Estimacion de leyes
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Modelación de Variograma y Kriging Ordinario Geoestadística
Sara Amigo S. 18 de noviembre de 2015
1
Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 2
Mapa de isolíneas: Ley de Molibdeno................................................................................................. 3
Mapa de isolíneas: Espesor ................................................................................................................. 4
Estimación de la cantidad de tonelaje en el sector............................................................................. 5
Inverso a la distancia ........................................................................................................................... 9
Variogramas Experimentales ............................................................................................................ 11
Kriging ordinario ................................................................................................................................ 14
Conclusiones ..................................................................................................................................... 16
2
Introducción
La geoestadística es una rama de la estadística aplicada que se especializa en el análisis y la modelación de la variabilidad espacial en ciencias de la tierra. Su objeto de estudio es el análisis y la predicción de fenómenos en espacio y/o tiempo, tales como: ley de metales, porosidades, concentraciones de un contaminante, etc. Aunque el prefijo geo- es usualmente asociado con geología, sin embargo la geoestadística tiene sus orígenes en la minería. Por otro lado, el Kriging ordinario es un método geoestadístico de estimación de puntos, que utiliza un modelo de variograma para la obtención de los ponderadores que se darán a cada punto de referencias usadas en la estimación. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. Fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena, las cuales fijaron la base de la geoestadística lineal. En el presente trabajo elaboraré una estimación de la ley de molibdeno (Mo) muestreadas en menas de molibdenita (MoS) en un sector en particular. El método Inverso de la distancia es similar al Kriging ordinario, ya que considera a los valores cercanos a un punto, pero a su vez posee una menor complejidad del cálculo. El Inverso de la distancia utiliza un formula simple basado en distancias.
3
Mapa de isolíneas: Ley de Molibdeno.
A través de un block de notas con una tabla del Este, Norte y Ley obtenemos un mapa de isolíneas
escogiendo MBA.
Este [m] Norte [m] Ley Mo [gr/ton]
0 0 100
10 0 130
20 0 120
30 0 140
0 10 120
20 10 150
30 10 150
0 20 90
10 20 110
20 20 130
0 30 90
10 30 130
30 30 140
4
Mapa de isolíneas: Espesor
Análogamente obtenemos el mapa del espesor.
Este [m] Norte [m] Espesor[m]
0 0 8
10 0 9
20 0 11
30 0 9
0 10 7
20 10 10
30 10 8
0 20 9
10 20 10
20 20 9
0 30 9
10 30 12
30 30 11
5
Estimación de la cantidad de tonelaje en el sector.
Mediante triangulaciones calculamos el área del sector y con el espesor obtenemos un volumen.
Tenemos las siguientes triangulaciones:
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área Volumen[m3]
1_2_5 1 0 0 8 100 50 433,3
2 10 0 11 120
5 0 10 7 120
0 0 8,7
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área Volumen[m3]
5_2_9 5 0 10 7 120 100 866,7
2 10 0 9 130
9 10 20 10 110
0 10 8,7
1 2 3 4
5 6 7
8 9 10
11 12 13
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25 30 35
Gráfico Este-Norte
6
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
5_9_8 5 0 10 7 120 50 433,3
9 10 20 10 110
8 0 20 9 90
0 10 8,7
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
8_9_12 8 0 20 9 90 50 516,7
9 10 20 10 110
12 10 30 12 130
0 20 10,3
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área Volumen[m3]
8_11_12 8 0 20 9 90 50 450,0
11 0 30 9 90
12 10 30 12 130
20 9 103,3
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen
10_12_13 10 20 20 9 130 100 1066,7
12 10 30 12 130
13 30 30 11 140
20 20 10,7
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
9_10_12 9 10 20 10 110 50 516,7
10 20 20 9 130
12 10 30 12 130
10 20 10,3
7
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
7_10_13 7 30 10 8 150 100 933,3
10 20 20 9 130
13 30 30 11 140
30 10 9,3
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
6_9_10 6 20 10 10 150 50 483,3
9 10 20 10 110
10 20 20 9 130
20 10 9,7
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
6_7_10 6 20 10 10 150 50 450,0
7 30 10 8 150
10 20 20 9 130
20 10 9
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
2_6_9 2 10 0 9 130 100 966,7
6 20 10 10 150
9 10 20 10 110
10 0 9,7
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
2_3_6 2 10 0 9 130 50 500,0
3 20 0 11 120
6 20 10 10 150
10 0 10
8
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
3_6_7 3 20 0 11 120 50 483,3
6 20 10 10 150
7 30 10 8 150
20 0 9,7
Triángulo Muestra Este [m] Norte[m] Espesor [m] Ley Mo [gr/ton] Área[m2] Volumen[m3]
3_4_7 3 20 0 11 120 50 466,7
4 30 0 9 140
7 30 10 8 150
20 0 9,3
Sabiendo que la densidad promedio de la roca es 2,7 [ton/m3] y habiendo obtenido:
Volumen Total 8566,7 m3
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑀𝑎𝑠𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝑀𝑎𝑠𝑎 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑥 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑀𝑎𝑠𝑎 = 8566,7 𝑚³x 2,7 ton/m³
𝑀𝑎𝑠𝑎 = 23.130,09 Ton.
9
Inverso a la distancia
ESTE [m] NORTE [m]
10 10
30 20
20 30
Muestra Este [m] Norte [m] Espesor[m] Ley Mo [gr/ton] Centro geométrico DistanciaCG
Inverso a la distancia
1 0 0 8 100 x y 14,14 120,25
2 10 0 9 130 10 10 10 3 20 0 11 120
14,14
5 0 10 7 120
10
6 20 10 10 150
10
8 0 20 9 90
14,14
9 10 20 10 110
10
10 20 20 9 130
14,14
10 10
1 2 3 4
5 6 7
8 9 10
11 12 13
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25 30 35
Este[m]-Norte [m]
10
Muestra Este [m] Norte [m] Espesor[m] Ley Mo [gr/ton] Centro geométrico Distancia CG
Inverso a la distancia
6 20 10 10 150 x y 14,14 141,91
7 30 10 8 150 30 20 10 10 20 20 9 130
10
13 30 30 11 140
10
30 20
Muestra Este [m] Norte [m] Espesor[m] Ley Mo [gr/ton] Centro geométrico Distancia CG
Inverso a la distancia
9 10 20 10 110 x y 14,14 128,88
10 20 20 9 130 20 30 10 12 10 30 12 130
10
13 30 30 11 140
10
20 30
11
Variogramas Experimentales
Coordenadas E-O
Paso 10
H (10)= 271,42
Paso 20
H (5)= 310
Paso 30
H (3)= 833,33
Coordenadas N-S
Paso 10
H (7)= 221,42
Paso 20
H (5)= 160
Paso 30
H (3)=16,66
Realizo los gráficos de cada variograma para analizar la mejor opción frente a la estimación de
leyes en el muestreo.
Así obtengo 2 gráficos de dispersión que representan el comportamiento de los muestreos en
función a sus direcciones.
Pasos Variograma E-O
10 271,42
20 310
30 833,33
12
Usando una línea de tendencia de la forma lineal y mostrando la ecuación de la recta
Y=24.224x obtenemos los datos que se ajustan al Y=w|h|.
Pasos Variograma N-S
10 221,42
20 160
30 16,66
y = 24,224x R² = 0,7835
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30 35
Sem
i-V
aria
nza
Distancia
Variograma E-O
13
Análogamente Y=4.2243x obtenemos los datos que se ajustan al Y=w|h|.
En el variograma (N-S) la línea de tendencia no se logra interpolar ni ajustar a los puntos dados. Lo
que R² = -1,261 me confirma lo antes dicho. A su vez me demuestra que existe una mala
correlación en los datos del variograma (N-S), indicando que en esta dirección las leyes se
comportan de forma más errática.
y = 4,2243x R² = -1,261
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25 30 35
Sem
i- v
aria
nza
Distancia
Variograma N-S
14
Kriging ordinario
Donde;
X0= puntos en las coordenadas Este [m]
Y0= puntos en las coordenadas Norte [m]
Y en ellos estimaremos las leyes de Mo.
15
Así obtenemos las leyes estimadas en los puntos.
Sondeo Este [m] Norte [m] Ley (E-O) [gr/ton] Ley ( N-S) [gr/ton]
1 10 10 126,1959 126,1959
2 30 20 144,09 144,09
3 20 30 133,3301 133,3301
16
Conclusiones
A modo de finalizar el proyecto puedo concluir:
1. Como mencione anteriormente el variograma (N-S) posee una mala correlación en los
datos, y esto nos indica que en esta dirección las leyes se comportan de forma más
errática vs Variograma (E-W).
2. A demás con el desarrollo del kriging ordinario sabemos que es un estimador de varianza
mínima e insesgado, por lo tanto la correlación de los datos es más correcta.
3. Si bien en el kriging obtuvimos los mismos resultados en las distintas direcciones, solo es
por el hecho de que el mallado en el que trabajamos es de dimensiones insuficientes para
ver una diferencia, aun así continuo afirmando que el variograma (E-W) es el menos
errático para realizar la estimación de la ley.
4. También se puede decir que el método de kriging es más acertado, al ser un media
ponderada de los datos, por lo tanto el resultado se ajusta mejor a los datos, mientras
que el inverso a la distancia hay ciertos valores que no se pueden considerar, y se
transforma en un método más errático para calcular leyes.