GUIA NRO. 2 PROBABILIDADES Estadstica Empresarial Mdulo 4

1. Suponga dos cajas. La caja I contiene 10 ampolletas, de las cuales 4 son defectuosas. La caja II contiene 6 ampolletas con 1 defectuosa. Si se escoge una caja y luego se saca una ampolleta:

Buenas Defectuosas Totales

Caja 1 6 4 10

Caja 2 5 1 6

Totales 11 5 16

a) Cul es la posibilidad de que la ampolleta sea defectuosa? b) Cul es la probabilidad de que se escoja la caja I y luego una ampolleta

buena? c) Si el artculo es defectuoso cul es la probabilidad que sea de la caja II?

2. En un experimento para estudiar la relacin entre la hipertensin y el hbito de fumar, se reunieron los siguientes datos en 180 individuos.

No fumadores Fumadores moderados Fumadores empedernidos

Hipertenso 21 36 30

No hipertenso 48 26 19

a) Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad de que:

i) Experimente hipertensin, dado que es un fumador empedernido. ii) Sea un no fumador, dado que no ha presentado un problema de hipertensin. iii) Sea un fumador moderado o un fumador empedernido.

b) Si se eligen aleatoriamente 2 de estos individuos, Cul es la probabilidad de

que uno sea hipertenso y el otro no hipertenso?

c) Si se eligen al azar 3 de estos individuos en forma sucesiva, cul es la probabilidad de que el primero sea un no fumador, el segundo sea un fumador moderado y el tercero sea un fumador empedernido?

3. Los siguientes diagramas representan las ciudades A y B unidas por puentes. Cada puente es independiente y tiene probabilidad 0.1 de estar cortado. Determine la probabilidad de que A y B estn incomunicadas:

a)

b) 4. En una gran empresa hay 12 postulantes a un cargo. De los cuales 4 son ingenieros y

el 8 son contadores auditores. El gerente de la empresa desea entrevistar a dos postulantes al azar.

Ingenieros Contadores

PORTULANTES 4 8

a) Cul es la probabilidad de que ambos entrevistados sean ingenieros?

- La probabilidad que el primer encuestado sea ingeniero es: - El segundo sea ingeniero es: - Por lo tanto la probabilidad que ambos sean ingenieros es:

b) Cul es la probabilidad de que el segundo entrevistado sea contador auditor?

A

1

2

B

A

3

B

1 2

5. Se realiza un congreso de delegados de diferentes institutos de educacin superior

del pas. Se sabe que el 25% de los delegados provienen de la zona norte, el 40% de la regin metropolitana y el resto de la zona sur. Adems, se sabe que el 15% de los delegados de la zona norte son mujeres y el 60% de los delegados de la regin metropolitana son hombres y el 10% de la zona sur son mujeres. Se elige un delegado al azar.

TABLA EN %

NORTE SUR R.M. TOTALES

HOMBRES 21.25 31.5 24 76.75

MUJERES 3.75 3.5 16 23.25

TOTALES 25 35 40 100

a) Cul es la probabilidad que resulte elegida una mujer?

b) Si el elegido es un hombre, cul es la probabilidad que provenga de la zona

sur? 6. En una empresa que se dedica a la elaboracin y venta de productos dietticos, el

departamento de investigacin de mercado sabe que de la poblacin de consumidores de un determinado sector el 60% son hombres. De las mujeres se sabe que el 34% prefiere la marca A y de los hombres se sabe que el 12 % prefiere la marca A.

MARCA A MARCA B

HOMBRES 7.2 52.8 60

MUJERES 13.6 26.4 40

TOTALES 20.8 79.2

a) Si se elige un consumidor, cul es la probabilidad que prefiera la marca A?

b) Si se elige un consumidor y no prefiere la marca A, cul es la probabilidad que sea hombre?

7. En una empresa consultora trabajan especialistas en recursos humanos, administracin

de empresas y especialistas en informtica. Se sabe que en un ao, esta empresa se presenta a propuestas que en un 30% corresponden a recursos humanos, 20% a administracin de empresas y 50% a informtica. De aos anteriores se sabe que las probabilidades de adjudicarse las propuestas son del 0.35 para recursos humanos, 0.72 en administracin y 0.75 en informtica.

a) Si la consultora se presenta a una propuesta y no se lo adjudica, cul es la

probabilidad de que la propuesta sea de informtica?

b) Qu porcentaje de veces la empresa se adjudica una propuesta cualquiera?

8. Si el proceso de produccin de una fbrica se encuentra bajo control se descubre que el

5% de los artculos producidos son defectuosos. Si el proceso no est bajo control, los defectuosos son el 30%. Se sabe que la probabilidad de que el proceso est bajo control es de 0,8.

DEFECTUOSO NO DEFECTUOSO

CONTROL 0.05*0.8=0.04

0.95*0.08=0.76 0.8

SIN CONTROL 0.3*0.2=0.06 0.7*0.2=0.14 0.2

TOTALES 0.1 0.9

a) Encuentre la probabilidad de que un artculo elegido al azar sea defectuoso. b) Si un artculo elegido al azar est bueno, cul es la probabilidad de que el proceso est

bajo control? 9. Considerando la posibilidad de descubrir petrleo, una compaa ha clasificado las

formaciones geolgicas en dos tipos. De acuerdo con la experiencia, al sitio donde la compaa pretende perforar un pozo se le asigna un 20% de posibilidad que sea tipo I, un 60% de que se descubra petrleo y un 70% de descubrir petrleo si es una formacin geolgica tipo II.

a) Calcule la probabilidad de que en este sitio se descubra petrleo y sea tipo II.

b) Dado que el sitio es tipo I, cul es la probabilidad que se descubra petrleo? 10. Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un

cheque con fecha equivocada es 0.001. En cambio, la probabilidad de que un cliente sin fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 0.1. Se sabe que el 90% de los clientes tienen fondos. En caja se recibe un cheque con fecha equivocada, Qu probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?

11. Se presume que una prueba para diagnosticar una enfermedad tiene 90% de exactitud;

es decir, que si una persona posee la enfermedad, la prueba la detectar con una probabilidad de 0.9. De la misma manera, si no lo padece, la prueba lo sealar con probabilidad de 0.9. Slo 1% de la poblacin padece esa enfermedad. Si se elige una persona al azar y el diagnostico indica que padece la enfermedad, cul es la probabilidad que la tenga realmente?

SOLUCION EJERCICIOS GUIA 2 PROBABILIDADES Estadstica Empresarial Mdulo 4

1.- son defectuosas. La caja II contiene 6 ampolletas con 1 defectuosa. Si se escoge una caja y luego se saca una ampolleta:

Buenas Defectuosas Totales

Caja 1 6 4 10

Caja 2 5 1 6

Totales 11 5 16

a) Cul es la posibilidad de que la ampolleta sea defectuosa?.

28.0240

68

240

2048

12

1

20

4

6

1

2

1

10

4

2

1

b) Cul es la probabilidad de que se escoja la Caja I y luego una ampolleta

buena?

10

3

5

3

2

1

10

6

2

1

c) Si el artculo es defectuoso cul es la probabilidad que sea de la Caja II?

A= De la caja 2 B = Defectuosos

)(

)()/(

BP

BAPBAP

5

1

5

16

16

1

16

516

1

)/( BAP

2. En un experimento para estudiar la relacin entre la hipertensin y el hbito de fumar, se reunieron los siguientes datos en 180 individuos.

No fumadores Fumadores moderados Fumadores empedernidos

Hipertenso 21 36 30

No hipertenso 48 26 19

a) Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad de que:

i) Experimente hipertensin, dado que es un fumador empedernido.

A = Experimente hipertensin B = Fumador Empedernido

)(

)()/(

BP

BAPBAP

180

30)( BAP

180

49)( BP

180

49180

30

)/( BAP

49

30

49

180

180

30)/( BAP

ii) Sea un no fumador, dado que no ha presentado un problema de

hipertensin. A= Sea no fumador B = no Presenta problema de hipertensin

)(

)()/(

BP

BAPBAP

180

48)( BAP

180

93

180

192648)(

BP

93

48

93

180

180

48)/( BAP

iii) Sea un fumador moderado o un fumador empedernido.

180

111

180

19302636

b) Si se eligen aleatoriamente 2 de estos individuos, Cul es la probabilidad de que uno sea hipertenso y el otro no hipertenso?

Total hipertensos = 87 Total no hipertenso = 93

502.02511.0*232220

8091

32220

8091

179

87

180

93

179

93

180

87

c) Si se eligen al azar 3 de estos individuos en forma sucesiva, cul es la

probabilidad de que el primero sea un no fumador, el segundo sea un fumador moderado y el tercero sea un fumador empedernido?.

No fumadores = 69

Fumador moderado = 62 Fumador empedernido = 49

036.05735160

209622

178

49

179

62

180

69

3. Los siguientes diagramas representan las ciudades A y B unidas por puentes. Cada puente es independiente y tiene probabilidad 0.1 de estar cortado. Determine la probabilidad de que A y B estn incomunicadas:

a)

Calculemos la probabilidad que estn comunicados: P(Prim.bueno*seg.malo)+P(Prim.malo*seg.bueno)+P(Prim.bueno*Seg.bueno) 0.9 * 0.1 + 0.1 * 0.9 + 0.9 * 0.9 0.09 + 0.09 + 0.81 0.99 La probabilidad de estar incomunicados es: 0.01 b) Para que estn comunicados: A.- P1* P2 * P3 = Buenos B.- P1* P2 BUENOS * P3 Malo

A

1

2

B

A

3

B

1 2

C.- P1 * P2 MALOS *P3 BUENO Calculemos P(A) = 0.9*0.9*0.9=0.729 P (B) = 0.9*0.9* 0.1=0.081 P(C) = 0.1*0.1*0.9=0.009 La probabilidad de estn comunicados es: 0.729+0.081+0.009= 0.819 Por lo tanto la probabilidad de estar incomunicados es: 1-0.819=0.18 4.-En una gran empresa hay 12 postulantes a un cargo. De los cuales 4 son ingenieros y el 8 son contadores auditores. El gerente de la empresa desea entrevistar a dos postulantes al azar.

Ingenieros Contadores

PORTULANTES 4 8

a) Cul es la probabilidad de que ambos entrevistados sean ingenieros? La probabilidad que el primer encuestado sea ingeniero es:

12

4

El segundo sea ingeniero es:

11

3

Por lo tanto la probabilidad que ambos sean ingenieros es:

11

1

132

12

11

3

12

4

b) Cul es la probabilidad de que el segundo entrevistado sea contador auditor?

P (2CON 1ING)+ P(2CON 1CON)

66.0132

88

132

56

132

32

11

7

12

8

11

8

12

4

5.- Se realiza un congreso de delegados de diferentes Institutos de educacin superior del pas. Se sabe que el 25% de los delegados provienen de la zona norte, el 40% de la regin metropolitana y el resto de la zona sur. Adems, se sabe que el 15% de los delegados de la zona norte son mujeres y el 60% de los delegados de la regin metropolitana son hombres y el 10% de la zona sur son mujeres. Se elige un delegado al azar. TABLA EN %

NORTE SUR R.M. TOTALES

HOMBRES 21.25 31.5 24 76.75

MUJERES 3.75 3.5 16 23.25

TOTALES 25 35 40 100

a) Cul es la probabilidad que resulte elegida una mujer? 23.25

b) Si el elegido es un hombre, cul es la probabilidad que provenga de la zona sur?

A = Hombre

B = Zona sur

)(

)()/(

BP

BAPBAP

41.075.76

5.31

100

75.76100

5.31

)/( BAP

6.- En una empresa que se dedica a la elaboracin y venta de productos dietticos, el Departamento de Investigacin de Mercado sabe que de la poblacin de consumidores de un determinado sector el 60% son hombres. De las mujeres se sabe que el 34% prefiere la marca A y de los hombres se sabe que el 12 % prefiere la marca A.

MARCA A MARCA B

HOMBRES 7.2 52.8 60

MUJERES 13.6 26.4 40

TOTALES 20.8 79.2

a) Si se elige un consumidor, cul es la probabilidad que prefiera la marca A?.

20.8 b) Si se elige un consumidor y no prefiere la marca A, cul es la probabilidad

que sea hombre?.

)(

)()/(

BP

BAPBAP

A = Hombre B = Prefiera B

2.79

8.52)/( BAP

7.- En una empresa consultora trabajan especialistas en recursos humanos, administracin de empresas y especialistas en informtica. Se sabe que en un ao, esta empresa se presenta a propuestas que en un 30% corresponden a recursos humanos, 20% a administracin de empresas y 50% a informtica. De aos anteriores se sabe que las probabilidades de adjudicarse las propuestas son del 0.35 para recursos humanos, 0,72 en administracin y 0.75 en informtica.

0.35 ADJ 0.3 RRHH 0.65 NO ADJ. 0.72 ADJ 0.2 ADMIN. 0.28 NO ADJ. 0.5 INF.

0.75 ADJ

0.25 NO ADJ

a) Si la consultora se presenta a una propuesta y no se lo adjudica, cul es la probabilidad de que la propuesta sea de informtica?

.)(

.))(.)/(

NOADJP

NOADJINFPNOADJINFP

34.0376.0

125.0

65.0*3.028.0*2.05.0*25.0

25.0*5.0.)/(

NOADJINFP

b) Qu porcentaje de veces la empresa se adjudica una propuesta cualquiera?

1-0.376=0.624

8.- Si el proceso de produccin de una fbrica se encuentra bajo control se descubre que el 5% de los artculos producidos son defectuosos. Si el proceso no est bajo control, los defectuosos son el 30%. Se sabe que la probabilidad de que el proceso est bajo control es de 0,8.

DEFECTUOSO NO DEFECTUOSO

CONTROL 0.05*0.8=0.04 .

0.95*0.08=0.76 0.8

SIN CONTROL 0.3*0.2=0.06 0.7*0.2=0.14 0.2

TOTALES 0.1 0.9

a) Encuentre la probabilidad de que un artculo elegido al azar sea defectuoso. 0.05*0.8+0.3*0.2=0.1 b) Si un artculo elegido al azar est bueno, cul es la probabilidad de que el

proceso est bajo control?

)(

)/()/(

BUENAP

BUENACONTROLPBUENACONTROLP

84.09.0

76.0)/( BUENACONTROLP

9.- Considerando la posibilidad de descubrir petrleo, una compaa ha clasificado las formaciones geolgicas en dos tipos. De acuerdo con la experiencia, al sitio donde la compaa pretende perforar un pozo se le asigna un 20% de posibilidad que sea tipo I, un 60% de que se descubra petrleo y un 70% de descubrir petrleo si es una formacin geolgica tipo II. 0.6 SI DESC. T.1 0.2 0.4 NO DESC. 0.7 SI DESC. 0.8 T.2 0.3 NO DESC.

a) Calcule la probabilidad de que en este sitio se descubra petrleo y sea tipo II.

56.08.0*7.0)2.( TDESSIP

b) Dado que el sitio es tipo I, cul es la probabilidad que se descubra petrleo?

.)(

.)1(.)./1(

DESCP

DESCTIPOPPETDESCTIPOP

176.068.0

12.0

7.0*8.006*2.0

6.0*2.0

10.- Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 0.001. En cambio, la probabilidad de que un cliente sin fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 0.1. Se sabe que el 90% de los clientes tienen fondos. En caja se recibe un cheque con fecha equivocada, Qu probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?

0.001 M.F C.FO 0.9 0.999 B.F 0.1 0.1 M.F S.FO 0.9 B.F

(P S.FO/ MF)= 917.00109.0

01.0

1.0*1.09.0*001.0

1.0*1.0

11.- Se presume que una prueba para diagnosticar una enfermedad tiene 90% de exactitud; es decir, que si una persona posee la enfermedad, la prueba la detectar con una probabilidad de 0.9. De la misma manera, si no lo padece, la prueba lo sealar con probabilidad de 0.9. Slo 1% de la poblacin padece esa enfermedad. Si se elige una persona al azar y el diagnostico indica que padece la enfermedad, cul es la probabilidad que la tenga realmente?, 0.9 POS. Enf. 0.01 0.1 NEG. 0.99 0.1 POS. S /ENF. 0.9 NEG.

047.0189.0

009.0

099.009.0

009.0

1.0*99.09.0*01.0

9.0*01.0

)((

)()/(

POSP

POSENFPPOSENFP