estadisticas fundamentos

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Fundamentos de EstadísticaIntroducción a la Estadística

Prof. Dr. Eduardo Valenzuela D.

[email protected]

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Magıster en Economıa Energetica – p. 1/61

Introducción

Modelación

Realidad versus Modelo


Introducción

Modelación


Modelos Deterministicos


Introducción

Modelación



Modelos no-Deterministicos


Introducción

Modelación



Modelos no-Deterministicos

Toma de decisiones bajo Incertidumbre


Definición

Estadistica: Mezcla entre ciencia y arte que entregaherramientas para modelar fenómenos no-deterministicosAlgunas aplicaciones:


Definición


Ingeniería


Definición


Ingeniería

Compañías de Seguros


Definición


Ingeniería


Estudios de Mercado


Definición


Ingeniería


Estudios de Mercado

Control de Calidad


Definición


Ingeniería


Estudios de Mercado

Control de Calidad

Instrumentos Financieros


Definición


Ingeniería


Estudios de Mercado

Control de Calidad

Instrumentos Financieros

Medicina


Algunos Términos

Población: Colección completa de todas los individuosde interes para el investigador.

Parámetro: Valor que caracteriza un aspecto de lapoblación.

Muestra: Subconjunto de la población y que esrepresentativa de esta.

Estadistico: Medida descriptiva de la muestra que seutiliza para estimar al respectivo parámetro poblacional.

Variable: Caracteristica de la población que se analizaen el estudio estadistico.


Técnicas de Muestreo

Muestreo Aleatorio simple: Procedimiento mediante elcuál todas las muestras de un determinado tamaño,poseen la misma "chance" de ser extraidas.

Muestreo Aleatorio Estratificado: Esquema demuestreo que primero particiona a la población endiversos "estratos" y posteriormente extrae una mustraaleatoria simple en cada uno de ellos.


Muestreo

Error muestral: Diferencia entre el valor del parámetropoblacional y el producido por el estadistico oestadigrafo basado en una muestra.

Sesgo muestral: Tendencia a favorecer la selección dedeterminados individuos de la población.


Muestreo

Población vs Muestra

Muestreo implica Error muestral

Acotar la probabilidad de cometer errores

Estadistica

Descriptiva

Inferencial


Tipos de Variables

Variables cualitativas: Caracteristica que representauna cualidad de los individuos poblacionales.

Variables cuantitativas: Caracteristica que correspondea una magnitud asociada a laos individuos de lapoblación.


Escalas de Medición

Escala nominal: Nombres o clases que se utilizan paraorganizar los datos en categorias separadas y distintas.

Escala ordinal: Mediciones que jerarquizan los datosen categorias, ordenadas en virtud de un determinadocriterio.


Escalas de Medición

Escala de intervalos: Mediciones respecto de unaescala numerica en la cual la diferencia entre valorestiene interpretación y la ubicación del cero es arbitrario.

Escala de proporciones: Mediciones respecto de unaescala numerica en la cual tanto la diferencia como loscuocientes tienen interpretación y la ubicación del ceroes absoluto.


Estadistica Descriptiva

Proporciona procedimientos que permiten organizar,procesar y presentar los datos muestrales con el fin deextraer información relevante que este contenida en ellos.

Datos Muestrales

Clasificación

A1, A2, . . . , Ak : clases


Número de clases

Si se dispone de n datos muestrales, se suele usar la reglade “Sturges”:

k = [3, 3 · log n] + 1

Ejemplo: Para n = 1000, usar:

k = [3, 3 · log 1000] + 1 = [3, 3 · 3] + 1 = 9 + 1 = 10

clases


Observaciones y Preguntas

Las clases deben ser excluyentes y todo elementomuestral debe pertenecer a una de ellas.

¿Existen clases que concentren mas datos?.

¿Se presenta un comportamiento uniforme?.

¿Se visualiza mas de un punto de concentración?.


Construcción de clases

Si los datos muestrales estan medidos por lo menos alnivel de intervalos y si los representamos por:

x1, x2, . . . , xn

entonces la amplitud de las clases es de:

c =max xi − minxi

k


Construcción de clases

con esto se determinan los limites superior e inferior decada clase:

clase limites relacin

A1 [a1 → b1] b1 = a1 + c

A2 ]a2 → b2] b2 = a2 + c...

......

Ak ]ak → bk] bk = ak + c

en donde a1 = min xi y ak+1 = bk


Ejemplo

Consideremos una muestra de n = 50 datos:68 72 50 70 65 83 77 78 80 9371 74 60 84 72 84 73 81 84 9277 57 70 59 85 74 78 79 91 10283 67 66 75 79 82 93 90 101 8079 69 76 94 71 97 95 83 86 69

numero de clases: k = [3, 3 log 50] + 1 = 6


Continuación Ejemplo

min xi = 50 y max xi = 102, por lo que c = 102−506 = 8, 7

redondeando, tomaremos c = 9, con lo que las clasesquedan:

clase limites marca de clase

A1 [50 → 59] 54, 5

A2 ]59 → 68] 63, 5

A3 ]68 → 77] 72, 5

A4 ]77 → 86] 81, 5

A5 ]86 → 95] 90, 5

A6 ]95 → 104] 99, 5


Gráfico de Tallo y Hoja

Una forma alternativa de visualizar los datos, es medianteel gráfico de tallo y hoja:La coma decimal esta un digito ala derecha de los dos puntos:

5 : 0796 : 05678997 : 0011223445677889998 : 0012333444569 : 0123345710 : 12


Distribuciones de Frecuencias

Para descubrir como se “reparten” los datos entre lasclases, consideraremos las frecuencias

Frecuencia absoluta: Es el número de observacionesmuestrales que caen en cada clase: ni, parai = 1, . . . , k.

Frecuencia relativa: Es la proporción de datos conrespecto a toda la muestra que pertenecen a cadaclase: fi, para i = 1, . . . , k.

Se tiene que: fi = ni

n


Distribuciones de Frecuencias

Frecuencia absoluta acumulada: Es la sumaacumulada de las frecuencias absolutas hasta cadaclase: Ni, para i = 1, . . . , k. con Ni =

∑ij=1 nj , para

i = 1, . . . , k

Frecuencia relativa acumulada: Es la suma acumuladade las fercuencias relativas hasta cada clase: Fi, parai = 1, . . . , k. con Fi =

∑ij=1 fj, para i = 1, . . . , k

Se tiene que: Fi = Ni

n


Ejemplo

clase limites ni Ni fi Fi

A1 [50 → 59] 3 3 0, 06 0, 06

A2 ]59 → 68] 5 8 0, 10 0, 16

A3 ]68 → 77] 15 23 0, 30 0, 46

A4 ]77 → 86] 17 40 0, 34 0, 80

A5 ]86 → 95] 7 47 0, 14 0, 94

A6 ]95 → 104] 3 50 0, 06 1, 00

total 50 1, 00


Representaciones Gráficas

Otra forma de representar la información muestral, esmediante gráficos

Histograma: Se grafican las frecuencias con respecto alas diversas clases.

Poligono de frecuencias: Representa las frecuencias enlas marcas de clases unidas por segmentos de rectas.

Distribucion de frecuencias acumuladas: Aqui serepresentan las frecuencias acumuladas hasta cadaclase.


Representaciones Gráficas

Ojiva: Poligonal que une las frecuencias acumulativasen cada clase.

Gráfico de barras: Las frecuencias se representan porbarras proporcionales a ellas.

Gráficos circulares: Las frecuencias se muestran comosectores circulares.


Histograma

50 60 70 80 90 100 110

0.0

0.01

0.02

0.03

x

Histograma de x


Ojiva

x

Fre

c

50 60 70 80 90 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Ojiva de x


Pastel

Grafico circular de x


Estadistica descriptiva bivariada

Analisis descriptivo conjunto de dos o mas variables. Si(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) es una muestra bivariada de lasvariables X e Y . Si k es el número de clases para X y l,para Y , se definen:

Frecuencia absoluta conjunta: El número deobservaciones muestrales que caen en la clase Ai

segun X y en la clase Bj segun Y .

ni,j , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l

Frecuencia relativa conjunta: Proporción muestral deni,j.


Tablas de contingencia

Se definen las frecuencias marginales de X e Y

respectivamente por:

ni,. =l

∑

j=1

ni,j , n.,j =k

∑

i=1

ni,j

y las respectivas frecuencias relativas conjuntas ymarginales por:

fi,j =ni,j

n, fi,. =

ni,.

n, f.,j =

n.,j

n


Ejemplo

[10;30] ]30;50] ]50;70] ni,.

[1000;2000] 15 8 4]2000;3000] 5 12 9]3000;4000] 2 13 10]4000;5000] 1 16 18

n.,j 113


Ejemplo

[10;30] ]30;50] ]50;70] ni,.

[1000;2000] 15 8 4 27]2000;3000] 5 12 9 26]3000;4000] 2 13 10 25]4000;5000] 1 16 18 35

n.,j 113


Ejemplo

[10;30] ]30;50] ]50;70] ni,.

[1000;2000] 15 8 4]2000;3000] 5 12 9]3000;4000] 2 13 10]4000;5000] 1 16 18

n.,j 23 49 41 113


Ejemplo

[10;30] ]30;50] ]50;70] ni,.

[1000;2000] 15 8 4 27]2000;3000] 5 12 9 26]3000;4000] 2 13 10 25]4000;5000] 1 16 18 35

n.,j 23 49 41 113


Medidas de tendencia central

Son estadisticos que proporcionan valores representativosde la muestra, de tal manera que todos los datosmuestrales caen en torno a estos valores.

Moda

Mediana

Media ( geométrica )

Media ( aritmética )


Si los datos muestrales han sido agrupados en clases yestas marcas de clase son x1, . . . , xk con frecuenciasrelativas fi. Se define la media de x por

x =k

∑

i=1

fixi =1

n

k∑

i=1

nixi


Medidas de variabilidad

Las medidas de variabilidad o de dispersión, pretendencuantificar el grado de homogeneidad presente en lamuestra; determinan que tan concentrados o dispersosestan los datos. Algunas medidad de dispersión son:

Rango

Desviación media

Rango intercuartílico

Varianza y Desviación estandar


La varianza se define por:

S2x =

k∑

i=1

fi(xi − x)2 =1

n

k∑

i=1

ni(xi − x)2

y la desviación estandar por:

Sx = +√

S2x


Observación

Cabe hacer notar que cuando la varianza muestral se usacomo un estimador de la varianza poblacional, su definiciónse modifica levemente en la forma:

S2 =1

n − 1

k∑

i=1

ni(xi − x)2

Esta varianza modificada es preferible como estimador,pues posee mejores propiedades que S2

x.


Desigualdad de Tschebyscheff

Una interpretación interesante de la desviacion estandar esla proporcionada por la “Desigualdad de Tschebyscheff”,que plantea intuitivamente que:En todo conjunto de observaciones y para todo numeroreal r > 1, se tiene que al menos 1 − 1

r2 de ellas caen en elintervalo:

[x − rSx; x + rSx]


Gráficamente:


Resumen

Las principales medidas descriptivas de la muestra son:

Resumen de $x$

Min. 1st Q. Med. Mean 3rd Q. Max.50.00 71.00 78.50 78.36 84.00 102.00

N = 50 Median = 78.5Quartiles = 71; 84

Que pueden representarse gráficamente por:


Gráfico de Cajón

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0


Elementos de Inferencia Estadística

Al modelar un fenómeno en la vida real, las variables quenos interesan generalmente son de naturalezano-deterministica y en consecuencia pueden representarsepor variables aleatorias.Para poder obtener probabilidades asociadas a estasvariables aleatorias X, podemos ocupar su funcion dedistribucion FX :

FX(x) = P [X ≤ x]


Problema

Pero en la mayoria de los casos, esta función, dependeráde parámetros desconocidos θ, es decir tenemos:

FX(x; θ) = P [X ≤ x]

y para que estos modelos sean de alguna utilidad, serequiere previamente estimar estos parametros a partir deinformacion empírica recopilada a partir de una muestraaleatoria de X.


Problemas

Esto nos lleva a los principales problemas de la inferenciaestadistica:


Problemas


Estimacion puntual.


Problemas


Estimacion puntual.

Estimacion por intervalos de confianza.


Problemas


Estimacion puntual.

Estimacion por intervalos de confianza.

Prueba de hipotesis.


Estimacion puntual

En el ámbito de la estimacion puntual se han desarrolladodiversos metodos para “construir” estimadores puntuales,entre ellos:

Lo que hace necesario definir cualidades de losestimadores, para asi poder seleccionar el “mejor” entrevarios posibles.


Estimacion puntual


Método de momentos.



Estimacion puntual



Método de minimos cuadrados.



Estimacion puntual



Método de minimos cuadrados.

Método de máxima verosimilitud.



Propiedades

Entre las principales propiedades de los estimadores secuentan:


Propiedades


Insesgamiento


Propiedades


Insesgamiento

Varianza minima


Propiedades


Insesgamiento

Varianza minima

Error cuadratico minimo


Propiedades


Insesgamiento

Varianza minima


Eficiencia


Propiedades


Insesgamiento

Varianza minima


Eficiencia

Consistencia


Ejemplo

Supongamos que la variable aleatoria X esta distribuidanormalmente:

X ∼ N (µ, σ2)

Se dice que X1, . . . , Xn es una Muestra aleatoria de X, si:

Los X1, . . . , Xn son independientes

Cada Xi posee la misma ditribucion que X


Ejemplo

Usando estos “datos” se pueden obtener estimadorespuntuales de los parametros µ y σ2, los cuales poseenvarias de las propiedades anteriores; ellos son:

Xn =1

n

n∑

i=1

Xi

S2n =

1

n − 1

n∑

i=1

(Xi − Xn)2

que son la media y varianza muestral.


Ejemplo

Notemos que los valores que estos estimadores producen,dependen de los valores muestrales y en consecuenciacambiaran de una a otra muestra.Esto nos lleva a considerar las distribuciones muestrales deestos estimadores.


Distribuciones muestrales

Bajo la suposicion de que:

X ∼ N (µ, σ2)

se puede verificar que la distribucion empirica de la mediamuestral a partir de una muestra aleatoria de tamaño n es:

Xn ∼ N (µ,σ2

n)

que es nuevamente una normal.


Distribuciones muestrales

Analogamente la distribucion empirica de la varianzamuestral es:

(n − 1)S2n

σ2∼ χ2(n − 1)

que se denomina Chi cuadrado con n − 1 grados de libertad yque para usarla al igual que la normal, hay que recurrir atablas estadisticas


Otras distribuciones

Ademas de estas distribuciones, es necesario considerarotras mas que aparecen en los procesos de estimacion yprueba de hipotesis, ellas son:

La distribucion t de student con k grados de libertad, que sesimboliza por t(k).

La distribucion Fisher con k y l grados de libertad, que serepresenta por F (k, l).


Otras distribuciones

Analogamente a la distribucion normal y chi-cuadrado, paraevaluar probabilidades asociadas a ellas, es necesarioobtener los valores usando una tabla estadistica, unacalculadora que las tenga implementadas o un programacomputacional adecuado.


Observación

Cabe hacer notar que si bien es cierto estos estimadorespuntuales, al evaluarlos en los datos muestrales, nosproporcionan una estimacion puntual, que sirve paraaproximar el valor desconocido del parametro en estudio;ellos no entregan idea alguna sobre el error que seproduce en este proceso de estimacion.


Observación

Para poder cuantificar este error, se requeriria estimar losparametros por medio de un intervalo de confianza, quenos indique una region que pudiera contener al parametrobuscado, mas una evaluacion de la proporcion de vecesque tomaremos una decision correcta al usar esteprocedimiento, para estimar los parametros; esto seconoce como el coeficiente de confianza


Estimacion por intervalos de confianza

Llamaremos un intervalo de confianza para el parametro θ

con coeficiente de confianza γ, a un intervalo del tipo:

[T1(X1, . . . , Xn);T2(X1, . . . , Xn)]

que cumpla:P [T1 ≤ θ ≤ T2] ≥ γ


Estimacion por intervalos de confianza

Se puede ver que si X ∼ N (µ, σ2), entonces el intervalo deconfianza para µ con coeficiente de confianza γ esta dadopor:

[Xn − Sn√n· t(1+γ)/2(n − 1); Xn +

Sn√n· t(1+γ)/2(n − 1)]


Observación

Existen algunas situaciones en las cuales la varianza σ2 seconoce y por lo tanto no se requiere previamente estimarla.Tambien en aquellos casos en que el tamaño muestral n

crece tendiendo a infinito n → ∞, se puede verificar que ladistribucion t de student se aproxima en un cierto sentido ala distribucion normal.


Observación

Para estas situaciones, que se denominan muestrasgrandes, el intervalo de confianza para la media muestralXn se transforma en:

[Xn − σ√n· z(1+γ)/2; Xn +

σ√n· z(1+γ)/2]


Continuación

Analogamente se puede obtener el intervalo de confianzapara σ2 con coeficiente de confianza γ, resultando:

[

(n − 1) · S2n

χ(1+γ)/2(n − 1);

(n − 1) · S2n

χ(1−γ)/2(n − 1)

]

El uso de estos intervalos de confianza nos permite estimarlos parametros de interes, indicando la “precision” quepermiten obtener los datos disponibles.


Prueba de Hipótesis

Existen situaciones en las cuales se tiene algunconocimiento previo sobre los parametros de unadistribución ( Hipotesis ) y se desea analizar si estesupuesto es consecuente con los datos muestrales. Estolleva a una Prueba de Hipótesis, para lo que se necesita:



Una hipotesis nula H0.




Una hipotesis alternativa H1.





Una funcion de los datos T (X1, . . . , Xn), cuyadistribución bajo H0 se conozca.






Un nivel de significancia 0 < α < 1.






Un nivel de significancia 0 < α < 1.

Una región de rechazo.


Acciones

Al tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nulasobre la base de los datos muestrales, se producen lassiguientes posibilidades:

acción ; realidad H0 verdadera H0 falsa

rechazar H0 Error I Correcto

no rechazar H0 Correcto Error IILa idea es limitar a valores pequeños las probabilidades deestos errores.


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