UB Riskcenter Working Paper Series

University of Barcelona

Research Group on Risk in Insurance and Finance www.ub.edu/riskcenter

Working paper 2015/01 \\ Number of pages 18

Estimacin del riesgo mediante el ajuste de cpulas

Catalina Bolanc, Montserrat Guilln y Alemar Padilla

1

Estimacin del riesgo mediante el ajuste de cpulas

Catalina Bolanc, Montserrat Guilln y Alemar Padilla

Departamento de Econometra, Estadstica y Economa Espaola

Universidad de Barcelona

Riskcenter

Diagonal, 690, 08034 Barcelona

Resumen

El propsito de ste trabajo, es presentar una forma de cuantificar el valor en

riesgo de una cartera de activos mediante dos medidas de riesgo ampliamente

conocidas como lo son el VaR y el TVaR. Para ello, utilizamos cpulas

paramtricas bivariantes y el mtodo de simulacin de Monte Carlo.

Palabras claves: dependencia, copulas, Value at Risk, Tail Value at Risk,

cuantificacin del riesgo.

1. Introduccin a las copulas

En una situacin de riesgo, cuando la prdida total, a la que denominaremos

(loss), est generada por las posibles prdidas ocasionadas por sub-riesgos

, por ejemplo , el riesgo de prdida total depende de la

relacin entre los sub-riesgos. Las cpulas (palabra que deriva de Latn y significa

unin, link) permiten modelizar un amplio rango de estructuras de dependencia,

lineales o no lineales. Describiremos las cpulas ms comunes y para simplificar la

exposicin nos ceimos al caso bivariante1, .

Sea ( ) un vector aleatorio bivariante que representa dos prdidas

dependientes y sean ( ) ( ) y ( ) ( ) sus dos funciones de

distribucin continuas, siguiendo el teorema de Sklar2 existe una nica cpula

, - , -, con parmetro de dependencia tal que, siendo ( )

( ) la funcin de distribucin conjunta, se cumple que:

( ) ( )

donde ( ) y ( ) son, respectivamente, los valores de dos variables

aleatorias y con distribucin ( ).

1 Para la mayora de cpulas la generalizacin a ms de dos dimensiones ( ) no es directa. Una alternativa consiste en unir pares de variables hasta relacionarlas todas. Ver, por ejemplo, Aas, K., Czadob, C., Frigessic, A. y Bakkend, H. (2009) Pair-copula constructions of multiple dependence Insurance: Mathematics and Economics, 44(2), 182-198. 2 Sklar, A. (1959) Fonctions de rpartition n dimensions et leurs marges. Publications de listitut de Statistique de luniversit de Paris, 8, 229-231.

2

Existen diversas formas de clasificar los tipos de cpulas, una de las ms

comunes es la que divide las cpulas en:

Cpulas implcitas: su forma funcional coincide con una funcin de distribucin

conocida (Normal, t-Student)

Cpulas explcitas: posee una forma funcional propia y sencilla.

Otra clasificacin muy utilizada es la que diferencia las cpulas Arquimedianas

de las que no lo son. La particularidad de las cpulas Arquimedianas est en que

existe una funcin que las genera, lo que se denomina el generador de la cpula3.

En la Tabla 1 clasificamos las cpulas que se describen en este documento.

Tabla 1: Clasificacin de las cpulas analizadas.

Nombre de la Cpula Clasificacin

Gaussiana Implcita y no Arquimediana

t-Student Implcita y no Arquimediana

Gumbel Explcita y Arquimediana

Clayton Explcita y Arquimediana

Frank Explcita y Arquimediana

2. Medidas de dependencia

Uno de los aspectos fundamentales relacionados con las cpulas es que stas han

servido para definir nuevas medidas de dependencia, alternativas al coeficiente de

correlacin lineal de Pearson. A continuacin, adems de este coeficiente de

correlacin, definimos las medidas de dependencia alternativas y la forma en que se

calculan a partir de una muestra de prdidas observadas.

El coeficiente de correlacin de Pearson

El coeficiente de correlacin de Pearson es una medida de dependencia lineal

que tericamente equivale a:

,( )( )-

,( ) - ,( ) -

donde , - es la esperanza matemtica, siendo , - y , - las prdidas

medias tericas. A partir de una muestra de prdidas observadas ( )

, el coeficiente de correlacin de Pearson se estima como:

3 Nelsen, R. (2006) An Introduction to Copulas. Springer, USA.

3

( )( )

( ) ( )

donde

y

son las medias muestrales de ambas prdidas.

El coeficiente de correlacin de Pearson es una medida de dependencia lineal,

por lo que si la relacin entre las prdidas no es lineal este coeficiente no mide

correctamente la dependencia y el hecho de que tome valor cero no implica

independencia4. Ante ello, a partir de las cpulas se plantean coeficientes de

correlacin alternativos:

La de Kendall.

El coeficiente de correlacin de Spearman.

Los coeficientes de dependencia de las colas (tail dependence).

La de Kendall

La de Kendall es una medida de asociacin cuyo valor puede deducirse a partir

de la cpula:

( )

( )

A partir de una muestra de prdidas observadas ( ) , la de

Kendall se estima tal y como se describe a continuacin. Para cada par de

observaciones consecutivas ( ) y ( ) se concluye que son concordantes

si y o si y , en caso contrario las

observaciones son discordantes. En el caso y las observaciones

no son ni concordantes ni discordantes. Una vez identificados los pares concordantes

y discordantes, la de Kendall se estima como:

( )

El coeficiente de correlacin de Spearman

El coeficiente de correlacin de Spearman tambin puede obtenerse a partir de la

cpula:

4 Un valor del coeficiente de correlacin de Pearson igual a cero implica independencia cuando la distribucin conjunta de las prdidas es Normal multivariante.

4

( )

La estimacin de este coeficiente se obtiene a partir del orden de las

observaciones. Es decir, sean ( ) , dos variables que indican las

posiciones que toman en la muestra las prdidas ( ) , si las

ordenamos de mayor a menor, el coeficiente estimado se obtiene como:

( ) ( )

Adems, el coeficiente de correlacin de Spearman se puede obtener estimando

la correlacin lineal entre ( ) y ( ) .

El coeficiente de dependencia de la cola

Se pueden calcular dos coeficientes de dependencia de la cola (tail dependence),

el de la cola derecha de la distribucin (upper tail dependence) y el de la cola

izquierda (lower tail dependence). A partir de la cpula se obtiene que el

coeficiente de dependencia de la cola derecha es:

( )

donde, ( ) ( ) es la cpula de supervivencia y el lmite indica que

los argumentos tienden a por la derecha, lo que equivale a que ambas prdidas

tienden a por la izquierda.

Por su parte, el coeficiente de dependencia de la cola izquierda es:

( )

donde el lmite indica que los argumentos tienden a por la derecha.

3. Estimacin

Los mtodos de estimacin para las cpulas son tres:

Mtodo mximo verosmil.

Mtodo pseudo-mximo verosmil.

Mtodo de los momentos (Inference function for margins, IFM).

5

Una de las ventajas de las cpulas es que permiten estimar de forma

independiente el parmetro de la cpula y las marginales, en esto consisten los

mtodos pseudo-maximo verosmil e IFM.

Mtodo mximo verosmil

El mtodo mximo verosmil consiste en maximizar el logaritmo de la funcin

de verosimilitud asociada a la cpula y las marginales conjuntamente. Sea el

parmetro de la cpula estimado y sean y los parmetros estimados que

definen las funciones de distribucin marginales, el logaritmo de la funcin de

verosimilitud es:

( ) * ( )+ { ( )} { ( )}

donde ( ), ( ), es la densidad de la cpula y y

son las funciones de densidad de las marginales5. El mtodo mximo verosmil no

suele utilizarse dado que no suele ser fcil encontrar una configuracin de

parmetros de cpula y marginales que maximicen ( ).

Mtodo pseudo-mximo verosmil

Concretamente, el mtodo pseudo-mximo verosmil consiste en generar lo que

se denomina las pseudo-observaciones ( ) , las cuales se obtienen

a partir de la distribucin emprica corregida:

( ) y

( ) ( )

Utilizando las pseudo-observaciones se obtiene la pseudo-verosimilitud a

maximizar respecto al parmetro de la cpula:

( ) { ( )}

( )

Tras estimar el parmetro de la cpula se estiman las marginales de forma

independiente. A este mtodo se le denomina pseudo-verosmil, debido a que el

resultado no maximiza la verosimilitud total, sino que maximiza las verosimilitudes

parciales, de la cpula y las marginales.

5 La funcin de densidad es la derivada de la funcin de distribucin.

6

Mtodo IFM

El mtodo de IFM tambin parte de las pseudo-observaciones y consiste en

estimar el parmetro de la cpula por el mtodo de los momentos. Normalmente, se

puede encontrar una relacin entre este parmetro y una medida de dependencia

como el coeficiente de correlacin de Spearman o la de Kendall. Posteriormente,

para cada caso concreto, analizaremos la relacin entre los parmetros de la cpula y

los coeficientes de dependencia que se utilizan en la estimacin de momentos. En

este caso las marginales tambin se obtienen por separado.

4. Simulacin

Para la cuantificacin del riesgo a partir de cpulas se utiliza el mtodo de

simulacin de Monte Carlo, que consiste en generar prdidas simuladas asociadas a

los valores aleatorios provenientes del modelo ajustado a nuestros datos y

seguidamente estimar el riesgo de forma emprica.

En general, para generar valores a partir de una cpula bidimensional el

procedimiento puede dividirse en los siguientes 5 pasos:

1. Calcular las pseudo-observaciones tal y como se describa en la expresin (1).

2. Estimar el parmetro de la cpula maximizando la expresin (2) o por el mtodo

IFM.

3. Simular a partir de la cpula los valores ( ) , donde es el

nmero de rplicas simuladas, el cual tiene que ser lo suficientemente grande

(por ejemplo, ), cuyo valor depender de la capacidad de clculo

computacional.

4. Obtener las prdidas simuladas como: ( ) y

( ).

En general, para simular los valores procedentes de una cpula bivariante (paso

3) se utiliza el mtodo basado en la distribucin condicionada:

( ) ( )

( )

El algoritmo se implementa del siguiente modo:

(1) Generar valores de dos variables aleatorias independientes con distribucin

( ), y t.

(2) Obtener , -( ) donde el subndice , - indica pseudo-inversa, que

equivale a:

7

, -( ) {

{ ( ) }

, - ( )

{ ( ) }

Sin embargo, la cpula condicionada ( ) no siempre es invertible, como

sucede con el caso de la cpula de Gumbel, en este caso se puede utilizar el

algoritmo de6 Genest y Rivest (1993) que consiste en lo siguiente:

(1) Generar valores de dos variables aleatorias independientes con distribucin

( ), y t.

(2) Obtener ( ), donde ( ) ( )

( ), donde el superndice indica

derivada y ( ) es el generador de la cpula arquimediana.

(3) Calcular ( ( )) y

(( ) ( )).

Adems, para generar valores de las cpulas Gaussiana y t-Student es ms

recomendable utilizar un mtodo clsico de simulacin, para asegurar que los valores

simulados de la t-Student poseen una cola ms pesada que los de la Gaussiana. El

mtodo, en este caso, consiste en:

(1) Generar valores de dos variables aleatorias independientes con distribucin

( ), y t.

(2) Calcular ( ) y

( ).

(3) Calcular , donde es el coeficiente de correlacin lineal.

(4) Calcular ( ) y ( ).

5. Clculo del VaR y TVaR de la prdida total .

5. Bondad del ajuste

Para comparar el ajuste de distintas cpulas y marginales puede utilizarse una

medida de informacin estadstica clsica como es el criterio de informacin de

Akaike (Akaike information criterion, AIC) que equivale a:

( )

donde es el nmero de parmetros, que en el caso de la cpula bivariante es igual a

. Otro criterio que tiene en cuenta el tamao muestral es el criterio de informacin

bayesiano (Bayesian information criterion, BIC):

6 Genest, C. y Rivest, L. (1993) Statisticas inference procedure for bivariate archimedian copulas Journal of the American Statistical Association, 88, 1034-1043.

8

( ) ( )

En ambos casos, cuanto menor es el valor de la medida, sea sta el AIC o el

BIC, mejor es el ajuste. Por ejemplo, supongamos que disponemos de datos diarios,

757 das en total, sobre los rendimientos de dos inversiones dependientes y queremos

comparar el ajuste de la cpula Gaussiana y la cpula t-Student. Cmo mtodo de

estimacin se utiliza el basado en la maximizacin de la pseudo-verosimilitud, es

decir, el mtodo pseudo-mximo verosmil descrito anteriormente.

6. Cpulas utilizadas

o Cpula Gaussiana

La cpula Gaussiana debe su nombre a que coincide con la funcin de

distribucin estndar de una Normal bivariante con correlacin :

( )

(

( ))

donde ( ) y

( ), por definicin de la cpula Gaussiana, las

funciones de distribucin marginales coinciden con la de la Normal estndar. Si

observamos la expresin de la cpula Gaussiana vemos que y son valores de

dos variables estandarizadas, con media cero y varianza 1. La densidad de la cpula

Gaussiana es la densidad de la Normal:

( )

(

( ))

La cpula Gaussiana no tiene expresiones cerradas para los coeficientes de

Spearman y de Kendall, stos han de aproximarse a partir de sus expresiones

generales en funcin de la cpula. Adems, la cpula Gaussiana supone que la

dependencia en las colas es cero, es decir, .

o Cpula t-Student

De forma similar a la cpula Gaussiana, la cpula t-Student debe su nombre a

que coincide con la funcin de distribucin estndar de una t-Student bivariante con

grados de libertad y correlacin :

( ) . /

. /

(

( ))

9

donde ( ) y

( ). Por definicin de la cpula t-Student, las

funciones de distribucin marginales coinciden con la de la t-Student estndar. La

densidad de la cpula t-Student es:

( ) . /

. /

(

( ))

En la Figura 1 se representan las densidades de las cpula Gaussiana y t-Student

para y, en el caso de la t-Student, . Ambas cpulas son simtricas y

pertenecen a la familia de las cpulas elpticas. Si observamos los valores de las

densidades en el eje vertical, vemos como la cpula t-Student tiene las colas ms

pesadas (la densidad es ms elevada en los valores prximos a a ).

Al igual que la cpula Gaussiana, la t-Student tampoco tiene expresiones

cerradas para los coeficientes de Spearman y de Kendall. Por otro lado, la cpula t-

Student s que tiene dependencia en las colas, es decir, .

Figura 1: Densidades de las cpulas Gaussiana (izquierda) y t-Student (derecha).

o Cpula de Gumbel

La cpula de Gumbel equivale a:

( ) ( 0( ( )) ( ( ))

1

)

donde , ). En la cpula de Gumbel la dependencia es perfecta cuando

y coincide con la cpula de independencia cuando . La cpula de

Gumbel permite calcular el valor de la de Kendall de forma sencilla, ya que se

cumple:

( )

10

relacin que puede utilizarse para obtener el estimador de momentos a partir de la

estimacin emprica de la de Kendall. La cpula de Gumbel posee dependencia en

la cola derecha, y se obtiene considerando

y

La densidad de la cpula de Gumbel es:

( ) ( )

(0( ( ))

( ( )) 1

) , ( ) ( )-

[

( ) 0( ( )) ( ( ))

1 ]

o Cpula de Clayton

La cpula de Clayton equivale a:

( ) (

)

donde . En la cpula de Clayton la dependencia es perfecta cuando y

coincide con la cpula de independencia cuando . Al igual que la cpula de

Gumbel, la cpula de Clayton permite calcular el valor de la de Kendall de forma

sencilla, ya que se cumple:

( )

relacin que puede utilizarse para obtener el estimador de momentos a partir de la

estimacin emprica de la de Kendall. Al contrario que Gumbel, la cpula de

Clayton posee dependencia en la cola izquierda, y se obtiene considerando y

La densidad de la cpula de Clayton es:

( ) (

) [( )

( )

]

,( )( )-

En la Figura 2, se representan las densidades de las cpulas de Gumbel y de

Clayton, en este caso se observa como ambas cpulas son asimtricas.

Concretamente, la cpula de Gumbel alcanza la densidad mxima cuando ambos

argumentos tienden a 1 (dependencia en la cola derecha). Por el contrario, la cpula

de Clayton alcanza la densidad mxima cuando ambos argumentos tienden a 0

(dependencia en la cola izquierda).

11

Figura 2: Densidades de las cpulas Gumbel izquierda) y Clayton (derecha), ambas con

con .

o Cpula de Frank

La cpula de Frank equivale a:

( )

(

( )( )

( ))

donde - , - ,. Al igual que las cpulas Gaussiana y t-Student, la

cpula de Frank admite dependencia positiva o negativa. El valor de la de Kendall

para la cpula de Frank es:

( )

La cpula de Frank no posee dependencia en las colas

La densidad de la cpula de Frank es:

( ) (

( )

)

En la Figura 3 se muestra la densidad de la cpula de Frank, se observa como su

comportamiento en las colas es similar a la cpula Gaussiana, aunque muestra ms

dependencia en los valores centrales.

12

Figura 3: Densidades de las cpula de Frank con con

7. Medidas de riesgo

Las medidas de riesgo permiten cuantificar las prdidas obtenidas en una

situacin de riesgo. En ste caso, dicho clculo se realizar a travs de dos medidas

ampliamente conocidas como lo son el Value at Risk y el Tail Value at Risk.

o Valor en Riesgo (Value at Risk)

Sea la variable aleatoria (en el caso bivariante) que representa la

prdida total en una situacin de riesgo y sea su funcin de distribucin, entonces

se define el Valor en Riesgo (Value at Risk) como:

( ) * ( ) + ( )

donde es lo que se denomina nivel de confianza que coincide con la probabilidad

cercana a 1. El VaR es simplemente el cuantil ( ) de la variable prdida, as

que la probabilidad de tener una prdida superior a la determinada por el VaR ser

( ).

o Tail Value at Risk

El Tail Value at Risk se define como:

( )

( )

Y que en el caso de que sea continua la expresin anterior se reescribe

como:

13

( ) , ( )-

8. Ejemplo con datos financieros

A continuacin se presenta un ejemplo de cmo realizar el clculo del riesgo de

una cartera a partir del uso de cpulas paramtricas bivariantes y el mtodo de

simulacin de Monte Carlo. En primer lugar se expondr el proceso de estimacin de

los parmetros de las cpulas, luego se realizar la estimacin de las diferentes

distribuciones marginales y finalmente se calcular el VaR y TVaR.

El software utilizado ser R.

a) Datos

Se dispone de 753 observaciones asociadas a los log-returns de los precios

diarios de las siguientes series temporales: Merck, Novartis, Pfizer, Deutsche Bank,

ING, Santander, NASDAQ y S&P500. Para realizar el ejemplo solo utilizaremos

Merck y Novartis.

Estadsticas descriptivas

A continuacin se presentan las estadsticas descriptivas y los histogramas de

nuestros datos:

14

En general se observa que los valores de los estadsticos descriptivos son

parecidos entre s. Aunque ambas series presentan una pequea asimetra negativa, no

dejan de ser bastante simtricas, cuestin que se evidencia visual y numricamente con

la cercana de sus medias y medianas. As mismo, es clara la presencia de colas pesadas

en los grficos de ambas distribuciones, lo cual es caractersticos de ste tipo de datos

financieros.

La distribucin de los datos es un indicador importante para la seleccin del tipo

de cpulas de ajuste y de las funciones de distribucin marginal utilizadas en la

simulacin.

Pseudo observaciones

Previo al ajuste de las cpulas, ser necesario transformar nuestros log-returns

en pseudo observaciones. Con ello garantizaremos la obtencin de variables aleatorias

uniformemente distribuidas en el intervalo (0,1), como input para la posterior

modelizacin.

Histogramas de los log-returns

val.ln[, 1]

Fre

quency

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

010

30

50

70

val.ln[, 2]

Fre

quency

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

020

40

60

80

15

b) Ajuste y estimacin de los parmetros de las cpulas

Las cpulas utilizadas, sern las mencionadas en la seccin 1.

El ajuste de las cpulas se realiza en funcin de uno o ms parmetros

especficos. Para ello, se propone segn el tipo de cpula uno o ms valores iniciales y

posteriormente a travs del ajuste, se realiza la estimacin del parmetro o parmetros

finales.

Segn la naturaleza de cada cpula se utilizan diferentes parmetros iniciales. En

el caso de las cpulas implcitas se considerar como parmetro inicial la correlacin

lineal, estimada por el mtodo clsico. Por su parte, para las cpulas de Gumbel y

Clayton se utiliza en el mtodo de los momentos basado en la de Kendall. Y en el

caso de la cpula de Frank se parte de un valor inicial aleatorio dado que el estimador

de momentos no es directo.

A continuacin se exponen los parmetros iniciales propuestos, los parmetros

finales obtenidos y el logaritmo de la verosimilitud para cada cpula ajustada:

c) Bondad del ajuste

La bondad del ajuste de los modelos se valorar en funcin de los criterios

de evaluacin Akaike's Information Criterion (AIC) y Schwarz's Bayesian criterion

(BIC) mencionados en la seccin 5. Mientras ms pequeo sea el valor obtenido,

habr menor prdida de informacin y por tanto un mejor ajuste.

A continuacin se exponen los diferentes valores del AIC y BIC obtenidos:

16

A partir de estos resultados se concluye que la cpula t-Student es la que mejor

ajusta el comportamiento de nuestros datos.

d) Tail dependence

Los coeficientes de dependencia en las colas y , son medidas de

dependencia entre los cuantiles extremos de las distribuciones de nuestras variables

aleatorias.

Segn sea la naturaleza de cada cpula tendr sentido el clculo de ambos o de

slo uno de ellos.

A continuacin se muestran los resultados obtenidos:

e) Simulacin

La cuantificacin del riesgo se realizar por el mtodo de simulacin de Monte

Carlo expuesto en la seccin 4, considerando las medidas de riesgo definidas en la

seccin 7, es decir, primero se obtendrn las prdidas simuladas provenientes de la

cpula ajustada y posteriormente se realizar la cuantificacin del riesgo.

Estimacin de las marginales

La estimacin de las funciones de distribucin marginal se realiza en funcin del

tipo de datos, por ello, en ste caso se propone ajustar las distribuciones Normal y t-

Student.

Con la finalidad de valorar el ajuste de estas distribuciones, se realiza el clculo

del AIC y BIC, obtenindose los siguientes resultados:

17

Se observa que el mejor resultado se logra cuando se ajustan funciones de

distribucin del tipo t-Student.

Simulacin de los factores de riesgo

Los factores de riesgo y , son cuantiles asociados a los valores aleatorios

provenientes de las cpulas ajustadas y cuyo comportamiento viene determinado por las

funciones de distribucin marginales ( ) y ( ).

Una vez que han sido calculados los factores de riesgo, se define el vector de

prdidas linealizadas, a partir del cual se realizar la cuantificacin del riesgo. Para ello

se ha de tener en cuenta que el valor de la cartera en el momento es igual a 1, y los

pesos de cada factor de riesgo o proporcin de la inversin en cada accin son tambin

iguales a 1.

Cuantificacin del riesgo

El clculo de las medidas de riesgo se realizar considerando los siguientes

niveles de confianza: 99%, 99.5% y 99.9%.

A continuacin se exponen los resultados obtenidos:

18

Se observa que el valor asociado al clculo de ambas medidas de riesgo es

mucho mayor cuando se consideran marginales del tipo t-Student. As mismo, en el

cuantil 0.999 es donde se evidencia una diferencia superior respecto a los resultados

obtenidos en los otros dos cuantiles.

Conclusiones

La cuantificacin del riesgo mediante cpulas resulta una alternativa flexible en

trminos de la modelizacin de la dependencia entre variables. sta se ve notablemente

afectada por el tipo de cpula y marginal utilizada, por lo cual el resultado obtenido

depender de la seleccin realizada.

En trminos de ajuste, la cpula y marginales del tipo t-Student son las que

mejor modelan el comportamiento conjunto e individual de nuestros datos.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Gauss

t-Student

Gumbel

Clayton

Frank

Gauss

t-Student

Gumbel

Clayton

Frank

Gauss

t-Student

Gumbel

Clayton

Frank

99% 99.5% 99.90%

Niveles de confianza / Cpulas

VaR

Normal

t-Student

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Gauss

t-Student

Gumbel

Clayton

Frank

Gauss

t-Student

Gumbel

Clayton

Frank

Gauss

t-Student

Gumbel

Clayton

Frank

99% 99.5% 99.90%

Niveles de confianza / Cpulas

TVaR

Normal

t-Student

Marginales

19

Referencias

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