Estatísticas Ordinais Ano Lectivo 2005 / 2006 Estatística de Extremos Isabel Fraga Alves CEAUL &...
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Estatísticas OrdinaisAno Lectivo 2005 / 2006
Estatísticade
Extremos
Isabel Fraga AlvesCEAUL & DEIO
Universidade de Lisboa
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 2 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Plano
O que são Valores Extremos ? Importância de um estudo
diferenciado?
Áreas de aplicação
Modelos de Valores Extremos e Modelo Normal
Quantis Teóricos e Quantis Empíricos.
Excedências de nível e Períodos de Retorno
PPP-plot, PP-plot e QQ-plot: ilustração com alguns ficheiros de
dados.
Importância do peso da cauda na estimação de Quantis
Extremais
Dados S&P500 e noção de VaR
Abordagens: MMA, POT, MO,
Dois Testes de detecção do peso da cauda: Abordagem PORT
Ilustração: 3 conjuntos de dados
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 3 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Katrina : Um desastre (não)natural?
•Nova Orleães encontra-se situada abaixo do nível do mar, no meio de dois lagos, a norte e a Este, e do rio Mississipi a sul.
•De acordo com as informações divulgadas pelas autoridades locais, esta inundação deveu-se, sobretudo, a uma brecha de 60 metros num dique junto ao lago Pontchartrain.
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 4 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
New Orleans After Hurricane Katrina: An Unnatural Disaster?
•The next thing they need to do is to have a double-tiered dike system. I'll refer to them as dikes instead of levees, because we need Dutch engineers to design these structures, not the Army Corps of Engineers.
•The first structure should be a concrete damn structure of at least 40-50 feet high that is built all along the lake and every Canal that connects to the lake.
•This plan would cost billions, but would guarantee that New Orleans would NEVER face this tragedy again.
•WE can work with Dutch engineers and get this engineered properly.
NewYorkTimes,Sept’05
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 5 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
New Orleans After Hurricane Katrina: An Unnatural Disaster?
•New Orleans was built on a delta.
•Engineers surrounded it with dikes for flood protection.
•Yes, I know about Holland.
•Holland is not on the Mississippi River. It is not in hurricane alley.
•It was a matter of time. So is the next disaster, if this lesson isn't learned. Do we really want to do this again in 20 years?
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O que são Valores Extremos?
•Quando calamidades naturais de grande magnitude acontecem, questionamos acerca da sua ocorrência e frequência
→ Acontecimentos Raros?
• Poderiam ter sido tomadas providências (do Lat. providentia, acto de ver com
antecipação: s. f., suprema sabedoria divina (grafado com inicial maiúscula); Deus; medida, resolução que se toma para evitar um mal ou para corrigir irregularidades; acontecimento feliz; pessoa que
protege outrem; prevenção) de forma a prevenir ou a estarmos melhor preparados para tais calamidades?
• Secas, Inundações, Terramotos, Furacões ou Ventos Ciclónicos, Tempestades de Precipitação, ...
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O que são Valores Extremos?
• Um engenheiro em Nova Orleães pode querer construir um dique com uma altura tal que só
“muito raramente”
vê ameaçada a sua estrutura face a calamidades associadas.
• Um engenheiro no Japão pode estar interessado em construir um arranha-céus que permaneça intacto perante um “terramoto de 100-anos”, i.e., que em média
“ocorre de 100 em 100 anos”
• Um engenheiro pode querer construir uma ponte sobre o Mississipi, fixando a sua altura de forma a que esperemos que a água do rio ultrapasse o nível da ponte “muito raramente”, digamos
“uma vez em 200 anos”
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O que são Valores Extremos?
• Os exemplos apresentados são apenas alguns dos muitos que poderíamos enumerar, na área de
→ Fenómenos Naturais
• É evidente que as características de interesse naqueles casos são
extremos no sentido que focamos a nossa atenção para o
• MÍNIMO ( por ex, SECAS – Mínimo da quantidade de Precipitação )
• MÁXIMO ( por ex, INUNDAÇÕES – Máximo do Caudal de um rio )
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Porque são importantes os Modelos de Valores Extremos?
• Em muitas aplicações estatísticas o interesse é dirigido para a estimação de características centrais (ex, o valor médio da precipitação, o valor médio da temperatura) tendo por base amostras aleatórias provenientes da população sob estudo.
• No entanto, em muitas áreas aplicadas, estamos interessados na ocorrência de acontecimentos raros, ie, de grandes ou pequenos valores.
• Para os engenheiros, é sabido que os valores utilizados em construção (barragens, edifícios, pontes, etc) são obtidos como um compromisso entre segurança e custo, ie, garantindo a sua “sobrevivência” quando sujeitos a condições extremas e a um “custo” razoável.
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Porque são importantes os Modelos de Valores Extremos?
• A estimação na área de valores extremos é difícil, devido à falta de dados disponíveis.
• O uso de factores ou cargas de segurança tem sido uma solução clássica para o problema, mas actualmente é sabido que esta solução não é completamente satisfatória quer em termos de segurança quer de custo:
por um lado, elevadas probabilidades de falha podem vir a ser obtidas; por outro, eventualmente os projectos de construção têm associados gastos elevados desnecessariamente.
• O conhecimento das distribuições do máximo (e do mínimo) dos fenómenos de interesse é importante na obtenção de boas soluções em problemas de planeamento.
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Exemplos de Aplicação• Engenharia Marítima → alturas de onda para a construção de plataformas, diques, molhes costeiros, quebra-mar, etc.
Qual a distribuição da onda máxima?
• Engenharia Estrutural → ventos extremos, em termos de velocidade do vento (ou incidência sísmica), tendo por objectivo a construção de edifícios.
Qual a distribuição da velocidade de vento máxima?
• Meteorologia → condições meteorológicas extremas influenciam muitos aspectos da vida do ser humano tais como a agricultura ou vida animal, tempo de vida de certos materiais. Nestes casos, mais uma vez se centra a atenção na ocorrência de valores extremos (temperaturas muito baixas ou muito altas, por ex.)
Qual a probabilidade desses acontecimentos raros?
• E ainda ... Resistência de materiais, Fadiga de materiais, Resistência à corrosão, estudos de Poluição, perdas de índices Financeiros, etc... !
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Modelos de Valores Extremos• Análise de Valores Extremos Modelos dirigidos para Valores
extremos, não valores centrais;
modelar a cauda da distribuição de interesse
•Problema: Como fazer inferência para além da amostra de dados ?
•Uma Resposta: usar técnicas baseadas na Teoria de Valores Extremos de forma a proceder a inferências estatísticas sobre acontecimentos raros usando apenas uma quantidade limitada de dados!
• Notação:
1 2( , , , ) amostra da caracteristicaAmostr , modelo ( )a .nX X X X F x
1: 2: :: =: Amostra Ordenada n n n n n nm X X X M( ) ( ) 1 (Cauda de ). F x P X x F xF
Máximo da Amostra
Mínimo da Amostra
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1
( ).
n
n
P X x P X x
F x
1[ ] , , n nP M x P X x X x•
. .Consequentemente, ,
com sup( , ( ) 1).
q cn F
F
M x
x x F x
Suponha-se que existem >0 e ,tais que
( ), para todo
R
R n n
n n n n
a b
P M a x b G x x• Então
Teoria Básica - A distribuição do Máximo
1/exp 1 , para 1 0, se 0
( ) ( )exp( exp( )), para z , se 0
R
z zG z G z
z
,F G RD( )[GVE- Generalizada de Valores Extremos]
Representação de von Mises-Jenkinson
• Gnedenko (1943)
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As distribuições Valores Extremos (máximos)
• A GVE engloba os 3 tipos de máximos:[Fisher-Tippett]
• Fréchet:
• Weibull:
• Gumbel:
( ) exp( ( ) ), 0, 0;z z z
( ) exp( ( ) ), 0, 0;z z z
R( ) exp( exp( )), .z z z
1 / 0
0
1 / 0
limite para distribuições de cauda pesada
limite para distribuições de caudas curtas Fx
caudas vão para zero com velocidade exponencial
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GVE()
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -2 0 2 4 6 8 10
Gev(0.5)=Fréchet Gev(-0.5)=Weibull Gev(0)=Gumbel
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 16 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
11
1 1 ( ) .
n
n
P X x P X x
F x
•
. . *
*
,
inf( , ( ) 0),
q cn F
F
m x
x x F x limite inferior do suporte
* *
* * *
Suponha - se que existem >0 e :
, para tod( ) o
n n
n n n n
a b
P m Ga zz b z
R
R
• Então
Teoria Básica - A distribuição do Mínimo mn:=X1:n
1 /
** 1 exp 1 , 1 0, se 0( ) 1 ( )
1 exp( exp( )), z , se 0 ( )
z zG z G
zG zz
R
*GF D( )[GVE*- de mínimos]
•
1[ ] 1 [ ] 1 , ,n n nP m x P m x P X x X x
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As distribuições the Valores Extremos (mínimos)
• A GVE* engloba os 3 tipos de mínimos:[Fisher-Tippett]
• Fréchet de mínimos:
• Weibull de mínimos:
• Gumbel de mínimos:
* ( ) 1 exp( ( ) ), 0, 0;z z z
* ( ) 1 exp( ), 0, 0;z z z
* ( ) 1 exp( exp( )), .z z z R
1 / 0
0
1 / 0
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Modelo Probabilístico contínuo
f .d.p.
0
0.1
0.2
0 2 4 6 8 10y
F (y )
f.d.
0
0.5
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 116.14 M
ed (Y
)
F (y )
y
• Função de distribuição (f.d.): F(y)=P[Y y]
Med(Y) := Mediana de Y
( ) : ( ) ?yF f t dt
y
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 19 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
f.d.
0
0.5
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 116.14 M
ed (Y
)
F (y )
y
Modelo Probabilístico contínuo
f.d.p.
0
0.1
0.2
0 2 4 6 8 10y
F (y )
( ) : ( ) ?yF f t dt
y
• Função de distribuição (f.d.): F(y)=P[Y y]
Med(Y) := Mediana de Y
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 20 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
f.d.
0
0.5
1
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 116.14 M
ed (Y
)
F (y )
y
Modelo Probabilístico contínuo
f.d.p.
0
0.1
0.2
0 2 4 6 8 10y
F (y )
( ) : ( ) ?yF f t dt
y
• Função de distribuição (f.d.): F(y)=P[Y y]
Med(Y) := Mediana de Y
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 21 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
f.d.p.
x
φ(x )
m a b
P [ a < X b ]
x
f.d.
0
0.5
1
Φ(x )
xm ba
Φ(a )
Φ(b )
Modelo Normal N(m)
( ) ( ) : ( )a
b a x dxb
• Função de distribuição (f.d.): Φ(x)=P[X x]
Med(X) = E [ X ] =
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 22 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Modelo Normal N(m)
f.d.p.
x
φ(x )
m xm m
68.27%
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 23 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Modelo Normal N(m)
f.d.p.
x
φ(x )
m xm 2 m2
95.45%
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 24 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Modelo Gumbel
f.d.p.f (x )
m xm m
72.37%
14.41%13.22%
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 25 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Modelo Gumbel
f.d.p.f (x )
m xm 2 m 2
95.71%
4.22%0.07%
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 26 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Modelos Normal & Gumbel
f.d.p.
-3.5
-3 -2.5
-2 -1.5
-1 -0.5
0 0.5
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.5
5 5.5
6 6.5
7
x
φ(x ) f (x )
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 27 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Modelos Normal & Gumbel
f.d.
0
0.5
1
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
6.5
x
Φ(x )
Λ( x )
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 28 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Normal & Gumbel
Gráfico das funções densidade relativamente aos modelos Normal e Gumbel, para idênticos valores médio e variância
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 2 7
Normal Gumbel
Gráfico das funções densidade relativamente aos modelos Normal(0,1) e Gumbel padrão.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 2 7
Gumbel Normal (0,1)
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 29 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Normal vs. Gumbel de máximos
Gráficos da f.d.p. e da f.d. do máximo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes do modelo Normal(0,1)
Gráficos da f.d.p. e da f.d. do máximo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes dos modelos Gumbel padrão.
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 30 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Normal vs. Gumbel de mínimos
Gráficos da f.d.p. e da f.d. do mínimo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes do modelo Normal(0,1)
f.d.p. e f.d. do mínimo de amostras de dimensão n=1,2,10,100,1000,10000 provenientes dos modelos Gumbel de mínimos padrão.
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 31 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Função distribuição empírica1 2( , , , )nX X X
dados ordenados 1: 2: :n n n nx x x
amostra aleatória. Réplicas de X com
f.d. F(x)=P[Xx] ? ?
1 2( , , , )nx x x amostra de dados
• função distribuição empírica (f.d.e.)
1:
: 1:
:
1, , - 1
0 , se
( ) : , se ,
1 , se
n
n i n i n
n n
i n
x
x
x
x x
x
x
x
iF
n
Modelo ? Qual a f.d. F da população?
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 32 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
p-quantis da população e p-quantis empíricos
• População : X com f.d. F(x)
tal que, ( )p px xF p• p-quantil de X :
dados ordenados 1: 2: :n n n nx x x• p-quantil empírico :
[ ] 1: com [ ]:= "parte inteira de ",pn n pn npx
tal que, : ( )p px x F p
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 33 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
p-quantis das distribuições de Valores Extremos (máximos)
• GVE :
• Fréchet :
• Weibull :
• Gumbel :
( )pG z p
( )pz p
( )pz p
( )pz p
1 ( log( )) / , 0pz p
1
log( ) , 0pz p
1
log( ) , 0pz p
log log( )p pz
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 34 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
p-quantis das distribuições de Valores Extremos (mínimos)
• GVE* :
• Fréchet de mínimos:
• Weibull de mínimos:
• Gumbel de mínimos:
*( )pzG p
* ( )pz p
* ( )pz p
*( )pz p
1 ( log(1 )) / , 0pz p
1
log(1 ) , 0pz p
1
log(1 ) , 0pz p
log log(1 )p pz
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 35 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
p-quantis para Modelos com Localização e Escala
• Localização = Escala =
X Z
ppx z• p-quantil para X
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 36 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Excedência de nível
Excedência:. Seja X uma v.a. e u um dado valor de nível.
O acontecimento {X=x} é denominado de excedência do nível u se x> u.
0
1
2
3
4
u =
X=x
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 37 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Excedência de nível e modelo BernoulliExemplo:. As ondas podem destruir um quebra-mar quando as suas alturas excedam um dado valor, digamos 9m. Então não importa se a altura de uma onda é 9.5, 10, 0u 12m , porque as consequências destes acontecimentos são as mesmas.
Seja X uma v.a. da altura das ondas e Yu a v.a. definida por
é uma v.a. de Bernoulli com probabilidade de sucesso
ˆ1, se ocorre excedencia :
ˆ0, se nao ocorre excedenciauY
uY
[ ]up P X u
[ ] [ ] (1 )u u u u uE Y p Var Y p p
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 38 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Excedência de nível e modelo BernoulliExemplo(altura de onda máxima anual): Ao planear um quebra-mar, os engenheiros civis necessitam de definir o nível de altura de onda, o qual corresponde à altura tal que o quebra-mar terá a resistência suficiente para a enfrentar, no caso de ocorrer, sem estragos.
Então um planeamento natural para esse valor seria tomar a altura máxima de onda que atinge o quebra-mar durante o seu tempo de vida.
Contudo, este valor é aleatório e não pode ser encontrado.
Então, a única coisa que um engenheiro pode fazer é escolher este valor de modo a que venha a ser excedido com uma pequena probabilidade.
Para obter esta probabilidade (ou o valor) é necessário conhecer a probabilidade de excedência de certos valores ao longo do ano.
Se estivermos interessados no acontecimento da altura máxima anual de onda exceder um dado nível h0, temos uma v.a. Bernoulli.
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 39 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Período de Retorno e modelo GeométricoSuponha-se que um dado acontecimento A (cheia, excedência de nível,…) é tal que a probabilidade de ocorrência durante um período (1 ano) é um pequeno valor p.
Consideremos a sequência de experiências de Bernoulli (A ou Ac) ao longo do tempo. O tempo (em anos) até a primeira ocorrência A é uma v.a. Geométrica X , com E[X]=1/p.
Período de retorno: Seja A um acontecimento, e T o tempo aleatório entre sucessivas ocorrências de A. O valor médio de T, E[T] é designado por período de retorno de A.
(tempo médio para o retorno desse acontecimento)
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 40 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Períodos de Retorno
Se F é a f.d. do máximo anual X, o período de retorno, Tx, do acontecimento A={X>x} (excedência) é
Tx = 1/P[A] = [1-F(x)]-1 anos .
Se F é a f.d. do mínimo anual X*, o período de retorno, Tx*, do acontecimento A*={X<x} (“shortfall”ou queda) é
Tx* = 1/P[A*] = [F(x)]-1 anos .
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 41 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Período de Retorno de uma cheia
Exemplo: Seja F a f.d. do cheia máxima anual (em m3/seg) numa dada secção do rio
38.5( ) exp exp
7.8modelo Gu
xF x mbel.
O período de retorno de cheias de 70 m3/seg é
70
157.24 anos.
1 (70)T
F
Quer dizer: uma cheia máxima anual de 70 m3/seg ocorre, em média uma vez em 57.24 anos
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 42 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Nível de altura de onda
Exemplo: Um quebra-mar é desenhado para resistir durante uma vida média útil de 50 anos. Seja F a f.d. da altura máxima anual de onda (em pés) é
15( ) exp exp
4modelo Gum
hF h bel.
O nível de altura de onda deverá verificar
150 anos.
1 ( )F h
Quer dizer: nível de altura de onda é h =30.61 pés
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 43 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Ficheiros de Dados (Castillo, Hadi Balakrishnan & Sarabia 2005)
• Wind Data → velocidade máxima anual do vento, em milhas/hora, registadas num dado local, durante um período de 50 anos (para a construção de edifícios)
• Flood Data → caudal máximo anual de um rio, em metros cúbicos, medido num dado local, durante 60 anos (planeamento de prevenção contra inundações).
• Wave Data → altura de onda máxima anual, em pés, observadas num dado local ao longo de 50 anos (construção de quebra-mar).
• Epicenter Data → a distância, em milhas, de uma dada central nuclear ao epicentro dos 60 terramotos mais recentes, e com grau de intensidade acima de um certo limiar (prevenção do risco associado a sismos próximos da central nuclear). Os geólogos detectaram uma falha a 50Km da central e que será a principal causa dos sismos naquela área.
• Precipitation Data → a precipitaçãp total anual em Filadélfia, nos últimos 40 anos, medida em polegadas, (prevenção contra seca).
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 44 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Castillo,E., Hadi,A.S., Balakrishnan,N. and Sarabia,J. M., (2005), Extreme Value and Related Models in Engineering and Science Applications, New York: John Wiley & Sons.
Data Set Name Table Number
Wind 1.1
Flood 1.2
Wave 1.3
Epicenter 1.9
Precipitation 1.13
http://personales.unican.es/castie/extremes/
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 45 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Papel de Probabilidades Plot (PPP)
• Trata-se de um método gráfico de validação preliminar de um modelo F(x;a,b), associado à característica sob estudo, X, com base numa amostra observada.
( ; , )p F x a b
• Obtenção de um papel de probabilidades:
1ºpasso: encontrar uma transformação que expresse a equação
numa forma linear, ie, através duma recta do tipo
( ) ( )g p h xa b
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 46 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Papel de Probabilidades Plot (PPP)
: 1, 2, ,: ,1i n i n
ip
n
: : 1, 2, ,( ) ( ) para, .i n i n i np versg u hs x
• amostra de dados observados:
dados ordenados: 1: 2: :n n n nx x x
1 2( , , , )nx x x
• Definam-se as “plotting positions”:
• Obtenção de um papel de probabilidades (cont.):
2ºpasso: marcar a núvem de pontos (plot)
: : 1, 2, ,( ) ( ) , parai n i n i nh xag bp
Se o Modelo subjacente é F(x;a,b) ...... os pontos dispõe-se aproximadamente ao longo da recta , i.e.,
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 47 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Papel de Probabilidades Plot (PPP)
( ) ( )
,
( ) log( log( )), ( )
,
1,
g p h x
g
a b
a
p h x
b
p x
• Exemplo: Gumbel (máximos), com localização ,escala
( ; ) exp exp , , , 0;,x
x x
R
( ; , ) exp expx
p x
log( ) exp
xp
log( log( ))x
p
obtendo-se a relação linear:
1
log( log( ))p x
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 48 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Papel de Probabilidades Plot (PPP)
( ) ( )
,
( ) log( log( )), ( ) lo )
,
g
,
(
logg p h x
g p h x
a
p
a
b
x
b
• Exemplo: Weibull (máximos), com localização e escala
fixado!)( ; , ) exp , ( , ;, 0
xx x
( ; , ) expx
p x
log( )
xp
log( log( )) log
xp
log( log( )) log( ) logp x
obtendo-se a relação linear:
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 49 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Transformações para PPP
,( ) ( )g p h xa b
g(p)h(x)PPP
( ; , )x
log( )x
( ; , )x ( ; , )x
*( ; , )x
* ( ; , )x * ( ; , )x
log( log( ))p
log( log(1 ))p
log( )x
log( )x
log( )x
x
x
log( log( ))p
log( log( ))p
log( log(1 ))p
log( log(1 ))p
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 50 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “wave heights” – Tabela1.3
• amostra ordenada dos dados; dimensão : n=502.91 6.93 9.17 10.28 11.82 13.88 14.86 17.36 21.06 24.75
3.74 7.21 9.50 10.45 12.27 13.98 15.03 18.68 21.13 25.45
4.09 7.92 9.62 10.77 12.68 14.32 15.30 18.72 21.53 28.13
5.88 8.26 10.00 11.65 13.28 14.38 16.07 19.44 21.80 29.95
6.42 8.79 10.14 11.65 13.46 14.46 16.23 20.09 23.15 37.19
• Wave Data → altura de onda máxima anual, em pés, observadas num dado local ao longo de 50 anos (construção de quebra-mar).
• Os dados foram obtidos em águas costeiras.
•O objectivo do estudo é construir um quebra-mar.
•A altura de onda é, por definição, uma variável aleatória não-negativa, limitada superiormente. Esta suposição é clara para águas costeiras, mas não evidente para o alto mar.
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 51 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “wave heights” – Tabela1.3
Wave Heights
y = 0.165x - 1.8473
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40
xi:n
- l
og
( -
log
(p
i) )
plot - PPP
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 52 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “wave heights” – Tabela1.3 Gumbel (máximos), com localização ,escala
( ; ) exp exp , , , 0;,x
x x
R
localização ? escala ?
= 0.165 1.8473
10.165, 1.847
( ) ( ) ( )
,
( ) log( log( )),
3
( )
g p h x h x
g p p
a
h
a
x
b
b
x
ˆ ˆ 6.061 / 0.165
1.ˆ ˆ ˆ6.068473 1.8473 11.2
11.2, 6.06( ; ) ( ; )ˆ ˆ,x x
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 53 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “wave heights” – Tabela1.3
Gumbel (máximos) estimada
11.2, 6.06( ; ) ( ; ) exp e11.2ˆ ˆ,
6.0.
6xp ,
xx x x
R
qual a probabilidade da altura de onda máxima anual exceder 40 pés?
11.2, 6.06
1
[ 40] 1 [ 40]
1 (40; )
40 1 exp exp
1 0.991
1.26.
06
0.009
P X P X
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 54 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “wave heights” – Tabela1.3
Gumbel (máximos) estimada
11.2, 6.06( ; ) ( ; ) exp e11.2ˆ ˆ,
6.0.
6xp ,
xx x x
R
qual o nível de altura de onda para um período de retorno de 50 anos?
11.2, 6.06
150 anos
1 ( ; )
11.2 6.06ln( ln(0.98)) 34.85 pe s
h
h
Quer dizer: para um período de retorno de 50 anos, nível de altura de onda é h =34.85 pés
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 55 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Q-Q plot – Tabela1.3
( ˆ ˆln( ln( ))ˆ )ip pi
qualidade da Gumbel (máximos) estimada?11.2, 6.06( ; ) ( ; ) exp e
11.2ˆ ˆ,6.06
xp ,x
x x x
R
Quer dizer: a núvem de pontos do Q-Q plot deverá estar sensivelmente ao longo da recta bissectriz do 1º quadrante.
Wave Heights
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40
:i nx
(
11.2
6.ln
((
6n
))0
lˆ
) ippi
: ,
para
1,2, ,
i n
i n
x
versus
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 56 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
P-P plot – Tabela1.3
: : 11.2,6( .06( ; )ˆ )i n i nx x
qualidade da Gumbel (máximos) estimada?11.2, 6.06( ; ) ( ; ) exp e
11.2ˆ ˆ,6.06
xp ,x
x x x
R
Quer dizer: os pontos do P-P plot deverão estar sensivelmente ao longo da recta bissectriz do 1º quadrante, no quadrado [0,1]x[0,1]
,
para
1,2, ,
i
i n
p
versus
Wave Heights
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
::
11.2
,6(
.06
(;
)ˆ
)in
inx
x
ip
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 57 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “Houmb” – Tabela1.6
• amostra ordenada dos dados; dimensão : n=24
• Houmb’s Data → altura significativa de onda máxima anual, medidas em Miken-Skomvaer (Noruega) e publicados por Houmb e Overvik (1977).
• O objectivo do estudo é construir estruturas marítimas.
5.60 7.80 9.05 9.80 11.10 11.75
6.55 7.90 9.15 9.90 11.30 12.85
6.65 8.00 9.40 10.85 11.30 12.90
7.35 8.5 9.60 10.90 11.55 13.40
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 58 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “Houmb” – Tabela1.6
plot - PPP
Houmb's data
y = 1.0684x + 1.652
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5
-ln(13.5-xi:n)
- lo
g( -
log
(pi)
)Weibull de máximos ?? ...localização ???
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 59 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “Houmb” – Tabela1.6
plot - PPPWeibull de máximos ?? ...localização ???
Houmb's data
y = 2.9637x + 5.7948
-1.5-1
-0.50
0.51
1.52
2.53
3.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
-ln(16-xi:n)
- l
og
( -
log
(p
i) )
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 60 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “Houmb” – Tabela1.6
plot - PPPWeibull de máximos ?? ...localização ???
Houmb's data
y = 3.529x + 7.3812
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-2.5 -2 -1.5 -1
-ln(17-xi:n)
- lo
g(
- lo
g (
pi)
)
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 61 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados: “Houmb” – Tabela1.6
plot - PPP Weibull de máximos ! ...localização ??? ...localização ??? ...localização ???
Prossiga-se com a estimação da escala e forma para: ... localização
...localização
...localização
para a Weibull estimada
Q-Q plots ...
P-P plots ...
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 62 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
f.d.'s e f.d.e.
0
1
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
x
0.95
Q0.95
f.d.e.
Quantis extremos: Normal ou Gumbel??
1:10 2:10 10:10( , , , ) (-1.5,-0.5,-0.2,0.1,0.2,0.5,0.8,0.9,1.3,2.1)x x x Modelo ?
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 63 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
f.d.'s e f.d.e.
0
1
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
x
Φ(x)
Λ( x )0.95
Q0.95
f.d.e.
Quantis extremos: Normal ou Gumbel??
1:10 2:10 10:10( , , , ) (-1.5,-0.5,-0.2,0.1,0.2,0.5,0.8,0.9,1.3,2.1)x x x Modelo ?
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 64 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
f.d.'s e f.d.e.
0
1
-3.5
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
4.5
5.5
x
Φ(x )
Λ( x )0.050.95
Λ-1(0.95)Φ -1(0.95) Q0.95
f.d.e.
Quantis extremos: Normal ou Gumbel??
1:10 2:10 10:10( , , , ) (-1.5,-0.5,-0.2,0.1,0.2,0.5,0.8,0.9,1.3,2.1)x x x Modelo ?
amostra gerada do
modelo Gumbel !
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 65 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Caudas Pesadas ou Leves ?•
Fazemos frequentemente uma distinção (mesmo que instintiva!...) entre distribuições “bem-comportadas” e distribuições “perigosas” com cauda pesada
A classe das distribuições “bem-comportadas” consiste naquelas distribuições com cauda limitada exponencialmente, → grandes observações não são impossíveis, mas a probabilidade de ocorrência decresce a uma velocidade exponencial para zero, à medida que o nível de patamar se torna cada vez maior. → caudas leves.
Por outro lado, uma das principais preocupações é a detecção de distribuições consideradas “perigosas” → distribuições de cauda pesada → não existe um limite exponencial, sendo mais provável que se obtenham grandes observações. As grandes observações exercem forte influência na soma total das observações.
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 66 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Caudas Pesadas, Índice de Cauda e Momentos
1(G ), 0
DF Caudas pesadas
1
2
Variância finita
1 1
2
Variância infinita, valor médio finito
1
valor médio infinito
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 67 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Standard&Poor’s 500 (S&P500)•Valores de fecho da S&P500 de: Janeiro80 até sexta-feira, 16 Outubro87
: valor de fecho em tS t
S&P500 - valores de fecho (jan80-16out87+19out-Fev88)
100
150
200
250
300
350
S&P500 19 Outubro87(2ªfeira negra) – fim de Fevereiro88
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 68 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Dados – log-retornos diários S&P500
1: log( / )t t tR S S
•Amostra: Janeiro60 até sexta-feira, 16 Outubro87 (dimensão = 6985)
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 69 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
S&P500: Valores relevantes a partir de Janeiro de 1960?
S&P500
-2
0
2
4
6
8
S&P500
-5
0
5
10
15
20
25
• Sub-Amostra de topo: os 3312 valores positivos de 1: log( / )t t t tL R S S
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 70 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Distribuições de cauda pesada no mercado financeiro
• Os log-retornos exibem frequentemente caudas pesadas
• Estamos interessados num certo nível elevado, o qual será excedido com uma
pequena probabilidade
quantil extremal VaR (Value-at-Risk)
• Exemplo: 16 Outubro 1987 – Um gestor de risco quer saber o risco associado ao investimento
estimar a % de queda diária do índice S&P500
que ocorra só uma vez em 40 anos
10.000 dias ≈ 40 x 250dias úteis
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 71 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Problema a tratar:
1 2, , , , f.d. nX X X F
Os log-retornos exibem caudas pesadas?
• Estamos interessados em estimar xp de F tal que:
• AMOSTRA
(G ), 0 ? F D Estimação de para caudas pesadas?
(parâmetro de 1ª ordem )
( ) ( ), com 1p pF p F p px x
• A tratar previamente:
Ajustamento de modelos extremais, etc ... ???
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 72 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Ajustamento da GVE aos Máximos Anuais - MMA
Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4 Bloco 5
• Inclusão de parâmetros de localização e escala na GVE
( ; , ) , , 0,
R R
xG x G
índice de cauda (forma)
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 73 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
A distribuição Generalizada de Pareto (GP)
-1/
1- 1 se 0( ; , ) , , 0,
1- exp -( ) / se 0
R x
H x
x
para 0 e 1+ / 0 x x
• A GP engloba os modelos:
( ; , ) 1 log ( ; , ) H x G x
1,W ( ) 1 , 0, 1 x x x• Pareto: Cauda pesada
• Exponencial: 0W ( ) 1 exp( ), 0 x x x Cauda leve
• Beta: 2,W ( ) 1 ( ) , 0, -1 0 x x x Suporte
limitado
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 74 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Excessos acima de um nível elevado - POT
( ) ( ) , 0 F u y F u P X u y X u y
( ; ( )) P X u y X u H y u
Excessos acima : d o -iu X u
u
• Balkema-de Haan’74+Pickands’75
0(G ) lim sup - - ( ; ( )) 0
D
Fu x x u
F P X u x X u H x u
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 75 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Abordagem semi-paramétrica Maiores Observações (MO)
(G )DF
:n nX
1:n nX
2:n nX
3:n nX
n nX k:
1 :: :n n n n n k nXX X
: n k nX ( ) ,
/ 0,
k k n
k n ne.o. intermédia
superior
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 76 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Testes de detecção do peso da cauda
O parâmetro de forma determina o peso da cauda
Escolha entre Domínios de Atracção
0 0(G ) . (G ) F vs F D D 0
0
. (G )
. (G )
vs F
vs F
D
Dou
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 77 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Peaks Over Random Threshold - PORT
1: : , 1,: ,n k nn ni iX i kZ X Excessos Acima do Nível Aleatório
:n k nX
n nX k:
:: 1:Excessos acima de : - n k n n i n n k ni XZX X
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 78 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
1 :: :n n n n n k nXX X ( ) ,
/ 0,
k k n
k n n
1: : , 1,: ,n k nn ni iX i kZ X
Maiores Observações
Excessos acima do Nível Aleatório :n k nX
• Abordagem
r-Momento dos Excessos
r-Momento dos Excessos
( )1:
1 1: 1, 2
1 1: : ,
k kr rr
n n i ni
n ii
n k rM X Zk k
X
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 79 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Razão entre o Máximo e a Média dos Excessos - NPFA
Motivação: comportamento diferenciado da razão entre o máximo e a média para caudas leves e pesadas
Não depende da localização nem da escala
(Neves&Picek&FAlves.(2006))
: :1(1)
1
( )1
n n n k nn
kn
ii
X XZT k
MZk
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 80 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Estatística de Hasofer e Wang - HW
Motivação: tem por base a estatística de ajustamento de Shapiro-Wilk ‘65
Não depende da localização nem da escala
(Hasofer & Wang ‘92)
221 (1)
1
2 2(2) (1)21 1
1 1
1 1( ) :
k
ii n
nk k
n ni ii i
k Z MW k
k k M Mk Z k Z
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 81 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Estatística de tipo Greenwood - Gt
Motivação: tem por base a estatística de Greenwood ’46
Não depende da localização nem da escala
21 (2)1
2 2(1)1
1
( )
k
ii nn
knii
k Z MR k
Mk Z
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 82 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Relação entre HW e Gt
1 1( )
( ) 1
nn
W kk R k
Reescreva-se HW sob a égide de Gt, (Neves and Fraga Alves, ´06)
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 83 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
Testes de nível assintótico
0 0 1 0H : (G ) . H : (G ) F vs F D D
0 0 1 0H : (G ) . H : (G ) F vs F D D
z - quantil da Normal
0 0 1 0H : (G ) . H : (G ) F vs F D D Rejeitar H0 (caudas leves) em favor de H1 (bilateral) se:
*1 2
*1 2
( )
( )
n
n
R k z
W k z
Rejeitar H0 (caudas leves) em favor de H1 (caudas pesadas) se:
*1
*1
( )
( )
n
n
R k z
W k z
Rejeitar H0 (caudas leves) em favor de H1 (caudas curtas) se:
*1
*1
( )
( )
n
n
R k z
W k z
*
*
/ 4 ( ) 2
/ 4 (
(
) : )( 1
) : nn
n n
R k
W
k R k
k k kW k
• sob H0 : As estatísticas de Teste normalizadas
são assintoticamente normaispara sequências intermédias: ( / ) 0
nk A n k
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 84 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
0 0 1 0H : (G ) . H : (G ) F vs F D D
0 0 1 0H : (G ) . H : (G ) F vs F D D
0 0 1 0H : (G ) . H : (G ) F vs F D D Rejeitar H0 (caudas leves) em favor de H1 (bilateral) se:
Rejeitar H0 (caudas leves) em favor de H1 (caudas curtas) se:
,*, og: lkk n nT T k
*, 1k nT g
*,k nT g
* *, 2 , 1 2or k n k nT g T g
log( o: l g )g Gumbel quantile
Rejeitar H0 (caudas leves) em favor de H1 (caudas pesadas) se:
Testes de nível assintótico • sob H0 : A estatística de Teste normalizada
é assintoticamente Gumbel para sequências intermédias: ( / ) 0
nk A n k
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 85 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
DADOSBilbao – 179 observações
“zero-crossing” médias horárias (em segs) das ondas do mar, medidas na bóia de Bilbao em Janeiro de 1997, tendo sido retidos apenas os valores superiores a 7 segs.(influência dos períodos na morfodinâmica da praia relacionados com a cauda direita da distribuição subjacente)
Ozono – 731 observações níveis de ozono (em partes por billião) registados por hora em Harris County durante 1980 - 1993.
S&P500 – 6985 observações série de valores de fecho do índice financeiro S&P500 (log-retornos), de Janeiro1960 até à sexta feira, 16 Outubro 1987 (dia anterior ao “crash” da 2ª feira Negra, 16 Outubro 1987).
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 86 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
g0.05
Bilbao waves data
• Amostra : (dimensão = 179)
(G ), 0 !F D
Ano Lectivo 2005 / 2006 – 87 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
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Ano Lectivo 2005 / 2006 – 88 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
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Ano Lectivo 2005 / 2006 – 89 Curso Pós-graduado de Especialização em Probabilidades e Estatística, Isabel Fraga Alves
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