ESTIMACIÓN DE ALGUNAS PROPIEDADES GEOTÉCNICAS DE LOS SUELOS MEDIANTE ANÁLISIS MULTIVARIADO...

7/23/2019 ESTIMACIN DE ALGUNAS PROPIEDADES GEOTCNICAS DE LOS SUELOS MEDIANTE ANLISIS MULTIVARIADO (REGR

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ESTIMACIN DE ALGUNAS PROPIEDADES GEOTCNICAS DE LOS SUELOSMEDIANTE ANLISIS MULTIVARIADO (REGRESIN MLTIPLE) Y SU UTILIDAD

EN LA INGENIERA CIVIL: SUELOS FINOS DEL ORIENTE BOLIVIANO

Alberto Bentez Reynoso (*)

1. INTRODUCCIN

Los ingenieros de en general, a menudo debemos predecir algunas propiedadesgeotcnicas y el comportamiento de los suelos cuando hay poca o ningunainformacin proveniente de pruebas de laboratorio. Esto tiene ms sentido enproyectos pequeos y en diseos y estimaciones preliminares.Imagnese que, de manera urgente, un ingeniero debe realizar y presentar el diseopreliminar de la estructura de un pavimento y la consecuente estimacin delpresupuesto de un tramo de carretera. Como es lgico, para este diseo, se requiereconocer numricamente la capacidad soporte o resistencia tanto de la subrazantecomo de las diferentes capas de suelo del llamado paquete estructural. Expresemos

esta capacidad soporte en trminos del CBR (Valor Soporte California), cuyadeterminacin en laboratorio requiere, varios das, tiempo demasiado largo para elcitado ingeniero.Ante esta situacin, surgen las siguientes preguntas:Cmo estimar el CBR del suelo sin recurrir a los ensayos de laboratorio de modo queel ingeniero pueda cumplir su tarea con la urgencia y la precisin que requiere?.Es posible construir modelos matemticos que permitan estimar el CBR a partir delconocimiento de otras propiedades cuya determinacin es ms simple y toma muchomenos tiempo?.Cules son las formas matemticas que adoptan estos modelos?.Qu diferencias hay entre los valores del CBR estimados con los modelos y losobtenidos mediante el ensayo convencional de laboratorio?.

Se puede construir modelos que correlacionen otras propiedades mecnicas de lossuelos de utilidad en la ingeniera civil?.Qu implicaciones tienen estos modelos en la ingeniera civil?.En consecuencia, se formula los objetivos siguientes: Desarrollar los modelos matemticos multivariados ms idneos para la estimacin

de algunas propiedades mecnicas de los suelos, con referencia particular a lossuelos del oriente boliviano.

Comparar los valores de las propiedades mecnicas de los suelos obtenidosmediante el uso de los modelos y los determinados en laboratorio.

Establecer las implicaciones que tienen los modelos citados en el diseo de lasestructuras de ingeniera civil.

2. ESTRATEGIA METODOLGICA

2.1 Modelos simples (unidimensionales)

La metodologa utilizada en la presente investigacin consta de dos partes, a saber: a)fase emprica y b) fase racional.Con relacin la fase emprica, podemos decir que la misma consiste en cientos demediciones de laboratorio y de campo, las cuales, en su mayora fueron realizadas enel marco del Proyecto de la Carretera Pailn-San Jos-Puerto Surez, en el que, elautor ha participado en la etapa final de la evaluacin de la preinversin. Asimismo, sehan realizado ensayos adicionales con la finalidad de completar la informacin

disponible. En esta fase emprica, la medicin de cada variable, en campo olaboratorio, requiere de procedimientos especiales y se sujeta a normas


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internacionales cuya descripcin escapa de los objetivos de este trabajo y puedeencontrarse en la literatura tcnica especializada.Con respecto a la fase racional de la metodologa, la misma fue descrita y aplicada porel autor en otros trabajos, la cual se sintetiza en los prrafos que siguen.Supngase que Y es una variable (dependiente) que corresponde a una propiedadmecnica de los suelos; del mismo modo, sea X una variable (independiente) quecorresponde a otra propiedad del suelo. Ambas variables son relevantes de unfenmeno particular de la Mecnica de Suelos.Si se utiliza el mtodo de los cuadrados mnimos para la modelacin matemtica, elproblema puede ser tratado mediante la siguiente metodologa (Bentez, 2013, 2010,2004 y 1997; Mendenhall y Sincich, 1997; Haan, 1982; Yevjevich, 1972) :1. Si se elige un modelo matemtico especfico, como hiptesis, la variable

dependiente de salida, Y, (output) es una funcin de la variable independiente deentrada X (input) y de los parmetros del modelo, variables que intervienen en unfenmeno dado de la Mecnica de Suelos. Es decir:

Y f(X, 1, 2) (1)

donde Y es la prediccin de Y mediante el modelo; 1y 2son los parmetros delmodelo.

2. Encontrar los parmetros 1 y 2. Esto puede plantearse como un problema deoptimizacin, determinando los valores de 1 y 2, de modo tal que los valores

predichos Y estn tan cerca como sea posible de los valores medidos Y. El criterioms comn es que la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valorespredichos y los observados de la variable Y sea un mnimo; es decir:

SSE = E(1, 2) =

n

1iii

2

YY= mnimo (2)

Alternativamente, se puede usar el criterio de minimizar el error mximo deChebyshev:

E(1, 2) = max ( YY ii ) = mnimo (3)

3. En el caso del primer criterio, los valores de los parmetros del modelo queminimizan E(1, 2), valores esperados de 1y 2, se obtienen haciendo:

SSE

1

= 0;

SSE

2

= 0 (4)

4. Evaluar la idoneidad del modelo. Se calcula el coeficiente de correlacin y sehacen inferencias acerca de los parmetros. En el caso de un modelo de regresinlineal simple, Y = o + 1X + , donde es el componente de error aleatorio yE(Y) = o+ 1X es el componente determinista, las hiptesis son: La media de la distribucin de probabilidad de es 0. Esto significa que el valor

medio de Y, E(Y), para un valor dado de X es E(Y) = o+ 1X. La varianza de la distribucin de probabilidad de es constante para todos los

valores de la variable independiente. La distribucin de probabilidad de es normal.

Los errores asociados a cualesquier dos observaciones distintas sonindependientes.Las etapas especficas son:


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i. Proponer el modelo probabilista hipottico, como el siguiente u otro de mayorcomplejidad:

Y = o+ 1X + (5)

ii. Estimar los parmetros desconocidos, oy 1, del componente determinista,o+ 1X.

iii. Especificar la distribucin de probabilidad del componente de error aleatorio,

. En general, se supone que: E() = 0, la varianza 2de es constante para

todos los valores de la variable independiente X, la distribucin de esnormal y los errores asociados a cualesquier dos observaciones distintas sonindependientes.

iv. Evaluar la idoneidad del modelo hipottico. Esto incluye calcular elcoeficiente de correlacin (R) de Pearson y hacer inferencias acerca de losparmetros.

v. Prueba t para 1.

vi. Usar el modelo para estimar el valor medio de Y, E(Y), para un valor dado deX y para predecir valores individuales de Y para valores especficos de X.

2.2 Modelos mltiples (anlisis multivariado)

La metodologa presentada se generaliza, mediante la notacin matricial, paramodelos de regresin lineal mltiple.Supngase que Y es una variable (dependiente) que corresponde a una propiedadmecnica del suelo. Del mismo modo, X1, X2, . . . . , Xp, son las variables(independientes) correspondientes a otras propiedades mecnicas del suelo. Adems,

supngase que se tienen n mediciones de cada una de las citadas variables. Seplantea, como hiptesis, un modelo lineal general de la forma:

Y = o+ 1X1+ 2X2+ . . . . +pXp+ (6)

Donde:

= componente de error aleatorio;

Y = o+ 1X1+ 2X2+ . . . . +pXp= componente determinista.

o, 1, . . . . , p son los parmetros del modelo.Los supuestos, en este caso, son:

La media de es 0 E() = 0. Para todos los valores de X1, X2, . . . . , Xp, la varianza de es constante.

La distribucin de probabilidades de es normal.

Los errores aleatorios son independientes.Se plantean las n ecuaciones siguientes:

Y1= o+ 1X11+ 2X12+ . . . . . . . + pX1pY2= o+ 1X21+ 2X22+ . . . . . . . + pX2p

. . . . . . . . . . . . . . . .

Yi= o+ 1Xi1+ 2Xi2+ . . + jXi,j+ . . + pXip (7)

. . . . . . . . . . . . . . . .Yn= o+ 1Xn1+ 2Xn2+ . . . . . . . + pXnp


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Donde:Yi= i-sima observacin de Y;Xi,j= i-sima observacin de la j-sima variable independiente.En consecuencia, si se usa notacin matricial, el modelo lineal general se puedeexpresar como:

Y = X + (8)Siendo:Y= matriz de los valores de la variable dependiente;X= matriz de los valores de las variables independientes;= matriz de los parmetros.La solucin de cuadrados mnimos de esta ecuacin matricial es:

= (X X)-1X Y (9)

Ecuacin matricial, que permite la estimacin de los parmetros del modelo.

Si se plantea la hiptesis de un modelo no lineal de la forma:

Y = oX11X22. . . . Xpp (10)

Se puede demostrar que el mismo puede ser transformado fcilmente a la formalineal. Una vez que se han obtenido los parmetros para varias opciones hipotticasde modelos, representados por diferentes formas algebraicas de ecuaciones, seselecciona el modelo ms idneo, mejor modelo o mejor ecuacin, que se realizabajo los siguientes criterios estadsticos y de prediccin:1. La idoneidad o bondad global del modelo de regresin mltiple se la determina

mediante el coeficiente de correlacin o determinacin mltiple, R o R2,respectivamente.

2. Prueba F de anlisis de varianza.3. Estimacin de Var() o 2(varianza de ).4. Pruebas t para o, 1, . . . . , py errores tpicos de estimacin.5. La habilidad del modelo para predecir la variable dependiente en funcin de las

observaciones o valores de la variable independiente, es decir, la comparacin delos valores observados (medidos) contra los valores predichos o estimados con losmodelos.

6. Anlisis de residuales.Un anlisis de residuales a menudo proporciona informacin que permite modificary mejorar un modelo de regresin. Estas modificaciones pueden hacerse porcualquiera de las tres razones siguientes: (1) el componente determinista del

modelo no se especific correctamente, (2) se violan uno o ms de los supuestosde y (3) los datos empleados para ajustar el modelo contienen uno o msvalores fuera de lo comn.

Los aspectos citados a continuacin son muy importantes y se toman en cuenta en eldesarrollo de modelos de regresin mltiple: Un factor que complica la seleccin del modelo se refiere al hecho de que las

variables independientes no son absolutamente estadsticamente independientesy estn correlacionadas. Por eso, uno de los primeros pasos que podra darse enun anlisis de regresin mltiple es calcular la matriz de correlacin de lasvariables independientes.

Qu variables incorporar al modelo?. Como cada vez ms variables sonadicionadas al modelo, r puede no decrecer. Entonces, desde el punto de vista del

valor de R, se podran usar todas las variables. Sin embargo, esto dara lugar a lageneracin de una ecuacin difcil de manejar debido a la dificultad en la


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interpretacin de los coeficientes. Cuando ms variables se adicionan, el errortpico puede crecer. Las variables retenidas en el modelo deben hacer unacontribucin significativa a la regresin, salvo que haya una razn especial(intuitiva o tcnica) para retener una variable no significativa.

El nmero de coeficientes estimados no debiera exceder de 25% a 35% delnmero de observaciones. Esta es una regla para evitar un "sobre ajuste" dondepueden ocurrir oscilaciones en la ecuacin entre observaciones de las variablesindependientes. Adems de otros, hay dos mtodos para seleccionar las variablesde un modelo de regresin: todas las regresiones posibles y regresin por pasos.

Todas las regresiones posibles. Si todas las ecuaciones van a tener trminoindependiente, se tienen que calcular 2p-1ecuaciones de regresin, donde p es elnmero de variables independientes, una de las cuales es siempre igual a 1 paraproducir el trmino independiente.

Regresin por pasos, que consiste en construir el modelo de regresinconsiderando una variable por vez, adicionando, en cada paso, la variable queexplica la mayor parte de la variacin remanente no explicada. Despus de cadapaso todas las variables son examinadas respecto a su significacin y descartadas

si no explican una significativa variacin. La adicin progresiva (forward) y la eliminacin regresiva (backward) sonfundamentalmente procesos de ensayo y error para buscar los mejoresestimadores de regresin.

Una situacin comn, en la cual se usa la regresin mltiple ocurre cuando unavariable dependiente y varias variables independientes estn disponibles y sedesea encontrar un modelo para predecir valores no observados para la variabledependiente, que es el caso del presente estudio.

En las diferentes ciencias de la Ingeniera en general y en el caso de la Mecnicade los Suelos en particular, son muchas las variables que se miden. Casi siemprese tienen mediciones y registros de las variables ms fciles de medir, por ejemplo,variables granulomtricas, lmites de consistencia y otras. En tanto que, el CBR,

las variables correspondientes al fenmeno de la consolidacin, etc., son variablesms difciles de medir o toman mucho ms tiempo.

Con relacin al tamao de muestra, n, se puede decir que, en la regresin mltiple,es quiz el elemento aislado ms influyente bajo el control del investigador. Sinembargo, en el caso de las investigaciones geotcnicas, casi siempre el tamao demuestra es coincidente con la disponibilidad de los registros (mediciones).

Se dijo que, un primer criterio numrico que permite determinar la idoneidad de unmodelo de regresin es el coeficiente de correlacin R, simple o mltiple. Sin embargo,otras pruebas pueden realizarse a fin de ratificar o rectificar la primera decisinadoptada en base al parmetro R. Si bien existen varias pruebas que permiten hacereste trabajo, hay tres de ellas que se destacan por su importancia, a saber:

Prueba de valores medidos (observados) contra valores predichos con el modelo. Prueba de residuales. Se la realiza usando una o varias de las opcionespresentadas anteriormente.

Prueba de normalidad de los residuales.Estas pruebas fueron realizadas para todos los modelos obtenidos, que han arrojadocoeficientes de correlacin (R) ms altos, pruebas grficas y numricas que no seincluyen por razones de espacio.

3. APLICACIONES Y RESULTADOS

3.1 Modelos simples (unidimensionales)

Considerando que el modelo lineal es el ms simple y ms usual, se ha consideradoapropiado determinar los coeficientes de correlacin entre cada una de las variables.


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Los resultados, que dan una idea de la fortaleza de la relacin lineal existente, sepresentan en la siguiente matriz:

Cuadro No. 1: Matriz de coeficientes de correlacin linealCBR1 LL IP N200 IG DM HO EXP1

CBR1 1 -0.673 -0.711 -0.529 -0.722 0.730 -0.650 -0.529LL -0.673 1 0.883 0.287 0.920 -0.783 0.794 0.520IP -0.711 0.883 1 0.304 0.960 -0.741 0.731 0.586

N200 -0.529 0.287 0.304 1 0.442 -0.549 0.318 0.305IG -0.722 0.920 0.960 0.442 1 -0.770 0.712 0.558DM 0.730 -0.873 -0.741 -0.549 -0.770 1 -0.824 -0.594HO -0.650 0.749 0.731 0.318 0.712 -0.824 1 0.419

EXP1 -0.529 0.520 0.586 0.305 0.558 -0.594 0.419 1

Lo que se hizo, como siguiente paso, es probar varia formas algebraicas de modelos,considerando, como variable dependiente, el CBR1. Se han obtenido los siguientesresultados:

IP

57.5340.0977-CBR1 (11)

(R = 0.942)

IG)*0.0526-exp(2.082CBR1 (12)(R = 0.814)

)LL

41.98485exp(0.0022CBR1 (13)

(R = 0.781)

Siendo, en los dos cuadros anteriores:CBR1 = Valor Soporte California al 100% de la densidad mxima (%);LL = lmite lquido (%);IP = ndice plstico (%);N200 = Porcentaje de material ms fino que 0.074 mm (tamiz No. 200);IG = ndice de grupo (sistema de clasificacin AASTHO);DM = Densidad mxima (kg/m3);HO = Humedad ptima (%);EXP1 = Expansin del CBR al 100% de la densidad mxima (%)

Asimismo, se han desarrollado otras correlaciones, cuyas expresiones matemticas ysus coeficientes de correlacin se presentan a continuacin:

IG*0.7984.936IP (14)(R = 0.960)

LL*0.6475.933-IP (15)(R = 0.883)

HO*24.833-2204.65DM (16)(R = -0.824)


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)IP

0.312(0.0500

1HO

(17)

(R = 0.808)

3.2 Modelos mltiples: anlisis multivariado

En un primer intento de incorporar ms de una variable independiente (anlisismultivariado), se ha encontrado que los siguientes modelos arrojan coeficientes decorrelacin bastante altos y que permitiran estimar el CBR1 en funcin depropiedades del suelo que son ms fciles de determinar en laboratorio como el lmitelquido y el lmite plstico.

IP

DM*0.0280.2763CBR1 (18)

(R = 0.948)

IP*LL

1013.381.506CBR1 (19)

(R = 0.941)

IG

IP*3.8440.843-CBR1 (20)

(R = 0.883)

En realidad, un anlisis multivariado completo debe considerar todos los posiblesmodelos de regresin. Es decir, si se considera el CBR1 como variable dependiente,

todas las otras (LL, IP, N200, HO, DM, IG y E1) son las variables independientes. Enconsecuencia, al tener 7 variables independientes, se tendrn 27-1 = 64 posiblesmodelos. Pero, no todas las variables independientes son significativas en un anlisisde regresin. Afortunadamente, la adicin progresiva (forward) y la eliminacinregresiva (backward), denominadas seleccin hacia delante y seleccin hacia atrs,respectivamente, permiten tomar en cuenta todas las variables independientes yeliminar paso a paso aquellas que no son significativas en el modelo, quedando, deeste modo, un nico modelo final con las variables independientes que realmente sonsignificativas.As, considerando las siete variables independientes mencionadas, la seleccin haciaadelante arroja el siguiente modelo final lineal:

DM*0.0158IP*0.156-22.258-CBR1 (21)(R = 0.773)

En tanto que, la seleccin hacia atrs arroja el siguiente resultado:

N200*0.0622-IP*0.251-13.851CBR1 (22)(R = 0.784)

Anlogamente, en el caso de considerar un modelo no lineal, tanto la seleccin haciadelante como la seleccin hacia atrs, indican que el modelo final ms adecuado es elsiguiente:


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IG

15.861CBR1

0.591

(23)

(R = 0.883)

3.3 Las otras pruebas de idoneidad de los modelos

Se ha destacado anteriormente que un primer criterio numrico que permitedeterminar la idoneidad de un modelo de regresin es el coeficiente de correlacin R,simple o mltiple. Sin embargo, otras pruebas deben realizarse, de las cuales, hay tresque se destacan por su importancia, a saber:

Prueba de valores medidos (observados) contra valores predichos con elmodelo

Esta es una prueba que permite establecer si el modelo es un buen predictor de lavariable dependiente (CBR1) en funcin de las variables independientes. Es la msimportante para el ingeniero. La prueba es bastante simple, pero altamente prctica;bsicamente consiste en graficar los valores observados (medidos) en funcin de losvalores predichos o estimados con el modelo. Si el modelo fuese perfecto, todos lospares de puntos as graficados se alinearn en una recta de pendiente igual a 1 (Y =X). Como ningn modelo es perfecto, se considera que el modelo es aceptable si lospares de puntos se sitan razonablemente alrededor de la citada recta. En suma, losvalores estimados con el modelo deben estar tan cerca como sea posible de losvalores medidos.

Prueba de residualesEsta prueba permite determinar si el modelo ha sido mal especificado.

Prueba de normalidad de los residuales

Consiste en determinar si la serie de residuales sigue una distribucin cercana a lanormal (una de las hiptesis). Si la respuesta es afirmativa, se estara verificando lahiptesis y, por lo tanto, ratificando el modelo.

4. CONCLUSIONES

En funcin al desarrollo de todo el trabajo de investigacin, en sus dos fases, a saber:i) Emprica, referida a las mediciones de campo y de laboratorio y ii) Racional, que haconsistido en el desarrollo terico y metodolgico, planteamiento de leyes generales yparticulares que rigen los diferentes fenmenos estudiados, construccin, desarrollo yverificacin los modelos matemticos obtenidos, que reflejan las relaciones entre lasvariables relevantes de cada fenmeno; se han establecido las siguientes

conclusiones:1. Se han ratificado, en algunos casos, planteado y demostrado, en otros, relacionesentre varios fenmenos de la Mecnica de Suelos, que pueden considerarse comoleyes, regularidades o pautas, que son representadas por sus variables msimportantes, tal como se concluye a continuacin: Se ha establecido la relacin o ley lineal entre dos propiedades de las arcillas

estudiadas, como son el ndice plstico y el lmite lquido, lo cual permite unacaracterizacin general de estos suelos finos.

En general, se ha demostrado que la resistencia de los suelos finos, expresadaen trminos de la variable CBR, es una funcin, principalmente, de laspropiedades plsticas como LL y IP.

2. Los modelos propuestos son vlidos para los suelos de la regin considerada

(oriente boliviano), aunque, con la debida precaucin, la generalizacin es evidente


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y pueden ser usados para los suelos de otras partes del planeta, tomando encuenta sus caractersticas, similitudes y/o diferencias con relacin a los estudiados.

3. La utilidad prctica de los modelos planteados consiste en la posibilidad de estimarindirectamente una propiedad del suelo, por ejemplo, CBR, en funcin de otra uotras, cuya determinacin en laboratorio o campo es ms simple y toma menostiempo, por ejemplo el LL.

4. Las pruebas de comparacin entre valores medidos y valores predichos con losmodelos, de residuales y de normalidad de los mismos, conducen a establecerque, en general, los modelos que arrojan ms altos coeficientes de correlacin, R,son los ms idneos para la estimacin de la variable dependiente.Adicionalmente, en todos los casos, el nivel de significacin o confiabilidad, desdeel punto de vista estadstico, fue del 95%.

5. Con relacin a las implicaciones de la investigacin realizada, en el campo de laIngeniera Civil, se puede establecer, sin lugar a dudas, lo siguiente: El valor de una propiedad mecnica del suelo (magnitud o variable), estimado

mediante un modelo matemtico, no sustituye (porque no es idntico) al valorobtenido en laboratorio o campo, pero, a falta de ensayos de laboratorio (por

diversas razones como recursos fsicos, financieros y tiempo), modelos comolos formulados son de mucha utilidad prctica en el ejercicio de la IngenieraCivil. Esto es posible gracias a una de las pruebas realizadas para verificar laidoneidad de los modelos, que es la prueba de comparacin de valoresobservados (medidos) con los valores predichos (estimados) con los modelos,cuyas diferencias son insignificantes y atribuibles, desde el punto de vistaestadstico, a errores de muestreo.

Se ha probado, de forma prctica, la idoneidad de los modelos para laprediccin o estimacin de algunas variables dependientes, por ejemplo elCBR, en funcin de otras propiedades. Para ello, se han determinado variosvalores del CBR en laboratorio y se han comparado con los estimados con losmodelos, arrojando diferencias siempre menores al 5%, lo que puede

calificarse como una precisin razonable. Se han dimensionado espesores de estructura de pavimentos, utilizando

valores del CBR de dos maneras: determinados en laboratorio y estimados conalgunos de los modelos planteados. La conclusin es elocuente: las diferenciasson insignificantes y se confunden o desaparecen en los habituales redondeosde las dimensiones en los procesos de diseo, con lo que se demuestra suimplicacin y utilidad en la ingeniera Civil.

6. Se puede afirmar, categricamente, que se ha respondido a las cuestionesplanteadas y alcanzado los objetivos formulados.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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(*) El autor es Ingeniero Civil, Doctor (Ph.D.) en Ciencias Mencin Ingeniera Civil(Estructural), Doctor en Formacin e Investigacin en Medio Ambiente, Magisteren Ingeniera (M.E.), Mster en Ciencias (M.Sc.) en Educacin, Especialista en

Elementos Finitos y Miembro de la Academia Panamericana de Ingeniera.

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