INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECONOLOGIAANTONIO JOSE DE SUCRE

EXTENSIÓN BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE RELACIONES

INDUSTRIALES

Integrantes:

Terán Dexcy

Abarca Lisbeth

Alonso Ronny

Pinto Yancare

Profesor: Jesús Estrada

Asignatura: Estadística Aplicada

ENERO, 2013

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

Este es el encargado de estudiar como estimar, es decir pronosticar, un

parámetro de la población, generalmente la media, la varianza (en consecuencia la

desviación típica) y la proporción, a partir de una muestra de tamaño n. Pero a

diferencia de la estimación puntual donde tal estimación la efectuábamos dando un

valor concreto, en esta ocasión el planteamiento es otro. Lo que se hace es dar un

intervalo donde se afirma o pronostica que en su interior se encontrará el parámetro a

estimar, con una probabilidad de acertar previamente fijada y que trataremos que sea la

mayor posible, es decir próxima a 1.

En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los

cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad

de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir

de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La

probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de

confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de

significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación

mediante tal intervalo.

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma

que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de

confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más

precisa, aumentan sus posibilidades de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario

conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el

parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos de

confianza con la desigualdad de Chebyshev.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un

parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una

expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de

distribución de probabilidad de θ.

Ejemplos

Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media y desviación típica se pueden tomar muestras de

elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media ( ). Se puede

demostrar que la media de todas las medias muéstrales coincide con la media

poblacional:2

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande,3 la

distribución de medias muéstrales es, prácticamente, una distribución normal (o

gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión:

. Esto se representa como sigue: . Si estandarizamos, se

sigue que:

En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro

del cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo

hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje deseado

(véase el uso de las tablas en una distribución normal).

Se desea obtener una expresión tal que

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de

confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media

muestral ( ), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de

confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a que es

el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión

estandarizada o valor crítico— junto con su "opuesto en la distribución" .

Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente

imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar para obtener el intervalo:

De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el

producto del valor crítico por el error estándar .

Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30)4

, donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor para los niveles de confianza estándar son 1,96 para

y 2,576 para .

Intervalo de confianza para una proporción

El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una

proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-

α)·100% es:

En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del

Límite y la aproximación de una binomial por una normal

Elementos de un intervalo de confianza

A la hora de plantearnos la obtención de un intervalo de confianza hemos de

adoptar una serie de decisiones previas.

La primera y más importante es la elección del parámetro poblacional del cual

deseamos obtener la estimación. Generalmente esta elección está relacionada con el tipo

de distribución que asumimos para la variable estudiada. De manera usual el

parámetro poblacional se corresponde con alguno de los parámetros de las

distribuciones, por ejemplo, si deseamos un intervalo de confianza para la probabilidad

de un suceso trabajaríamos con el parámetro p de la distribución Binomial. En algún

caso, sin embargo, podemos estar interesados en la obtención de un intervalo de

confianza para algún parámetro, por ejemplo la media poblacional, sin hacer ninguna

suposición sobre la distribución de la variable. Estaríamos dentro de la denominada

estimación no paramétrica.

Una segunda elección es el nivel de confianza con el que deseamos trabajar. No

es una elección sin importancia, puesto que del nivel de confianza dependerá la

precisión de la estimación que obtengamos, es decir, la anchura del intervalo. A mayor

nivel de confianza exigido, mayor será el radio del intervalo y por tanto menor la

precisión en la estimación. Generalmente se trabaja con niveles de confianza del orden

del 90 % o 95 %.

Ejemplo1. Intervalo de confianza para la media con conocida

Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de una Universidad para estimar La

calificación media de los expedientes de los alumnos.

Se sabe por otros cursos que la desviación típica de las puntuaciones en dicha

Universidad es de 2.01puntos.

La media de la muestra fue de 4.9.

1. Intervalo de confianza al 90%.

2. Intervalo de confianza al 99%.

Solución ejemplo1.

1. Intervalo de confianza al 90%.Usamos la formula:

Los cuantiles de orden 0.05 y 0.95, que encierran en el centro de la distribución

normal un área igual a 0.9 se muestran en el grafico siguiente:

Por último, sustituyendo los datos en la fórmula del intervalo, tenemos:

2. Intervalo de confianza al 99%.

3.

De modo similar obtenemos los cuantiles de orden 0.005y0.995 que describen en

el modelo normal una confianza del 99%.

Por último, sustituyéndolos datos en la fórmula del intervalo, tenemos:

Ejemplo2. Intervalo de confianza para la proporción

Se ha obtenido una muestra al azar de 150 vendedores de una Editorial para estimarla

proporción de vendedores en la Editorial que no alcanza un límite de ventas mínimo

establecido por la dirección.

De entre los seleccionados, 50 no han conseguido llegar al límite de ventas mínimo

establecido.

1. Intervalo de confianza para la proporción de trabajadores en la Editorial que no

alcanza el límite al 80%.

2. Intervalo de confianza para la proporción de trabajadores en la Editorial que no

alcanza el límite al 99%.

3. Interprete los intervalos obtenidos.

Solución

1. Intervalo de confianza para la proporción al 80%. Usamos la formula:

La proporción de la muestra es . Los cuantiles de orden 0.1 y

0.9 para el nivel de confianza dado son-1.28y1.28, respectivamente.

Sustituyendo en la expresión del intervalo:

REFERENCIAS

Rius Díaz, Francisca (octubre de 1997). «8.2. Estimación confidencial». Bioestadística.

Métodos y aplicaciones. Málaga: Universidad de Málaga. ISBN 84-7496-653-1.

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node100.htm.

Sotomayor Velasco, Gabriel; Wisniewski, Piotr Marian (2001). «10.2. Intervalos de

confianza para medias». Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Cengage

Learning Editores. p. 230. ISBN 970686136X. http://books.google.es/books?

id=0VYkub0HvJwC.

Rius Díaz, Francisca (octubre de 1997). «8.6.2. Intervalo para una proporción».

Bioestadística. Métodos y aplicaciones. Málaga: Universidad de Málaga. ISBN 84-7496-

653-1. http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node108.htm.