009]
Autónomo 369 361 245 107 Particular f/ 107.044 102.778 99.203 39.101
Primaria 981.682 944.315 932.348 156.866
Federal g/ 785.439 752.664 741.368 125.639
Particular 196.243 191.651 190.980 31.227 Secundaria h/ 507.870 474.132 399.629 127.979
Federal 430.823 399.925 330.829 105.409
Autónomo 1.966 1.966 1.145 365 Particular 75.081 72.241 67.655 22.205
46
Después se convocó a una reunión con subsecretarios de educación básica de
las entidades y se reconoce la importancia de realizar la articulación entre los
niveles educativos. La necesaria vinculación entre la Subsecretaría de
Educación Básica y las entidades federativas. Se señala insuficiente el tiempo
destinado para desarrollar los contenidos planteados en los programas de
estudio vigentes. Se destaca como una acción prioritaria la actualización
docente. Se mencionan como aspectos medulares la gestión e infraestructura
escolar, las plazas docentes y los recursos para el seguimiento en la
implementación. Se recomienda que la consulta sobre la prueba en aula
considere a todos los protagonistas.
Al término de esta reunión se llegó a la conclusión de que se comprometían a
revisar y analizar el documento “Acciones para la Articulación de la Educación
Básica 2007-2012” y enviar observaciones y sugerencias que permitieran
enriquecerlo.
Respecto a esto el presidente Felipe Calderón dijo:
Creo firmemente que la mejor vía para edificar un país distinto y mejor es
garantizar una formación de calidad en todos los mexicanos. Para
alcanzar este objetivo, sé que necesitamos una transformación profunda
del sistema educativo, una reforma en lo que hacemos que nos permita
avanzar en cinco grandes frentes al mismo tiempo.58
De acuerdo a la contextualización, podemos darnos cuenta que la educación
hoy, tiene muchas deficiencias, que hacen falta actualización a docentes para
que puedan brindar una enseñanza de calidad a los estudiantes, en apoyo a
esta enseñanza de calidad debe haber materiales educativos que cuenten con
las características propias al aprendizaje del niño, vialidad y pertenencia en
cada una de las asignaturas. Estas son deficiencias que se vienen arrastrando
desde muchos años atrás y se estaba consciente de ellas, sólo que hasta el
momento las reformas anteriores tampoco han servido para cambiarlas.
58
Sergio J. Jiménez, “Calderón define cinco puntos para la reforma educativa”, El Universal,
http://www.eluniversal.com.mx/nacion/151024.html [consultado 15 de Octubre 2009]
47
Calderón dijo que la reforma que propone deberá sustentarse en cinco puntos:
infraestructura, esto quiere decir que los docentes y alumnos deberán contar
con lugares dignos para dar clase y para cumplir con el proceso de enseñanza-
aprendizaje; acceso a tecnologías educativas de vanguardia como internet,
telefonía móvil y el uso intensivo de computadoras; vinculación de la
educación con las necesidades productivas del país, es decir, que la educación
vaya de acuerdo a las exigencias que hoy tiene la sociedad para los alumnos;
la evaluación a la educación con instrumentos eficaces y menciona como
ejemplo la prueba ENLACE; y por último la construcción de la ciudadanía, la
competitividad y recalca el profundo amor por la patria, fundado en valores.
Los tres documentos que se han mencionado con anterioridad (Art. 3, PND y
Prosedu) en conjunto hablan de estas acciones políticas, de este cambio que
se quiere en esta Reforma a la Educación Básica.
Como vimos anteriormente, el objetivo principal de el PROSEDU es “elevar la
calidad de la educación para que los estudiantes mejoren su nivel de logro
educativo, cuenten con medios para tener acceso a un mayor bienestar y
contribuyan al desarrollo nacional”, (p. 11). Y en este mismo documento se
enuncia que para llegar a este objetivo se necesitan estrategias. La primera
es “realizar una reforma integral de la educación básica, centrada en la
adopción de un modelo educativo basado en competencias, que responda a las
necesidades de desarrollo de México en el siglo XXI” (p.23).
Para que el objetivo del PROSEDU se logre y se llegue a esta reforma integral
se establece que: “Los criterios de mejora de la calidad educativa deben
aplicarse a la capacitación de profesores, la actualización de programas de
estudio y sus contenidos, los enfoques pedagógicos, métodos de enseñanza y
recursos didácticos”. Esto debe ser apoyando al docente para que se pueda
integrar de una manera rápida y efectiva a estos cambios.
“La Subsecretaría de Educación Básica, diseñó una versión del plan y
programas de estudio para educación primaria, mismo que es aplicado en una
48
primera etapa de prueba en aula, en 5 000 escuelas de las distintas
modalidades, tipos de servicio y organización, durante el ciclo escolar 2008-
2009”. 59
Para que esta reforma pueda ser un éxito es necesario enfrentar todos los
problemas de años atrás, problemas que hasta el día de hoy se han venido
arrastrando, por ejemplo, la gestión escolar, los escasos y deficientes
servicios educativos, la incapacidad de los docentes por manejar las nuevas
tecnologías, los contenidos de los libros de texto, y los nuevos retos que atañen
a la educación. Queda claro que estos no son los únicos problemas que atañen
a la educación hoy día, para superar estos problemas será necesario diseñar
estrategias y acciones, esto es lo que demanda la nuevas reforma.
En el programa de estudios 2009, se establece que: “El diseño y la puesta en
función de un nuevo currículo es un factor fundamental en la transformación de
la escuela; sin embargo, la Secretaría de Educación Pública reconoce que este
nuevo documento únicamente es un paso para avanzar hacia la calidad de los
servicios.”60
Se menciona que esta reforma puede y debe ser perfectible y para eso se hará
un seguimiento en el trabajo que cada docente tenga en el aula, de esta
manera se tendrá información sobre la pertinencia de los contenidos y su
articulación con los niveles adyacentes (primaria y secundaria), servirá también
para obtener información para saber qué apoyos necesitan los docentes para
desarrollar competencias y los aprendizajes esperados.
El programa considera que:
Mediante las estrategias de seguimiento se conocerán las implicaciones que
tiene la nueva propuesta curricular en la organización escolar. Esta
información permitirá valorar curricular y pedagógicamente la propuesta e
incorporar los cambios necesarios antes de su generalización en todas las
escuelas primarias.61
59
Programas de Estudio 2009 y Guías de Actividades, Educación Básica Primaria, Segundo Grado, Etapa
de Prueba, Dirección General de Desarrollo Curricular, Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública, pág.7. 60
Ibíd. pág. 8
61 Ibídem.
49
2.6. Competencias para la vida
En la actualidad y con la RIEB, el docente debe buscar la manera de
favorecer el desarrollo de competencias de los estudiantes para favorecer el
aprendizaje significativo, por lo tanto, es necesario que el docente conozca las
necesidades y propósitos de la educación básica en función de los
requerimientos sociales que exige el contexto. Desde este enfoque educativo,
entonces es importante diseñar estrategias didácticas en la que se deje de lado
la memorización. Pero ¿qué se entiende por competencias? Ser competente
indica tener la capacidad para aplicar un conjunto de conocimientos o
habilidades a diferentes situaciones, saber resolver problemas.
La Secretaria de Educación Pública, a fin de favorecer el trabajo del docente,
ha clasificado las competencias para la vida en cuatro grupos.
Las competencias que están agrupadas para el logro del aprendizaje son:
• la posibilidad de aprender a evaluar;
• desarrollar habilidades de pensamiento;
• integrara a la cultura escrita y matemática;
• movilizar diversos saberes socioculturales, científicos y tecnológicos
para comprender la realidad;
Para el manejo de la información se encuentran agrupadas en:
Competencias para el
aprendizaje permanente:
Competencias para el manejo de
la información
Competencias para la
convivencia y la vida en
sociedad
Competencias para el manejo de
situaciones
COMPETENCIAS
PARA LA VIDA
50
• la búsqueda, evaluación y sistematización de información;
• el pensar, reflexionar, argumentar y expresar juicios críticos;
• analizar, sintetizar y aprovechar información;
Las competencias referentes al manejo de situaciones son:
• la posibilidad de organizar y diseñar proyectos de vida;
• la consideración de aspectos económicos, académicos, afectivos.
• la iniciativa para llevar a cabo proyectos en su vida;
• administrar el tiempo, propiciar cambios y afrontar lo que se pretende.
• la toma de decisiones;
• el manejo de la frustración y la tolerancia a ella;
• plantear y llevar buen término procedimientos o alternativas para la
solución de problemas.
Por último las competencias agrupadas en la convivencia y la vida en sociedad:
• la capacidad de poderse relacionar con la naturaleza;
• las que aluden a las relaciones interpersonales;
• la aplicación de normas sociales y valores;
• la capacidad para trabajar en equipo;
• la capacidad para dialogar;
• la capacidad para tomar acuerdos, resolver conflictos;
• desarrollar sentido de pertenencia;
• reconocer y valorar la diversidad cultural y natural;
• promover una cultura de prevención y atención a la salud y al ambiente.
Partiendo ahora de lo general a lo particular, veamos las competencias que la
RIEB plantea para la asignatura de matemáticas que busca el aprendizaje por
competencias. Una competencia implica poner en juego tanto comportamientos
sociales y afectivos como habilidades cognoscitivas, psicológicas, sensoriales y
motoras que permitan llevar a cabo adecuadamente una actividad. Cuando
estas competencias están presentes en un pequeño manifiesta una
comprensión y manejo de conceptos, habilidades y actitudes en un contexto
51
determinado. Así, las competencias expresan un resultado deseable en
situaciones diversas que trascienden el contexto escolar, tienen una relación
directa con el contexto en el que se desenvuelve el alumno y se ven reflejadas
en su actuación.
A este respecto se espera que los alumnos desarrollen las siguientes
competencias:
Resolver problemas de manera autónoma. Se refiere a que los alumnos sepan
identificar, plantear y resolver problemas sin tener que depender del docente en
su aprobación, también implica que los alumnos encuentren más de una
solución a estos problemas o situaciones y cuál de esas soluciones es más
viable o eficaz.
Comunicar información matemática. Los alumnos deben saber expresar y
representar la información matemática de alguna situación o fenómeno, esto
quiere decir que deben interpretarla, para ello deben comprender el lenguaje
matemático, comprender y emplear diferentes formas de representar la
información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación.
Validar procedimientos y resultados. Los alumnos deben confiar en sus
procedimientos y por consiguiente en sus resultados, así que deben defender
sus aseveraciones objetivamente.
Manejar técnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos
y formas de representación al efectuar cálculos, con o sin apoyo de
calculadora. Es precisamente de lo que hemos hablado con anterioridad, no se
debe limitar a hacer un uso mecánico de las operaciones aritméticas; esto es
precisamente que se debe tener un buen manejo de los conceptos
matemáticos y uso de los números y de las operaciones, que se manifiesta en
la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un
problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el empleo de
procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se
requieren en un problema y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para no
llegar justo a esta mecanización es necesario que los alumnos resuelvan
variedad de problemas en distintas situaciones.
52
2.7. Plan y programas de estudio de matemáticas 1993.
“En el año escolar 1993-1994 se aplicó la primera etapa de la reforma de los
planes y programas de estudio de la educación primaria, en esta etapa el
nuevo currículo entró en vigor en los grados primero, tercero y quinto, y a partir
del año escolar 1994-1995 se aplica también en los grados segundo, cuarto y
sexto”62
También se comenzó con la renovación de los libros de texto gratuito que se
entregan año con año a las escuelas. Silvia Ruiz en su artículo La andanza de
los libros gratuitos menciona que “los libros de texto gratuito han sido un apoyo
fundamental para la educación primaria nacional que debe seguir formando
parte del compromiso estatal de proporcionar una educación gratuita,
equitativa y de calidad a todos los mexicanos, aunque considera que el debate
pendiente debe ampliarse a la necesidad de ajustar los textos a los más
recientes avances científicos”.63
Es importante mencionar el Plan y programas de estudio de matemáticas 1993.
Para poder darnos cuenta de las diferencias si es que existen entre esta
reforma de 1993 y la nueva reforma 2009 correspondientes a la asignatura de
matemáticas.
“El debate sobre los fines de la educación matemática, en general, es una
cuestión crucial para el currículo de matemáticas en el sistema educativo, en
especial, para el periodo de la educación obligatoria”64
En el Plan y programas de estudio de primaria se establece que a la asignatura
de matemáticas se le debe asignar la cuarta parte de tiempo de trabajo escolar
62
SEP, Libro para el maestro, 1994, pág. 7
63 Revista de Educación y cultura az , 50 años de libros de texto gratuitos, su futuro, un debate necesario,
Zenago editores, 2009, pág. 14
64 Ibídem.
53
en el transcurso de los seis grados y se debe procurar además que las formas
de pensamiento y representación de esta asignatura deben ser aplicados
siempre que sea pertinente en el aprendizaje de otras asignaturas, a esto le
llamamos “transversalidad”.
La orientación adoptada para la enseñanza de las matemáticas pone el mayor
énfasis en la formación de habilidades para la resolución de problemas y el
desarrollo del razonamiento matemático a partir de situaciones prácticas. Este
enfoque implica entre otros cambios, suprimir y organizar la enseñanza en
torno a seis líneas temáticas: los números, sus relaciones y las operaciones
que se realizan con ellos; medición; la geometría, a la que se otorga mayor
atención; los procesos de cambio, con hincapié en las nociones de razón y
proporción; el tratamiento de información y el trabajo sobre predicción y azar.
En palabras más simples, los programas se proponen los siguientes
desarrollos:
La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para
reconocer, plantear y resolver problemas; la capacidad de anticipar y verificar
resultados; la capacidad de interpretar y comunicar información; la
imaginación espacial; la habilidad para estimar resultados de cálculos y
mediciones; la destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo
y cálculo; el pensamiento abstracto a través de distintas formas de
razonamiento de procedimientos y estrategias.65
En su introducción, en primer lugar nos presenta a las matemáticas como un
producto del quehacer humano y que su proceso de construcción está
sustentado en abstracciones sucesivas. Establece la necesidad de que las
matemáticas sean relacionadas con el entorno del niño de manera que puedan
hacer partícipe a sus conocimientos previos y que de esta manera los niños se
interesen y encuentren significados y funcionalidad en el conocimiento
matemático, al mismo tiempo esto elevará la calidad del aprendizaje.
65
Ibídem.
54
En este apartado reafirmamos la importancia del medio en el que se
desenvuelve el pequeño y al mismo tiempo los conocimientos previos que
posee.
2.7.1 Organización general de los contenidos
La selección de estos contenidos destaca en los conocimientos que actualmente se tiene sobre el desarrollo cognoscitivo del niño y sobre los procesos que sigue en la adquisición y la construcción de conceptos matemáticos específicos.
Nos enfocaremos sólo a los contenidos de segundo grado, ya que es el grado
en que se trabajará. Como primer tema tenemos:
Los números, sus relaciones y sus operaciones
Números naturales.- Los números de tres cifras; Uso de números ordinales en
contextos familiares para el alumno; Planteamiento y resolución de diversos
problemas de suma y resta con números hasta de tres cifras, utilizando
diferentes procedimientos; Algoritmo convencional de la suma y resta, con
transformaciones; Introducción a la multiplicación mediante resolución de
problemas que implique agrupamientos y arreglos rectangulares, utilizando
diversos procedimientos; escritura convencional de la multiplicación(con
números de una cifra); construcción del cuadro de multiplicaciones y por último
Planteamiento y resolución de problemas de reparto de objetos.
Los temas restantes son:
Medición
Longitudes y Áreas.- Medición de longitudes y superficies utilizando medidas
arbitrarias; Comparación y ordenamiento de varias longitudes y áreas;
Introducción al uso de la regla graduada como instrumento que permite
comparar las longitudes.
55
Capacidad, peso y tiempo.- Uso de la balanza para comparar el peso de
objetos; Medición de la capacidad y el peso de objetos utilizando unidades de
medida arbitrarias; Comparación y ordenamiento de varios objetos y
recipientes, de acuerdo con su peso y su capacidad; Uso del calendario:
meses, semanas y días.
Geometría
Ubicación Espacial.- Ubicación; Los puntos cardinales; Representación de
desplazamiento sobre el plano.
Cuerpos geométricos.- Representación de cuerpos y objetos del entorno
utilizando diversos procedimientos; Clasificación de objetos o cuerpos
geométricos bajo distintos criterios (por ejemplo, caras planas y caras
redondas) y Construcción de algunos cuerpos usando cajas o cubos.
Figuras geométricas.- Trazo de figuras diversas utilizando la regla;
Construcción y transformación de figuras a partir de otras figuras básicas;
Clasificación de diversas figuras geométricas bajo distintos criterios ( por
ejemplo, lados curvos y lados rectos, número de lados) y dibujo y construcción
de motivos utilizando figuras geométricas.
Tratamiento de la información
Interpretación de la información contenida en ilustraciones, registros y
pictogramas sencillos; Resolución e invención de problemas sencillos
elaborados a partir de la información que aporta una ilustración e Invención de
problemas a partir de expresiones numéricas dadas.
En resumen, el primer bloque presenta un estudio detallado de los números
naturales, relación de orden y las dos operaciones básicas (suma y resta) y la
introducción al estudio de las multiplicaciones; también los números ordinales
y la resolución de problemas.
El segundo bloque corresponde al trabajo escolar de la medición y con los
sistemas métricos correspondientes, presenta el estudio de las longitudes,
superficie, capacidad, peso y tiempo.
56
El tercer bloque presenta los contenidos usuales de Geometría: figuras planas
y cuerpos geométricos; sistemas de referencia; relaciones y regularidades
geométricas.
Finalmente, el cuarto bloque presenta unos contenidos que analizan y
seleccionen la información planteada a través de textos, imágenes u otros
medios.
2.8. Programa de estudio de matemáticas, 2009
Teniendo como antecedentes las reformas de preescolar y secundaria, el
desafío actual lo representa la Reforma de la Educación Primaria. Este proceso
se ha iniciado con la elaboración de los nuevos planes y programas de estudio
y sus correspondientes materiales educativos; así también se desarrollan
estrategias de formación permanente que acompañarán al colectivo docente en
este arduo camino para reformar el currículo en su sentido más amplio.
Los contenidos con los que cuenta este programa se dividen en tres ejes
temáticos y que coinciden con los de secundaria y son los siguientes:
EJE 1.- Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de los números Números naturales.- Caracterizar a la serie numérica escrita como formada por
intervalos de 10 elementos (decenas) e identificar regularidades en la serie
numérica para interpretar, producir y comparar escrituras numéricas
Estimación y cálculo mental Números naturales.- Producir series orales y escritas, ascendentes y
descendentes de 10 en 10, de 5 en 5, de 100 en 100 y encontrar resultados de
adiciones utilizando descomposiciones aditivas, propiedades de las
operaciones, resultados memorizados previamente
Significado y uso de las operaciones
57
Problemas aditivos.- Resolver problemas de sustracción en situaciones
correspondientes a distintos significados: complemento, diferencia
EJE 2.- Forma, espacio y medida
Figuras Cuerpos.- Representar e identificar cuerpos mediante el sellado de sus caras o
con base en descripciones orales
Figuras planas.- Identificar caras de objetos a partir de sus representaciones planas y viceversa Medida Estimación y cálculo.- Utilizar la balanza para verificar estimaciones de peso
EJE 3.- Manejo de la información
Análisis de la información
Búsqueda y organización de la información.-Inventar preguntas o problemas
que se puedan responder a partir de información contenida en portadores o
imágenes.
Representación de la información
Diagramas y tablas.- Representar gráficamente situaciones.
Con el estudio de este bloque se espera que los alumnos:
1. Interpreten, comparen y produzcan números de dos cifras.
2. Solucionen mentalmente sumas de números de dos cifras.
3. Comuniquen e identifiquen, a través de descripciones orales o por medio
de dibujos, características de cuerpos geométricos.
4. Resuelvan problemas que impliquen el uso de la balanza para verificar
estimaciones de peso y analicen la relación peso-volumen.
Pero no es tarea sólo de este bloque, ya que existe una relación con otros
bloques, lo recomendable sería que se estableciera una relación entre ellos
para una mayor comprensión de estos bloques.
58
Cabe mencionar que a diferencia del Plan y Programas de estudio de
matemáticas 1993, en la Reforma de la Educación Básica 2009, se maneja la
multiplicación implícitamente en segundo grado.
En primer grado, los alumnos empezaron a resolver problemas que tienen que
ver con la multiplicación, sin conocer de manera explícita esa operación;
resolvieron, por ejemplo, problemas en los que deben establecer
correspondencias en situaciones en las que, para facilitar el conteo de
colecciones grandes, agruparon sus elementos en grupos iguales. En segundo
grado, el paso más importante que los alumnos dan, desde el punto de vista
del cálculo, es la utilización de sumas repetidas en lugar del conteo para
resolver problemas multiplicativos como los anteriores,(10+10+10=30 que es lo
mismo que 3x10=30). Es hasta tercer grado cuando ya entra como tema la
multiplicación.
De acuerdo con la SEP:
Los planes y programas de estudio de la educación básica deben admitir
contenidos, métodos y sistemas de enseñanza que atiendan a la
diversidad regional y que sean lo más pertinentes y adecuados para
alcanzar los fines de la educación. La flexibilidad debe ser uno de los
medios para lograr que todos los niños y jóvenes alcancen los beneficios
plenos de la educación básica nacional.66
Es por ello que detrás de estos planes debe haber expertos en la materia,
personas que estén comprometidas con su profesión, pero no sólo depende de
ellos, también las instituciones políticas y sociales deben estar conscientes de
lo fines que se deben perseguir.
En el siguiente cuadro, se explica de una manera muy sintetizada las
diferencias y semejanzas que existen entre el Plan y programas de estudio de
matemáticas 1993 y el Programa de estudio de matemáticas 2009.
66
SEP, Perspectivas de la educación en México hacia el año 2010, 2000, pág. 11.
59
Comparación entre:
Primaria. Plan y Programas de
Matemáticas 1993
Primaria. Plan y Programas de Matemáticas
2009
Enfoque didáctico.
Estudiar y aprende matemáticas mediante la resolución de problemas
Enfoque didáctico.
Llevar a las aulas actividades de estudio que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. Plantear el desarrollo de competencias
Propósitos.
Que los alumnos desarrollen la capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas. La capacidad de anticipar y verificar resultados. La capacidad de comunicar e interpretar información matemática. la imaginación espacial, la habilidad para estimar resultados de cálculo y medición. La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.
El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.
Propósitos. Se busca que los alumnos desarrollen una forma de pensamiento que les permita interpretar y comunicar matemáticamente situaciones que se presentan en diversos entornos socioculturales. Técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas. Una actitud positiva hacia el estudio de esta disciplina y de colaboración y crítica, tanto en el ámbito social y cultural en que se desempeñen como en otros diferentes.
Aprendizajes Esperados.
Son los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como resultado del estudio del bloque en cuestión. Se marcan al inicio de cada bloque.
Se espera que conozcan y sepan usar las propiedades del sistema decimal de numeración para interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. Utilicen de manera flexible el cálculo mental, la estimación de resultados y las operaciones escritas con números naturales, fraccionarios y decimales, para resolver problemas aditivos o multiplicativos; en el caso de éstos últimos, queda fuera de este nivel el estudio de la multiplicación y división con números
60
fraccionarios. Conozcan las propiedades básicas de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, prismas y pirámides. Usen e interpreten diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar lugares. Sepan calcular perímetros, áreas o volúmenes y expresar medidas en distintos tipos de unidad.
Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos, para comunicar información que responda a preguntas planteadas por sí mismos y por otros.
Identifiquen conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente y sepan calcular valores faltantes y porcentajes en diversos contextos.
Sepan reconocer experimentos aleatorios comunes, sus espacios muestrales y desarrollen una idea intuitiva de su probabilidad.
Ejes temáticos.
Los números, sus relaciones y sus operaciones- Medición- Geometría- Procesos de cambio- Tratamiento de la información- La predicción y el azar
Ejes temáticos.
Sentido numérico y pensamiento algebraico- Forma, espacio y medida - Manejo de la información.
Articulación.
No existe articulación en los contenidos de primaria con los de secundaria.
Articulación.
Existe una articulación con los contenidos de secundaria
Competencias matemáticas
Resolver problemas de manera autónoma. Comunicar información matemática. Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente.
61
2.8.1. Suma, resta y multiplicación
En el inicio de la formación matemática escolar, cuando niños y niñas se
incorporan a la educación básica o primaria, el sistema de numeración es el
elemento clave. Este conocimiento y su comprensión implica para los niños
tres aspectos: aprender las invariantes lógicas, aprender a dominar y utilizar los
sistemas matemáticos convencionales y aprender a ver los requerimientos
matemáticos de diferentes situaciones. El sistema de numeración es el primer
sistema matemático convencional con que se enfrentan los niños en la escuela,
y constituye el instrumento de mediación de otros aprendizajes matemáticos,
en consecuencia, la calidad de los aprendizajes que los niños puedan lograr en
relación con este objeto cultural es decisiva para su trayectoria escolar
posterior.
En una conferencia en la feria del libro llamada “Algunas estrategias
psicológicas útiles para el manejo de las matemáticas” Gilberto González Girón
habla referente a esto “Las matemáticas tienen que ver con conjuntos con
números y con las relaciones que establecen entre ellos”. Empieza por un
conjunto, esta palabra se tiene que aprender intuitivamente y con la experiencia
se reafirma, pero un niño no lo comprende. Los conjuntos se representan con
números y hay relaciones entre estos, lo que hace complicada las matemáticas
es que la cantidad de relaciones se incrementan. Primero debe aprender a
representar los números del 0 al 9 y de esta manera encontrará la relación que
hay del número al conjunto.
Desde el punto de vista infantil, el sistema de numeración ofrece numerosas
oportunidades de interacción, porque es un objeto cultural que tiene la
particularidad de estar sumamente presente en el mundo social. Para
corroborarlo basta con pensar en algunas de las situaciones cotidianas en las
que aparecen numerales: en los casos ya citados del dinero, los precios y los
teléfonos, pero también en el modo de señalar las fechas, en avisos de pago
62
de servicios y recibos de cobro; en la identificación de las casas y los
automóviles; en los relojes, las páginas de los libros y revistas, las tallas de la
ropa, las medidas del calzado, la documentación de las personas, las
indicaciones de contenido, los juegos de videos que hoy día son muy famosos
entre los niños y el precio de las mercaderías, el control remoto de la
televisión, etcétera.
Los niños poseen conocimiento de los números y su utilidad, por lo tanto, se
tomará como punto de partida para construir el significado de las operaciones.
Comprender una operación significa entender su concepto y sus aplicaciones.
Este es el fin al que se quiere llegar, si esto se llevara a cabo en el aula
entonces realmente habría un aprendizaje significativo.
La matemática debería estar más próxima a la comprensión entretenida, que a
esa idea extendida de aburrimiento y complicación con la que se suele definir
en común de los discursos de los alumnos y el recuerdo de muchos mayores.
Al respecto Feyman dice: “Si durante las primeras etapas de nuestra formación,
se nos ayuda a empezar el camino con una correcta secuenciación sobre la
que construir el edificio matemático, quizá nos queden fuerzas para ampliarlo”67
Las operaciones de sumar, restar y multiplicar son contenidos fundamentales
en la educación básica, así mismo son las operaciones que se refuerzan
durante toda la vida, son necesarias para la vida en sociedad. La aritmética que
se trabaja en escuelas primarias se ocupa principalmente de dos grandes
campos de problemas: los que se resuelven con sumas y restas y los que se
resuelven con multiplicaciones y divisiones. A lo largo de la escolaridad, los
niños deben tener la oportunidad de trabajar con problemas que le permiten
establecer relaciones entre estas operaciones. Cada problema va necesitar no
sólo que encuentren relación entre estas operaciones, sino que también sepan
interpretar estas de forma matemática (tratamiento de la información). 67
Feyman, R. P. Seis piezas fáciles, la física explicada por un genio, Barcelona, Ediciones Crítica. (1998)
63
A lo largo de primer ciclo, así como en el inicio del segundo ciclo de la escuela
primaria, es necesario asegurar que los alumnos trabajen enfrentando
problemas de adición y sustracción correspondientes a distintos significados:
agregar, avanzar, juntar, quitar, comparar, retroceder, etc., y también que
aprendan a usar estas operaciones para conocer lo que cambió, lo que se
tenía, lo que resulta después de varios cambios sucesivos, apropiándose del
carácter de operaciones inversas ( la suma deshace lo que la resta hace y
viceversa). Ya en el segundo grado el paso más importante que los alumnos
dan, desde el punto de vista del cálculo, es la utilización de sumas repetidas en
lugar del conteo para resolver problemas multiplicativos.
Los significados que los niños construyen, los procedimientos que despliegan
están fuertemente ligados a los contextos en los que trabajan. En este sentido,
cuando se incorporan, por ejemplo, situaciones ligadas a desplazamientos,
avanzar y retroceder de un tablero, en el cuadro de números los alumnos no
las suman y restan. Esta vinculación tiene que ser promovida por la enseñanza.
La suma o adición es la primera operación que surge asociada a la acción de
contar, reunir, agregar, adicionar y buscar un total. Está compuesta solamente
de tres dicciones: adición, sumandos y suma. La operación se llama
propiamente, adición, y las cantidades que van a adicionarse o reunirse se
llaman sumandos; el resultado se llama suma, es necesario que se usen
correctamente estas expresiones.
La resta o sustracción es la inversa de la suma: es la operación mediante la
cual se encuentra la diferencia que hay en dos cantidades. El resultado de la
operación, que se llama resta o diferencia, agregado a la menor de las
cantidades, produce la mayor. Las cantidades que se comparan reciben los
siguientes nombres: sustracción es la cantidad que debe ser sustraída o
quitada: minuendo es la cantidad de la cual ha de sustraerse o quitarse la otra.
La prueba de la operación, o sea su verificación, se realiza agregando la resta
al sustraendo, con lo cual se obtendrá en minuendo.
64
La multiplicación se define normalmente como una suma reiterada, pero esta
operación es más que ello. La multiplicación vincula dos cantidades de dos
referenciales diferentes, que casi siempre son heterogéneos. Se dice que la
multiplicación no es nada más una suma abreviada, es saber encontrar el
resultado de un producto, ya que lo obtienen correctamente, pero por ejemplo
cuando preguntamos ¿cuántas ruedas tienen tres automóviles?, sabemos que
por cada automóvil hay cuatro ruedas.
El resultado de una multiplicación es múltiplo de sus factores, por ejemplo si
multiplicamos 9 x 4 = 36, el número 36 es múltiplo de 9 y 4; 4 y 9 son divisores
de 36. La multiplicación está dentro de las operaciones con más dificultad de
aprendizaje, existe sólo la memorización, sin embargo, es importante analizar
qué significa saber multiplicar. El aprendizaje de la multiplicación, como
cualquier otro, se basará en los conocimientos que ya poseen los alumnos, que
en este caso, corresponderán básicamente a los de la suma. Pero también, es
importante señalar las diferencias con esta última.
¿Por qué preguntar si se puede resolver sólo con una suma o también con una
multiplicación? Porque los problemas de multiplicación pueden resolverse
también con suma, pero los de suma no pueden resolverse con una
multiplicación si los sumandos son diferentes.
65
Podemos resumir los conceptos en el siguiente cuadro:
Suma Resta Multiplicación
Agregar una cantidad a
otra por grupos con la
misma cantidad de objetos
Quitar objetos a una colección Averiguar el total de
objetos que hay en
una colección formada
La suma se define como:
"Una operación que tiene
por objeto reunir varios
números de la misma
especie en uno solo"
Los números que se
suman se llaman
sumandos y el resultado
se denomina suma o total.
El signo de la operación
de suma es una cruz ( + )
que se lee "más" y se
coloca entre los números
sumandos.
32
+ 25 Sumandos
38
95 Total
"Es una operación que tiene por
objeto hallar lo que falta a un número
para igualar a otro mayor de la misma
especie o también hallar uno de dos
sumandos cuando se conocen las
sumas y el otro sumando. "
La suma dada se llama minuendo, el
sumando conocido se llama
sustraendo y el sumando que se
busca se denomina resta o diferencia.
El signo de la resta es una rayita
horizontal ( -) que se lee "menos" y
que se coloca entre el
Minuendo y el sustraendo.
10 - 4 == 6
10 Minuendo
-4 Sustraendo
6 Resta o diferencia
En la multiplicación se
aumenta el nivel de
dificultad.
Si se escribe un
número determinado
cuatro veces
seguidas, uno debajo
del otro, y se suman
los cuatro números
iguales, se dice que la
suma es cuatro veces
ese número. En este
caso decimos que el
número original se
esta multiplicando por
cuatro y el resultado
es el producto de ese
número por cuatro.
66
IIIIIIIII.I.I.I.---- CARACTERÍSTICAS DEL NIÑO DE SEGUNDOCARACTERÍSTICAS DEL NIÑO DE SEGUNDOCARACTERÍSTICAS DEL NIÑO DE SEGUNDOCARACTERÍSTICAS DEL NIÑO DE SEGUNDO GRADOGRADOGRADOGRADO
El proceso de enseñanza aprendizaje, se encuentra ligado en estrechos
vínculos, con las leyes psicológicas y fisiológicas, es decir que, debe adaptarse
a la marcha natural de la condición psíquica y física de los alumnos. Los
períodos de crecimiento se presentan a distintos ritmos, interviniendo la
inteligencia para acelerar o retrasar este proceso, que es continuo en cada
pequeño.
El niño en edad escolar es un ser inquieto, lleno de interrogantes y deseos de
saber e investigar todo aquello que lo rodea, interactuando con su medio y
compañeros para adquirir experiencias que le ayuden a formar conceptos y al
hacerlo interactuar con el objeto de conocimiento. Se le debe ofrecer un
ambiente de confianza para que interaccione con los demás, tomando en
cuenta todas sus participaciones, logrando así un alumno analítico, reflexivo e
investigador, al cual se le proporcionen los medios adecuados a su nivel de
desarrollo y logre con esto comprender lo que es la suma, la resta y con esto
pueda adentrarse a la comprensión y el gusto por la multiplicación. De esta
manera, la apliquen adecuadamente a la resolución de problemas cotidianos.
La escuela es una institución diseñada para transmitir el conocimiento y las
habilidades que los niños necesitan para convertirse en miembros productivos
de la sociedad. Los niños pasan muchas horas en la escuela, 5 horas del día,
5 días por semana y aproximadamente 36 semanas al año, es así que la
escuela es fuente vital en el desarrollo de los niños, influyendo en sus modos
de razonar, recordar, resolver problemas y comprensión social y moral. La
escuela junto con el núcleo familiar, representan para el niño un contexto que
influye en su desarrollo.
Novelo considera que: “El ser humano es social, desde su nacimiento y se
encuentra dotado de recursos para la comunicación. Para poder sobrevivir
67
necesita de los demás por lo que desde el inicio de su vida y durante los
primeros meses irá tejiendo con las personas de su medio la trama afectiva que
le dará el sostén gracias al cual podrá explorar su mundo.”68
Los años de primaria forman parte de los más inclusivos años intermedios de
la niñez, en la que ocurren grandes cambios social e intelectual, emocional.
Esto es el proceso de asimilación para comprender el comportamiento y el
modo de pensar de los adultos. Los niños entre los seis y siete años comienzan
a operar lo que se llama conciencia, ellos saben distinguir entre el bien y el
mal, anteriormente sólo lo asociaban a un premio o elogio o un castigo. Por lo
tanto, los niños comienzan por arraigar ese sentido moral de la culpa cuando
hacen mal las cosas y sienten satisfacción cuando les sale bien.
Entre los 6 y los 12 años los niños experimentan grandes cambios, marcados
por una creciente sociabilidad, curiosidad, deseo de aprender, aspiraciones,
habilidades sociales, su vida se hace más compleja, algunos se inician en
algún deporte, -el más común es el futbol- la música, los campamentos, los
grupitos de niños para salir a jugar, etc. Todo un mundo en el cual los niños se
plantean los desafíos y enigmas que les rodea.
Para T. Arango y E. Infante “Al iniciar los siete años se encuentra dispuesto
para adquirir las bases de la lectura, la escritura y el cálculo. Desarrolla un
concepto definido de la forma, sus dibujos son los símbolos de los objetos que
lo rodean y dibuja repetidamente la misma figura humana, a un tiempo que es
capaz de copiar un rombo.”69
Generalmente los niños de primaria están ansioso por aprender, una de las
mejores cosas acerca de enseñar en la escuela es justamente que los niños
tienen una gran motivación. El problema del maestro es cómo aprovechar esto. 68
Geraldine Novelo, Conozcamos a nuestros niños, México, Editorial Paidós Mexicana, S. A. 2002.
pág.17
69 María Teresa Arango, Eloísa Infante, María Elena López, Estimulación Temprana, Actividades para
estimular el desarrollo entre 1 y 7 años, Bogotá, Grupo Dimas Ediciones, pág. 18.
68
A esta edad a los niños les gusta hablar y tienen más facilidad para el lenguaje
que para la escritura. Cuando en clase se les pregunta algo, están ansiosos
por contestar sepan o no la respuesta; el problema aquí es saber controlar las
participaciones de los alumnos. No faltará un niño que después de levantar la
mano diga una respuesta errónea. La escuela, el tiempo y el aprendizaje se
encargarán de moderar esas actividades variables.
El pequeño a los siete años acepta sin protestar el regreso a la escuela, pero
pudiera suceder que el segundo año sea un poco difícil. La maestra
desempeña un papel muy importante en la adaptación del niño, el trabajo en el
salón de clase exige la presencia de la maestra de manera constante. Para
comprender mejor el papel que juega el niño en segundo grado y con base en
esto proponer estrategias que apoyen a los docentes en la enseñanza del
pequeño, entender cómo el niño cambia a lo largo del tiempo y a qué se deben
los cambios observados, es importante mencionar su desarrollo, tomando
mayor énfasis en la edad que nos interesa, que es entre los seis -siete años, ya
que existen docentes que parecen conocer poco el grupo de edad al que
enseñan.
A los niños no se les puede hablar como a los adultos porque están
organizados psíquicamente de otro modo, tampoco son adultos en miniatura.
Hasta los seis años poseen poca contención de sus emociones, lo cual no
implica ausencia de ellas. La angustia, el miedo a la soledad, la inseguridad,
estallan con los llamados berrinches. Cuando esto ocurre, lloran, se tiran al
suelo, a veces muerden y expresan con su llanto y su cuerpo toda la ansiedad
que experimentan. A los siete años se encuentra bajo un mejor autocontrol.
Muestra menos inestabilidad y una mayor capacidad para absorber y organizar
sus nuevas experiencias culturales. Establece relaciones más firmes con sus
compañeros y sus maestros. Esta es, en sentido comparativo una fase de
absorción y asimilación. Día a día, el niño aumenta su estatura mental.
Es importante que el maestro conozca la individualidad de cada uno de sus
alumnos, su desarrollo psicológico, intelectual, socio – afectivo y motriz porque
69
es la forma en qué los pueden conocer, saber porqué piensan de determinada
forma, a que se debe determinada conducta, cómo es su interacción social,
cuáles son sus valores, sus intereses y esa es, sin duda, para algunos
docentes la meta, ya que al conocerla su labor de enseñar puede ser más
plena y al mismo tiempo pueden encontrar estrategias para su labor docente,
entre más aprenda sobre el desarrollo del niño , sabrá con más facilidad qué
nivel es el apropiado para enseñarle, es importante mencionar que los niños
como las niñas consideran emocionantes y atractivas las matemáticas cuando
se les permite hacer descubrimientos al propio ritmo del desarrollo de sus
habilidades.
El desarrollo es el resultado de la madurez neurológica y física, así como la
estimulación; de acuerdo con las diferentes etapas, los niños manifiestan
diferentes intereses, no es cualquier cambio que se produzca conforme se
alcanza la madurez. El desarrollo del niño es un proceso muy elaborado; ya
que es producto de varios procesos, si lo esquematizáramos se podrá decir
que abarca tres aspectos: biológico, cognitivo y el socio afectivo o emocional.
La dimensión cognitiva comprende la función simbólica, la construcción de
relaciones lógicas (matemáticas y lenguaje) y creatividad, es de la inteligencia y
lenguaje, es decir, cambios en el pensamiento del niño, esto le permitirá
imaginar cómo resolver algún problema matemático, que proponga un juego,
memorice un poema. Dentro de la dimensión o periodo biológico se considera:
la integración del esquema corporal, es decir, los cambios en el cuerpo del
niño, el desarrollo del cerebro, altura, peso que gana, cambios en las
destrezas motrices. En la dimensión socio afectiva se destaca la identidad
personal, la cooperación y participación, la expresión de afectos y la
autonomía, es decir, los cambios en las relaciones del niño con las personas de
su entorno, el ataque agresivo de un niño a un compañero. La dimensión social
abarca aspectos como: pertenencia al grupo, costumbres, relaciones familiares
y de la comunidad así como valores nacionales.
70
En palabras de Maier, “En un principio, la palabra desarrollo fue un término
biológico referido al crecimiento físicamente observable del tamaño o la
estructura de un organismo durante un periodo determinado… el desarrollo
alude a una integración de los cambios constitucionales y aprendidos que
conforman la personalidad en constante desarrollo de un individuo.”70
En palabras simples, desarrollar es crecer, madurar y aprender. Explicaremos
un poco más sobre estos términos.
El crecimiento se refiere por lo general a los cambios físicos, que son
cuantitativos, ya que implican adición más bien que transformación. Cambios
como el aumento de estatura o el sonido más grave de la voz, en el caso de los
niños, son claros ejemplos de crecimiento.
La maduración es un término que muy frecuentemente es utilizado para
describir cambios relativamente independientes del medio del niño. Estos
cambios, se atribuyen a predisposiciones genéticas. Sin embargo,
prácticamente en todos los aspectos del desarrollo humano existe una
interacción entre maduración y aprendizaje. Por ejemplo, aprender a caminar,
exige no sólo que la fuerza física y la coordinación muscular del niño estén
suficientemente desarrolladas, sino que también tenga la oportunidad de
practicar las diversas habilidades que este acto implica. Citando a Piaget
Dorothy Cogen menciona que “esta maduración, en parte depende del
desarrollo psicológico, en parte, es cuestión de la experiencia del niño y en
otra, cuestión de la presentación que le hagan los demás.”71
El aprendizaje es definido como resultado de las experiencias, más bien que
como un proceso de maduración. Los cambios de la conducta, resultantes de la
experiencia, son ejemplos de aprendizaje, siempre que dichos cambios no
sean en el momento en el que se ingirió cualquier sustancia que altere esa
conducta.
70
Henry W. Maier, Tres teorías sobre el desarrollo del niño: Erikson, Piaget y Sears, Buenos Aires
Amorrortu editores, , 2000. pág.11
71 Dorothy H. Cohen, Cómo aprenden los niños, México, Editorial Fondo de Cultura Económica, 2003,
pág. 157
71
Como se mencionó anteriormente, sólo describiremos el desarrollo del niño de
segundo grado, que se encuentra en los siete años, para este fin se sigue en
crecimiento continuo a través de la niñez media o intermedia
(aproximadamente de los 6 a los 11 años). Para John. W. Santrock en esta
etapa los niños desarrollan destrezas fundamentales de lectura, escritura y
matemáticas. Los logros se convierten en tema central en la vida de los niños y
hay un incremento del autocontrol, en este periodo ellos interactúan más con
el mundo más allá de su familia.72
Los años de primaria forman parte de los más inclusivos años intermedios de la
niñez, en que ocurren cambios de carácter emocional, social e intelectual, en
una corriente continua hacia la asimilación de los modos de pensar y
comportarse de los adultos. El progreso es desigual, hay muchos retrocesos, y
regularmente ocurren desgracias. Sin embargo, en este periodo, es decir, entre
los seis y los doce años, podemos ver tres impulsos generales: la primera, es
una creciente facilidad para las actividades físicas, aunque no ocurran cambios
corporales espectaculares antes de que termine el periodo, la segunda,
consiste en una inequívoca liberación de la influencia del hogar hacia una
mayor influencia de los compañeros, y un tercero, es el aumento constante de
la capacidad de pensamiento lógico, conceptualización y empleo de
simbolismo, más cercano al estilo del adulto que del niño.
Al mismo tiempo, los años de esta etapa intermedia son años en que forman el
carácter y se consolidan los rasgos de personalidad, años en los que hay un
gran interés por aprender, una enorme curiosidad.
La conducta del niño de siete años es que atraviesa prolongados períodos de
calma y de concentración, durante los cuales elabora interiormente sus
impresiones. Es una edad de asimilación, una época en que sedimenta la
experiencia acumulada y se relacionan las experiencias nuevas con las
antiguas, a esta edad el niño es un buen oyente, le encanta que le lean
cuentos, que le actúen. Los siete años son una edad agradable, están en vías
de desaparición los llamados berrinches. En lugar de hacerlos, el niño se retira
72
John W. Santrock, Psicología de la Educación, Editorial McGRAW-HILL, 2002, pág. 44
72
refugiándose en el mal humor o azotando cualquier cosa que tenga a la mano.
Inventar coartadas y acusar a los demás son rasgos comunes. La acusación
carece, por lo general de fundamentos, casi todos los niños acusan o delatan,
en un momento u otro. Eso no rompe amistades ¡al menos no entre niños!,
entre ellos parece haber un entendimiento común de que la acusación no
incluye mala voluntad hacia el acusado, en este grado la acusación no es
todavía el fenómeno antisocial que llegará a ser.
A esta edad se aprecian nuevos indicios de capacidad crítica y de
razonamiento, es más reflexivo, se toma tiempo para pensar, utiliza el lenguaje
con mayor libertad y adaptación, no sólo para establecer relaciones, sino
también para hacer comentarios, como por ejemplo: “No puedo hacer esto”, No
nos enseñaron eso”, “Creo que sé”, “Mi mamá dijo que tenía que hacerlo así”.
También hace su aparición la goma de borrar, una y otra vez borra lo que
escribe. Algunas veces el niño murmura expresiones de menosprecio hacia sí
mismo, a medida que borra y sopla su trabajo y al mismo tiempo sigue
luchando por lograr mejores resultados. Es susceptible al elogio, es sensible a
la desaprobación, hasta llegar a las lágrimas. Pero para entender mejor este
perfil, describamos cada desarrollo en el niño a esta edad.
3.1. Desarrollo físico y motor
A esta edad los niños son muy activos, pero el maestro quiere que estén
quietos, dentro del salón, lo cual algunas veces es imposible, pues la energía
es liberada en forma de hábitos nerviosos como, por ejemplo: masticar el lápiz
o color, morderse las uñas, escribir de pie y bailoteando, enroscarse el pelo.
Los niños en general, de esta edad, son por naturaleza tan activos que es difícil
para ellos estarse quietos por largos periodos de tiempo.
Una de las vertientes del desarrollo físico es el crecimiento, aunque las niñas
tienden a ser un poco más pequeñas y ligeras que los varones desde el
nacimiento hasta el final del periodo preescolar, ambos crecen a una tasa más
73
o menos igual. Pero esto, cambia en la niñez intermedia o media. Hacia el final
de la niñez media, el niño adelanta en dos de las manifestaciones más
evidentes del crecimiento: se vuelve más alto y más pesado. Durante estos
años los niños suelen tener buen apetito. Necesitan comer bien: el juego
demanda energía y su cuerpo duplicará su peso durante ese tiempo. Para
permanecer activos y crecer normalmente, los niños necesitan fuentes de
energía y proteínas. Cuando los alimentos no pueden sostener la
supervivencia y el crecimiento, este crecimiento se sacrifica para mantener el
funcionamiento del cuerpo, esto es que su crecimiento se verá truncado por su
mala alimentación.
Existen en esta etapa del crecimiento físico la desnutrición y la obesidad,
ambas perjudican el desarrollo óptimo del alumno y ambas suceden por
diferentes aspectos. La nutrición tiene implicaciones sociales los niños no
pueden jugar y permanecer alertas si no están bien alimentados. La obesidad o
exceso de peso en los niños se ha convertido hoy día en un tema importante y
este se puede deber a factores genéticos, que se alimenta más de lo
necesario y que no realice ejercicio.
La pérdida de los dientes temporales o de leche es otra de las características
de los niños de segundo. La mayor parte de los dientes que han de durar para
toda la vida aparecen en el comienzo de la infancia media o intermedia, los
dientes primarios comienzan a caer alrededor de los seis o comienzo de los
siete años y los reemplazan casi cuatro dientes permanentes durante los
siguientes cinco años.
La salud y el estado físico de los niños pueden mejorarse considerablemente,
reducir el exceso de peso, la ingesta de sal y aumentar los ejercicios aeróbicos
puede ser de ayuda, los padres, por ejemplo, pueden hacer ejercicios como
una actividad familiar, caminar o jugar futbol. Ver la tele excesivamente también
parece relacionarse con los bajos índices metabólicos en los niños, que los
pone en riesgo de subir de peso, ya que el consumo de energía al descansar
es tan bajo como cuando están en reposo.
74
La niñez media o intermedia empieza con un estado de desarrollo físico
totalmente diferente de aquel con el que termina, ya que a este le sigue la
adolescencia.
En el aspecto motor, el niño a los siete años es más prudente en su manera de
afrontar nuevos trabajos. Demuestra una nueva comprensión de las alturas. En
sus juegos al aire libre, pasa de un extremo a otro. En ocasiones, se muestra
desenfrenado, corre y hace volar un avión que el mismo construyó con papel,
en otras, se conforma con caminar e intercambiar tarjetas.
A medida que avanza el desarrollo físico general del niño, su capacidad de
respuesta motora se amplía igualmente, determinada tanto por su maduración
física, como por la oportunidad que se le da para practicar diversas actividades
como gatear, caminar, correr, saltar. Así por ejemplo, al caminar y trepar
escaleras se observa una mejor coordinación. Los pasos se hacen más largos,
más derechos y más rápidos.
El control muscular de los niños sigue desarrollándose durante esta etapa. Al
principio de este, el control de los grandes músculos es mucho mejor que el de
los músculos más pequeños, lo que explica la escritura poco elegante de
algunos de los niños de primero y segundo grado. A finales de la niñez media,
el control de los grandes músculos se ha vuelto casi perfecto y el de los
pequeños ha mejorado mucho.
Los cambios en las habilidades locomotoras, la agilidad, la coordinación y la
fuerza física son particularmente interesantes, no sólo porque manifiestan
diferencias consistentes entre los sexos, sino también porque aplican algunos
de los intereses de los niños. Por ejemplo, durante esta etapa, la fuerza física
de los varones es superior a la de las niñas, aun cuando la niña promedio es
más alta. Asimismo, los niños brincan mejor que las niñas después de los siete
años y obtienen mejores puntuaciones en las pruebas de patear, atrapar, correr
y batear. Éstas superan a aquellos en las habilidades motora que dependen de
la flexibilidad muscular, el equilibrio o los movimientos rítmicos, como los de
saltar la cuerda y algunas formas de gimnasia. Pasan de pensar en el
desarrollo del cuerpo como un todo a diferenciar e identificar cada una de sus
75
partes. Forma su propia imagen corporal. Desarrollo del equilibrio y de la
postura correcta del cuerpo. Comienza a tener conciencia de la respiración.
Toma conciencia de la independencia que tiene la mano respecto del brazo. Es
capaz de establecer la coordinación necesaria entre el ojo y la mano.
Organizan y estructuran el espacio (Su cuerpo como punto de apoyo de la
organización de sus relaciones espaciales con objetos y personas). Organizan
y estructuran el tiempo, integrando experiencias personales.
3.2. Desarrollo afectivo
Hoy en día el desarrollo afectivo, los valores, las relaciones interpersonales y la
autonomía, deben ser tomadas en cuenta en las instituciones educativas, ya
que se pretende formar un individuo íntegro, capaz de solucionar sus
problemas y relacionarse con los demás. Y. Toesca nos dice que “el prestar
atención a los demás es un rasgo típico de la edad de la razón, que va ligado a
un aumento de la sociabilidad y a un mejor control de la afectividad”73
Las relaciones entre el niño y el adulto constituyen una fuente de sentimientos
morales desde el punto de vista afectivo. Cada niño, al relacionarse con otras
personas, interioriza su propia imagen, estructura su inconsciente, conoce sus
aptitudes y limitaciones, gustos y deseos; reconociéndose a sí mismo como
diferente de los otros y al mismo tiempo como parte de un grupo, es decir, el
niño va constituyendo su identidad, una identidad que tiene connotaciones
tanto positivas como negativas, agradables o problemáticas, que serán su carta
de presentación ante otros y que, junto con experiencias posteriores le dará la
sensación de dominio, seguridad, competencia, fracaso o inseguridad.
La dimensión afectiva se refiere en su origen a los afectos de padres y
hermanos, figuras esenciales que dejan una marca determinante en el niño
para la constitución de su personalidad, donde mas adelante ejercerán su
73
Y. Toesca, El niño de 2 a 10 años, Guía Práctica para Padres, Madrid, Editorial, Aprendizaje Visor Dis,
pág. 114.
76
influencia otras personas. Ya sea a través del amor o de impulsos agresivos,
los padres desarrollan una serie de conductas y modos determinantes en la
relación del niño: el lugar que le dan en la familia, lo que esperan de él o ella, lo
que les gusta y disgusta, las formas de exigirle o no ciertas cosas de
reconocerle o no necesidades, deseos y características propias, aprobar o
desaprobar lo que hace, de disfrutar o no con él a través de contactos físicos,
cariño y juegos.
La importancia del desarrollo afectivo reside en que uno de los principales
factores de fracaso escolar se refiere a la insuficiencia de autoestima. Si bien
es cierto que el ambiente escolar es diferente al de la casa, estas
consideraciones son también válidas en la relación de los docentes con sus
alumnos. A medida que el niño crece, el medio natural y social se desarrolla y
rebasa los límites de la familia y del hogar; las experiencias y relaciones se
hacen más ricas y diversas en todos los sentidos por los afectos de personas
que antes no conocía, por los ámbitos de la sociedad y de la naturaleza que va
conociendo, su ingreso a la escuela entre otros. Si bien el núcleo afectivo sigue
siendo su padre, madre y hermanos, todo este mundo exterior de personas,
situaciones y fenómenos que se le presentan, pasa a ser objeto de curiosidad
de sus impulsos de tocar, explorar y conocer.
Es así como se va construyendo el conocimiento; el desarrollo tiene, por su
parte, una dinámica específica que no está desligada de los afectos. El
conocimiento no es ajeno a la realidad de cada individuo; está condicionado
por las personas, situaciones y experiencias del entorno. Esta dimensión
implica emociones, sensaciones y sentimientos; su auto concepto y autoestima
están determinados por la calidad de las relaciones que establece con las
personas que constituyen su medio social.
La afectividad es importante para que el ser humano se conozca a si mismo, se
forme un individuo seguro, sin temores y capaz de controlar conductas
agresivas; se puede decir que la afectividad es la capacidad y disposición que
tiene el individuo de expresar sus sentimientos a otros seres. Una afirmación
77
importante que hace Piaget con respecto al desarrollo del ser humano,
menciona Ma. Teresa Alonso, "La vida afectiva y vida cognoscitiva son
inseparables, lo son porque todo intercambio en el medio supone a la vez una
estructuración y una valoración. No se podrá razonar incluso en matemáticas
puras sin expresar sentimientos y a la inversa, no existen afecciones que no se
hallen acompañadas de un mínimo de comprensión o discriminación" 74
Teniendo en cuenta lo anterior, el docente juega un papel muy importante al
momento de favorecer el desarrollo tanto afectivo como cognoscitivo del
educando, ya que éste deberá colaborar para que las relaciones del alumno
entre su familia y miembros del la escuela sean armoniosas, permitiéndole al
alumno actuar, decidir y cooperar según sus deseos y emociones para tener
buenas relaciones entre los miembros de un determinado grupo y que de esta
manera el niño construya su propio conocimiento, interiorice los valores,
desarrolle sus aptitudes y logre ser más autónomo.
La afectividad juega un papel fundamental en el desarrollo de la vida humana:
mediante ella nos unimos a los otros, al mundo y a nosotros mismos. Este
sentimiento aparece en las conductas más elementales de la vida y se va
volviendo más compleja según nos elevamos en la escala.
3.3. Desarrollo intelectual
Sin olvidar que mientras el físico evoluciona, el niño también está creciendo en
otros sentidos. Piaget considera que puede definirse el desarrollo intelectual
como la progresiva adaptación del niño a su medio ambiente, que se efectúa
mediante la asimilación75 y la acomodación76 y se refleja en una serie de
etapas evolutivas.
74
Ma. Teresa Alonso Palacios. "La afectividad en el niño". Edit. Trillas. México 1988 pág.12
75 ASIMILACIÓN.- acto de incorporar objetos o aspectos de los objetos a las actividades aprendidas con
antelación. En cierto sentido, asimilar es adquirir o usar algo ya aprendido; dicho en forma simple, es el ejercicio de las respuestas ya aprendidas.
78
Eugenio González menciona que: “Puede considerarse como una etapa en la
que se producen muchos cambios cognitivos, convirtiendo al niño en un tipo de
pensador diferente al de etapas anteriores…”77
Piaget, biólogo antes de dedicarse a estudiar psicología, descubrió la
existencia de un proceso básicamente evolutivo del crecimiento de los niños en
su capacidad de pensar. Descubrió que aprendían a comprender conceptos
de espacio y tiempo, de realidad, de relaciones entre causa y efecto, de moral,
de probabilidad, números y medida, en una serie de etapas.
Según Piaget, entre los cinco y los siete años de edad, los niños entran en la
etapa de las operaciones concretas cuando pueden pensar con lógica acerca
del aquí y el ahora. El niño llega a esta etapa luego de pasar por la
sensoriomotriz (del nacimiento a los 2 años) y por dos subperiodos
preoperacionales, el del razonamiento preconceptual (de los 2 a los 4 años) y
el del pensamiento intuitivo (de los 4 a los 7 años). Hacia el final de la etapa
intuitiva, su pensamiento es egocéntrico, intuitivo y está regido por la
percepción. Con la llegada del periodo del razonamiento concreto, muchas de
estas deficiencias desaparecerán y serán remplazadas por un tipo de
pensamiento más lógico.
En la tercera etapa de Piaget, los niños pueden pensar operacionalmente, es
decir, pueden utilizar símbolos para llevar a cabo operaciones: actividades
mentales, en sentido contrario a las actividades físicas que fueron la base de la
mayor parte del pensamiento inicial. Aunque en la etapa per operacional los
niños pueden hacer representaciones mentales de objetos y eventos, que no
se presentan de inmediato, su aprendizaje aún se halla en estrecha relación
con la experiencia física. En la etapa de operaciones concretas los niños son
mejores que los de nivel pre operacional para clasificar, trabajar con números,
manejar conceptos de tiempo y espacio, y distinguir la realidad de la fantasía.
76
ACOMODACIÓN.- modificación de una actividad o capacidad que ya posee el niño con el fin de adaptarse a las exigencias del entorno. La descripción de Piaget del desarrollo sostiene que la asimilación y la acomodación son los medios por los que el individuo se relaciona y adapta al mundo.
77 Eugenio González, Ana C. Muñoz, Adolfo Sánchez, Psicología del ciclo vital, Madrid, Editorial CCS,
2000.
79
Durante la etapa de las operaciones concretas, como ya se mencionó
anteriormente, el niño adquiere tres capacidades concomitantes: la capacidad
de clasificar, de ordenar por series y de entender el concepto numérico.
Explicaremos un poco a que se refieren estas capacidades:
Clases. Primero, aprender a manejar clases, logrando la capacidad de
comprender la inclusión de clases y de razonar acerca de la combinación y
descomposición de estas. Por ejemplo, es poco probable que un niño de 8
años cometa un error cuando se le pide que decida si hay más estrellas
blancas y estrellas negras, y algunas son grandes mientras otras son
pequeñas. ¿Cuántos tipos de estrellas hay?
El uso de la multiplicación para contestar la pregunta, ilustra las habilidades de
clasificación de los niños durante el periodo de operaciones concretas, basta
multiplicar el número de colores por el número de tamaños. Ejemplo:
Estrella blanca Estrella negra
Estrella grande
Estrella pequeña
Ordenación. Ordenar es una secuencia. La tarea de ordenación ideada por
Piaget presenta a los niños una serie de objetos (por ejemplo muñecos, cada
uno de tamaño diferente, para que puedan ser fácilmente dispuestos del más
grande al más pequeño).
Grandes, estrellas blancas
Grandes, estrellas negras
Pequeñas, estrellas blancas
Pequeñas, estrellas negras
80
Número. Comprender este concepto también hace posible entender el de
número de manera más completa, porque las propiedades ordinales de los
números dependen de conocer la ordenación. De igual manera sus
propiedades cardinales dependen de la clasificación. Los adultos dan por
sentado el hecho de que un numero existe por abstracción, es decir, si un
número cuatro, seis o diez se utiliza para describir una cantidad de objetos,
personas o monedas; referirse a un lugar como una calle, una casa o un canal
de televisión; si los números que están en los relojes o se dan para referirse a
los días o años para indicar un momento en el tiempo, pero el número mismo
no es la casa, ni el canal de televisión, ni el reloj, ni nada que sea tangible o
real. El número existe en nuestra mente, separado de toda relación particular y
temporal con cantidad, distancia, tiempo o espacio. Los adultos saben eso,
pero nunca le dedican un tiempo, como cosa natural suponen que los niños ya
lo saben, ellos no lo comprenden, es decir, antes de una cierta etapa de su
desarrollo y esa etapa es la ya expuesta anteriormente.
Piaget nos dice que siempre debe concebirse la conducta cognoscitiva
humana como una combinación de las cuatro áreas siguientes: experiencia,
maduración, transmisión social y equilibración.
81
La experiencia.- Para el desarrollo de las estructuras cognoscitivas resulta de
vital importancia el hecho de que el niño viva experiencias en que manipule los
objetos físicos. Al mismo tiempo, propiciar experiencias en que el niño viva
situaciones que lo acerquen a otro tipo de objetos de conocimiento, por
ejemplo: acceso a materiales escritos como el juego, que lea o escriba aunque
no lo domine aún, propiciar actividades para que por si solo descubra con el
apoyo de objetos la correspondencia uno a uno, etc.
Maduración.- Al hablar de maduración ha trascendido la idea de que el
desarrollo cognoscitivo depende mucho de la maduración neurológica. Sin
embargo, aunque ésta es muy importante se sabe que la gran cantidad de
conocimiento del sujeto no los habría adquirido sólo con la maduración
neurológica como el lenguaje, las normas sociales de convivencia, la
estimulación del pensamiento lógico matemático, etc.
En apreciación de Maier, “su teoría del desarrollo cognoscitivo descansa en
una cadena de supuestos que hallan explicación en dos aspectos diferentes de
su teoría del desarrollo: primero, crecimiento biológico apunta a todos los
procesos mentales como continuación de procesos motores innatos; y
segundo, en los procesos de la experiencia el origen de todas las
características adquiridas, el organismo descubre la existencia separada de lo
que experimenta. En otras palabras, no es tanto la maduración como la
experiencia lo que define la esencia del desarrollo cognoscitivo”78
Transmisión social.- La información que el niño recibe ya sea a través del
lenguaje o con fines educativos por un adulto, le resulta valiosa y de interés
sólo si esa información es significativa y sus estructuras previas están
presentes, sólo así será comprendida. De esta manera, se dará cuenta el
profesor que un niño de segundo grado de primaria, no podrá resolver, ningún
problema de suma, resta o multiplicación si antes no operó con objetos
concretos, para llegar a este nivel tuvo que interactuar con su medio y haber
78
Ibíd, pág. 101
82
pasado por un largo proceso seguido a través de toda su vida, esto es, la
experimentación.
La equilibración.- Piaget habla de dos procesos que simultáneamente impulsan
la estructuración del pensamiento y el aprendizaje: por una parte está la
resistencia al cambio y, por otra, la necesidad del mismo. El primero conduce a
la estabilidad, y el otro al crecimiento, lo que conocemos como asimilación y
acomodación que anteriormente ya hablamos de ello. Con la combinación de
los dos procesos anteriores se alcanza paulatinamente estados superiores de
equilibrio y de comprensión que van estructurando los esquemas79 intelectuales
cada vez más amplios y más complejos.
En el desarrollo cognitivo aparece un notable progreso de la capacidad de
abstracción, que les permite representar aspectos cada vez más amplios y
variados de la realidad. Aunque, no obstante, es necesario tener en cuenta que
a pesar de utilizar representaciones, siguen apegados a la realidad, por lo que
es fundamental, todavía la experiencia directa para facilitar los aprendizajes. Es
por ello que la experiencia es parte importante de este desarrollo.
En el siguiente cuadro se resumirán los periodos según Piaget.80
79
Esquema.- Es un concepto o marco de referencia que existe en la mente del individuo para organizar
o interpretar la información.
80 Carlos Gispert, Psicología del niño y del adolecente. Barcelona, Océano multimedia, pág. 55.
83
Estadio
Edad
aproximada
Conductas características
Sensoriomotor Dos años Evoluciona desde los reflejos simples a los hábitos
simples, y después a conductas más complejas que
incluyen coordinación entre percepción y movimiento.
Desarrollo del concepto de pertenencia del objeto.
Preoperacional De dos a
siete años
El niño desarrolla el lenguaje, juegos imaginativos, así
como habilidades perceptuales y motrices. Sin embargo, el
pensamiento y el lenguaje están reducidos, por lo general,
a sucesos concretos. El pensamiento es egocéntrico y
carece del concepto de conservación.
Operaciones
concretas
De siete a
doce años
El niño realiza tareas lógicas que incluyen la conservación,
reversibilidad y ordenamientos. Los conceptos temporales
se hacen más realistas. Sin embargo, el pensamiento está
aún limitado a lo concreto.
Operaciones
formales
A partir de
doce años
Puede manejar problemas lógicos que contengan
abstracciones. Se resuelven problemas hipotéticos
<<como si>>. Los problemas matemáticos y científicos se
resuelven con forma simbólica.
84
3.4. Marco teórico
3.4.1. Piaget y su teoría del juego
El juego es de gran utilidad para reafirmar las experiencias. Oscar A. Zapata
menciona que los “niños obtiene el mayor numero de experiencias y
aprendizajes espontáneos, por el juego. Por lo que el juego resulta un
instrumento operativo ideal para que el maestro realice aprendizajes
significativos en sus alumnos”81
Etimológicamente procede de la voz latina “iocus”, que significa, acción y
efecto de jugar, “siendo su derivación semántica la que corresponde a diversión
o ejercicio recreativo sujeto a ciertas reglas”.82
El juego es el medio por la que el niño proyecta el mundo en el que vive, es
una manera en la que se expresa, el niño juega constantemente y sus juegos
se relacionan con sus vivencias.
En su obra, Piaget nos ha explicado la relación del juego con las distintas
formas de comprensión del mundo que el niño tiene. Así hoy sabemos que la
acción lúdica, supone una forma placentera de actuar sobre los objetos y sobre
sus propias ideas, de tal manera que jugar significa tratar el funcionamiento de
las cosas. Las reglas de los juegos suponen una expresión de la lógica con la
que los niños creen que deben regirse los intercambios y los procesos
interactivos entre los jugadores.
Piaget, menciona que el juego es interesante para el niño y él aprende. A los
niños hay que mostrarles algo atractivo, interesante y estarán atentos en clase,
81
Oscar A. Zapata, Aprender jugando en la escuela primaria. Didáctica de la Psicología genética, México
Editorial, Pax, 1995. Pág. 63
82 Rafael Bravo, Emilio Fernández, Rafael Merino, El juego: medio educativo y de aplicación a los bloques
de contenido, Editorial, ALJIBE, 1999, Pág. 21
85
el juego les encanta pero aplicando un tema para aprovechar ese interés es
mejor. Les permitirá desenvolverse, ver lo real, a través del juego tendrá la
noción de seguir aprendiendo. “La teoría psicogenética considera el juego
como condición y expresión del desarrollo infantil, cada etapa evolutiva está
indisolublemente ligada a cierto tipo de juegos”83
Piaget Clasifica el juego de acuerdo con su teoría de la siguiente manera:
• Juegos de ejercicio -periodo sensorio-motor.
• Juego simbólico -entre los 2-3 y los 6-7 años.
• Juegos de reglas -6 años a la adolescencia.
El juego de ejercicio , consiste en repetir actividades de tipo motor que
inicialmente tenían un fin adaptativo pero que pasan a realizarse por el puro
placer del ejercicio funcional y sirven para consolidar lo adquirido.
El juego simbólico , se caracteriza por utilizar un abundante simbolismo que
se forma mediante la imitación (papá, mamá, maestro, etc.) el niño reproduce
escenas de la vida real, modificándolas de acuerdo con sus necesidades. Los
símbolos adquieren su significado en la actividad: los trozos de papel se
convierten en billetes para jugar a las tiendas, la realidad a la que está
continuamente sometido en el juego se somete a sus deseos y necesidades.
La importancia del juego de representaciones para el desarrollo del niño es
enorme, favorece mucho las interacciones sociales y sirven también para la
resolución de conflictos, al permitir expresarlos de una forma simbólica.
Mientras va conociendo el mundo y las personas que le rodean, construye su
propia personalidad y su individualidad.
El juego de reglas se distingue porque los jugadores deben respetar las reglas
y éstas son las que determinan quién es el que gana el juego, esto no se
considera en el juego simbólico, estos juegos tienen una gran complejidad y las
reglas deben establecer no solo cuáles son las acciones permitidas dentro del
83
Ibíd. Pág.55
86
juego, sino también, quién es el que empieza, cómo se termina, quién gana, así
como la resolución de las situaciones en las que se puede producir un conflicto
entre los jugadores. Juegos como las rondas, las canicas o los juegos de mesa
son ejemplos en los que las reglas determinan el tipo de actividad que se
puede realizar.
Piaget enfatizó que los pequeños aprenden mejor cuando son activos y buscan
soluciones por sí mismos. Se oponía a los métodos que trataban a los niños
como entes pasivos.
3.4.2. Vygotsky y su teoría sociocultural
Al igual que Piaget, Vygotsky pensaba que los niños construían de manera
activa su conocimiento. Vygotsky consideraba que el medio social es crucial
para el aprendizaje, pensaba que lo produce la integración de los factores
social y personal. El entorno social influye en la cognición por medio de sus
“instrumentos", es decir, sus objetos culturales (tecnología, autos) y su lenguaje
e instituciones sociales (iglesias, escuelas). Para Vygotsky, el lenguaje es una
herramienta muy importante, ya que ayuda a entender el funcionamiento
cognitivo, y estas herramientas se originan en el marco de las relaciones
sociales y las actividades culturales, como ya se había mencionado, el
desarrollo del niño es inseparable de este marco.
Para Vygotsky, la cultura es el determinante primario del desarrollo individual.
Los seres humanos somos los únicos que creamos cultura y es en ella donde
nos desarrollamos, y a través de la cultura, los individuos adquieren el
contenido de su pensamiento, el conocimiento; más aún, la cultura es la que
nos proporciona los medios para adquirir el conocimiento. El creía que el
desarrollo de la memoria, la atención y el razonamiento implicaba aprender a
usar las invenciones de la sociedad, como el lenguaje, los sistemas
matemáticos y estrategias de memoria.
En palabras simples, para Vygotsky el funcionamiento cognitivo tiene orígenes
sociales, sostenía que todo niño, en cualquier dominio, posee un “nivel de
desarrollo real” que es posible evaluar examinando su individualidad, y un
87
potencial inmediato de desarrollo dentro de ese dominio84 y a esa diferencia
la llamaba Zona de Desarrollo Próximo y que no es más que la posibilidad que
tienen los individuos de aprender en su entorno social e interactuando con los
demás. El conocimiento de cada individuo y la interacción con los demás
posibilita el aprendizaje, y mientras más frecuente y productiva sea la
interacción, nuestro conocimiento será más amplio y rico. Esto es, por ejemplo,
la dificultada que un niño tiene para realizar una tarea solo, pero que se les
puede facilitar con la ayuda de un adulto o de otros niños que se les facilite la
comprensión del tema.
Al respecto Luis Moll expresa: “se ha demostrado que la interacción con un par
más capacitado es sumamente eficaz para inducir el desarrollo cognitivo.85
Trabajar en la zona de desarrollo próximo, requiere mucha participación
guiada, los niños no adquieren pasivamente el conocimiento cultural, puesto
que aportan sus propias luces a estas relaciones, y construyen sus significados
integrándolas a sus experiencias en el contexto.
Otro concepto importante dentro de la teoría de Vygotsky es el andamiaje, que
se refiere al proceso de controlar los elementos de la tarea que están lejos de
las capacidades del estudiante, de manera que pueda concentrarse en dominar
los que puede captar con rapidez86. Esto es, que el andamiaje es una técnica
para cambiar de nivel de apoyo, durante una sesión se cambia por un profesor
o alumno más capacitado que se ajuste al nivel de desarrollo del niño,
conforme las competencias del niño aumenta, se cambia al profesor o
compañero que le este brindado ayuda por otro con un nivel más alto, se utiliza
como una analogía con los andamios de la construcción, ya que estas son de
ayuda para apoyar al constructor a un mayor alcance.
A través de la teoría sociocultural de Vygotsky se pretende dar sustento a
nuestro trabajo de investigación porque el niño a través del juego empieza a
84
Luis C. Moll, Vygotsky y la educación, connotaciones y aplicaciones de la psicología socio histórica en la
educación, Buenos Aires, Editorial Aique, 2003, pág. 189
85 Ibíd. Pág. 191.
86ibídem
88
interactuar con otros miembros de su misma cultura, por mas insignificante que
sea su comportamiento el pequeño ya esta emitiendo actitudes y valores de
socialización. Para Vygotsky, el aspecto social era vehículo que permitía ese
interactuar entre niños cuyos intereses lúdicos ponían de manifiesto los grados
de desarrollo cognitivo.
3.4.3. La teoría de Ausubel
Retomo esta teoría del autor porque considero que es la más pertinente, al
abordar el aprendizaje con la perspectiva de que el individuo va construyendo
su conocimiento, tomando en cuenta los conocimientos previos y su contexto;
por ejemplo, lo que aprenden en el hogar, o en otros espacios.
Ausubel recalca en esta teoría que el alumno construye su aprendizaje
mediante la interacción entre los nuevos conocimientos y los conocimientos-
previos. Es importante tomar en cuenta los saberes previos, para que esto se
desarrolle con base en las cosas que conoce el alumno.
Desde un enfoque constructivista, se considera que las matemáticas están
formadas por un conjunto de nociones, elementos y relaciones; sistemas
relacionales que se influyen mutuamente. La complejidad con la que el niño
adquiere tal conjunto no es siguiendo un orden total o lineal, sino progresivo. A
tal orden se le ha denominado aprendizaje por aproximaciones sucesivas.
Ausubel estableció el término de aprendizaje significativo para asentar la
diferencia con el aprendizaje memorístico y repetitivo. El concepto de
aprendizaje significativo se ha desarrollado hasta constituirse en parte esencial
de la concepción constructivista del aprendizaje escolar. Margarita Gómez
menciona al respecto: “Aprender significativamente quiere decir poder atribuir
significado al material objeto de aprendizaje”87.
87
Margarita Gómez, Palacio Margarita y otros. El niño y sus primeros años en la escuela, México, Biblioteca para la Actualización del Maestro. CONALITEG. 1995. Pág. 60
89
Un aprendizaje es funcional cuando una persona puede utilizarlo en una
situación concreta para resolver un problema determinado y además, que tal
utilización pueda extenderse para abordar nuevas situaciones que permitan
realizar nuevos aprendizajes.
Lo que se aprende significativamente es memorizado significativamente. La
memorización se da en la medida que lo aprendido ha sido integrado en la red
de significados.
El aprendizaje significativo es posible siempre y cuando el alumno tenga una
actitud favorable a su realización. Implica una actitud cognoscitiva compleja,
seleccionar esquemas de conocimiento previo pertinentes, aplicarlos a la nueva
situación, revisarlos y modificarlos, establecer nuevas relaciones, etc. Ello
exige que el alumno esté suficientemente motivado para enfrentar las
situaciones y llevarlas a cabo.
El maestro debe aprovechar cada acontecimiento que despierte interés en los
niños. Debe tener suficiente libertad para hacer flexibles sus programas y
adaptarlos al interés de los niños.
3.4.4. Enfoque constructivista
Este trabajo tiene una orientación constructivista, ya que esta teoría considera
al sujeto en gran parte por representaciones, procesos internos que el ha
elaborado como resultado de las relaciones previas con su entorno físico y
social. Y de acuerdo a lo anterior, es importante saber aprovechar los
conocimientos previos de los niños, ya que son la base para poder acceder a
los nuevos conocimientos.
Además no debemos olvidar que uno de los propósitos fundamentales de las
matemáticas, es la identificación y solución de problemas; en este caso el tema
es la aritmética básica, es el soporte para comprender procedimientos más
avanzados.
90
3.4.5. Enfoque teórico de resolución de problemas
Mediante la resolución de problemas se pretende que se activen en el
alumnado una serie de estrategias y procesos mentales que tienen más
relación con la creatividad y la curiosidad que con la aplicación mecánica de
fórmulas determinadas. Con esto se busca un aprendizaje, donde el profesor
sea el mediador entre los conocimientos de sus alumnos y el saber disponible.
Pero ¿Qué es un problema? Los problemas son situaciones que surgen en
cualquier momento de nuestras vidas y que se debe enfrentar con una actitud
favorable para poder encontrar una posible solución. “Un problema es
conceptualizado como una situación que nos hace pensar, así de simple”.88
La actividad de resolver problemas ha sido considerada como un elemento
importante en el desarrollo de las matemáticas y en el estudio del conocimiento
matemático. En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas
van ganando confianza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una
mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su capacidad de
comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de
pensamiento de más alto nivel.
Se debe de reconocer que el resolver problemas, es una actividad cotidiana
que todo ser humano vivimos sin darnos cuenta en el momento que la estamos
realizando y es muy esencial en el desarrollo y aprendizaje de las matemáticas.
Por ello es necesario salir del salón, ir a la tienda, centro comercial, adonde
venden la artesanía ya cualquier lugar que vayamos para que sepan que
siempre encontraremos problemas matemáticos.
La resolución de problemas es el medio por el cual el individuo se vale para
encontrar respuesta a una o varias preguntas iniciales, empieza con la
confrontación, emplea los conocimientos que tiene acerca del problema
88
Eduardo Mancera, Saber matemáticas es saber resolver problemas, la enseñanza de la matemática a
través de la resolución de problemas, Grupo editorial Iberoamérica, México, Pág. XVI.
91
(antecedentes, conocimiento o experiencias previas), hace uso de la
comprensión y pone en práctica habilidades dentro de una situación que no le
es familiar al principio concluyendo cuando se ha obtenido una respuesta
acorde a la situación inicial.
3.4.6. George Polya y Schoenfeld
Polya consideraba que el profesor tiene en sus manos la llave del éxito ya que,
si es capaz de estimular en los alumnos la curiosidad, podrá despertar en ellos
el gusto por el pensamiento independiente; pero, si por el contrario dedica el
tiempo a ejercitarles en operaciones de tipo rutinario, matará en ellos el interés.
Es necesario crear en clase un ambiente que favorezca la investigación, el
descubrimiento, la búsqueda, la desinhibición- cuando se trate de plantear
preguntas o dudas -, el respeto a los compañeros, las actitudes de
colaboración… etc. Más que enseñar a los alumnos a resolver problemas, se
trata de enseñarles a pensar matemáticamente, es decir, a que sean capaces
de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones y, en
este sentido, los propios problemas serán las "herramientas" que les llevarán a
ello.
George Polya describe cuatro pasos para la solución de un problema89:
• Comprender el problema
• Concebir un plan
• Ejecución del plan
• Visión retrospectiva
Comprender el problema se refiere a conocer la incógnita y los datos que
presenta el problema. Conocer cuál es la condición y si está es necesaria para
conocer la incógnita. La comprensión lectora está claramente implicada en
esta fase, lo que supone el manejo de un vocabulario específico de contenido
matemático.
89
George Polya, Como planear y resolver problemas, Editorial Trillas, 1978, Pág. 19
92
Está primera fase, requiere que el alumno realice la lectura del problema en
forma comprensiva. Establezca que es lo que se le pide y cuales son los datos
del problema.
Concebir un plan se refiere a si ha visto un mismo problema planteado de una
manera ligeramente diferente o semejante, conocer algún teorema que le
pueda ser útil. Qué mire la incógnita con atención y traté de recordar un
problema que le sea familiar o que tenga la misma incógnita. Si no puede
resolver el problema traté de resolver alguno similar.
Ejecución del plan se refiere a ejecutar su plan de solución, al idear un plan se
determina que operación u operaciones se seguirán y será necesario que se
compruebe cada uno de los pasos.
Visión retrospectiva se refiere a que una vez encontrada la solución se debe
revisar y discutirla. En la verificación es preciso preguntarse y si en la solución
obtenida se puede verificar el resultado y el razonamiento, sé se puede
obtener el resultado de diferente manera y si el procedimiento se puede aplicar
a otro problema.
Estos cuatro pasos, que se conciben como una estructura metodológica,
podrían aplicarse también a problemas incluso no matemáticos de la vida
diaria.
El seguimiento del proceso de resolución de Polya permite discriminar errores
en los estudiantes, o bien evaluar dificultades. La consecución de estos pasos
permite que el alumno no sólo desarrolle sus habilidades de pensamiento, sino
que también construya un pensamiento independiente.
93
Schoenfeld quién reflexiono sobre los aspectos que intervienen en la
resolución de problemas y menciona cuatro aspectos que influyen
decisivamente en la resolución de problemas:90
• Los recursos (que se refieren a los contenidos matemáticos).
• La heurística (es decir, las estrategias que se poseen).
• El control (no basta poseer conocimientos y estrategias, es necesario
saber cuando y como utilizarlas).
• El sistema de creencias (las concepciones que se poseen sobre las
matemáticas, sobre sí mismo, etc.).
Estás aspectos permitieron avanzar en la elaboración de planteamientos
didácticos, pero aún falta mucho por hacer.
Por otra parte en la resolución de problemas pueden presentarse dos tipos de
situaciones diferentes:
1. El primero es que se conozca el problema y la manera de resolverlo
mediante la aplicación de una sucesión fija de procedimientos, llamados
procedimientos algorítmicos91.
2. Cuando se comprende el problema y no se conozcan los pasos para
solucionarlos. Será necesario recurrir a experiencias pasadas y
conocimientos previos que permitan encontrar estrategias útiles para su
resolución; estos son los llamados procedimientos heurísticos92.
Los procedimientos según Monereo son entendidos como un conjunto de
acciones ordenadas y finalizadas, es decir, dirigidas a la consecución de una
meta.
Citando a Valls, Monereo establece criterios para los procedimientos: 90
Ibídem. Pág. 5
91 Procedimiento algorítmico son procesos establecidos, mecánicos, es decir los pasos para darle
solución a un problema ya están prefijados y se llega a un resultado seguro.
92 Procedimientos heurísticos son cuando los procesos y tienen un grado de variabilidad, son estrategias
de decisión, fruto de la experiencia o de la práctica.
94
• Número de componentes que se requieren para llegar al objetivo.
• Grado de libertad que queda a la hora de decidir sobre las operaciones
que hay que realizar.
• Características de la regla que sustenta el procedimiento o el tipo de
menta al que van dirigidos.
Estos procedimientos determinan el quehacer matemático y los alumnos
deben aprender a tomar iniciativas y saber con qué recursos cuentan para
resolver problemas, saber que se pueden equivocar, pero pueden volver a
intentar, buscar diferentes soluciones para los problemas que se les presenta.
3.4.7. Inteligencias Múltiples
Existen niños que tienen talento para resolver problemas matemáticos y hay
otros a los que se les complica, de la misma manera hay niños a los que se les
facilita hacer movimientos corporales y otros no, unos a los que se les facilite
escribir, entonces ¿cuál de todos estos niños es más inteligente?
En este apartado se hablará de las inteligencias múltiples, es importante
mencionarlas porque todos los niños piensan de diferente manera y tienen
intereses y aptitudes diferentes, por lo tanto, es imposible concebir una
enseñanza con las mismas estrategias o enfoque esperando lograr el mismo
aprendizaje significativo en todos. Las inteligencias múltiples permiten que
cada docente haga un diagnóstico para saber cuántas y que tipos de
inteligencias hay en el aula y de esta manera seleccionar en qué tipo de
estrategias o modelos educativos puede apoyarse para obtener este
aprendizaje esperado.
Howard Gardner realizó un estudio sobre el potencial humano y su realización,
este autor se proponía llegar a un enfoque del pensamiento humano que fuera
más completo y más amplio. Pocos años después presentó su teoría de las
inteligencias múltiples, donde dice que no hay sólo una forma de aprender,
95
percibir, procesar, representar, comunicar la información y conocer al mundo,
si no muchas, tal vez existan personan que destaquen algunas formas de
inteligencia más que otras personas, que puedan desarrollar mejor su
potencial, “si bien la mayoría de las personas cuenta con la totalidad del
espectro de inteligencias, cada individuo revela características cognitivas
particulares”93
Para Gardner, la inteligencia no es otra cosa que la capacidad de resolver
problemas de la vida, generar nuevos problemas para buscar solución y la
capacidad de elaborar productos, ofrecer un servicio de valor en un contexto
comunitario cultural.
Y plantea ocho tipos de inteligencia, las cuales se explicarán brevemente.
Comenzaremos por mencionar la inteligencia interpersonal, ya que está
presente en todas los tipos de conocimiento. La inteligencia interpersonal es
aquella habilidad para comunicarse con otras personas, teniendo en cuenta su
estado de ánimo, para escuchar y acompañar. Esta inteligencia se puede ver
en personas que son líderes de un grupo, como los políticos, líderes religiosos,
docentes, etc., esta inteligencia permite adentrarse en el mundo del otro,
sentir lo que el otro, poniéndose en su lugar.
Citando al psicólogo británico N. K Humphrey, los hermanos Campbell y Dee
Dickinson señalan: “la inteligencia social es la característica más importante del
intelecto humano. Humphrey señala que el mayor uso creativo de la mente
humana consiste en mantener eficazmente la sociedad humana.”94
Algunas características de las personas con inteligencia interpersonal son:
interactúa con los demás. Establece y mantiene relaciones sociales. Reconoce
y utiliza maneras para relacionarse con los demás. Percibe los sentimientos,
los pensamientos, motivaciones, conductas y estilos de vida de los demás.
93
Linda Campbell, Bruce Campbell, Dee Dickinson, Inteligencias Múltiples, Uso práctico de enseñanza y
aprendizaje, Buenos Aires, Editorial Troquel, 2000,pág. 11
94 Ibíd., pág. 180
96
Participa en emprendimientos colaborativos y asume diversos roles, de
subordinado a líder, según las circunstancias y las tareas que se demanden.
Influye sobre las opiniones y acciones de los demás. Comprende mensajes
verbales y no verbales y puede comunicarse a través de ellos en forma eficaz.
Adapta su conducta a diferentes medios o grupos a partir de Feedback que
recibe de los demás. Percibe diversas perspectivas en toda cuestión social o
política. Desarrolla habilidades para la mediación, organización de un grupo
con fines comunes o trabajo con personas de diferentes edades o provenientes
de diversos medios. Expresa interés por carreras con orientación interpersonal,
como docencia, trabajo social, asesoría, administración o política. Desarrolla
nuevos procesos y modelos sociales.
Los niños con el predominio de esta inteligencia aprenden mejor estudiando y
trabajando en equipo, intercambiando experiencia, dialogando y en un clima de
armonía. Esta inteligencia resulta esencial para vivir, ya que permite trabajar
con los demás en forma colectiva, y resolver problemáticas.
El siguiente, base de la interpersonal, es la inteligencia intrapersonal, esta se
refiere a todo lo que ocurre en nuestro interior, nuestros pensamientos y
sentimientos. Es la capacidad de conectarse consigo mismo, saber de sí, de
los propios talentos, intereses, aptitudes, virtudes y también limitaciones y
defectos. Reconocerse y aceptarse permite tener una imagen realista de sí. Al
conocer estas capacidades le será más fácil tomar las riendas de su vida, para
algunas personas es más fácil buscar culpables para sus males, sentirse
víctimas de las circunstancias que tomar la iniciativa y la conducción de uno
mismo. “A los alumnos les resultará de suma utilidad comprender que un error
cometido de buena fe no debe dar origen a sentimientos de inferioridad,
vergüenza o ira. Si estamos en condiciones de reírnos de nosotros mismos,
mayores serán nuestras posibilidades de superar momentos difíciles.”95
95
Ibíd., pág. 219
97
Es probable que una persona que posee esta inteligencia bien desarrollada
tenga las siguientes características. Desarrolla un modelo preciso del yo. Se
siente motivado para establecer y lograr objetivos. Establece y vive de acuerdo
con un sistema de valores éticos. Es capaz de trabajar de forma independiente.
Siente curiosidad por los “grandes enigmas” de la vida: sentido, importancia y
propósito. Lleva a cabo un constante proceso de aprendizaje y crecimiento
personal. Intenta distinguir y comprender las experiencias interiores.
Reflexiona y extrae conclusiones acerca de la complejidad del ser y de la
condición humana. Busca oportunidades para actualizarse. Tiene confianza en
los demás.
Los alumnos con este predominio aprenden mejor trabajando y estudiando en
forma individual, investigando con autonomía y experimentando por sí mismos.
La siguiente es la inteligencia musical y consiste en la especial sensibilidad
auditiva para captar y reconocer sonidos, ritmos y melodías, habilidad para
expresar y transformar formas musicales a través de la voz o de instrumentos
musicales, facilidad para expresar emociones a través de la música y disfrutar
con ella. Debido a la estrecha conexión entre la música y las emociones, la
música en el aula contribuye a crear un entorno emocional positivo apto para el
aprendizaje.
Otros alcances de la educación de la inteligencia musical son: promover la
participación activa, inmediata del niño a través del contacto directo con la
vivencia musical. Favorecer la iniciativa y la creatividad. Impulsar la vida
interior. Conectar con las emociones, promoviendo la sensibilidad, satisfacción
y alegría. Atenuar tensiones. Estimular cuando falta energía, adquirir
seguridad teniendo posibilidades de experiencias exitosas. Promover la
focalización y permanencia de la atención y concentración. Ayuda por medio de
acompañamiento rítmico, el desarrollo de habilidades motoras, destrezas
perceptivo-motrices, con lo cual se aumenta la sensibilidad del movimiento.
Desarrolla la capacidad empática al comprender e interpretar en cada obra
musical el espíritu del autor. Mejorar la comunicación interpersonal en el trabajo
en equipo: en niños inhibidos o hiperactivos permite adecuarse a un tiempo,
98
controlarse, intervenir en el momento oportuno, ceder el lugar a tal punto que
se dice que la música es una “Escuela de convivencia democrática”.96
Los niños con predominio de esta inteligencia aprenden mejor, escuchando lo
que otros leen o narran. Es importante cuidar el tono de voz y la vocalización
ya que son sensibles a estos aspectos. Memorizan más fácilmente utilizando
ritmos, rimas, cadencias y repetición. Estudian y trabajan mejor con música de
fondo, que favorece la relajación y concentración. En el aprendizaje, en
general, se privilegia la vista, la imagen, sobre los demás sentidos.
La inteligencia lógico-matemática está relacionada con la capacidad para
razonar con números, resolver operaciones cada vez más complejas, a la
facilidad para el cálculo. Esta inteligencia es propia del pensamiento científico,
de quienes se interesan por la investigación, el análisis y las estadísticas. Nos
dice Antunes, que esta forma de inteligencia se manifiesta en la capacidad
para distinguir la geometría en los espacios, en el placer para resolver
rompecabezas o problemas que requieran soluciones lógicas, este tipo de
inteligencia se encuentra en todos, sólo que en algunos se manifiesta de una
manera más acentuada y permite la aparición de grandes personajes.
El alumno al igual que se le alfabetiza con las letras, necesita ser alfabetizado
con las matemáticas, cuando al descifrar los signos matemáticos, conquista la
permanencia del objeto, al reconocer esta permanencia el niño se vuelve
capaz de reconocer la semejanza entre objetos y , ordenándolas en clase y
conjuntos, así hacia los seis o siete años, puede confrontar dos conjuntos de
objetos, el niño puede identificar el número de cada uno, comparar los totales y
determinar cual tiene mayor cantidad, es interesante que el pequeño puedá
descubrir donde se encuentran las matemáticas, en el supermercado, en el
trasporte, en la biblioteca, en los juegos, etc.,
96
Gladys Brites, Ligia Almoño, Inteligencias Múltiples, juegos y dinámicas para multiplicar las formas de
aprender utilizando al máximo las capacidades de la mente, Buenos Aires, Editorial Bonum, 2004. Pág.
69
99
Citando a Gardner, los hermanos Campbell señalan “que la inteligencia lógico-
matemática abarca numerosas clase de pensamiento. En su opinión esta
inteligencia comprende tres campos amplios, aunque interrelacionados: la
matemática, la ciencia y la lógica” 97 y mencionan algunas características de
las personas a las que se les desarrolla de una manera más profunda.
Son las siguientes:
Percibe los objetos y su función en el entorno. Domina los conceptos de
cantidad, tiempo y causa y efecto. Utiliza símbolos abstractos para representar
objetos y conceptos concretos. Demuestra habilidad para encontrar soluciones
lógicas a los problemas. Percibe modelos y relaciones. Plantea y pone a
prueba hipótesis. Emplea diversas habilidades matemáticas, como estimación,
cálculo de algoritmos, interpretación de estadísticas y representación visual de
información en forma gráfica. Se entusiasma con operaciones complejas,
como ecuaciones, fórmulas físicas, programas de computación o métodos de
investigación, etc.
Como ya se mencionó anteriormente, en algunos casos, la inteligencia lógica-
matemática aparece más elevada, y la persona incluso sin estímulos
adecuados la hace brillar, por ellos es importante que los padres y los docentes
puedan encontrar la manera de estimularlos.
La inteligencia visual- espacial comprende una serie de habilidades afines
que incluyen discriminación visual, reconocimiento, proyección, imagen mental,
razonamiento espacial, manejo y reproducción de imágenes internas o
externas. Algunas de estas habilidades o todas pueden manifestarse en una
misma persona. En el aula puede ser más gratificante y estimulante cuando
está lleno de imágenes relacionadas con los contenidos, esto llama la atención
de los alumnos. Estos transmiten a los alumnos mensajes sobre el aprendizaje
del tema en relación.
97
Ibíd., pág. 54,
100
En los problemas que caracterizan nuestra vida cotidiana, la inteligencia
espacial es importante para orientarnos en distintas localidades, para
reconocer escenas y objetos cuando trabajamos con representaciones gráficas
en mapas, gráficos, diagramas o formas geométricas, en la sensibilidad para
captar metáforas.
La inteligencia espacial se localiza el lado derecho del cerebro; en ese aspecto,
puede incluso explicar el poder del romanticismo y fantasía mucho más amplio
en la mujer que en el hombre occidental; es también muy amplia su relación
con las otras inteligencias, sobre todo la musical, la lingüística y la kinestésica
corporal.
La inteligencia lingüística también llamada verbal, representa un instrumento
esencial para la supervivencia del ser humano moderno. Para trabajar,
desplazarse, divertirse o relacionarse con el prójimo, el lenguaje constituye un
elemento muy importante y, algunas veces único para la comunicación. El
empleo de palabras para comunicar y documentar información, para expresar
emociones poderosas y en combinación con la música para formar canciones
distingue a los seres humanos de los otros animales. En los inicios de la
historia de la humanidad, el lenguaje cambió la especialización y la función del
cerebro humano al ofrecerle posibilidades para explorar y expandir la
inteligencia humana. Pero no todas las personas utilizan al máximo este
potencial, algunos debido al limitado vocabulario que poseen, no pueden
permitirse formas de comunicación más complejas que toscos recados, breves
comentarios y limitadas afirmaciones de opinión.
El estímulo de la inteligencia verbal es notorio en ambientes donde se hace
mucho uso de las palabras y que se relacionan con múltiples conversaciones.
El niño en casa o en un salón muy silencioso es probable que tenga
limitaciones verbales evidentes, que niños que viven o interactúan con varias
personas.
La inteligencia naturalista, esta inteligencia no estaba descrita en las primeras
obras de Howard Gardner. Inicialmente eran siete inteligencias. Citando a
101
Gardner, Celso Antunes describe una entrevista que se llevó a cabo en Brasil,
en el primer semestre del 1996, donde Howard Gardner dice: “ahora hablo
sobre ocho tipos de inteligencia. La octava tienen que ver con el mundo
natural: ser capaz de captar las diferencias entre las diversos tipos de plantas,
de animales. Todos las tenemos en nuestro cerebro”98
Este tipo de inteligencia ayuda a estimular la inteligencia espacial, lingüística y
musical. Gardner supone el origen de esta inteligencia cuando nuestros
ancestros tenían la necesidad de conocer el medio para subsistir, cuáles eran
útiles y cuáles perjudiciales. Todos los seres humanos aplican las habilidades
de la inteligencia naturalista cuando reconocen a una persona, una planta,
animal y otros elementos de nuestro entorno, la interacción con el medio nos
permite saber el cambio de clima en las diferentes estaciones del año y qué
tipo de plantas se dan y las reacciones que tienen los animales frente a esos
cambios.
La inteligencia corporal- kinestésica incluye la capacidad de unir el cuerpo y la
mente para lograr el perfeccionamiento del desempeño físico. Comienza con el
control de los movimientos automáticos y voluntarios y avanza hacia el empleo
del cuerpo de manera altamente diferenciada y competente. Esta inteligencia
sienta las bases del conocimiento por medio de las experiencias
sensomotoras.
La inteligencia corporal, como lo demuestra Gardner, puede ser tanto
identificada por su localización en el cerebro como por su expresión aislada.
Según parece, el centro de esa inteligencia se halla en el lado izquierdo del
cerebro, aunque no se tenga certeza plena de que tal posición sea igual para
todas las personas, sobre todo para los zurdos.
98
Celso A. Antunes, Las inteligencias múltiples como estimularlas y desarrollarlas, Madrid, Narcea, S.A.
de Ediciones. pág. 57
102
IVIVIVIV....---- ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA ESTRATEGIAS PARA LA ENSEÑANZA
4.1. Conceptualización de las estrategias de aprendizaje
“Arte de dirigir un conjunto de disposiciones para alcanzar un objetivo”99
Las estrategias se ponen en marcha cuando el que aprende intenta
comprender, adquirir nuevos conocimientos o resolver problemas, son para que
los alumnos desarrollen sus competencias básicas (leer, escuchar, hablar,
escribir y de razonamiento) al interactuar con sus compañeros de tal manera
que poco a poco se apropien y vayan dominando el tema.
El término estrategias es de uso común en las personas. Por ejemplo se habla
de estrategias políticas, financieras, comerciales y hasta educativas, entre
otras, se pueden definir como acciones que se deben realizar y un intento de
alcanzar una meta o un objetivo, mediante estas acciones. A diferencia de las
otras, las estrategias educativas tienen un propósito de aprendizaje para quién
las usa. Estas estrategias de aprendizaje apoyan al niño en la tarea de
aprender y de esta manera facilita el aprendizaje significativo, ya que
promueven que los niños establezcan relaciones significativas entre lo que ya
saben y el nuevo conocimiento.
El docente diariamente se enfrenta a múltiples problemáticas que no son más
que barreras para el aprendizaje y trata de darles solución, de esta manera
busca o diseña estrategias que le sirvan de apoyo en su tarea de enseñanza.
Es él quien debe elegir las estrategias para que el niño interactúe con el
objeto, tomando en cuenta el contexto social del individuo el interés de los
niños. Es muy importante la interacción entre el maestro/alumno, para que así
sean mejor aprovechados las estrategias que el maestro les proporciona, se
propicia que el niño se apropie del conocimiento.
99
El Larousse 2006, lengua y cultura, edición Larousse México, pág. 287.
103
José Luis Córica y la Lic. Patricia Dinerstein hablan sobre la importancia de la
planificación del docente, para que los estudiantes obtengan un aprendizaje
significativo “las estrategias de aprendizaje facilitan el procesamiento de la
información e incrementan el rendimiento en las tareas” 100
En la actualidad hablando de la sociedad del conocimiento es necesario que
los docentes implementen estrategias que apoyen al alumno a procesar toda
esa información que tienen a su disposición. Ahora más que las estrategias de
aprendizaje se habla de un aprendizaje estratégico, que va más allá de
aprender conceptos, es saber cómo conocer.
Moisés Huerta citando a Monereo explica que:
Desde este enfoque, el aprendizaje estratégico, se puede definir como las
estrategias de aprendizaje conducentes a la toma de decisiones de
manera consciente o inconsciente, donde el alumno elige, recupera y
domina una estrategia determinada de manera coordinada, logrando
aprender los conocimientos que necesita para cumplir una determinada
tarea, demanda u objetivo, en función de las características de la
situación educativa en que se produce la acción101
Las estrategias están enfocadas al área de matemáticas, ya que es importante
que el docente mantenga un plan de clase dónde estás sean incluidas para que
el alumno pueda captar los conceptos de manera significativa. De esta manera
se facilitará la comprensión en esta asignatura al niño.
100
José Luis Córica, Patricia Dinerstein, Diseño curricular y nuevas generaciones: incorporando a la
generación NET, Editorial Virtual Argentina, 2009, pág. 125
101 Aprendizaje Estratégico, una necesidad del siglo XXI. Revista Iberoamericana de Educación Nº 42
(http://www.rieoei.org/deloslectores/1541Huerta.pdf) [consultado el 26 de febrero 2010]
104
4.2. El juego como estrategia.
“Una de las múltiples estrategias posibles de utilizar para lograr los
aprendizajes en los niños está representada por el juego, estrategia que los
docentes deberemos tener siempre presentes en nuestro quehacer cotidiano
en las escuelas.102
Anteriormente ya se hablo de la importancia de que el docente utilice el juego
en su labor docente. A grandes rasgos se enlistarán algunos:
• La educación por medio del juego permite responder a una didáctica
activa que privilegia la experiencia del niño respetando sus autenticas
necesidades e intereses
• El niño debe disfrutar plenamente de juegos y recreaciones, los cuales
deberán estar orientados hacia los fines perseguidos por la educación
• Grandes pedagogos, como Rousseau o Comenio, han afirmado que el
juego es el método ,más eficaz de aprendizaje
• Por medio del juego se favorece el desarrollo de la motricidad, los
sentidos, las facultades intelectuales y la adquisición de hábitos sociales
y de cuidado de sí mismo.
Citando a Rubin, Fein y Vandenberg, Fergus P. Hugnes menciona cinco
características fundamentales para que una actividad pueda ser descrita como
juego103:
1. El juego se encuentra motivado de manera intrínseca. Es un fin por si
solo, emprendido sólo por la satisfacción plena que genera
2. Debe ser elegido libremente por los participantes. Si a los niños se les
obliga- o incluso se les presiona con amabilidad- para que jueguen,
102
SEP, CONAFE, “Jugando se aprende mejor”, México, Pág. 5
103 Fergus P. Hugnes, El juego. Su importancia en el desarrollo psicológico del niño y del adolescente,
México, Editorial Trillas. Pág. 10
105
quizá no consideren la actividad asignada como un juego en lo
absoluto.
3. Debe ser placentero, los niños deben disfrutar de la experiencia, o no
pueden ser consideradas un juego… ¡una actividad que genera tanto
estrés en el participante difícilmente puede ser descrita como placentera!
4. Su naturaleza no literal. Es decir, involucra un cierto elemento de
imaginación, una distorsión de la realidad que se adapta a los intereses
del jugador.
5. En el juego el jugador participa de manera activa, el niño debe
involucrarse física, psicológicamente, o en ambas formas, en lugar de
mantenerse pasivo o indiferente ante lo que esta ocurriendo.
El objetivo principal del juego, es estimular en cada niño el uso de sus
capacidades intelectuales, potenciar el uso del lenguaje, estimular la curiosidad
natural y desarrollar la capacidad de aprender y formar conceptos, fomentar la
creatividad y la expresividad. Así como establecer relaciones afectuosas y
estables con niños y adultos, también ayuda a desarrollar la coordinación y las
habilidades motoras y manipulativas.
Oscar A. Zapata menciona que es muy importante la forma de impartir las
sesiones donde se involucre el juego, tiene que ver con la personalidad y con la
comunicación que el docente mantenga con sus alumnos y propone seis
pasos para la implementación de estas sesiones:
a. Planificación
El maestro deberá realizar una planificación anual en relación con los
objetivos que se propone lograr, a la vez que tendrá que evaluar los
siguientes aspectos:
• La característica del grupo de niños con los que trabajará.
• Las instalaciones y material disponible para el desarrollo de los
juegos.
• El número de clases que se podrá realizar, dentro del ciclo lectivo.
• La duración de las clases.
106
b. Al preparar las clases se debe contemplar
• La época del año y condiciones climáticas.
• Las necesidades e interés de los niños que conforman el grupo. La
selección de los juegos se debe realizar considerando que siempre
permita la participación de todos y evitar las exclusiones y posibilitar
la actividad constante del niño.
• La enseñanza debe adecuarse al ritmo natural de aprendizaje de los
niños; debe darles la posibilidad de que disfruten de los juegos; el
niño debe salir de ella con el deseo del volver al otro día.
• Importante tener amplio criterio con la realización de lo programado,
ser flexible, de a cuerdo con las circunstancias y, en especial, con el
estado físico y psíquico de los niños.
• Siempre se debe programar un espacio para juegos libres”, en el que
el maestro observara la conducta del juego de los niños.
c. En el juego en sí, hay que tener en cuenta los siguientes puntos:
• Todo juego tiene un inicio y parte de una rápida explicación,
haciendo que los ensayen los propios niños. Posteriormente vienen
el desarrollo, lo que genera un mayor interés y alegría de los
participantes, con una duración muy elástica, en relación con
diversos factores. Por último, a medida que el entusiasmo decae,
esto marca la necesidad de modificar la actividad y pasar a otra.
d. Organización didáctica
• El maestro debe de aprovechar el material para la realización de
varios juegos o actividades. El principio organizador se basa en
evitar la pérdida de tiempo al máximo.
• En el desarrollo secuencial de los juegos, en la misma clase, es
necesario tener en cuenta que sean variados y diferentes y no
realizar juegos sofocantes uno seguido de otro, sin dar la
oportunidad de la debida recuperación.
107
• Debe buscar un lugar conveniente para el control de la situación del
juego esto es que debe abarcar visualmente todos los niños.
• Debe de estimular constantemente a los niños que son más tímidos,
que tengan menos coordinación y enseñar que lo importante es
jugar, no ganar o perder.
• Siempre inculcar el juego limpio, respetando las normas.
e. Implementación
• Tratar de eliminar la espera de turno y organizar grupos para que
todos jueguen.
• Tener los materiales que necesita para no interrumpir la clase.
• Explicar de manera sintética y atractiva lo que se quiere.
f. El juego libre
• El niño aprende a jugar en total libertad, el papel del docente es de
observador, ya que es la oportunidad de que el niño muestre su
personalidad.
Anteriormente se ha hablado de las competencias que la RIEB plasma como
uno de sus propósitos, por lo tanto a continuación cada ejemplo de juego
estará ligado al tipo de competencia matemática y competencia para la vida
que se mencionaron con anterioridad.
Se debe recordar que la evaluación desde el enfoque de competencias debe
ser formativa, integral y por evidencias.
Las estrategias pueden ser modificadas de acuerdo a las necesidades que el
docente observe en el aula.
Los juegos como se mostro anteriormente ayudan al alumno en su proceso de
aprendizaje, por ello los siguientes ejemplos pueden apoyar al desarrollo
habilidades para resolver operaciones aritméticas convencionalmente. Es
108
importante mencionar que el docente puede contar con más variedad de juegos
y que les son de gran utilidad en su quehacer docente, lo importante es que
comprenda la importancia que tiene el juego en el aprendizaje de los niños.
4.2.1. La maquinita de cálculo
Objetivo:
Que el alumno desarrolle habilidad para hacer cálculos mentales de suma y
resta de dígitos y de números menores de 100.
Los conocimientos previos que el alumno debe de utilizar:
• Realicen conteos, agrupamientos y des agrupamientos en decenas y
unidades, en números del 1 al 100.
• Lean, escriban y ordenen series numéricas 1 al 100.
• Resuelvan problemas sencillos de suma y resta.
Competencias a desarrollar:
Competencias para la vida Competencias matemáticas
-Competencia para la vida en
convivencia.
-Competencia para el aprendizaje
permanente.
-Resolver problemas de manera
autónoma.
-Validar procedimientos y resultados.
-Manejar técnicas eficientes.
Material:
Caja de cartón y monedas de diferente denominación ya sea de papel, plástico
o dinero.
La maquinita constituye un recurso didáctico básico destinado a introducir la
iniciación del cálculo. Consta de una caja grande de 50 cm x 50 cm consta una
bolsita con 10 monedas de N $ 10 y 15 monedas de N $ 1.
109
Desarrollo:
Se exponen reglas de juego, puede jugar individual o grupal. En la maquinita
(que es la caja) se le va a poner quita 3.
Al alumno se le pide que dibuje en el cuaderno una tabla como esta para poder
llevar su cálculo.
Un ejemplo:
Una niña tiene dos monedas de a diez y cinco monedas de a peso y se le dice
mete tu dinero en la maquinita, la maquinita te quitara 3 monedas de a peso.
El maestro plantea al grupo la pregunta si la máquina te quita 3 pesos entonces
¿Cuánto dinero te quedó en la máquina?
La respuesta la pueden acomodar en la tabla.
Ganará el equipo o la persona que tenga menores errores.
Evaluación:
Se observará a los integrantes teniendo que resolver correctamente y sin estar
diciendo a sus compañeros.
Esta actividad puede tener la siguiente variación y en vez de escribir quitar
pueden escribir poner.
Entran La máquina quita ¿Cuánto salió?
25 3 ---
5 3 ---
QUITAN 3
110
4.2.2. Laberinto de suma y resta
El laberinto matemático de suma y resta es un recurso didáctico en el que los
alumnos se divierten resolviendo y aprendiendo sin aburrirse; de esta forma las
operaciones de suma y resta son practicadas.
Objetivo:
Que el alumno desarrolle la habilidad para realizar algoritmos mentales de
suma y resta menores de 100.
Los conocimientos previos que el alumno debe de utilizar:
• Lean, escriban y ordenen series numéricas 1 al 100
• Identificar el algoritmo de la adición.
• Resuelvan problemas sencillos de suma y resta.
• Ubicación del alumno en relación con su entorno, otros seres y objetos
• Representación de desplazamientos sobre un plano utilizando expresiones
como: arriba, abajo, adelante, atrás, derecha, izquierda.
Competencias a desarrollar:
Competencias para la vida Competencias matemáticas
-Competencia para la vida en
convivencia.
-Competencia para el aprendizaje
permanente.
-Resolver problemas de manera
autónoma.
-Validar procedimientos y resultados.
-Manejar técnicas eficientes.
Material:
Tabla de números y hoja de operaciones.
111
12+23= 30+30= 33+36=
5+5= 7-7= 79-51=
6-1= 61+31= 35+67=
4+5= 10+10= 11+2=
2+2= 50-45= 9-3=
3+3= 31+31= 5-4=
9-2= 100-5= 99-99=
25-24= 34-32=
50-25= 42-31=
Desarrollo:
El alumno se sitúa en la entrada de tablas de números. Al resolver las
operaciones de la hoja con el resultado se busca el camino para encontrar la
salida.
Evaluación:
El alumno que encuentre la salida el el que llevo a cabo las operaciones
correctas de los algoritmos de suma y resta.
3 5 1 0 5 9 4 6 0 2 3 3 2 2 7 7 8 6 7 0 6 0 2 5 1 5 8 9 5 7 1 6 2 3 8 2 0 5 6 2 9 5 5 2 8 4 6 9 7 3 2 6 9 7 3 2 8 5 6 5 5 5 6 5 2 8 4 3 2 1 0 1 0 7 9 0
112
4.2.3. Roscas
Objetivo:
Que los alumnos desarrollen la habilidad para resolver mentalmente problemas
de suma, resta y multiplicación.
Conocimientos previos que el niño debe utilizar:
• Lean, escriban y ordenen series numéricas 1 al 100
• Identificar el algoritmo de la adición, sustracción y multiplicación.
• .Resuelvan problemas sencillos de suma, resta y multiplicación.
• Resolver problemas de multiplicación con factores menores o
iguales a 10 mediante sumas repetidas y explicitar la
multiplicación implícita en una suma repetida.
Competencias a desarrollar:
Competencias para la vida Competencias matemáticas
-Competencia para la vida en
convivencia.
-Competencia para el aprendizaje
permanente.
-Resolver problemas de manera
autónoma.
-Validar procedimientos y resultados.
-Manejar técnicas eficientes.
Material proporcionado por el docente:
Cartulina, tijeras, pizarrón, rosca de cartón que mida unos 55cm. de diámetro
Recorte el centro. En torno al borde exterior escriba los números del 1 al 10.
Cuelgue la rosca sobre el pizarrón; en el centro, sobre el pizarrón, escriba el
numero 5.
Desarrollo:
Un niño debe añadir 5 a cada número de la rosca, y escribir el resultado en el
pizarrón junto al borde exterior. Después de revisar los resultados, cambie el
número del centro y haga que otro niño resuelva los problemas.
113
Variación: hágase una rosca doble, y escríbanse los números del 1 al 10 en el
borde exterior y del 11 al 20 en el interior.
Evaluación:
El resultado se anota en el cuaderno para que el docente pueda verificar sus
respuestas y los alumnos que terminen pronto y tengan correcta la solución
serán los siguientes en pasar al pizarrón, esto les alentará a darse prisa y a
solucionarlos correctamente. La participación y colaboración en la actividad.
1
30
20
40
50 60
70
80
90 10
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
5 X2
7
8
9
10
12
13
14
15 6 40
60
114
4.2.4. El rey en su trono
Objetivo:
Que los alumnos puedan resolver problemas de suma, resta y multiplicación.
Conocimientos previos que el niño debe utilizar:
• Lean, escriban y ordenen series numéricas 1 al 100
• Identificar el algoritmo de la adición, sustracción y multiplicación.
• .Resuelvan problemas sencillos de suma, resta y multiplicación.
• Resolver problemas de multiplicación con factores menores o
iguales a 10 mediante sumas repetidas y explicitar la
multiplicación implícita en una suma repetida.
Competencias a desarrollar:
Competencias para la vida Competencias matemáticas
-Competencia para la vida en
convivencia
-Competencia para el aprendizaje
permanente
-Resolver problemas de manera
autónoma
-Validar procedimientos y resultados
-Manejar técnicas eficientes
Material:
El docente debe elaborar tarjetas que contengan sumas, restas o
multiplicaciones. También pueden venir revueltas. Deben ser diferentes tarjetas
para que no se repitan las operaciones y cartulinas.
Desarrollo:
El profesor escribe Reyes y Reinas a la cabeza de dos columnas trazadas en
el pizarrón, y coloca una silla frente a cada columna; se elige a un niño y a una
niña para que se sienten en esas sillas. El profesor le da cinco tarjetas al niño
115
con las operaciones aritméticas (sumas, restas o multiplicaciones) y cinco a la
niña, el primero que termine de realizar las cinco operaciones su nombre se
escribe en la columna de los Reyes o Reinas. Los nombres pueden
permanecer expuestos durante todo el día.
Para cumplir con las orientación didáctica de Oscar A. Zapata,
(implementación). Se pueden utilizar cartulinas pegadas en diferentes partes
del salón e ir pasando de cinco niños y cinco niñas.
Evaluación:
De forma individual, observando las estrategias que utiliza cada uno en la
solución de la operación y revisando el resultado.
4.2.5. Dominó
El dominó constituye un recurso pedagógico básico destinado a introducir la
iniciación del cálculo. Consta de 28 piezas sólidas generalmente pueden ser de
madera de plástico o de otro material es de fácil manipulación.
Objetivo:
Que el alumno tenga habilidad y cálculo mental, para resolver operaciones
básicas de suma y resta.
116
Los conocimientos previos que el alumno debe de utilizar:
• producir series orales y escritas de 10 en 10, de 5 en 5 y de 100 en 100.
• Identificar el algoritmo de la adición y sustracción.
• Resuelvan problemas de dos cifras de suma y resta.
Competencias a desarrollar:
Competencias para la vida Competencias matemáticas
-Competencia para la vida en
convivencia.
-Competencia para el aprendizaje
permanente.
-Resolver problemas de manera
autónoma.
-Validar procedimientos y resultados.
-Manejar técnicas eficientes.
Material didáctico:
Dominó de papel.
20-10 86-20
19-10 98+45
56+78 45-35
76+34 91+12
87-53 76-45
88+56 23-17
43+79 24-22
91-34 62-89
39-17 18+95
56-23 45+98
12-10 67-49
39-16 98+10
93-67 49+52
78-19 58-43
67+89 56-39
90-45 78-34
45+96 89-45
45+90 32-19
117
Desarrollo:
Se exponen reglas de juego, pueden jugar en equipos de cuatro personas
máximo por cada dominó, se repartirá a cada equipo un juego de dominó.
Se reparten las fichas como máximo de siete piezas por cada integrante y
tendrán que resolver mentalmente las operaciones de suma y resta que
contienen las fichas para poder jugar en un tiempo establecido.
Anotan sólo el resultado en una hoja.
Ganará la persona que tenga el menor número de fichas al terminar el tiempo.
Evaluación:
Se observará a cada integrante de equipo teniendo que resolver correctamente
y sin hacer trampa las operaciones de las fichas. Se verifican los resultados en
las hojas.
56+14 14-10
56-17 78+94
67-45 89+31
12+78 55-16
79-42 23-15
18+73 56+92
57+83 38-19
49-37 90+12
71-67 93-67
32-18 81+78
118
4.2.6. Cálculo mental de multiplicación
Objetivo:
Las multiplicaciones de alguna u otra forma se mecaniza, la importancia que se
le debe de dar a esta es saber cuando y porque las utilizamos para resolver
problemas. Por ello el objetivo de este juego es que los alumnos desarrollen
mentalmente el cálculo de la multiplicación.
Conocimientos previos:
• Resolver problemas de multiplicación con factores menores o iguales a
10 mediante sumas repetidas y explicitar la multiplicación implícita en
una suma repetida.
• Identificar la escritura multiplicativa
Competencias a desarrollar:
Competencias para la vida Competencias matemáticas
-Competencia para la vida en
convivencia.
-Competencia para el aprendizaje
permanente.
-Resolver problemas de manera
autónoma.
-Validar procedimientos y resultados.
-Manejar técnicas eficientes.
-Comunicar información matemática
Materiales:
Cartulina, marcadores, lápices.
Desarrollo:
Los alumnos elaboran las tarjetas de esta manera:
Al frente 2x = 16. Al reverso 8. Al frente 3x=24 al reverso 8 Cada uno hará seis
diferentes. Estas tarjetas dependerán de las multiplicaciones que se estén
viendo en el momento.
El juego inicia cuando un alumno le pregunta a otro lo que está al frente de su
tarjeta y deberá darle la respuesta mentalmente. Se voltea la tarjeta para
119
comprobar el resultado, se anota un punto por respuesta correcta. Cuando ya
entendieron se organizan en equipos, después se les entregada a cada
equipo un juego de 20 tarjetas, las colocan con las operaciones hacia arriba y
los resultados hacia abajo.
Por turno cada jugador ve la operación que está escrita. 5 x = 35, la cual
deberán interpretar cinco veces qué número da como resultado treinta y cinco.
Cada jugador calcula mentalmente el resultado y le da la vuelta a la tarjeta para
verificarlo. Si la respuesta está bien, se queda con la tarjeta, si el jugador se
equivocó coloca la tarjeta hasta abajo del montón. El juego termina hasta que
se acaban las tarjetas, el niño que acumuló más es el ganador.
Evaluación:
Se evaluó el interés y la participación de cada equipo. La agilidad del alumno
para el cálculo mental. La observación y reflexión de que como utilizamos y
para que la multiplicación.
4.3. La resolución de problemas como estrategia
Es necesario comprender que la utilidad de la matemática en la vida diaria, en
la ciencia, la tecnología tiene una relación directa con los problemas. Los
problemas siempre están ligados al desarrollo del conocimiento matemático.
¿Que propicia la resolución de problemas en el alumnos? Estas son algunas
metas significativas:104
• Desarrollar habilidad para comunicarse matemáticamente: expresar
ideas, interpretar y evaluar, representar, usar consistentemente los
104 La resolución y el planteamiento de problemas
[http://menweb.mineducacion.gov.co/lineamientos/matematicas/desarrollo.asp?id=16]
(consultado el 09 de mayo del 2010)
120
diferentes tipos de lenguaje, describir relaciones y modelar situaciones
cotidianas.
• Provocar procesos de investigación que subyacen al razonamiento
matemático; nos estamos refiriendo precisamente a los procesos del
pensamiento matemático: la manipulación (exploración de ejemplos,
casos particulares); la formulación de conjeturas (núcleo del
razonamiento matemático, proponer sistemáticamente afirmaciones que
parecen ser razonables, someterlas a prueba y estructurar argumentos
sobre su validez); la generalización (descubrir una ley y reflexionar
sistemáticamente sobre ella); la argumentación (explicar el porqué,
estructurar argumentos para sustentar generalización, someter a prueba,
explorar nuevos caminos).
• Investigar comprensión de conceptos y de procesos matemáticos a
través de: reconocimiento de ejemplos y contraejemplos; uso de
diversidad de modelos, diagramas, símbolos para representarlos,
traducción entre distintas formas de representación; identificación de
propiedades y el reconocimiento de condiciones, ejecución eficiente de
procesos, verificación de resultados de un proceso, justificación de
pasos de un proceso, reconocimiento de procesos correctos e
incorrectos, generación de nuevos procesos, etcétera.
• Investigar estrategias diversas, explorar caminos alternos y flexibilizar la
exploración de ideas matemáticas.
Para lograr estas metas los estudiantes tienen que discutir sus ideas, negociar,
especular sobre los posibles ejemplos y contraejemplos que ayuden a
confirmar o desaprobar sus ideas.
Características de la resolución de problemas:
• Suponen un reto.
• La finalidad es ahondar en los conocimientos y experiencias que
se poseen, para rescatar aquellos que son útiles para llegar a la
solución esperada.
• Requieren más tiempo para su resolución.
121
• La persona que se implica en la resolución lo hace
emocionalmente. El bloqueo inicial, debido a que la situación le
desconcierta, dará paso a la voluntariedad y perseverancia por
encontrar la solución y, por último, al grado de satisfacción una
vez que esta se ha conseguido
• Pueden tener una o más soluciones y las vías para llegar a ellas
pueden ser variadas.
• Suelen ser escasos en los libros de texto.
Hemos visto las características y el papel que tiene la resolución de problemas
en el aprendizaje de las matemáticas, pero todo esto sin la intervención del
docente sería insuficiente. El docente debe brindar orientación a los alumnos,
es quién formula preguntas respecto al problema, también fomenta el
intercambio libre de ideas.
El paso de los problemas aritméticos simples a los combinados debe realizarse
de una forma gradual. El profesor debe acompañar al alumno en el cometido
de este nuevo tipo de actividades, variando la dinámica de desarrollo de la
sesión del taller. Respecto al nivel de dificultad de los problemas, conviene
diferenciar entre los combinados puros y los mixtos. Los primeros son aquellos
en los que intervienen operaciones del mismo campo conceptual, es decir,
sumas - restas o multiplicaciones - divisiones. Se empiezan a trabajar al final
de tercer curso. En los problemas combinados mixtos, es necesario utilizar
operaciones de distintos campos conceptuales para su resolución, es decir,
suma/resta y multiplicación.
Se debe aclarar que los alumnos pueden utilizar cualquier estrategia que
deseen para la solución, estrategias convencionales o algorítmicas, las
convencionales se refieren a que pueden utilizar sus dedos, palitos, bolitas,
quitar, poner, etc. Las algorítmicas se refieren a utilizar las operaciones de
suma, resta y multiplicación. Los siguientes ejemplos pueden apoyar al
alumno a comunicar, a escribir, a razonar el problema. Al igual que el juego
como estrategia, los docentes seguramente contarán con diferentes problemas
122
para sus alumnos, los siguientes sólo son algunos ejemplos diferentes a los
que normalmente el docente plantea.
Ejemplos:
De un libro que nos han mandado leer en la escuela, yo he leído 16 páginas
menos que mi amigo Javier. He leído 125 páginas. ¿Cuántas páginas ha leído
Javier?
125
+ 16
141
SOLUCIÓN: ………141
En la liga de fútbol de la escuela Alex ha metido 18 goles. Si Juan hubiera
metido 6 goles menos, entonces habría metido los mismos que Alex.
¿Cuántos goles ha metido Juan?
Alex.
Juan.
SOLUCIÓN:………………24…….
Carlos tenía tres lápices. Irene le dio unos cuantos más. Si ahora Carlos tiene 7
lápices. ¿Cuántos lápices le dio Irene?
Carlos. Ahora
SOLUCIÓN……………4…
123
En un prado hay seis vacas pastando, cuatro son negras y el resto blancas.
¿Cuántas vacas blancas hay?
SOLUCIÓN……………2….
Fátima tiene cinco lápices y Gonzalo tiene tres lápices. ¿Cuántos lápices tiene
Fátima más que Gonzalo? 5
3
SOLUCIÓN…………2……………………………………………………
4.4. Internet como estrategia
4.4.1. Fundamentación teórica
Para E. Litwin, “Las herramientas tecnológicas que permiten extender y ampliar
los procesos cognitivos de los alumnos, como las computadoras y sus
programas de software e internet, pueden ayudarlos a resolver problemas
complejos y ambiguos al brindarles información, datos y oportunidades de
colaborar, investigar y crear dispositivos.”105
Vivimos los avances de la tecnología, particularmente de las tecnologías de la
información, que han generado novedosos conceptos nunca antes imaginados
105
Edith Litwin, Tecnologías educativas en tiempos de internet, Buenos Aires, Amorrortu editores 2005,
pág. 223
124
por el hombre; entre ellos, la presencia de internet ha dado por resultado la
creación y el acceso a una red de información.
En una época de constante cambio, la educación se enfrenta a la necesidad de
encontrar modelos educativos que ofrezcan solución a los problemas que
enfrenta, por ejemplo, educar a un número cada vez mayor de personas y
educar con calidad. Por tanto, el ámbito de la educación requiere como ya se
ha hablado anteriormente rectificar sus objetivos, sus funciones y en especial
renovar sus métodos que se han aplicado. Hoy día para cumplir con la labor de
enseñar y aprender se cuenta además del pizarrón, el gis, los libros de texto,
las copias, con portales y páginas de contenido educativo en internet, esto nos
habla del gran cambio que hay en el mundo de la educación.
Internet es un espacio virtual, una herramienta tecnológica que utilizan millones
de personas diariamente, con ayuda de un navegador se pueden visitar
diferentes sitios, aquí podemos encontrar variedad de información, esto
implica que los usuarios deben tener cierto tipo de procesos para la selección
de esta información ya que Internet es un medio que por sí sólo no constituye
un recurso educativo. “Internet: red de computadoras conectada en todo el
mundo, que surgió originalmente como un proyecto de defensa en una red en
USA que se llamó ARPANET”.106
En nuestros días, Internet se convirtió en el recurso informático por excelencia
para el manejo, distribución y consulta de datos a nivel mundial, desde los
hogares del ciudadano común hasta la más grande empresa utilizan este
medio para distintos fines, sean de entretenimiento o en busca de concertar
algún negocio, por tal razón se dice que Internet es el medio de consulta
obligado; dicho fenómeno indiscutiblemente toca la puerta de los sistemas
educativos, por ello que se trate de abordar este aspecto en particular.
106
Gabriel E. Bajarlía. Alejandro D. Spiegel, Docentes usando internet, Argentina, ediciones Novedades Educativas S. R.L. 1997, Pág. 245.
125
Al respecto Bertha Sola dice: “Este medio nos permite vislumbrar la
posibilidad de facilitar un tipo de aprendizaje más ágil, participativo, activo,
divertido y constructivo, en donde es posible favorecer no sólo el aprendizaje
de conocimientos , sino también el desarrollo de habilidades mentales y
sociales mediante programas bien diseñados, con objetivos precisos y
planteamientos pedagógicos específicos.”107
Importante mencionar que el uso del Internet por el momento no suple la labor
del docente, este es utilizado como una herramienta que puede apoyarlo y
aportar mejoras a la calidad de la enseñanza.
En relación con la actualización y formación en las tecnologías, también dentro
del quehacer del docente está la innovación, que puede ser un factor
importante en el desarrollo educativo y tecnológico. Si se hiciera una entrevista
donde se les preguntara a los docentes, alumnos, directivos que si están de
acuerdo en buscar innovaciones su respuesta sería que sí, pero al parecer el
problema sería en tener claro el concepto. La siguiente definición nos permite
tener un panorama claro de lo que es innovar.
“Son prácticas que, por lo general, se consideran como algo nuevo, ya sea de
forma particular para un individuo, o de forma social, de acuerdo al sistema que
las adopte: competitividad y rentabilidad; clientes satisfechos; empleados
motivados y comprometidos; nuevos puestos de trabajo y mejores condiciones
de vida; desarrollar y ganar opciones - compartir la visión con el cliente y crear
en el entorno una cultura que estimule generación de conocimiento.”108
Entonces, la innovación son procesos que las instituciones deben llevar de una
forma sistemática junto al profesor, utilizando diferentes medios como
estrategias para una enseñanza de calidad. La sociedad impone nuevas
formas, nuevos contenidos, nuevas necesidades por los cambios ideológicos, 107
Rosa Isabel Montes Mendoza, Cuaderno Iberoamericano, Nuevas tecnologías en la educación, ¿Una
pedagogía distinta? Cambios paradigmáticos en el proceso educativo, Madrid, Organización de Estados Iberoamericanos, pág. 13.
108Innovación( http://es.wikipedia.org/wiki/Innovaci%C3%B3n) [consultada el 17de febrero del 2010]
126
culturales, económicos que tiene nuestro contexto, por ello debemos innovar,
hacer uso de las tecnologías.
Hay que destacar que las tecnologías avanzan y, por lo tanto, repercuten
indiscutiblemente en el campo educativo; al mismo tiempo, facilitan la tarea de
los alumnos, y modifican algunos patrones de comportamiento. Al hacer uso de
la tecnología, es conveniente analizar que es un medio que propicia actitudes y
despierta aptitudes que estimulan el aprendizaje del alumno. El empleo de
Internet en el aula brinda al alumno posibilidades de hacer cosas nuevas, una
forma distinta para trabajar, siendo importante utilizarla.
José Aguaded y Julio Cabero mencionan “Algunas ventajas que tiene el
internet bien utilizado son: motivación en los alumnos, continua actividad
intelectual, desarrollo de la iniciativa, aprendizaje a partir de los errores,
actividades cooperativas, alto grado de interdisciplinariedad, individualización,
liberan al profesor de trabajos repetitivos, contacto con las nuevas tecnologías,
buenos gráficos, acceso a bases de datos, un buen medio de investigación
didáctica en el aula, los alumnos aprenden en menos tiempo.”109
Muchas son las ventajas de trabajar con Internet en la educación, las que se
verán incrementadas en la medida que el profesor planifique estrategias de
acción pertinentes a su grupo, pues no se debe olvidar Internet es un medio y
no un fin, por lo que los resultados dependen del trabajo pedagógico que se
realicen y ello a su vez, dependerá del uso que el docente y el alumno hagan
de ella.
.
Es importante mencionar que actualmente en Internet existen diferentes
páginas que el docente puede utilizar como recurso para su plan de trabajo,
haciendo de esta manera un trabajo diferente para los alumnos y al mismo
tiempo motivarlos en clase. También hay páginas que los niños pueden
manipular de una manera muy sencilla y apoyarlos en su proceso de 109
José Ignacio Aguaded Gómez, Julio Cabero Almenara, Educar en Red, Internet como recurso para la
educación, Ediciones Aljibe, S. L., 2002, pág.247.
127
aprendizaje en esta asignatura. Hay facilidad para diseñar actividades
utilizando Internet en el aula, y decidir qué es lo que puede apoyar a los
alumnos en su proceso, pero como ya se mencionó anteriormente, es
necesario tener estrategias de trabajo, implementando el estudio independiente
o auto aprendizaje y los hábitos necesarios para que lo asuman con
responsabilidad.
Retomando a Vygotsky y a Piaget que nos dicen que es importante el medio
que rodea al niño para su aprendizaje al igual que la comunicación, y como ya
se ha mencionado el impacto que tiene el Internet en nuestro contexto,
entonces, al introducirla como un medio o recurso educativo, se estaría
intentando preparar a los niños a enfrentarse a esta sociedad del conocimiento.
Para esto, es necesario que el docente tenga un conocimiento en la utilización
de las TIC´s, así como una infraestructura mínima en el aula.
Para que el docente pueda utilizar internet como estrategia de aprendizaje, es
indispensable que seleccione la información que le pueda servir y buscar
portales donde el alumno pueda encontrar atractivos para su aprendizaje. Más
adelante veremos algunos portales. A pesar de contar con elementos para que
internet se convierta en una opción educativa, faltan muchos estudios,
intentos y experimentos que especialistas en educación, tecnología y
pedagogía deben trabajar conjuntamente.
Las siguientes páginas multimedia son una sugerencia en la que el docente
encontrara variedad de juegos y problemas para que los pueda utilizar en clase
y apoyar la conceptualización de las operaciones aritméticas. En este punto
regresamos un poco a lo que ya se había dicho del juego y la importancia de
este en la educación, ya que en internet podemos encontrar variedad de juegos
que se pueden utilizar en apoyo a la conceptualización aritmética. Por ejemplo,
en el cuaderno digital podemos encontrar el siguiente juego para repasar las
multiplicaciones.
128
Mediante unos globos el alumno escoge que tabla de multiplicar quiere repasar
del 2 al 9.
Da un clic en el botón rojo y comienzan a salir globos con números diferentes y
del lado derecho está la multiplicación, el alumno debe buscar la respuesta en
los globos y dar clic en ella y este se romperá. Del mismo lado derecho se
muestran los aciertos y errores.
129
En algún momento estás paginas desaparecerán y no con esto quiere decir
que Internet ya no es útil, existen muchas otras páginas en las que el docente
se puede apoyar y buscar información que le pueda servir. También es
importante mencionar que una de las páginas multimedia que aquí se
mencionan se debe pagar por utilizarla (Brain Pop), pero también existen otras
páginas que podemos utilizar gratuitamente por ejemplo Mi ayudante.
4.5. Portales que ofrecen ayuda al docente para la enseñanza de las
matemáticas.
Los portales son espacio propio de internet, en este caso son entornos virtuales
que dan acceso a sitios y páginas educativas.
“Un portal de Internet es un sitio web cuya característica fundamental es la de
servir de Puerta de entrada (única) para ofrecer al usuario, de forma fácil e
integrada, el acceso a una serie de recursos y de servicios relacionados a un
mismo tema. Incluye: enlaces, buscadores, foros, documentos, aplicaciones,
compra electrónica, etc. Principalmente un portal en internet está dirigido a
resolver necesidades de información específica de un tema en particular.”110
Como ya se mencionó anteriormente, un portal es una puerta de entrada a la
persona para navegar, interactuar, permite ser un mediador de la información
que le interese al usuario, mencionaremos algunos portales que pueden servir
de estrategia al docente en la enseñanza de las matemáticas.
110
Portal (Internet) (http://es.wikipedia.org/wiki/Portal_(internet)) [consultado el 11 Febrero 2010]
130
4.5.1. Mi ayudante
Mi ayudante (http://miayudante.upn.mx/) es un portal que sirve de gran apoyo
didáctico en la planeación de clases del docente, ya que contiene cada
uno de los temas establecidos en el curriculum de la educación básica en
primaria, así como los temas del libro de texto, libro para el maestro, el fichero
de actividades didácticas. El origen de esta herramienta viene de la
Universidad Pedagógica Nacional con la colaboración de la Sociedad
Matemática Mexicana.
En la pantalla de inicio de este portal, hay una ventana que permite
seleccionar el grado y la lección que se quiere consultar, así como el tipo de
consulta que se requiera, la primera trata de la búsqueda de actividades y
sugerencias iniciales, el docente podrá encontrar algunas recomendaciones y
materiales para un conocimiento más profundo y se tenga un mejor
conocimiento del enfoque de las matemáticas en el grado.
La segunda es por lecciones del libro de texto, contiene todas las lecciones del
libro del grado que se requiera.
El tercero es por fichero de actividades, estas son actividades
complementarias del libro de texto, que sirven al docente para reforzar algún
contenido, el profesor deberá revisarlas y ver qué actividad le apoyará en el
aula, estas deben de planearse con anterioridad por el docente.
131
El cuarto es por contenidos del programa, el cual permite ver el tema que se
requiera, estos están por eje temático, se da un clic y despliega el tema en
especifico, también podemos ver las actividades del fichero y del libro de texto
relacionadas.
El quinto, es actividades y juegos, en este apartado el docente podrá
seleccionar variedad de estas actividades y juegos para diferentes situaciones
que se viven en el aula, por ejemplo, cuando los alumnos terminan pronto
alguna tarea en clase. Estos pueden imprimirse y también son interactivas para
los alumnos desde casa. Además al final hay una herramienta que permite
generar diferentes juegos.
El siguiente es lugares y documentos de interés, este apartado en especial es
de gran apoyo al docente, ya que lleva a diferentes sitios en la web en los que
el alumno puede interactuar con los juegos, herramientas con las que se puede
crear material para el alumno, así como documentos que le sirvan al docente
en la tarea de enseñar.
Por último, el apartado lecciones y fichas pertenecientes al tema que se
requiere, se presenta una manera muy rápida de localizar el tema y la ficha con
la que está relacionada, además aparecen sugerencias para utilizarla, de esta
manera el docente podrá articular de una manera positiva los temas con los
materiales que le apoyan.
Es importante mencionar que es Mi ayudante es una herramienta que se va
actualizando.
Estos son algunas actividades y juegos que podemos encontrar en este portal
y que apoyan al alumno en su tarea de reafirmar los conceptos con lo que ya
cuenta.
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Mi ayudante Auxiliar didáctico de matemáticas para el maestro de primaria
http://miayudante.upn.mx
Mismo resultado
Resuelve las sumas y arma los cuadrados
¿Cómo son los resultados de las sumas de cada una de las piezas que forman cada uno de éstos cuadrados?
Solución:
133
Los resultados son iguales.
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Mi ayudante Auxiliar didáctico de matemáticas para el maestro de primaria
http://miayudante.upn.mx
¿Qué soy?
Haz las operaciones y colorea las figuras donde el resultado es 180.
¿Qué animal estaba escondido en el cuadro?
Solución:
Un cisne
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Mi ayudante Auxiliar didáctico de matemáticas para el maestro de primaria
http://miayudante.upn.mx
Sumando 30
Número de jugadores: cuatro
Material: 40 cartas (4 con el número 1, 4 con el número 2, 4 con el número 3, ... , 4 con el número 10) de 5 centímetros de ancho y 5 centímetros de largo y 24 círculos rojos con el número 30.
Reglas del juego: el maestro repartirá 6 círculos y 5 cartas a cada jugador. El resto de las cartas se pondrán en medio de la mesa boca abajo.
* El primer jugador colocará una carta boca arriba sobre la mesa. Después tomará una carta de las que están boca abajo, para volver a quedarse con cinco.
* El siguiente jugador pondrá una carta junto a la que puso el jugador anterior. Después toma una carta de las que están volteadas para volver a quedarse con cinco y así sucesivamente.
* Cuando un jugador coloca una carta y al sumar en vertical u horizontal tiene un total de treinta colocará un círculo en cada extremo de la fila.
Ganará el primer jugador que agote sus 6 círculos.
Ejemplo:
136
4.5.2. Cuaderno intercultural
Otro portal que puede ser de gran ayuda al docente es un blog llamado
“cuadernointercultural.com”(www.cuadernointercultural.com/tictools/generadore
s-online/) en él se encuentran diferentes recursos didácticos para la actividad
docente que pueden servir de mucha ayuda en su labor. En este Blog el
docente encontrará diferentes materiales para la asignatura de matemáticas
así como para otras áreas. El apartado que interesa a nuestro trabajo es el
“Generadores Online de materiales educativos, por Rosana Larraz” de este
apartado se seleccionaron algunas herramientas en apoyo a esta asignatura.
Podemos ver en el índice el tema Generadores de cuestionarios y ejercicios,
se pueden rescatar dos cuadernos que pueden ser de mucha utilidad al
docente como recurso para esta asignatura, son el número 3 “Cuadernos
digitales Vindel”, 21” Generador de operaciones matemáticas para resolver en
línea.”
4.5.2.1. Cuadernos digitales Vindel
Los Cuadernos Digitales Vindel son cuadernos de ejercicios de Matemáticas
en apoyo a la educación primaria y tiene la facilidad de generarse en formato
PDF listos para imprimir y tienen las siguientes características:
• está indicado para cualquier grado de educación primaria;
• cada usuario puede adaptar este cuaderno a las características de su
clase y de su alumno, ya que existe un formulario que ayuda al docente.
Una ventaja de estos cuadernos es que además de las operaciones a
incluir, se eligen los números que van a componer las operaciones, el
número de las sumas o el número de cifras por las que se va multiplicar.
Aquí también se elige el número de páginas que van a componer el
cuaderno. Otra ventaja es que cada cuaderno incluye al final el resultado
de las operaciones;
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• cada cuaderno que el usuario genera, es único, ya que cada número que
componen los diferentes ejercicios son extraídos al azar;
• se puede considerar como un apoyo al ahorro del trabajo del docente en
este caso, ya que puede utilizar los ejercicios como una prueba de
repaso, sin dejar de lado las características de los alumnos;
• estos cuadernos se pueden imprimir directamente;
• se pueden encontrar gran parte de los contenidos de educación primaria.
Por mencionar algunos temas que pueden apoyar el estudio se
compone de: Numeración con naturales. Cálculo con naturales. Cálculo
mental de sumas, restas y multiplicaciones con una y dos cifras (14
fichas diferentes). Dos cuadernos de desarrollo de comprensión de las
Matemáticas, etc.
En este cuaderno digital también podemos encontrar diferentes tipos de
problemas, que pueden ser de apoyo al nivel de aprendizaje del niño, por
ejemplo: Problemas 1a) Cuaderno con problemas de suma llevándose y resta
sin llevar. Problemas 1b) Cuaderno con problemas de suma y resta
llevándose. Problemas 1c) Cuaderno con problemas de las cuatro operaciones
básicas que se resuelven con una sola operación. Problemas 2) Cuaderno que
inicia al alumno a la resolución de problemas con varias operaciones y cuya
principal característica es que cada operación a realizar va acompañada de su
pregunta correspondiente. Problemas 3, 4 ,5 y 5b.- Cuaderno con problemas
con operaciones combinadas graduados en orden de dificultad.
Algunos ejemplos que podemos encontrar en este portal:
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1.- Ordena de mayor a menor estos números: 879 - 338 - 425 - 918 - 384 - 41 - 140 - 499 - 322 – 919 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.- Ordena de menor a mayor estos números: 972 - 915 - 438 - 356 - 49 - 61 - 660 - 235 - 874 – 35 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3.- Coloca el signo < o > según corresponda: 99 __ 27 __ 858 __ 457 __ 124 __ 624 __ 172 __ 258 4.- Escribe del 200 al 1 de 2 en 2 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5.- Escribe con letra los siguientes números 947___________________________________________________________ 388___________________________________________________________ 777___________________________________________________________ 47___________________________________________________________ 822_________________________________________________________ 6.- Escribe con cifras los siguientes números Ciento treinta y nueve _______________
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Ochocientos uno _______________ Ciento doce _______________ Doscientos noventa y ocho _______________ Doscientos ochenta y cinco _______________ 7.- Escribe el anterior y el posterior ___________- 167 -______________ ___________- 772 -______________ ___________- 152 -______________ ___________- 503 -______________ ___________- 204 -______________ 8.- Separa los números en las diferentes unidades C D U 326 615 395 37 345 10.- Escribe el número formado por: 3 U + 5 D = ______________ 6 U + 3 D + 8 C = ______________ 7 U + 5 D + 9 C = ______________ 8 U + 3 D + 8 C = ______________ 4 U + 1 D + 8 C = ______________
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1.- Ordena de mayor a menor estos números: 627 - 961 - 821 - 216 - 4 - 82 - 208 - 991 - 765 – 735 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.- Ordena de menor a mayor estos números: 317 - 658 - 169 - 628 - 768 - 679 - 395 - 626 - 710 – 807 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3.- Coloca el signo < o > según corresponda: 193 __ 260 __ 93 __ 840 __ 181 __ 755 __ 542 __ 316 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4.- Escribe del 100 al 400 de 2 en 2 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5.- Escribe con letra los siguientes números 324___________________________________________________________ 932___________________________________________________________ 773___________________________________________________________ 228___________________________________________________________ 49__________________________________________________________
6.- Escribe con cifras los siguientes números Ochocientos cuarenta y dos _______________
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Ochocientos cuarenta y tres _______________ Cuarenta y siete _______________ Novecientos veinte _______________ Noventa y nueve _______________ 7.- Escribe el anterior y el posterior ___________- 95 -______________ ___________- 562 -______________ ___________- 914 -______________ ___________- 277 -______________ ___________- 225 -______________ 8.- Separa los números en las diferentes unidades C D U 659 989 307 99 293 9.- Escribe el número formado por: 4 U + 4 D = ______________ 5 U + 3 D = ______________ 1 U + 4 D + 1 C = ______________ 5 U + 7 D + 8 C = ______________ 7 U + 9 D + 1 C = ______________
142
4.5.2.2. Generador de operaciones matemáticas
En el cuaderno número 21, llamado Generador de operaciones matemáticas
para resolver en línea, se generan sumas y restas con o sin llevar y
multiplicaciones exactas y no exactas. Todas estas operaciones para realizarse
en línea a diferencia de Vindel que se pueden imprimir. Este cuaderno permite
elegir el número de cifras máximo, el número de operaciones a generar y el
modo de interacción, esto se refiere a escribir con teclado, arrastrar números o
utilizar un teclado virtual. Además que permite verificar cada operación. Es
importante mencionar que este recurso puede ser una estrategia utilizada
directamente por el alumno, es decir, que el alumno puede interactuar con ella
de una manera fácil y al mismo tiempo divertida.
Esta herramienta es más sencilla que Vindel, ya que es fácil de manipular, el
docente puede ocupar el salón de cómputo en un clase de Matemáticas y
poner a los alumnos a resolver operaciones, o puede dejarle de tarea al alumno
visitar la página.
4.5.3. Brain pop
Otro portal que puede ser de gran ayuda es Brain Pop (www.brainpop.com.mx),
que contiene películas animadas sobre matemáticas, ciencias naturales,
español, salud, ciencias sociales, inglés, tecnologías, arte y música muy cortas
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donde explica algún tema en especial y que cubren los temas de educación
básica. Puede utilizarse de manera individual o en grupo para hacer repasos de
contenidos curriculares muy difíciles para el alumno, conceptos que causen
problemas, etc.
Es una herramienta atractiva para los alumnos y explica los conceptos de una
manera muy sencilla y por medio del buscador se pueden encontrar el tema
específico.
Otro contenido de este portal, es que, contiene diferentes cuestionarios para el
tema que se esté repasando, son tres tipos de cuestionarios. El primero, es un
cuestionario calificado, que pone a prueba los conocimientos del alumno y al
final da una puntuación; el segundo, es el cuestionario de repaso y aquí él
alumno no puede avanzar hasta que su respuesta este correcta; el tercero, es
el cuestionario impreso el cual el alumno puede tener a la mano cuando lo
necesite. Así como los cuestionarios, también contiene experimentos que
puedes hacer, algunas actividades y también contiene líneas de tiempo,
aunque más que eso con paseos por el tiempo que son de ayuda para reforzar
el contenido que se está viendo.
Para el docente, es de gran ayuda en el aula, ya que es una manera diferente
en clase, a diferencia de las páginas anteriores, esta se puede ver en grupo
para repasar algún tema en especifico, como ya se mencionó antes, contiene
variedad de temas que van relacionados con el curriculum de la educación
básica. La desventaja de esta página es que se debe pagar por usarla,
realmente valdría la pena usarla, sólo que el internet en las escuelas algunas
veces es muy escaso.
Se sabe que internet es un espacio lleno de información a la que los usuarios
pueden acceder sin problema alguno a la búsqueda de sus intereses por medio
del buscador, sin embargo esto se torna en un problema, ya que si no se sabe
seleccionar la información entonces queda a expensas de toda la información
confiable y la no confiable.
144
V.V.V.V. CONCLUSIONESCONCLUSIONESCONCLUSIONESCONCLUSIONES
La asignatura de matemáticas será siempre de gran importancia para el
desarrollo racional del alumno, a pesar de las diferentes dificultades que
presenta en el aula, será base fundamental en la educación, como lo ha sido
desde siempre. Podrán existir cambios de acuerdo a las necesidades de
cierto contexto, pero las matemáticas siempre serán matemáticas.
El cambio radica en la actitud que las instituciones, los docentes, la sociedad
en general, tomen hacia la enseñanza de estas.
Se sabe que todos los docentes al entrar al salón de clase, cuenta con alguna
estrategia, desde llegar a sentarse a la mesa y poner sólo ejercicios en el
pizarrón y que se realicen, hasta el docente que llega al salón de clase y
propone solucionar problemas en los cuales el apoyara a los alumnos
haciéndoles preguntas o comienza su clase dando instrucciones del siguiente
juego, etc. La Reforma Integral de la Educación Básica ofrece un plan de
estudios muy estructurado, los aprendizajes esperados permiten que el
docente tenga una visión más amplia y de esta manera preguntarse que
estrategia podía utilizar para lograrlos.
El propósito del estudio es reafirmar la importancia que tiene el juego, la
resolución de problemas y el Internet como estrategia en apoyo a la asignatura
de las matemáticas. En especial el Internet que es un recurso de moda en la
actualidad, el cual los pequeños saben que existe y puede ser que hasta lo
sepan manejar. Seguramente el docente sabrá la relevancia que tienen estás
estrategias, pero algunos docentes por ejemplo los de la escuela primaria en la
es estuve no les dan la importancia que debiera, siguen utilizando las mismas
estrategias, que son llegar al salón y poner sumas y restas en el pizarrón y
salirse, ya que la mayoría cuenta con actividades extras en esta escuela.
Si el docente esta consiente de el valor formativo del juego, la resolución de
problemas que se plantea como el eje en el plan y programas de 1993, e
145
Internet entonces debe utilizarlas en el aula, en especial en está asignatura, ya
que al pasar los años las matemáticas para la mayoría se convierten en lo más
aburrido de la escuela.
Algunos docentes no pueden ver Internet como una estrategia, ya que se
enfrentan a diferentes problemáticas, por ejemplo que no sepan usarlo o que la
escuela no les brinde este servicio. Considero que es muy importante que el
docente comience a trabajar con Internet y que se apropie de este recurso, ya
que como ya se menciono anteriormente, es un recurso en el cuál el docente
podrá encontrar contenidos relacionados con temas específicos, es atractivo al
alumno y lo mejor es que ya lo conoce.
Las estrategias, independientemente de su origen, fueron hechas para llegar a
la victoria, al éxito, etc., por lo tanto el docente puede apoyarse en ellas cuando
así lo requiera y tomar muy enserio el lugar que ocupa internet en nuestros
días, en la sociedad del conocimiento. Y con esto también se pretende que el
alumno tome a las matemáticas como una asignatura sencilla y divertida que le
proporcionara herramientas para usarlas en sus diferentes actividades, así
como, que no sean un fastidio en años posteriores.
146
VI.VI.VI.VI.BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA
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