ESTIMACIÓN DE MODELOS ARIMA

7/27/2019 ESTIMACIN DE MODELOS ARIMA

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Modelos ARIMA

Paro y empleo registrado

Equipo docente de Econometra II

Econometra II

UNED

1

Estimacin de modelos ARIMA:Paro y empleo registrado

El objetivo de este trabajo es realizar un repaso de la metodologa ARIMA de

series temporales aplicndola a dos variables econmicas fundamentales, empleo y

paro. En general se considera que estos modelos predicen muy bien a corto plazo, pero

es discutible que puedan hacerlo de forma aceptable a medio y largo plazo. Al no tener

relacin alguna con la teora econmica difcilmente pueden captar el efecto de las

nuevas condiciones de la coyuntura econmica, sobre todo cuando se producen cambios

o puntos de inflexin del ciclo econmico, como ocurre en la economa espaola

actualmente.

El anlisis de los modelos ARIMA exige no slo un conocimiento terico

suficiente y una destreza prctica, sino tambin la posibilidad de disponer de algnprograma de ordenador para la realizacin de los clculos necesarios. Nosotros

utilizaremos el programa GRETL, programa de econometra gratuito que se puede bajar

de Internet. En el curso virtual (presentacin de la asignatura) se puede descargar el

programa. Iremos viendo paso a paso como se utiliza el programa y repasando la teora

de los modelos ARIMA, es decir repasaremos lo estudiado en los seis primeros

captulos del libro.

En general, para identificar, estimar y validar un modelo ARIMA se deben

seguir los siguientes pasos:


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Recomendamos que el alumno vaya siguiendo mediante el programa GRETL los

distintos pasos que vamos realizando para adquirir competencia en el manejo del

programa y obtener, de esta manera, una mayor comprensin terica y prctica.

Tambin recomendamos que al analizar los distintos correlogramas de las series se

tenga a mano el anexo I de este documento (forma que toma el Correlograma para laidentificacin de modelos ARIMA) de manera que pueda comprender por qu se elije

un tipo de modelo determinado y no otro. El anexo II muestra como se calcula el

correlograma (Funciones de Autocorrelacin Total y Parcial) de cualquier serie de

tiempo, los alumnos deben de comprender y saber calcularlas manualmente.

Analizaremos las variables paro y empleo en Espaa durante los ltimos 27 aos

(hasta diciembre de 2009, es decir, estimaremos el modelo ARIMA entre enero 1982 y

diciembre de 2009 y haremos una prediccin para 2010). La actualidad del tema es

evidente, la coyuntura econmica muestra una actividad econmica caracterizada por

una grave crisis del sector financiero internacional que en Espaa se ha manifestado

esencialmente en una fuerte crisis de liquidez. El panorama nacional se agrava con elfuerte endeudamiento de las familias y las empresas, el extraordinario dficit por cuenta

corriente y la cada de la actividad en general (aumento del paro y disminucin del

empleo) pero especialmente del sector de la construccin.

Primero nos planteamos qu datos utilizar. Tradicionalmente se ha utilizado el

paro y el empleo registrado. Pero actualmente se utiliza la Encuesta de Poblacin Activa

(EPA) que para algunos autores son de mayor calidad. Aqu utilizaremos las fuente de

la Seguridad Social (paro y afiliaciones registradas en la Seguridad Social) que tienen la

ventaja de tener periodicidad mensual, la EPA es trimestral, y tambin de ser una

estadstica cuyos datos se publican con anterioridad, es decir, tenemos datos ms

actualizados para el anlisis de coyuntura. El alumno interesado en el tema puederealizar el anlisis de las series de la EPA que tambin se pueden descargar de la misma

base de datos que utilizaremos.

La base de datos utilizada es la del Banco de Espaa (www.bde.es). Entrando en

Boletn estadstico y Series temporales completas, grabamos en disco la carpeta

be.zip, que contiene multitud de ficheros de datos. Tambin la carpeta contiene el

fichero denominado Catlogo en el que se describen todas las series de tiempo que

contiene la base de datos y los ficheros donde se encuentran cada una de ellas. Los

ficheros son del tipo .csv que se pueden leer mediante Excel. Para visualizar los datos

correctamente (en Excel) seleccionamos, en el fichero catalogo y la primera columna

completa, entramos en el men datos texto en columnas y seleccionamos laopciones delimitadoscomafinalizar.

Los Afiliados a la Seguridad Social, es decir el empleo registrado, se encuentra

en el fichero be2419.csv y el paro registrado en be2415.csv. Las afiliaciones

comienzan en enero de 1982, el paro en 1939. Para tener ambas variables en el mismo

fichero utilizaremos el periodo que va de enero de 1982 a febrero de 2010. Para utilizar

estos datos en el programa Gretl primero crearemos un fichero Excel con ambas series

temporales, ello se consigue simplemente creando un fichero nuevo de Excel con los

datos de afiliaciones y paro en las dos primeras columnas (desde enero de 1982 hasta

febrero de 2010, mediante el procedimiento de copiar y pegar) adems en la primera fila

de ambas columnas pondremos los nombres de ambas columnas (afiliados y paro
http://www.bde.es/http://www.bde.es/http://www.bde.es/http://www.bde.es/


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en nuestro caso, que luego utilizaremos como nombre de las variables) y finalmente

grabamos el fichero para luego utilizarlo (afiliados.xls).

Gretl

Al abrir el programa Gretl aparece su ventana principal, en la opcin Archivodel men podemos seleccionar la opcin Nuevo conjunto de datos si queremos grabar

los datos manualmente o Abrir datos si queremos trabajar con datos grabados

anteriormente en otra sesin o importar datos. Puesto que vamos a importar los datos de

Excel, seleccionamos en el men: Archivo Abrir datos Importar

Excel buscamos el fichero Afiliados.xls Afiliados.xls. El programa

pregunta si comenzar a copiar en la fila 1 y columna 1 okLos datos han sido

interpretados como sin fechaDesea interpretarlos como serie de tiempo Mensual

introducir la fecha de la primera observacin (en este caso enero de 1982) y

finalmente en la ventana aparecern las dos variables.

Con el objetivo de poder realizar prediccin histrica reduzco el rango de datoshasta diciembre de 2009 (GRETL: en el men Muestra Establecer rango

reducir final hasta 2009.12ok)para realizar la estimacin entre enero de 1982 y

diciembre de 2009, es decir, como si slo tuviramos datos hasta diciembre de 2009.

Paro registradoEl Grfico 1 muestra el paro registrado (GRETL: en el men seleccionar Ver

GrficosGrfico de series temporaleselegir Parook)

Grfico 1

Paro registrado (1982.01-2009.12)

Se aprecia el fuerte crecimiento del paro hasta la segunda mitad de los ochenta

(crisis del petrleo y reconversin industrial); la cada hasta el noventa y dos (obras de

infraestructuras para las Olimpiadas y la Exposicin Universal de Sevilla); la crisis delnoventa y tres, con aumentos del paro hasta mediados de los noventa; la fuerte cada del


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paro hasta principios del nuevo milenio (entrada en el Euro, tipos de inters bajos,

desarrollo de todos los sectores y especialmente de la construccin); el nuevo milenio

presenta unos niveles de paro estables hasta el comienzo de la crisis actual donde el

paro se dispara desde el entorno de los dos millones de parados en 2008 a los cuatro

millones de 2010.

Para poder aplicar la metodologa ARIMA la serie debe ser estacionaria:

1. Bajo el supuesto de que una series histrica est compuesta por nvariables aleatorias. En sentido estricto esa serie es estacionaria si y slo

si las funciones de distribucin de frecuencias de esas n variables son

iguales, es decir, si para distintos momentos de tiempo se cumple que:

F(Zt)=F(Zt), representando t y t dos momentos diferentes de

tiempo (t t).

2. En sentido amplio, sin embargo, basta con que se cumplan las siguientescondiciones:

a. Media constante:E(Zt) = Zb. Varianza constante: var(Zt) =

2

De manera que lo primero que hay que hacer es ver si la serie del paro registrado

es estacionaria, el menos en sentido amplio. En el grfico 1 se aprecian ciclos que, en

principio, y puesto que estos movimientos parecen sistemticos, difcilmente son

compatibles con la definicin de estacionaridad (n variables aleatorias con igual

Funcin de Distribucin). Una forma prctica de ver si una serie es estacionaria o no, es

calcular las Funcin de Autocorrelacin Total y si los valores decrecen rpidamente, la

serie es estacionaria. El Correlograma del paro en niveles se reproduce en el grfico 2

(GRETL: en el men seleccionar la variable Paro con el ratnen el men pinchar

en VariableCorrelograma).


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Grfico 2

Correlograma del Paro en niveles

Donde la Funcin de Autocorrelacin decrece lentamente (parte superior del

grfico 2, denominado FAC), consecuentemente el paro en niveles no es estacionario.

La metodologa ARIMA asume que la forma de conseguir series estacionarias

consiste en diferenciar regular y/o estacionalmente. Una serie es integrada de orden cero

si es estacionaria [I(0)] e integrada de orden uno [I(1)] si es necesario una primera

diferencia regular para conseguirlo y as sucesivamente. Si consideramos la parte

regular y estacional conjuntamente entonces una serie por ejemplo I(1,1) es aquella que

se hace estacionaria, o integrada de orden cero [I(0)], realizando una primera diferencia

regular [d(Zt)=ZtZt-1] y otra estacional [d12(Zt)=ZtZt-12].

Puesto que el paro registrado no es estacionario en niveles probamos la primeradiferencia regular, es decir, comprobamos si el paro es integrado de orden uno [I(1)]

calculando la primera diferencia regular para ver si es estacionaria (GRETL: seleccionar

la variable Paro y en el men seleccionar Aadir Primeras diferencias de las

variables seleccionadas en la ventana se muestra la nueva variable en diferencias

d_Paro).

El grfico 3 muestra el paro en primeras diferencias (GRETL: en el menselecinar VerGrficosGrfico de series temporaleselegir d_Paro

ok).


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Grfico 3

Paro registrado en diferencias

Cuyo Correlograma se muestra en el siguiente grfico (GRETL: seleccionar la

variable d_Paro con el ratnen el men VariableCorrelograma).

Grfico 4

Correlograma del paro en diferencias (d_Paro)


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La Funcin de Autocorrelacin del paro registrado en diferencias decrecerpidamente en los desfases regulares (primeros desfases) pero de forma lenta en los

retardos estacionales (12, 24, 36 y 48), de manera que no es estacionario en la parte

estacional, o dicho de otra forma, el paro registrado no es una serie integrada de orden

uno [I(1)]. De manera que diferenciamos estacionalmente para comprobar si el paro esintegrado de orden uno estacional [I(0,1)].

Calculamos una diferencia estacional del paro reproducida en el grfico que se

muestra a continuacin (GRETL: seleccionar la variable Paro y en el men

Aadir Primeras diferencias estacionales de las variables seleccionadas en

la ventana aparece la nueva variable en diferencias estacionales sd_Paro).

Grfico 5

Diferencia estacional del paro (sd_Paro)

Donde se observa con claridad las crisis del periodo (mximos relativos):

principios de los ochenta, crisis del noventa y tres, crisis del noventa y seis, del dos mil

tres y sobre todo la actual. Su Correlograma (GRETL: seleccionar la variable

sd_Paro con el ratn y en el menVariableCorrelograma) es el siguiente.


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Grfico 6

Correlogarama del paro en diferencias estacionales (sd_Paro)

Presenta una Funcin de Autocorrelacin Total (FAC) que decrece lentamenteen la parte regular, la serie en diferencias estacionales no es estacionaria, el paro

registrado no es integrado de orden uno estacional [I(0,1)]. De manera que probamos si

el paro es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)] calculando una diferencia

estacional a partir de la serie en diferencias regulares (GRETL: seleccionar la variable

d_Paro y en el men Aadir Primeras diferencias estacionales de las

variables seleccionadas en la ventana aparece la nueva variable en primeras

diferencias regulares y estacionales sd_d_Paro), cuyo grfico se reproduce a

continuacin (GRETL: Ver Grficos Grfico de series temporales

elegir sd_d_Parook).


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Grfico 7

El paro en diferencias regulares y estacionales (sd_d_Paro)

Cuyo correlograma es (GRETL: seleccionar la variable sd_d_Paro con el

ratn y en el menVariableCorrelograma).

Grfico 8

Correlograma del paro diferenciado regular y estacionalmente (sd_d_Paro)


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La parte regular se asemeja a un AR(2) puesto que la Funcin deAutocorrelacin Total presenta dos valores significativamente distintos de cero mientras

que la Funcin de autocorrelacin parcial decrece rpidamente. En los desfases

estacionales la cuestin es diferente: el primer desfase estacional es significativo, la

Funcin de Autocorrelacin Parcial estacional decrece rpidamente1. De manera que elparo en diferencias regulares y estacionales es estacionario [I(1,1)] y parece responder a

un modelo AR(2) regular y MA(1)2estacional, es decir, un SARIMA(2,1,0)(0,1,1) que

se puede escribir de las siguiente forma:

(1-B)(1-B12)Wt=Zt= a1Zt-1+ a2Zt-2+ bVt-12+ Vt [1]

Cuya forma compacta es,

(1 - a1B - a2B2)Zt=(1+bB

12)Vt [2]

La estimacin del modelo se reproduce en el cuadro 1 (GRETL: en el men

seleccionar ModeloSeries de tiempoARIMAseleccionar como variable

dependiente sd_d_Paro seleccionar en la parte no estacional: orden AR = 2,

diferencia = 0 y orden MA = 0. Y en la parte estacional: orden AR = 0, diferencia = 0 y

orden MA = 1. Manteniendo la constante y seleccionar ok apareciendo una ventana

con la estimacin del modelo).

ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)Variable dependiente: sd_d_ParoDesviaciones tpicas basadas en la matriz de productos externos

Coeficiente Desv. Tpica Estadstico t Valor p

-----------------------------------------------------------------const 516.235 841.265 0.6136 0.5395phi_1 0.230043 0.0541967 4.245 2.19e-05 ***phi_2 0.201914 0.0543272 3.717 0.0002 ***Theta_1 0.857650 0.0395960 21.66 4.89e-104 ***

Media de la vble. dep. 1193.783 D.T. de la vble. dep. 57244.63media innovaciones 1831.765 D.T. innovaciones 44426.59Log-verosimilitud 3922.995 Criterio de Akaike 7855.991Criterio de Schwarz 7874.879 Crit. de Hannan-Quinn 7863.531

Cuadro 1

Estimacin del modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1) del paro

Todos los parmetros son significativos: a1(phi_1), a2(phi_2) y b1(Theta_1), eltrmino independiente se suele mantener por cuestiones de ajuste an cuando en este

caso no es significativo. La validacin del modelo se realiza comprobando que los

1En este sentido hay que recordar que aunque la parte regular parece que se ajusta ms a un AR(2) esto

no queda claro y poda tambin corresponder a un ARMA(1,1) regular, de manera que se recomienda

estimar tambin este modelo, y elegir el que mejor ajusta siguiendo el criterio de Akaike, esto es lo que seha hecho siguiendo el criterio de parsimonia (libro de texto pg. 143), resultando que el que mejor ajusta

es el AR(2) regular.

2Para la identificacin de los modelos ARIMA hay que tener siempre en cuenta la forma que toma el

Correlograma para cada modelo terico, en el ANEXO I de este trabajo se muestra la forma terica que

toman los distintos modelos ARIMA y en el ANEXO II se muestra como se calcula el Correlograma(Funcin de Autocorrelacin Total y Parcial).


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residuos son RB (Ruido Blanco). El grfico 9 muestra el Correlograma de las

discrepancias (GRETL: en el cuadro de la estimacin del modelo (cuardo 1) seleccionar

GrficosGrficos de residuosCorrelograma de los residuos).

Grfico 9

Correlograma de los residuos de modeloSARIMA(2,1,0)(0,1,1)del paro.

Que presenta una Funcin de Autocorrelacin (FAC) con slo un valor

significativo, mayor de ( 2 323 ) = 0.110, en el retardo 8 (0,146), el estadstico Box-

Pierce3en el retardo 50 es 36, con un p-valor del 0.932, lo que muestra unos residuos

cercanos a la imagen emprica de RB. De manera que podemos considerar el modelo

SARIMA(2,1,0)(0,1,1) para el paro registrado como validado.

Una vez estimado el modelo realizamos la prediccin para 2010, para ello

calculamos, a partir de la serie original la serie estacionaria en Excel. El cuadro 2

reproduce la serie original del paro a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel

o a partir de la serie calculada por GRETL sd_d_paro), la columna Vt es la que

calcula por GRETL como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimacin

del modelo elegir Guardar Residuos se genera una serie denominada

uhatxx que es la serie Vtdel cuadro 2).

3Ver pp. 203-204 del libro de texto.


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Cuadro 2

Prediccin 2010 de la serie estacionaria

Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)

Obs.Wt

Parodparo

dWt=(Wt-Wt-1)dd12paro

(dd12Wt=dWt-dWt-12) Vt

Prediccin12

t tdd W Z

ene-09 3327801 198838 66460 59345 7333

feb-09 3481859 154058 100652 90762,2 10111

mar-09 3605402 123543 137899 86599,3 51524

abr-09 3644880 39478 1936 9407,1 -7254

may-09 3620139 -24741 -39799 -23281,9 -16298

jun-09 3564889 -55250 -92099 -58140,4 -33738

jul-09 3544095 -20794 -57286 -6754 -50311

ago-09 3629080 84985 -18100 60406,6 -78288

sep-09 3709447 80367 -15000 43853,5 -58634

oct-09 3808353 98906 -93752 13454,5 -106992nov-09 3868946 60593 -110650 -18291,3 -92141

dic-09 3923603 54657 -85037 20593,7 -105413

ene-10 4048493 124890 -73948 18337,0 -92285

feb-10 4130625 82132 -71926 39581,3 -111507

mar-10 -105233

abr-10 -22075

may-10 20484

jun-10 50380

jul-10 6309

ago-10 -51291

sep-10 -37095

oct-10 -11023

nov-10 16204

dic-10 -17146

La ltima columna es la prediccin que hemos calculado aplicando la ecuacin del

modelo estimado, es decir, a partir de [1] tenemos que,

Zt= 516,235 + 0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12 [3]

Como slo disponemos de datos de enero y febrero de 2010, slo podemos

comparar la prediccin en estos dos meses, en ambos la prediccin subestima el paro.

La prediccin en niveles se realiza a partir de [1], el modelo estimado es

(1-B)(1-B12)Wt=Zt= 516,235 + 0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12+Vt

operando en la parte izquierda de la ecuacin tenemos,

(1-B12-B+B13)Wt=Zt=516,235 + 0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12+Vt

WtWt-12Wt-1+Wt-13=Zt=516,235+0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12+Vt

el paro en niveles a partir deZtes,

Wt=Zt+ Wt-12+ Wt-1Wt-13 [4]


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De manera que podemos calcular, a partir de [4], la prediccin del paro enniveles hasta diciembre de 2010 que se reproduce en el cuadro 3. Para ello recurrimos a

Excel. La segunda columna muestra el paro registrado (Wt) en niveles hasta febrero de

2010, la tercera es la prediccin de la serie estacionaria (ltima columna del cuadro 2)

hasta diciembre de 2010, aplicando la ecuacin [4], se llega a la prediccin del paro enniveles hasta diciembre de 2010.

Cuadro 3

Prediccin 2010 del paro en niveles

Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)

ObsWt

ParoZt

estimadaWt

estimada

ene-10 4048493 -92285 4030156

feb-10 4130625 -111507 4091044

mar-10 -105233 4148935abr-10 -22075 4166339

may-10 20484 4162081

jun-10 50380 4157212

jul-10 6309 4142727

ago-10 -51291 4176420

sep-10 -37095 4219692

oct-10 -11023 4307575

nov-10 16204 4384372

dic-10 -17146 4421883

Podemos calcular, a partir de la ecuacin [1], el paro estimado en niveles hasta

diciembre de 2009 (GRETL: en el men seleccionar Modelo Series de tiempoARIMA seleccionar como variable dependiente Paro seleccionar en la

parte no estacional: orden AR = 2, diferencia = 1 y orden MA = 0. Y en la parte

estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 1. Manteniendo la constante y

seleccionar ok apareciendo una ventana con la estimacin del modelo en la

ventana de estimacin del modelo seleccionar Grficosgrfico de la variable

estimada y observada). El grfico 11 muestra el paro registrado y estimado en niveles.


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Grfico 11

Paro registrado y estimacin [modeloSARIMA(2,1,0)(0,1,1)]

Donde se observa a simple vista el buen ajuste del modelo.

El grfico 12 muestra la prediccin del paro en 2010 y los observados.

Grfico12

La prediccin subestima el paro efectivo hasta abril (aunque se puede considerar

una prediccin aceptable hasta este mes), a partir de mayo la prediccin sobrestima lo

realmente sucedido. En este sentido hay que recordar que los modelos ARIMA son

especialmente adecuados para predecir a corto plazo, lo que ocurre en este caso si

consideramos slo los 4 primeros meses.


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Empleo (Afiliaciones a la Seguridad Social)

Los economistas consideramos, en general, que el empleo es ms adecuado para

el anlisis de la evolucin de la economa que el paro puesto que mayor empleo implica

necesariamente mayor produccin, mientras que en el paro influyen otras circunstanciasno relacionadas directamente, como la incorporacin de la mujer al mercado de trabajo,

la emigracin, etc.

El grfico 12 muestra el empleo registrado (GRETL: en el men seleccionar

Ver Grficos Grfico de series temporales elegir Afiliaciones

ok).

EL grfico 12 muestra una tendencia creciente si consideramos todo el periodo.Tambin se aprecia la ralentizacin de la primera mitad de la dcada de los ochenta

(crisis del petrleo), la crisis del noventa y tres y la crisis actual.

Grfico 12

Empleo (afiliaciones a la Seguridad Social)

Puesto que la serie no es estacionaria [I(0)], Calculamos su primera diferenciapara ver si es integrada de orden uno [I(1)], su grfico se muestra a continuacin

(GRETL: seleccionar la variable Afiliados y en el men Aadir Primeras

diferencias de las variables seleccionadasen la ventana principal aparece la nueva

variable en diferencias d_Afiliados).


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Grfico 14

Primera diferencia del empleo

Que presenta una varianza creciente a lo largo del periodo (heterocedasticidad),

en definitiva la serie en primeras diferencias no es estacionaria.

En muchas ocasiones aplicando logaritmos se consigue evitar laheterocedasticidad. De manera que transformamos la serie original en logaritmos

(GRETL: seleccionar la variable Afiliados y en el menAadirLogaritmosde las variables seleccionadasen la ventana principal aparece la nueva variable en

logaritmos l_Afiliados). El siguiente grfico muestra el empleo en logaritmos.

Grfico 15Empleo en logaritmos


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Del que se pueden hacer los mismos cometarios que de la serie en niveles(grfico 14): tendencia creciente, crisis de la primera mitad de los ochenta, crisis del

noventa y tres y ralentizacin actual. Puesto que la serie no es estacionaria en media

calculamos su primeras diferencias con el objetivo de contrastar si la primera diferencia

del empleo registrado en logaritmos es integrado de orden uno [I(1)] (GRETL:seleccionar la variable l_Afiliados y en el men Aadir Primeras

diferencias de las variables seleccionadasen la ventana principal aparece la nueva

variable en diferencias d_l_Afiliados). Cuyo grfico se muestra a continuacin.

Grfico 16

Primeras diferencias del empleo en logaritmos

Donde no se aprecia existencia de heterocedasticidad ni tendencia, su

Correlograma se muestra en a continuacin (GRETL: seleccionar la variable

d_l_Afiliados con el ratn y en el menVariableCorrelograma).


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Grfico 17

Correlograma de las primeras diferencias regulares del empleo en logaritmos

Cuya Funcin de Autocorrelacin Total (FAC) cae rpidamente en los primeros

desfases regulares pero tambin se observa una cada lenta en los retardos estacionales.

De manera que no es estacionaria en la parte estacional, el empleo en logaritmos no es

integrado de orden uno [I(1)]. Ensayamos una diferencia estacional para ver si el

empleo en logaritmos es integrado de orden uno estacional [I(0,1)].

Calculamos la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos (GRETL:

seleccionar la variable l_Afiliados y en el men Aadir Primeras

diferencias estacionales de las variables seleccionadas en la ventana principal

aparece la nueva variable en diferencias estacionales sd_l_Afiliados). Cuya grfica se

muestra a continuacin.


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Grfico 18

Primera diferencia estacional del empleo en logaritmos

Se observa, a partir de sus mnimos relativos la crisis de la primera mitad de los

ochenta, la del noventa y tres, y la actual. Su Correlograma (Seleccionar la variable

sd_l_Afiliados con el ratn y en el men Variable Correlograma) se

muestra a continuacin.

Grfico 19

Correlograma de la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos


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Que presenta una Funcin de Autocorrelacin Total que disminuye lentamente,de manera que la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos no es

estacionaria. Calculamos la primera diferencia regular y estacional del empleo en

logaritmos con el objetivo de ver si el empleo en logaritmos es integrado de orden uno

regular y estacional [I(1,1)] (GRETL: seleccionar la variable d_l_Afiliados y en elmen Aadir Primeras diferencias estacionales de las variables

seleccionadas en la ventana principal aparece la nueva variable en diferencias

estacionales sd_d_l_Afiliados). Cuyo grfico se muestra seguidamente.

Grfico 20

Primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en logaritmos

Cuyo Correlograma (GRETL: seleccionar la variable sd_d_l_Afiliados con elratn y en el menVariableCorrelograma)se reproduce seguidamente.


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Econometra II

UNED

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Grfico 21

Correlograma de las primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en

logaritmos

Correlograma que no es fcil de interpretar (sorprende que sea creciente los tresprimeros retardos tanto de la funcin de autocorrelacin parcial como total), en todo

caso el empleo en logaritmos es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)]. El

primer desfase no es significativo mientras que el segundo y tercero si lo son. Los

desfases estaciones son significativos al menos los dos primeros (desfases 12 y 24) tanto

en la autocorrelacin parcial como total. Hemos llegado, mediante estimaciones

iterativas de diferentes especificaciones alternativas, siguiendo el criterio de Akaike

(pg. 178), al modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) que se reproduce a continuacin (GRETL:

en el men seleccionar Modelo Series de tiempo ARIMA seleccionar

como variable dependiente sd_d_l_Afiliados

seleccionar en la parte noestacional: orden AR = 3, diferencia = 0 y orden MA =1. Y en la parte estacional: orden

AR = 0, diferencia = 0 y orden MA = 2. Tambin eliminar la constante y seleccionar

ok apareciendo una ventana con la estimacin del modelo).


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ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)Variable dependiente: sd_d_l_AfiliadoDesviaciones tpicas basadas en la matriz de productos externos

Coeficiente Desv. Tpica Estadstico t Valor p----------------------------------------------------------------phi_1 0.371055 0.118985 3.119 0.0018 ***phi_2 0.131039 0.0578205 2.266 0.0234 **phi_3 0.301385 0.0675287 4.463 8.08e-06 ***theta_1 0.398225 0.120043 3.317 0.0009 ***Theta_1 0.476254 0.0596572 7.983 1.43e-15 ***Theta_2 0.188983 0.0608877 3.104 0.0019 ***

Media de la vble. dep. 0.000092 D.T. de la vble. dep. 0.004192media innovaciones 8.46e-06 D.T. innovaciones 0.003446Log-verosimilitud 1370.121 Criterio de Akaike 2726.241

Criterio de Schwarz 2699.797 Crit. de Hannan-Quinn 2715.68

Cuadro 5

Estimacin del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2)del empleo en logaritmos

Cuyos parmetros son significativos. La validacin del modelo, a partir del

Correlograma de los residuos se muestra a continuacin (GRETL: en el cuadro de la

estimacin seleccionar GrficosGrficos de residuosCorrelograma).

Grfico 22

Correlograma de los residuos del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2)del empleo en

logaritmos


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Econometra II

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Presenta valores significativos (mayores de 0.110 en trminos absolutos) en laFuncin de Autocorrelacin Total en los desfases 14, 23, 28, 32, 33, 39 y 45. El

estadstico Box-Pierce en el retardo 50 es 72, de manera que a pesar de que los primeros

retardos no son significativos el estadstico Box-Pierce indica que los residuos no son

RB.

Supuesto que los residuos se pudieran considerar RB, el modelo en notacincompacta es,

(1a1Ba2B2a3B

3)(1B)(1B12)Ln(Wt) = (1+b1B+b2B12+b3B

24)Vt

operando tenemos,

(1B)(1B12)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3(1B12B + B13)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3

y el modelo estimado es,

(1B12B+B13)Ln(Wt)=Zt=Vt-0,40Vt-1-0,48Vt-12-0,19Vt-24+0,37Zt-1+0,13Zt-2+0,30Zt-3

Estimado el modelo realizamos la prediccin para 2010, para ello calculamos, a

partir de la serie original, la serie estacionaria en Excel, el cuadro 7 reproduce la serie

original del empleo a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel o a partir de la

serie calculada en GRETL sd_d_l_Afiliado), la columna Vtes la que calcula GRETL

como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimacin del model elegir

Guardar Residuos se genera una serie denominada uhatxx que es la serie

Vtdel cuadro 7).

Cuadro 7

Prediccin 2010 de la serie estacionaria

Afiliados registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)

Obs.Wt

AfiliadosLn(Wt)

dLn(Wt)dln(Wt)=ln(Wt)-

-ln(Wt-1)

dd12Ln(Wt)dd12Ln(Wt)=dLn(Wt)-

-dLn(Wt-12)Vt

Prediccin

12 ln t tdd W Z ene-09 18150678 16,7142185 -0,0084998 -0,0040778 -0,0006345 -0,0036334feb-09 18075777 16,7100833 -0,0041352 -0,0075399 -0,00326 -0,0037403

mar-09 17967287 16,7040633 -0,00602 -0,0088447 -0,004365 -0,003938abr-09 17955064 16,7033828 -0,0006805 -0,0017706 0,0004384 -0,0014779

may-09 18100171 16,7114319 0,00804919 0,00118264 0,006958 -0,0048668jun-09 17917981 16,7013153 -0,0101167 0,000216 -0,0003865 0,00036113jul-09 17958362 16,7035664 0,00225112 0,00303413 0,00354 0,00172091ago-09 17796399 16,6945067 -0,0090597 -0,0030696 0,0008793 -0,0032061sep-09 17791858 16,6942515 -0,0002552 0,01125313 0,005335 0,00460376oct-09 17870659 16,6986708 0,00441927 0,01139138 0,008891 0,0047416nov-09 17777153 16,6934247 -0,0052461 -0,0027403 -0,005734 0,00386092dic-09 17640018 16,6856806 -0,007744 0,01140938 0,004613 0,0078418

ene-10 17546714 16,6803773 -0,0053034 0,00319644 -0,0031786 0,00637507

feb-10 17550412 16,6805880 0,00021073 0,00434589 -0,000811 0,00515687mar-10 0,00891597abr-10 0,00496195

may-10 0,00071901jun-10 0,00625066jul-10 0,0023973ago-10 -8,375E-05sep-10 0,00230021

oct-10 -0,0018737nov-10 0,00341032dic-10 0,00022638


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podemos calcular la serie en niveles a partir de la serie estacionaria

Ln(Wt)Ln(Wt-12)Ln(Wt-1) + Ln(Wt-13) =Zt

Ln(Wt) =Zt+ Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1)Ln(Wt-13) [5]

Wt= exp[Zt+ Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1)Ln(Wt-13)] [6]

A partir de [6] calculamos la prediccin del empleo en niveles hasta diciembrede 2010. Para ello recurrimos a Excel. La segunda columna del cuadro 8 muestra los

afiliados registrados (Wt) en niveles hasta febrero de 2010, la tercera la prediccin de la

serie estacionaria (ltima columna del cuadro 7), hasta diciembre de 2010. Calculando

[6] se llega a la prediccin de los afiliados registrados en niveles (ltima columna del

cuadro 8).

Cuadro 8Prediccin 2010 del empleo en niveles

Afiliados SARIMA(3,1,1)(0,1,2)

ObsWt

AfiliadosZt

estimadaWt

estimada

ene-10 17546714 0,00637507 17602577

feb-10 17550412 0,00515687 17564651

mar-10 0,00891597 17601310

abr-10 0,00496195 17676831

may-10 0,00071901 17832506

jun-10 0,00625066 17763699

jul-10 0,0023973 17846465ago-10 -8,375E-05 17684030

sep-10 0,00230021 17720231

oct-10 -0,0018737 17765396

nov-10 0,00341032 17732812

dic-10 0,00022638 17600003

Podemos mostrar los afiliados observados y estimados en logaritmos, hasta

diciembre de 2009 (GRETL: en el men seleccionar Modelo Series de tiempo

ARIMA seleccionar como variable dependiente l_Afiliados seleccionar

en la parte no estacional: orden AR = 3, diferencia = 1 y orden MA = 1. Y en la parte

estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 2. Eliminando la constante y

seleccionando ok aparece la ventana con la estimacin del modelo en la

ventana de estimacin seleccionar Grficos grfico de la variable estimada y

observada). El grfico 23 muestra el empleo registrado y estimado en logaritmos.


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Grfico 23

Empleo registrado y estimacin en logaritmos, modeloSARIMA(3,1,1)(0,1,2)

Que muestra un buen ajuste, de manera que aunque no est claro si los residuos

son RB, podemos utilizar el modelo para predecir. El grfico 24 muestra la prediccin

del empleo para 2010 y el empleo observado en enero y febrero.

Cuadro 24

Prediccin del empleo en niveles para 2010 SARIMA(3,1,1)(0,1,2)

Se plantea una coyuntura en la que el empleo termina el ao en los mismos

niveles en que empez, comparando la prediccin con lo efectivamente ocurrido la

conclusin es que la prediccin en su conjunto se puede considerar adecuadasobrestimado el empleo pero en una cuanta aceptable.


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El alumno debe observar que en la parte regular de este modelo ARIMA(3,1,1),la suma de los componentes autorregresivo y medias mviles es 4, muy alejado de la

recomendacin de Anderson (p + q 2)(pg. 143 del libro). Hubiera sido mejor estimar

el modelo SARIMA(0,1,0)(0,1,2) y aadir dos autorregresivos de orden 2 y 3. En este

caso el criterio de Akaike mejora (-2742,589) y por tanto tambin el ajuste. Elcorrelograma de los residuos presenta valores significativos (mayores de 0.110 en

trminos absolutos) de la Funcin de Autocorrelacin Total en los mismos desfases que

el modelo anterior y el estadstico Box-Pierce en el retardo 50 es tambin 72, de manera

que tampoco en este modelo queda claro si los residuos son RB. En todo caso la

prediccin es muy parecida y desde el punto de vista didctico consideramos mejor el

modelo estimado anteriormente.

Conclusiones

Las evidencias empricas muestran que ambas variables son integradas de orden

uno regular y estacional [I(1,1)].

El paro se ajusta bien el modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1), es decir un AR(2) en la

parte regular y un MA(1) en la estacional cuyos residuos son una imagen emprica

cercana a ruido blanco. La prediccin es adecuada en los primeros 4 meses, alejndose a

partir del mes mayo de lo efectivamente ocurrido.

El modelo del empleo que mejor se ajusta es un SARIMA(3,1,1)(0,1,2). Los

residuos del modelo presentan dudas respecto a su validacin. El pronstico sobrestima

las cifras de empleo pero se comparta bastante bien, el pronstico de estancamiento del

empleo ha resultado cierto.


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ANEXO I (forma que toma el Correlograma para la identificacin de modelosARIMA)


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ANEXO II (CLCULO DEL CORRELOGRAMA)

Como sabis, los modelos ARIMA utilizan como herramienta para identificar y validar

sus modelos el Correlograma. A continuacin se muestra como se calculan las

Funciones de Autocorrelacin Total y Funcin Autocorrelacin Parcial de cualquier

serie temporal.

Funcin de Autocorrelacin.

En el libro de Econometra II se ilustra el proceso de clculo de la funcin de

autocorrelacin referida a los 12 nmeros de la serie original de manchas solares pg.

85 y siguientes.

La funcin de autocorrelacin se puede calcular a partir de los siguientes estadsticos:

1.

T

t t

uT

t utt

u

u

ZZT

ZZZZT

C

CR

1

2

1

0 1

1

2.

T

t t

uT

t utt

u

u

ZZT

ZZZZuT

C

CR

1

2

1

0 1

1

3.

T

t t

uT

t utt

u

u

ZZT

ZZZZuT

C

CR

1

2

1 21

0 1

1

donde: T

t tZ

TZ

11

1, y

uT

t utZ

uTZ

11

1

Asntticamente los tres estadsticos son iguales, pero cuando se trabaja con pocas

observaciones puede haber diferencias significativas.

Realizando la funcin de autocorrelacin a partir del estadstico 1.

T

t t

uT

t utt

u

u

ZZT

ZZZZT

C

CR

1

2

1

0 1

1

, y teniendo en cuenta los clculos intermedios

que se reproducen en el cuadro 1.


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Cuadro 1

Obs. Z(Zt-

43,28)(Zt-

43,28)2

Zt-1 (Zt-1-43,28)(Zt-43,28)

(Zt-1-43,28)Zt-2 (Zt-2-43,28)

(Zt-43,28)

(Zt-2-43,28)Zt-3 (Zt-3-43,28)

(Zt-43,28)

(Zt-3-43,28) Zt-10

(Zt-10-43,28)

(Zt-43,28)

(Zt-10-43,28)

1749 80,90 37,62 1415,01

1750 83,40 40,12 1609,35 80,90 37,62 1509,06

1751 47,70 4,42 19,51 83,40 40,12 177,18 80,90 37,62 166,14

1752 47,80 4,52 20,40 47,70 4,42 19,95 83,40 40,12 181,19 80,90 37,62 169,90

1753 30,70 -12,58 158,34 47,80 4,52 -56,83 47,70 4,42 -55,58 83,40 40,12 -504,80

1754 12,20 -31,08 966,17 30,70 -12,58 391,13 47,80 4,52 -140,39 47,70 4,42 -137,28

1755 9,60 -33,68 1134,57 12,20 -31,08 1046,99 30,70 -12,58 423,85 47,80 4,52 -152,14

1756 10,20 -33,08 1094,51 9,60 -33,68 1114,36 12,20 -31,08 1028,34 30,70 -12,58 416,30

1757 32,40 -10,88 118,45 10,20 -33,08 360,06 9,60 -33,68 366,59 12,20 -31,08 338,29

1758 47,60 4,32 18,63 32,40 -10,88 -46,98 10,20 -33,08 -142,81 9,60 -33,68 -145,40

1759 54,00 10,72 114,85 47,60 4,32 46,26 32,40 -10,88 -116,63 10,20 -33,08 -354,54 80,90 37,62 403,13

1760 62,90 19,62 384,81 54,00 10,72 210,23 47,60 4,32 84,68 32,40 -10,88 -213,49 83,40 40,12 786,96

Suma 519,40 7054,60 4771,39 1795,38 -583,17 1190,08

Media 43,28 587,88


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En definitiva utilizando este estadstico, la Funcin de Autocorrelacin es:

Desfase Ru

1

676.0

7054,60

4771,39

1

2

1

1 1

0

1

1

T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR

2

7054,60

1795.38

1

2

2

1 2

0

2

2 T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR 0.254

3

7054,60583,17-

1

2

3

1 3

0

33 T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR -0,083

.

10

7054,60

1190.08

1

2

10

1 3

0

10

3 T

t t

T

t tt

ZZ

ZZZZ

C

CR 0,169

Funcin de Autocorrelacin Parcial

La Funcin de Autocorrelacin Parcial coincide con el parmetro mnimo cuadrtico

autorregresivo de orden q, as el valor de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de la

serie Zt en desviaciones a las medias ser:

Zt = a11Zt-1 [1], donde a11 es el valor de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de

orden uno.

Zt = a1Zt-1 +a22Zt-2 [2], donde a22 es el valor de la Funcin de AutocorrelacinParcial de orden dos, obsrvese que a11 es distinto que a1.

..

Zt = a1Zt-1 + a2Zt-2 + + appZt-p [3], donde app es el valor de la Funcin de

Autocorrelacin Parcial de orden p.

De manera que se puede calcular la Funcin de Autocorrelacin parcial por MCO.

Tambin es posible calcular la Funcin de Autocorrelacin Parcial a partir de la

Funcin de Autocorrelacin (ecuaciones de Yule-Walker).


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Modelos ARIMA


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Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de orden uno (a11).

Multiplicando [1] por Zt-1en ambos lados se tiene,

ZtZt-1= a11Zt-1Zt-1, y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-1) = a11E(Zt-1Zt-1)

C1 = a11C0, y dividiendo por C0,

R1= a11, de manera que el Funcin de Autocorrelacin y la Funcin de Autocorrelacin

Parcial de orden uno coinciden.

Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de orden 2 (a22)

Multiplicando [2] por Zt-1 en ambos miembros se tiene,

ZtZt-1= a1Zt-1Zt-1+a22Zt-2Zt-1, y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-1) = a1E(Zt-1Zt-1) +a22E(Zt-1Zt-2)

C1= a1C0+a22C1, y dividendo por C0,

R1= a1R0+a22R1 [4]

multiplicando [2] por Zt-2en ambos miembros,

ZtZt-2= a1Zt-1Zt-2+a22Zt-2Zt-2, y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-2) = a1E(Zt-1Zt-2) +a22E(Zt-2Zt-2)

C2= a1C1+a22C0, y dividendo por C0,

R2= a1R1+a22R0 [5]

De manera que tenemos dos ecuaciones [4] y [5] y dos incgnitas (a1 y a22) sistema

de ecuaciones que en forma matricial se:

0 11 1

1 02 22

R RR a

R RR a , premultiplicando por la matriz inversa del segundo miembro

tenemos,1

0 11 1

1 022 2

R Ra R

R Ra R

[6]

de manera que podemos calcular a22conociendo R1 y R2.

Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de orden p(auu)

Multiplicando [3] por Zt-u en ambos miembros se tiene,

ZtZt-u= a1Zt-1Zt-u+a2Zt-2Zt-u+ +appZt-pZt-u, y aplicando esperanzas,

E (ZtZt-u) = a1E(Zt-1Zt-u) +a2E(Zt-1Zt-u)++E(appZt-pZt-u)


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Modelos ARIMA


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UNED

Cu= a1Cu-1+a2Cu-2+ +appCu-p, y dividendo por C0,

Ru= a1Ru-1+a22Ru-2++ appRu-p [7]

Dando valores a use obtienen las ecuaciones de Yule-Walker.

1

1 0 1 1 1

22 1 0 2 2

1 2 0

u

u

uu u u u

a R R R R

a R R R R

a R R R R

, que permiten calcular la Funcin de

Autocorrelacin parcial de orden u.

Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de las manchas solares

Funcin de Aucorrelacin Parcial de orden 1 se calcula a partir de [1]

a11=R1; a11=0.676

La funcin de Aucorrelacin parcial de orden 2 se calcula a partir de [6]

1 1

0 11 1

1 022 2

1 0.676

1 0.676 0.676 0.6760.543 0.543

0.676 1 0.254 0.676 1 0.254

0.543 0.543

1.84162 1.24494 0.676

1.24494 1.84162 0.254

R Ra R

R Ra R

-0.374

Valores que coinciden con los del Correlograma calculado por el ordenador.

Sample: 1749 1760Included observations: 12

Autocorrelation PartialCorrelation

AC PAC Q-Stat Prob

. |***** | . |***** | 1 0.676 0.676 6.9865 0.008

. |** . | .***| . | 2 0.254 -0.374 8.0747 0.018

. *| . | . *| . | 3 -0.083 -0.142 8.2022 0.042

.***| . | .***| . | 4 -0.429 -0.435 12.065 0.017****| . | . | . | 5 -0.534 0.055 18.897 0.002****| . | . **| . | 6 -0.477 -0.212 25.277 0.000. **| . | . |* . | 7 -0.264 0.192 27.614 0.000. | . | . **| . | 8 -0.014 -0.204 27.623 0.001. |* . | . *| . | 9 0.096 -0.094 28.141 0.001. |* . | . *| . | 10 0.169 -0.101 30.532 0.001

ESTIMACIÓN DE MODELOS ARIMA

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