C u r s o : Matemtica Material N 32GUA TERICO PRCTICA N 26 UNIDAD: ESTADSTICA Y PROBABILIDADES ESTADSTICA Y GRFICOS Estadstica: Es una rama de la matemtica que comprende Mtodos y Tcnicas que se emplean en la recoleccin, ordenamiento, resumen, anlisis, interpretacin y comunicacin de conjuntos de datos.

Poblacin:

Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna caracterstica comn que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.

Muestra:

Es un subconjunto de la poblacin, que debe ser representativa y aleatoria.

Variable: Cualitativa

Son aquellas cuando las observaciones realizadas se refieren a un atributo (no son numricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesin, etc.

Variable: Cuantitativa

Son aquellas en que cada observacin tiene un valor expresado por un nmero real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, etc.

Las variables cuantitativas pueden ser de 2 tipos: Discretas: Que toman slo valores enteros, por ejemplo: nmero de hijos, nmero de departamentos en un edificio, etc. Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc.

EJEMPLOS

1.

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) El Peso de los recin nacidos es una variable cuantitativa. La Cantidad de peces en un acuario es una variable discreta. El Color de ojos de una persona es una variable cualitativa.

Slo I Slo II Slo III Slo II y III I, II y III

2.

Si en el jardn Las Gaviotas se estudia la estatura de los nios, entonces cul(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) La variable es cualitativa y discreta. La variable es cuantitativa. La variable es continua.

Slo I Slo II Slo III Slo II y III I, II y III

3.

El grfico de la figura 1, muestra la cantidad de helados que consumen al mes los habitantes del condominio Los Piones de Antofagasta. De a cuerdo a este grfico se puede concluir queFrecuencia personas 16 14 12 10 8 4 25 10 15 20 25 30 35 40 Helados (en unidades)

A) B) C) D) E)

slo 15 personas consumen 2 helados. 14 personas consumen al menos 10 helados 6 personas consumen un helado diario. el total de la muestra es 30 personas. en Antofagasta todos los habitantes consumen helados. 6

fig. 1

4.

Cul de los siguientes afirmaciones representa el uso de una variable cuantitativa discreta?

A) B) C) D) E)

El peso de los alumnos del cuarto medio A. El gusto musical de los nios del hogar Santa Clara. La cantidad de agua cada durante el ao 2009. El color del pelo de los tigres africanos. La cantidad de habitantes de la regin de la Araucana.

5.

Se quiere hacer un estudio estadstico de los tipos de peces que habitan en la zona sur del ocano Pacfico. De acuerdo a la informacin es falso que

A) B) C) D)

los peces que habitan en el ocano pesan ms de 3 kilos. los peces que habitan en el ocano Pacfico, corresponde a la poblacin. en el ocano Pacfico hay variados tipos de peces. los peces que habitan en la Zona sur del ocano Pacfico corresponde a la muestra a estudiar. E) los Tipos de peces corresponden a una variable cualitativa.

2

TABULACIN DE DATOS

Frecuencia (f): Nmero de veces que se repite un dato (tambin se le denomina frecuencia absoluta). Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la ltima posicin. Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos, expresada en tanto por ciento. Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la ltima posicin. Marca de clase: Se define como el promedio de los lados extremos de un intervalo.

EJEMPLOS

1.

En la tabla de la figura 1, se observa la cantidad de ttulos profesionales obtenidos por los alumnos de geologa de la Universidad Los Astutos. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) La cantidad de alumnos titulados en el ao 1980 es superior que los titulados en el ao 1975. Hasta el ao 1985 se titularon 60 estudiantes. En los aos 1985 y 1990 se titularon la misma cantidad de alumnos.Ao Hombres Mujeres

Slo I Slo II Slo I y II Slo II y III I, II y III

1975 1980 1985 1990

8 12 10 18

9 8 13 5

fig. 1

2.

En la tabla de la figura 2, se muestra el consumo (en metros cbicos) de gas de los departamentos de un conjunto habitacional. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)? I) II) III) El consumo medio es de 8,4 m3. Cuatro departamentos consumen exactamente 18 m3. La mayor frecuencia se registr en el intervalo [16 20[.Consumo m3

A) B) C) D) E)

Slo Slo Slo Slo Slo

I II III I y II II y III

Frecuencia

[0 4[ [4 8[ [8 12[ [12 16[ [16 20[

5 7 3 1 4

fig. 2

3

3.

En el grfico de la figura 3, se observa la temperatura diaria registrada durante la primera semana del mes de Septiembre. La menor de ellas se registr el daT26 24 22 20 18 16 12 8 4

A) B) C) D) E)

Lunes Martes Jueves Sbado Domingo

fig. 3

L

M

M

J

V

S

D

Das

4.

En la tabla de la figura 4, se han clasificado los automviles segn su color; la frecuencia relativa del color rojo esColor Frecuencia

A) B) C) D) E)

10% 20% 30% 40% 50%

verde gris rojo blanco

5 8 2 5

fig. 4

5.

En el centro comercial Santo Diablo, se venden diariamente 150 pares de zapatos, de los cuales el 20% se cancela en cheque, el 30% con tarjeta de crdito y 50% en efectivo, Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) II) III)

La frecuencia absoluta de la compra en efectivo, corresponde a 75 pares de zapatos. La frecuencia acumulada entre los zapatos cancelados en cheques y efectivo, corresponde a 105 pares de zapatos. La frecuencia absoluta de pago en cheques corresponde a 55 pares de zapatos.

A) B) C) D) E)

Slo I Slo II Slo I y II Slo II y III I, II y III

4

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son indicadores que representan valores numricos en torno a los cuales tienden a agruparse los valores de una variable estadstica. Los principales son la media aritmtica, la mediana y la moda. Media Aritmtica (x) Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el nmero de datos. Si se tienen n datos; x1, x2, x3, , xn, su media aritmtica esx1 + x2 + x3 + ... + xn n

x =

Media Aritmtica para datos organizados en una tabla de frecuencias Si los datos son; x1, x2, x3, xn, y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3, fn, entonces la media aritmtica es

x =

x1 f1 + x2 f2 + x 3 f3 + ... + xn fn f1 + f2 + f3 + ... + fn

EJEMPLOS

1.

Una imprenta tiene tres mecangrafas, las cuales escriben 32, 53, y 68 palabras por minuto. Si cada una de ellas escribe un mismo texto, entonces la velocidad media es

A) B) C) D) E)

48 49 50 51 52

2.

En una empresa de lmparas el sueldo medio de los obreros es 286 euros. Si se sabe que los sueldos de los hombres es de 300 euros y el de las mujeres es de 265 euros. Entonces, el porcentaje de hombres y mujeres, respectivamente es H A) B) C) D) E) 40% 45% 50% 60% 70% M 60% 55% 50% 40% 30%

5

3.

Al calcular el promedio de 125 datos, ste result 42. Se observ que en el lugar del valor 12,4 se introdujo 124. La nueva media es aproximadamente.

A) B) C) D) E)

39 40 41 42 43

4.

En un curso, luego de rendir un examen se obtienen los siguientes puntajes 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17, y las frecuencias respectivas del nmero de alumnos son: 1, 1, 1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) II) III)A) B) C) D) E)

x = 14,5 Mo = 16 El puntaje mnimo para pertenecer al 20% mayor es 16.

Slo I Slo II Slo I y II Slo II y III I, II y III

5.

Cinco amigos deciden invertir en una empresa, en promedio aportan $ 25.000 cada uno. Se conocen los aportes de Juan $ 30.000, Diego $ 15.000, Jorge $ 18.000 y Jos $ 33.000, entonces cul es el aporte de Daniel?

A) B) C) D) E)

$ $ $ $ $

25.000 18.000 29.000 31.000 33.000

6.

Un alumno quiere saber que nota debe obtener como mnimo en su prueba coeficiente 2, para aprobar con promedio 5,5. Si sus notas son 4,3 - 5,8 - 6,5 - 6,3, entonces sta debe ser, aproximadamente

A) B) C) D) E)

4,8 4,9 5,0 5,1 5,2

6

MODA (Mo)

Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que ms se repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribucin de frecuencias es AMODAL. Si existe un solo dato que tenga mayor frecuencia la distribucin de frecuencia es UNIMODAL. De existir dos (o ms) datos que tienen la misma frecuencia, siendo esta la mayor, se dice que la muestra es BIMODAL (O POLIMODAL).MEDIANA (Me)

Es el dato que ocupa la posicin central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un nmero par de datos, la mediana es la media aritmtica de los dos trminos centrales.EJEMPLOS

1.

Respecto del conjunto de datos en la tabla de la figura 1, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) La moda es mayor que la media aritmtica La mediana es igual a la moda La mediana es igual a 4,51 3 5 6 1 3 5 7 2 4 5 8 2 4 5 9 3 4

fig. 16 9

Slo I Slo II Slo I y III Slo II y III I, II y III

2.

Al encuestar 50 departamentos de un edificio en cuanto al nmero de personas que los habitan, se obtuvo los resultados que se indican en la tabla de la figura 2. Entonces, cul opcin es verdadera?Personas por departamento 1 2 3 4 5 ms

A) B) C) D) E)

la moda es 50. la distribucin de frecuencias es bimodal. la moda es 15. la moda es 4. todas las afirmaciones anteriores son falsas.

f 3 14 11 15 7

fig. 2

3.

Dado un conjunto de datos, la mediana corresponde A) B) C) D) al valor ms grande si los datos estn ordenados. al valor de mayor frecuencia si el nmero de datos es par. al promedio entre el menor y el mayor valor. al valor central si el nmero de datos es impar y estn ordenados en forma creciente o decreciente. E) a ninguna de los anteriores. 7

4.

Un conjunto de datos tiene un nmero impar de valores ordenados de menor a mayor, entonces el valor que tiene la mayor frecuencia es A) B) C) D) E) la la la la la media aritmtica. moda. mediana. marca de clase. frecuencia relativa.

5.

Las edades de 10 personas son 12, 20, 18, 20, 19, 21, 15, 20, 18 y 20 aos. Si se agrega a este conjunto la edad de una nueva persona, entonces A) B) C) D) E) la moda aumenta. la moda disminuye. la moda permanece igual. la moda aumenta en 1. No se puede saber.

6.

Si m y n son nmeros enteros positivos, con m < n, cul es la moda de la siguiente lista de valores? m + n, A) B) C) D) E) m n, n m, 2m, 2n, n+m

m+n mn 2m 2n No hay moda

7.

La tabla de la figura 3 indica el deporte practicado preferentemente por un grupo de estudiantes universitarios. Entonces, las medidas de tendencia central que se pueden obtener de dicha tabla son

A) B) C) D) E)

slo la moda. slo la mediana. la moda y la mediana. la media aritmtica, moda y mediana. ninguna de las medidas mencionadas.

Deportes Ftbol Bsquetbol Tenis Natacin Atletismo otros

f 245 85 121 43 70 12

fig. 3

8.

Para calcular la mediana de un conjunto de datos discretos agrupados en una tabla de valores es conveniente A) B) C) D) E) observar la mayor frecuencia obtener las frecuencias relativas calcular las frecuencias acumuladas calcular previamente el promedio de la distribucin calcular los productos entre el valor de la variable y la frecuencia en cada lnea

8

OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Cuartiles: son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente.OBSERVACIN:

Q2 coincide con la mediana.

Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) se procede de la siguiente manera: 1 Se ordenan los datos de menor a mayor.N , en donde 4 K = {1, 2, 3} y N es el nmero de datos. En caso de ser un nmero decimal se aproxima al entero ms cercano superior.

2 Se determina la posicin que ocupa cada cuartil mediante la frmula pQK =

K

Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales.El percentil de orden K se denota por PK, y en el caso discreto es la observacin cuya frecuencia absoluta acumulada alcanza el valor igual al K% de las observaciones.OBSERVACIN:

P50 coincide con la mediana.

Para calcular los Percentiles (datos no agrupados) se procede de la siguiente manera: 1 Se ordenan los datos de menor a mayor. 2 Se calcula la posicin que ocupa el percentil, con la frmula pPK =K N , en donde 100 K = {1, 2, , 99} y N es el nmero de datos. Si es decimal se aproxima al entero ms cercano superior.

EJEMPLOS

1.

Se consideran los cuadrados de los nmeros naturales del 1 al 11 (ambos incluidos). Entonces, los valores de los cuartiles Q1, Q2 y Q3 son respectivamente A) B) C) D) E) 5, 6 y 7 3, 6 y 9 16, 36 y 64 1, 36 y 121 9, 36 y 81

2.

De los 200 postulantes a una carrera universitaria, el 25% de los mejores puntajes resultaron diferentes. Miguel que tiene 612 puntos qued en el percentil 78 mientras que Arturo con 720 puntos est en el percentil 92. Entonces, la opcin verdadera es A) B) C) D) E) Hay 78 postulantes con puntajes menores que el de Miguel. Hay 8 postulantes que tiene puntajes igual o superiores al de Arturo. Hay 14 postulantes con puntajes entre los de Miguel y Arturo. El 92% de los postulantes tienen puntajes inferiores a los de Arturo. Arturo y Miguel estn entre los 20 mejores puntajes. 9

MEDIDAS DE DISPERSIN

Rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Desviacin estndar es una medida de dispersin que indica cunto tienden a alejarse los datos de la media aritmtica de stos. La desviacin estndar () se calcula mediante la siguiente frmula:

=

(x1 x)2 + (x2 x)2 + ... + (xn x)2 n

EJEMPLOS

1.

Con respecto a las tablas adjuntas, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) Los promedios de ambos conjuntos son iguales a 10 La desviacin estndar del conjunto X es 2 . La desviacin estndar del conjunto Y es 2.

Slo I Slo II Slo I y II Slo II y III I, II, III

x 8 9 10 11 12

(x x )2 4 1 0 1 4

y 7 9 10 11 13

(y y )2 9 1 0 1 9

2.

Para calcular la desviacin estndar se considera un conjunto de datos y las siguientes acciones, entonces cules de stas y acciones se deben efectuar y en que orden? (1) (2) (3) (4) (5) (6) Los datos se ordenan en forma creciente o decreciente Se calcula el promedio o media aritmtica Se suman las diferencias entre cada dato y el promedio Se suman los cuadrados de las diferencias entre cada dato y el promedio Se extrae raz cuadrada del resultado anterior Se divide el resultado anterior por el nmero de datos

La opcin correcta es A) B) C) D) E) (1), (2), (1), (1), (1), (2), (4), (2), (2), (2), (3), (5) y (6) (6) y (5) (3), (4) y (6) (4), (6) y (5) (3), (4), (5) y (6)

10

REPRESENTACIN GRFICA E INTERPRETACIN DE GRFICOS A menudo, una representacin grfica de una distribucin de frecuencias nos da una mejor idea de un estudio estadstico que un cuadro con nmeros. Por ende, es conveniente saber graficar y, adems, saber interpretar grficos. Los datos de una tabla, con datos no agrupados, se pueden expresar mediante un grfico de barras, uno poligonal o uno circular. Si los datos estn agrupados, se utiliza, generalmente, el histograma. EJEMPLOS 1. La tabla de la figura 1, muestra una distribucin de frecuencias de las edades, en aos, de 30 alumnos de un colegio que consumen leche diariamente. En cul(es) de los siguientes grficos queda representada la distribucin de frecuencia de la tabla de la figura 1? I)12 9 6 3 0 15 16 17 18 Edad (aos) Edades (aos) 15 16 17 18 N de alumnos 12 6 9 3

fig. 1

de barrasN de alumnos

II)12 9 6 3

poligonalN de alumnos

III)

circular18 aos 10%

17 aos 30%

40%

15 aos

15 16 17 18

Edad (aos)

20% 16 aos

A) B) C) D) E) 2.

En En En En En

slo slo slo slo I, II

I I y II I y III II y III y III

Segn el histograma y su tabla de frecuencia (fig. 2), cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?N de alumnos Distintos tipos de N de Lcteos consumidos alumnos 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

[0 2[ [2 4[ [4 6[ [6 8[

2 11 5 7

fig. 2

I) II) III) A) B) C) D) E)

La amplitud de los intervalos es 2. Las marcas de clases de los intervalos de menor frecuencia son 1 y 5. El promedio o media aritmtica es 5.

Distintos tipos de lcteos consumidos

Slo Slo Slo Slo Slo

I I y II I y III II y III I, II y III 11

3.

El grfico poligonal de la figura 3, muestra una encuesta realizada a 63 personas acerca de sus preferencias entre 6 tipos de helados, entonces cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) La moda es 18 personas. Los helados ms preferidos por las personas encuestadas son B o F. Los helados menos preferidos por las personas encuestadas son C o E.N de personas 18 15 10 12 9 6 3 A B C D E F Tipos de helados

Slo I Slo II Slo I y III Slo II y III I, II y III

fig. 3

4.

El grfico circular de la figura 4, muestra las preferencias de 200 dueas de casa sobre el electrodomstico, ms utilizado a diario. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) La moda es el hervidor elctrico. 72 dueas de casa dicen utilizar preferentemente Hervidor o Microondas. Las dueas de casa dicen utilizar preferentemente Juguera o Hervidor o multiprocesadora son 120.Multiprocesadora 12%sacajugo 5%

A) B) C) D) E)

Slo I Slo II Slo I y III Slo II y III I, II y III

Juguera 11%

Microondas 35%

fig. 4

Hervidor 37%

5.

Segn el grfico de la figura 5, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?N de familias 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 N de personas del grupo familiar

fig. 5

A) B) C) D) E)

Hay 9 familias que tienen menos de tres integrantes en el grupo familiar Hay 15 familias que tienen ms de cuatro integrantes en el grupo familiar Hay por lo menos 16 familias con menos de 4 integrantes en el grupo familiar Hay 21 familias que tienen ms de dos integrantes en el grupo familiar El total de personas encuestadas es 23 12

EJERCICIOS

1.

En una fiesta de cumpleaos, de los nios que asistieron, 4 son hijos nicos, 7 tienen 1 hermano, 5 tienen 2 hermanos, 1 tiene 3 hermanos, y 4 tienen 4 hermanos. La mediana del nmero de hermanos de los invitados a la fiesta es A) 11 B) 7 C) 3 D) 2 E) 1

2.

Se lanz 20 veces un dado obtenindose la distribucin de frecuencias que indica el grfico de la figura 1. Si a representa la media, b representa la mediana y c representa la moda. Cul(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) Slo Slo Slo Slo Slo a>b>c a=b=c b