ESTADO DEL ARTE DEL DISEÑO A CORTANTE EN VIGAS DE CONCRETO REFORZADO SEGÚN EL REGLAMENTO NSR-10...

ESTADO DEL ARTE DEL DISEÑO A CORTANTE EN VIGAS DE

CONCRETO REFORZADO SEGÚN EL REGLAMENTO NSR-10

(ACI - 318) Y PERTINENCIA DEL USO DEL MÉTODO MODIFIED

COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT)

Elaborado por:

OSCAR ALEJANDRO OSORIO VELÁSQUEZ

DANIEL ZAMUDIO LÓPEZ

Asesor:

ALEJANDRO PARDO RAMOS

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

ESPECIALIZACIÓN EN ANÁLISIS Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS

2016

TABLA DE CONTENIDO

1 RESUMEN ........................................................................................................ 5

2 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 6

2.1 ESQUEMA GENERAL DEL INFORME ....................................................... 7

2.2 OBJETIVOS DEL PROYECTO ................................................................... 8

2.2.1 OBJETIVO GENERAL ......................................................................... 8

2.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................. 8

3 MARCO TEÓRICO ......................................................................................... 9

3.1 DESARROLLO HISTÓRICO DEL DISEÑO A CORTANTE ......................... 9

3.2 MÉTODO DE DISEÑO A CORTANTE USADO EN EL REGLAMENTO NSR-

10 ................................................................................................................. 15

3.2.1 DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DEL MÉTODO ............................... 15

3.2.2 RESISTENCIA A CORTANTE PROPORCIONADA POR EL

CONCRETO .................................................................................................. 16

3.2.3 RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL REFUERZO PARA

CORTANTE .................................................................................................... 34

3.2.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL ELEMENTO A CORTANTE ..... 39

3.3 MÉTODO DE LA TEORÍA MODIFICADA DEL CAMPO DE

COMPRESIONES (MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY - MCFT) ....... 42

3.3.1 CAMPOS DE COMPRESIONES ...................................................... 43

3.3.2 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (COMPRESSION FIELD

THEORY) ........................................................................................................ 44

3.3.3 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA CONCRETO

FISURADO DIAGONALMENTE .................................................................... 47

3.3.4 MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT) ...................... 49

3.3.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO BASADO EN MODIFIED

COMPRESSION FIELD THEORY ................................................................... 52

4 COMPARACIÓN NUMÉRICA ENTRE MÉTODOS DE DISEÑO A CORTANTE

....................................................................................................................... 56

4.1 DISEÑO A FLEXIÓN DE LA VIGA .......................................................... 57

4.2 DISEÑO A CORTANTE DE LA VIGA ...................................................... 58

4.2.1 MÉTODO NSR-10 (BASADO EN ACI-318) ..................................... 58

4.2.2 DISEÑO POR MCFT ......................................................................... 60

5 CONCLUSIONES .......................................................................................... 65

6 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 67

LISTADO DE FIGURAS

Figura 3.1 Estado de esfuerzos en el plano (modificada de: Rochel, 2007)

................................................................................................................................ 9

Figura 3.2 Variación de los esfuerzos de cortante en vigas de concreto

reforzado (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) .............................. 11

Figura 3.3 Planteamiento general de la resistencia a cortante en vigas de

concreto reforzado según el reglamento NSR-10 ........................................ 15

Figura 3.4 Fuerza cortante, flujo de cortante y esfuerzos cortantes en una

viga elástica, isotrópica y homogénea (modificada de Park y Paulay,

1980) ..................................................................................................................... 17

Figura 3.5 Trayectorias de los esfuerzos principales en una viga isotrópica

homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980)...................................... 17

Figura 3.6 Trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de

concreto reforzado (modificada de Rochel, 2007) ..................................... 18

Figura 3.7 Esfuerzos cortantes en una sección idealizada agrietada de

concreto reforzado (modificada de Park y Paulay, 1980) ......................... 18

Figura 3.8 Esfuerzo cortante nominal en vigas de concreto reforzado para

la formación de fisuras por tensión diagonal (modificada de: ACI, 1962)

.............................................................................................................................. 20

Figura 3.9 Inclinación de las fisuras potenciales en una viga simplemente

apoyada (modificada de: Rochel, 2007) ...................................................... 20

Figura 3.10 Efecto de la cuantía de refuerzo longitudinal, 𝜌, en la

capacidad a cortante, 𝑉𝑐, de vigas construidas con concreto de peso

normal y sin estribos (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ............ 21

Figura 3.11 Efecto de la relación 𝑎/𝑑 en la capacidad a cortante de vigas

sin estribos (modificada de Wight y MacGregor, 2012) .............................. 22

Figura 3.12 Efecto de las fuerzas axiales en la carga de cortante de

fisuración inclinada (modificada de Wight y MacGregor, 2012) .............. 23

Figura 3.13 Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin refuerzo

en el alma (modificada de: Park y Paulay, 1980) ........................................ 25

Figura 3.14 Efecto arco en una viga (modificada de Wight y

MacGregor, 2012).............................................................................................. 28

Figura 3.15 Modos de falla de vigas de gran altura, 𝑎/𝑑 = 0,5 𝑎 2,0

(modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ................................................. 31

Figura 3.16 Modos de falla de tramos cortos de cortante, 𝑎/𝑑 = 1,5 𝑎 2,5

(modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ................................................. 31

Figura 3.17 Comparación de la Ecuación 3-20 y la Ecuación 3-21 con los

resultados experimentales (modificada de: Park y Paulay, 1980)............. 33

Figura 3.18 Analogía de la cercha (modificada de: Rochel, 2007) .......... 34

Figura 3.19 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT ................................ 42

Figura 3.20 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory).

(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 44


(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición) ....................... 45


(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición) ....................... 46

Figura 3.23 Esfuerzo máximo de compresión en función de la deformación

principal ε1 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ........................ 48

Figura 3.24 Relaciones de esfuerzo-deformación de compresión para

concreto fisurado diagonalmente: (a) 𝜀1 y 𝜀2 incrementan

proporcionalmente; (b) aumentando primero 𝜀1 y posteriormente 𝜀2

(modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 48

Figura 3.25 Relaciones del MCFT (Compresión Field Theory).

(Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 50

Figura 3.26 Influencia del espaciamiento de las fisuras en la predicción de

la resistencia a cortante (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999). 51

Figura 3.27 Valores de β y θ para miembros que contienen la cantidad

mínima de estribos (tomada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ................. 54

Figura 3.28 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT ................................ 55

Figura 4.1 Geometría y carga de viga empotrada a analizar .................. 56

Figura 4.2 Diagrama de momentos ................................................................ 56

Figura 4.3 Diagrama de cortantes .................................................................. 56

Figura 4.4 Diagrama de áreas ......................................................................... 57

Figura 4.5 Despiece a flexión de viga ............................................................ 58

Figura 4.6 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT (Repetición) ........... 61

1 RESUMEN

En Colombia, las especificaciones para diseñar elementos de concreto

reforzado sometidos a esfuerzos cortantes se encuentran en el capítulo

C.11 del reglamento NSR-10. Estas especificaciones han dado buenos

resultados a través del tiempo y por el momento la normativa colombiana

no deja abierta la posibilidad de implementar nuevas metodologías de

diseño como por ejemplo la Modified Compression Field Theory (MCFT).

En el presente trabajo se realizó una revisión bibliográfica acerca de los

métodos de diseño tradicional (implementados en el reglamento NSR-10)

y de diseño basado en la MCFT.

Apoyados en la información recopilada acerca de los dos métodos de

diseño, se realizó una comparación objetiva entre estos con el propósito

de concluir acerca de la pertinencia del uso del método Modified

Compression Field Theory; lo anterior, se efectuó diseñando por ambas

metodologías un elemento de concreto reforzado tipo viga, cargado

uniformemente y empotrado en ambos extremos.

Finalmente, con los resultados obtenidos al realizar los respectivos diseños

por ambas metodologías, se concluyó acerca de la pertinencia del uso

e inclusión del método MCFT en la normativa colombiana actual y de las

diferencias que existen entre ambas metodologías.

PALABRAS CLAVE: cortante, tensión diagonal, campo de compresiones,

Modified Compression Field Theory (MCFT).

2 INTRODUCCIÓN

Los lineamientos presentados en las normativas de diseño como el

reglamento NSR-10 y el ACI-318 (entre otras normas), se basan en

investigaciones desarrolladas a principios del siglo pasado para el cálculo

de la resistencia a esfuerzos cortantes en elementos de concreto

reforzado y simple. Dichas metodologías utilizadas para diseñar

elementos de concreto reforzado a cortante han ido evolucionando a lo

largo de la historia y en ocasiones han sido poco satisfactorias en casos

prácticos.-esto se debe básicamente por la poca comprensión que se ha

tenido de la interacción entre fuerzas cortantes, fuerzas axiales,

momentos torsionales y momentos flexionantes.

Actualmente se han desarrollado metodologías de diseño a cortante

más exactas que están empezando a ser acogidas por diferentes

normativas en el mundo, las cuales pueden ayudar a realizar diseños

más precisos, económicos y seguros; sin embargo, se continúan utilizando

las metodologías clásicas como por ejemplo, en el contexto colombiano,

los métodos presentados (basados en el ACI-318). .

La existencia de nuevas metodologías que cuentan con un mejor grado

de aproximación a los resultados experimentales como la Modified

Compression Field Theory (MCFT) y que brindan un mejor entendimiento

del problema, genera cierta inquietud y un cuestionamiento acerca de

la no implementación en las normas que nos rigen actualmente; esto

teniendo presente que otras normas por el contrario ya cuentan con su

aplicación de manera directa o simplificada como son los casos de las

normas canadiense, noruega y la norma estadounidense de puentes

(AASHTO LRFD). Por lo tanto, en el presente trabajo se realizó una

selección del material bibliográfico más relevante acerca de las

metodologías del diseño a cortante en estructuras de concreto reforzado

las cuales se estudian y se exponen de forma paralela para así

compararlas y concluir acerca de la pertinencia del uso de cada uno de

estos métodos.

2.1 ESQUEMA GENERAL DEL INFORME

En la primera etapa del presente trabajo se realizó una recopilación de

información acerca del métodos clásico de diseño a cortante en

elementos de concreto reforzado (vigente y usado hoy en día en varias

normativas del mundo y basados en el ACI-318) y del método Modified

Compression Field Theory (MCFT).

Posteriormente en el capítulo dos se realiza una reseña histórica que

muestra la evolución de las metodologías de diseño y se realiza un análisis

de la información recopilada explicando las bases teóricas de las

metodologías de diseño a cortante que son objetivo de estudio del

presente trabajo, en este caso el método de diseño clásico del

reglamento NSR-10 (basado en ACI - 318) y el método MCFT.

En el capítulo tres se hace un paralelo entre los resultados de un diseño

realizado por ambas metodologías. El objetivo de este paralelo es el de

comparar aspectos importantes de ambos tipos de metodologías. Por

último en el capítulo cuatro se presentan las conclusiones.

2.2 OBJETIVOS DEL PROYECTO

2.2.1 OBJETIVO GENERAL

Realizar una revisión bibliográfica del método de diseño clásico del

reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) y el método MCFT (Modified

Compression Field Theory) para analizar la pertinencia de su uso en el

diseño a cortante de vigas.

2.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Seleccionar el material bibliográfico más relevante acerca del

estado del arte de la metodología de diseño a cortante en vigas

de concreto reforzado presentada en el reglamento NSR-10

(basado en ACI-318) y la metodología Modified Compression Field

Theory (MCFT).

Realizar un paralelo entre el método clásico de diseño a cortante

del reglamento NSR-10 y el método Modified Compression Field

Theory (MCFT).

Argumentar por medio del paralelo realizado acerca de la

pertinencia del uso del método Modified Compression Field Theory

como alternativa a los actuales métodos de diseño presentados en

el reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318).

3 MARCO TEÓRICO

El diseño a cortante de vigas de concreto reforzado se puede realizar por

medio de dos métodos, el primer método es el presentado en el

reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) y el segundo es la Teoría

Modificada de los Campos de Compresión (MCFT, por su sigla en inglés).

Para entender el comportamiento de las vigas frente a esfuerzos

cortantes se plantea realizar un repaso histórico de cómo se ha estudiado

el cortante a lo largo de los años y luego se procede con el desarrollo de

ambas metodologías para finalmente realizar un ejercicio numérico

comparativo.

3.1 DESARROLLO HISTÓRICO DEL DISEÑO A CORTANTE

Alrededor del año 1900 había ambigüedad respecto al diseño a cortante

y se tenían dos formas principales para interpretar el mecanismo de falla

de los elementos de concreto reforzado frente a las fuerzas de cortante;

una primera forma era considerando la cortante horizontal como la

causa básica de falla a cortante y cuyos esfuerzos eran calculados con

la Ecuación 3-1. Esta ecuación se deduce en la mecánica de sólidos

para el análisis de los esfuerzos cortantes adoptando el comportamiento

de materiales (homogéneos, elásticos y no fisurados) para las vigas de

concreto reforzado (ACI, 1962).

Figura 3.1 Estado de esfuerzos en el plano (modificada de: Rochel, 2007)

𝑣 = 𝑉𝑄

𝐼𝑏 Ecuación 3-1

donde: 𝑣 = Esfuerzo cortante horizontal a la distancia 𝑦 desde el eje neutro

𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝑄 = Momento estático respecto al eje neutro de la sección externa a la fibra

que se analiza 𝐼 = Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje

neutro 𝑏 = Ancho de la sección transversal a una distancia 𝑦 desde el eje neutro

La segunda forma de interpretar el cortante consideraba que la causa

básica de falla de una viga de concreto reforzado frente a fuerzas

cortantes se daba por la tensión diagonal. W. Ritter en 1899 presentó una

explicación acerca de la tensión diagonal y sugirió el diseño de estribos

verticales para resistirla por medio de la Ecuación 3-2 (ACI, 1962).

𝑉 = 𝐴𝑣𝑓𝑣𝑗𝑑

𝑠 Ecuación 3-2

Donde:

𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝐴𝑣 = Área de la sección transversal total de un estribo

𝑓𝑣 = Esfuerzo admisible en los estribos 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno 𝑠 = Espaciamiento de los estribos en la dirección del eje del elemento

Alrededor de diez años después de lo presentado por Ritter, con pruebas

de laboratorio efectuadas por E. Mörsch en Alemania y apoyadas por

pruebas de F. Von Empergery y E. Probst, se confirma que la falla por

cortante se da bajo tensión diagonal y se presenta la Ecuación 3-3

desarrollada por E. Mörsch para el cálculo del esfuerzo cortante nominal

(ACI, 1962).

𝑣 = 𝑉

𝑏𝑗𝑑 Ecuación 3-3

Donde:

𝑣 = Esfuerzo cortante

𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno

Cabe anotar que el desarrollo de la Ecuación 3-3, correspondiente a la

tensión diagonal clásica, se ha basado en los siguientes supuestos (ACI,

1962):

1. El concreto y el acero son materiales homogéneos e isotrópicos.

2. Los esfuerzos no superan los límites proporcionales.

3. Las vigas tienen secciones transversales constantes.

4. La distribución de los esfuerzos de cortante es uniforme en todo el

ancho de la viga.

5. El concreto no soporta ninguna tensión a la flexión por debajo del eje

neutro.

El esfuerzo cortante de la Ecuación 3-3 alcanza su valor máximo en el eje

neutro y permanece constante hasta el refuerzo longitudinal de flexión,

consecuente con el supuesto 5, puesto que se desprecia el aporte del

concreto en la zona de tracción y allí el momento estático es constante.

Por encima del eje neutro, en la zona de compresión, la intensidad del

esfuerzo cortante disminuye de forma parabólica hasta llegar a cero en

la superficie superior, como se observa en la Figura 3.3 (ACI, 1962).

En vista que 𝑗 varía cercanamente alrededor del valor de 7/8, la expresión

elástica de diseño dada por la Ecuación 3-3 por mucho tiempo se

simplificó tomando dicho valor, pero como en realidad la suposición 5 es

teórica porque el concreto puede soportar un porcentaje del esfuerzo

cortante antes de la fisuración; la variación real de los esfuerzos cortantes

es un tanto diferente e irregular, por lo que resulta aconsejable recurrir al

uso del esfuerzo cortante promedio y no justifica el refinamiento que

implica considerar el brazo de momento interno 𝑗𝑑. Así, la expresión para

el cálculo del esfuerzo cortante promedio en toda la sección transversal

efectiva estará dada por la Ecuación 3-4 (ACI, 1962).

Figura 3.2 Variación de los esfuerzos de cortante en vigas de concreto reforzado

(modificada de: Wight y MacGregor, 2012)

𝑣 = 𝑉

𝑏𝑑 Ecuación 3-4

donde:


𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del

refuerzo longitudinal en tracción

Para entender como una viga resistía a cortante, tradicionalmente se han

utilizado los modelos basados en lo que propusieron a principios del siglo

XX, independientemente, W. Ritter y E. Mörsch acerca de la analogía con

una cercha de cuerdas paralelas. El modelo original consideraba que

luego de la fisuración de una viga de concreto reforzado debida a las

tensiones de tracción diagonales, ésta se puede idealizar como una

cercha de cuerdas paralelas con diagonales comprimidas a 45° con

respecto al eje longitudinal de la viga (Herreros, 2004).

En estos modelos de la cercha, donde no se considera la contribución a

tracción del concreto, las diagonales comprimidas de concreto intentan

separar las superficies superior e inferior del concreto, mientras que los

esfuerzos de tracción en los estribos tratan de unir ambas superficies. Para

que exista equilibrio, los dos efectos deben ser iguales y de acuerdo con

el modelo de la cercha con diagonales comprimidas a 45°, la capacidad

máxima del elemento frente a los esfuerzos de cortante se logra cuando

los estribos exceden el límite de fluencia (Herreros, 2004).

Luego de aceptarse la formulación de E. Mörsch acerca de que la falla

por cortante en vigas de concreto reforzado se debe a una tracción, se

especificó para los diseños que el esfuerzo cortante nominal se calcularía

con la Ecuación 3-3 para obtener la magnitud de la tensión diagonal y

se relacionó únicamente con la resistencia a compresión del concreto;

además, se dio para los elementos sin estribos un esfuerzo cortante

máximo como límite para el diseño (ACI, 1962).

Fundamentado en los resultados de las pruebas de 106 vigas sin refuerzo

para cortante, A. N. Talbot en 1909 concluyó que en vigas de este tipo,

el esfuerzo cortante nominal variará con la cantidad de refuerzo, con la

relación entre longitud y profundidad, con la calidad y resistencia del

concreto, y con otros factores que afectan a la rigidez de la viga. Tiempo

después, en la década de 1940, cuando 0. Morretto realiza una serie de

pruebas con vigas, adopta una ecuación empírica para la resistencia al

cortante que incluye el refuerzo para la flexión como una variable

(ACI, 1962).

Como un acto de negligencia, en el intervalo entre 1920 y principios de

1950, fue olvidado el consejo conservador de A. N. Talbot y otros pioneros.

Aunque dejaron en evidencia que el valor de la tensión diagonal era

generalmente indeterminado; pero como desafortunadamente sus

hallazgos no se expresaron en términos matemáticos como ecuaciones

de diseño, las falencias expuestas acerca de los procedimientos de

diseño para la tensión diagonal que consideraban la resistencia a la

compresión del concreto como una única variable principal, fueron

olvidadas. Durante ese tiempo se continuó con el uso de estos

procedimientos bastante imprecisos que cada vez fueron menos

conservadores puesto que el valor máximo de esfuerzo cortante (límite

para el diseño) se había incrementado a través de los años (ACI, 1962).

En el año de 1950 se conformó la Comisión mixta 326 del Instituto

Americano del Concreto (ACI, por su sigla en inglés) y la Sociedad

Americana de Ingenieros Civiles (ASCE, por sus sigla en inglés) que contó

inicialmente con Charles S. Whitney como presidente por nueve años y

cuya finalidad consistía en desarrollar métodos para el diseño de

elementos de concreto reforzado para resistir cortante y tensión

diagonal, en consonancia con los nuevos métodos de diseño de

resistencia última (ACI, 1962); la comisión fue conformada puesto que la

metodología de la época se basaba en los esfuerzos admisibles, hecho

que se podía evidenciar con el supuesto 2 para el desarrollo de la

Ecuación 3-3 de la tensión diagonal clásica, donde los esfuerzos no

debían superar los límites proporcionales.

La investigación que se produjo a partir de 1950 luego de la

conformación de la Comisión mixta 326 del Instituto Americano del

Concreto generó conciencia de que la cortante y la tensión diagonal

eran un asunto complejo en el que existen diversas variables

involucradas, algo que ya se sabía de años atrás pero que se había

olvidado. Sumado a esto, en el año 1955, se produjo la falla por cortante

de los almacenes de Wilkins Air Force Depot en Shelby, Ohio. Se trató de

una falla frágil por cortante que permitió relacionar las investigaciones

teóricas y de laboratorio con las fallas de estructuras a gran escala e

intensificó dudas y preguntas acerca de los métodos tradicionales de

diseño a cortante (ACI, 1962).

Esta falla estructural más los datos de laboratorio entonces disponibles,

impulsaron el estudio de la cortante y la tensión diagonal en elementos

de concreto reforzado entre 1950 y 1960, generando un aumento de

investigaciones para la solución de los problemas planteados por el

desconocimiento de dichos temas (ACI, 1962). A partir de ese momento

fue cuando se desarrollaron las teorías de cortante/compresión, basadas

en el hecho de que la falla a cortante de una viga se debe al

aplastamiento del hormigón en la zona comprimida al reducirse la altura

de ésta debido al crecimiento de la fisuración diagonal (Herreros, 2004).

Dentro de las investigaciones se estudian los efectos de la tracción y

compresión axial sobre la resistencia a cortante; se efectúan variaciones

en las cargas aplicadas a diversos tipos de vigas: cargas concentradas

individuales, simétricas de dos puntos, cargas multipunto y cargas

uniformes; sobre vigas simples, continuas, con voladizos. Se evalúa el

efecto de los tipos de agregados; de las variaciones en la sección

transversal, incluyendo vigas rectangulares, vigas en I, vigas T; el resultado

de introducir la carga por otros medios distintos que a través de placas

de apoyo; el efecto de obligar a que las fallas se produzcan en varios

lugares específicos; y el efecto de refuerzo de alta resistencia en la

resistencia a la cortante (ACI, 1962). También se llevaron a cabo estudios

sobre modelos de la cercha con ángulos de inclinación variable

(Herreros, 2004).

Como resultado de un estudio sistemático de datos de más de 440

pruebas con vigas sin refuerzo para cortante, que refleja la multitud y

variedad de ensayos a cortante efectuados en la década de 1950, se

proponen varias ecuaciones para la resistencia a cortante utilizando el

esfuerzo a cortante promedio y el criterio de que la falla por tensión

diagonal representa la resistencia máxima utilizable en vigas sin refuerzo

a cortante; donde la capacidad a cortante depende principalmente de

tres variables, a saber, el porcentaje de refuerzo longitudinal para flexión

𝜌, la cantidad adimensional 𝑀/𝑉𝑑, y la calidad del concreto tal como se

expresa por la resistencia a la compresión 𝑓𝑐′. Mientras que otras variables

tienen efectos menores sobre la resistencia a cortante (ACI, 1962).

Mitchell y Collins en 1974 desarrollan la Teoría del Campo Diagonal de

Compresiones para elementos sometidos a torsión pura, que después

ampliaron para analizar elementos sometidos a esfuerzo cortante. Estos

modelos consideran la respuesta carga/deformación de miembros en

que la armadura de refuerzo trabaja a tracción uniaxial y el concreto

presenta un estado biaxial de tracción/compresión. Tiene como hipótesis

que las tensiones y deformaciones principales son coincidentes. Las

ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y las relaciones

tensión/deformación del refuerzo y el concreto, tanto en tracción como

en compresión, permiten obtener las tensiones y deformaciones medias,

y el ángulo 𝜃 para cualquier nivel de carga hasta la falla. Ésta puede

estar gobernada no por las tensiones medias, sino por las tensiones locales

en la fisura. Por este motivo es necesario efectuar una comprobación en

la fisura que supone la parte crítica de la Teoría Modificada del Campo

de Compresiones (MCFT, por sus sigla en inglés) y de las teorías derivadas

a partir de ella. La comprobación en la fisura implica limitar las tensiones

medias principales de tracción en el concreto a un valor máximo

determinado, considerando la tensión del refuerzo en la fisura y la

capacidad de la superficie de la fisura para transmitir tensiones

tangenciales (Herreros, 2004).

Hsu y sus colegas de la Universidad de Houston entre 1994 y 1995

presentaron el modelo de la cercha con rotación del ángulo. Al igual

que la MCFT, este método supone que la inclinación de las tensiones

principales de compresión (𝜃) coincide con las deformaciones

principales. Al aumentar el esfuerzo cortante, para miembros

convencionales 𝜃 disminuye. De aquí el nombre de rotación del ángulo.

Pang y Hsu en 1995 limitaron la aplicabilidad de este modelo a los casos

en que la rotación del ángulo no se desvía más que 12º respecto al

ángulo fijo. Fuera de este rango ellos recomiendan el uso del modelo del

ángulo fijo en 1996, que considera que las fisuras a cortante son paralelas

a la dirección principal de tensiones de compresión definidas según las

cargas aplicadas. El modelo del campo de tensiones perturbado

desarrollado por Vecchio entre 2000 y 2001 como una extensión de la

MCFT, incluye explícitamente en las relaciones de compatibilidad un

deslizamiento rígido a lo largo de la superficie de fisura. Esto permite una

divergencia entre los ángulos de inclinación de las tensiones medias

principales y las deformaciones aparentes medias en el concreto

(Herreros, 2004).

3.2 MÉTODO DE DISEÑO A CORTANTE USADO EN EL REGLAMENTO NSR-10

El siguiente diagrama de flujo tiene por objeto situar al lector con relación

al procedimiento que la normativa actual (NSR-10) dispone para el

cálculo de la resistencia a cortante en vigas de concreto reforzado:

Figura 3.3 Planteamiento general de la resistencia a cortante en vigas de concreto

reforzado según el reglamento NSR-10

3.2.1 DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DEL MÉTODO

El cortante en elementos de concreto reforzado se manifiesta como una

tensión diagonal generada por la combinación de los esfuerzos cortantes

y de los esfuerzos flexionantes presentes en el alma del elemento. Debido

a la presencia de la tensión diagonal, se generan fisuras inclinadas en los

elementos de concreto y para evitar estas fisuras se debe disponer de un

refuerzo transversal que estará bajo los efectos de la tracción y no a

cortante como se podría pensar (Wight y MacGregor, 2012).

En principio, para el diseño de la viga reforzada se procede con la

determinación de la geometría de la sección transversal y la cantidad de

refuerzo longitudinal con el propósito de garantizar la resistencia a flexión

adecuada y asegurar que la falla será dúctil, puesto que muestra

grandes deformaciones antes del colapso, se aprovecha más el acero y

brinda un mejor comportamiento frente a eventos sísmicos; estas

características resultan evidentemente ventajosas frente a una falla frágil

como sería la que se generaría por fisuración por cortante. Por lo tanto

Resistencia proporcionada

por el refuerzo para cortante

(“Analogía de la cercha”)

(3.2.3)

Diseño

(3.2.4)

Resistencia proporcionada

por el concreto

(3.2.2)

RESISTENCIA A CORTANTE

Método del Reglamento

NSR-10

(3.2.1)

es importante estar seguros que la resistencia del elemento a cortante

sea algo mayor que la resistencia máxima a flexión que éste podría

desarrollar (Herreros, 2004).

Para el diseño a cortante de vigas de concreto reforzado, en este caso,

se recurre al método presentado en el reglamento NSR-10 (basado en el

ACI-318) que acepta que la falla por cortante se debe a una tracción

que en caso de exceder la resistencia del concreto deberá

proporcionarse un refuerzo transversal para que absorba esta diferencia

(ACI, 1962).

Debido a las diversas variables que están comprometidas en la resistencia

del concreto al cortante, cuantificar el aporte de los distintos mecanismos

de resistencia a cortante resulta imposible de deducir de manera

matemática o analítica; por esto, se recurre al uso de ecuaciones

empíricas o semi-empíricas producto del trabajo realizado alrededor del

año 1950 (ACI, 1962).

El aporte de la resistencia del refuerzo que trabaja a cortante radica en

modelos propuestos a inicios del siglo xx que se basan en la analogía con

una cercha de cuerdas paralelas, con la que se obtienen las expresiones

para el cálculo realizando un procedimiento lógico y racional, que han

sufrido muy poca variación a pesar de los aspectos que se cuestionan al

respecto; quizás porque conllevan a resultados conservadores a pesar de

lo costoso que podría resultar (ACI, 1962).

3.2.2 RESISTENCIA A CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO

Una viga de concreto reforzado sometida a fuerzas externas resiste las

solicitaciones con la aparición de momentos y cortantes internos

(Herreros, 2004). La suma de los esfuerzos cortantes en una sección

transversal debe equilibrar la fuerza cortante externa en esa sección; de

allí que las intensidades del esfuerzo cortante vertical y horizontal deben

ser las mismas en cada elemento (Park y Paulay, 1980).

Los esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de cualquier fibra de una

viga homogénea, isotrópica y no agrietada se pueden deducir a partir

de las consideraciones de equilibrio interno de los esfuerzos a flexión

usando la notación de Figura 3.4 para llegar a la Ecuación 3-5 y a las

trayectorias de los esfuerzos principales que se muestran en la Figura 3.5

(Park y Paulay, 1980).

Figura 3.4 Fuerza cortante, flujo de cortante y esfuerzos cortantes en una viga elástica,

isotrópica y homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980)

𝑣 = 𝑉𝑄

𝐼𝑏 Ecuación 3-5

donde: 𝑣 = Esfuerzo cortante horizontal a la distancia 𝑦 desde el eje neutro

𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝑄 = Momento estático respecto al eje neutro de la sección externa a la fibra

que se analiza 𝐼 = Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje

neutro 𝑏 = Ancho de la sección transversal a una distancia 𝑦 desde el eje neutro

Figura 3.5 Trayectorias de los esfuerzos principales en una viga isotrópica homogénea

(modificada de Park y Paulay, 1980)

Las trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de concreto

reforzado son como las indicadas en la Figura 3.6.

Figura 3.6 Trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de concreto reforzado

(modificada de Rochel, 2007)

Cuando los esfuerzos principales de tensión son excesivos, se desarrollan

grietas aproximadamente perpendiculares a estas trayectorias; por lo

que se hace necesario adecuar el resultado de los esfuerzos cortantes

teniendo en cuenta la sección idealizada agrietada, utilizando los

conceptos de la Figura 3.4 y basándose en la Figura 3.7 para obtenerse

la Ecuación 3-6 para el cálculo del esfuerzo cortante nominal (Park y

Paulay, 1980).

Figura 3.7 Esfuerzos cortantes en una sección idealizada agrietada de concreto

reforzado (modificada de Park y Paulay, 1980)

𝑣 = 𝑉

𝑏𝑗𝑑 Ecuación 3-6

donde:


𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno

La Ecuación 3-6 corresponde a la expresión elástica de diseño que se

empleó durante muchos años con la simplificación de tomar para "𝑗" el

valor de 7/8. La variación de las tensiones cortantes unitarias tiene forma

parabólica en la zona de compresión, mientras que en la zona de

tracción se desprecia el aporte del concreto y allí el momento estático

es constante, por lo que la tensión cortante no varía y el diagrama es

rectangular como puede apreciarse en la Figura 3.7. En realidad esta

conclusión es teórica porque el concreto puede soportar un poco de

tensión cortante antes de la fisuración y entonces la variación real de las

tensiones cortantes sería un tanto diferente e irregular (Rochel, 2007); por

lo que, para el planteamiento del criterio de diseño a esfuerzos cortantes

de vigas, sin refuerzo transversal, se empleará el esfuerzo cortante

promedio como una medida de la tensión diagonal, determinada a partir

de la Ecuación 3-7 que se deduce de la Mecánica de Sólidos (Herreros,

2004).

𝑣 = 𝑉

𝑏𝑑 Ecuación 3-7

donde:


𝑉 = Cortante vertical total 𝑏 = Ancho de la sección transversal 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del


Luego de aceptarse la formulación de E. Mörsch acerca de que la falla

por cortante en vigas de concreto reforzado se debe a una tracción, se

especificó para los diseños que el esfuerzo cortante nominal se calcularía

con la Ecuación 3-7 para obtener la magnitud de la tensión diagonal y

se relacionó únicamente con la resistencia a compresión del concreto;

hecho que A. N. Talbot en 1909 demostró no ser correcto y que luego de

la investigación que se produjo a partir de 1950 se confirmaría,

obteniendo resultados como lo mostrado en la Figura 3.8 que indica que

el procedimiento de diseño clásico no se correlaciona bien con los

resultados de las pruebas, generando conciencia de que la cortante y la

tensión diagonal es un asunto complejo en el que existen diversas

variables involucradas (ACI, 1962).

No obstante, la formulación obtenida por E. Mörsch, correspondiente a la

Ecuación 3-6, para la distribución de los esfuerzos de cortante en una viga

de concreto reforzado con fisuras de flexión era una simplificación ya que

no consideraba la fuerza transversal que se podía transmitir mediante la

inclinación de la compresión, ni tampoco la fuerza de dovela introducida

por el refuerzo longitudinal para flexión (Herreros, 2004).

Figura 3.8 Esfuerzo cortante nominal en vigas de concreto reforzado para la formación

de fisuras por tensión diagonal (modificada de: ACI, 1962)

Las vigas sin refuerzo en el alma fallarán cuando se produce la fisuración

inclinada o poco después. Por esta razón, la capacidad a cortante de

tales elementos se toma igual a la cortante por tensión diagonal. La

resistencia a cortante de vigas sin refuerzo en el alma se ve afectada por

diversas variables (Wight y MacGregor, 2012). A continuación se

presentan las principales variables, algunas incluidas en las ecuaciones

de diseño.

1. Resistencia a la tracción del concreto. La falla por cortante se debe

a la tensión diagonal que se presenta cuando los esfuerzos principales

de tensión generados por la combinación de flexión y cortante

agotan la capacidad de resistencia a la tracción del concreto,

produciéndose fisuras como puede verse en la Figura 3.9. En la región

de grandes momentos flexionantes, se producen fisuras de flexión que

son perpendiculares al eje del elemento. En la región de elevada

fuerza cortante se puede generar tensión diagonal, lo que puede

producir fisuras inclinadas (Hernández y Gil, 2007).

Figura 3.9 Inclinación de las fisuras potenciales en una viga simplemente apoyada

(modificada de: Rochel, 2007)

2. Cuantía de refuerzo longitudinal. En la Figura 3.10 se presentan las

capacidades al cortante (unidades psi) de vigas simplemente

apoyadas sin estribos como una función de la cuantía de refuerzo

longitudinal. Dentro del rango práctico de cuantía, entre 0,0075 a

0,025, para el desarrollo de la falla por cortante de las vigas, la

resistencia al cortante del concreto, 𝑉𝑐, es aproximadamente como

se indica para la línea discontinua horizontal en la Figura 3.10, dada

por la Ecuación 3-8. Como puede observarse, en la Figura 3.10, se

tendrá mayor resistencia al cortante a medida que aumente la

cuantía de refuerzo longitudinal. La Ecuación 3-8 tiende a

sobreestimar 𝑉𝑐 para vigas con pequeñas cuantías de refuerzo

longitudinal; lo cual, se debe a que para una cuantía menor de

refuerzo longitudinal, las fisuras de flexión se abren más y se extienden

hasta una altura mayor en el alma de la viga provocando que la

fisuración inclinada aparezca antes de lo usual por una disminución

en la efectividad de algunos mecanismos de resistencia que

conllevan a reducir los valores máximos de resistencia a cortante

(Wight y MacGregor, 2012).

Figura 3.10 Efecto de la cuantía de refuerzo longitudinal, 𝜌, en la capacidad a

cortante, 𝑉𝑐, de vigas construidas con concreto de peso normal y sin estribos


𝑉𝑐 = 2√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑 (𝑙𝑏) =

√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑

6 (𝑁) Ecuación 3-8

donde:

𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto

𝑓𝑐′ = Resistencia especificada a la compresión del concreto

𝑏𝑤 = Ancho del alma 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el

centroide del refuerzo longitudinal en tracción

3. Relación a/d. La relación entre el claro de cortante y la profundidad,

𝑎/𝑑 o 𝑀/𝑉𝑑, influye muy significativamente en el tipo de rotura y en el

modo de resistir los esfuerzos cortantes que presenta la viga, como

puede verse en la Figura 2-11. Los elementos con cocientes inferiores

a 2 son los más afectados porque presenta fisuras más profundas

(Wight y MacGregor, 2012).

Figura 3.11 Efecto de la relación 𝑎/𝑑 en la capacidad a cortante de vigas sin estribos

(modificada de Wight y MacGregor, 2012)

4. Concreto de agregado liviano. El concreto de agregado liviano

tiene una resistencia a la tracción más baja que el concreto de

peso normal para una resistencia a la compresión de concreto

dado. Debido a que la resistencia a la cortante de un elemento

de concreto sin refuerzo para cortante está directamente

relacionada con la resistencia a la tracción del concreto, la

Ecuación 3-8 debe ser modificada para elementos construidos con

concreto de agregado liviano. Esto se maneja en el Reglamento

NSR-10 (basado en el ACI-318) a través de la introducción del factor

𝜆, que representa la diferencia para la resistencia a la tracción del

concreto liviano; con lo que se obtiene la Ecuación 3-9 (Wight y

MacGregor, 2012).

𝑉𝑐 = 2𝜆√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑 (𝑙𝑏) =

𝜆√𝑓𝑐′𝑏𝑤𝑑

6 (𝑁) Ecuación 3-9

donde:


𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades

mecánicas reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los

concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión




5. Tamaño de la viga. La fisuración inclinada se producirá antes a

medida que aumenta el canto de la viga. Esto se debe a que, a

medida que aumenta el tamaño de la viga, el ancho de fisura en

los puntos por encima del refuerzo longitudinal para flexión tiende

a aumentar, produciendo una disminución en la trabazón entre los

agregados en la fisura y reduciendo su capacidad de resistir el

esfuerzo cortante. Este efecto del tamaño es bastante apreciable

para elementos sin refuerzo para cortante pero no lo es tanto para

elementos con estribos ya que estos impiden, en parte, la apertura

de las fisuras (Herreros, 2004).

6. Fuerzas axiales. La carga de fisuración inclinada disminuye para

elementos sometidos a fuerzas axiales de tracción, y tiende a

aumentar si los elementos están sometidos a fuerzas axiales de

compresión, como puede observarse en la Figura 3.12 (Wight y

MacGregor, 2012).

Figura 3.12 Efecto de las fuerzas axiales en la carga de cortante de fisuración inclinada


para fuerzas axiales de compresión:

𝑉𝑐 = 2 (1 +𝑁𝑢

2000𝐴𝑔) 𝜆√𝑓𝑐

′𝑏𝑤𝑑 (𝑝𝑠𝑖) Ecuación 3-10

𝑉𝑐 = 0,17 (1 +𝑁𝑢


′𝑏𝑤𝑑 (𝑀𝑃𝑎) Ecuación 3-11

Para fuerzas axiales de tracción:

𝑉𝑐 = 2 (1 +𝑁𝑢


′𝑏𝑤𝑑 (𝑝𝑠𝑖) Ecuación 3-12

𝑉𝑐

= 0,17 (1 +0,29𝑁𝑢

𝐴𝑔) 𝜆√𝑓𝑐

′𝑏𝑤𝑑 (𝑀𝑃𝑎) Ecuación 3-13

Donde:


𝑁𝑢 = Carga axial mayorada normal a la sección transversal, que ocurre

simultáneamente con 𝑉𝑢 o 𝑇𝑢; debe tomarse como positiva para

compresión y como negativa para tracción

𝐴𝑔 = Área bruta de la sección de concreto

𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades

mecánicas reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los

concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión




7. Tamaño del agregado grueso. A medida que el tamaño (diámetro)

de los agregados gruesos aumenta, la rugosidad de las superficies de

las fisuras aumenta, lo que permite esfuerzos de cortante más altos

para ser transferidos a través de las fisuras. En vigas de concreto de

alta resistencia y algunas vigas de concreto liviano, las fisuras

atraviesan piezas del agregado en lugar de ir a su alrededor, lo que

resulta en una superficie de fisura más suave. Esta disminución en la

fuerza cortante transferida por la trabazón del agregado a lo largo de

las grietas reduce la resistencia nominal al cortante proporcionada

por el concreto, 𝑉𝑐 (Wight y MacGregor, 2012).

La investigación efectuada desde 1950 luego de la conformación de la

Comisión mixta 326 del Instituto Americano del Concreto, como resultado

de un estudio sistemático de la multitud y variedad de ensayos a cortante

en vigas sin refuerzo en el alma, condujo al desarrollo de estudios en los

que se evidenciaban las variables que afectan la resistencia a cortante

y se analizaba la importancia relativa entre los mecanismos de resistencia

a cortante en vigas de concreto reforzado, sin refuerzo en el alma,

sometidas a esfuerzos cortantes (Herreros, 2004).

Figura 3.13 Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin refuerzo en el alma

(modificada de: Park y Paulay, 1980)

Para entender la manera en la que actúan estos mecanismos de

resistencia a cortante en las vigas de concreto reforzado, sin refuerzo en

el alma (estribos), se recurre al estudio del equilibrio en el claro de

cortante de una viga (distancia entre el apoyo y el punto de aplicación

de la carga, indicada como 𝑎); para lo cual se acude a la Figura 3.13,

donde se muestra parte de una viga simplemente apoyada en la que la

fuerza cortante es constante y se consiguen identificar las fuerzas internas

y externas que mantienen el equilibrio del cuerpo libre, limitado en un

extremo por una fisura diagonal (Park y Paulay, 1980).

La fuerza total transversal externa 𝑉 del apoyo está equilibrada por tres

fuerzas, una fuerza cortante a través de la zona de compresión 𝑉𝑐, una

fuerza de dovela transmitida a través de la fisura mediante el refuerzo de

flexión 𝑉𝑑 y las componentes verticales de los esfuerzos cortantes

inclinados 𝑉𝑎 transmitidos a través de la fisura inclinada por medio de la

trabazón de las partículas del agregado (Park y Paulay, 1980).

Agrupando los esfuerzos de cortante transmitidos por la trabazón del

agregado en una sola fuerza 𝐺, se obtiene un polígono de fuerzas que

representa el equilibrio del cuerpo libre (Figura 3.13b) y se puede expresar

en la forma de la Ecuación 3-14 (Park y Paulay, 1980).

𝑉 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑎 + 𝑉𝑑 Ecuación 3-14

donde:

𝑉 = Fuerza total transversal externa 𝑉𝑐 = Fuerza por contribución de la zona de compresión 𝑉𝑎 = Fuerza por trabazón del agregado 𝑉𝑑 = Fuerza por el efecto dovela

A continuación se explican cada uno de estos mecanismos

contribuyentes para la resistencia a cortante:

La fuerza cortante en la zona de compresión es la producida en el

concreto no fisurado. No constituye un mecanismo muy importante

para vigas esbeltas sin refuerzo longitudinal en la zona de compresión

dado que la zona comprimida es relativamente pequeña. Por lo

tanto, luego de que el refuerzo longitudinal para flexión presente una

significativa plastificación en los puntos de momento máximo, gran

parte del cortante es resistido a través de este mecanismo (Herreros,

2004).

La fuerza de dovela (efecto dovela o efecto pasador) introducida por

el refuerzo longitudinal para flexión no será muy importante en

elementos sin refuerzo para cortante, ya que el cortante máximo en

una dovela está limitado por la resistencia a tracción del concreto

que soporta la dovela. No obstante, este efecto puede ser

significativo en elementos con grandes cantidades de refuerzo

longitudinal para flexión, especialmente si éste se distribuye en capas

(Herreros, 2004).

Las componentes verticales de los esfuerzos cortantes inclinados entre

las caras de la fisura están basados en el engranamiento o trabazón

que proporcionan los agregados. Los cuatro parámetros básicos que

controlan la fuerza por trabazón del agregado son los esfuerzos

normal y tangencial en la fisura, el ancho de fisura y el deslizamiento

de la misma. Al producirse deslizamiento, la matriz se deforma

plásticamente en la superficie de contacto con el agregado. Los

esfuerzos en las zonas de contacto son una presión constante 𝜎𝑝, y un

cortante también constante 𝜇𝜎𝑝. La geometría de la superficie de la

fisura se describe de forma estadística en términos del contenido de

agregados de la dosificación, y de la probabilidad de que los

agregados se extiendan más allá de la superficie de la fisura. Para

concretos de alta resistencia este mecanismo tendrá menor

importancia dado que presentará superficies de rotura más lisas

(Herreros, 2004).

El momento de resistencia de la viga ignorando el aporte de la fuerza de

dovela a la resistencia a flexión, por fines de diseño y especialmente

porque no hay refuerzo para cortante, está dado por la Ecuación 3-15


𝑀 = 𝑇𝑗𝑑 Ecuación 3-15

Donde:

𝑀 = Momento externo

𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno

Combinando las relaciones entre el momento externo y el momento

interno de resistencia con la relación entre cortante y la razón de cambio

del momento flexionante a lo largo de una viga, resultan los modos de

resistencia a cortante interna de la Ecuación 3-16 (Park y Paulay, 1980).

𝑉 =𝑑𝑀

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑥(𝑇𝑗𝑑) = 𝑗𝑑

𝑑𝑇

𝑑𝑥+ 𝑇

𝑑(𝑗𝑑)

𝑑𝑥 Ecuación 3-16

donde:

𝑉 = Fuerza cortante externa


𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno

El término 𝑗𝑑(𝑑𝑇/𝑑𝑥) expresa el comportamiento de un elemento

totalmente prismático a flexión en que la fuerza interna de tracción 𝑇 que

actua con un brazo de palanca constante 𝑗𝑑 cambia de punto a punto

a lo largo de la viga, para balancear exactamente la intensidad del

momento externo. El término 𝑑𝑇/𝑑𝑥, la razón de cambio de la fuerza de

tensión interna, se denomina la fuerza de adherencia 𝑞 aplicada al

refuerzo de flexión por longitud unitaria de la viga. Si el brazo de palanca

interno permanece constante (una suposición aceptada normalmente

en la teoría elástica de los miembros prismáticos a flexión) de manera que 𝑑(𝑗𝑑)/𝑑𝑥 = 0, se obtiene la Ecuación 3-17 de “efecto viga” perfecto (Park

y Paulay, 1980).

𝑉 = 𝑗𝑑

𝑑𝑇

𝑑𝑥= 𝑞𝑗𝑑

Ecuación 3-17

donde:


𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno 𝑞 = Fuerza de adherencia

Se creía generalmente que en ausencia de refuerzo para cortante, el

“efecto viga” resistía al cortante por medio del flujo de cortante 𝑞 que

consiste en la fuerza de adherencia por longitud unitaria del miembro;

pero dicho comportamiento es posible si se puede transferir con

eficiencia el flujo de cortante o fuerza de adherencia entre el refuerzo

para flexión y el concreto que lo rodea. Cuando por cualquier razón se

destruye la adherencia ente el acero y el concreto en toda la longitud

del claro de cortante, no puede cambiar la fuerza 𝑇 de tensión, por lo

que 𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 0. Bajo tales circunstancias, la única manera de resistir al

cortante externo es mediante compresión interna inclinada, caso externo

que puede denominarse “efecto arco.” Su resistencia a cortante se

expresa mediante el segundo término del miembro derecho de la

Ecuación 3-16, obteniéndose la Ecuación 3-18, donde se sustituye la

tracción interna 𝑇 mediante la fuerza interna de compresión 𝐶, para

indicar que es la componente vertical de una fuerza de compresión, con

pendiente constante, la que equilibra la fuerza cortante externa, como

puede apreciarse en la Figura 3.14 (Park y Paulay, 1980).

𝑉 = 𝑇

𝑑(𝑗𝑑)

𝑑𝑥= 𝐶

𝑑(𝑗𝑑)

𝑑𝑥

Ecuación 3-18

donde:


𝑇 = Fuerza interna de tracción 𝐶 = Fuerza interna de compresión 𝑗𝑑 = Brazo de momento interno

Figura 3.14 Efecto arco en una viga (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)

Seguidamente, se ampliará la explicación de los principales mecanismos

de resistencia a cortante:

Efecto de arco. Aquellas zonas del elemento donde no es válida la

teoría general de flexión para aplicar las hipótesis de Bernouilli-Navier

o Kirchhoff, se conocen como zonas o regiones de discontinuidad y

se dan por cambios bruscos de la geometría (discontinuidades

geométricas), donde se aplican cargas concentradas y reacciones

(discontinuidades estáticas), o pueden estar constituidas por el

conjunto de la estructura debido a su forma o proporciones

(discontinuidades generalizadas). Para estas regiones, el efecto arco

es uno de los mecanismos de transmisión de cortante más

importantes; mientras que para las regiones restantes la distribución

de deformaciones es lineal y la respuesta será principalmente tipo

viga porque el brazo mecánico (𝑗𝑑) se mantendrá constante (ver la

Figura 3.14) o también podrá ocurrir que lo que se mantenga

constante sea el esfuerzo en el refuerzo longitudinal; lo cual, ocurre

cuando el flujo de cortante no puede ser transmitido por la pérdida

de adherencia del refuerzo longitudinal o cuando el flujo de cortante

está impedido por la presencia de una fisura inclinada que se

extienda desde el apoyo. En este último caso, el cortante será

transmitido por el efecto arco, efecto que se desarrolla generalmente

en los extremos de vigas con una relación 𝑎/𝑑 pequeña (Herreros,

2004).

La resistencia disponible del efecto arco depende principalmente de

que se pueda dar lugar a los esfuerzos de compresión diagonal

resultantes. Para una fuerza de acero y ancho de viga dada, la

intensidad de los esfuerzos de compresión diagonal depende de la

inclinación de la línea de empuje. La relación del claro de cortante

al peralte es una medida de esta inclinación que también puede

expresarse en términos del momento y el cortante como se muestra

en la Ecuación 3-19 (Park y Paulay, 1980).

𝑎

𝑑=

𝑉𝑎

𝑉𝑑=

𝑀

𝑉𝑑

Ecuación 3-19

donde:

𝑎 = Distancia entre el punto de apoyo y el punto de aplicación de la carga

𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del




Efecto de viga. Cuando ocurre desplazamiento cortante a lo largo

de una fisura inclinada, cierta cantidad de cortante se transfiere por

el efecto dovela del refuerzo para flexión. En los puntos donde las

barras se apoyan contra el concreto de recubrimiento, la resistencia

a tracción del concreto limita la capacidad de dovela. Una vez que

ocurren fisuras por desgajamiento, se reduce considerablemente la

rigidez, y en consecuencia la efectividad del efecto dovela. Este

desgajamiento también afecta adversamente el funcionamiento de

la adherencia de las barras. A su vez, la resistencia al desgajamiento

del concreto depende del área efectiva del concreto entre las barras

de una capa a través de la cual se debe resistir la tensión. De especial

importancia es la posición relativa de una varilla en el momento en

que se vierte el concreto. Debido a la elevada sedimentación y a la

ganancia de agua bajo las barras en la parte superior de la viga, éstas

requieren desplazamientos cortantes considerablemente mayores

que las barras inferiores de la viga para ofrecer la misma resistencia

de dovela. El efecto dovela es más significativa cuando se utilizan

estribos, debido a que una barra para flexión puede apoyarse con

mayor efectividad contra un estribo que esté doblado

estrechamente contra ella. Las capacidades máximas de los tres

mecanismos del efecto viga (efecto dovela, trabazón del agregado

y la resistencia a flexión del extremo empotrado del voladizo) no

necesariamente se suman cuando la falla es inminente (Park y Paulay,

1980).

Se sabe que estos dos mecanismos resistentes interactúan y que la

importancia relativa de cada uno de ellos depende de la esbeltez de la

viga. El comportamiento de las vigas que fallan por cortante será función

de las contribuciones relativas entre el efecto arco y el efecto viga que

se produzcan, y de la cuantía de refuerzo que tengan (Herreros, 2004).

Inmediatamente después del inicio de la fisuración inclinada, el aporte

resistente de 𝑉𝑎 y 𝑉𝑑 puede alcanzar un valor entre el 40 y el 60% del valor

total del cortante aplicado. A medida que se va abriendo la fisura, la

contribución de 𝑉𝑎 va disminuyendo mientras se incrementa la fracción

de cortante resistida por 𝑉𝑐 y 𝑉𝑑. El efecto dovela 𝑉𝑑 conducirá, a la larga,

a que aparezca una fisura a lo largo del refuerzo longitudinal para flexión

provocada por la presión que éste ejerce. Al producirse esta fisura,

desaparecerá la contribución 𝑉𝑑 y el mecanismo resistente pasará a ser

el que aporta 𝑉𝑐 (Herreros, 2004).

No obstante, lo anterior no es el único mecanismo de falla a cortante

posible a desarrollar para vigas sin refuerzo para cortante. Los momentos

y cortantes necesarios para que se produzca la fisuración inclinada y la

falla dependen principalmente de la relación 𝑎/𝑑. En la Figura 3.11 se

puede observar la influencia de este cociente en la fisuración inclinada y

en los distintos tipos de falla. Se debe destacar que aún no está clara la

importancia relativa que tiene cada uno de estos factores en la

resistencia total del elemento a cortante, y que dicha importancia

relativa será función de la tipología de viga analizada (Herreros, 2004).

Los mecanismos de falla a cortante de vigas simplemente apoyadas (ver

Figura 3.15 y Figura 3.16), con cargas concentradas, sin estribos y con

propiedades de los materiales casi idénticas son según Park y Paulay

(1980) de tres tipos:

Tipo I: Falla del mecanismo de viga en la aplicación de la carga de

agrietamiento diagonal, o poco después de ella cuando 3 < 𝑎/𝑑 < 7.

El mecanismo subsecuente de arco no puede soportar la carga de

agrietamiento.

Tipo II: Falla de compresión por cortante o falla de tensión por flexión

de la zona a compresión por encima de la carga de agrietamiento

diagonal, lo que generalmente es una falla de efecto arco, cuando

2 < 𝑎/𝑑 < 3.

Tipo III: Falla por aplastamiento o desgajamiento del concreto (es

decir, una falla de efecto arco) cuando 𝑎/𝑑 es menor que 2,5.

Figura 3.15 Modos de falla de vigas de gran altura, 𝑎/𝑑 = 0,5 𝑎 2,0 (modificada de:

Wight y MacGregor, 2012)

Figura 3.16 Modos de falla de tramos cortos de cortante, 𝑎/𝑑 = 1,5 𝑎 2,5 (modificada

de: Wight y MacGregor, 2012)

En los tipos de falla a cortante se ve que el mecanismo de falla a cortante,

especialmente el de vigas con 2,5 < 𝑎/𝑑 < 7, depende

considerablemente de la resistencia a tracción del concreto. En

consecuencia, no es de sorprender que haya gran dispersión de los datos

de prueba de miembro aparentemente semejantes. Para vigas sujetas a

carga distribuida uniformemente a lo largo del borde de compresión, se

obtienen resultados ligeramente más favorables. Por otra parte, la

relación 𝑎/𝑑 en las vigas continuas no representa la misma situación que

se encuentra en vigas simplemente soportadas, debido a que las

secciones no coinciden con los soportes en que se aplican las reacciones.

Por este motivo se ha adoptado una ecuación de diseño semiempírica

relativamente simple, con base en los resultados de numerosas pruebas,

Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21. Dicha ecuación predice

conservadoramente la resistencia a cortante de las vigas en la mayoría

de los casos. También toma en cuenta los principales factores que

influyen en la resistencia a cortante, tal como la resistencia a tracción del

concreto, medida por el parámetro √𝑓𝑐′, el control de las grietas

expresado por 𝜌𝑤 = 𝐴𝑠/𝑏𝑤𝑑, y la relación del claro de cortante al peralte

𝑀/𝑉𝑑 (Park y Paulay, 1980).

𝑉𝑐

𝑏𝑤𝑑= 1,9𝜆√𝑓𝑐

′ + 2500𝜌𝑤

𝑉𝑢𝑑

𝑀𝑢≤ 3,5𝜆√𝑓𝑐

′ (𝑝𝑠𝑖) Ecuación 3-20

𝑉𝑐

𝑏𝑤𝑑= (0,16𝜆√𝑓𝑐

′ + 17𝜌𝑤

𝑉𝑢𝑑

𝑀𝑢) ≤ 0,29𝜆√𝑓𝑐

′ (𝑀𝑃𝑎) Ecuación 3-21

donde:


𝑏𝑤 = Ancho del alma 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del

refuerzo longitudinal en tracción 𝜆 = Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas

reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los concretos de peso

normal de igual resistencia a la compresión


𝜌𝑤 = Cuantía del área de refuerzo 𝐴𝑠 evaluada sobre el área 𝑏𝑤𝑑 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección

𝑀𝑢 = Momento mayorado en la sección

Al calcular 𝑉𝑐 por medio de la Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21, 𝑉𝑢𝑑/𝑀𝑢 ≤1,0 se limita con ello el valor de 𝑉𝑐 cerca de los puntos de inflexión, pero

esta limitante no debe considerarse cuando se presenta compresión, y

𝑀𝑢 ocurre simultáneamente con 𝑉𝑢 en la sección considerada (NSR-10).

Según Rochel (2007), la Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21 ha sido deducida

por I. M. Viest basado en los resultados experimentales obtenidos por J.

Morrow y relaciona el esfuerzo cortante con las variables más importantes

que influyen en él. Los parámetros usados en dicha ecuación se

determinaron experimentalmente en vigas de sección transversal

constante sin refuerzo transversal, con una o dos cargas concentradas

mediante 194 ensayos. Representando en un sistema de coordenadas

rectangulares los resultados de los ensayos se observa que la tendencia

central de estos puede expresarse mediante dos líneas rectas, como se

muestra en la Figura 3.17.

A menudo no se justifica la utilización del segundo término de la Ecuación

3-20 o Ecuación 3-21 y mejor se supone que es igual a 0,01√𝑓𝑐′ (véase el

área sombreada de la Figura 2.11), de manera que puede obtenerse un

diseño igualmente satisfactorio usando la expresión más simple y

ligeramente más conservadora, dada por la Ecuación 3-9 (Park y Paulay,

1980).

Figura 3.17 Comparación de la Ecuación 3-20 y la Ecuación 3-21 con los resultados

experimentales (modificada de: Park y Paulay, 1980)

3.2.3 RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL REFUERZO PARA CORTANTE

Para el cálculo del aporte de la resistencia del refuerzo que trabaja a

cortante se ha recurrido a la analogía con una cercha de cuerdas

paralelas. Según los trabajos publicados independientemente en 1899 y

1902 por el ingeniero suizo W. Ritter y el ingeniero alemán E. Mörsch,

respectivamente (Wight y MacGregor, 2012). En la analogía se considera

que la viga se comporta internamente como una cercha en la que los

elementos de compresión (cordón superior y diagonales) están

constituidos por el concreto presente en la viga, y los elementos a

tracción están constituidos por el refuerzo longitudinal inferior de flexión

actuando como tirante y el refuerzo de cortante transversal actuando

como montante (Hernandez y Gil, 2007).

Esta analogía consiste en cuatro supuestos básicos (ACI, 1962):

1. Los elementos de compresión, correspondientes al cordón superior y

las diagonales, sólo soportan esfuerzos de compresión.

2. Los elementos a tracción, que se constituyen por el refuerzo

longitudinal inferior de flexión, únicamente resisten esfuerzos de

tracción.

3. Todos los esfuerzos de tracción inclinados y verticales son atendidos

por el refuerzo de cortante transversal (estribos y barras dobladas).

4. Una grieta de tensión diagonal se extiende desde el refuerzo

longitudinal inferior de flexión hasta una altura vertical igual a 𝑗𝑑 que

corresponde al brazo efectivo del momento interno.

Figura 3.18 Analogía de la cercha (modificada de: Rochel, 2007)

donde:

𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas 𝛽 = Inclinación de las fisuras en el concreto 𝑛 = Número de barras transversales que cortan una fisura 𝑠 = Separación horizontal del refuerzo transversal

𝐴𝑣 = Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante

𝑓𝑦𝑡 = Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal

𝑉𝑠 = Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal

𝑗𝑑 = Brazo de momento interno

Del polígono de fuerzas dibujado para un nudo en la Figura 3.18 se

obtiene la Ecuación 3-22, usada para una barra individual o un grupo de

barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo (Park y

Paulay, 1980).

𝑉𝑠 = 𝐶𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑇𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴𝑣fyt 𝑠𝑒𝑛 𝛼 Ecuación 3-22

donde:


𝐶𝑑 = Resultante de las compresiones de las bielas de concreto 𝛽 = Inclinación de las fisuras en el concreto 𝑇𝑠 = Resultante de las tracciones del refuerzo para cortante 𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas



Para la cercha pueden determinarse sus fuerzas con consideraciones de

equilibrio y obtenerse la ecuación general (Ecuación 3-23) basándose en

la Figura 3.18 (Park y Paulay, 1980).

𝑉𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡 𝑠𝑒𝑛 α (cot 𝛽 +cot α) 𝑑

𝑠 Ecuación 3-23

donde:




𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas 𝛽 = Inclinación de las fisuras en el concreto 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del

refuerzo longitudinal en tracción 𝑠 = Separación horizontal del refuerzo transversal

La Ecuación 3-24 se obtiene de la Ecuación 3-23 suponiéndose que la

pendiente de las diagonales a compresión es de 45° respecto al eje del

elemento; esta suposición es conservadora porque aunque por medio de

los diferentes ensayos se ha observado que la pendiente de las grietas

diagonales es variable a lo largo de la viga. Si se tuviera un valor para 𝛽

menor a 45° se reduciría la cantidad de acero necesaria debido a que

para una grieta plana habría un mayor número de estribos

atravesándola. Por otro lado, la pendiente de las diagonales a

compresión mayor a 45° se da en la cercanía a cargas concentradas

donde el efecto arco mejora la capacidad de los otros mecanismos de

resistencia a cortante (Park y Paulay, 1980).

𝑉𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡 (𝑠𝑒𝑛 𝛼 + cos 𝛼) 𝑑

𝑠 Ecuación 3-24

donde:




𝛼 = Inclinación de los estribos y/o barras dobladas 𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del


Para obtenerse la Ecuación 3-25, se supone también que la pendiente de

las diagonales a compresión es de 45° respecto al eje del elemento y que

aplica para el caso en que el refuerzo para cortante estará perpendicular

al eje del elemento (𝛼 = 90°) (Park y Paulay, 1980).

𝑉𝑠 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑

𝑠 Ecuación 3-25

donde:




𝑑 = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del


La obtención de estas expresiones para el cálculo del aporte de

resistencia a cortante proporcionada por el refuerzo para cortante es un

procedimiento lógico y racional; sin embargo, existen algunos aspectos

que se cuestionan respecto a los supuestos implicados en la analogía de

la cercha (ACI, 1962):

1. Todas las tracciones inclinadas se consideran resistidas por el refuerzo

de cortante y no se considera la resistencia que tiene el concreto del

alma ante la tensión diagonal.

2. Se supone que las grietas diagonales están inclinadas en un ángulo

de 45 grados; sin embargo, como ya se explicó esta suposición es

algo conservadora aunque la metodología debería permitir que el

ingeniero calculista elija el ángulo a su criterio.

3. El supuesto de que la grieta de tensión diagonal se extiende hasta

una altura vertical igual a 𝑗𝑑, es a conveniencia y no cuenta con el

respaldo de los resultados experimentales. El refuerzo de cortante

transversal actúa únicamente después de que se forman las grietas

por la tensión diagonal. La altura alcanzada por una grieta diagonal,

que regula el número de estribos necesarios para resistir la tensión

diagonal, depende de muchos factores. Por lo tanto, esta suposición

es cuestionable.

4. No se tiene claridad de la manera como se distribuye la fuerza de

cortante entre el refuerzo de cortante, el refuerzo longitudinal de

flexión y la zona de compresión; aunque se sabe que los dos últimos

elementos contribuyen considerablemente porque con pruebas de

laboratorio se ha obtenido que la capacidad a cortante total de una

viga es mayor que lo que se calcula como la contribución del refuerzo

de cortante; pero, esta dificultad se ha superado con el

procedimiento actual que considera el complemento que se da

entre las resistencias del mecanismo de cercha y el mecanismo de

viga.

5. El análisis de la analogía con la cercha se basa en la suma de fuerzas

verticales. Los efectos del refuerzo para cortante para la capacidad

a flexión o la afectación a momento generada por el mismo refuerzo

para cortante, se ignoran.

Ampliando el cuarto aspecto, según Park y Paulay (1980) la presencia de

refuerzo para cortante tal como estribos aporta a los mecanismos

principales de la resistencia a cortante, mencionados en el numeral 3.2.2,

una fuerza de adherencia conocida como “efecto cercha” y les mejora

aspectos tales como:

1. Por el hecho de poder sostener el refuerzo longitudinal a pesar de la

aparición de grietas, el refuerzo para cortante contribuye al

mecanismo del efecto dovela.

2. Al generar, producto de la configuración, una especie de triangulo

de fuerzas (cercha), cambia el comportamiento de tensión por flexión

que se tenía en el bloque de voladizo por una compresión diagonal

que efectivamente es más favorable para un elemento de concreto.

3. Las aberturas de las grietas que se generan entre los bloques de

voladizo resultan limitadas por el refuerzo para cortante que dificulta

la separación entre dichos bloques y conserva la transferencia de

cortante que se da mediante el mecanismo ocasionado por la

trabazón del agregado.

4. El confinamiento que puede generarse en el concreto con el refuerzo

para cortante en forma de estribos, mejora la capacidad a

compresión muy conveniente en zonas afectadas por el efecto arco.

5. Impide la ruptura de la adherencia cuando se desarrollan grietas de

desgajamiento en las zonas de anclaje debido a las fuerzas de dovela

y anclaje.

Otros aspectos importantes para considerar respecto al refuerzo de

cortante son:

Las ecuaciones obtenidas con la analogía de la cercha consideran que

todos los estribos que atraviesan una fisura inclinada se plastifican al

momento de la falla; pero para que esto pueda darse deben estar

correctamente anclados y como la distancia de anclaje disponible entre

la fisura en el extremo del elemento puede ser muy pequeña, se

recomienda usar barras de diámetro pequeño (Herreros, 2004). Para que

los estribos puedan desarrollar su resistencia a cedencia en toda su

longitud es importante que se doblen alrededor de fuertes barras

longitudinales y que se extiendan una adecuada longitud de desarrollo


El refuerzo transversal cumplirá con su función de resistir el esfuerzo

cortante si es atravesado por la fisuración diagonal y por ese motivo se

deberá limitar la separación máxima del refuerzo para cortante a una

distancia menor que la altura útil del elemento, 𝑑 (Herreros, 2004).

Efectivamente, tanto el refuerzo longitudinal como el transversal evitan

que las fisuras se amplíen más de lo necesario para que el mismo refuerzo

empiece a trabajar a tensión axial (Wight y MacGregor, 2012). Pero la

capacidad del modelo de la analogía con la cercha depende de la

posición adoptada para el refuerzo transversal porque aunque lo ideal

sería disponer el refuerzo de manera que siga las trayectorias de los

esfuerzos principales de tracción, es poco práctico por lo complicado

que resultaría seguir esas trayectorias; y si así se colocara, no sería bueno

para vigas que deban soportar cargas que se invierten (como en eventos

sísmicos) debido a que las grietas llegarían a ser paralelas al refuerzo

inclinado, lo que lo dejaría inservible. Además, usando estribos inclinados

no se cumpliría con la compatibilidad de las deformaciones puesto que

el acero se deformaría más que el concreto, generándose fisuras y

ocasionando redistribución de esfuerzos (Rochel, 2007).

El estribo en las esquinas debe asegurarse ajustadamente a una barra

longitudinal, de refuerzo para flexión, de tal manera que se dé el efecto

cercha con la transferencia de carga que le hace el estribo al pasador

en la unión con el refuerzo longitudinal y evitar que la concentración de

esfuerzos en este lugar produzca el aplastamiento local del concreto

(Park y Paulay, 1980.

Según Park y Paulay (1980), en caso de tener un elemento sometido a

compresiones altas que cuenta con un alma estrecha o un elemento con

demasiado refuerzo transversal para cortante, la falla no sería

seguramente por tensión sino por compresión o sea aplastamiento en el

alma. Y evaluar la resistencia a compresión del alma en las vigas es

complicado porque deben tenerse en cuenta factores adicionales

como:

1. Los puntales diagonales o bielas de compresión también presentan

momentos flexionantes.

2. Los estribos que cruzan los puntales, les transmiten esfuerzos por la

adherencia.

3. Las fuerzas de compresión en los nodos según la analogía con la

cercha, no se distribuyen uniformemente en el alma con lo que se

pueden generar excentricidades y esfuerzos transversales de tensión.

4. Algunas diagonales a compresión pueden estar inclinadas con un

ángulo mucho menor de 45° con respecto al eje del elemento; lo

cual, produce un aumento en los esfuerzos de compresión diagonal.

Lo anterior indica que los esfuerzos diagonales, para prevenir falla

por aplastamiento, deben limitarse bastante respecto a la

resistencia por aplastamiento del concreto. Por este motivo el

reglamento NSR-10 limita la contribución del mecanismo de la

cercha a resistencia a cortante a un valor muy conservador:

0.25√𝑓𝑐′ cuando el refuerzo para cortante consiste en una barra

individual o un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la

misma distancia del apoyo; y 0.66√𝑓𝑐′ para los demás tipos de

refuerzo para cortante.

3.2.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL ELEMENTO A CORTANTE

Debe tenerse presente que el diseño de la viga se hace separando la

flexión y la cortante; con la flexión se dan los requisitos necesarios de

sección transversal y se refuerza menos que a cortante para que la falla

sea por flexión y no por cortante puesto que esta última es repentina y

frágil (Park y Paulay, 1980).

El diseño de secciones transversales sometidas a cortante debe estar

basado en la Ecuación 3-26 (NSR-10).

𝜙𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢 Ecuación 3-26

donde:

𝜙 = Factor de reducción de resistencia 𝑉𝑛 = Resistencia nominal al cortante 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección considerada

La metodología actual para el diseño a cortante de vigas reforzadas es

consciente de lo complejo que resulta el problema porque aunque se

acepta el trabajo simultáneo, para soportar los esfuerzos cortantes, entre

el concreto y el refuerzo para cortante como se aprecia en la Ecuación

3-27, el aporte de cada uno de ellos se calcula por separado

(Rochel, 2007).

𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 Ecuación 3-27

donde:

𝑉𝑛 = Resistencia nominal al cortante 𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto 𝑉𝑠 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante

En un elemento sin refuerzo para cortante, se supone que el cortante lo

resiste el alma de concreto. En un elemento con refuerzo para cortante

se supone que una parte del cortante la proporciona el concreto y el

resto el refuerzo para cortante (NSR-10).

La resistencia al cortante proporcionada por el concreto 𝑉𝑐, se supone

que es la misma para vigas con y sin refuerzo para cortante, y se toma

como el cortante que produce un agrietamiento significativo inclinado;

teniéndose por tanto diversas ecuaciones que se mostraron en el numeral

3.2.2 aplicables a diferentes casos, como: cuando los elementos están

sometidos únicamente a cortante y flexión; cuando los elementos están

sometidos a compresión axial; o cuando los elementos están sometidos a

tracción axial (NSR-10).

Una vez determinada la resistencia nominal al cortante proporcionada

por el concreto 𝑉𝑐, se procede a determinar la resistencia nominal

requerida para ser proporcionada por el refuerzo que trabaja a cortante

𝑉𝑠 de tal manera que esta última sea el complemento necesario para

satisfacer las solicitaciones, como se expresa en la Ecuación 3-28 (NSR-

10).

𝜙𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 − 𝜙𝑉𝑐 Ecuación 3-28

donde:

𝜙 = Factor de reducción de resistencia 𝑉𝑠 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante 𝑉𝑢 = Fuerza cortante mayorada en la sección considerada 𝑉𝑐 = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto

Para el cálculo de la resistencia nominal al cortante porporcionada por

el refuerzo de cortante se recurre a diversas ecuaciones que se

proporcionaron en el numeral 3.2.3 aplicables a diversos casos, como:

donde se utilice refuerzo para cortante perpendicular al eje del

elemento; donde se utilicen estribos inclinados como refuerzo para

cortante; o donde el refuerzo para cortante consiste en una barra

individual o en un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la

misma distancia del apoyo (NSR-10).

Debe colocarse un área mínima de refuerzo para cortante cuando 𝑉𝑢 >0,5𝜙𝑉𝑐; esto debido a que una viga sin refuerzo para cortante es muy

vulnerable a las sobrecargas accidentales que pueden generar fallas

violentas e imprevistas, y con esta exigencia se podrá controlar la

propagación de las fisuras diagonales e incrementar con ello la

ductilidad de la estructura, previéndose una falla frágil (Rochel, 2007).

Para el refuerzo para cortante también existe un límite máximo debido a

que cuando una viga de concreto reforzado debe resistir una fuerza

cortante muy alta se presenta una tensión diagonal de compresión muy

elevada en la parte superior de la fisura y puede ocasionarse una falla

del concreto por aplastamiento. Por lo tanto, para prevenir esta falla se

limita la tracción cortante que puede absorberse con estribos y en caso

de no cumplirse con este límite, necesariamente deben incrementarse las

dimensiones del elemento (Rochel, 2007).

Y finalmente se debe cumplir con unos límites para el espaciamiento del

refuerzo para cortante; lo cual se da para asegurar que una fisura

intercepte al menos un estribo (Rochel, 2007).

3.3 MÉTODO DE LA TEORÍA MODIFICADA DEL CAMPO DE COMPRESIONES

(MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY - MCFT)

La Teoría modificada del campo de compresiones (MCFT) presentado

por Vecchio y Collins (1986) está siendo acogido como metodología de

diseño a cortante por distintas normativas del mundo ya que es una

herramienta con una interpretación física más analítica si lo comparamos

con la metodología clásica presentada en el Reglamento NSR-10.

El método del campo modificado de compresiones trabaja con esfuerzos

promedios y tiene en cuenta la capacidad de las fisuras diagonales para

transmitir a través de ellas esfuerzos cortantes. Esta resistencia a esfuerzos

cortantes de la sección se da en función del refuerzo longitudinal y

transversal que posee la sección.

A continuación se presenta un diagrama de flujo en donde se muestra el

procedimiento que se debe seguir para un adecuado diseño por el

método del MCFT.

Figura 3.19 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT

Determinar β de la fig.

1.8 (Vecchio and Collins)

Determinar θ de la

fig.1.8 (Vecchio and

Collins)

Determinar dv y bw, y la relación de esfuerzo

cortante y f´c:

Suponer una deformación inicial longitudinal

La resistencia nominal a cortante está dada

por:

donde:

𝑉𝑛 = Resistencia nominal al cortante de la sección de concreto fisurado

𝑓´𝑐 = Resistencia a la compresión del concreto

𝜀𝑥 = Deformación longitudinal de la sección fisurada

𝜃 = Ángulo de inclinación de las fisuras del concreto

𝑉𝑐 = Resistencia a esfuerzos cortantes proporcionada por el concreto

𝑉𝑠 = Resistencia a esfuerzos cortantes proporcionada por el acero de refuerzo

𝑉𝑢 = Cortante última que siente la sección por fuerzas externas y peso propio

𝛽 = Factor que indica la capacidad del concreto de transmitir cortante a través

de las fisuras diagonales

3.3.1 CAMPOS DE COMPRESIONES

Un elemento de concreto reforzado debe de soportar una combinación

de esfuerzos generados por momentos, cortantes y torsiones que hacen

que se generen fisuras cuyas trayectorias y anchos son complejos de

predecir; esto es debido a que las fisuras dependen tanto de la magnitud

de dichos esfuerzos como de la geometría y calidad de los materiales del

elemento de concreto.

Según los modelos de cercha de Ritter (1899) and Mörsch (1920,1922) de

los cuales se derivan los métodos actuales de diseño, la contribución que

tiene el concreto dentro de la capacidad de un elemento de concreto

reforzado totalmente fisurado es nula o despreciable, una expresión

conservadora para representar matemáticamente el esfuerzo cortante

máximo que resiste una sección está dada por:

𝜈 =

𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑏𝑤𝑠= 𝜌𝑣𝑓𝑦 Ecuación 3-29

donde:

𝐴𝑣 = Área de refuerzo de cortante a una distancia s (mm2)

𝑏𝑤 = Ancho del alma de la viga (mm2)

𝑆 = Separación del refuerzo de cortante o torsión paralelo al refuerzo

longitudinal (mm)

𝑓𝑦 = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (MPa)

𝜌𝑣 = Área de refuerzo de corte a una distancia s (mm2)

𝑣 = Resistencia de la sección a esfuerzos cortantes (MPa)

La expresión anterior se considera conservadora ya que se supone que

las fisuras que se forman debido a los esfuerzos de compresión diagonal

se generan a 45 grados con respecto al eje longitudinal, sin embrago, los

ángulos son típicamente menores y una expresión más general estaría

dada por:

𝜈 = 𝜌𝑣𝑓𝑦cot (𝜃) Ecuación 3-30

donde 𝜃 es el ángulo de inclinación de la fisura generada en el concreto.

3.3.2 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (COMPRESSION FIELD

THEORY)

Collins y Mitchell (1974) y Collins (1978) basados en el trabajo de Wagner

(1929), quien estudió el cortante en la superficie de aeronaves,

desarrollaron un método para hallar el ángulo en el cual se formaban las

fisuras mencionadas en la sección anterior (ángulo) en miembros

sometidos a torsión y a cortante. El método desarrollado es conocido hoy

en día como COMPRESSION FIELD THEORY (CFT) o Teoría del campo de

compresiones.

Los esfuerzos cortantes producen tracciones tanto en el refuerzo

longitudinal (𝑓𝑠𝑥) como en el transversal (𝑓𝑠𝑦) y un esfuerzo de

compresión 𝑓2 en las fisuras inclinadas que se forman en el concreto,

muestra las relaciones del método de la teoría del campo de

compresiones:

Figura 3.20 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada

de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)

Teniendo en cuenta el diagrama de cuerpo libre y el circulo de esfuerzos

de las Figura 3.20 (a) y Figura 3.20 (b) respectivamente, se observa que para

que exista un equilibrio se debe cumplir que las tracciones inducidas por

el esfuerzo cortante 𝑣 en el refuerzo longitudinal 𝑓𝑠𝑥 deben de equilibrarse

con una fuerza de compresión 𝑓𝑐𝑥, similarmente las fuerzas en el refuerzo

transversal 𝑓𝑠𝑦 se deben de equilibrar con una fuerza de compresión 𝑓𝑐𝑦,

las cuales se pueden relacionar geométricamente con el esfuerzo

cortante de la siguiente manera:

𝜌𝑣𝑓𝑠𝑦 = 𝑓𝑐𝑦 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 Ecuación 3-31

𝜌𝑥𝑓𝑠𝑥 = 𝑓𝑐𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 Ecuación 3-32

En donde 𝜌𝑣 y 𝜌𝑥 son respectivamente las cuantías de refuerzo transversal

y longitudinal.

Teniendo en cuenta lo anterior y la Figura 3.20 (b), podemos deducir que

el esfuerzo a compresión inducido a la sección de concreto, el cual está

inclinado un ángulo 𝜃 con respecto a la horizontal (o el refuerzo

longitudinal) está dado por la superposición de las dos ecuaciones

anteriores, lo que se traduce en un esfuerzo igual a:

𝑓2 = 𝑣 (𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃) Ecuación 3-33

Según Wagner (1.929) la dirección del esfuerzo de compresión principal

que puede ser derivada del círculo de Mohr de deformaciones Figura 3.20

(d) la cual se repite a continuación:


de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)

y está dada por:

La anterior ecuación es utilizada para calcular el ángulo de la fisura 𝜃, sin

embargo, hay que tener en cuenta que se necesitan conocer las

relaciones de esfuerzo-deformación del concreto y del refuerzo,

adicionalmente la ecuación anterior es válida bajo la suposición de que

las deformaciones y los esfuerzos en el refuerzo están relacionados por

una relación lineal como se presenta en las Figura 3.20 (e) y Figura 3.20 (f).

Posterior a una serie de ensayos en diferentes vigas, Collins (1978) postuló

que a medida que la deformación del círculo de Mohr se hace más

𝑡𝑎𝑛2𝜃 =

𝜀𝑥 + 𝜀2

𝜀𝑦 + 𝜀2 Ecuación 3-34

grande, el esfuerzo de compresión requerido para fallar el concreto

𝑓2𝑚𝑎𝑥 se hace más pequeño como se ven en la Figura 3.20 (h). Las

relaciones propuestas fueron:

𝑓2𝑚𝑎𝑥 =3,60𝑓´𝑐

1 + 2(𝛾𝑚/𝜀´𝑐) Ecuación 3-35

donde:

𝛾𝑚 = Diámetro del circulo de deformaciones (ε1 + ε2)

𝜀′𝑐 = Deformación que alcanza el concreto en la prueba de cilindro cuando este

ya tiene su resistencia máxima f´c

Para valores de f2 menores que 𝑓2𝑚𝑎𝑥 se tiene que:

𝜀2 =

𝑓2

𝑓´𝑐𝜀´𝑐 Ecuación 3-36

Como es de esperarse, si las deformaciones 𝜀1 y 𝜀2 aumentan, también

lo hace el ancho de la fisura en el concreto; debido a que la resistencia

a compresión diagonal es inversamente proporcional al diámetro del

círculo de esfuerzos como se puede apreciar en la Ecuación 3-35 se

puede observar que la capacidad del concreto para transmitir esfuerzo

cortante a través de las fisuras depende del ancho de estas, las cuales, a

su vez, está relacionadas con el esfuerzo a tracción del concreto.

Del círculo de deformaciones presentado la Figura 3.20 (d) se puede

deducir (por medio de relaciones de triángulos y propiedades

trigonométricas) que la deformación principal de tracción 𝜀1 se puede

expresar en términos de las deformaciones 𝜀𝑥, 𝜀2 y 𝜃 como se presenta en

la Figura 3.22 y la Ecuación 3-37 :


de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)

𝜀1 = 𝜀𝑥 + (𝜀𝑥+𝜀2)𝑐𝑜𝑡2𝜃 Ecuación 3-37

Una expresión para el ángulo puede ser derivada por la reordenación

de las ecuaciones anteriores para obtener para obtener la siguiente

expresión:

𝑡𝑎𝑛4𝜃 = (1 +

1

𝑛𝜌𝑥) / (1 +

1

𝑛𝜌𝑣) Ecuación 3-38

La anterior expresión es para esfuerzos cortantes menores a los de la

fluencia del acero en donde 𝑛 es la relación modular definida como

𝐸𝑠/𝐸𝑐; y 𝐸𝑐 es tomado como 𝑓´𝑐/𝜀´𝑐.

3.3.3 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA CONCRETO

FISURADO DIAGONALMENTE

Vecchio y Collins (1986) propusieron que la máxima tensión de

compresión 𝑓2𝑚𝑎𝑥 que el concreto puede resistir en función de la

deformación principal ε1 es:

𝑓2𝑚𝑎𝑥 =

𝑓´𝑐

0,80 + 170𝜀1≤ 𝑓´𝑐 Ecuación 3-39

Belarbi y Hsu (1995) sugirieron la siguiente expresión:

𝑓2𝑚𝑎𝑥 =0,90𝑓´𝑐

√1 + 400𝜀1

Ecuación 3-40

El enfoque de campo de compresión requiere el cálculo de la

deformación de compresión en el concreto 𝜀2 asociado con el esfuerzo

de compresión 𝑓2 (Ecuación 3-34). Para este propósito, Vecchio y Collins

(1986) sugirieron la siguiente relación de esfuerzo-deformación:

𝑓2 = 𝑓2𝑚𝑎𝑥 [2 (

𝜀2

𝜀´𝑐) − (

𝜀2

𝜀´𝑐)

2

] Ecuación 3-41

En donde 𝑓2𝑚𝑎𝑥 está dado por la Ecuación 3-40 mencionada

anteriormente.

A continuación se muestra una comparación entre varios métodos para

hallar el esfuerzo de compresión máximo 𝑓2 y una serie de resultados

experimentales que se realizaron. En la Figura 3.23 se puede observar que

de las curvas que se muestran la que mejor se adapta a la dispersión de

datos experimentales es la de Veccio y collins (1986), (Ecuación 3-40).

Figura 3.23 Esfuerzo máximo de compresión en función de la deformación principal ε1

(modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)

En la Figura 3.24 se muestra las relaciones de esfuerzo-deformación a

compresión para el concreto fisurado diagonalmente:

Figura 3.24 Relaciones de esfuerzo-deformación de compresión para concreto fisurado

diagonalmente: (a) 𝜀1 y 𝜀2 incrementan proporcionalmente; (b) aumentando primero

𝜀1 y posteriormente 𝜀2 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)

Se puede decir que antes de la fluencia del refuerzo, la deformación

principal a compresión 2 y la deformación principal a tracción 1 se

incrementan proporcionalmente a medida que hay un incremento de

fuerzas cortantes, por lo tanto la relación 1/2 permanece

aproximadamente constante.

Una de las falencias que se encontró en este método fue que el CFT

asume que después de la fisuración no habrá esfuerzos de tracción en el

concreto; esto como se verá en la MCFT no es cierto.

Las investigaciones de Vecchio y Collins (1986) y de Belarbi y Hsu (1994)

concuerdan en que después de la fisuración el esfuerzo promedio

principal de tracción en el concreto disminuye a medida que las

deformaciones principales a tracción (1) aumentan, sin embargo, este

aporte no es nulo como se asume en la metodología de CFT.

Collins y Mitchell (1991) sugieren que una relación adecuada es la que se

presenta a continuación:

𝑓1 =0,33√𝑓´𝑐

1 + √500𝜀1

Ecuación 3-42

Mientras Belarbi y Hsu (1994) sugieren:

𝑓1 =0,31√𝑓´𝑐

(12.500𝜀1)0,4 Ecuación 3-43

Las tracciones tomadas por el concreto, incluso cuando existe fisuración

tienen un efecto favorable en la capacidad del concreto reforzado para

resistir esfuerzos cortantes; estos efectos son considerados en la teoría del

MCFT desarrollada por Vecchio y Collins en 1986, a continuación se

realiza una descripción del método del MCFT.

3.3.4 MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT)

Desarrollada por Vecchio y Collins en 1986 la MCFT es una versión

modificada de la teoría de campos de compresión (CFT), que como se

mencionaba anteriormente tiene en cuenta la influencia de la resistencia

del concreto fisurado en la capacidad a cortante de una sección.

Análogamente a la teoría del campo de compresiones (CFT), la Teoría

Modificada de los Campos de Compresión (MCFT), se deduce del análisis

de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las

relaciones de esfuerzo-deformación tanto del acero como del concreto,

tal como se muestra en la Figura 3.20; la diferencia radica en que en este

método se tiene en cuenta el aporte del concreto fisurado a resistir fuerza

cortante debido a una resistencia a esfuerzos de tracción "𝑓1”. Estas

mencionadas anteriormente se pueden derivar de las Figura 3.25 (a) y (b)

que se presentan a continuación:

Figura 3.25 Relaciones del MCFT (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE

Comité 445, 1999)

𝜌𝑣𝑓𝑠𝑦 = 𝑓𝑐𝑦 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑓1 Ecuación 3-44

𝜌𝑥𝑓𝑠𝑥 = 𝑓𝑐𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑓1 Ecuación 3-45

𝑓2 = 𝑣(𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃) − 𝑓1 Ecuación 3-46

Según Vecchio y Collins (1986) el patrón de las grietas se puede idealizar

como una serie de grietas paralelas, en donde estas se generan en un

ángulo con respecto al refuerzo longitudinal y con un espaciamiento

s. De las Figura 3.25 (c) y (d), se puede deducir que el esfuerzo en el

refuerzo en una grieta se puede determinar como:

𝜌𝑣𝑓𝑠𝑦𝑒𝑟 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑣𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝜃 Ecuación 3-47

𝜌𝑥𝑓𝑠𝑥𝑒𝑟 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑣𝑐𝑖𝑐𝑜𝑡𝜃 Ecuación 3-48

Se debe tomar el valor máximo posible de VCI (Bhide y Collins 1989), este

valor está relacionado con el ancho de la grieta (𝑤) y el tamaño total

máximo del agregado (representado como 𝑎) dicha relación se ilustra en

la Figura 3.25 (f) y está dada por:

𝑣𝑐𝑖 ≤ (0,18√𝑓´𝑐)/ (0,30 +24𝑤

𝑎 + 16) Ecuación 3-49

El ancho de fisura 𝑤 se toma como el espaciamiento de la grieta

multiplicado por la deformación principal a tracción 1.

Igualando los lados derechos de las Ecuación 3-44 y Ecuación 3-47 y

sustituyendo Vci de la Ecuación 3-49 se tiene que:

𝑓1 ≤ (0,18√𝑓´𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃)/ (0,30 +24𝑤

𝑎 + 16) Ecuación 3-50

A continuación se presenta una tabla que representa la influencia del

espaciamiento de la fisura en la capacidad para resistir esfuerzos

cortantes:

Figura 3.26 Influencia del espaciamiento de las fisuras en la predicción de la resistencia

a cortante (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999).

3.3.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO BASADO EN MODIFIED COMPRESSION

FIELD THEORY

Basados en las relaciones del MCFT (Figura 3.25) y en las Ecuación 3-44 a

Ecuación 3-46 se pueden obtener expresiones para calcular la resistencia

a cortante de un elemento, si se supone que el esfuerzo cortante en el

alma es igual a la fuerza de cortante dividida por el área efectiva de

cortante (𝑏𝑤𝑑𝑣), y que, al momento de la falla los estribos entrarán en

fluencia, dicha resistencia a cortante del elemento está dada por:

𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠+𝑉𝑝 Ecuación 3-51

𝑉𝑛 = 𝑓1𝑏𝑤𝑑𝑣𝑐𝑜𝑡𝜃 +𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑠𝑑𝑣𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑉𝑝 Ecuación 3-52

𝑉𝑛 = 𝛽√𝑓´𝑐𝑏𝑤𝑑𝑣 +𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑠𝑑𝑣𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑉𝑝 Ecuación 3-53

donde:

𝑉𝑐 = Resistencia al cortante que aporta el concreto por esfuerzos de tracción en

el concreto fisurado.

𝑉𝑠 = Resistencia al cortante que aporta el acero transversal (estribos).

𝑉𝑝 = Componente vertical de la fuerzas de presforzado.

𝑏𝑤 = Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (MPa).

𝑑𝑣 = Profundidad efectiva de cortante tomada como la distancia media al

centroide del refuerzo pero no menor a 0.9d.

𝛽 = Factor que indica la capacidad del concreto fisurado diagonalmente a

resistir esfuerzos de cortante

El esfuerzo a cortante que el alma de una viga puede resistir es una

función de la deformación longitudinal del elemento, se hace evidente

con lo visto anteriormente que cuanto más grande es esta deformación

longitudinal mayor se hace el tamaño de la grieta y por lo tanto el

esfuerzo de corte necesario para fallar la sección será menor. Para los

cálculos de diseño, 𝜀𝑥 se puede aproximar como la deformación en la

cuerda de tensión de la cercha equivalente. Por lo tanto:

𝜀𝑥 = (

𝑀𝑢𝑑𝑣

⁄ ) + 0.5𝑁𝑢 + 0.5𝑉𝑢𝐶𝑜𝑡𝜃 − 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑜

𝐸𝑠𝐴𝑠 + 𝐸𝑝𝐴𝑝𝑠 Ecuación 3-54

Pero no mayor a 0.002.

donde:

𝑓𝑝𝑜 = Esfuerzo en el cable cuando el concreto circundante no tiene esfuerzos,

este puede ser tomado como 1.1 veces el esfuerzo efectivo en el acero

preesforzado después de todas las pérdidas.

𝐴𝑠 = Área de refuerzo convencional colocado en la zona a tracción

𝐴𝑝𝑠 = Área del refuerzo longitudinal tensado colocado en la zona a tracción

𝑀𝑢 = Momento último que siente la sección tomado como positivo

𝑁𝑢 = Fuerza axial en la sección tomada como positiva en tracción y negativa en

compresión

Si 𝜀𝑥 y el espaciamiento de fisuras s son conocidos, la capacidad de

resistir corte correspondiente a una cantidad dada de estribos se puede

calcular, ver Figura 3.26. Esto es equivalente a encontrar y reemplazar los

valores de y en la Ecuación 3-53.

Para determinar los valores de and se utiliza la teoría del campo de

compresión modificado (Vecchio y Collins 1986), esto es correcto utilizarlo

en miembros con un refuerzo mínimo en el alma, dichos valores se dan en

la Figura 3.27. En la determinación de estos valores, se supuso que la

cantidad y el espaciamiento de los estribos limitarían la separación de las

fisuras a aproximadamente 300 mm. Los valores de se dan en la Figura

3.27 asegurándose de que la deformación por tracción en los estribos, v,

es por lo menos igual a 0.002 y que el esfuerzo de compresión, 𝑓2, en el

concreto no supere la resistencia al aplastamiento 𝑓2𝑚𝑎𝑥. Dentro del rango

de valores de que satisfacen estos requisitos, los valores indicados en la

Figura 3.27, son un resultado de la cantidad más pequeña de refuerzo

cortante total que se requiere para resistir un esfuerzo cortante dado.

El refuerzo mínimo especificado en el ACI-318 y en la AASHTO-LRFD-2014,

para proporcionar ductilidad y utilizar los ábacos del MCFT se da como:

𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑏𝑤𝑠≥ 0,083√𝑓´𝑐 Ecuación 3-55

𝐴𝑣 = Área del refuerzo transversal colocado en la sección de concreto (mm2).

𝑓𝑦 = Esfuerzo de fluencia del acero (MPa).

𝑏𝑤 = Ancho de la sección de concreto (mm).

𝑆 = Separación del refuerzo transversal de la sección de concreto (mm).

𝑓´𝑐 = Resistencia a la compresión del concreto (MPa).

Es importante resaltar que en el Reglamento NSR-10 el refuerzo mínimo

dado es menor que en las normas que consideran un diseño por MCFT,

por esta razón la anterior fórmula es basada en los reglamentos que se

mencionan y no en el Reglamento NSR-10.

Figura 3.27 Valores de β y θ para miembros que contienen la cantidad mínima de

estribos (tomada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)

A continuación se presenta un diagrama de flujo en el cual se resume el

procedimiento de diseño basado en la Teoría de campos modificada

desarrollada por (Vecchio y Collins, 1986).

Figura 3.28 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT

4 COMPARACIÓN NUMÉRICA ENTRE MÉTODOS DE DISEÑO A CORTANTE

Con el objetivo de realizar una comparación entre las cantidades de

refuerzo que se debe de colocar a una viga bajo cierto estado de

cargas, se realizará el diseño a cortante de una viga de concreto

reforzado por el método tradicional de diseño y por el método del MCFT.

Las condiciones de apoyo bajo las que se diseñará será empotrada-

empotrada y se diseñará para un cortante localizado a una distancia 𝑑𝑣

de la cara del apoyo.

A continuación se presenta un diagrama de la geometría y cargas bajo

las que se analizará la viga:

Figura 4.1 Geometría y carga de viga empotrada a analizar

Para la viga anteriormente mostrada se supondrá que sus extremos están

en condiciones de empotramiento, condición a la cual se puede llegar

con una rigidez adecuada de las columnas, esta viga está sometida a

una carga 𝑊 = 75 𝑘𝑁/𝑚 la cual representa la carga última de diseño

(incluyendo carga muerta). Para una viga con esta geometría y bajo

estas condiciones de carga se tiene que la distribución de momento y

cortante está dada por:

Figura 4.2 Diagrama de momentos

Figura 4.3 Diagrama de cortantes

4.1 DISEÑO A FLEXIÓN DE LA VIGA

Para el diseño a flexión de la viga anteriormente presentada se utilizarán

los lineamientos clásicos y las hipótesis de diseño tradicionales. Para este

caso y teniendo en cuenta las especificaciones de la NSR-10 se tiene que

la resistencia última para una viga rectangular está dada por:

𝜑𝑀𝑛 = 𝜑𝐴𝑠𝑓𝑦 (𝑑 −𝑎

2)

Ecuación 4-1

en donde el término 𝑎 está dado por:

𝑎 =𝐴𝑠𝑓𝑦

0,85 𝑓´𝑐𝑏 Ecuación 4-2

donde:

As = Área de acero colocada a flexión

fy = Esfuerzo de fluencia del acero (420 MPa)

f´c = Resistencia última a compresión del concreto (28 MPa)

d = Altura efectiva de la viga (distancia desde la fibra superior hasta la

localización del esfuerzo a tracción)

a = Altura del bloque de compresión de Whitney

φ = Factor de subresistencia para diseño por resistencia última (NSR-10)

Para que el diseño de la viga sea adecuado se requiere que los

momentos resistentes en cualquier sección de la viga sean menores a los

momentos resistentes en dichas secciones, a continuación se presenta un

diagrama de áreas el cual muestra el área mínima de refuerzo necesaria

para suplir el momento actuante en varios puntos de la viga:

Figura 4.4 Diagrama de áreas

A partir del diagrama de áreas anteriormente mostrado se puede

proceder a realizar el despiece del refuerzo longitudinal de la viga, como

se muestra a continuación:

Figura 4.5 Despiece a flexión de viga

Una vez realizado el diseño a flexión de la viga se puede proceder a

realizar el diseño a cortante.

4.2 DISEÑO A CORTANTE DE LA VIGA

A continuación se realiza el diseño a esfuerzos cortantes por las

metodologías vistas en el presente documento:

4.2.1 MÉTODO NSR-10 (BASADO EN ACI-318)

Para el diseño de la sección bajo la metodología tradicional, la cual ha

sido aceptada por muchas normas de diseño alrededor del mundo, se

seleccionará como es común en este tipo de vigas un cortante último

leído a una distancia 𝑑 = 0.45 𝑚 de la cara de la columna. El valor del

cortante corresponde a 191,25 kN; para el cálculo de la resistencia se

tiene que la resistencia nominal al cortante está dada por:

𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠

En donde el diseño está basado en que la resistencia última del elemento

está dado por la resistencia nominal a cortante multiplicado por un factor

de reducción de resistencia, el cual, debe ser mayor al cortante último

en la sección:

𝜑𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢

A continuación se calcularán las resistencias proporcionadas por el

concreto y el acero, estás resistencias están dadas por:

𝑉𝑐 = 0,17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 = 0,17 × 1 × √28 × 0,40 × 0,45 × 1000

𝑽𝒄 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟗𝟐 𝒌𝑵

𝑉𝑠 ≥𝑉𝑢

𝜑− 𝑉𝑐 =

191,25 𝑘𝑁

0,75− 161,92

𝑽𝒔 ≥ 𝟗𝟑, 𝟎𝟖 𝒌𝑵

Seleccionando una barra #3 para los estribos de la viga tenemos que el

espaciamiento que requiere es igual a:

𝑠 =𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡𝑑𝑣

𝑉𝑠=

(71 × 2) × 420 × 450

93,08 × 1000

𝒔 = 𝟐𝟖𝟖. 𝟑 𝒎𝒎

El refuerzo requerido para suplir dicho cortante es un estribo #3 (dos

ramas) cada 290 mm.

El refuerzo mínimo que debe tener la sección para que sea válida la

anterior metodología de diseño está dada por:

𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,062√𝑓´𝑐

𝑏𝑤𝑠

𝑓𝑦𝑡= 0,062 × √28 ∗

400 × 290

420

𝑨𝒗,𝒎𝒊𝒏 = 𝟗𝟎, 𝟔 𝒎𝒎𝟐

Pero no debe ser menor a:

𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 =0,35𝑏𝑤𝑠

𝑓𝑦𝑡=

0,35 × 400 × 290

420

𝑨𝒗,𝒎𝒊𝒏 = 𝟗𝟔. 𝟔𝟔 𝒎𝒎𝟐

Debido a que la sección posee un refuerzo de 142 mm² se cumple el

refuerzo mínimo.

Es de aclarar que el diseño presentado anteriormente no tiene en cuenta

los requisitos mínimos para estructuras sismos resistentes ni los

espaciamientos mínimos del refuerzo para estructuras en concreto no

pretensado.

Lo anterior se debe a que posteriormente se realizará una comparación

entre las dos metodologías, la cual tiene como objetivo evaluar las

diferencias entre los resultados de dos metodologías de diseño y no las

diferencias entre los requisitos mínimos bajo condiciones sísmicas de las

diferentes normas de diseño.

4.2.2 DISEÑO POR MCFT

Para realizar el diseño a cortante de la viga presentada anteriormente se

seguirá el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.28. Para este diseño

se seleccionará la misma sección localizada a una distancia 𝑑 = 0,45 𝑚

de la cara del apoyo como se realizó en el método anterior, esto con el

objetivo de comparar el diseño por ambos métodos para un mismo

estado de esfuerzos.

Como se mencionó anteriormente, el valor del cortante último en una

sección a una distancia “𝑑” de la cara de la columna corresponde a

191,25 kN con un momento concomitante de 132,20 kN.m. A

continuación se calcula paso a paso (según diagrama de flujo

anteriormente presentado), el diseño a cortante por la metodología del

MCFT.

Para facilitar la realización y comprensión del ejemplo a continuación se

presenta nuevamente el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.28:

𝑃𝑎𝑠𝑜 1

La relación entre el esfuerzo máximo de la sección y el esfuerzo resistente

a la compresión del concreto como paso inicial del diseño (como se

presenta en el diagrama anteriormente presentado):

𝜈𝑢

𝑓´𝑐=

𝑉𝑢

𝑏𝑤 𝑑𝑣 𝑓´𝑐=

191,25

0,40 × 0,45 × 28000

𝝂𝒖

𝒇´𝒄= 𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟗

𝑃𝑎𝑠𝑜 2

Debido a la magnitud de las cargas, se supondrá una deformación

unitaria 𝜀𝑥 en el refuerzo de aproximadamente 0,0013.

𝑃𝑎𝑠𝑜 3

Con lo anteriormente planteado y según la Figura 3.27 los valores de β y θ

toman los siguientes valores:

𝛽 = 0,17 ; 𝜃 = 38.50°

Figura 4.6 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT (Repetición)

𝑃𝑎𝑠𝑜 4

Siguiendo con el diagrama de flujo se recalculará la deformación del

refuerzo longitudinal como se muestra a continuación:

𝜀𝑥 = (

𝑀𝑢𝑑𝑣

⁄ ) + 0.5𝑁𝑢 + 0.5𝑉𝑢𝐶𝑜𝑡𝜃 − 𝐴𝑝𝑠𝑓𝑝𝑜

𝐸𝑠𝐴𝑠 + 𝐸𝑝𝐴𝑝𝑠

Teniendo en cuenta que no existe fuerza axial en la sección, que no se

tiene refuerzo presforzado y un módulo de elasticidad del acero igual a

200000 MPa, la deformación está dada por:

𝜀𝑥 = (132200000

450⁄ ) + 0.50 × 191250𝐶𝑜𝑡(38.50)

200000 × 1617

𝜺𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖

𝑃𝑎𝑠𝑜 5

Debido a que la deformación calculada es menor a la asumida (y muy

similar) continuaremos con el procedimiento de diseño, se aclara que

entre más aproximada sea la deformación supuesta a la calculada más

económico va a ser el diseño, sin embargo la proximidad de estos valores

quedan a criterio del ingeniero diseñador.

𝑃𝑎𝑠𝑜 6

Se tiene que la resistencia nominal a cortante está dada por:

𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 + 𝑉𝑝

𝑃𝑎𝑠𝑜 7

A continuación se calcularán cada una de las componentes de esta

ecuación teniendo en cuenta que 𝑉𝑝 = 0:

Cálculo de 𝑉𝑐:

𝑉𝑐 = 𝛽√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 =0,17 × √28 × 400 × 450

1000

𝑽𝒄 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟗𝟎 𝒌𝑵

Cálculo de 𝑉𝑠:

𝑉𝑠 ≥𝑉𝑢

𝜑− 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝 =

191,25

0.75− 161,90 − 0

𝑽𝒔 ≥ 𝟗𝟑, 𝟎𝟖 𝒌𝑵

Teniendo en cuenta que utilizaremos barras #3 para el diseño se tiene

que:

𝑠 =𝐴𝑣 𝑑𝑣 𝐶𝑜𝑡𝜃𝑓𝑦

𝑉𝑠=

71 × 2 × 450 × cot (38.50) × 420

93080

𝒔 = 𝟑𝟔𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝒎

El refuerzo requerido para suplir dicho cortante es un estribo #3 (dos

ramas) cada 360 mm.

Debido a que no se tienen fuerzas de pretensado la resistencia

proporcionada por la fuerza de este es cero:

𝑉𝑝 = 𝐹 𝑆𝑖𝑛𝛼 = 0

Ahora se procederá a calcular la resistencia total de la sección a

cortante:

𝑉𝑛 = 161,90 +71 × 2 × 450 × cot (38.50) × 420

360 × 1000+ 0

𝑉𝑛 = 255,62 𝑘𝑁

El factor de reducción de resistencia considerado para el cortante será

de 0,75 para ser consecuentes con el ejemplo anterior, con lo cual se

tiene que la resistencia última a cortante es:

𝜑𝑉𝑛 = 255,62 ∗ 0,75 = 191,71 𝑘𝑁 > 191,25 𝑘𝑁

𝝋𝑽𝒏 = 𝟏𝟗𝟏, 𝟕𝟏 𝒌𝑵 > 𝟏𝟗𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 → 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆

𝑃𝑎𝑠𝑜 8

El procedimiento anterior se realizó bajo la hipótesis de que la sección de

concreto a diseñar posee un refuerzo mínimo, el cual otorga ductilidad a

la sección. Existen también ábacos para el cálculo de β y θ para

secciones que tienen menos de este refuerzo mínimo mencionado, sin

embargo este tema no está dentro del alcance de este trabajo y se invita

al lector que consulte las referencias adjuntas para profundizar en el

tema. Para realizar el diseño por el método MCFT es necesario que la

sección tenga un refuerzo transversal mínimo, en este caso los

reglamentos ACI-318-14 y AASTHO LRFD-2014 concuerdan en que en

elementos de concreto no presforzado el refuerzo mínimo está dado por:

𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑏𝑤𝑠> 0,083 √𝑓´𝑐 Ecuación 4-3

El ACI-318-14 tiene otra restricción y limita el refuerzo a:

𝐴𝑣𝑓𝑦

𝑏𝑤𝑠> 0,35 Ecuación 4-4

Lo cual, es equivalente a tener un concreto de 35 MPa en la Ecuación

4-3, debido a que los pórticos de concreto están regidos por el ACI-318

más que por la AASTHO se respetarán los dos límites establecidos por esta.

Con el refuerzo anteriormente presentado se garantiza que la variación

de β y θ cumplen con los ábacos presentados en la Figura 3.27.

Para un concreto de 28 MPa gobierna la Ecuación 4-4, con lo cual se

obtiene un refuerzo de 133.4 mm2 cada 400 mm. Dicho refuerzo se suple

con un estribo #3 (dos ramas) espaciados cada 400 mm.

Debido a que el refuerzo colocado es mayor al mínimo, concluimos que

la cantidad de refuerzo puesto en la sección es adecuada.

𝑃𝑎𝑠𝑜 9

Como se puede observar la resistencia última a fuerzas cortantes en la

sección de análisis es mayor que la solicitación. A continuación se realiza

la verificación de las fuerzas en el refuerzo longitudinal considerando los

efectos combinados de momento, fuerza axial y cortante:

𝐴𝑠𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑝𝑓𝑝𝑠 ≥𝑀𝑢

𝜑𝑑𝑣+

0.5𝑁𝑢

𝜑+ (

𝑉𝑢

𝜑− 0.5𝑉𝑠 − 𝑉𝑝) 𝑐𝑜𝑡𝜃

1617 × 420

1000+ 0 ≥

132200

0.9 × 450+ 0 + (

191,25

0,75− 0,50 × 93,10 − 0) cot (38,50)

𝟔𝟕𝟗, 𝟏𝟒 𝒌𝑵 ≥ 𝟔𝟏𝟏, 𝟕𝟗 𝒌𝑵 → 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆

Es de resaltar que según los lineamientos del reglamento AASTHO-2014 los

valores de β y θ pueden ser calculados con las ecuaciones presentadas

allí y no con ábacos, no obstante en el apéndice B5 del mismo se

encuentran estos valores tabulados según los resultados obtenidos por

Collins and Mitchell (1991).

5 CONCLUSIONES

En este trabajo se realizó una recopilación de información acerca de los

métodos de diseño a cortante en vigas de concreto reforzado basadas

en dos metodologías, la primera consta de la metodología clásica que

se viene utilizando tradicionalmente en las diferentes normativas de

diseño, la cual está basada en las investigaciones y publicaciones

realizadas por el ACI-ASCE Comité 326 (1962), y en la cual se basa el

reglamento NSR-10; la segunda es la metodología desarrollada por

Vecchio y Collins (1986) llamada Modified Compression Field Theory

(MCFT).

Se puede observar en el presente trabajo que la metodología de la MCFT

posee un desarrollo más analítico que la metodología que se utiliza

actualmente en el Reglamento NSR-10, esto debido a que el método

tradicional se basa en una serie de ensayos y estudios empíricos que se

desarrollaron el ACI y el ASCE en la década de los sesenta, contrario a la

MCFT que aunque también se basa en ciertas relaciones obtenidas

experimentalmente posee un desarrollo físico y matemático más

completo, el cual tiene en cuenta la compatibilidad de deformaciones y

de esfuerzos en su desarrollo teórico.

Observando los resultados obtenidos en los ejemplos numéricos

realizados en el presente trabajo, se observó que al diseñar un elemento

sometido a cortante por medio del método del MCFT se obtuvo un 20%

menos de refuerzo con respecto al diseño por el método tradicional.

La disminución del refuerzo requerido diseñando un elemento por la

MCFT, en la mayoría de los casos es de esperar, esto debido a que el

aporte del concreto a la resistencia a cortante también depende de la

cantidad de refuerzo longitudinal que posea el elemento, lo cual no es

considerado en la metodología tradicional; sin embargo esto no es así en

todos los casos ya que para ciertos estados de cargas el método

tradicional arroja resultados muy similares a los del MCFT.

El Reglamento NSR-10, el cual regula los métodos para diseñar estructuras

de concreto a fuerzas cortantes, aún no incluye dentro de sus

lineamientos la metodología desarrollada por Vecchio y Collins (1986); sin

embargo en los últimos años se ha notado una tendencia a nivel mundial

de incluir la metodología del MCFT dentro de sus métodos para diseñar

concreto sometido a fuerzas cortantes; la norma canadiense, noruega y

la estadounidense de puentes AASTHO LRFD sobresalen en este sentido.

A pesar de que actualmente las normativas de diseño tienden a incluir los

métodos basados en la MCFT dentro de sus especificaciones para diseñar

elementos de concreto a cortante, hoy en día se utiliza más la

metodología tradicional desarrollada por el ACI, sin embargo, se pueden

observar una serie de ventajas del método MCFT con respecto al

tradicional ya que dependiendo de la cantidad de refuerzo longitudinal

puede haber una reducción significativa de la cantidad del refuerzo a

cortante.

Básicamente, la diferencia entre las metodologías de diseño que fueron

objeto de estudio del presente documento radica en el cálculo de los

parámetros β y θ, estos parámetros definen la capacidad del concreto

para soportar fuerzas cortantes y son función del refuerzo longitudinal ya

que considera el aporte de este al aumentar la capacidad del concreto

para resistir tensión diagonal, consideración que no se tiene en cuenta

dentro de la metodología tradicional. Esta consideración, como se ha

ilustrado en el presente trabajo, tiene en cuenta el aporte del refuerzo

longitudinal, el cual también “cose” las fisuras generadas por esfuerzos

cortantes, generando así una resistencia a la separación en los planos

generados por las fisuras del concreto; esto genera una resistencia del

concreto a separarse debido a un efecto de trabazón entre agregados

o “fricción”.

Según los resultados obtenidos y analizando las teorías que fueron

objetivo de estudio en el presente trabajo, ese considera pertinente

empezar a incursionar en las metodologías basadas en la MCFT

(simplificadas y analíticas) debido a que puede resultar conveniente por

economía y exactitud.

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