ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Sesión No. 2

Nombre: Probabilidad

Contextualización

En la sesión anterior analizamos cómo a largo plazo un fenómeno aleatorio o

probabilístico posee un patrón de comportamiento. Es decir, al repetirse un gran

número de veces un experimento aleatorio que tiene varios posibles resultados,

la frecuencia con que ocurre cada uno de ellos puede interpretarse como su

probabilidad de ocurrencia; o dicho en otras palabras, es factible estimar qué tan

posible es que ocurra en lo futuro cada uno de los posibles resultados. Este

enfoque de probabilidad se conoce como frecuentista o a posteriori. En esta

sesión estudiarás las principales reglas para el cálculo de probabilidades: la

regla de la adición, la regla del producto y el teorema de Bayes.

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Introducción al Tema

La estadística es una ciencia que se basa en reglas y normas, las cuales deben

cumplirse, pues con esto se logra determinar nuevas formas de encontrar los

resultados, algunas mas fáciles y otras mas exactas, por lo que se puede

conocer de mejor manera en campo de acción.

Es importante conocer los elementos aleatorios que dependen de la resolución

que ofrece la estadística para poder determinar la mejor solución, la

investigación de campo utiliza los medios de calculo estadísticos para poder

determinar información útil para las empresas y la aplicación de campañas útiles

en marketing.

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Explicación

Reglas de adición. Regla de adición para eventos mutuamente

excluyentes

Sea ε un experimento y sean A y B dos eventos de ε que son mutuamente

excluyentes. La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B se expresa

por: P( A∪B)

Como puede observarse, dentro del contexto de la teoría de conjuntos esto

corresponde a la operación unión. Entonces, la probabilidad de que ocurra el

evento A o el evento B se calcula con la siguiente expresión:

P(A∪B)=P(A)+P(B).

Es decir, corresponde a la suma de la probabilidad de que ocurra el evento A

más la probabilidad de que ocurra el evento B. Por ejemplo, se lanzan

simultáneamente dos monedas. Calcular la probabilidad de que aparezcan

exactamente dos águilas o exactamente un sol. La solución se daría en los

siguientes términos:

• ε= Lanzar simultáneamente dos monedas.

•A= Evento consistente en que aparezcan exactamente dos águilas.

• B= Evento consistente en que aparezca exactamente un sol.

• Ώ = aa, as, sa, ss donde aa significa que aparecen dos águilas, as que

aparece águila y sol, sa que aparece sol y águila y ss que aparecen dos

soles.

Se observa, entonces, que el experimento tiene cuatro posibles resultados.

Respecto al evento A, se tiene que sólo un resultado del experimento cumple

con esta condición: (aa). Por otra parte, dos resultados cumplen con lo requerido

en el evento B. Consecuentemente, la probabilidad de que aparezcan como

resultado del lanzamiento simultáneo de dos monedas exactamente dos águilas

o exactamente un sol está dada por:

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∪

∪

∪

∪

Regla de la adición para eventos que no son mutuamente

excluyentes

Para eventos que no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que

ocurra un evento A, de que ocurra un evento B o de que ocurran ambos está

dada por:

∪

Donde P(A ∩B) corresponde a la probabilidad de que ocurran el evento A y el

evento B simultáneamente. Esta probabilidad se calcula empleando el siguiente

producto:

Por ejemplo, se lanzan simultáneamente dos dados. Calcular la probabilidad de

que la suma de las caras sea un número par o de que la suma de las caras sea

mayor al valor nueve. Para la solución se tiene que:

ε = Lanzar simultáneamente dos dados.

A = Evento consistente en que la suma de las caras sea un número par.

B = Evento consistente en que la suma de las caras sea mayor al valor nueve.

Ώ=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3

),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4 ,4),(4,5),(4 ,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),6,5),(6,6) es decir, 36 posibles resultados con las caras

que pueden aparecer en el lanzamiento de los dos dados.

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Puede observarse, que los resultados del experimento que cumplen con lo

determinado por el evento A (suma de las caras igual a un número par) son:

A=(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5

), (6,2),(6, 4),(6,6) es decir, 18 resultados que satisfacen la condición del evento

A.

Por otra parte, los resultados del experimento que cumplen con lo determinado

por el evento B son:

B= (5,5), (5,6), (6,5), (6,6).

Esto es, son cuatro los resultados que satisfacen la condición del evento B.

Asimismo, los eventos A y B pueden ocurrir simultáneamente de la siguiente

manera:

A∩B= (5,5), (6,6)

Es decir, ambos eventos pueden ocurrir simultáneamente de dos maneras. De lo

anterior se desprende que:

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I.5 Reglas de multiplicación

Probabilidad condicional

Si B es un evento cualquiera de un experimento con espacio muestral Ώ, la

probabilidad de que un evento A ocurra una vez que B ha ocurrido se denota por

P(A|B), lo que se lee como “la probabilidad de que ocurra A dado que ha

ocurrido B” y se calcula con la siguiente fórmula:

P(A|B)=

Donde P(A∩B) puede interpretarse como el número de elementos de A∩B y P(B)

como el número de elementos de B. A esta probabilidad se le denomina

probabilidad condicional pues la ocurrencia del evento A está condicionada o

depende de que el evento B ocurra. Por ejemplo, se lanzan simultáneamente

dos dados. Si la suma de las caras es igual a siete, calcular la probabilidad de

que uno de los dados sea igual a tres. La solución es la siguiente:

B=suma de las caras de los dados es igual a siete=(1,6),(2,5),(3,

4),(4,3),(5,2),(6,1), es decir, seis posibles formas en las que puede ocurrir que la

suma de las caras sea igual a siete.

A=aparece al menos un tres en uno de los dados=(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,

4),(3,5),(3,6),(4 ,3),(5,3),(6,3), o sea, once posibles formas en las que puede

ocurrir que al menos uno de los dados sea igual a tres.

A ∩B= (3, 4), (4 ,3) , esto es, dos posibles formas en las que A y B pueden

ocurrir simultáneamente. Entonces,

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Teorema de la multiplicación para la probabilidad condicional

Es decir, la probabilidad de que ocurra el evento B y el evento A es igual a la

multiplicación de la probabilidad de que ocurra el evento B por la probabilidad de

que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B. Por inducción

matemática, este teorema puede extenderse como se muestra a continuación:

Para eventos A1, A2, A3,..., An

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Conclusión

Los teoremas, reglas y fórmulas que se dictan en esta parte de la estadística son

para determinar elementos de pertenencia y conjuntos, por lo que se podrán

conocer las piezas de cada situación, la forma en que funcionan y los resultados

que darán después de conocer la situación, por ejemplo toma de muestras de un

universo determinado o la forma en que se compone el mismo.

Se determina la probabilidad estadística y se conocen los porcentajes y medidas

que se encuentran para los elementos funcionales en cada situación. Para

conocer estos se pueden utilizar los medios de factoriales o la combinación de

piezas para tener presentas las posibilidades de combinaciones que se puedan

establecer en un momento determinado, arrojando la como resultado una

posibilidad precisa y bien determinada.

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Teorema de Bayes. Regla de Bayes

El espacio muestral Ώ de un experimento ε puede segmentarse en una colección

de eventos A1, A2, A3,..., An mutuamente excluyentes tal que su unión sea igual a

Ώ. Por ejemplo, sea el experimento ε consistente en lanzar un dado, de modo

que su espacio muestral Ώ está dado por 1,2,3,4,5,6. Este espacio puede

segmentarse de varias formas en una colección de eventos mutuamente

excluyentes. Una de ellas sería: A1 = 1,2, A2 =3,4,5 y A3 = 6. Si sobre la

partición de un espacio muestral se define un evento B.

Se tiene que; B= Ω ∩ B

= ( A1∩B)∪( A2∩B) ∪…∪( An ∩ B)

Entonces: P(B)=P(A1∩B) + P( A

2∩B) + ... + P( A

n∩B)

Y por el teorema de la multiplicación visto en el apartado 1.5:

P(B) = P( A1) P(B|A1)+ P( A

2)P(B|A2)+…+ P( A1n)P(B|An)

Luego, para toda i, la probabilidad condicional de Ai dado que ha ocurrido B está

dada por:

P(A1|B)=

En esta expresión se sustituye P(B) por la penúltima ecuación y se emplea

P(Ai∩B)=P(Ai) P(B| Ai) en sustitución de P( Ai ∩B) , con lo que se obtiene:

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Lo que se conoce con el nombre de Teorema de Bayes en honor a su inventor,

el matemático británico Thomas Bayes.

Ejemplo: Se tienen tres urnas: A (con seis bolas rojas y cuatro azules), B (con

cuatro bolas rojas y dos azules) y C (con dos bolas rojas y cinco bolas azules).

Se selecciona al azar una urna y se extrae de ella una bola. Si ésta es de color

rojo, calcular la probabilidad de que se haya sacado de la urna A.

Solución: Sea R el evento consistente en sacar una bola roja. Se busca la

probabilidad de que si la bola es roja, haya sido extraída de la urna A,

probabilidad que se expresa como P(A|R). Entonces, aplicando el Teorema de

Bayes:

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Permutaciones y combinaciones. Técnicas de conteo

En estadística se emplea una rama de las matemáticas conocida como

combinatoria que se aplica al conteo de elementos sin tener que cuantificar de

manera directa cada uno de ellos. Entre las principales técnicas de combinatoria

(también denominadas técnicas de conteo) se encuentran:

• Factorial • Permutaciones •Combinaciones

Factorial

Es la técnica de conteo que permite cuantificar el número de ordenaciones

posibles de los elementos de un conjunto. El factorial de un número n se define

como:

Donde n es un número entero mayor o igual a cero. Se tiene por definición que:

Ejemplo

Sean A, B, C tres personas formadas en una fila esperando a ser atendidas. ¿De

cuántas maneras diferentes pueden formarse en la fila?

Solución

Calculando el factorial de tres se tiene que hay maneras

diferentes de formarse, lo que puede verificarse de manera exhaustiva (es decir,

enlistando todos los casos posibles):

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Como es de esperarse, al aumentar el número de elementos en un conjunto

crece dramáticamente el número de formas posibles en que pueden ordenar- se,

y por ende el conteo exhaustivo se vuelve impracticable o imposible.

¿Por qué crees que a la combinatoria se le conoce como el arte de contar

sin contar?

Combinaciones

Supóngase que se tiene un grupo de cuatro personas: A, B, C y D. Si se elige a

dos de ellas, el número de posibles parejas puede determinarse de forma

exhaustiva:

A, B (que es la misma pareja que B, A)

A, C = C, A A, D = D, A B, C = C, B B, D = D, B C, D = D, C

En general, el número total de combinaciones de k elementos tomados de un

total de n se denota con el símbolo C se calcula con la siguiente expresión:

C n!

k!(n-k)!

Nótese que al determinar las combinaciones, el orden de los elementos no

importa (por ejemplo, la pareja A, B es igual a la pareja B, A).

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Ejemplo

Calcular el número total de combinaciones de dos elementos tomados de un

total de seis.

Solución

Se debe determinar . Entonces, k= 2 y n= 6 . Por lo que:

Permutaciones

Ahora supóngase que de un grupo de tres personas A, B y C, se seleccionan

dos para ocupar un cargo de jefe y otro de asistente. En este caso, el orden de

los elementos sí importa. Por ejemplo, la pareja A, B es diferente de la pareja B,

A. Este tipo de agrupación se denomina permutación. De manera exhaustiva, el

número total de permutaciones de dos elementos tomados de un total de tres

está dado por:

Jef

e

Asistent

e 1 A B

2 B A

3 A C

4 C A

5 B C

6 C B

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En general, el número total de permutaciones de k elementos tomados de un

total de n se denota por P

P n!

(n-k)!

Ejemplo: Calcular el número total de permutaciones de dos elementos tomados

de un total de cinco.

Solución: Se debe determinar P Entonces k=2 y n=5, por lo que

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Actividad de Aprendizaje

En base a los temas anteriores, resuelve los siguientes elementos

aplicando las formulas de solución:

1.- Resuelve los siguientes ejercicios en base a las permutaciones y

combinaciones.

a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas alrededor de

una fuente?

b) Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿Cuántos números de nueve cifras

se pueden formar?

c) En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos

azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con

la colocación de las nueve banderas?

d) ¿De cuántas formas pueden colocarse 11 jugadores de futbol teniendo en

cuanta que el portero ni puede ocupar otra posición distinta que la portería?

e) Se ordenan en fila 5 bolas rojas, 2 blancas y 3 azules. Si las bolas de

igual color no pueden distinguirse entre sí, ¿de cuántas formas posibles

pueden ordenarse?

2. Se lanzan simultáneamente dos dados. Calcular la probabilidad de que la

suma de las caras sea un número impar o de que la suma de las caras sea

mayor al valor seis________

3. Se lanzan simultáneamente dos dados. Si la suma de las caras es igual a

ocho, calcular la probabilidad de que uno de los dados sea igual a seis________

4. En un lote de 18 computadoras hay cuatro defectuosas. Si se eligen al azar

tres de ellas, calcular la probabilidad de que las tres no sean defectuosas_____

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Bibliografía

García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de

Cultura Económica.

Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística.

México: Sociedad Matemática Mexicana.

Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley

Iberoamericana.

Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:

UNAM.

Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.