INSTITUTO SUPERIOR POLITCNICO JOS ANTONIO ECHEVERRA FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

DEPARTAMENTO DE VIALES

ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN LA

MODELACIN DE PAVIMENTOS RGIDOS

(MODELOS DE RESPUESTA)

LA HABANA, CUBA SEPTIMEBRE 2012

AUTORES:

Ing. Flix Michael Hernndez Lpez Ing. Anabel Bada Herrera Dr. Ing. Eduardo Tejeda Piusseaut Dr. Ing. Luis Emilio Serrano

NDICE

INDICE

ESTADO DEL CONOCIMIENTO EN LA MODELACIN DE PAVIMENTOS RGIDOS .......................................................................... Error! Marcador no definido.

1.1 Concepcin de la modelacin ..................................................................... 5

1.2 Sistema de pavimento rgido. ..................................................................... 7

1.3 Modelacin en Pavimentos Rgidos ........................................................... 8

1.3.1 Los modelos de respuesta ....................................................................... 8 1.3.2 Los modelos de comportamiento ............................................................. 9

1.4 Modelos clsicos de Respuesta en pavimentos rgidos. ......................... 9

1.4.1 Solucin Analtica de Westergaard. ......................................................... 9 1.4.2 Otros modelos basados en la Teora de Westergaard. ......................... 13 1.4.3 Cartas de influencia. .............................................................................. 14 1.4.4 Soluciones computarizadas. .................................................................. 15 1.4.5 Modelo de las Capas Elsticas. ............................................................. 16

1.5 Modelo de los Elementos Finitos (MEF). .................................................. 19

1.6 CONCLUSIONES. ....................................................................................... 31

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 33

BIBLIOGRAFA ........................................................................................................ 38

1 INTRODUCCIN

La historia de las modernas tcnicas de construccin de caminos y puentes tiene sus

inicios alrededor de 1850, con Tressaguet en Francia y John Metcalfe en el Reino

Unido, quienes desarrollaron un mtodo de construccin con base en la colocacin

de piedras largas, limitadas por piedras de tamao progresivamente ms pequeo.

Este tipo de caminos, junto con otros realizados con piedras, grava y arena, fueron

diseados para los bajos volmenes y velocidades de los primeros vehculos, hasta

que la industria automotriz, al ir creciendo a pasos agigantados, fue demandando

mejores carreteras y caminos urbanos. El reto, entonces, era buscar un material que

resistiera pesadas cargas de manera eficiente y duradera: la solucin se tradujo en lo

que ahora se llama la construccin de caminos pavimentados. Fue John Loundon

MacAdam, a principios del siglo XIX quien desarroll el sistema notablemente ms

econmico que se usa en la actualidad.

El estudio de los pavimentos ha evolucionado favorablemente, existiendo en la

actualidad todo el conocimiento y la capacidad, tanto intelectual como fsica, de

abarcar los aspectos relacionados con su diseo, construccin, explotacin y

rehabilitacin.

El pavimento es la estructura integral formada por un conjunto de capas de diferentes

materiales, debidamente colocadas, compactadas, y previamente diseadas. Estas

se apoyan directamente sobre la subrasante o explanada, y se extienden hasta la

rasante. De forma general se establece una clasificacin que lo desglosa en dos

tipos: pavimentos flexibles y pavimentos rgidos.

Los pavimentos rgidos, objeto de estudio del presente trabajo, estn constituidos por

losas de hormign hidrulico, apoyadas directamente sobre la subrasante o sobre

una capa de material seleccionado denominada base. En un pavimento rgido,

debido a la elevada resistencia de la superestructura, se produce una buena

distribucin de las cargas, dando como resultado tensiones muy bajas en la

subrasante.

Estos pavimentos son elementos estructurales que por su forma de trabajar,

transmitiendo las cargas de trfico a la base o terreno, requieren de elevada

resistencia a la flexo-traccin en la losa, as como de resistencia a la fatiga, debido a

la accin repetida de las cargas inducidas por el trfico. Su capacidad estructural y

funcional radica en la resistencia de las losas, por lo que las caractersticas de la

capa inferior no son de vital importancia para el diseo del espesor. Las tensiones

verticales producidas por los vehculos son distribuidas ampliamente sobre el apoyo

de la losa, de modo que la tensin mxima que le llega es solo una pequea fraccin

de la presin de contacto.

La ACPA 2005 (Association of Cement Portland American) clasifica los tipos de

pavimentos de hormign hidrulico en funcin del espaciamiento entre juntas y la

disposicin del refuerzo en las losas en tres grupos principales: pavimento de

hormign reforzado (JRCP), pavimento de refuerzo continuo (CRCP) y pavimento de

hormign masivo (JPCP).

Pavimento de hormign reforzado (JRCP):

Es caracterstico de este tipo de pavimento tener largas losas y refuerzo ligero

(refuerzo de temperatura). Estas losas tienen tamaos con valores que oscilan entre

los 7.5m a 9.0m de longitud, y en algunos casos pueden llegar hasta 30m,

requiriendo la colocacin de pasadores. Ellos se utilizan para transmitir cargas de

una losa a la contigua y son parte integrante de algunas juntas transversales. Son

tpicas para estas funciones las barras de acero lisas. El contenido de acero de estas

losas oscila entre el 0.1~0.25 porciento del rea de la seccin transversal en la

direccin longitudinal, mientras que en la direccin transversal el refuerzo se coloca

solo por cuestiones constructivas. El refuerzo principal se ubica de manera que no

influya en el comportamiento a flexin de la misma, es decir, sobre el eje central de la

losa. Se condiciona su existencia para prevenir, controlar y mantener cerradas las

grietas por cambios temperatura y humedad.

Pavimento de hormign con refuerzo continuo (CRCP):

Con este pavimento se suprimen las juntas transversales, si se aumenta la cuanta

de la armadura longitudinal de acero.Como elementos significativos resaltan su alto

contenido de acero (0.4~0.8% del volumen en la direccin longitudinal) en la

armadura continua longitudinal; la presencia de poco acero transversal, colocado

solo por cuestiones constructivas; y la ausencia de juntas transversales, excepto

juntas de construccin. El elevado costo actual del acero resta competitividad a esta

tcnica, lo que lo convierte en el menos empleado internacionalmente. El refuerzo

longitudinal tiene la funcin de controlar correctamente los espaciamiento entre las

fisuras que se producen (en intervalos de 0.6m~2.0m), mantenindolas cerradas.

Figura 1 Pavimento de hormign reforzado (JRCP). Cortesa ACPA

Figura 2 Pavimento de hormign con refuerzo continuo (CRCP). Cortesa ACPA

Pavimento de hormign masivo (JPCP):

El JPCP, se trata bsicamente de una losa de hormign sin refuerzo, con longitudes

en el rango de entre los 3,6m y 6,0m. Se disponen en ellos juntas transversales de

contraccin o expansin entre losas y juntas longitudinales de alabeo. Las juntas

transversales se colocan cerca y suponen una solucin de continuidad del pavimento

para que no se originen grietas que puedan causar daos en la losa de hormign, ya

que los movimientos verticales son diferentes en las juntas y en el interior de la losa.

En la seccin transversal de dos losas contiguas se encuentran los mecanismos de

transferencias, que resultan ser los elementos fundamentales del JPCP. Tienen la

funcin de transmitir entre losas los esfuerzos producidos por el trfico, para evitar el

fenmeno conocido como bombeo, que desencadena escalonamientos y fracturas

en las esquinas de la losas. Para prevenir esto existen dos tipos de mecanismos de

transferencia, el de trabazn de agregados y el pasador. Ambos transfieren las

cargas de una losa a la otra y se conforman durante el proceso de construccin, pero

se ejecutan de manera distinta.

En la junta longitudinal se colocan barras corrugadas adheridas a ambos lados

conocidas como barras de amarre. Se emplean para mantener conectadas dos losas

adyacentes, brindndole integralidad al sistema de pavimento aportando ms rigidez.

Figura 3 Pavimento de hormign masivo (JPCP). Cortesa ACPA

El estudio del comportamiento tenso-deformacional de estas estructuras, al igual que

muchos problemas de la ingeniera encuentran su solucin exacta a partir de

ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lo que desde el punto de vista

matemtico resulta un tema difcil de resolver, a partir de esto surge la idea de

realizar simplificaciones para su determinacin. Los primeros indicios comenzaron

all por los aos 1920 cuando H.M. Westergaard plante hiptesis novedosas que

solucionaban el problema de una manera sencilla y prctica, dejando una brecha

para que otros continuaran investigando sobre el tema. Posteriormente, con los

avances en la esfera de la informtica, se desarrollan herramientas numricas que

sin hacer tantas simplificaciones resolveran estas ecuaciones de manera

aproximada, pudindose acercar al comportamiento real del fenmeno, entre ellos

se encuentra el Mtodo de los Elementos Finitos (MEF) que con el apoyo de

softwares permiten realizar simulaciones numricas del elemento en diferentes

regmenes de solicitaciones. Entre las bondades que brinda esta simulacin

numrica se puede ejemplificar, la posibilidad de apreciar de forma visual a travs

de los tonos policromticos la propagacin de los estados tensionales que tienen

lugar en el interior de las estructuras, as como la evolucin que experimenta el dao

fsico-mecnico de la losa bajo la accin de las cargas, durante todo el proceso de

ensayo hasta llegar a la falla.

En el caso particular de este Trabajo se pretender mostrar cmo ha ido

evolucionando la modelacin de pavimentos rgidos a lo largo de la historia hasta

llegar al tema de la modelacin computacional, en donde se hace especial alusin.

2 CONCEPCIN DE LA MODELACIN

La modelacin juega un papel fundamental como medio de solucin de problemas

existentes en el campo de la ingeniera. Por tal motivo, el desarrollo y utilizacin de

los modelos para sistemas en general es una de las tareas cientficas ms

importantes a desarrollar en la actualidad. Los modelos y los mtodos de modelacin

se convierten por tanto en importantes herramientas de trabajo. (Recarey 1999)

Se define la modelacin como el mtodo de manejo prctico o terico de un sistema

por medio del cual se estudiar este, pero no como tal, sino por medio de un sistema

auxiliar natural o artificial, el que, desde el punto de vista de los intereses planteados,

concuerda con el sistema real que se estudie. Es decir, es el mtodo que opera de

forma prctica o terica como un objeto, no de forma directa, sino utilizando cierto

sistema auxiliar (natural o artificial) el cual se encuentra en una determinada

correspondencia objetiva con el objeto modelado y est en condiciones de sustituir

al objeto que se estudia en determinadas etapas de la investigacin, permitiendo

obtener informacin susceptible de comprobaciones experimentales. (Recarey 1999), (Ibaez 2001)

El comportamiento que sigue el proceso de la modelacin se basa en etapas por las

que se debe transitar, manteniendo una relacin directa y continua desde la

concepcin del problema real. A continuacin se muestra el esquema

correspondiente a la concepcin de la modelacin de un pavimento.

Modelos de Respuesta y modelos de Comportamiento

MODELO FSICO

MODELO MATEMTICO

Geometra

Materiales

Vinculos o apoyos

Trfico

Clima

Ecuaciones de Gobierno

Dominio de definicin o regin

Condiciones iniciales y de frontera

Mtodo de Solucin

EMPRICO

MECANICISTA Analticos

Numricos

Calibracin de la soucin Matemtica

Calibracin Fsica

Anlisis de los resultados

Mtodos de diseo y seguridad

Modelacin de un pavimento

Figura 4 Esquema general de la modelacin de un pavimento.

El presente captulo abordar cmo se desarrolla este proceso de modelacin en el

estudio del comportamiento en estructuras de pavimentos rgidos. Se expone de

forma cronolgica como ha ido evolucionando histricamente la modelacin a travs

de las diferentes teoras. Inicialmente se muestran las diferentes solicitaciones a las

que va a estar sometida una estructura de pavimento rgido y posteriormente se

particularizan las formas de enfocar el fenmeno, describiendo detalladamente cada

una de ellas. Finalmente se realiza un anlisis crtico resaltando sus alcances,

fortalezas y debilidades.

3 Sistema de pavimento rgido.

Un sistema de pavimento rgido consiste en una losa de hormign relativamente

delgada de dimensiones finitas en longitud y ancho, sobre una o ms capas de

material soportante. En la Figura 5, se muestra la representacin de un pavimento rgido sujeto a una carga esttica. Cuando la losa se encuentra apoyada en el

soporte sujeta a la carga del vehculo, desarrolla esfuerzos de flexin los cuales son

distribuidos uniformemente sobre el soporte.

El correcto funcionamiento de estas losas se encuentra en funcin de la respuesta

que presente la estructura ante estas solicitaciones. Es por eso que los mtodos de

modelacin en pavimentos rgidos juegan un papel importante en el proceso de

diseo de los mismos.

Figura 5 Sistema de pavimento rgido (Larralde and Chen 1985)

4 MODELACIN EN PAVIMENTOS RGIDOS

De manera general para modelar cualquier tipo de pavimentos ya sea flexible como

rgido se parten de dos tipos de modelos, los de respuesta y los de comportamiento.

4.1 Los modelos de respuesta

Un modelo de respuesta es aquel modelo terico del que se pueden extraer los

valores de tensiones, deformaciones y desplazamientos de una estructura. Los

modelos de respuesta segn (Kraemer and Val 1996) se pueden clasificar en tres tipos: probabilistas (basados en la teora de fiabilidad de sistemas), de regresin (a

partir del anlisis de medidas realizadas en ensayos a escala real) y mecanicistas

(basados en la modelacin mecnica de la estructura, las cargas y en el

establecimiento subsiguiente de los correspondientes algoritmos de clculo). En el

caso particular de este trabajo se tratarn los ltimos mencionados.

En el caso de los pavimentos rgidos existen modelos clsicos de respuesta entre los

que se pueden mencionar el modelo de Westergaard, la teora de las Capas

Elsticas y recientemente, con el avance de las computadoras, aparece el Mtodo de

los Elementos Finitos (MEF).

4.2 Los modelos de comportamiento

Permiten prever cmo se comportar el pavimento a lo largo del tiempo teniendo en

cuenta el efecto repetitivo de las cargas, estos modelos estn principalmente

asociados al fenmeno de la fatiga. Son por lo general frmulas empricas u

obtenidas en laboratorios que posteriormente son calibradas por experiencia. Para

estos casos no existen modelos universales, pues sus resultados dependen en gran

medida de la prctica y las condiciones de cada pas.

5 MODELOS CLSICOS DE RESPUESTA EN PAVIMENTOS RGIDOS.

5.1 Solucin Analtica de Westergaard.

Los primeros avances en el anlisis de pavimento rgido empezaron en los aos de

1920. En 1926, Westergaard obtuvo soluciones analticas para las tensiones y las

deflexiones debido a las variaciones de temperaturas y a las cargas del trfico en

pavimentos rgidos. (Westergaard 1926a);(Westergaard 1926b)

El modelo de Westergaard difiere de otros modelos de respuesta por las hiptesis

adoptadas. Estas, bsicamente no coinciden con las otras en cuanto a la naturaleza

de los materiales (elstica o viscoelstica), la tipologa de las cargas, las condiciones

de contacto entre capas (adherencia total, parcial o nula) y las condiciones de

contorno.

Figura 6 Esquema del modelo de Westergaard

Las siguientes hiptesis fueron hechas en el trabajo original de Westergaard

(Westergaard 1926a):

1. La losa de hormign se considera como un slido homogneo, elstico e

istropo en equilibrio, partiendo de la teora clsica de lminas delgadas de

Love-Kirchhoff.

2. La reaccin de la subrasante es solo vertical y proporcional a la deflexin de la

losa, considerando el medio como infinitos soportes elsticos (macizo de

Winkler). La resistencia de la subrasante se mide con k, al que Westergaard

caracteriz como mdulo de reaccin de la subrasante, el cual es una medida

de la rigidez del medio a partir de medir la fuerza que se aplica en un rea por

unidades de deflexin (presin/long3). Ver Figura 1.3 3. Se consideran tres posiciones de carga: carga en el interior, en la esquina, y

en el borde, asumiendo la distribucin de estas como uniforme sobre un rea

circular o semicircular de radio llamada presin de contacto equivalente. Ver

Figura 6.

Figura 1.3 Esquema del modelo de Westergaard (Lizcano)

Un trmino importante en la teora de Westergaard que cuantifica la rigidez de la losa

en comparacin con la del soporte o explanacin, es el denominado radio de rigidez

relativo, el cual se expresa a continuacin:

= 3

12(1 ) 4

Ecuacin 1.1

Siendo:

: Radio de rigidez relativa de la losa

: Mdulo de elasticidad del hormign

: Espesor de la losa

: Coeficiente de Poisson del hormign

: Mdulo de reaccin de la capa de apoyo

Figura 7 Posiciones de la carga para las ecuaciones de Westergaard

En 1932, la agencia de carreteras pblicas dirigi las Pruebas de Carreteras de

Arlington, Virginia, usando la teora de Westergaard como base. Luego de estas

pruebas, Westergaard modific sus frmulas y los resultados de estas pruebas

quedaron expuestos en los trabajos que desarroll en 1933. Posteriormente,

extendi sus procedimientos en 1939 hacia pavimentos de hormign hidrulico en

aeropuertos, los cuales fueron modificados nuevamente el mismo ao.

Antes de 1941, el mtodo de las tensiones de clculo de Westergaard fue

considerado el mtodo ms avanzado para predecir las tensiones crticas y las

desviaciones en losas de hormign. Sus estudios principalmente se centraron en las

cargas en el interior de las losas, sin embargo, debido a las suposiciones muy

idealizadas, las soluciones analticas de Westergaard tienen muchas limitaciones

para modelar el comportamiento real de los pavimentos, entre ellas se encuentran:

El soporte considera un comportamiento lineal y elstico. Pocos materiales para

explanacin, base, o subbase no son realmente lineales y elstico. De hecho, la

mayora es no lineal, con tensin dependiente y cambian con el tiempo y el

ambiente.

Westergaard supuso que la losa estaba en contacto completo con la capa inferior

en todos los puntos. Por lo tanto, las condiciones de lmite son infringidas si se

desarrolla un vaco debido al fenmeno de bombeo o si la losa y el soporte se

separan debido al combado.

Westergaard supuso que las losas eran infinitas (para el caso de carga en el

interior) o semi-infinita (para el caso de carga en el borde y en la esquina); es

decir, las losas se extienden lo suficientemente lejos de los lmites del rea

cargada (interrupciones como grietas o juntas) y estos no tienen ningn efecto

sobre la solucin. En la prctica actual esto puede no ocurrir, porque las losas de

pavimentos rgidos tienden a ser relativamente reducidas y a tener muchas

discontinuidades (grietas y juntas).

El espesor de la losa debe ser uniforme. Esta suposicin hace imposible analizar

losas con bordes de diferente espesor u otras losas con espesores no uniformes.

Para casos donde la proporcin espacio-profundidad es menor que 100, las

hiptesis de Kirchhoff introducen errores en la prediccin de los esfuerzos en el

borde. (Hammons and Metcalf 1999)

Todas las capas del pavimento debajo de la losa son representadas por un solo

parmetro, el mdulo de reaccin de subrasante. Un pavimento tpico puede

tener algunas capas de materiales incluyendo bases y subbases, las cuales

pueden estar adheridas o no adheridas, donde la superior tiene un aumento en

calidad y rigidez. En una tpica aplicacin de la teora de Westergaard, estas

capas son modeladas incrementando el mdulo de reaccin de la subrasante

intentando dar una respuesta equivalente. Sin embargo, esto evidentemente

induce a decrecer en la exactitud del anlisis causado por una limitacin en el

modelo. La incapacidad de pronosticar las respuestas en ubicaciones arbitrarias

de la carga podra ser un obstculo serio para el anlisis en condiciones de

cargas especiales.

La incapacidad de manejar mltiples configuraciones de cargas es tambin una

seria restriccin de la aplicacin.

5.2 Otros modelos basados en la Teora de Westergaard.

Desde el trabajo original de Westergaard, algunos investigadores como (Packard 1968);(Darter 1987) han realizado perfeccionamientos a la teora de Westergaard tratando de resolver algunas de las limitaciones presentadas por el modelo terico.

En 1948 se publicaron las relaciones que eran vlidas para el clculo de las

tensiones causadas en el borde por grandes cargas en grandes zonas de contacto

(Westergaard 1948). Sus frmulas cambiadas permitieron que la carga fuera caracterizada como una elipse en vez de ser limitada la forma de un neumtico

circular. (Ioannides, Thompson et al. 1985) recomendaron el uso de estas ecuaciones por ser ms exactas que las ecuaciones de 1926.

5.2.1 Cartas de influencia.

(Pickett and Ray 1951) desarrollaron cartas de influencia que permiten que las ecuaciones de Westergaard sean aplicadas a mltiples configuraciones de cargas.

Estas soluciones grficas fueron enormemente simplificadas en la determinacin de

las desviaciones tericas y los momentos causados por la carga sobre la losa. Para

el estudio se consideraron dos casos: explanacin como un lquido denso (de

Winkler) y como un slido elstico. Las cartas de influencia de Pickett y Ray han sido

usadas por la Portland Cement Asociation (PCA) para el diseo de pavimentos

rgidos. Las cartas para cargas en el interior fueron usadas en el diseo pavimentos

para aeropuertos (PCA, 1955) mientras que las cartas para cargas en el borde se emplearon en el diseo de pavimentos para carreteras (PCA, 1966).

Las cartas de influencia fueron presentadas para cuatro tipos diferentes de

aplicaciones de las cargas:

1- Carga en el interior asumiendo la explanacin como un lquido denso.

2- Carga en el interior asumiendo la explanacin como un slido-elstico.

3- Carga en el borde asumiendo la explanacin como un lquido denso.

4- Carga localizada a /2, del borde asumiendo la explanacin como un lquido

denso.

Las tensiones pueden ser calculadas dividiendo el momento obtenido de la carta de

influencia por el mdulo de la seccin, definido como 2/6. En otros trabajos,

(Pickett1951), present diecisis cartas de influencia adicionales para deflexiones, momentos, y presiones reactivas, para el caso de losas cargadas en el interior, cerca

del borde, y cerca del centro, y para explanaciones consideradas con capas lquidas,

slidas-elsticas o elsticas.

El primer paso para aplicar las cartas de influencia implica resolver el radio de rigidez

relativa de la seccin del pavimento. La escala de la carta se encuentra en funcin

del valor del radio de rigidez relativo, y de la huella de neumtico siendo analizado el

dibujo a esta escala posteriormente. El nmero de bloques (incluyendo bloques

parciales) cubierto por la huella de neumtico es contado y multiplicado por una

relacin apropiada para obtener momento, deflexin, o presin reactiva.

Debido a su sencillez, la FAA, U.S. Army, and U.S. Air Force adoptaron las cartas de

influencia para el clculo del esfuerzo mximo de tensin para cargas en el borde

(Hutchinson 1966). Mltiples configuraciones de ejes pueden ser analizadas con las cartas slo dibujndolos a la escala apropiada y contando los bloques cubiertos por

la huella de neumtico. Sin embargo, debe notarse que la orientacin del neumtico

debe ser de forma que el nmero mximo de bloques sea cubierto para calcular la

tensin mxima o la deflexin.

(Salsilli 1993) aplic el procedimiento iterativo de Newton-Raphson para convertir mltiples configuraciones de carga a un rea equivalente cargada que producira la

misma tensin y us estas cargas transformadas en las ecuaciones de Westergaard.

Tres configuraciones de cargas de neumtico fueron consideradas: doble, tndem y

trdem.

5.2.2 Soluciones computarizadas.

Algunas soluciones computarizadas de la teora de Westergaard han sido

desarrolladas, notablemente se destacan los programas H-51, H51-ES, y PDILB

(comnmente referidos al PCA AIRPORT). El programa H-51, originalmente

desarrollado por la General Dynamics Corporation y modificado por WES, calcula los

esfuerzos en el borde, bajo mltiples configuraciones de carga sobre una losa

apoyada en un lquido denso como subrasante. La solucin es esencialmente una

versin informatizada de las cartas de influencia de Pickett y Ray. El programa

permite al usuario poner el neumtico en diferentes orientaciones y posiciones para

calcular la condicin de tensin mxima. H-51 fue modificado por (Ioannides, Barenberg et al. 1984) al incorporar una subrasante slida elstica en el programa H51-ES. El programa PCA AIRPORT est basado en la teora de Westergaard para

cargas en el interior de una losa infinita soportada por una subrasante densa lquida.

Este programa tambin admite mltiples configuraciones de ejes y permite al usuario

orientar el neumtico para maximizar la respuesta.

= 3

12(1 2)

Masivo infinito de Boussinesq ( ,)

Cada uno de estos programas est basado en las hiptesis de Westergaard y estn

sujetos a las limitaciones del modelo. Sin embargo, como con las cartas de

influencia, las soluciones computarizadas admiten los clculos de las tensiones

causadas por mltiples configuraciones de ejes y brinda ciertas ventajas desde el

punto de vista prctico para estudiar de manera aproximada el fenmeno.

5.3 Modelo de las Capas Elsticas.

Los modelos de capas elsticas en pavimentos rgidos surgieron como alternativa de

solucin de las ecuaciones de la elasticidad y los problemas de flexin en losas.

Dicha teora fue inicialmente formulada para una carga concentrada bajo una capa

infinita (medio de Boussinesq) y despus fue generalizada para una carga

uniformemente distribuida actuando sobre un rea circular en dos o ms capas.

Bsicamente, existen dentro de la teora de capas elsticas dos modelos

fundamentales, el de Hogg y el modelo multicapas de Burmister.

Modelo de Hogg (1938) Esquematiza el pavimento (losa) apoyado sobre un macizo infinito del tipo Boussinesq (Ei; i). La losa es modelada emplendo las hiptesis

simplificadas de Navier para lminas delgadas, que consideran la lnea o fibra neutra

coincidente con el plano medio de la losa, y a las secciones planas, antes y despus

de las deformaciones. Ver Figura 8.

Figura 8 Esquema del Modelo Bicapa de Hogg.

Modelo multicapa de Burmister (1943) Se representa a partir de dos o ms capas sobre un macizo infinito del tipo Boussinesq. Dicho modelo representa cada capa

con tres parmetros fundamentales: espesor, mdulo de elasticidad y mdulo de

Poisson, lo que le concede a cada material diferentes propiedades elsticas. Ver

Figura 9.

Estos modelos son interesantes ya que permiten determinar las grandes tendencias

de variacin (importancia del espesor, relacin del mdulo entre capas, y radio de

carga). Adems, se convierte en un mtodo bastante prctico y efectivo segn

(Lizcano 2005).

Ambos modelos, en general se plantean un conjunto de hiptesis bsicas derivadas

de la teora de las capas elsticas.

Todos los materiales se consideran homogneos, istropos, y linealmente

elsticos, por lo tanto, cada capa del pavimento puede ser representada por tres

parmetros: espesor, mdulo de la elasticidad, y coeficiente de Poisson. Cada

una de estas capas puede tener propiedades elsticas diferentes.

Cada capa se considera infinita horizontalmente, y la capa inferior se extiende

infinitamente en la direccin vertical.

La carga se considera esttica y uniformemente distribuida sobre una o ms

reas circulares. La mayora de los programas suponen que la carga es

Figura 9 Esquema del Modelo Multicapa de Burmister.

= 3

12(1 2)

Interfaz pegada o despegada

Masivo infinito de Boussinesq( ,)

(1,1, 1)

(22, 2)

completamente vertical, aunque algunos pueden concebir componentes

horizontales.

Las capas estn en contacto constantemente. Debe ser asumido el nmero de

restricciones entre las capas adyacentes y la determinacin de considerarlas

completamente adheridas o con friccin entre ellas. Algunos programas son

capaces de admitir cualquier grado de restriccin.

La U.S. Army and Air Force han desarrollado guas de orientacin para las

metodologas de diseo en capas elsticas para pavimentos tanto rgidos como

flexibles (Departments of Army and Air Force 1988, 1989). La Administracin Federal de Aviacin ha asumido un procedimiento de diseo alternativo (conocido

como LEDFAA) sobre la base de la teora de las capas elsticas. Para pavimentos

rgidos, el principio de diseo bsico es limitar los esfuerzos de tensin en la losa a

un nivel por debajo de la fuerza de flexin con el fin de que el fallo (agrietamiento)

ocurra despus de un nmero significativo de repeticiones de carga. En el modelo de

diseo las capas superpuestas rgidas y flexibles de pavimentos rgidos pueden ser

acomodadas.

La teora de las capas elsticas, como herramienta para modelar el comportamiento

estructural de pavimentos rgidos resulta interesante por la posibilidad, como se

plante anteriormente, de estudiar la variacin que experimentan los distintos

materiales a emplear. A su vez, desde el punto de vista prctico deriva un problema,

ya que los parmetros elsticos (E, ) resultan difciles de determinar en

comparacin con el mdulo de reaccin planteado por Westergaard (K). Otras

limitaciones se enuncian a continuacin.

El modelo supone que cada capa es infinita en la direccin horizontal; por lo

tanto, las juntas y grietas en los pavimentos rgidos son ignoradas. Incluso las

capas de base y subbase en un pavimento no son infinitas en esta direccin. Las

capas estabilizadas tambin pueden desarrollar grietas que no son modeladas.

El modelo considera a cada material como linealmente elstico. Esta suposicin

podra desencadenar contradicciones al calcular las tensiones en las capas del

pavimento. Por ejemplo, no es posible para una capa granular no adherida

soportar grandes esfuerzos de tensin.

La principal limitacin de este modelo radica en el hecho de que, como en el modelo

de Boussinesq o de Hogg las capas son infinitas en el plano, se dificulta el hecho de

poder estudiar el efecto de la carga en el borde y en la esquina de las losas.

Modelo Losa Subrasante Material Carga

Solucin analtica de

Westergaard

Slido homogneo,

elstico e istropo (Teora de Love-

Kirchhoff)

Macizo de Winkler

Comportamiento homogneo,

istropo y linealmente

elstico

Esttica con ubicaciones en centro, borde y

esquina

Capas Elsticas

Lmina delgada de extensin infinita en la

direccin horizontal

Capas infinitas en la

direccin horizontal

Comportamiento homogneo,

istropo y linealmente

elstico

Esttica y uniformemente

distribuida sobre una o ms reas

circulares

5.4 Modelo de los Elementos Finitos (MEF).

El MEF es un mtodo numrico para resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones

diferenciales, ordinarias o parciales. Consiste en discretizar una superficie o un

volumen en elementos fundamentales cuya forma se domina, y resolver la ecuacin

o ecuaciones diferenciales en cada uno de esos elementos. Es una poderosa

tcnica de simulacin empleada, que basa su funcionamiento a partir del uso de

computadoras. Permite obtener una solucin numrica con el empleo de ecuaciones

diferenciales llevadas a un problema definido en trminos matriciales.

Estos elementos caracterizan el comportamiento fsico del problema, a los que se

llega con el empleo de mallas que definen la geometra del cuerpo a modelar, la

Tabla 1 Resumen de los modelos clsicos de respuesta para el anlisis de pavimentos rgidos

representacin de las condiciones de contorno y la asignacin de propiedades a los

materiales. La estructura se modela conformando elementos unidos por los bordes

(subdominios) que seran los denominados elementos finitos.

Matemticamente se construye un espacio vectorial de dimensin finita, donde se

obtiene la solucin numrica aproximada obtenida por elementos finitos. Esta

constituye una combinacin lineal en dicho espacio vectorial. Luego se buscan los

desplazamientos con menor energa de deformacin del sistema y posteriormente se

analizan los resultados.

Existen programas de elementos finitos bidimensionales: Modelo de la lmina

delgada (2D) y tridimensionales: Modelo Continuo (3D).

El mtodo posee ventajas porque con l se puede realizar el clculo de las

estructuras que antes era muy difcil calcular de forma manual, tanto por el gran

nmero de operaciones que su resolucin presenta o por lo engorroso de las

mismas. Con l se reduce a lmites despreciables el riesgo de errores operativos.

Las desventajas que presenta se muestran a continuacin:

El MEF proporciona solo respuestas numricas cuantitativas concretas no

relaciones cualitativas generales.

Segn los datos iniciales de entrada, l no provee la facilidad de variacin de alguno

de los parmetros a fin de conocer la relacin entre ellos.

El MEF aporta una solucin aproximada, desconocindose el margen de error.

Los problemas no-lineales o dependientes del tiempo en general no permiten

conocer el error, debido a las aproximaciones propias del mtodo.

En la prctica de los ingenieros para el anlisis y diseo de pavimentos, las

suposiciones que se realizan ofrecen demasiadas limitaciones en su aplicacin. Para

superarlas, el Mtodo de Elementos Finitos se ha convertido en una herramienta

ampliamente usada para el anlisis de pavimentos rgidos desde comienzos de 1970.

(Wang, Sargious et al. 1972) estudiaron las respuestas de pavimentos rgidos ante las cargas de las ruedas usando un modelo de elementos finitos elstico lineal

bidimensional (2D). La losa de hormign fue modelada como un elemento de lmina

delgada asumiendo la teora clsica de placas basada en las hiptesis de Kirchhoff.

La subrasante fue tratada como un espacio infinito y elstico, para que la matriz

rigidez de la misma fuera obtenida invirtiendo la matriz de flexibilidad derivada de la

ecuacin de Boussinesq para la deflexin de la superficie.

(Huang 1974) entreg otro modelo de elementos finitos elstico 2D para pavimentos rgidos. En su modelo, la subrasante fue modelada como un continuo elstico,

considerando el efecto de la transferencia de carga de las losas adyacentes y la

prdida del contacto entre ellas. El modelo fue verificado a partir de comparar las

respuestas de las soluciones analticas y la obtenida en los pavimentos in situ

medidos en las pistas de ensayo en Arlington.

Luego de los tempranos desarrollos de los Modelos de Elementos Finitos elsticos

2D, (Tabatabaie and Barenberg 1978), (Tabatabaie and Barenberg 1980) desarrollaron un programa de elementos finitos 2D ms general llamado ILLI-SLAB.

La losa de hormign fue modelada usando un elemento delgado como modelo inicial

pero el efecto de la capa de base aglomerada o no aglomerada poda ser

incorporado usando una segunda capa de elementos de placa debajo de la losa. La

subrasante fue modelada como un macizo de Winkler y los pasadores de las juntas

fueron modelados como barras discontinuas. Los resultados fueron comparados con

las soluciones analticas y los datos de campo de la AASHO Road Test.

El programa de elementos finitos 2D desarrollado por (Huang and Wang 1973) fue modificado y se distribuy por (Chou 1981) en la U.S Army Engineer Waterways Experimental Station. Dos programas fueron desarrollados: el WESLIQID y el

WESLAYER. Ambos programas estaban basados en la clsica teora de placas

delgadas. La diferencia principal entre los dos programas era el modelado de la

subrasante. En WESLIQID modelaba la explanacin como un macizo de Winkler,

mientras que el WESLAYER, la explanacin la idealizaba ya sea como un slido

lineal y elstico o como un sistema de capas lineales y elsticas. El modelo de

WESLAYER consideraba la prdida total o parcial del soporte de la subrasante sobre

la regin designada de las losas.

(Huang and Deng 1983), (Huang 1985) desarrollaron el modelo KENSLABS para incluir la capacidad de modelar mltiples losas y varios mecanismos de transferencia

de forma similar al ILLI-SLAB. La subrasante fue caracterizada como un medio semi-

elstico. Tambin fueron estudiados la prdida del contacto con la subrasante y los

efectos del refinamiento de las mallas.

Un programa de elementos finitos llamado RISC fue desarrollado como parte de un

procedimiento de diseo mecanicista para pavimentos rgidos por FHWA

(Majidzadeh, Ilves et al. 1984). En este programa, la losa de hormign fue modelada usando elementos de tipo Shell (lminas delgadas) y elsticas asumiendo

la teora de Kirchhoff. En el RISC, la base de la losa poda ser modelada como un

slido elstico de Boussinesq o como la estructura multicapas de Burmister. Los

materiales del pavimento fueron modelados linealmente elsticos.

(Tayabji and Colley 1984) desarrollaron un programa de elementos finitos 2D llamado JSLAB para analizar pavimentos de hormign reforzado. La losa fue

modelada usando elementos de placa delgada. La subrasante fue modelada como

un macizo de Winkler. El programa tena la capacidad modelar parcialmente el

contacto entre losa y subrasante. Tambin consider el espaciado no uniforme entre

pasadores.

(Tia, Armaghani et al. 1987) desarrollaron un programa de elementos finitos 2D llamado FEACONS (Finite Element Analysis of CONcrete Slabs) para analizar la

respuesta de los pavimentos de hormign masivo ante las cargas y las variaciones

de temperatura. Al igual que los otros programas de elementos finitos 2D, la losa de

hormign fue modelada usando elementos de placa delgada, mientras que la

subrasante fue asumida como un macizo de Winkler. La transferencia de carga entre

losas fue modelada por medio de la rigidez lineal y torsional de las juntas. Los

resultados fueron verificados comparando los resultados con los datos de campo

obtenidos de pruebas en carreteras de la Florida.

(Krauthammer and Western 1988) investigaron los efectos de la transferencia de cortante sobre el comportamiento de pavimentos empleando un modelo de

elementos finitos con deformaciones planas dinmicas 2D, desarrollado en el ADINA,

programa comercialmente disponible. Variaciones de cortante y esfuerzos

horizontales en la losa de hormign, la eficiencia de las juntas, las deflexiones

adyacentes a las mismas y los esfuerzos de cortante en la subrasante fueron

examinados. Los resultados fueron comparados con la prueba del Falling Weight

Deflectometer (FWD).

(Ioannides and Donelly 1988) revisaron el efecto de la no linealidad en la subrasante usando un programa de elementos finitos 3D existente llamado

GEOSYS. Elementos lineales hexadricos de 8 nodos (Brick element) fueron usados

para modelar la losa y la subrasante, con diferente proporcin de generacin de

malla. El estudio del refinamiento de malla en la vertical mostr que exista una

aproximacin aceptada cuando dos capas de elementos eran usadas para la losa.

Se revisaron las condiciones de carga en el interior, el borde y la esquina y los

resultados fueron comparados con la solucin analtica y los anlisis 2D reportados

por (Ioannides, Barenberg et al. 1984). Las comparaciones mostraron que en el modelo exista un gran acercamiento en el estudio de las deflexiones en losa. Sin

embargo no suceda lo mismo con las tensiones, que resultaron ser mayores. Las

tensiones en la subrasante se consideraron realmente significativas.

(Channakeshava, Barzegar et al. 1993) desarrollaron un Modelo de Elementos Finitos esttico y no lineal 3D para estudiar la reaccin tridimensional del hormign

masivo con pasadores. La losa fue modelada con elementos cudricos e

isoparamtricos de 20 nodos. La subrasante fue modelada como un macizo de

Winkler con tres resortes lineales y discontinuos en cada nodo sobre la base de la

losa. En el estudio se consideraron tanto las cargas de neumtico como las trmicas

producida por las variaciones cclicas diurnas de temperaturas.

(Zaghloul, White et al. 1994) investigaron los factores de carga equivalente usando un modelo de elementos finitos dinmico 3D, no lineal, con el ABAQUS, programa de

elementos finitos comercialmente disponible. La losa y la subrasante fueron

modelados con brick elements 3D; la base granular, subbase y subrasante con el

modelo elstico-plstico de Druker-Prager y para el caso de subrasantes arcillosas

se emple el modelo de Cam-Clay. Las desviaciones pronosticadas para la condicin

de carga esttica eran comparadas con aquellas determinadas de la solucin

analtica de Westergaard y un programa de elementos finitos distinto para verificar el

modelo. Diferentes espesores y condiciones de las capas fueron revisados. La

capacidad de modelacin dinmica del programa fue verificada comparando la

respuesta de la losa con los datos de la observacin in situ.

(Chatti, Lysmer et al. 1994) prolongaron el ILLI-SLAB 2D existente a un programa de elementos finitos dinmico y lineal, llamado DYNA-SLAB, para estudiar los

efectos de las cargas dinmicas aplicadas por camiones en la respuesta de

pavimentos rgidos. La losa de hormign fue modelada con elementos de placa y la

subrasante fue tratada como un macizo de Winkler o un medio viscoelstico en

capas sobre uno rgido o un semiespacio infinito. Un mtodo analtico fue

desarrollado por los autores para determinar la dependencia existente entre la

frecuencia y los coeficientes de amortiguamiento y rigidez usados en el modelo de

Winkler. El modelo fue verificado comparando los resultados de la solucin analtica

para una carga puntual sobre una viga de longitud finita soportada por un macizo

viscoelstico de Winkler, y con la solucin aproximada para una carga puntual sobre

una placa infinita en un macizo de Winkler. Se llev a cabo un estudio paramtrico

usando el modelo, con el fin de investigar si un anlisis dinmico es necesario para la

prediccin de la respuesta de un pavimento rgido. Los parmetros incluyen:

velocidad de vehculo, textura del pavimento, espesor de las capas, y eficiencia de

transferencia de cargas. Los autores llegaron a la conclusin de que era importante

usar la rugosidad esperada del pavimento para determinar las mximas magnitudes

y las ubicaciones histricas de la configuracin de ejes pero los efectos dinmicos en

la respuesta de la losa no eran significativos. Adems, el autor seal que la

existencia de una capa rgida poco profunda o una capa de piedra podan

incrementar los efectos dinmicos lo suficiente como para exigir que ellos sean

considerados en el anlisis.

(Uddin, Hackett et al. 1995) describieron un estudio del efecto de las discontinuidades de los pavimentos sobre las deflexiones de la superficie de un

pavimento rgido sujeto a una carga estndar FWD usando un modelo elstico y finito

3D con el ABAQUS. La losa de hormign, la base tratada con cemento, y la

subrasante fueron modeladas usando brick elements elsticos 3D. Las grietas en el

pavimento fueron estudiadas con el empleo de elementos gap (aberturas), mientras

que los pasadores lo fueron como elementos vigas. El clculo inverso del mdulo de

las capas del pavimento fue operado sobre la base de los datos de deflexin de una

prueba de carga esttica y los resultados FWD para secciones de pavimento

agrietadas y no agrietadas. El modelo era capaz de predecir con exactitud la

deflexin de la losa sujeta a una carga estndar FWD usando el mdulo recalculado.

(Kuo, Hall et al. 1995) desarrollaron un modelo de elementos finitos elstico 3D usando ABAQUS para investigar algunos de los factores que afectan el soporte de

un pavimento rgido, incluyendo el espesor de la base y su rigidez, la adherencia en

la interface, el calentamiento de la losa y efecto de combado debido a la temperatura

y al gradiente de humedad, la transferencia de carga en las juntas y los anchos de

carril. Determinar el ptimo refinamiento de la malla y el mejor tipo de elemento

fueron tareas que requirieron esfuerzos significativos. Tanto elementos de placa 2D

(4 nodos y 8 nodos) como brick elements 3D (8 nodos y 20 nodos) fueron

considerados para modelar la losa. La base tratada con cemento fue modelada

usando otra capa de elementos 3D, mientras que la subrasante fue tratada como un

macizo de Winkler. Para representar la interface entre capas se emple un elemento

de membrana unido a otro elemento con interface especial. El modelo fue verificado

comparando las predicciones del modelo con la solucin analtica de Westergaard y

con las predicciones del modelo de elementos finitos ILLI-SLAB 2D. Cuando los

elementos de placa 2D se aplicaron se obtuvieron soluciones satisfactorias, como

ejemplo se tiene el caso de una losa fina con el rea de carga suficientemente

grande. Las respuestas predichas del modelo fueron tambin comparadas con los

resultados de prueba de campo a gran escala de la AASHO Road Test, con las

pruebas de la PCA sobre bases tratadas con cemento, y con las pruebas de

carreteras de Arlington. En general, se hallaron correspondencias entre los

pronsticos de modelo y los datos de las pruebas de campo.

(Zaman and Alvappillai 1995) estudiaron el efecto de cambiar de lugar cargas de aeronaves sobre un sistema de pavimento rgido de mltiples losas usando un

modelo de elementos finitos 2D dinmico. Las losas del pavimento fueron modeladas

usando elementos rectangulares de placas delgadas de 4 nodos. La subrasante fue

tratada como un macizo de Winkler viscoelstico. La interaccin dinmica entre la

aeronave y el pavimento fue modelada usando un muelle y amortiguador paralelo

con un peso acoplado. Las juntas longitudinales fueron modeladas usando resortes

de desplazamiento discreto mientras que las juntas transversales fueron modeladas

con pasadores, admitindose separacin entre las losas y los pasadores. Lo ms

relevante de la disertacin fue estudiar el efecto carga dinmica vs. carga esttica y

las consecuencias de las holguras de los pasadores sobre el rendimiento de la junta.

Sobre la base de los resultados, Zaman y Alvappillai llegaron a la conclusin de que

las condiciones de carga estticas eran ms crticas para determinar el espesor del

pavimento, mientras que las condiciones dinmicas disminuyen la eficiencia de las

juntas debido a las holguras de los pasadores.

(Masad, Taha et al. 1996) desarrollaron un modelo de elementos finitos 3D usando el ABAQUS para examinar la respuesta de los pavimentos rgidos ante cargas

trmicas. Tanto la losa como la subrasante fueron modeladas con brick elements de

8 nodos. La losa y el soporte se asumieron linealmente elsticos, considerando en el

anlisis la prdida de contacto entre ellos, las juntas longitudinales, y la friccin. Se

revisaron los gradientes de temperatura tanto lineales como no lineales. Los

resultados fueron comparados con modelos de elementos finitos 2D existentes como

el ILLI-SLAB y el JSLAB. Las tensiones mximas debidas al calentamiento,

pronosticadas del modelo 3D, y las existentes del 2D hallaron correspondencias

satisfactorias.

En otro estudio reportado por (Kim, Hjelmstat et al. 1997) fue desarrollado, un modelo de elementos finitos, elstico 3D empleando ABAQUS para analizar la

respuesta de una losa de un pavimento rgido ante las mltiples configuraciones de

cargas fuertes aplicadas por el descanso de aeronaves. Las losa, la base tratada con

cemento, y la subrasante fueron modeladas usando elementos hexadricos lineales.

En el anlisis consideraron adems las bases adheridas y no adheridas. Fue usada

para la capa de base cuya ley constitutiva corresponda a una modelo elastoplstico

de Drucker-Prager, la cual abarca el campo del anlisis lineal y elstico y el no lineal.

Las restantes capas del pavimento fueron modeladas como linealmente elsticas. Se

revisaron diferentes configuraciones de ejes incluyendo sencillo, tndem y trdem. Se

demostr que las deflexiones mximas fueron generalmente proporcionales a la

carga total sin considerar la configuracin del neumtico. Sin embargo, las tensiones

mximas en la losa fueron controladas por su curvatura, la cual dependa

enormemente de la separacin de los neumticos. En general, la pequea

separacin entre ruedas conlleva a mayores tensiones debidas a la interaccin entre

las ruedas.

(Brill, Hayboe et al. 1997) desarrollaron un modelo de elementos finitos esttico 3D para pavimentos rgidos empleando el programa de elementos finitos de dominio

pblico NIKE 3D. A diferencia de la mayora de los modelos de elementos finitos 3D,

la losa fue modelada con elementos de placa de 4 nodos mientras que la subrasante

lo fue con elementos lineales hexadricos de 8 nodos. Fueron considerados

diferentes tipos de uniones entre las losas como trabazn de agregados y

transferencia de cortante a travs de pasadores, ambos modelados con elementos

hexadricos lineales y elsticos. Las tensiones pronosticadas fueron comparadas

con las soluciones analticas. Las diferencias significativas entre las dos soluciones

fueron observadas en la mayora de los casos.

Otro modelo de elementos finitos esttico 3D, el EVERFE, fue desarrollado por

(Davids 1998) para modelar la reaccin de los sistemas de pavimento de hormign masivo ante las cargas del trfico y los efectos ambientales. La losa, la base, y la

subrasante fueron modelados usando elementos cuadrticos hexadricos de 20

nodos. Todas las capas del pavimento fueron tratadas como materiales linealmente

elsticos. El macizo de Winkler fue modelado debajo de la subrasante usando un

elemento de interface cuadrtico de 8 nodos. Los mecanismos de transferencia como

el pasador y la trabazn de agregados fueron modelados con elementos

especializados y relaciones constitutivas. Fueron simulados gradientes trmicos

lineales, bilineales, y trilineales dentro del espesor de losa. El modelo fue verificado

comparando los desplazamientos pronosticados y las tensiones con los valores

medidos de pruebas a escala en laboratorio del modelo de un sistema de pavimento

rgido con pasadores. La prediccin y medida de los desplazamientos se logr de

manera efectiva, mientras que el pronstico de las tensiones obtuvo resultados

menos acertados.

Programa MEF Dimensin Losa Subrasante Material Pasador Carga Formulacin

ILLI-SLAB 2D Elemento de placa delgada

Macizo de Winkler

Linealmente elstico

Barras discontinuas Esttica Desplazamiento

WESLIQID 2D Elemento de placa delgada

Macizo de Winkler

Linealmente elstico - Esttica Desplazamiento

WESLAYER 2D Elemento de placa delgada

Capas lineales y elsticas /

Medio slido y elstico

Linealmente elstico - Esttica Desplazamiento

KENSLABS 2D Elemento de placa delgada

Macizo de Winkler / Medio slido elstico / Capas elsticas

Linealmente elstico

Barras discontinuas Esttica Desplazamiento

RISC 2D Elemento de lmina

fina y elstica

Medio slido elstico /

Capas elsticas

Linealmente elstico - Esttica Desplazamiento

JSLAB 2D Elemento de placa delgada

Macizo de Winkler

Linealmente elstico

Consider espaciamientos

no uniformes Esttica Desplazamiento

FEACONS 2D Elemento de placa delgada

Macizo de Winkler

Linealmente elstico

Rigidez lineal y torsional de la

junta Esttica Desplazamiento

Tabla 2 Resumen de los programas de Elementos Finitos disponibles para el anlisis de pavimentos rgidos.

DYNA-SLAB 2D Elemento de placa delgada

Amortiguadores de Winkler /

Capas slidas

Linealmente elstico - Dinmica Desplazamiento

EVERFE 3D Elemento

cuadrtico y hexadrico

Macizo de Winkler

Linealmente elstico

Elementos embebidos Esttica Desplazamiento

5.5 CONCLUSIONES.

Despus del anlisis de las fuentes bibliogrficas consultadas se puede arribar

a varias conclusiones agrupadas en los siguientes tpicos:

Referidas a los Modelos Clsicos de respuesta.

Cuando se describen los modelos clsicos de respuesta durante la

concepcin de la losa se presentan deficiencias que imposibilitan el anlisis

de las juntas, no pudiendo explicar el fenmeno de transferencia de cargas

entre ellas:

Westergaard solamente considera una losa para la modelacin y las

capas naturales del soporte del pavimento no son reflejadas

explcitamente en el modelo del macizo de Winkler.

El modelo de las Capas Elsticas considera todas las capas en la

direccin vertical, mientras que en la horizontal asume una longitud

infinita sin discontinuidades como bordes y juntas, lo que no permite

que se monitoree lo que sucede en la esquina y el borde de la losa.

Referidas a los Modelos del MEF

Durante las ltimas dcadas, los programas de anlisis de elementos

finitos 2D se han ampliado hasta la esfera 3D en el estudio de espesores y

transferencia de carga en las juntas. Estos programas consideran la losa

como una lmina delgada y algunos de ellos, para modelar el soporte,

presentan una biblioteca de elementos. El uso de las facilidades que brinda

el MEF para modelar los elementos de separacin, interfaces entre capas,

condiciones de contorno, y restricciones, adems de la facilidad de mejorar

el pre y post-procesamiento de los resultados justifican la insercin de este

modelo en el proceso de diseo.

La mayora de los programas MEF consideran la carga esttica, lo que

impide el estudio de comportamiento de la estructura ante la accin

repetida de las cargas (fatiga), solo el programa DYNA-SLAB tiene en

cuenta el anlisis dinmico de ellas.

Cuando se emplea el MEF como herramienta numrica se incide en errores

de aproximacin que son dependientes del tipo de elemento y densidad de

malla. A partir de esto se concluye que la mayora de los programas

expuestos en el captulo carecen de niveles de precisin, ya que muchos

de estos se realizaron en una etapa en que los ordenadores no eran muy

potentes, pudindose en la actualidad mejorar el acercamiento al fenmeno

real y as aprovechar el aporte que pueden brindar los materiales.

De manera general:

1. Se puede concluir que las soluciones basadas en la teora de Westergaard

(incluyendo sus ecuaciones, las Cartas de Influencia de Pickett-Ray, y sus

equivalentes informatizados), el anlisis de las Capas Elsticas y el Modelo

de los Elementos Finitos han demostrado ser herramientas tiles en el

diseo y anlisis de pavimentos rgidos con enfoque 2D y 3D permitiendo

analizar mltiples parmetros y viendo la influencia que existe entre ellos.

2. En el estudio de todos los modelos, tanto clsicos como del MEF, el

anlisis de la losa y el soporte se realiza bajo un rgimen homogneo,

lineal, elstico e istropo lo que no posibilita conocer el comportamiento de

los materiales con la accin repetida de las cargas.

3. En los modelos de respuesta estudiados, el anlisis de las cargas estticas

es el predominante, sin embargo el comportamiento real de la carga tiene

un carcter dinmico que incide directamente en la respuesta del material

ya que la propagacin de las tensiones a lo largo del espesor son variables

dependientes de la velocidad y el tipo de material.

4. La forma de considerar el soporte vara de un modelo a otro, siendo este el

parmetro que admite ms alternativas de cambio, por las dismiles

configuraciones que puede presentar en la realidad.

5. Segn trabajos de Westergaard (Westergaard 1926) uno de los puntos ms crticos de concentracin de tensiones es el centro-borde exterior de la

losa, pero desde el punto de vista real un muy bajo porciento de los

vehculos pasan en las inmediaciones del borde de dicha estructura. Es por

eso que trabajos desarrollados por (Robert and Packard 1984) a partir de estudiar el comportamiento de las tensiones con respecto a la frecuencia

de pasadas arroj como resultado que esa distancia est sobre los 60 cm,

dependiendo del ancho mximo permitido de vehculos en los E.U.A.

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1 INTRODUCCIN2 CONCEPCIN DE LA MODELACIN 3 Sistema de pavimento rgido.4 MODELACIN EN PAVIMENTOS RGIDOS4.1 Los modelos de respuesta4.2 Los modelos de comportamiento5 MODELOS CLSICOS DE RESPUESTA EN PAVIMENTOS RGIDOS.5.1 Solucin Analtica de Westergaard.5.2 Otros modelos basados en la Teora de Westergaard.5.2.1 Cartas de influencia.5.2.2 Soluciones computarizadas.5.3 Modelo de las Capas Elsticas.5.4 Modelo de los Elementos Finitos (MEF).5.5 CONCLUSIONES.6 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS