Estática 01 2014
81
ESTÁTICA
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ESTÁTICA
ESTÁTICA
• La Estática, es parte de la Mecánica,estudia el equilibrio de diversoselementos o sistemas estructuralessometidos a la acción externa decargas puntuales y distribuidas, asícomo de momentos.
CONTENIDOPrimeramente analizaremos las diversas formas delas FUERZAS Y MOMENTOS, a las cuales estánsometidas las estructuras, luego estudiaremos elEQUILIBRIO de estructuras simples y estructurasespaciales. Calcularemos los CENTROIDES enalambres y áreas, así como, los MOMENTOS DEINERCIA de áreas planas y de perfiles metálicos.Calcularemos las FUERZAS INTERNAS que derivanen los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante ymomento flector para vigas y finalmenteanalizaremos diversos tipos de ARMADURAS, através de los métodos de los nudos de secciones.
FUERZA• Interacción mecánica entre dos cuerpos.
• Es todo agente capaz de modificar lacantidad de movimiento o la forma de loscuerpos. La fuerza expresa la acciónmecánica de un cuerpo sobre otro.
• Siendo la fuerza una cantidad vectorial suespecificación completa requiere de: (a)una INTENSIDAD (MÓDULO), (b) unaDIRECCIÓN y SENTIDO, y (c) un punto deaplicación.
ELEMENTOS DE LA FUERZA
La fuerza es un vector fijo, porque una
de sus características es el punto de
acción
TENSIÓN
COMPRESIÓN
NO SE PRODUCE
DEFORMACIÓN
Misma línea de acción, los puntos de
aplicación son diferentesEl punto de aplicación es una característica de
una fuerza, en lo que se refiere a deformaciones
Si la barra es RIGIDA, no se observarán diferencias
en el comportamiento de las tres barras.
Es decir los efectos
externos de los tres casos
son idénticos.
Si sólo nos interesan los efectos
externos, una fuerza puede ser
tratada como un vector
deslizante.
PRINCIPIO DE
TRANSMISIBILIDAD
Una fuerza puede moverse a lo largo de su línea de
acción sin cambiar sus efectos externos sobre un
cuerpo rígido.
PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
Las tres fuerzas son iguales en
magnitud, sin embargo sólo P y Q
producirán efectos externos
idénticos, ya que tienen la misma
línea de acción.
Como la línea de acción de S es
diferente, su efecto externo es
diferente.
La fuerza puede considerarse aplicada en
cualquier punto de su línea de acción sin
que altere su efecto exterior sobre el
cuerpo
PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
A. Fuerzas
Externas:
B. Fuerzas Internas: El efecto interior de la
fuerza F es las deformaciones y esfuerzos
resultantes distribuidos en el seno del
material.
FB/A es una fuerza
INTERNA, cuando se
considera todo el cuerpo.
CLASES DE FUERZAS
1. FUERZAS DE
CONTACTO.
Se generan mediante el
contacto físico directo
entre dos cuerpos
2. FUERZAS MASICAS
Se crean por acción
a distancia.
Ejemplo, las fuerzas
gravitacionales,
para las que se
cumple la Ley de la
Gravitación
Universal de
Newton..
2
21
r
mmGFg
3. FUERZAS
CONCENTRADAS
Aquellas que se
consideran
aplicadas en un
punto.
Aquellas que se consideran aplicadas en
una línea, un área o un volumen.
2. DISTRIBUIDAS
UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDAS
DISTRIBUIDAS NO
UNIFORMEMENTE
UNIDADES DE FUERZA Se mide una fuerza comparándola con
otras fuerzas conocidas, por equilibrio
mecánico, o por la deformación calibrada
de un resorte.
UNIDADES DE FUERZA
En el S. Internacional Absoluto:
M.K.S.: 1 Newton. (1 N = 1kg m/s2),
c.g.s. : 1 Dina. (1 dn = 1g cm/s2).
En el S.I. Técnico:
1 Kgf. (1kgf = 1 UTM m/s2)
En el S. Inglés Absoluto:
1 Poundal (1 Poundal = 1 lb
pie/s2)
En el S. Ingles Técnico:
1 lbf. (1 lbf = 1 slug
pie/s2)
FUERZA RESULTANTE
Consideremos dos fuerzas actuando
sobre un cuerpo como se ve en la figura .
FUERZA RESULTANTE El Módulo o magnitud de la resultante:
mediante la Ley de cosenos
CosFFFFFR 21
2
2
2
1 2
Sen
F
Sen
F
Sen
FR 21
La dirección de la resultante: mediante la
Ley de senos o teorema de Lamy
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
1.EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN
EL PLANO
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
1. EN DOS DIRECCIONES PERPENDICULARES EN EL
PLANO
)(
)(
)(
)(
22
Fx
FyTgarc
FyFxF
jSeniCos
jSeniCosFF
jFSeniFCosF
jFyiFxF
EJEMPLO:
La longitud del vector posición r es de 2,40m. Determine:(a) La representación rectangular del vector posición r. (b)Los ángulos entre r y cada uno de los ejes coordenadospositivos
EJEMPLO:
Dado los vectores: ; ; ;
Determinar:
a)
b) La componente ortogonal de B en la dirección de C
c) El ángulo entre A y C
d)
e) Un vector unitario perpendicular a A y B
f)
AB
kjiA 46 kjB 3
kjiC 42
BA
BAC
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
2.EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN
EL ESPACIO
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA
2. EN TRES DIRECCIONES PERPENDICULARES EN
EL ESPACIO
)(
)(
)(
)
)(
222 FzFyFxF
kCosjCosiCos
kCosjCosiCosFF
kFCosjFCosiFCosF
kFzjFyiFxF
DIRECCIONES
F
FxCos
F
FyCos
F
FzCos
FUERZA (MÓDULO Y COORD.DE PTO INICIAL Y FINAL)
En algunos caso la fuerza está definida por su
módulo y las coordenadas de dos puntos a lo
largo de su línea de acción.
2 1 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 2 2
ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y z
x y z
MNF F F
MN
x x i y y j z z kF F
x x y y z z
d i d j d k d i d j d kF F F
dd d d
uuuurr
uuuur
r
r
EJEMPLO:
Encuentre la representación rectangular de la fuerza Fcuya magnitud es de 240N
EjemploCalcule las componentes horizontal y vertical de lasfuerzas mostradas en la figura
Ejemplo
Calcule las componentes de la fuerza de 100
N representada en la figura, una de ellas actúa
en la dirección de AB y la otra paralela a BC.
EJEMPLO
La fuerza de 500 N que actúa sobre la armaduraha de ser resuelta en dos componentes actuandoa lo largo de los ejes AB y AC de la estructura. Sila componente de la fuerza a lo largo de AC es de300 N dirigida de A C, determine la magnitud de lafuerza actuante a l largo de AB y el ángulo θ de lafuerza de 500 N
EJEMPLO
La fuerza F de 500 N está aplicada al poste vertical
tal como se indica . (a) Escribir F en función de los
vectores unitarios i y j e identificar sus
componentes vectoriales y escalares; (b) hallar las
componentes escalares de F en los ejes x’ e y’; ©
hallar las componentes escalares de F en los ejes x
e y’.
EJEMPLO
Combinar las dos fuerza P y T, que actúan
sobre el punto B de la estructura fija, para
obtener una única fuerza R.
EJEMPLO
En el sistema de fuerzas mostrado en la figura
determine la magnitud y la dirección de la
fuerza resultante.
EJEMPLOExpresar la fuerza F de 36 kN en función de los
vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección sobre
el eje x
EJEMPLO O2
Expresar la fuerza F de 400 N en función de los
vectores unitarios i, j y k. Hallar la proyección
sobre la recta OA.
EJEMPLO O2
Calcular las componentes rectangulares de la
fuerza de 110 N, representada en la figura, una
es paralela a AB y la otra es perpendicular a
esta línea.
MOMENTO DE UNA FUERZA
Se denomina momento de una fuerza
(respecto a un punto dado) al efecto de giro o
rotación, que produce una fuerza que actúa
sobre un cuerpo cuando su línea de acción nopasa por su centro de gravedad.
MOMENTO DE UNA FUERZA El momento de una fuerza aplicada en un punto P con
respecto de un punto O viene dado por el productovectorial del vector de posición OA por el vector fuerzaF; esto es
Dirección: Siempre perpendicular al plano de r y F.
Módulo:
Sentido: Según la regla de la mano derecha.
Dado que las fuerzas tienen carácter de vectoresdeslizantes, el momento de una fuerza esindependiente de su punto de aplicación sobre surecta de acción o directriz.
FrMo
SenFrM o
INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de una fuerza con respecto a un eje
da a conocer en qué medida existe capacidad en
una fuerza o sistema de fuerzas para causar la
rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase
por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo
sobre el cual se aplica y es una magnitud
característica en elementos que trabajan
sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria)
o a flexión (como las vigas)
COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO
El momento de la fuerza respecto a O es
COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA
COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO EN EL PLANO
Ejemplo
Determine el momento ejercido por el peso de
30 lbf con respecto a los puntos (a) E y (b) S
EjemploSe aplica una fuerza vertical de 100
lb al extremo de una palanca que
está unida a un eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100
lb con respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal
que aplicada en A produce el mismo
momento produce el mismo
momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en
A produce el mismo momento
respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe
aplicarse una fuerza vertical de 750
N para que produzca el mismo
Parte (a) La magnitud delmomento de la fuerza de 100 lbse obtiene multiplicando la fuerzapor el brazo de palanca esto es
La dirección de Mo esperpendicular al plano quecontiene F y d y su sentido sedetermina mediante la regladerecha
in. 12lb 100
in. 1260cosin.24
O
O
M
d
FdM
in lb 1200 OM
SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplcada en Aproduce el mismo momento sedetermina en la forma siguiente
SOLUCIÓN
in. 8.20
in. lb 1200
in. 8.20in. lb 1200
in. 8.2060sinin. 24
F
F
FdM
d
O
lb 7.57F
Parte (b) Debido a que M = F d.
el mínimo valor de F corresponde
al máximo valor de d. Eligiendo la
fuerza perpendicular a OA se
encuentra que d = 24 in;
entonces
SOLUCIÓN
in. 42
in. lb 1200
in. 42in. lb 1200
F
F
FdMO
lb 50F
Parte (b). En este caso Mo = Fd
obteniendo
SOLUCIÓN
in. 5cos60
in. 5lb 402
in. lb 1200
lb 240in. lb 1200
OB
d
d
FdMO
in. 10OB
Ejemplo
La placa rectangular es soportada por dos pernos
en A y B y por un alambre CD. Conociendo que la
tensión e el alambre es 200 N. Determine el
momento con respecto al punto A de la fuerza
ejercida por el alambre en C
El momento MA de la fuerzaF ejercida por el alambre esobtenido evaluando elproducto vectorial
SOLUCIÓN
SOLUCIÓNFrM ACA
jirrr ACAC
m 08.0m 3.0
kji
kji
r
rFF
DC
DC
N 128N 69N 120
m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200
N 200
12896120
08.003.0
kji
M A
EjemploLa tensión en el cable AB es 150 N. Determine la
tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos
alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por
los cables en el punto A es cero.
Ejemplo:
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN
Sabemos que el momento dela fuerza F respecto al puntoO.
El momento de la fuerza Fcon respecto al eje OL es laproyección ortogonal de Mosobre el eje OL.
El momento MOL de Falrededor del eje OL mide latendencia de la fuerza F aimpartir al cuerpo rígidorotación alrededor del eje OL
0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F
r r rr
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA
El momento de una
fuerza alrededor de un
eje cualquiera es
El resultado es
independiente del
punto B
/
/
ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B
A B A B
M M r F
r r r
r r rr
r r r
Ejemplo
Sobre un cubo de arista a
actúa una fuerza P, como
se muestra en la figura.
Determine el momento de
P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la
arista AB.
(c) Con respecto a la
diagonal AG
SOLUCIÓN• Moment of P about A,
jiPjiaM
jiPjiPP
jiajaiar
PrM
A
AF
AFA
2
222
kjiaPM A
2
• Moment of P about AB,
kjiaPi
MiM AAB
2
2aPM AB
La magnitud del momento respecto a AB es
SOLUCIÓN
(c) La magnitud del momento respecto a AG es
1116
23
1
2
3
1
3
aP
kjiaP
kjiM
kjiaP
M
kjia
kajaia
r
r
MM
AG
A
GA
GA
AAG
6
aPM AG
Ejemplo Se aplica una tensión
T de intensidad 10
kN al cable amarrado
al extremo superior A
del mástil rígido y se
fija en tierra en B.
Hallar el momento Mz
de T respecto del eje
Z que pasa por la
base O del mástil.
Ejemplo La fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y
está dirigida de A hacia
B. Determine: (a) La
proyección FCD de La
fuerza F sobre la recta
CD (b) el ángulo que θ
que forma la fuerza F y
la recta CD y (c) si el
modulo del momento
F respecto a la recta
CD es de 50 N. m,
halle el módulo de la
fuerza
Ejemplo
La tensión el cable es 143,4 N. Determine el
momento alrededor del eje x de esta fuerza de
tensión actuando en A. Compare su resultado con
el momento del peso de 15 kgf de la placa
uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento
de fuerza de tensión actuando en A alrededor de
la línea OB
Ejemplo Una barra doblada está rígidamente fijada a una
pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud
F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea
de acción que pasa por el origen, como se
muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la
fuerza respecto al punto P, (b) el momento
respecto a la línea l que pasa por P con una
pendiente 5/12 en el plano yz.
PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de VarignonSi un sistema de fuerzas concurrentes esta
actuando sobre un cuerpo como se muestra en la
figura, el momento de la fuerza resultante
alrededor del punto puede ser determinado
mediante la suma de cada uno de los momentos
de las fueras individuales respecto al mismo
punto. Es decir:
CUPLA O PAR DE FUERZAS
La cupla o par de fuerzas es un sistema
formado por dos fuerzas F y –F que
tiene la misma magnitud, líneas de
acción paralelas pero de sentidos
opuestos.• El momento de la cupla es,
El vector momento de la cupla es
un vector independiente del origen
o es decir es un vector libre
perpendicular al plano que
contiene la fuerzas
DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR
La cupla es un vector libre perpendicular al plano de lacupla y su sentido se determina mediante la regla dela mano derecha
CUPLA O PAR DE FUERZAS Dos cuplas tendrán igual
momento si:
a)
b) Las dos cuplas se
encuentran ubicadas en planos
paralelos
c) La dos cuplas tienen el
mismo sentido o la misma
tendencia a causar rotación y la
misma dirección
Ejemplo de cupla
Determine el momento de la cupla mostrada
en la figura y la distancia perpendicular entre
las dos fuerzas
Ejemplo de cupla
Dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos
son F1 = (-70i - 120j - 80k)lbf y F2 = (70i
+120j + 80k)lbf y actúan en los puntos A y B
del cuerpo mostrado en la figura. Determine
el momento de la cupla y la distancia
perpendicular entre las dos fuerzas
EQUIVALENCIA ENTRE LOS PARESDos sistemas de fuerzas son equivalentes (es decir
producen el mismo efecto sobre un sólido) si pueden
transformarse el uno en el otro mediante una o varias de
las operaciones siguientes:
a) Sustituyendo dos fuerzas que actúan sobre la misma
partícula por su resultante;
b) Descomponiendo una fuerza en dos componentes y
c) Anulando fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre la
misma partícula
d) Aplicando a una partícula dos fuerzas iguales y opuestas
e) Moviendo una fuerza a lo largo de su recta soporte
SISTEMAS FUERZA CUPLACualquier fuerza F aplicada a un sólido rígido puede
ser trasladada a un punto arbitrario B, sin más que
añadir una cupla cuyo momento sea igual al momento
de F respecto de B
No hay cambio en el efecto externo
Cupla
EjemploRemplace la fuerza de 350 N por una fuera y una
cupla en el punto B- Exprese su respuesta en
coordenadas cartesianas
soluciónSe trazan dos fuerzas en B como seve en la figura . La expresiónvectorial de F es
El momento C será
EjemploRemplace la fuerza de 600 N mostrada en la
figura por una fuera y una par en el punto A.
Exprese su respuesta en coordenadas cartesianas
Ejemplo La tensión en el cable sujeto al extremo C del botalón
ajustable ABC es de 1000 N. Sustituir la fuerza que el
cable ejerce en C por un sistema fuerza-par
equivalente : (a) en A , (b) en B
Ejemplo Una fuerza de 700 N es aplicada en el punto A
de un miembro estructural. Sustituirla por: (a)
un sistema fuerza –par equivalente en C, (b) un
sistema equivalente compuesto por una fuerza
vertical en B y una segunda fuerza en D
Ejemplo La fuerza horizontal P actúa como se muestra sobre la
palanca acodada. (a) sustituir P por un sistema fuerza-
par equivalente en B. Determinar las dos fuerzas
verticales en C y D equivalentes al par hallado en la
parte (a)
SISTEMAS FUERZA CUPLA
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Seleccionar un punto para encontrar el
momento
Remplazar las fuerzas por una fuerza y un par en el punto O
Sumar las fuerza y cuplas
vectorialmente para encontrar la
resultarte y el momento resultante
EjemploReducir el sistema de fuerzas y momentos a
una fuerza un par actuando en A
