Estimación del coeficiente de dispersión longitudinal … A es el área de la sección...

RIBAGUA – Revista Iberoamericana del Agua 2 (2015): 26–37

2386-3781/© 2015 IAHR y WCCE. Publicado por Elsevier España, S.L.U. Este es un artículo Open Access bajo la licencia CC BY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

www.elsev ier .es / r ibagua

RIBAGUA

* Autor para correspondencia.

Correo electrónico: [email protected] (JM Díaz Lozada)

26

Artículo científico

Estimación del coeficiente de dispersión longitudinal en ríos de la región central de Argentina utilizando ADCP

J.M. Díaz Lozadaa,*, C.M. Garcíaa,b,c, H. Herreroa,b,c, M. Romagnolid, A. Cossavellae

aCentro de Estudios y Tecnología del Agua (CETA), Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba, ArgentinabConsejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), ArgentinacInstituto de Estudios Avanzados en Ingeniería y Tecnología, IDIT UNC-CONICETdCentro Internacional Franco Argentino de Ciencias de la Información y de Sistemas, CONICET, Rosario, ArgentinaeSecretaría de Recursos Hídricos del Gobierno de la Provincia de Córdoba, Córdoba, Argentina

I N F O R M A C I Ó N D E L A R T Í C U L O

Historia del artículo:

Recibido el 24 de febrero de 2015

Aceptado el 08 de septiembre de 2015

Palabras clave:

Métodos experimentales

Trabajos de campo

ADCP

Procesos de mezcla en ríos

R E S U M E N

El coeficiente de dispersión longitudinal (D) es un parámetro fundamental requerido para predecir el

transporte de contaminantes en un curso fluvial. La determinación experimental de D mediante técni-

cas convencionales como, por ejemplo, ensayo de trazadores, requieren una gran inversión en planifi-

cación, personal técnico y análisis posterior, y los resultados son únicamente válidos para las condicio-

nes de flujo presentes en el momento de realizar la medición. En los ríos de la zona central de

Argentina, los cuales presentan una gran variabilidad estacional de caudales, se hace muy costosa la

determinación de este coeficiente D con ensayo de trazadores, ya que se deberían evaluar un amplio

rango de condiciones de flujo existentes. Debido a esto, se utilizan fórmulas empíricas, desarrolladas

por diversos autores, que permiten estimar el coeficiente de dispersión longitudinal de acuerdo con

parámetros hidráulicos globales (profundidad, velocidad media del flujo, ancho del río, etc.). Sin embar-

go, estas expresiones presentan una gran variación en sus resultados y solo funcionan adecuadamente

en ríos con características similares a los que fueron ajustadas. Es por ello que, en este trabajo, se estima,

de manera alternativa, el coeficiente D mediante una caracterización hidrodinámica detallada, realiza-

da en sistema fluvial con un perfilador de corriente acústico Doppler (ADCP). Se adoptó, como sistema

fluvial de estudio, el río Carcarañá que escurre por la región central de Argentina (provincias de Córdoba

y Santa Fe). A partir de las estimaciones realizadas, se evalúa D en los principales tributarios del sistema

fluvial y se comparan los resultados con los obtenidos de la aplicación de las formulas empíricas y con

ábacos desarrollados sobre la base de valores reportados para diferentes ríos del mundo.

© 2015 IAHR y WCCE. Publicado por Elsevier España, S.L.U. Este es un artículo Open Access

bajo la licencia CC BY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

Estimation of longitudinal dispersion coefficient in rivers of central region of Argentina using ADCP

A B S T R A C T

The Longitudinal dispersion coefficient (D) is a fundamental parameter required to predict the trans-

port of pollutants in rivers. The experimental determinations of D by conventional techniques, such as

tracers test, require a large investment in planning, staff and subsequent analysis, and the results are

only valid for the flow conditions present during the test. Using tracers test to estimate D is very expen-

sive in rivers of central region of Argentina which have a large seasonal variability of flow discharges

(with maximum values one or two orders of magnitude larger than the mean values), as tracers test

should be performed for a wide range of flow conditions. Thus, water quality modelers use empirical

Keywords:

Experimental method

Field work

ADPC

Mixing process in rivers

http://crossmark.crossref.org/dialog/?doi=10.1016/j.riba.2015.08.001&domain=pdf

J.M. Díaz Lozada et al. / RIBAGUA – Revista Iberoamericana del Agua 2 (2015): 26–37 27

1. Introducción

La predicción del transporte de un contaminante en un sistema flu-

vial (que integra los fenómenos de advección y dispersión) es fun-

damental para llevar a cabo un adecuado manejo de ese sistema y

preservar su calidad. Para realizar esta tarea, se efectúan modela-

ciones numéricas que requieren la definición de parámetros, de los

que uno de los más importantes es el coeficiente de dispersión lon-

gitudinal (D) [1]. La dispersión depende de la hidrodinámica y de las

características del cauce. La determinación de este coeficiente D

mediante técnicas convencionales, como por ejemplo los ensayos

de trazadores, requiere una gran inversión en planificación, perso-

nal y análisis posterior [2,3] y los resultados son únicamente válidos

para las condiciones de flujo presentes en el momento de realizar la

medición. En ríos con escasa variabilidad temporal en los caudales

escurridos, la realización de un solo ensayo de trazadores puede ser

suficiente para estimar, con cierta precision, el coeficiente D para la

mayoría de las condiciones de flujo esperadas. Los ríos de la zona

central de Argentina presentan una gran variabilidad estacional de

caudales (valores máximos uno o dos órdenes de magnitud mayo-

res que los valores medios), por lo que se hace muy costosa la deter-

minación de este coeficiente mediante ensayo de trazadores, ya que

se debería determinar experimentalmente D para un amplio rango

de condiciones de flujo. Así, los profesionales que se dedican a mo-

delar calidad de agua en los ríos de esta zona utilizan fórmulas em-

píricas, ajus tadas por diversos autores a valores estimados de medi-

ciones de campo y laboratorio, que permiten determinar el

coeficiente de dispersión longitudinal de acuerdo con los paráme-

tros hidráulicos globales disponibles más frecuentemente (profun-

didad y velocidad media del flujo, ancho del río, etc.). Sin embargo,

estas expresiones presentan una gran variabilidad en sus resultados

y sólo funcionan adecuadamente en ríos con características simila-

res a los que fueron ajustadas. Debido a esto, en este trabajo se uti-

liza una metodología alternativa que permite estimar el coeficiente

de dispersión longitudinal teniendo en cuenta las características

particulares del flujo en distintas secciones del sistema fluvial,

como la distribución transversal de las velocidades del flujo, la bati-

metría del cauce, etc. Se utiliza la ecuación integral presentada por

Fischer et al. [3] para estimar el coeficiente de dispersión longitudi-

nal (ecuación 1), la que requiere una caracterización hidrodinámica

detallada.

(1)

donde A es el área de la sección transversal; u’(y) es la diferencia

entre la velocidad longitudinal media en la vertical u(y) en la

progresiva transversal y la velocidad media

global en la sección ; h(y) profundidad

en la progresiva y; y es el coeficiente de dispersión transver-

sal en la progresiva y.

La ecuación 1 asume un flujo uniforme y unidimensional [3], considerando que el contaminante debe estar completamente

mezclado en la dirección vertical y transversal. Debido a esta limi-

tación, esta ecuación únicamente puede utilizarse en tramos de

ríos donde no existan fuertes recirculaciones o corrientes secunda-

rias. Además, esta ecuación asume que el mecanismo de dispersión

por corte predomina sobre los demás mecanismos de mezcla

(el gradiente de velocidad en la transversal debe ser grande para

que la dispersión por corte predomine sobre los demás mecanis-

mos) y que la dispersión por corte transversal es quien gobierna el

proceso de mezcla y no la dispersión por corte vertical [2]. Por lo

tanto, tan sólo puede ser aplicada a ríos donde el ancho (B) sea

mucho mayor que la profundidad media (Hmed). Fischer et al. [3]

recomiendan una relación B/Hmed mayor a 6. Con respecto a los re-

sultados obtenidos por la ecuación 1, Seo y Baek [4] afirman en sus

estudios que la ecuación 1 permite estimar el coeficiente de dis-

persión longitudinal con errores menores al 30% en condiciones de

flujo uniforme y dentro de un factor de 4 en flujos no uniformes,

mientras que Carr y Rehmann [2] obtuvieron que el 85% de los va-

lores calculados se encuentran dentro de un factor de 3 respecto al

medido con ensayo de trazadores. La información hidrodinámica y

batimétrica detallada requerida para aplicar la ecuación 1 no puede

ser registrada por métodos de velocimetría convencionales aplica-

das en sistemas fluviales (por ejemplo, molinetes). En la actuali-

dad, el desarrollo de la tecnología acústica Doppler para efectuar

aforos en sistemas fluviales (normalmente con profundidades ma-

yores a 0,30 m) permite obtener la información requerida para

aplicar la ecuación 1 en cada sección de un curso fluvial. En este

trabajo se estima el coeficiente de dispersión longitudinal me-

diante una caracterización hidrodinámica detallada realizada en

sistema fluvial con un perfilador de corriente acústico Doppler

(ADCP). Se adoptó, como sistema fluvial de estudio, el río Carca-

rañá, que escurre por la región central de Argentina (provincias de

Córdoba y Santa Fe). Este sistema fluvial ha sido monitoreado pe-

riódicamente, durante más de tres años en toda su extensión, por

el grupo de trabajo a cargo de esta publicación. A partir de la infor-

mación registrada en ese período, se evalúa el coeficiente de dis-

persión longitudinal en los principales tributarios del sistema flu-

vial y se comparan los resultados con los obtenidos de la aplicación

de las formulas empíricas y con valores reportados para diferentes

ríos del mundo.

formulas developed by various authors estimating the longitudinal dispersion coefficient based on

global hydraulic parameters (mean flow depth and velocity, river width, etc.). However, these formulas

show large scatter in the results and only perform properly in rivers with similar characteristics that

were calibrated. On that basis, an alternative estimation of the coefficient of longitudinal dispersion is

performed in this paper through a detailed experimental hydrodynamic characterization performed in

a fluvial system with an Acoustic Doppler Current Profiler (ADCP). The Carcarañá River, flowing through

the Cordoba and Santa Fe provinces in Argentina, has been selected as a study system. The results of

this paper include the values o longitudinal dispersion coefficients in different streams of the analyzed

fluvial system which are the compared with values estimated using empirical formulas and plots devel-

oped using data from different river systems around the world.

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2. Materiales y métodos

Los estudios experimentales reportados en este trabajo se desarro-

llaron en los principales tributarios del sistema fluvial del río Carca-

rañá (Fig. 1), que es una importante cuenca hidrográfica de más de

50.000 km2 de extensión, ubicada en el área central de la República

Argentina, y abarca gran parte de las provincias de Córdoba y Santa

Fe. Los principales tributarios de este sistema son el río Tercero

(Ctalamochita), Saladillo (nombre del curso inferior del río Cuarto o

Chocancharava) y Arroyo Las Tortugas (Fig. 1). Dada su ubicación en

una de las regiones con mayor actividad agrícola, ganadera e indus-

trial del país, los ríos de la cuenca se ven afectados por: a) descargas

industriales (reconociendo una problemática potencial en la locali-

dad de río Tercero (Córdoba), en donde se localiza un importante

polo industrial [6]); b) descargas cloacales no tratadas adecuada-

mente; y c) contaminación por agroquímicos. Debido a esta proble-

mática, se llevan adelante, desde el año 2012, campañas de monito-

reo de calidad de agua y aforos de caudal superficial con el objeto de

preservar la calidad del recurso, cuantificar y caracterizar el escurri-

miento superficial de los cursos que componen dicha cuenca. Estos

monitoreos y aforos se realizan a partir de un esfuerzo conjunto

entre tres instituciones de las provincias de Córdoba y Santa Fe

(CETA, Centro de Estudios y Tecnología del Agua–Universidad Na-

cional de Córdoba; CIFACIS, Centro Internacional Franco Argentino

de Ciencias de la Información y de Sistemas–Universidad Nacional

de Rosario; y la Secretaría de Recursos Hídricos del Gobierno de la

Provincia de Córdoba).

Se seleccionaron, específicamente para este trabajo, cuatro sec-

ciones de medición en los principales tributarios del sistema fluvial

(Fig. 2 y tabla 1), las cuales se monitorearon periódicamente. Estas

secciones se encuentran en tramos de río suficientemente rectos

para evitar la presencia de corrientes secundarias y además cum-

plen con la condición de aguas poco profundas (relación ancho/pro-

fundidad media del río B/Hmed > 6) ambas condiciones requeridas

para aplicar la ecuación 1. Además, en esas secciones no existen in-

terferencias significativas en el flujo producidas por obstáculos

como pilas y estribos de puente, etc.

En cada una de las secciones transversales de medición seleccio-

nadas se realizaron caracterizaciones hidrodinámicas detalladas con

un ADCP. Las mediciones se efectuaron desde una plataforma móvil

utilizando un ADCP YSI/SonTek RiverSurveyor S5 (Firmware 3.0 de

3Mhz) que se encuentra equipado con un geoposicionador satelital

diferencial (DGPS). Este equipo se seleccionó en virtud de las carac-

terísticas presentes en los ríos a estudiar, los cuales son ríos poco

profundos. El ADCP presenta limitaciones debido a que no puede

medir la sección completa del río, porque existe una profundidad de

Tabla 1Secciones transversales de medición seleccionadas para este estudio

Sección n.º Curso fluvial Localización

1 Río Tercero Puente Sarmiento – Bell Ville

2 Río Saladillo Puente Ruta 6 – Saladillo

3 Río Carcarañá Puente Ruta 12 – Inriville

4 Arroyo Las Tortugas Puente Ruta 9 - Ingreso a la localidad

de Tortugas

B. de losQuebrachitos

Canal S. Antonio

Arroyo Las Tortugas

A. Tegua

R. TerceroE. Río Tercero

R. Santa Rosa

R. Quillinzo

R. de la Cruz

R. Barrancas

R. CarnerilloR. Chucul

R. CuartoB. del Saladillo

Saladillo

Carcarañá

0 90 180 270 km

Prov. de Córdoba

Prov. de Buenos Aires

Prov. de Santa Fe

A. San Bartolomé

N

Figura 1. Sistema fluvial del río Carcarañá. Subsecretaría de Recursos Hídricos de la Nación [5].

Arroyo Las Tortugas

Tortugas

Bell Ville

Inriville

Río Carcarañá

Saladillo

Provincia de Córdoba

Río Tercero

Río Saladillo

Provincia de Santa FeN

Figura 2. Ubicación de las secciones transversales de medición seleccionadas para este estudio.


inmersión mínima para que el instrumento funcione, una distancia

en la cual el transductor no registra datos debido al rápido retorno

de las ondas acústicas (los transductores necesitan un tiempo mí-

nimo entre ciclos de envío y recepción de las ondas), una zona cer-

cana al fondo donde no se pueden realizar mediciones debido a la

interferencia que produce el rebote acústico de la onda en el fondo

(entre el 6% y 10% de la profundidad [7]) y las zonas cercanas a las

márgenes donde las profundidades son menores a las que puede

registrar el instrumento. Si bien el instrumento no mide en esos sec-

tores, este efectúa estimaciones de caudal en dichas zonas mediante

diferentes aproximaciones que el fabricante provee y el usuario

puede elegir. En este trabajo se adoptó un perfil vertical de velocida-

des logarítmico con el propósito de estimar las velocidades en las

zonas no medidas cerca del fondo y de la superficie.

En cada sección de aforo se realizó un número par de cruces o

transectas, con un tiempo mínimo de medición de 720 segundos

(12 min), que es el tiempo recomendado por el Servicio Geológico

de los Estados Unidos (USGS) [8], y una velocidad de cruce menor

que la velocidad del flujo, lo que garantiza una precisa medición de

caudal. El ADCP River Surveyor S5 permite utilizar distintos siste-

mas de referenciación de la embarcación para determinar la veloci-

dad relativa de la embarcación y, de esa forma, calcular la velocidad

del flujo y caudal. En este trabajo se alternó entre dos sistemas de

referencia. El primer sistema se conoce como “seguimiento de

fondo”, el cual determina la velocidad de la embarcación con res-

pecto al fondo del cauce utilizando el principio acústico Doppler. El

sistema de seguimiento de fondo puede ser más preciso si el lecho

del río es fijo (sin transporte de sedimento en el fondo [2]) y si la

profundidad en todo el río es menor que 5 m en el caso del ADCP

RiverSurveyor S5 [9]. El segundo sistema de referencia para deter-

minar la velocidad de la embarcación consiste en el uso del sistema

DGPS. Para la selección del sistema de referencia en cada una de las

mediciones realizadas, se adoptó el sistema óptimo para cada con-

dición del flujo o aquel que presentó el menor desvío estándar de

los caudales relevados cuando más de una opción estaba disponible.

A partir de la información obtenida de las mediciones con ADCP en

las diferentes secciones, se utilizó el programa USGS-VMT (Velocity

Mapping Toolbox–http://hydroacoustics.usgs.gov/movingboat) para

promediar los campos de flujos medidos en las distintas transectas,

para las mismas condiciones experimentales, con el fin de determi-

nar el campo de flujo medio de la sección. Posteriormente, se

aproximó la distribución transversal de velocidades de flujo medio

en la vertical en la dirección principal del flujo y profundidades me-

diante funciones continuas. Esta aproximación se realiza porque: a)

las fluctuaciones generadas por la turbulencia del flujo y el ruido

presente generan que los perfiles de velocidades no sean suaves

[10]; b) los datos obtenidos de ADCP no están equiespaciados, lo

cual dificulta la integración numérica, y c) los perfiles de velocida-

des medias en la vertical obtenidos con ADCP muchas veces presen-

tan sectores en donde no se ha podido registrar datos, por ejemplo,

en las zonas cercanas a las márgenes [11]. En un primer momento,

se adoptó la función teórica de distribución de velocidades medias

en la vertical desarrollada por Seo y Baek [4], que genera un perfil

transversal de velocidades medias con una distribución equivalente

a la función de densidad de probabilidad de la distribución Beta:

(2)

donde u(y) es la velocidad longitudinal media en la vertical corres-

pondiente a una progresiva transversal y, U es la velocidad media

global de la sección transversal, B es el ancho total de la sección, y

son parámetros de la función de distribución y es la función

gamma. Cuando = la distribución es simétrica, pero cuando

> , la curva se sesga hacia la derecha y, cuando < , la curva se

sesga hacia la izquierda. Adoptando un valor de = = 1, el valor de

la velocidad en la dirección transversal es constante, y a medida que

y crecen, el perfil de distribución de velocidades concentra los

mayores valores de velocidad longitudinal en una zona cada vez

más estrecha, cuya ubicación dependerá de los valores y . En el

caso que = , las mayores velocidades se ubican en el centro

del canal, disminuyendo hacia las márgenes (Fig. 3). Para seleccio-

nar el mejor ajuste, se utilizaron criterios basados en el coeficiente

de determinación r2 y el mínimo error cuadrático medio (ECM).

En los casos en que la distribución de velocidades no pudo ser

aproximada eficientemente mediante la distribución mencionada

(ecuación 2), se realizó una aproximación a través de una función

polinómica, la cual permite un mejor ajuste de los datos, pero, en

contrapartida, el método y los parámetros de ajuste pierden su ge-

neralidad.

La función utilizada en este trabajo para representar la distribu-

ción transversal de profundidades (batimetría de la sección trans-

versal) fue la definida por Deng et al. [12]:

(3)

dónde h(y) es la profundidad de la sección correspondiente a una

progresiva transversal y, Hmáx es la profundidad máxima de la sec-

ción transversal, y B es el ancho total de la sección. Al variar el pará-

metro gamma ( ) se obtienen diferentes distribuciones de la pro-

fundidad para una sección transversal (Fig. 4). Para = 1, el perfil de

la sección transversal resulta triangular, para = 2 resulta parabó-

lico y, para valores mayores de , el perfil va adquiriendo una forma

cada vez más aproximada a la rectangular. Para seleccionar el mejor

ajuste, al igual que en el caso de las velocidades, se utilizaron crite-

rios basados en el coeficiente de determinación r2 y el ECM.

Al igual que en el caso de la aproximación de velocidades, en aque-

llas secciones donde el ajuste del perfil del fondo mediante la distri-

bución propuesta no era correcto, se utilizó una función polinómica

la cual, como ya se mencionó, le quita generalidad al método.

Una vez aproximados los perfiles de velocidad y fondo, se proce-

dió a estimar el coeficiente de dispersión transversal en cada

progresiva mediante la ecuación empírica desarrollada por

Smeithlov [13] y utilizada por Deng et al. [12], Carr y Rehmann [2],

Perucca [14] y Shen [10] (ecuación 4).

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

Alfa 1,2

Alfa 2,5

Alfa 5,0

Alfa 7,0

u(y)

/U

y/B

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Figura 3. Perfiles transversales de velocidades medias en la vertical obtenidos variando los valores de los coeficientes = en la ecuación (2).


(4)

(5)

(6)

(7)

Además, h(y) es la profundidad en la progresiva y, u*(y) es la velo-

cidad de corte en la progresiva y y u* es la velocidad de corte prome-

dio de la sección, que puede ser estimada mediante la ecuación 6 u 8.

El valor se encuentra entre, generalmente, 0,15 y 0,30 para tramos

de ríos rectos, entre 0,30 y 0,90 para tramos con ligeras curvaturas, y

entre 1 y 3 para tramos en curvas [15]. Si se poseen mediciones esta-

cionarias de velocidad en diferentes puntos de la sección transversal,

podría obtenerse u*(y) en dichos puntos mediante el ajuste de un

perfil logarítmico (ec. 7.43 en Pope [16]). Conociendo u*(y) en dife-

rentes puntos y aplicando la ecuación 6, puede obtenerse la veloci-

dad de corte promedio en la sección. También, es importante aclarar

que, a través del conocimiento de la velocidad de corte en diferentes

puntos u*(y), se puede tener noción de la variación del coeficiente de

dispersión transversal ( t(y)) a lo largo de la sección, ya que el mismo

es proporcional a la velocidad de corte. En este trabajo, al no po-

seerse mediciones estacionarias de velocidad, se calculó la velocidad

corte media de la sección mediante la siguiente ecuación:

(8)

dónde g es la aceleración de la gravedad, R es el radio hidráulico y

S es la pendiente de la línea de energía. Finalmente, se resuelve la

ecuación 1 mediante algún método de integración numérica; en este

trabajo se utilizó el método de los trapecios. Los valores de coeficien-

tes de dispersión longitudinal, estimados con la ecuación integral de

Fischer et al. [3] (ecuación 1) utilizando información experimental

proveniente de una caracterización hidrodinámica detallada reali-

zada con ADCP, se comparan, en primera instancia, con los valores de

D obtenidos a través de las formulas empíricas ajustadas por diver-

sos autores a valores estimados de mediciones de campo y laborato-

rio. La ecuación 9 muestra la forma general que poseen las ecuacio-

nes empíricas disponibles en la actualidad para estimar el coeficiente

de dispersión longitudinal, mientras que en la tabla 2 se muestran

los valores de los parámetros a, b y c ajustados por los diferentes

autores y los rangos de los parámetros utilizados para el ajuste.

(9)

Las ecuaciones empíricas permiten una estimación rápida del co-

eficiente de dispersión longitudinal dentro de un determinado or-

den de magnitud [15], pero deben usarse en ríos de similares carac-

terísticas a las que fueron calibradas. Las ecuaciones de Iwasa y Aya [17] y Seo y Cheong [18] contemplan en su ajuste relaciones B/Hmed

altas, lo cual las hace aptas para estimar el coeficiente de dispersión

en cauces fluviales anchos. Las ecuaciones de Liu [19] y Koussis y

Rodriguez-Mirasol [20] abarcan números de Froude bajos, lo cual

indica que pueden ser aplicados en flujos profundos. Por último, la

ecuación de Liu [19] contempla en su calibración bajos valores

de pendiente, lo cual indica que puede ser aplicada en flujos de baja

pendiente como, por ejemplo, algunos ríos de llanura. Las secciones

relevadas en este estudio presentan relaciones de ancho-profundi-

dad entre 8 y 39 (de acuerdo con lo recomendado por Fischer et al.

[3]). De un total de 21 secciones de medición, sólo 3 presentan valo-

res menores a 10, que corresponden a las secciones de Bell Ville y

arroyo Las Tortugas, cuando estos se encuentran escurriendo altos

caudales en épocas de crecida, debido a que la sección transversal de

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0

h(y)

/Hm

áx

y/B

Gamma = 2 Gamma = 1 Gamma = 5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Figura 4. Distribuciones transversales de profundidades obtenidas utilizando distintos valores del parámetro en la ecuación 3.

Tabla 2Valores de los parámetros a, b y c de la ecuación 9 calibrados por diferentes autores

Fórmula a b c Fuente de información* Rango de B/Hmed* Rango de pendiente* Rango de Fr* Adecuado para

Fischer [3] 0,011 2 2 Instalaciones de

laboratorio y corrientes

naturales (tabla 5.3

Fischer, [3])

- - -

Liu [19] 0,18 0,5 2 14 ríos 10-85 5,9 E-06 – 1,3 E-03 0,03-0,31 Ríos de baja

pendiente, y

profundos

Iwasa y Aya [17] 2 0 1,5 62 instalaciones de

laboratorio y 79 ríos

1-200 - - Puede ser aplicada

en ríos anchos

(B/Hmed < 200)

Seo y Cheong [18] 5,92 1,43 0,62 26 ríos 16-157 1,0 E-05 – 3,5 E-03 0,04-0,42 Puede ser aplicada

en ríos anchos

(B/Hmed <157)

Koussis y Rodríguez-Mirasol [20] 0,6 0 2 16 ríos 15-62 - 0,08-0,27 Ríos profundos

*Los datos de fuente de información, rango de B/Hmed, rango de pendiente y rango de Fr fueron tomados de la tesis doctoral de Carr [21].


dichos sitios es estrecha. Con respecto a las pendientes, el rango me-

dido se encuentra entre 3,50 E-04 y 1,62 E-04, que está dentro del

rango contemplado por Liu [19] y Seo y Cheong [18]. Finalmente, con

respecto a los números de Froude, el rango de las mediciones varía

entre 0,09 y 0,30, lo cual también se encuentra dentro del rango con-

templado por Liu [19] y Seo y Cheong [18], mientras que se excede el

límite superior de este parámetro en el caso de la fórmula de Koussis

y Rodriguez Mirasol [20]. Además, en este trabajo se comparan los

resultados estimados con la ecuación 1 del coeficiente de dispersión

con los valores reportados por Rutherford [15], Deng [12], Carr y Re-

hmann [2] y Shen [10] para diferentes ríos del mundo.

En la figura 5, se detalla, en un diagrama de flujo, la metodología

de análisis de información empleada.

3. Resultados

La tabla 3 muestra los parámetros hidráulicos globales obtenidos de

cada una de las mediciones realizadas en los distintos sitios de estu-

dio. Se incluye, además, los parámetros representativos de la pen-

diente de cada tramo y de la granulometría del sedimento del lecho

(D50). Es importante destacar que los cauces de las secciones anali-

zadas presentan bajas pendientes (del orden del 0,01%) con lecho de

arena limosa (clasificación SM del Servicio de Conservación del

Suelo de los Estados Unidos–USCS; [22]). Además, se destaca que los

cauces del río Saladillo y del arroyo Las Tortugas presentan fuertes

alteraciones antrópicas debido a los encauzamientos que se han de-

sarrollado para evacuar los excedentes pluviales. En la tabla 4 se

muestran los valores estimados con la ecuación 1 del coeficiente

de dispersión longitudinal, utilizando una caracterización hidrodi-

námica detallada, obtenida de las mediciones realizadas con ADCP

en las cuatro secciones del sistema fluvial mencionadas en el apar-

tado anterior para diferentes condiciones hidrológicas. El sistema

fluvial presenta un régimen hidrológico con mayores escurrimien-

tos en el periodo de noviembre–abril. La tabla 4, además, incluye los

parámetros de las ecuaciones 2 y 3 obtenidos del ajuste estadístico

realizado a la distribución de velocidades y batimetría de cada sec-

ción transversal. Se incluyen, además, en esa tabla, el parámetro r2,

que representa el coeficiente de determinación del ajuste realizado,

y ECM, que representa el error cuadrático medio de la estimación

Exportar, utilizando el programa RiverSurveyor Live, los archivos

registrados durante las mediciones de ADCP en un formato compatible con el paquete computacional MATLAB

Obtención del perfil de velocidades medias

promediado en la vertical y batimetría de la sección

Ingreso de los archivos exportados a VMT

(Velocity Mapping Toolbox)

Aproximación del perfil promedio de velocidades

en la vertical mediante la ecuación 2

Aproximación del perfil de velocidades con

una función polinómica

Aproximación del perfil de fondo (batimetría)

del río mediante la ecuación 3

Obtención de velocidades equiespaciadas y determinación de estas en las cercanías

de las márgenes

Obtención de profundidades equiespaciadas y determinación de estas

en las cercanías de las márgenes

Cálculo de las subáreas correspondientes a cada

perfil de velocidades

Cálculo de u* mediante ec. 6 u 8

Cálculo de εt (ec. 4)

Resolución numérica de la ec. 1

Promediado de las transectas

Aproximación del perfil de fondo (batimetría)

del río con una función polinómica

Cálculo del coeficientede dispersión longitudinal (D)

Aprox.satisfactoria

Aprox.satisfactoria

NO

NO

SÍ

SÍ

Figura 5. Diagrama de flujo donde se explica la metodología de análisis utilizada en este trabajo.


(en m2/s2 y m2 para las ecuaciones 2 y 3, respectivamente). La ta-

bla 4 muestra que no existe una gran variabilidad de los valores de

los parámetros de las ecuaciones 2 y 3. En los casos en que estas

ecuaciones no presentaban un buen ajuste, se utilizaron ajustes con

polinomios.

En la figura 6 (A) (B) (C) y (D), se muestran algunos de los perfiles

de velocidad y fondos aproximados en este trabajo.

En la figura 7, se analiza la evolución del coeficiente longitudinal

en función del caudal de cada una de las secciones del sistema de

estudio. En el caso del río Saladillo, en el que la sección de estudio

Tabla 3Parámetros hidráulicos globales obtenidos de mediciones con ADCP. Se incluye además los parámetros representativos de la pendiente de cada tramo y de la granulometría

del sedimento del lecho (D50)

Sección B

[m]

H

[m]

A

[m2]

U

[m/s]

u*

[m/s]

Pend

[m/m]

Q

[m3]

D50

[mm]

Arroyo Las Tortugas – Ruta 9 19,07 2,36 45,09 0,95 0,08 0,0003 0,20 43,01 0,10




Río Tercero – Bell Ville 43,14 5,31 229,20 1,07 0,09 0,0002 0,20 245,62 -





Río Carcarañá – Inriville 47,53 2,77 131,53 1,57 0,10 0,0004 0,38 206,39 0,15





Río Saladillo – Ruta 6 27,53 2,70 74,32 1,21 0,07 0,0002 0,27 89,81 0,10







Tabla 4Coeficientes de dispersión longitudinal estimados con la ecuación integral de Fischer [3] (ecuación 1) utilizando información experimental proveniente de una caracteriza-

ción hidrodinámica detallada realizada con ADCP. Los parámetros de las ecuaciones 2 y 3 representan el ajuste realizado a la distribución de velocidades y batimetría de

cada sección transversal. En los casos en que estas ecuaciones no presentaban un buen ajuste, se realizaron ajustes con polinomios. El parámetro r2 representa el coefi-

ciente de determinación del ajuste realizado y ECM representa el error cuadrático medio de la estimación (en m2/s2 y m2 para las ecuaciones 2 y 3, respectivamente)

Parámetros Ec. 2 Parámetros Ec. 3 Q D

Sección r2 ECM r2 ECM [m3/s] [m2/s]

Arroyo Las Tortugas – Ruta 9 1,53 1,59 0,95 0,004 Pol. 4.º 0,98 0,011 43,01 33,8



Arroyo Las Tortugas – Ruta 9 Pol. 5.º Pol. 5.º 0,93 0,004 2,80 0,90 0,004 2,80 55,0

Río Tercero – Bell Ville 2,97 2,05 0,96 0,015 2,15 0,90 0,248 245,62 98,9

Río Tercero – Bell Ville Pol. 3º Pol. 3.º 0,94 0,014 3,12 0,91 0,075 112,85 60,3

Río Tercero – Bell Ville 1,66 1,76 0,85 0,016 Pol. 6.º 0,96 0,005 29,11 67,2

Río Tercero – Bell Ville Pol. 5.º Pol. 5.º 0,91 0,006 Pol. 6.º 0,96 0,005 25,06 38,3

Río Tercero – Bell Ville Pol. 5.º Pol. 5.º 0,82 0,018 Pol. 6.º 0,93 0,006 24,15 31,7

Río Carcarañá - Inriville Pol. 5.º Pol. 5.º 0,96 0,022 Pol. 4.º 0,91 0,041 206,39 258,2

Río Carcarañá - Inriville 1,96 1,64 0,88 0,021 Pol. 4.º 0,88 0,010 74,62 214,0



Río Carcarañá - Inriville Pol. 6.º Pol. 6º 0,93 0,006 Pol. 6.º 0,75 0,013 28,12 64,1

Río Saladillo – Ruta 6 1,45 1,68 0,93 0,013 Pol. 6.º 0,97 0,025 89,81 70,4

Río Saladillo – Ruta 6 Pol. 3.º Pol. 3.º 0,94 0,005 Pol. 6.º 0,96 0,012 38,48 46,7







1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

u(y)

/U

y/B0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

u(y)

/U

y/B0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

h(y)

/Hm

áx

y/BA Arroyo Las Tortugas – Ruta 9

D Río Saladillo – Ruta 6

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

u(y)

/U

y/B

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

B Río Tercero – Bell Ville

h(y)

/Hm

áx

y/B0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

u(y)

/U

y/B0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

C Río Carcarañá – Inriville

h(y)

/Hm

áx

y/B0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

h(y)

/Hm

áx

y/B0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Perfil vel. aproximadoVelocidades medidas




Batimetría aproximadaBatimetría medida




Figura 6. Aproximaciones del perfil de velocidades medias y batimetrías: (A) Arroyo Las Tortugas, Q = 24,22 m3/s; (B) Río Tercero-Bell Ville, Q = 29,11 m3/s; (C) Río Carcarañá–Inriville, Q = 74,62 m3/s; y (D) Río Saladillo, Q = 25,53 m3/s.


está en las cercanías del puente de la ruta provincial N.º 6, se ob-

serva que el coeficiente de dispersión longitudinal crece a medida

que aumenta el caudal. En la sección del río Carcarañá, en la locali-

dad de Inriville, se observa que el coeficiente de dispersión longitu-

dinal (D) crece hasta un determinado caudal y, a partir de allí, se

mantiene cuasi uniforme. En el arroyo Las Tortugas, se observa una

evolución negativa del coeficiente D a medida que los caudales es-

curridos aumentan debido a que el flujo presenta mayores gradien-

tes de velocidad (con zonas de estancamiento y recirculación) para

aguas medias y bajas. En el río Tercero (Ctalamochita), en la locali-

dad de Bell Ville, el coeficiente de dispersión, al igual que el río Car-

carañá en Inriville, crece hasta un determinado caudal y luego se

mantiene cuasi constante.

A partir de los parámetros hidráulicos globales (tabla 3), calcula-

dos de acuerdo con la información obtenida en campo para este

trabajo, se procedió a calcular los coeficientes de dispersión longi-

tudinal, utilizando las seis formulas empíricas detalladas en la sec-

ción anterior (tabla 2). En la tabla 5 se muestran los resultados ob-

tenidos. Se puede apreciar la gran dispersión de valores de los

coeficientes estimados por las diferentes fórmulas para las mismas

secciones. Rutherford [15] indica que los resultados obtenidos por

las diferentes formulaciones empíricas pueden diferir 10 o más ve-

ces para una misma sección, especialmente cuando se los aplica en

ríos diferentes a los calibrados. Rigo [1] reporta una gran variación

de los resultados obtenidos con las formulas empíricas para el río

Paraiba do Sul. Es por ello, que se recomienda utilizar con cautela

Tabla 5Coeficientes de dispersión longitudinal estimados con la ecuación 1 y utilizando ecuaciones empíricas (presentadas en tabla 2), con parámetros hidráulicos globales,

determinados de las mediciones con ADCP en las distintas secciones de medición

Sección D (Fischer [3])

[m2/s]

D (Liu [19])

[m2/s]

D (Iwasa y Aya [17] )

[m2/s]

D (Seo y Cheong [18])

[m2/s]

D (Koussis et al [20])

[m2/s]

D (Ec. 1)

[m2/s]

Arroyo Las Tortugas – Ruta 9 18,70 7,76 8,91 139,73 7,59 33,8




Río Tercero – Bell Ville 48,19 19,77 22,56 355,25 19,29 98,9





Río Carcarañá - Inriville 226,94 57,47 38,40 495,05 47,74 258,2





Río Saladillo – Ruta 6 64,94 14,63 12,20 278,39 11,69 70,4







Figura 7. Variación del coeficiente de dispersión longitudinal (D) con el caudal escurrido en las secciones de estudio.

1.000

100

10

1

D (m

2 /s)

Q (m3/s)

1 10 100 1.000

Río Tercero – Puente Sarmiento – Bell Ville

Río Carcarañá - Inriville

Río Saladillo

Arroyo Las Tortugas


estas expresiones, ya que las diferencias en la estimación del coefi-

ciente de dispersión longitudinal pueden generar resultados que

difieren hasta órdenes de magnitud.

A continuación, se incluye un contraste de los coeficientes de dis-

persión obtenidos a través de las ecuaciones empíricas y los obteni-

dos mediante la ecuación 1 (integral de Fischer et al. [3]) con una ca-

racterización hidrodinámica detallada. Para cuantificar este contraste,

se utilizó la relación de discrepancia definida por White et al. [23]

(10)

donde N es el número de datos, DFE es el coeficiente de dispersión

longitudinal, obtenido mediante alguna fórmula empírica, y DID es

el coeficiente estimado con la ecuación integral 1, con una caracte-

rización hidrodinámica detallada. Si RD es igual a cero, la corres-

pondencia entre el coeficiente de dispersión longitudinal, estimado

mediante una caracterización hidrodinámica detallada, y el coefi-

ciente estimado a través de la ecuación empírica es perfecta. Si RD

es menor que cero, la fórmula empírica analizada otorga menores

valores del coeficiente de dispersión respecto al obtenido mediante

la utilización de la ecuación 1 y una caracterización hidrodinámica

detallada, mientras que, si es mayor que cero, ocurre lo inverso. En

la figura 8 se puede observar que, mediante las ecuaciones empíri-

cas de Fischer et al. [3] y Seo y Cheong [18], se obtienen valores

mayores del coeficiente de dispersión longitudinal respecto a la

metodología utilizada en este trabajo (ecuación 1). La fórmula de

Seo y Cheong [18] genera valores mayores del coeficiente de disper-

sión respecto a otras fórmulas para relaciones de B/Hmed < 40 (Seo y

Baek [4]). Las ecuaciones de Liu [19], Iwasa y Aya [17] y Koussis y

Rodríguez-Mirasol [20], en general, arrojan valores menores del co-

eficiente de dispersión longitudinal que los obtenidos mediante la

ecuación 1 en el sistema de estudio. Se observó que la formula em-

pírica que mejor se aproxima a los coeficientes de dispersión obte-

nidos con la ecuación integral 1 [3], con una caracterización hidro-

dinámica detallada, es la propuesta por Fischer et al. [3], la cual

presentó una relación de discrepancia de +0,03 (generados por dife-

rencias porcentuales medias del 7%). Finalmente, se contrastan los

valores de los coeficientes de dispersión longitudinal estimados con

la ecuación integral de Fischer et al. [3], (ecuación 1) utilizando in-

formación experimental proveniente de una caracterización hidro-

10.000,0

1.000,0

100,0

10,0

1,0

0,1

D (m

2 /s)

Q (m3/s)

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00 1.000,00 10.000,00 100.000,00

Río Tercero – Puente Sarmiento – Bell VilleRío Carcarañá - InrivilleRutherford [15]Carr y Rehmann [2]

Río SaladilloArroyo Las TortugasShen et al. [10]Deng et al. [12]

Figura 9. Valores del coeficiente de mezcla longitudinal reportados por Rutherford [15], Deng et al. [12], Carr y Rehmann [2], Shen et al. [10] y estimados en las diferentes secciones analizadas con la ecuación integral 1 de Fischer et al. [3], utilizando información experimental proveniente de una caracterización hidrodinámica detallada realizada con ADCP.

0,60

0,40

0,20

0,00

-0,20

-0,40

-0,60

-0,80

Rel

ació

n d

e d

iscr

epan

cia

Fischer[3]

Liu[19]

Iwasa y Aya[17]

Seo yCheong

[18]

Koussis y Rodriguez-Mirasol

[20]

0,03

-0,46

-0,62

-0,51

0,37

Figura 8. Discrepancia de los valores de coeficiente de dispersión longitudinal estimados con las ecuaciones empíricas y los obtenidos mediante la ecuación integral 1 [3], con una caracterización hidrodinámica detallada.

dinámica detallada realizada con ADCP con los coeficientes de dis-

persión reportados por Rutherford [15], Deng [12], Carr y Rehmann

[2] y Shen et al. [10] para diferentes ríos del mundo (Fig. 9). Se ob-

serva una buena correspondencia entre los valores estimados y los

valores reportados. Pero se puede apreciar también la gran variabi-

lidad que poseen los coeficientes de dispersión longitudinales re-

portados por Rutherford [15], Deng [12], Carr y Rehmann [2] y Shen

et al. [10] en un gráfico con doble escala logarítmica. La gran varia-

bilidad de los valores del coeficiente de dispersion longitudinal (D)

justifica el uso de una metodología que tenga en cuenta las caracte-

rísticas particulares del flujo, las cuales son tenidas en cuenta a tra-

vés de la caracterización hidrodinámica con ADCP o bien utilizar

una formula empírica que contemple las características del río estu-

diado, pero teniendo en cuenta que, en la mayoría de los casos, pue-

den no tener en cuenta características locales de la sección. Además,

los valores reportados por Rutherford [15] sugieren una evolución

creciente del coeficiente de dispersión con el caudal, situación que

fue corroborada en solo una sección de estudio en este trabajo.


Distintas fuentes de errores e incertidumbre afectan a los valores

estimados del coeficiente de dispersión utilizando la ecuación 1:

a) errores debido a que no se satisfacen, en el tramo del río estu-

diado, las hipótesis en las que se basa el desarrollo de la ecuación

integral 1 (Fischer et al. [3]); b) errores de medición de las velocida-

des y profundidades de flujo. En relación con esta fuente de error,

Carr y Rehmann [2] reportan errores entre el 45-140% en el coefi-

ciente de dispersión si la región no medida por los perfiladores

acústicos Doppler supera el 20% del total; c) errores debido a que no

es suficiente el número de cruces o transectas utilizados para deter-

minar los perfiles medios de velocidad; d) errores debidos al ajuste

defectuoso de funciones a los perfiles de velocidades y de batime-

tría; e) errores en la determinación del coeficiente de dispersión

transversal y/o a las variables utilizadas para su estimación

(por ejemplo, errores en la determinación de la velocidad de corte y

la constante de la ecuación); f) errores debido al método numérico

adoptado para la resolución de la ecuación 1. La importancia rela-

tiva de cada fuente de error y/o incertidumbre deberán ser analiza-

das en futuras investigaciones.

4. Conclusiones

La determinación del coeficiente de dispersión longitudinal por

métodos tradicionales es una técnica costosa y laboriosa, por lo

que diversos autores han desarrollado ecuaciones empíricas que

permitan su estimación de acuerdo con parámetros hidráulicos

globales. Sin embargo, los resultados obtenidos a través de estas

ecuaciones presentan una gran variación, a pesar de que la ecua-

ción haya sido aplicada en ríos de similares características con la

que fue ajustada. Por tanto, se requiere una metodología que

tenga en cuenta las características particulares del flujo (que se

obtienen de una caracterización hidrodinámica detallada) y que

permita una evaluación rápida y sencilla del coeficiente de dis-

persión longitudinal (D). En este trabajo, se estiman los coeficien-

tes de dispersión longitudinal con la ecuación integral (Fischer et

al. [3]), utilizando información experimental proveniente de una

caracterización hidrodinámica detallada y realizada con perfila-

dores de corriente acústicos Doppler (ADCP) en ríos de la región

central de Argentina. En la actualidad, la caracterización hidrodi-

námica requerida para la implementación de esta metodología

puede ser estimada a partir de la gran cantidad de información

registrada con ADCP en el sistema fluvial de estudio, general-

mente con fines de cuantificación del escurrimiento superficial.

En el cálculo de la ecuación integral, se utilizaron funciones de

aproximación de los perfiles de velocidad y fondo (batimetría).

Los resultados obtenidos en este estudio muestran una adecuada

correspondencia con los valores de coeficiente de dispersión re-

portados para diferentes ríos del mundo de similares característi-

cas a los estudiados. Sin embargo, los valores recopilados en pu-

blicaciones previas sugieren una evolución creciente del

coeficiente de dispersión con el caudal escurrido, situación que

fue corroborada en solo una sección de estudio en este trabajo,

debido a las condiciones particulares de escurrimiento de las dis-

tintas secciones.

La metodología utilizada en este trabajo es muy prometedora, ya

que posibilita estimar rápidamente el coeficiente de dispersión, te-

niendo en cuenta las características particulares del flujo, sin reque-

rir grandes inversiones. La realización de aforos periódicos en el

sistema de estudio permite analizar la variación del coeficiente de

dispersión longitudinal con el caudal y posibilita evaluar la mezcla

de un contaminante para diferentes condiciones hidrológicas y

comprender, más detalladamente, el comportamiento de los proce-

sos de mezcla en el sistema fluvial.

Agradecimientos

Los autores de este trabajo agradecen al Sr. Domínguez (de la Se-

cretaría de Recursos Hídricos del Gobierno de la Provincia de Cór-

doba de la Provincia de Córdoba), a COPERAÑA, (Cooperativa de

Obras, Servicios Públicos Asistenciales y Vivienda de Carcarañá) y a

los bomberos voluntarios de la ciudad de Carcarañá por su colabo-

ración durante el desarrollo de las campañas de aforo. Este estudio

se realizó en el marco del proyecto de investigación “Cuantificación

y caracterización del flujo de agua en sistemas pluviales de la pro-

vincia de Córdoba con fines ambientales”, y fue financiado por la

Secretaría de Ciencia y Tecnología (SECyT) de la Universidad Nacio-

nal de Córdoba (Argentina).

Símbolos

A continuación se muestran los símbolos utilizados en este artículo

junto a sus respectivas unidades.

A: área de la sección transversal (m2)

B: ancho de la sección (m);

D: coeficiente de dispersión longitudinal (m2/s);

D50: diámetro pasante por 50% de la muestra de sedimento;

t(y): coeficiente de mezcla transversal en la progresiva y (m2/s);

g: aceleración de la gravedad (m/s2);

h(y): profundidad en la progresiva y (m);

Hmáx: profundidad máxima (m);

Hmed: profundidad media (m);

Q: caudal (m3/s);

R: radio hidráulico (m3/s);

RD: relación de discrepancia;

S: pendiente de la línea de energía (mm);

U: velocidad media de la sección (m/s);

u(y): velocidad media en la vertical en la progresiva y (m/s);

u’(y): diferencia entre la velocidad longitudinal en la progresiva

transversal con respecto a la velocidad media global en la sección

u(y) (m/s);

u*: velocidad de corte promedio de la sección (m/s);

u*(y): velocidad de corte en la progresiva y (m/s);

y: coordenada transversal (m);

: parámetros del perfil de velocidades [4]

parámetro del perfil de fondo [12]

distribución gamma;

: coeficiente utilizado en el cálculo de t(y).

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