Estimación Por Intervalos Clase 3

8/16/2019 Estimación Por Intervalos Clase 3

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Especialización en Estad́ıstica Aplicada

Estimación por Intervalos

Asignatura: Estad́ıstica Inferencial

Svetlana Rudnykh

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Estimación por Intervalo

Intervalos de Confianza para µ

Intervalos de Confianza para µ1 − µ2Intervalos de Confianza para σ2

Intervalos de Confianza para σ2

1

σ22

Intervalos de Confianza para p

Intervalos de Confianza para p1

− p2



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Intervalos de Confianza para medias

Caso I: Varianza conocidaX es un estimador suficiente de la media de una población normal con la

varianza conocida σ2, entonces se utilizará para obtener un intervalo de

confianza de µ de una población de este tipo (normal). La distribución

muestral de X de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una

población normal con la media µ y la varianza σ2 es una distribución

normal con la media µX = µ y la varianza σ2X

= σ2

n . Por lo tanto, se

puede escribir

P −z α/2 < Z < z α/2 = 1 − α,

donde

Z = X − µσ/√

n



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y z α/2 es tal que la integral de la densidad normal estándar de z α/2 a ∞es igual a α/2.

Se deduce que

P −z α/2


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Entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µ está dadopor:

x̄− z α/2 ·σ

√ n < µ < x̄ + z α/2 ·σ

√ n,donde z α/2 es el valor que delimita un área de α/2 a su derecha en la

gráfica de función de densidad normal estándar.

Para un valor de α dado, el intervalo depende sólo de constantesconocidas y la muestra observada, y los ĺımites de confianza inferior

y superior pueden obtenerse ahora haciendo que X tome su valor de

muestra x̄.

Al examinar el intervalo de confianza para µ se observa que entre másgrande es el tamaño de la muestra, más pequeño es el ancho del

intervalo; ó para un coeficiente de confianza 1 − α más grande, mayores el ancho del intervalo.



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Ejemplo 1.

Si una muestra aleatoria de tama˜ no n = 20 tomada de una poblaci´ on

normal con la varianza σ2 = 225 tiene la media x̄ = 64,3, construya un

intervalo de confianza del 95 % de la media de la poblaci´ on µ.

Solución:

Para α = 0,05, se tiene de la función de distribución acumulativa normal

estándar que z 0,025 = 1,96. Por consiguiente, el intervalo de confianzadel 95 % para µ es

64,3 − 1,96 · 15√ 20

< µ


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Observación:

En virtud del teorema del limite central, el intervalo

x̄− z α/2 ·σ√

n < µ < x̄ + z α/2 ·

σ√ n

se puede utilizar para muestras aleatorias tomadas de poblaciones no

normales con la varianza conocida σ2, siempre que n sea lo suficiente-

mente grande; es decir, cuando n ≥ 30.

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Caso II: Varianza desconocida

Cuando se muestrea una población normal N (µ, σ), en donde tanto

como µ como σ2 son desconocidos, la variable aleatoria

T =

X

−µ

S/√ n

tiene una distribución t de Student con n− 1 grados de libertad.

Por lo tanto,P (−tα/2,n−1 < T < tα/2,n−1) = 1 − α.



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Al sustituir por T se obtiene

P (−tα/2,n−1 < X − µS/√

n < tα/2,n−1) = 1 − α

ó, lo que es lo mismo,

P

X − tα/2,n−1 ·

S √ n

< µ < X + tα/2,n−1 ·S √

n

= 1 − α.

Entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µ está dadopor:

x̄

−tα/2,n

−1

·

s

√ n < µ < x̄ + tα/2,n

−1

·

s

√ n,

donde tα/2,n−1 es el valor de t con n− 1 grados de libertad que delimitaun área de α/2 a su derecha en la gráfica de función de densidad de

t-Student.



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Para n ≥ 30, la fórmula del intervalo de confianza para µ es la mismaal del caso I (varianza conocida) excepto que σ se reemplace por s.

Ejemplo 2.

Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo de secado en

promedio de una nueva pintura para interiores. Si en 12 áreas de pruebade igual tama˜ no él obtuvo un tiempo de secado medio de 66,3

minutos y una desviaci´ on estándar de 8,4 minutos, construya un

intervalo de confianza del 95 % para la media verdadera µ.



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Solución:

Para α = 0,05, se tiene de la tabla de cuantiles de la distribución t de

Student que t0,025;11 = 2,201. Al sustituir x̄ = 66,3, s = 8,4 y t, el

intervalo de confianza del 95 % para µ se convierte en

66,3 − 2,201 · 8,4√ 12

< µ


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Intervalos de Confianza para la diferen-

cia de mediasCaso I: Varianzas conocidas

Sean X 1, X 2,...,X nX y Y 1, Y 2,...,Y nY dos muestra aleatorias de dos

distribuciones normales independientes, con medias µX y µY y varianzas

σ2X y σ2Y , respectivamente. Se desea construir un intervalo de confianzapara la diferencia µX −µY . Se supone que se conocen los valores de lasvarianzas. Entonces, la variable aleatoria

Z = X − Y − (µX − µY )

σ2

X

nX + σ

2

Y

nY

es N (0, 1). De esta forma se puede escribir

P −z α/2 < Z < z α/2 = 1 −

α.



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Se deduce que

P

X − Y − z α/2

σ2X nX

+ σ2Y nY

< µX − µY

< X − Y + z α/2

σ2X nX

+ σ2Y nY

= 1− α.

Entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100% para µX − µY está dado por:

x̄−

ȳ∓

z α/2 σ2X

nX +

σ2Y

nY ,

donde z α/2 es el valor que delimita un área de α/2 a su derecha en la




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En virtud del teorema de ĺımite central, este resultado puede usarse con

muestras aleatorias independientes de poblaciones no normales con las

varianzas conocidas σ2

X

y σ2

Y

, siempre que nX y nY sean lo suficiente-

mente grandes, esto es, cuando nX y nY ≥ 30.

Ejemplo 3.

Construya un intervalo de confianza del 94 % de la diferencia real entre las duraciones en promedio de dos tipos de focos eĺectricos, dado que

una muestra tomada al azar de 40 focos de un tipo dur´ o en promedio

418 horas de uso continuo y 50 focos de otra clase duraron en promedio

402 horas. Las desviaciones estándar de las poblaciones, seg´ un se sabe,

son σ1 = 26 y σ2 = 22.



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Solución:


estándar que z 0,03 = 1,88. Por lo tanto, el intervalo de confianza del 94 %

de µ1−

µ2 es

(418− 402)∓ 1,88 ·

262

40 +

222

50 ,

que se reduce a

6,3 < µ1 − µ2


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Caso II: Varianzas desconocidas e iguales

Si las varianzas σ2X y σ2Y se desconocen pero son iguales, entonces la

variable aleatoria

T = X − Y − (µX − µY )

S p

1nX

+ 1nY

tiene una distribución t de Student con k = nX + nY − 2 grados delibertad. Al sustituir esta expresión por T en

P (−tα/2,k < T < tα/2,k),entonces, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µX − µY está dado por:

x̄− ȳ ∓ tα/2,ks p

1

nX +

1

nY ,



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donde tα/2,n−1 es el valor de t con n− 1 grados de libertad que delimitaun área de α/2 a su derecha en la gráfica de función de densidad de

t-Student y el estimado combinado de la varianza común es

s2 p = (nX − 1)s2X + (nY − 1)s

2Y

nX + nY − 2 .

Ejemplo 4.

Se ha realizado un estudio para comparar el contenido de nicotina de

dos marcas de cigarrillos. Diez cigarrillos de la marca A tuvieron un con-

tenido de nicotina en promedio de 3,1 miligramos con una desviaci´ on de

0,5 miligramos, mientras que ocho cigarrillos de marca B tuvieron un

contenido de nicotine en promedio de 2,7 miligramos con una desviaci´ on

estándar de 0,7 miligramo. Suponiendo que los dos conjuntos de datos son muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas

iguales, construya un intervalo de confianza del 95 % de la diferencia

real en el contenido promedio de nicotina de las dos marcas de cigarrillos.



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Solución:

Se resumirán los datos de la siguiente manera:

Marca A Marca B

n1 = 10 n2 = 8

x̄1 = 3,1 x̄2 = 2,7

s1 = 0,5 s2 = 0,7

Para α = 0,05 y n1 + n2 − 2 = 16 grados de libertad, se tiene de latabla de cuantiles de la distribución t de Student que t0,025;16 = 2,120.

El valor de s p es

s p =

9(0,25) + 7(0,49)

16 = 0,596.



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Por consiguiente, el intervalo de confianza del 95 % para µ1 − µ2 es

(3,1 − 2,7)∓ 2,120(0,596)

110

+ 18

,

que se reduce a

−0,20 < µ1 − µ2


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Caso III: Varianzas desconocidas y diferentes

Si x̄1 y s21, x̄2 y s

22 son las medias y varianzas muestrales de

muestras pequeñas e independientes de tamaños n1 y n2 respectiva-

mente, tomadas de distribuciones normales con varianzas diferentes ydesconocidas, un intervalo de confianza de (1 − α)100 % para µ1 − µ2está dada por:

(x̄1 − x̄2) ∓ tα/2 s21

n1 +

s22n2 ,

donde tα/2 es el valor de t que delimita una área de α/2 a su derecha en

la gráfica de función de densidad t-Student, con k grados de libertad,

k =

s21n1 +

s22

n22

s21

n1

2/(n1 − 1)

+

s22

n2

2/(n2 − 1)

.



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Ejemplo 5.

En un proceso qúımico, dos catalizadores están siendo comparados por

su efecto en el resultado de la reacci´ on del proceso. Se prepar´ o una

muestra de 12 lotes utilizando el catalizador 1 y una muestra de 10 lotes

utilizando el catalizador 2. Los 12 lotes en los cuales se utiliz´ o el catali-

zador 1 dieron un rendimiento medio de 85 con una desviaci´ on est́andar

de 4, en tanto que el rendimiento para la segunda muestra fue de 81con una desviaci´ on estándar de 5. Obtenga un intervalo de confianza de

90 % para la diferencia entre las medias poblacionales, suponiendo que

éstas están distribuidas en forma aproximadamente normal, con varian-

zas distintas.

Solución:

Se resumirán los datos de la siguiente manera:



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Catalizador 1 Catalizador 2

n1 = 12 n2 = 10

x̄1 = 85 x̄2 = 81

s1 = 4 s

2 = 5

α = 0,1, k = 17 , t0,05;17 = 1,74.

Reemplazando los valores en la fórmula del intervalo de confianza, se

obtiene que

4− 3,41 < µ1 − µ2


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Caso IV: Observaciones pareadas

Las muestras apareadas se obtienen usualmente de dos formas:

a) Como distintas observaciones realizadas sobre los mismos individuos

(situaciones antes-después).

b) Como las observaciones distribuidas por pares donde se asigna un

tratamiento particular a uno de los miembros del par en forma com-

pletamente al azar.

Ejemplo a)

Un ejemplo de observaciones pareadas consiste en considerar a un con-

junto de n personas a las que se le aplica un tratamiento médico y se

mide por ejemplo el nivel de insulina en la sangre antes (X ) y despuésdel mismo (Y ). En este ejemplo no es posible considerar a X e Y como

variables independientes ya que va a existir una dependencia clara entre

las dos variables.



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Ejemplo b)

Probar la efectividad de un fertilizante en un determinado cultivo; se

escogen parcelas o sean pequeñas unidades de superficie cultivada y se

les aplica el fertilizante a la mitad de cada parcela. Las poblaciones re-spectivas (tratadas y no tratadas) están ligadas o relacionadas, no son

independientes, entonces se debe considerar la diferencia que hay entre

los miembros de cada par.

Si se quiere probar si hay diferencia entre las poblaciones X y Y , se

define la diferencia entre las observaciones antes-después ó tratadas/no

tratadas como: D = X − Y.Se supone que la variable aleatoria que define la diferencia entre el

antes-después ó tratadas/no tratadas es una variable aleatoria que sedistribuye normalmente, pero cuyas media y varianza son desconocidas

D ∼ N(µD, σ2D).

Si D̄ S l di l d i i´ t́ i d l dif i



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Si D y S D son las media y la desviación t́ıpica de las diferencias

distribuidas normalmente de n pares de mediciones aleatorias, entonces

un intervalo de confianza de (1− α)100 % para µD = µX − µY es:

D̄ − tα/2 S D√ n

< µD < D̄ + tα/2 S D√ n

,

donde tα/2 es el valor de t con k = n−1 grados de libertad, que delimitaun área de α2 a la derecha en la gráfica de función de densidad t-Student.

Ejemplo 6.

Un investigador médico se interesa en determinar si un fármaco experi-

mental tiene el efecto colateral no deseable de elevar la presi´ on sist´ olica

sangúınea. Para conducir un estudio de amplia cobertura se seleccionan

en forma aleatoria 12 personas de diferentes edades y condiciones de salud.

En un ambiente controlado de laboratorio se toma la presión sangúınea



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En un ambiente controlado de laboratorio se toma la presi on sanguınea

de los 12 sujetos y se les administra el fármaco durante un lapso adecua-

do de tiempo después del cual se les vuelve a tomar la presi´ on sangúınea.

PS PS DiferenciasSujeto antes después (despúes-antes)

1 128 134 62 176 174 -23 110 118 84 149 152 35 183 187 46 136 136 07 118 125 78 158 168 109 150 152 2

10 130 128 -211 126 130 412 162 167 5

Determine un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia media

de la presi´ on sist´ olica, considere que la distribuci´ on de diferencia de las

presiones sangúıneas es aproximadamente normal.



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Solución:

Para α = 0,05, se tiene de la tabla de cuantiles de la distribución t de

Student que t0,025;11 = 2,201. Al sustituir x̄D = 3,75, sD = 3,7929 y t,el intervalo de confianza del 95 % para µ es

3,75 − 2,40 < µD


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Intervalos de Confianza para varianza

Se examina el problema de construcción de un intervalo de confian-

za para la varianza de la población σ2 cuando se muestra N (µ, σ).

Bajo estas condiciones la distribución de muestreo (n− 1)S 2/σ2 es chi-cuadrada con n− 1 grados de libertad. Entonces es posible determinarlos valores cuant́ıles χ2α/2,n−1 y χ21−α/2,n−1 tales que

P

χ2α/2,n−1 <

(n − 1)S 2σ2

< χ21−α/2,n−1

= 1 − α.

Se puede expresar como

P

(n− 1)S 2χ2α/2,n−1

< σ2 < (n − 1)S 2χ21−α/2,n−1

= 1 − α.



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Entonces el intervalo de confianza de (1

−α)100% para σ2 es:

(n − 1)s2χ2α/2,n−1

< σ2 < (n − 1)s2χ21−α/2,n−1

,

donde χ2α/2,n−1, χ

21−

α/2,n−1 son cuantiles χ

2 con k = n

−1 grados de

libertad, que delimitan áreas de α/2 y (1 − α/2) a la izquierda y a laderecha en la gráfica de función de densidad chi-cuadrado respectiva-

mente.

Es un intervalo aleatorio el cual contiene a σ2 y a parámetros conocidos



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Es un intervalo aleatorio el cual contiene a σ y a parametros conocidos

con una probabilidad de 1 − α . De esta forma, con base en los datosde una muestra aleatoria de tamaño n, se calcula el estimado S 2 y el

intervalo de confianza del 100(1−

α) % para σ2.

Se pueden obtener ĺımites de confianza del (1 − α)100% correspondi-entes para σ sacando las ráıces cuadradas de los ĺımites de confianza

para σ2.

Ejemplo 7.

Un proceso produce cierta clase de cojinetes de bola cuyo diámetro

interior es de 3 cm. Se seleccionan, en forma aleatoria, 12 de estos

cojinetes y se miden sus diámetros internos, que resultan ser 3,01; 3,05;

2,99; 2,99; 3,00; 3,02; 2,98; 2,99; 2,97; 2,97; 3,02 y 3,01. Suponiendo que el diámetro es una variable aleatoria normalmente distribuida,

determinar un intervalo de confianza del 99 % para la varianza σ2.

Solución:



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Solucion:

Dado que la confianza deseada es del 99 %, α = 0,01. De la tabla de

cuantiles de la distribución de chi-cuadrada χ20,005;11 y χ20,995;11 son 2,60

y 26,71, respectivamente. El valor calculado de la varianza muestral ess2 = 0,0005455 cm2.

Por lo tanto, un intervalo de confianza del 99 % para σ2 es

(12 − 1)(0,0005455)26,71

< σ2 < (12− 1)(0,0005455)

2,60 ,

ó

0,0002246 < σ2


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Intervalos de Confianza para el cociente

de la varianza

Se supone que se tienen muestras aleatorias provenientes de dos

distribuciones normales con medias y varianzas desconocidas. Sean nX y nY , el tamaño de las muestras y S

2X y S

2Y las varianzas muestrales. El

interés se centra en construir un intervalo de confianza para el cociente

σ2Y /σ2X de las dos varianzas poblacionales. Entonces la variable aleatoria(S 2X /σ

2X )/(S

2Y /σ

2Y ) tiene una distribución F con nX −1 y nY −1 grados

de libertad. Entonces puede escribirse

P

a <

S 2X /σ2X

S 2Y /σ2Y < b

= 1 − α,en donde a y b son los valores cuantiles inferior y superior de una

distribución F tales que



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a = 1/f 1−α/2,nY −1,nX −1 y b = f 1−α/2,nX −1,nY −1,

se obtiene

P

a < S 2X S 2Y

· σ2Y σ2X

< b

= 1 − α,

ó

P S 2Y

S 2X · f 1−α/2,nY −1,nX −1 < σ2Y σ2X <

S 2Y ·

f 1−

α/2,nX

−1,nY

−1

S 2X

= 1− α.

Entonces el intervalo de confianza del (1 − α)100 % para σ2Y /σ2X estadado por

s2Y s2X · f 1−α/2,nY −1,nX −1

< σ2Y σ2X

< s2Y · f 1−α/2,nX −1,nY −1

s2X ,

donde1



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1

f 1−α/2,nY −1,nX −1= f α/2,nX −1,nY −1

es el cuantil de F con nX − 1 y nY − 1 grados de libertad que delimitaun área de α/2 a la izquierda en la gráfica de función de densidad deF -Fisher. Igualmente, f 1−α/2,nX −1,nY −1 es el cuantil de F con nX − 1y nY − 1 grados de libertad que delimita un área de α/2 a la derechaen la gráfica de función de densidad de F -Fisher.



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Ejemplo 8.

Se considera usar dos marcas diferentes de pinturas látex. El tiempo de

secado en horas se mide en espećımenes de muestras del uso de las dos

pinturas. Se seleccionan 15 espećımenes de cada una y los tiempo de secado son los siguientes:

A 3.5 2.7 3.9 4.2 3.6 2.7 3.3 5.2 4.2 2.9 4.4 5.2 4.0 4.1 3.4B 4.7 3.9 4.5 5.5 4.0 5.3 4.3 6.0 5.2 3.7 5.5 6.2 5.1 5.4 4.8

Suponga que el tiempo de secado se distribuye normalmente. Encuentre

intervalo del 98 % de confianza para σ2A

σ2B

.

Solución:

Los valores calculados de las varianzas muestrales son s2A = 0,6074286 y

s2B = 0,5682857. Dado que la confianza deseada es del 98 %, α = 0,02,

de la tabla de los valores cuantiles de la distribución F el valor del cuan-



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til f 0,99;14;14 es 3,697541.

Por lo tanto el intervalo de confianza del 98 % para el cociente σ2A

σ2

B

de

las dos varianzas desconocidas es:

0,6074286

(3,697541)(0,5682857) <

σ2Aσ2B

< (3,697541)(0,6074286)

0,5682857 ,

0,2890783 < σ2A

σ2B


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Intervalos de Confianza para la

proporción

En una muestra aleatoria de tamaño n el parámetro p que representa

la proporción de algún atributo es desconocido. Se desea determinar

un intervalo de confianza para p. A pesar de que es posible determi-

nar intervalos de confianza exactos para p, se optará por un intervalo

de confianza basado en una muestra grande. La razón de esta decisióntiene sus ráıces en el teorema DeMoivre-Laplace, el cual establece que la

distribución de una variables aleatoria binomial tiende hacia una normal

cuando n tiende a infinito.

El estimador de máxima verosimilitud de p, denotado por P̂ , es

P̂ = X

n,

en donde X es binomial con parámetro n y p. Se nota que P̂ es un



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p y p q

estimador insesgado de p, ya que

E ( P̂ ) = p.

La varianza de P̂ es:

V ar( P̂ ) = p(1− p)/n.

Para n grande, la variable aleatoria (X −

np)/ np(1 − p) es apro-ximadamente N (0, 1). Entonces puede demostrarse que la distribuciónde

P̂ − p

P̂ (1−P̂ )ntambién tiende a N (0, 1) para n grande.



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De esta forma, la probabilidad del intervalo aleatorio es

P

−z α/2 < P̂ − p ̂P (1−P̂ )

n

< z α/2

= 1 − α.De acuerdo a lo anterior el intervalo de confianza para p es

ˆ p− z α/2 ̂

p(1 − ˆ p)n

< p < ˆ p + z α/2

̂ p(1 − ˆ p)

n ,

donde z α/2 es el valor que delimita un area de α/2 a su derecha en la


Ejemplo 9.



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En una muestra aleatoria de n = 500 grupos de investigaci´ on en el

campo de la Qúımica a nivel mundial, se hall´ o que los miembros de 340

grupos de investigaci´ on han participado en por lo menos un Congreso Internacional de Qúımica. Obtenga un intervalo de confianza de 95 %

para estimar la proporci´ on real de grupos de investigaci´ on que han

participado de un Congreso Internacional de Qúımica.

Solución:


estándar que z 0,025 = 1,96. El valor calculado de la proporción muestrales ˆ p = 340/500 = 0,68.

R l d l l l f l d l i l d fi d l



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Atrás

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Reemplazando los valores en la formula del intervalo de confianza del

95 % para p se obtiene

0,68 − 1,96

(0,68)(0,32)

500 < p


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Atrás

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Intervalos de Confianza para diferencia

entre proporciones

Si los números respectivos de éxitos son X 1 y X 2, y las proporciones

muestrales correspondientes se denotan por P̂ 1 = X 1

n1y P̂ 2 =

X 2n2

, un

intervalo de confianza de (1

−α)100% para p1

− p2 está dado por

(ˆ p1 − ˆ p2) ∓ z α/2 · ̂

p1(1 − ˆ p1)n1

+ ˆ p2(1− ˆ p2)

n2,

donde z α/2 es el valor de Z que limita un área de α/2 a su derecha en

la gráfica de función de densidad normal estándar.

Ej l 10



43/45

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Ejemplo 10.

Si 132 de 200 votantes hombres y 90 de 150 votantes mujeres están a

favor de cierto candidato que hace campa˜ na para gobernador de Illinois,encuentre un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia entre las

proporciones reales de votantes hombres y votantes mujeres que están

a favor del candidato.

Solución:

Se sustituye ˆ p1 = 132/200 = 0,66, ˆ p2 = 90/150 = 0,60 y z 0,005 = 2,575

en la fórmula del intervalo de confianza y se obtiene

(0,66 − 0,60) ∓ 2,575

(0,66)(0,34)

200 +

(0,60)(0,40)

150 ,

l d



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Atrás

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lo que se reduce a

−0,074 < p1

− p2


45/45

45/45

Atrás

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Referencias

1 G. C. Canavos. 1988. Probabilidad y Estad́ıstica - Aplicaciones y

Métodos . Mc. Graw Hill, Mexico.

2 J. E. Freund, I. Miller & M. Miller. 2000. Estad́ıstica Matemática

con Aplicaciones. Pearson Prentice Hall, Mexico.

Estimación Por Intervalos Clase 3

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