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7/21/2019 estadistica.doc

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ESTADÍSTICA

Guía para el estudiante

Actualizado por el formador:

EDGAR LO!A"A DÍA#

I"STIT$TO COLO!IA"O DE A%RE"DI#A&E

I"CA%

%ro'rama T(cnico La)oral en Or'anizaci*n +Administraci*n de %e,ue-as + edianas Empresas



EL SIG$IE"TE ATERIAL SE %RE%AR. CO" /I"ESESTRICTAE"TE ACAD0ICOS1 DE AC$ERDO CO"EL ARTÍC$LO 23 DE LA LE4 32 DE 56731 C$4OTE8TO ES EL SIG$IE"TE:

ARTÍC$LO 23:9Es permitido utilizar o)ras literarias1 artísticas o parte de

ellas1 a título de ilustraci*n en o)ras destinadas a laense-anza1 por medio de pu)licaciones1 emisiones oradiodifusiones1 o 'ra)aciones sonoras o isuales1 dentrode los límites ;ustificados por el fin propuesto1 o comunicarcon prop*sito de ense-anza la o)ra radiodifundida parafines escolares1 educatios1 uniersitarios + de formaci*npersonal sin fines de lucro1 con la o)li'aci*n de mencionarel nom)re del autor + el título de las o)ras utilizadas<=

EstadísticaInstituto Colom)iano de Aprendiza;e

Actualizado por:Ed'ar Lom)ana Díaz

Editado por:Instituto Colom)iano de Aprendiza;e I"CA%Aenida Caracas "o= >2?>>

@ %roi)ida la reproducci*n parcial o total)a;o cual,uier formaBArt= 53 Le+ 32 de 5673

!o'ot F Colom)iaersi*n H ? Enero 3H55

3



CO"TE"IDO

%'=%RESE"TACI." ======================================================================================================= >

O!&ETIOS =============================================================================================================== J

G$ÍA ETODOL.GICA ============================================================================================ 7

$"IDAD 5

5= DISTRI!$CI." DE /REC$E"CIAS =================================================================== 5H

5=5 CO"CE%TO DE ESTADÍSTICA ==================================================================== 55

5=3 T0C"ICA DEL $ESTREO ========================================================================== 53

5=3=5 El proceso muestral =============================================================================== 53

5=3=3 La alternatia del censo ========================================================================= 53

5=3=2 (todos para seleccionar la muestra ================================================== 52

5=3= Características a la ,ue se refieren los datos ==================================== 5

5=3= /ormas de edici*n=============================================================================== 57

5=2 /REC$E"CIAS ============================================================================================== 57

5=2=5 Distri)uci*n de /recuencias ================================================================= 3H

EC$ACIO"ES A $TILI#AR ============================================================================ 35

5= RE%RESE"TACI." GRK/ICA DE DISTRI!$CI." DE /REC$E"CIAS == 36

5==5 Generalidades======================================================================================== 36

5==3 Graficas estadísticas ============================================================================= 2H

5==2 Tipos de 'rficas =================================================================================== 2H

5= TAAO DE LA $ESTRA DE $"A %RO%ORCI." ==============================

$"IDAD 3

3= EDIDAS DE TE"DE"CIA CE"TRAL 4 DE DIS%ERSI." =============================== 5

3=5 EDIDAS DE TE"DE"CIA CE"TRAL ========================================================= 5

3=5=5 Concepto ================================================================================================= 33=5=3 La media aritm(tica ============================================================================== 3

3=5=2 La mediana =========================================================================================== J

3=5= La oda ================================================================================================= >5

3=5= La media 'eom(trica============================================================================== >

3=5=> La media arm*nica =============================================================================== >>

2



3=5=J Cuartiles1 deciles + percentiles =========================================================== >J

3=3 EDIDAS DE DIS%ERSI." ========================================================================= J3

3=3=5 Concepto ================================================================================================= J3

3=3=3 La arianza ============================================================================================ J3

3=3=2 La desiaci*n estndar ========================================================================= J>

3=3= El coeficiente de ariaci*n ================================================================== 7H

3=3= La desiaci*n media ============================================================================ 75

3=2 I"TERALOS DE CO"/IA"#A ===================================================================== 7

$"IDAD 2

2= REGRESI." 4 CORRELACI." ========================================================================= 6>

2=5 DISTRI!$CIO"ES !IDIE"SIO"ALES =================================================== 6>aria)les ============================================================================================== 6>

La Re'resi*n ======================================================================================= 6J

2=5=5

2=5=3

2=5=2 La Correlaci*n ==================================================================================== 5H

2=5= El Dia'rama de Dispersi*n ================================================================= 5H7

!I!LIOGRA/ÍA ===================================================================================================== 55



Apreciado estudiante:

Apreciado estudiante:$sted esco'i* al I"CA% para ,ue lo oriente en el camino de la formaci*n profesional= Lainstituci*n le proporcionar un /ormador1 ,uien le a+udar a descu)rir sus propiosconocimientos + a)ilidades=

El I"CA%1 le ofrece adems1 recursos para ,ue usted alcance sus metas1 es decir1 lo ,uese a+a propuesto + para ello dispondr de m*dulos 'uía1 audioisuales de apo+o1sistemas de ealuaci*n1 aula + espacios adecuados para tra)a;os indiiduales + de 'rupo=

0ste m*dulo 'uía ,ue constitu+e adems un portafolio de eidencias de aprendiza;e1 estdistri)uido de la si'uiente manera:

%RESE"TACI.": Es la informaci*n 'eneral so)re los contenidos1 la metodolo'ía1 losalcances la importancia + el prop*sito del m*dulo=

G$ÍA ETODOL.GICA: Orienta la prctica peda'*'ica en el desarrollo del proceso deformaci*n ealuaci*n + se complementa con el documento de la didctica para la formaci*npor competencias de mane;o del /ormador=

DIAG".STICO DE ESTILO DE A%RE"DI#A&E: Mue le permitir utilizar la estrate'ia msadecuada para construir sus propios aprendiza;es=

A$TO%R$E!A DE AA"CE: Es un cuestionario ,ue tiene como finalidad ,ue usted mismodescu)ra1 ,u( tanto conoce los contenidos de cada unidad1 + le sire de insumo para la

concertaci*n de su formaci*n + el reconocimiento de los aprendiza;es preios por parte desu /ormador Btalleres ,ue se encuentran al final de cada unidad=

EAL$ACI." DIAG".STICA: %ermite re'istrar tanto el estilo de aprendiza;e como la autoprue)a de aance=

%LA" DE /ORACI.": El plan de formaci*n + ealuaci*n es concertado con el profesor=

RECOLECCI." DE EIDE"CIAS DE A%RE"DI#A&E: %ermite re'istrar las eidencias delos lo'ros o)tenidos en cada una de las unidades=

CO"TE"IDOS: Son el cuerpo de la unidad + estn presentados así:

$nidad Lo'ro de competencia la)oral

Indicadores de lo'ro: Eidencias

Didctica del m(todo inductio Actio para el desarrollo de las competencias:

/DN: /ormador dice + ace1 /DEN: /ormador dice + estudiante ace1

EDN: Estudiante dice + ace= aloraci*n de Eidencias



%RESE"TACI."

%resentaci*n

El curso de Estadística + atemtica financiera1 ,ue forma parte del pro'ramat(cnico en Gesti*n de "e'ocios comprende el estudio de la estadística descriptiaenfocndose en el conocimiento de conceptos )sicos1 terminolo'ía e identificaci*nde t(cnicas de or'anizaci*n + presentaci*n de datos recolectados a tra(s deo)seraci*n de ecos + fen*menos + a la ez comprende el estudio del anlisis del

alor del dinero al tra(s del tiempo=

El prop*sito del presente m*dulo es serir de 'uía para el aprendiza;e1 la consulta +las prcticas especificadas en cada uno de los temas tratados=

El m*dulo 'uía presenta en forma sencilla la aplicaci*n de las diferentes medidas +erramientas de anlisis estadístico1 así como erramientas ,ue permitirn lasoluci*n de pro)lemas a niel financiero con el *ptimo mane;o de modelos + f*rmulasfinancieras + su aplicaci*n prctica en el mundo empresarial=

Cada una de las prcticas + talleres permiten 'enerar la a)ilidad de interpretaci*n +anlisis re,uerido para desempe-ar un oficio + 'enerar alor a're'ado en la la)or adesempe-ar=

El presente m*dulo a sido recopilado a partir del conocimiento en la materia + de laePperiencia en el campo la)oral de los docentes del rea1 así como los tePtos1m*dulos de la instituci*n + reconocida )i)lio'rafía seleccionada para tal fin=

>



O!&ETIOS

O);etiosComprender + asimilar el concepto de t(rmino de estadística en forma'eneral conociendo sus orí'enes + desarrollo ist*rico=

Conocer los conceptos )sicos + la terminolo'ía utilizada en la estadística1centrando el estudio en el rea descriptia1 de o)seraciones de ecos +fen*menos a partir de los cules se inicia la recolecci*n de informaci*n=

Conocer1 comprender e interpretar las diersas medidas estadísticas ,ueePisten=

Capacitar al estudiante en el mane;o de las erramientas )sicas ,ueconforman la matemtica financiera=

Generar en el estudiante la capacidad + a)ilidad de anlisis frente adiferentes casos financieros + la soluci*n de los mismos=

!rindar las principales erramientas en el uso de tecnolo'ías necesarias parael desarrollo de esta rea Bcalculadora financiera + EPcel=

J



G$ÍA ETODOL.GICA

Guíaetodol*'icaLa estrate'ia metodol*'ica del I"CA%1 para la formaci*n t(cnica del aprendizmediante competencias la)orales1 comprende dos caminos:

5= Las clases presenciales dictadas por el /ormador aciendo uso del m(todoinductio F actio

El tra)a;o prctico de los estudiantes diri'ido + ealuado por el /ormador1 atra(s de talleres1 desarrollo de casos1 lecturas + consultas de los temas declase etc= Con esto se )usca fomentar en el estudiante el anlisis1 el uso de

erramientas tecnol*'icas + la responsa)ilidad=

3=

Los m*dulos 'uía utilizados por el I"CA%1 para desarrollar cada uno de los cursos1se ela)oran teniendo en cuenta (sta metodolo'ía= Sus características +recomendaciones de uso son:

A cada unidad de aprendiza;e le corresponde un lo'ro de competencia la)oral el cual iene definido antes de desarrollar su contenido= Se'uidamente se definen los indicadores de lo'ro o sea las eidencias de aprendiza;e re,ueridas ,ue ealuar el /ormador=

Glosario: Definici*n de t(rminos o pala)ras utilizadas en la unidad ,ue son propias del tema a tratar=

Desarrollo de la unidad diidida en contenidos )rees se'uidos por e;ercicios1 referenciados así:

/DN BEl /ormador Dice + Nace: Corresponde a la ePplicaci*n delcontenido + el desarrollo de los e;ercicios por parte del /ormador=

/DEN BEl /ormador Dice + el Estudiante Nace: El estudiante desarrollalos e;ercicios propuestos + el /ormador superisa=

EDN BEl estudiante dice + ace: Es el tra)a;o prctico ,ue desarrollanlos estudiantes fuera de la clase1 a tra(s de talleres1 desarrollo decasos1 lecturas + consultas de los temas1 los cuales de)en serealuados por el /ormador=

Al final de cada unidad se puede presentar un resumen de los contenidos ms releantes + e;ercicios 'enerales=

7



DIAG".STICO

I"/ORACI." GE"ERAL

Re'ionalQQQQQQQQQQQQQ%ro'ramaQQQQQQQQQQQQQQQQQQ*duloQQQQQQQQQQQQ

EstudianteQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ/ormadorQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

EAL$ACI." DIAG".STICA

Estilo de aprendiza;eQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

6



DISTRI!$CI." DE /REC$E"CIAS 5

Distri)uci*n de frecuencias

$nidad$"IDAD 5

LOGRO DE CO%ETE"CIA LA!ORAL

ane;a conceptos + desarrolla las t(cnicas de a'rupaci*n de

frecuencias1 ampliando destrezas para ela)orar matrices + 'rficos de distri)uci*n de frecuencias con erramientas en EPcel + preparar anlisis de los mismos=

I"DICADORES DE LOGROS

Definir ,u( es estadística

EPplicar m(todos para seleccionar unamuestra=

Distin'uir entre una aria)le cuantitatia +cualitatia=

Distin'uir entre una aria)le discreta + unacontinua=

Or'anizar datos de distri)uci*n de

frecuencia=

Representar una distri)uci*n de frecuenciaen isto'ramas1 circular + polí'ono defrecuencia=

%resentar datos utilizando 'raficas decolumnas1 de línea + circular=

%resentar datos utilizando 'raficas decolumnas1 de línea + circular=

Interpretar + analizar 'rficos estadísticos=

$tilizar la t(cnica de muestreo en la toma deinformaci*n para desarrollar la parteestadística en una inesti'aci*n de mercados=

EIDE"CIAS DE

Conocimiento

Conocimiento

Conocimiento

Conocimiento

%roducto

%roducto

%roducto

%roducto

%roducto

Desempe-o

5H



/DN= /ormador Dice + Nace

5=5 CO"CE%TO DE ESTADÍSTICA

La Estadística es un con;unto de m(todos1 t(cnicas1 normas1 re'las1 principios ,uepermiten o)serar1 a'rupar1 descri)ir1 cuantificar + analizar el comportamiento de un'rupo= Definida tam)i(n como el con;unto de procedimientos utilizados en larecolecci*n1 or'anizaci*n1 presentaci*n1 anlisis e interpretaci*n de datosnum(ricos=

ESTADÍSTICA= La ciencia de reunir1 or'anizar1 presentar1 analizar e interpretardatos para a+udar a tomar decisiones=

ESTADÍSTICA DESCRI%TIA= (todos para or'anizar1 resumir + presentar datosde manera informatia=

ESTADÍSTICA I"/ERE"CIAL= (todos usados para determinar al'o acerca de lapo)laci*n )asndose en una muestra1 estima1 conclu+e + pro+ecta datos1 utilizandolas pro)a)ilidades para determinar la alidez de la prue)a=

Dato: Se entiende como el antecedente para lle'ar al conocimiento ePacto de al'o1es una informaci*n num(rica o alfanum(rica=

%o)laci*n: Con;unto de todos los indiiduos1 medidas Bpersonas1 o);etos1 animales1etc= ,ue porten informaci*n so)re el fen*meno ,ue se estudia por e;emplo1 todoslos /ormadores del I"CA%1 todos los a)itantes de un país1 todos los estudiantes

)acilleres= Se'n el tama-o1 la po)laci*n puede ser finita cuando el nmero deelementos ,ue la inte'ran es limitado e infinita cuando consta de infinitoselementos=

uestra: Su)con;unto ,ue seleccionamos de la po)laci*n1 ,ue se toma parainesti'arla o estudiarla= La muestra se toma cuando los elementos de la po)laci*nson mu+ numerosos1 lo ,ue ace difícil + costoso inesti'arla en su totalidad= Loselementos ,ue inte'ran la muestra se pueden seleccionar aleatoriamente1 es decir,ue todos tienen la misma pro)a)ilidad de ser ele'idos así ser aleatorio= %or suparte1 si es el inesti'ador se'n su criterio o coneniencia es el ,ue los eli'e1 seruna muestra no pro)a)ilística o no aleatoria=

$na muestra por e;emplo1 sería tomar 5 /ormadores del I"CA%1 del total de losdocentes1 seleccionar los a)itantes de la Costa Atlntica del total de a)itantes deColom)ia= Estas muestras serían representatias de sus respectias po)laciones=

Las conclusiones ,ue se consideran lidas para la muestra1 ,ue representa en esemomento a toda la po)laci*n1 se acen ePtensas a toda esta1 'arantizndolasestadísticamente mediante la indicaci*n de la alidez del proceso=

55



Elementos: son las unidades de o)seraci*n ,ue constitu+en la muestra + ,ue portanto inte'ran la po)laci*n1 + pueden corresponder a personas1 cosas u o);etos1 sonlas unidades inesti'adas=

5=3 T0C"ICA DEL $ESTREO

El proceso muestral es utilizado para ePtraer conclusiones acerca de unapo)laci*n1 con )ase a la consulta de a una pe,ue-a porci*n de ella= Es de 'ranutilidad en la inesti'aci*n de mercados para tomar decisiones de maretin'=En este proceso se )usca la ma+or ePactitud posi)le1 lo cual se lo'ra con un censo1pero se consume demasiado tiempo + recursos1 a no ser ,ue se trate depo)laciones pe,ue-as=La t(cnica ace la inesti'aci*n posi)le +a ,ue permite la toma de una ínfimaporci*n de la po)laci*n=

5=3=5 El proceso muestral

5= Definici*n de la po)laci*n o);eto= Define claramente los atri)utos ,ue de)en cumplir los indiiduos de la po)laci*n o);eto de la po)laci*n=3= Ela)oraci*n del marco muestral= Consiste en o)tener un listado de inte'rantes de la po)laci*n o);etia1 ,ue sira para ePtraer la muestra= El marco se )usca inicialmente en al'una fuente secundaria +1 en caso de no ePistir1 se ace un leantamiento directo o se determina mediante una soluci*n e,uialente=2= Dise-o muestral= Definida la po)laci*n o);eto + conocido el marco muestral1 se determina el tipo de de muestreo1 las condiciones estadísticas + el procedimiento para localizar las unidades de anlisis o participantes== Recopilaci*n de los datos= Es la funci*n lo'ística ,ue consiste en realizar todas las actiidades relacionadas con la recolecci*n de datos1 desde la preparaci*n asta la entre'a a el encar'ado de la ela)oraci*n de la distri)uci*n de frecuencias== Correcciones= En esta fase se corri'en los errores1 se eliminan las fuentes defectuosas + se resuelen los pro)lemas cuando se presentan=>= Anlisis= Se realiza el tratamiento psicoanalítico de los resultados de la informaci*n + la aplicaci*n de las prue)as estadísticas para deducir conclusiones + recomendaciones=

5=3=3 La alternatia del censo

El censo consulta toda la po)laci*n1 pero por su costo + utilizaci*n de recursos seprefiere el muestreo1 en al'unas circunstancias se realizan los censos:

53



5= %o)laci*n mu+ pe,ue-a3= uestra mu+ alta + poca diferencia con la po)laci*n=2= Los costos fi;os1 con relaci*n de los aria)les1 son mucos ma+ores ,ue

;ustifican ePtenderse a toda la po)laci*n== %or recomendaciones de ePpertos o personas influ+entes se solicita el censo en lu'ar del muestreo=

El censo no presenta errores mu(strales pero por su tama-o + comple;idad sepuede multiplicar los errores de procedimiento1 al punto ,ue puede ser ms practicoel muestreo=

enta;as + desenta;as del censo + el muestreo=

/ACTOR $ESTREO CE"SO

5= Costo

3= Duraci*n

2= %rocedimiento

= Error muestral

= Error no muestral

>= Impacto

s econ*mico

s corto

Simple

a+or

uco menor

Afecta solo unape,ue-a parte de la po)laci*n

s costoso

s lar'o

Comple;o

"o tiene

u+ 'rande

Afecta a toda la po)laci*n

5=3=2 (todos para seleccionar la muestra

5= uestreo pro)a)ilístico= uestra seleccionada de tal forma ,ue cada artículo o persona dentro de la po)laci*n tiene la misma pro)a)ilidad Bdistinta a cero de ser incluida en la muestra=

52



Este m(todo de muestreo )usca ,ue los resultados no est(n ses'ados1 esdecir ,ue sean representatios de la po)laci*n +a ,ue su finalidad es permitir,ue el azar determine los artículos o personas ,ue se inclu+e en la muestra=

uestreo aleatorio simple= $na muestra seleccionada de modo ,uecada uno de los elementos o personas en la po)laci*n ten'a lasmismas pro)a)ilidades de ser incluido=E;= En el curso /D/= H5 de H estudiantes se a de seleccionar unamuestra de 5H estudiantes para lo ,ue el formador incluir en una urnalos H nom)res de los estudiantes + sacar 5H=

uestreo aleatorio sistemtico= Se acomodan los elementos opersonas de la po)laci*n en cierta forma= Se selecciona un punto departida aleatorio + lue'o se toma cada ?(simo miem)ro para formar

parte de la muestra=E;= En el curso /D/= H3 de 35 estudiantes se decide tomar unamuestra de J estudiantes para ello1 se tomaran los mltiplos de 2 de lalista del curso=

uestreo aleatorio estratificado= Se diide una po)laci*n ensu)'rupos llamados estratos1 + se selecciona una muestra de cadauno de ellos=E;= En el curso /D/ H2 de H estudiantes se toma una muestra de 5Hestudiantes dependiendo de los in'resos ,ue reci)en así:

ESTRATO SL "o= EST$DIA"TESSE E"C$E"TRA %OR "o= $ESTREO

5

3

2

5A3

3A2

2A

2

5H

J

3

5

3= uestreo determinístico= Recurre a m(todos su);etios ,ue1 al'unos casos1 se pueden ;ustificar con enta;a de los pro)a)ilísticos= %or e;emplo1 cuando se conoce el marco muestral + permite ma+or cu)rimiento de la producci*n=

5



C$ADRO CO%ARATIO DE $ESTREO=

T0C"ICA TI%O

uestreo %orConeniencia

DETERI"ISTICO

uestreo %or &uicio

uestreo por Cuota

uestreo Aleatorio Simple

%RO!A!ILÍSTICO uestreoSistemtico

uestreoEstratificado

uestreo %or Grupo

!a;o costo1 no tomamuco tiempo=

/ORTALE#ASenoscostoso1

tomamenostiempo1msconeniente=

DE!ILIDADESTendencia en la

selecci*n muestra norepetitia= "o serecomienda parainesti'aci*ndescriptia + casual="opermitela'eneralizaci*n1essu);etio=Tendencias en laselecci*n="oase'uralarepresentatiidad="oase'uralarepresentatiidad=

Secontrolalamuestraparaciertascaracterísticas=

Se entiende confacilidad1 resultadospara pro+ecciones=Esmu+ Costoso=representatio=a+or %recisi*n + Difícil selecci*n deo);etio=lasaria)lesde estratificaci*n + es costoso=/cil de poner en InePacto1 es difícil deprctica1costo calcularseeefectio=interpretarlos resultados=

5=3= Características a la ,ue se refieren los datos

Las Características o caracteres1 corresponden a determinados ras'os1 cualidadeso propiedades ,ue poseen los elementos ,ue se estn estudiando al'unos sonmedi)les num(ricamente= %or lo ,ue se llaman Cuantitatios + aria)les1 talescomo estatura1 peso1 in'resos1 'astos1 entas etc= Otros se ePpresan mediantepala)ras + no son medi)les num(ricamente1 por lo cual se llaman Cualitatios o

Atri)utos1 tales como calidad1 estados de nimo1 profesi*n etc=

La aria)le: es un sím)olo tal como una letra A1 !1 81 4 etc=1 ,ue sire pararepresentar un concepto cual,uiera salario1 empleados1 entas entre otros + puedetomar un alor cual,uiera dentro de un con;unto dado Bde salarios1 de empleados1de entas1 etc==

5



aria)les cualitatias o atri)utos: no se pueden medir num(ricamente Bpore;emplo: nacionalidad1 color de la piel1 sePo=

5= Escalas nominales: es una forma de o)serar o medir en la ,ue los

datos se a;ustan por cate'orías ,ue no mantienen una relaci*n de orden entre sí Bcolor de los o;os1 sePo1 raza1 profesi*n1 etc==

3= Escalas ordinales: en las escalas utilizadas1 ePiste un cierto orden o ;erar,uía entre las cate'orías B'rados de oficiales /$ER#AS ILITARES1 ARADA1=

aria)les cuantitatias: tienen alor num(rico Bedad1 precio de un producto1in'resos anuales1 estas se pueden clasificar en:

5= aria)le Discreta: ace referencia a datos ,ue no admiten fraccionamiento1 es decir s*lo acepta alores enteros1 como por e;emplo1 el nmero de i;os de una familia1 los puntos o)tenidos en el lanzamiento de los dados1 el nmero de li)ros de una )i)lioteca1 el nmero de a)itaciones de una casa=

3= aria)le Continua: se refiere a alores ,ue pueden ser fraccionados1 tales como la estatura de las personas1 el peso de las personas1 los in'resos1 los 'astos= Las medidas de olumen1 de superficie1 de lon'itud1

los porcenta;es1 el tiempo etc= En esta aria)le1 se ela)oran interalos con el o);eto de simplificar el ordenamiento + la presentaci*n de los datos=

Los si'uientes son al'unos e;emplos de lo anotado anteriormente:

ELEE"TOS

Tra)a;adores

Empleados

%ersonas

Estudiantes

No'ares

CARACTERÍSTICA

Salarios

Noras tra)a;adas

Casadas

"otas

Consumo

5>



E;emplo 5: aria)les Cualitatias=

entas por Sucursal=

S$C$RSAL

Centro

Capinero

Restrepo

$nicentro

$sme

TOTAL

ILES DE %ESOS B

52H

2H

HH

37H

6H

52H

En este caso1 las características cualitatias son los nom)res de las sucursales=

E;emplo 3: aria)les Cuantitatias=

"mero de ia;es de )uses de transporte p)lico=

"UERO DE IA&ES

3

2H

3H

5

H

TOTAL

"UERO DE !$SES

5

3H

2H

2

H

5H

En este caso1 se trata de una aria)le cuantitatia como es el nmero de ia;esefectuados por 5H )uses de sericio p)lico1 + discreta1 puesto ,ue el nmero deia;es efectuados por los )uses no puede ser fraccionado=

5J



Almacenes se'n el alor de entas mensuales=

E"TAS Biles de

53H F 5H

5H F 57H

57H F 3H

3H F H

H F >HH

TOTAL

"UERO DE ALACE"ES

J

5

3

56

En este caso1 se trata de una aria)le cuantitatia como son las entas efectuadaspor 56 almacenes en un mes cual,uiera1 + contina1 puesto ,ue admite fraccionescomo son los centaos=

5=3= /ormas de edici*n

Las aria)les1 se pueden medir o clasificar de acuerdo con la naturaleza de lasmismas1 para las cualitatias se utilizan escalas nominales en cate'oríasdescriptias1 mientras ,ue para las cuantitatias se emplean las num(ricas1 )ien seaa interalos i'uales en la aria)le continua1 o proporcionales en la aria)le discreta=

$na ez se an recolectado los datos1 se de)e proceder a or'anizarlos1 +presentarlos para su respectio anlisis1 las si'uientes son las t(cnicas pararealizarlo=

5=2 /REC$E"CIAS

$na serie estadística1 se forma por los datos recolectados preliminarmente1 conellos se de)e iniciar su ta)ulaci*n= Así por e;emplo1 al realizar una encuesta en 5Ho'ares colom)ianos para determinar los )itos de compra medidos en días1 los

datos se presentarn de la si'uiente forma:

85

83

82

8

8

VVVVV

5 días 7 días5 días2H días 7 días

57

8>

8J

87

86

85H

VVVVV

2H días2H días2H días2H días7 días



Donde 8i1 es el sím)olo utilizado para representar la serie como se encontr* en lainesti'aci*n= La i toma alores de 5 a 5H= El primer encuestado 851 marc* 5días1 el tercero 82 marc* 51 el s(ptimo 8J1 2H + así sucesiamente=

Cuando se an a a'rupar los datos recolectados u o)seraciones correspondientesa las características ,ue interesa analizar de una po)laci*n1 a partir de una muestra1es necesario esta)lecer al'n criterio de ordenaci*n=%or e;emplo1 unacaracterística cualitatia se puede acer de acuerdo con un orden alfa)(tico1 lasentas de un almac(n1 se puede acer por re'i*n1 departamento o endedor=

Otro tipo de ordenaci*n1 puede ser la cronol*'ica o ist*rica Ba-os1 meses1 días1 delms anti'uo al ms actual o iceersa1 la deseada por el estadístico o se'n laimportancia=

A niel de aria)le cuantitatia1 se utilizan para su clasificaci*n1 las escalasnum(ricas como +a se anot* anteriormente= Se recomienda en cual,uier caso1 lautilizaci*n de cuadros o ta)las para or'anizar + presentar los datos=

C$ADROS 4 TA!LAS ESTADÍSTICAS %ARA ORDE"AR 4 %RESE"TAR DATOS

5= El Cuadro o ta)la de)e ser sencillo1 si es preciso ela)orar dos o ms1 para eitar incluir demasiada informaci*n en uno s*lo=3= De)en ser numerados en forma consecutia=2= De)en tener un título claro1 + conciso ,ue respondan al Mu(1 el C*mo1 el D*nde + el Cundo se o)tuo la informaci*n ,ue se presenta o el cuadro realizado= Si re,uiere su)títulos1 se de)en incluir en cual,uier caso se recomienda mane;ar los espacios1 la letra1 la orto'rafía + la or'anizaci*n de la misma== ane;ar el nmero de columnas + filas ,ue se re,uieran1 en especial para el caso de las ta)las= Cada una con su respectia identificaci*n o notaci*n si así lo re,uiere Bcerrar siempre con líneas== Indicar las unidades de medida ,ue se utilicen1 por e;emplo tiempo1 pesos1 etc= BMue permita identificar sí es una característica cualitatia o aria)le

cuantitatia1 utilizar conenciones o sím)olos si se re,uieren=>= Indicar al final del cuadro1 Bpie1 la referencia del ori'en de los datos1 o la ePplicaci*n de conenciones si se utilizaron=

56



Cuadro "o= 5

Clasificaci*n de tra)a;adores Bnmero por salarios + tiempo de sericios B a-os=

SALARIOS

=3HH=HHH ? 7=HHH=HHH7=HHH=HHH ? 53=HHH=HHH53=HHH=HHH ? 5>=HHH=HHH5>=HHH=HHH ? 3H=HHH=HHH3H=HHH=HHH ? 3=HHH=HHH3=HHH=HHH ? 37=HHH=HHH TOTAL

AOS DESERICIO B 2 5H 3 > 2H

TOTALTRA!A&ADORES= 2 5H 3 > 2H

/uente: Departamento de personal /)rica "acional=

/recuencia: es el nmero de eces ,ue se repite cada alor de la aria)le1 o cadaatri)uto1 llamndose en forma inte'ral1 frecuencia de ocurrencia= Siendo este unode los primeros o);etios de la o)seraci*n=

La determinaci*n de la frecuencia se puede realizar a tra(s de un censo oinentario para el caso del total de la po)laci*n= Si las frecuencias se determinansolamente a partir de la o)seraci*n de tan s*lo un se'mento de la po)laci*n1 o seade una muestra1 se trata de muestreo=

Así1 por e;emplo para el caso de los 5H o'ares colom)ianos1 el alor 5 de laaria)le1 se repite 3 eces1 su frecuencia es 3 como el alor 2H se repite eces1su frecuencia es + así sucesiamente=

5=2=5 Distri)uci*n de /recuencias

Es un a'rupamiento de datos en cate'orías mutuamente ePclu+entes dando elnmero de o)seraciones de cada cate'oría=La Ta)la de /recuencias es la or'anizaci*n ta)ular ,ue contiene todas las ariantes

o clases de la aria)le + sus frecuencias respectias así1 los datos se clasifican +ordenan de acuerdo con ciertas características cualitatias + cuantitatias1indicndose el nmero de eces ,ue se repite el atri)uto o aria)le= El orden ,ue seasuma puede ser ascendente o descendente=

%or lo 'eneral1 el primer paso despu(s de recolectar los datos1 es ePpresarlos enforma de distri)uciones de frecuencia1 permitiendo una isi*n de con;unto de laso)seraciones realizadas=

3H



%ara la ela)oraci*n de una Ta)la de /recuencias1 tanto para aria)les discretascomo para continuas1 es necesario conocer la sim)olo'ía utilizada en la misma1como elementos re,ueridos para el clculo de las diferentes medidas ,ue se aplicanen el anlisis de los datos=

SI!OLOGÍA $TILI#ADA E8%LICACI."Tama-o de la po)laci*n=

Tama-o de la muestra=

Característica cuantitatia1 o)serada en cada unidadestudiada=/recuencia A)soluta Simple1 nmero de eces ,ue se repitecada alor de la aria)le=

/recuencia Relatia Simple1 i'ual a la frecuencia a)solutadiidida entre n * "=

/recuencia A)soluta Acumulada1 o)tenida sumando a cadafrecuencia a)soluta1 el alor anterior=

/recuencia Relatia Acumulada1 o)tenida sumando a cadafrecuencia relatia1 el alor anterior=

"mero de marcas de clase o nmero de interalos=

aria)le Discreta o marca de clase=

Los interalos en ,ue se diide la aria)le continua1 límite

inferior + superior respectiamente=Amplitud del interalo=

EC$ACIO"ES A $TILI#AR

/recuencia Relatia Simple1

Ran'o o Recorrido V 8i mPimo F 8i mínimo

Amplitud del interalo1 C

SÍ!OLO "

n

8i

ni

i

"i

Ni

m

4i

Li F Ls

C

"mero de interalos o marcas de clase1 m 5 212 lo' n BRe'la de Stur'esSe recomienda determinar m1 no s*lo usando esta f*rmula1 sino con el criteriodel estadístico1 ,ue no sea menor de 1 ni ma+or de 5> LimInf LimSuper

arca de clase1 4i

3

8 maP imo 8 min imo

m

35



%ara realizar o esta)lecer una Distri)uci*n de /recuencias1 el procedimiento)sicamente consiste en:

5= Leer + comprender el caso a analizar=

3= Identificar la po)laci*n del estudio=

2= Identificar la muestra de la po)laci*n=

= Identificar la característica + el elemento=

= Identificar el tipo de aria)le ,ue se a a analizar=

>= Ordenar + ta)ular los datos1 )ien sea en forma ascendente o descendente preferi)lemente so)re todo para datos num(ricos=

J= Determinar las repeticiones de cada uno de los alores de la aria)le1 es decir las frecuencias a)soluta Bconteo num(rico1 relatia o porcentual1 Baplicaci*n f*rmula + las acumuladas Bsumando las anteriores=

7= Ela)orar la distri)uci*n de frecuencias esta)leciendo si es necesario los interalos de clase=

6= Interpretar las diferentes frecuencias + sacar conclusiones 'enerales so)re las o)seraciones realizadas=

5H= Ser mu+ ordenado1 + prctico en cada uno de los pasos a se'uir + clculos a realizar1 para o)tener ma+or a'ilidad + rapidez en el tra)a;o=

E;emplo: aria)le Discreta

5= $n fa)ricante de medicamentos est interesado en la po)laci*n ,ue padece ipertensi*n1 cu+a condici*n pueda ser controlada por un nueo producto desarrollado por la empresa= Se aplic* un estudio + participaron HHH personas ,ue padecen de ipertensi*n + se encontr* ,ue el 7HW de las personas pueden controlar su ipertensi*n con el medicamento=

a Cul es la po)laci*n1 muestra1 característica + elemento=%O!LACI.": %ersonas padecen de ipertensi*n=$ESTRA: HHH personas ,ue padecen de ipertensi*nCARACTERÍSTICA: personas ,ue padecen ipertensi*n=ELEE"TO: Cada persona analizada ,ue padece de ipertensi*n=

33



Se realiz* una inesti'aci*n en la f)rica nacional de industrias plsticas1 paradeterminar el nmero de ermanos ,ue tienen los tra)a;adores1 + esta)lecer ,uetanto se repiten1 del total de H tra)a;adores1 se seleccion* una muestra aleatoriade 3H personas para efectuar el estudio= Los resultados o)tenidos fueron:

%EDROIG$ELA"A&ORGEL$ISA"TO"IOSARA&$A"GRACIELARO!ERTOL$#

ARTNA&OS0ARÍAXILLIAED$ARDOIRIARA/AELA$G$STOICAELA

V2VV3V2VVV5V2V3V5V

V2V5V5V3V2VVV2V2

Con la si'uiente informaci*n1 esta)lecer:

%o)laci*n=uestra=Identificar tipo de aria)le=Ta)ular los datos=Ela)orar una distri)uci*n de frecuencias1 calculando cada una de ellas=Interpretar los resultados + sacar conclusiones=

DESARROLLO:

La po)laci*n: B" H tra)a;adores de la f)rica nacional de

La muestra: Bn 3H tra)a;adores de la f)rica nacional de,ue son representatios del total de la empresa=

industrias plsticas=

industrias plsticas=1

La aria)le: Discreta es el nmero de ermanos ,ue tienen los tra)a;adores susím)olo es +i=

32



%ara ta)ular los datos1 amos a contar inicialmente cuantas eces se repite cadauno de los alores1 mediante la ta)ulaci*n num(rica:

21 SE RE%ITE J ECES=1 SE RE%ITE ECES=31 SE RE%ITE 2 ECES=1 SE RE%ITE 3 ECES=51 SE RE%ITE ECES=

EL ALOR DEEL ALOR DEEL ALOR DEEL ALOR DEEL ALOR DE

Es importante tener en cuenta ,ue la suma del nmero de eces ,ue se repite cadauno de los alores1 de)e ser i'ual al total de la muestra=

Ta)la Distri)uci*n de /recuencias:

4i

5 3 2 TOTAL

ni

2 J 33H

i

3H W 5 W 2 W 3H W 5H W5HH W

"i

J5573H

Ni

3H W 2 W JH W 6H W5HH W

Donde 4i1 es la aria)le en anlisis=

Esta es la distri)uci*n ,ue se conoce como de datos no a'rupados=

La frecuencia a)soluta simple es ni= O)tenida a partir de contar el nmero de eces,ue se repite cada alor=

La frecuencia relatia simple es i= O)tenida diidiendo cada alor de la frecuenciaa)soluta entre el tama-o de la muestra1 es decir 3H + ePpresndola en formaporcentual= BAplicar f*rmula=

La frecuencia a)soluta acumulada es "i= O)tenida a partir de ir sumndole a cadaalor de la frecuencia a)soluta1 el alor anterior=

La frecuencia relatia acumulada es Ni= O)tenida a partir de ir sumndole a cadaalor de la frecuencia relatia1 el alor anterior=

3



Interpretaci*n de Resultados:

/REC$E"CIAS A!SOL$TAS SI%LE1 ni1

tra)a;adores tienen 5 ermano2 tra)a;adores tienen 3 ermanosJ tra)a;adores tienen 2 ermanos tra)a;adores tienen ermanos5 tra)a;adores tienen ermanos

/REC$E"CIAS RELATIAS SI%LE1 i13H W de los tra)a;adores tienen 5 ermano5 W de los tra)a;adores tienen 3 ermanos2 W de los tra)a;adores tienen 2 ermanos

3H W de los tra)a;adores tienen ermanos5H W de los tra)a;adores tienen ermanos

/REC$E"CIAS A!SOL$TAS AC$$LADAS1 "i1J tra)a;adores tienen 5 o 3 ermanos5 tra)a;adores tienen 51 31 o 2 ermanos57 tra)a;adores tienen 51 31 o ermanos3H tra)a;adores tienen 5 asta ermanos

/REC$E"CIAS RELATIAS AC$$LADAS1 Ni13H W de los tra)a;adores tienen 5 ermano2 W de los tra)a;adores tienen 5 o 3 ermanosJH W de los tra)a;adores tienen 51 31 2 ermanos6H W de los tra)a;adores tienen de 5 asta ermanos5HH W de los tra)a;adores tienen de 5 asta ermanos

Se puede concluir1 ,ue en la /)rica en estudio1 los tra)a;adores cuentan con unalto nmero de ermanos B2 a el >W1 de acuerdo con los datos proporcionados

por la muestra=

E;emplo: aria)le Continua

De un almac(n de ropa1 se toma una muestra de 5H artículos1 para esta)lecer unestudio relacionado con los precios en pesos Bmiles1 los datos son los si'uientes:

3



85

83

82

8

8

8>

8J

87

86

85H

VVVV

VVVVVV

J623H>J

>6>HJH

%rimero 1 se identifica el alor mPimo de estos precios B J6 + el alor mínimo delos mismos B 3H:

8 mPimo V J68 mínimo V 3H

Se ordenan los datos ASCE"DE"TEE"TE

85838288

8>8J878685H

V3HV2VVV

V>HV>JV>6VJHVJ6

Nallamos el recorrido o ran'o1 ,ue es la diferencia entre los dos alores:

RA"GO V 8 mPimo F 8 mínimoRA"GO V J6 ? 3HRA"GO V 6

Determinamos la amplitud del interalo1 así como cuntos interalos se an de

formar:

8maPima 8minimo

mDonde m1 es el nmero de interalos a formar1 en este caso > a criterio personal:

CV

3>



C V J6 ? 3H

>

C V 61 72 aproPimamos a 5H + de;amos como amplitud del interalo 5H=

Al multiplicar 5H por >1 tenemos ,ue el recorrido da >H1 se de)e repartir ladiferencia proporcionalmente1 sumando unas unidades al límite superior1 +restndole otras al límite inferior=

Esta)lecemos la distri)uci*n de frecuencias1 utilizando los sím)olos de interalos declase1 + ela)orando la ta)la como +a se conoce=

Se alla la marca de clase o de interalo1 es decir el promedio entre el límite inferior+ el límite superior de cada interalo= %ara el primer interalo ser:

4i LimInf LimSuper

3

4i V 3H Y 2H

34i V 3+ así sucesiamente para cada interalo o se suma 4i a la amplituddel interalo 3 Y 5H V 2=

Li F Ls

3H F 2H

2H FH

H F H

H F >H

>H F JH

JH F 7H

TOTALES

ni

5

5

3

5

2

3

5H

i

5HW

5HW

3HW

5HW

2HW

3HW

5HHW

"i

5

3

7

5H

Ni

5HW

3HW

HW

HW

7HW

5HHW

4i

3

2

>

J

Esta es la distri)uci*n ,ue se conoce como de datos a'rupados=

3J



En este tePto se utiliza el formato de 3H a 2H de 2H a H donde 2H estar en elprimer interalo= Cada una de las frecuencias se interpretan de i'ual forma como enla aria)le discreta=

/inalmente1 se puede decir ,ue el realizar o no la a'rupaci*n de datos1 depende delcriterio + ePperiencia del estadístico + el nmero de datos de la muestra1 loimportante es sa)er esta)lecer los interalos de clase1 de forma ,ue no sean ni tanpe,ue-os1 ni tan 'randes1 para ,ue así se puedan incluir en cada ran'o1 losdiferentes alores o)serados=

E;emplo: aria)le cualitatia Escala nominal

Se ela)or* una encuesta en un ;ardín de ni-os + se tom* una muestra para

determinar c*mo se comporta)a el mercado de enta de mascotas1 el resultado dela encuesta fue:

perrop;aromsterperroperro

'atoamster'atoperroperro

perro'atop;aromsterp;aro

amsterperro'atop;aro'ato

A continuaci*n se muestra la distri)uci*n de frecuencias a)solutas1 relatias + de lasmascotas ms comunes de los ni-os=

ASCOTA/REC$E"CIA A!SOL$TA SI%LE

/REC$E"CIA A!SOL$TAAC$$LADA

/REC$E"CIA RELATIA

/REC$E"CIA RELATIAAC$$LADA

%erro %;aroNmster

Gato Total

J

3H

J555

3H3H

2 W 3H W 3H W

3 W5HH W

2 W W J W

5HHW5HH W

37



Grfica circular o de pastel

ASCOTAS AS CO$"ES

%erro %;aro Nmster Gato

3W

2W

3HW

3HW

5= RE%RESE"TACI." GRK/ICA DE DISTRI!$CI." DE /REC$E"CIAS

5==5 Generalidades

La presentaci*n de los datos recolectados1 ta)ulados + +a interpretados a niel dedistri)uci*n de frecuencias1 tal + como +a se io1 se puede realizar de diersasformas1 así al'unos estadísticos lo acen en forma tePtual Binformes1 reporta;es1artículos etc= mientras ,ue otros lo acen a tra(s de cuadros +Z* 'rficas= Lorecomendado para o)tener un informe ms completo e inte'ral1 es apo+ar lainterpretaci*n tePtual + en cuadros1 con la ela)oraci*n de 'rficas estadísticasdise-adas para tal fin=

Así1 en el informe tePtual se encuentran los comentarios1 o)seraciones +conclusiones escritas deriadas de las interpretaciones en forma descriptia= En lasmatrices1 se encuentran las cifras + datos num(ricos +Z* alfanum(ricos ,ue apo+an

36



la teoría= 4 en las 'rficas1 se complementa lo anterior1 isualizndose lainformaci*n de los mismos=

5==3 Graficas estadísticas

LA GRK/ICA1 es la representaci*n de datos num(ricos por medio de fi'uras1 msconcretamente de líneas= La forma de la 'rfica depende del criterio del estadístico1sin em)ar'o podemos formular ciertos principios a tener en cuenta para lo'rardise-ar + o)tener una )uena 'rfica:

5= Simplicidad en las líneas1 s*lo utilizar las ,ue se necesiten=

3= "ormalmente se utilizan líneas rectas1 cu+o 'rosor aría de acuerdo con la informaci*n ,ue est( representando

2= En el plano cartesiano1 la línea ertical u ordenada1 representa las frecuencias1 las cuales de)en comenzar de cero= Su lectura se ace de a)a;o acia arri)a== En el plano cartesiano1 la línea orizontal o a)scisa presenta las características cualitatias + cuantitatias= Su lectura se ace de iz,uierda a dereca== La 'rfica de)e llear un título1 el cual de)e ir )ien u)icado1 de)e ir numerada1 ePplicarse la fuente u ori'en de los datos ,ue allí se representan1 de)e contener la informaci*n de la ordenada + la a)scisa=>= Los datos num(ricos ,ue en la 'rfica se representan de)en presentarse en un cuadro ad;unto a la misma1 o incluidos en la misma= De)en se'uir la ePposici*n

del tePto=J= En 'eneral se de)en se'uir las recomendaciones +a anotadas en la ela)oraci*n de cuadros1 especialmente en lo referente a la presentaci*n Bforma de la 'rfica=

5==2 Tipos de 'rficas

EPisten diersos tipos de 'rficas1 cu+o empleo depende en 'ran medida1 de ,ui(nrealiza el estudio1 las principales son las si'uientes:

NISTOGRAAS= Grfica en la ,ue las clases se indican en el e;e orizontal + lasfrecuencias de clase en el e;e ertical= Las frecuencias de clase se representan porla altura de las columnas1 + las columnas se trazan ad+acentes un de otra1 en laaplicaci*n en EPcel se llaman 'raficas de columna=

2H



%ASTEL= Grfica ,ue se utiliza preferi)lemente en aria)les cuantitatias + defrecuencias simples son de forma circular en EPcel su aplicaci*n es llamada 'raficacircular=

%OLÍGO"O DE /REC$E"CIA= Son se'mentos de línea ,ue conectan los puntosformados por la intersecci*n de del punto medio de la clase + la frecuencia de claseen EPcel es llamado 'rfica de línea=

5==2=5 Dia'ramas de /recuencias Discretas

Se utiliza en la representaci*n de la aria)le discreta1 en el e;e orizontal colocamoslos alores de 4i + en el e;e ertical1 las frecuencias a)solutas Bni o las relatias

Bi= %ara cada alor de 4i1 le corresponder una frecuencia de ni o i1indicndose en el plano cartesiano como un punto= Lue'o1 partiendo de ese punto1trazamos una perpendicular al e;e orizontal + se o)tendrn las )arras con las ,uerepresentamos la aria)le= Así:

aria)le Discreta

ni

/recuencia A)soluta

i

/recuencia Relatia

4iH532

ni i

2>53J32H

H15HH13HH1HH13H1H>51HH

5?5?52?53?55?5H? 6? 7? J? >? ? ? 2? 3? 5? H?

H1H?

H12H?

H13H?

H15?

H15H?

H1H?

5 3 2 H?

5 3 2 + i

5 3 2 +

i

Tam)i(n se puede acer la 'rfica1 empleando las frecuencias a)solutas o relatiasacumuladas1 en la cual las líneas ,ue representan la aria)le an en sentidoorizontal= Así:

25



aria)le Discreta /recuencia A)soluta Acumuladas

"i

/recuencia Relatias

"i

4iH532

"i2635372H ?

NiH15HH12HH1JHH1651HH ?

2H?

3?

3H?

51HH?

H17H?

H1>H?

H1H?5?

H13H?5H?

?

5 3 2 +i

5 3 2 +i

5==2=3 Dia'rama de frecuencias continuas

Grfica utilizada para representar la aria)le contina1 est formada por un con;untode )arras rectan'ulares1 leantadas so)re el e;e orizontal1 en el ,ue se marcan losalores ,ue asume la aria)le en la distri)uci*n de frecuencias= De tal manera ,uela )ase ser i'ual a la amplitud C1 + la altura estar dada +a sea por la frecuenciaa)soluta Bni o por la relatia Bi de la clase ,ue representa= El punto de partida dela aria)le es cero + ,ue despu(s se a colocado un puente en esta forma [ deforma ,ue acorte la distancia entre el ori'en + el primer alor de la aria)le=

El anco de las )ases de los rectn'ulos es proporcional al interalo de clase= Elcentro de la )ase de)e coincidir con la marca de clase se-alada en la escala del e;eorizontal= Los lados del rectn'ulo se leantan so)re los puntos del e;e orizontal,ue corresponden a los límites reales de clase= Así:

aria)le Continua Nisto'rama de/recuencia A)soluta

ni

Nisto'rama de/recuencia Relatias

i

+i?5

F +\I

ni i>15?15?>3>3?5?JHJH15?J7J715?7>7>15?6

2>5H>232H

H15HH122H13HH15HHH1J ?51HH

5H?6?7?J?>???2?3?5?

H > >3 JH J7 7> 6

H12H?

H13?

H13H?

H15H?

H1H?

+ F +\ i?5I

H > >3 JH J7 7> 6 + F +\ i?5I

23



5==2=2 %olí'ono de /recuencias

Esta 'rfica1 utilizada para representar la aria)le continua1 se ela)ora a partir delNisto'rama de /recuencias1 primero se esta)lecen los puntos medios en la parte

superior de cada rectn'ulo1 lue'o se unen dicos puntos mediante una línea1prolon'ndose en el primero + ltimo rectn'ulo= Tam)i(n se puede ela)orar1esta)leciendo los puntos medios del interalo Bmarcas de clase ,ue se colocan enel e;e orizontal o a)scisa= %ara cada alor de la aria)le1 corresponder un alorde la frecuencia1 se-alndose con un punto en el plano1 lue'o dicos puntos seunen con líneas rectas1 formando el polí'ono=

Es una línea ,ue)rada ,ue une los puntos de intersecci*n de la a)scisa ,uecorresponde a la marca de clase con la ordenada ,ue representa la frecuencia declase= Dica línea une los centros de las )ases superiores de los rectn'ulos del

isto'rama= Así:

%olí'ono de frecuencias=

ni

%olí'ono de frecuencias

ni

5H?6?7?J?>???2?3?5?

H > >3 JH J7 7> 6

5H?6?7?J?>?

??2?3?5?

+i?5

F +\

IH H 7 >> J 73 6H 6 +

i

Como se o)sera1 se de;an dos espacios1 uno antes de la primera clase + otrodespu(s de la ltima clase1 lo ,ue permite cerrar el polí'ono1 inicindolo +terminndolo so)re el e;e de las a)scisas= Dica rea cerrada es e,uialente a lafrecuencia total de la distri)uci*n=

5==2= O;ias

$tilizada para representar la aria)le contina= %ara ela)orar dica 'rfica1 seu)ican los puntos en el plano cartesiano1 de acuerdo con el límite superior de cadainteralo + las respectias frecuencias a)solutas o relatias acumuladas lue'o seunen esos puntos1 partiendo desde el límite inferior del primer interalo1 u)icado enel e;e orizontal= Así:

22



aria)le contina

+i?5

F +\I

" N

O;ia F frecuenciasA)solutas acumuladas

"

i

2H?

3?

3H?

5?

5H?

?2?

H > >3 JH J7 7> 6

O;ia ? frecuenciasRelatias Acumuladas

N

i

5=HH?H=6H?H=7H?H=JH?H=>H?

H=H?

H=H?H=2H?

H=3H?

H=5H?

i i>15?15?>3>3?5?JHJH15?J7J715?7>

265632H

H15HH12HH1>2H17251HH

+i?5

F +\

I H > >3 JH J7 7> 6 +i?5

F +\

I

La O;ia de frecuencias acumuladas1 se utilizan especialmente para o)tenersoluciones 'rficas de pro)lemas de anlisis percentílico=

A%LICACI." E" E8CEL ARIA!LE DISCRETA

"o= 4i

5

3

2

4i

H

5

3

2

]

ni

2

>

53

J

3

2H

i

5H1HHW

3H1HHW

H1HHW

32122W

>1>JW

5HH1HHW

"i

2

6

35

37

2H

Ni

5H1HHW

2H1HHW

JH1HHW

62122W

5HH1HHW

2



GRK/ICO COL$"AS ni5

53

5H

7

ni>

>

3

H

5 3 2

2

53

J

3

"o= 4i

GRK/ICO COL$"AS i

1HHW

H1HHW

21HHW

2H1HHW

i31HHW

3H1HHW

51HHW

5H1HHW

1HHW

H1HHW

5 3 2

5H1HHW

3H1HHW32122W

H1HHW

>1>JW

"o= 4i

2



GRK/ICO COL$"AS "i2

2H

3

3H

"i5

5H

H2

5 3 2

35

372H

6

"o= 4i

GRK/ICO COL$"AS Ni53H1HHW

5HH1HHW

7H1HHW

Ni >H1HHW

62122WH1HHW

3H1HHW

H1HHW5H1HHW

5 3 2

JH1HHW

2H1HHW

5HH1HHW

"o= 4i

2>



CIRC$LAR ni

3 2

J

> 5

3

2

53

CIRC$LAR i

JW

32W

55HW

33HW

2HW

2J



GRK/ICO DE LI"EA5

53

5H

53

ni

7

>

>

2

J

3

H

5 3 2

3

"o= 4i

GRK/ICO DE LI"EA1HHW

H1HHW

21HHW

2H1HHW

H1HHW

i

31HHW

3H1HHW

51HHW

5H1HHW

1HHW

H1HHW

5 3 2

32122W

3H1HHW

5H1HHW

>1>JW

"o= 4i

27



GRK/ICO DE LI"EA2

2H

3

37

35

2H

"i

3H

5

5H

H

5 3 2

6

2

CLASE O I"TERALO

GRK/ICO DE LI"EA53H1HHW

5HH1HHW 5HH1HHW62122W

7H1HHW

Ni

JH1HHW

>H1HHW

H1HHW

2H1HHW3H1HHW

5H1HHW

H1HHW

5 3 2

CLASE O I"TERALO

26



A%LICACI." E" E8CEL ARIA!LE CO"TI"$A

GRK/ICO COL$"AS ni53

5H

7

ni >

>

3

H

>? ?>3 >3?JH

2

55

JH?J7 J7?7>

I"TERALO

GRK/ICO COL$"AS iH1HHW

21HHW

2H1HHW

31HHW

3H1HHW2>1>JW

51HHW

5H1HHW

1HHW

H1HHW

>? ?>3 >3?JH

I"TERALO

JH?J7 J7?7>

5H1HHW

3H1HHW5>1>JW 5>1>JW

i

H



GRK/ICO COL$"AS "i2

2H

3

3H

"i

5

3

5H

5

H2

>? ?>3 >3?JH

I"TERALO

JH?J7 J7?7>

6

2H

GRK/ICO COL$"AS Ni53HW

5HHW

7HW

>HW

5HHW

HW

JW2HW

5HW

>? ?>3 >3?JH

I"TERALO

JH?J7 J7?7>

72W

Ni

3HW

HW

5



CIRC$LAR ni

2

> >?

?>3

>3?JH

JH?J7

J7?7>

55

CIRC$LAR i

5H1HHW5>1>JW

>?

3H1HHW ?>3

>3?JH

JH?J7

2>1>JW

5>1>JW

J7?7>

3



GRK/ICO DE LÍ"EA ni53

555H

7

ni

> >

2

3

H

>? ?>3 >3?JH JH?J7 J7?7>

CLASE O I"TERALO

GRK/ICO DE LÍ"EA i

H1HHW

21HHW

2H1HHW

31HHW

2>1>JW

i

3H1HHW

51HHW

5H1HHW

1HHW

H1HHW

>?

3H1HHW

5>1>JW

5H1HHW

5>1>JW

?>3 >3?JH JH?J7 J7?7>

CLASE O I"TERALO

2



GRK/ICO DE LÍ"EA "i2

2H

3

2H

3

"i

3H

5

5H

H

>? ?>3 >3?JH JH?J7 J7?7>

5

6

2

CLASE O I"TERALO

GRK/ICO DE LÍ"EA Ni53HW

5HHW 5HHW

72W7HW

Ni

>HW

HWJW

2HW3HW

5HWHW

>? ?>3 >3?JH JH?J7 J7?7>

CLASE O I"TERALO



5= TAAO DE LA $ESTRA DE $"A %RO%ORCI."

El tama-o de la muestra de una proporci*n sire 'eneralmente cuando un estudiono tiene antecedentes preios1 +a ,ue se da por eco ,ue la proporci*n es i'ual a

H1H o del HW para el estudio lo ,ue ace es facilitar conocer el tama-o de muestra,ue se de)e tomar para el estudio=%ara desarrollar el procedimiento se de)en identificar tres puntos: 5= El niel de confianza deseado identificado como z ,ue lo ,ue ms se usa es el 6HW es 51> 6W i'ual a 516> + el 66W de 317= 3= $n mar'en de error en la po)laci*n ,ue es lo ,ue el inesti'ador est dispuesto a ,ue ePista mPimo de error permisi)le 'eneralmente se utiliza del W al 5HW es decir de H1H a H15 + se identifica como E= 2= $n estimado de la proporci*n de la po)laci*n es la proporci*n ,ue dieron como resultado en el caso especial de no ePistir informaci*n preia se tomara el alor de HW es decir H1H + se identifica como p= = Ecuaci*n del tama-o de la muestra de una proporci*n=

z

n pB5 p

E

3

E;emplo= En un estudio donde se desea estimar la proporci*n de ciudades ,uetienen empleados priados en la recolecci*n de )asura= El estudiante desea ,ue laestimaci*n este dentro del H15H o 5HW de la proporci*n de la po)laci*n1 el nieldeseado de confianza es de 6HW + no se dispone de una estimaci*n o estudio

preio de la proporci*n de la po)laci*n= ^Cul es el tama-o de muestra re,uerido_Soluci*n= El estimado de proporci*n de la po)laci*n seta dentro de H15H1 de modo,ue EVH15H= El niel deseado de confianza es H16H1 ,ue corresponde a un alor de51>= De)ido a ,ue no dispone de nin'una estimaci*n de la proporci*n de lapo)laci*n1 se utiliza H1H= El tama-o de la muestra re,uerido es

z

n pB5 p

E

3

51>

n BH1BH1

H15H

3

n >71H> >6



El estudiante necesita una muestra de >6 ciudades +a ,ue siempre seaproPima al entero si'uiente=

EDN= Estudiante Dice + Nace

TALLER DE A%LICACI."E&ERCICIO

5= El ;efe de personal de una empresa encontr* ,ue el nmero de días ,ue los H empleados a)ían tomado por incapacidad m(dica eran:

8583828

88>8J878685H

2J3

2377

85585385285

8585>85J85785683H

2>7

65323

83583383283

8383>83J83783682H

27>

37

82582382282

8282>82J8278268H

>23

532J6

8583828

88>8J87868H

3>7

6J253

Tomando como aria)le1 días Benteros1 determinar:

A=!=C=D=

%o)laci*n=uestra=Tipo de aria)le=Ela)orar una distri)uci*n de frecuencias e interpretar=

3= Sup*n'ase ,ue el Coordinador Acad(mico de I"CA%1 inesti'a las notas de 3H de los alumnos del rea de Gesti*n de "e'ocios + encuentra los si'uientes datos:

858382888>8J878685H

21217121J21231H1716215216

>

855853852858585>85J85785683H

21721>1J21231H171631331J21H



DETERI"AR:

A=!=C=D=E=

%o)laci*nuestraTipo de aria)leEla)orar una distri)uci*n de frecuencias e interpretarRepresente los datos 'rficamente Ni1 i

2= Se ;ue'an dos dados H eces + se re'istran los puntos o)tenidos en cada

;u'ada1 los si'uientes son los datos relacionados con punta;es o)tenidos:

858382888>8J878685H

3>76J25H3

855853852858585>85J85785683H

>235H32J6

835833832838383>83J83783682H

27>37

825823822828282>82J8278268H

2>765H323

858382888>8J87868H

2J32377

Determinar:

A =%o)laci*n!= uestra

C= Tipo de aria)leD= Ela)orar una distri)uci*n de frecuencias de aria)le discreta e interprete=E= Represente los datos 'rficamente ni1 "i=

J



= Supon'a ,ue se aplica una ealuaci*n de conocimientos a los aspirantes a puestos oficiales de un país= Se eli'e al azar una muestra de H aspirantes + estos son los resultados o)tenidos:

858382888>8J878685H

21217121J21231H1716215216

855853852858585>85J85785683H

21721>1J21231H171631331J21H

835833832838383>83J83783682H

31H171621521621217121J212

825823822828282>82J8278268H

171631331J21H21721>1J21231H

858382888>8J87868H

2121>171>212152162121712

Determinar:

A= %o)laci*n!= uestraC= Tipo de aria)leD= Ela)orar una distri)uci*n de frecuencias e interpretarE= Represente los datos 'rficamente Ni1 i

aloraci*n de Eidencias: QQQQQQ

TALLER DE SI$LACI."

LI"EAIE"TOS %ARA EL %RO4ECTO DE ESTADÍSTICA

EM$I%OS DE TRA!A&O DE 2 A EST$DIA"TES

EL /ORADOR ASIG"ARKA CADA EM$I%O DE TRA!A&O $"%ROD$CTO O SERICIO %ARA ELA!ORAR EL %RO4ECTO=EL EST$DIA"TE ELA!ORARK S$ %RO4ECTO E" XORD COOI"/ORE A LA GERE"CIA B/ORADOR $TILI#A"DO"ORASICO"TEC 4 LOS SO%ORTES E" E8CEL=

7



5=3=2===>=

EL %RO4ECTO SE DESARROLLARK A EDIDA M$E TRA"SC$RRE"LOS TEAS E" LOS CA%ÍT$LOS DEL .D$LO=E" EL CA%IT$LO 4 LA I"/ORACI." DE!ERK SER DE ESTADOSDE RES$LTADOS DE AOS CO"SEC$TIOS DE $"A E%RESA M$E

/A!RIM$E EL ISO %ROD$CTO $O%ERE EL SERICIO DEL%RO4ECTO=EL EST$DIA"TE DE!ERK ELA!ORAR $"A E"C$ESTA %ARA TOAR$ESTRAS DE 3H DATOS DE CADA $"A DE LAS SIG$IE"TESARIA!LES O ATRI!$TOS:%recio del producto o sericio%recio ,ue le 'ustaría al cliente comprarlo/recuencia de compraColor preferido u otra cualidad del producto/uente pu)licitario para conocer el producto BT1 %RE"SA ALLAS`Cualidad principal por la ,ue ad,uiri* o ad,uiriría el producto=

ARCNIO XORDI"TROD$CCI."

O!&ETIOS DEL %RO4ECTO

5=5=55=35=25=5=5=>5=J5=7

3=3=53=33=23=3=

2=2=52=32=22=2=

DISTRI!$CI." DE /REC$E"CIASTAAO DE LA $ESTRA DE $"A %RO%ORCI."0TODO DE $ESTREO=%O!LACI."=$ESTRA=TI%O DE ARIA!LE 4 ELEE"TO=TA!$LACI."=TA!LA DE DISTRI!$CI." DE /REC$E"CIA=RE%RESE"TACI." GRA/ICA 4 A"KLISIS DE RES$LTADOS

EDIDAS DE TE"DE"CIA CE"TRALEDIAEDIA"AODAC$ARTILESA"KLISIS DE RES$LTADOS

EDIDAS DE DIS%ERSI."ARIA"#ADESIACI." ESTK"DARCOE/ICIE"TE DE ARIACI."DESIACI." EDIAA"KLISIS DE RES$LTADOS

6



2=>

==5

=3

==5=3=2

>=

I"TERALO DE CO"/IA"#A %ARA $"A EDIA

REGRESI."= BE"TAS S $TILIDADES ESTADO DE RES$LTADOEC$ACI." DE REGRESI."

%RO4ECCI." A TRES AOS

CORRELACI."= BE"TAS S $TILIDADES ESTADO DE RES$LTADOEC$ACI." DE CORRELACI."A"KLISIS DE CORRELACI."DIAGRAA DE DIS%ERSI."

CO"CL$SIO"ES 4 RECOE"DACIO"ES

ARCNIO E8CELCADA CA%IT$LO E" $"A NO&A DE CALC$LO /OR$LADOS=

H



33= EDIDAS DE TE"DE"CIA CE"TRAL 4 DE DIS%ERSI."edidasde tendencia central + de dispersi*n

$nidad


Calcula1 analiza e Interpreta las medidas de tendencia central + de

dispersi*n comprendiendo sus aplicaciones=

$"IDAD 3


Calcular1 analizar e interpretar la media

aritm(tica1 la mediana1 la moda1 la media ponderada1 la media 'eom(trica + la media arm*nica=

Calcular1 analizar e interpretar la arianza1 ladesiaci*n estndar1 coeficiente de ariaci*n1la desiaci*n media=

EPplicar características1 enta;as + desenta;asde las medidas de tendencia central + dedispersi*n=

Calcular e interpretar los interalos deconfianza=

Calcular + or'anizar informaci*n en medidasde dispersi*n + de tendencia central en elpro+ecto para una inesti'aci*n de mercados=

EIDE"CIAS DE

%roducto

%roducto

%roducto

%roducto

%roducto

Desempe-o

Calcular1 analizar e interpretar los cuartiles=


3=5 EDIDAS DE TE"DE"CIA CE"TRAL

Nasta el momento1 emos centrado el estudio de las t(cnicas + los m(todosutilizados para la ordenaci*n1 a'rupaci*n1 or'anizaci*n + presentaci*n de datosrecolectados1 así como su interpretaci*n inicial + )sica1 inclu+endo su

5



representaci*n 'rfica como erramienta en la toma de decisiones empresarialesfundamentalmente=

Aora eremos una serie de m(todos ,ue amplían esos anlisis asta aora

o)tenidos1 los cuales pueden ser con respecto a la po)laci*n Bparmetros o a lamuestra Bestadí'rafos= Dicos m(todos se a'rupan en arias cate'orías1 de lascuales en esta presente unidad a)ordaremos las de Tendencia Central=

3=5=5 Concepto

Las edidas de Tendencia Central1 descri)en + unifican mediante un promedio onmero nico1 ,ue se trata de localizar en la mitad de la serie1 la posici*n de unalor en la aria)le ,ue se est estudiando1 de forma ,ue represente a todo elcon;unto de las o)seraciones=

El procedimiento para calcular una medida de tendencia central1 consiste)sicamente en:

5= Analizar la distri)uci*n de frecuencias o datos1 + analizar el tipo de aria)le ,ue se est analizando1 para esco'er la medida ms coneniente de utilizar en el e;ercicio=3= Determinar si los datos estn a'rupados o no1 + definir la f*rmula a utilizar se'n la medida a utilizar=2= Aplicar la f*rmula1 en forma manual1 por calculadora o por computador Bo;a electr*nica o softare especial== Interpretar el promedio ? resultado o)tenido + sacar las conclusiones respectias so)re el o);eto de estudio1 es decir so)re las o)seraciones=

Es una medida ,ue a a distin'uir a la po)laci*n o muestra en estudio1 por e;emplosi decimos ,ue el promedio de entas de la empresa en los seis almacenes1 es de 2Biles de 1 estamos asumiendo ,ue el olumen de entas ms frecuente o mscomn en todos los almacenes es de 2=

Los principales promedios o medidas de posici*n son las ,ue a continuaci*nestudiaremos=

3=5=3 La media aritm(tica

Es la ms conocida1 utilizada + fcil de calcular1 se denomina simplemente edia=Se o)tiene sumando todos los alores de la serie de datos o)serada + diidiendoesa suma por el nmero de datos1 puede ser po)lacional o muestral= Sím)olo =Entre sus enta;as1 se encuentran:

3



?

??

?

Es el ms popular1 se puede determinar con un alor total + el nmero deelementos ,ue inte'ran dico alor=$tiliza todos los datos de una distri)uci*n1 por lo tanto es mu+ eficiente=Se presta a tratamientos al'e)raicos1 + aritm(ticos1 sumas1 restas1

multiplicaciones + diisiones=Se recomienda si se ,uiere promediar cantidades seme;antes con ariacionesrazona)les1 no ePcesias=

Sus ma+ores desenta;as son:

?

?

Cuando ePisten en una distri)uci*n1 alores ePtremos1 dificulta su medida1 oclculo de alor acertado="o es recomenda)le para alores mu+ 'randes de las aria)les1 ni para cuandoestas estn dadas en forma de tasas o porcenta;es=

edia aritm(tica Simple1 para datos no a'rupados1

Ecuaci*n:

Pi

n

D*nde es Sumatoria de datos Bletra si'ma

E;emplo:

De un almac(n de ropa1 se toma una muestra de 5H artículos1 para esta)lecer unestudio relacionado con los precios en pesos Bmiles1 los datos son los si'uientes:

85

83

82

8

88>

8J

87

86

85H

VVVVVVVVVV

J623H>J>6>HJH

2



5=

85

8382888>8J878685H

3=


V3H

V2VVVV>HV>JV>6VJHVJ6

Aplicaci*n ecuaci*n

Pi

n

3H 2 >H >J >6 JH J6

5H

1

edia aritm(tica %onderada1 para datos a'rupados1

Ecuaci*n:

+i b nin



E;emplo:

Se realiz* una inesti'aci*n en la f)rica nacional de industrias plsticas1 para

determinar el nmero de ermanos ,ue tienen los tra)a;adores1 + esta)lecer ,uetanto se repiten1 del total de H tra)a;adores1 se seleccion* una muestra aleatoria de3H personas para efectuar el estudio= Los resultados o)tenidos fueron:

%EDROIG$ELA"A&ORGEL$ISA"TO"IOSARA&$A"GRACIELARO!ERTOL$#ARTNA&OS0ARÍAXILLIAED$ARDOIRIARA/AELA$G$STO

ICAELA

V2VV3V2VVV5V2V3V5VV2V5V5V3V2VVV2

V2

Ta)la de frecuencia datos a'rupados

4i ni 4ibni

5

3

2

2

J

>

35

5>



3

3H

5H

J

Pi

n

J

3H

317

CLASE

Li

5H

3H

2H

H

H

>H

JH

Ls

3H

2H

H

H

>H

JH

7H

ni

5

7

5H

6

7

3

3

"i

5

6

56

37

2>

H

3

4i

5

3

2

>

J

25

4ibni

5

3HH

2H

H

H

3>H

5H

573H

En cada uno de los interalos aplicamos esta ecuaci*n=

Li Ls

4i

3

>



5H 3H

4i

3

4i 5

Aplicamos la ecuaci*n=

n 573H

3 2122

+i b ni

3=5=2 La mediana

Es a,uella medida ,ue refle;a el alor ,ue est en el centro de todos los dems1superando la mitad de las o)seraciones + siendo superado por la otra mitad deestas= %or tanto el promedio estar situado en el centro de la distri)uci*ndiidiendo a esta en dos partes i'uales= "o es tan utilizada como la edia=Sím)olo e= Entre sus enta;as1 se encuentran:

? En las distri)uciones ,ue presentan alores ePtremos ,ue afectan al promedio1se de)e utilizar la mediana1 puesto ,ue no aría por los cam)ios ,ue sufra laaria)le1 mientras no sea en el alor de la o)seraci*n central=Sustitu+e a la media en distri)uciones con alores ePtremos=Es de 'ran utilidad en los períodos de tiempo=Es fcil de calcular=

???

Entre sus desenta;as se encuentran:

???

"o se presta a tratamientos al'e)raicos o aritm(ticos=Es necesario ordenar los alores antes de poderla calcular=Es mu+ poco conocida=

%ara Datos no A'rupados:

se ordenan los datos de ma+or a menor o iceersa1 se presentan dos casos:

J



5= Cundo el nmero de datos es impar: La ediana coincide con el dato central=

n 5 e 3

E;emplo:

De un almac(n de ropa1 se toma una muestra de 55 artículos1 para esta)lecer unestudio relacionado con los precios en pesos Bmiles1 los datos son los si'uientes:


858382888>8J878685H855

V3HV2VVVV>HV>JV>6VJHVJ6V7H

n 5 e 3

55 5 e

3e >

e localizada en el dato >

e >H

7



3= Cundo el nmero de datos es par: La ediana ser el t(rmino medio de los dos alores centrales= %ara lo cual se aplica la f*rmula + se o)tienen los alores ,ue se de)en promediar=

n 5 e 3

E;emplo:

Al realizar una encuesta en 5H o'ares colom)ianos para determinar los )itos decompra medidos en días1 los datos se presentarn de la si'uiente forma:

85

8382

8

8

V

VVVV

7 días

7 días7 días5 días5 días

8>

8J87

86

85H

V

VVVV

2H días

2H días2H días2H días2H días

n 5 e 3

5H 5 e 3

e 1

e localizada entre dato + >

5 2H e 3

e 331

6



%ara Datos A'rupados:

Se )usca localizaci*n en la ta)la de frecuencia mediante la ecuaci*n:

ne 3

Se aplica la ecuaci*n:

n Z 3 "ie 5 e Lie C

nie

E;emplo:

TA!LA DE /REC$E"CIA

CLASE

Li

5H

3H

2H

H

H

>H

JH

Ls

3H

2H

H

H

>H

JH

7H

ni

5

7

5H

6

7

3

3

"i

5

6

56

37

2>

H

3

4i

5

3

2

>

J

25

4ibni

5

3HH

2H

H

H

3>H

5H

573H

I"TERALO %ARA A%LICAR EC$ACI."

>H



ne

3 3e 3

e 35

En la frecuencia a)soluta acumulada "i se )usca 35

A%LICAOS LA EC$ACI."

n Z 3 "ie 5

e Lie C

nie

35 Z 3 56

e H 5H

6

e H H13333 5H

e 3133

3=5= La oda

>5



Es una medida de posici*n1 a,uel alor de la aria)le ,ue presenta la ma+orfrecuencia1 es la ,ue ms se repite o presenta1 como su nom)re lo indica1 la ,ueest de moda= %or e;emplo1 el salario ,ue ms se presenta1 el precio ,ue ms serepite sím)olo d= Es mu+ poco utilizada1 sus desenta;as son entre otras:

??

"o admite tratamiento al'e)raico o aritm(tico=u+ ePpuesta a errores de muestreo=

Se recomienda en distri)uciones con amplitud constante + en especial cuando laaria)le presenta una frecuencia mu+ 'rande con relaci*n a las dems=

Si ePiste un solo alor con mPima frecuencia1 se dice ,ue la distri)uci*n es

$nimodal1 si a+ dos alores con la misma frecuencia mPima1 es !imodal + si a+ms de dos alores con mPima frecuencia1 es ultimodal si todos los alorestienen la misma frecuencia1 se a)la de ,ue no ePiste oda=

%ara Datos A'rupados

Se )usca localizaci*n en la ta)la de frecuencia o)serando ni interalo ,uems se repita

Se aplica la ecuaci*n:

nid nid 5

d Lid nid

nid nid nid C 5

5

>3



E;emplo:

TA!LA DE /REC$E"CIA

CLASE

Li

5H

3H

2H

H

H

>H

JH

Ls

3H

2H

H

H

>H

JH

7H

ni

5

7

5H

6

7

3

3

"i

5

6

56

37

2>

H

3

4i

5

3

2

>

J

25

4ibni

5

3HH

2H

H

H

3>H

5H

573H

I"TERALO A $TILI#AR %ARA NALLAR d DO"DE ni ES EL A4OR V 5H

nid nid 5 d Lid nid

nid nid nid C 5

5 5H 7 d 2H 5H 7 5H 6

5H

>2



5H 7 d 2H 5H 7 5H 6

5H d 2H H1>>J 5H

d 2>1>>

3=5= La media 'eom(trica

Es un promedio definido por una re'la matemtica mu+ comple;a ,ue se utiliza parao)tener el promedio de una serie de alores ,ue est(n dados en pro'resi*n'eom(trica Bcrecimiento +Z* decrecimiento1 )sicamente a niel del inter(scompuesto= Es la raíz en(sima Bn de la productoria de los n alores de la aria)le=Sím)olo1 G * o=

Datos no A'rupados

lo' PiG Anti lo'

n

E;emplo:

Se colocan 2H=HHH a un inter(s del 3 W efectio anual1 el primero de enero de

566= Si el inter(s se capitaliza anualmente los días 25 de diciem)re calcular elpromedio de dinero inertido entre el primero de enero de 566 + el 25 dediciem)re de 5667 e interpretar=

DESARROLLO:

>



%rimero calculamos el inter(s ,ue a 'anado el dinero inertido1 a-o tras a-oaplicando la si'uiente f*rmula:

566 V 2H=HHHB5=3 V 2J=3HH566> V 2J=3HHB513 V >=537566J V >=537B513 V J=5671J3

AOS

566

566>

566J

5667

8i

2H=HHH

2J=3HH

>=537

J=5671J3

??????????

Lo' Pi

1JJ5

1JH

1>>26

1JJ2

571>77

Aora aplicamos la f*rmula:

lo' PiG Anti lo'

n

571>77G Anti lo'

G Anti lo' 1>5J3

G 5=561H2

G V 5=561H2 es la media 'eom(trica1 promedio de dinero inertido entre el 5 deenero de 566 + el 5 de enero de 5667=

>



Datos A'rupados

ni b lo' +iG Anti lo'n

3=5=> La media arm*nica

Se define como el recíproco de la media aritm(tica de los recíprocos de lasariantes= Es un promedio poco utilizado + se utiliza cuando se desea promediar losdatos de una aria)le dada en forma de tasas1 BRelaci*n de dependencia1 es decir1tantas unidades de un tipo por cada unidad de otra clase o especie1 se emplea paracalcular alores inersamente proporcionales especialmente en física Bespacio1tiempo + elocidad= Sím)olo ?5 * N=

Datos no A'rupados ecuaci*n:

N n

5 Pi

E;emplo:

Los si'uientes son los índices de precios al consumidor BI=%=C= en a-os1 calcularla media arm*nica e interpretar=B$tilizar todos los decimales calculadora

AOS566566566>

566J5667

Í"DICE Pi 5317W 521W 515W

513W 5>12W ??????????

5ZPi H1HJ753 H1HJHJ H1HJH633

H1H>J76 H1H>52H H12H3>H

>>




N n

Pi

H12H3>H

5

N

N 513J

N V 513J W es la media arm*nica1 del índice de precios al consumidor opromedio en estos cinco a-os=

Datos A'rupados:

N n

ni +i

3=5=J Cuartiles1 deciles + percentiles

Los Cuartiles diiden una distri)uci*n en cuatro partes1 de forma ,ue cada unaten'a i'ual nmero de o)seraciones1 es decir el 3 W de las o)seraciones= Soncuartiles los tres alores ,ue separan a la frecuencia total de la distri)uci*n diididaen cuatro partes i'uales= El alor central o se'undo cuartil1 corresponde a la

mediana=

El cuartil inferior1 M5 es a,uel alor de la aria)le ,ue supera el 3 W de laso)seraciones1 + es superado por el J W de las mismas=

>J



El se'undo cuartil1 M3 es la mediana1 ,ue supera el H W + a la ez es superadopor el H W de las o)seraciones=

El tercer cuartil1 M2 es a,uel ,ue supera al J W de las o)seraciones + essuperado por el 3 W de las mismas=

Los Deciles diiden una distri)uci*n en diez partes i'uales1 de modo ,ue se tendruno de los nuee alores ,ue diiden la frecuencia total en las diez partes i'uales=El ,uinto decil coincide con la mediana + el se'undo cuartil=

El primer decil1 D5 es el alor ,ue supera al 5H W de las o)seraciones + a su ezes superado por el 3 W de las mismas=

El se'undo decil1 D3 es el alor ,ue supera el 3H W de las o)seraciones + a su ez

es superado por el 7H W de las mismas + así sucesiamente para cada uno de lasdiez partes=

Los Centiles o %ercentiles diiden una distri)uci*n en cien partes i'uales1 de forma,ue se tendrn 66 alores de la aria)le ,ue separan a la frecuencia total de ladistri)uci*n diidida en 2 partes i'uales=

El primer percentil1 %5 es el alor de la aria)le ,ue supera al 5 W + a su ez essuperado por el 66 W de las o)seraciones= 4 así sucesiamente + en forma similar

a los cuartiles + deciles=

El clculo de cada una de estas medidas de posici*n es mu+ similar + la podemosapreciar especialmente en aria)les continuas1 cuando tienen un nmero 'rande deo)seraciones + de interalos1 + se re,uiere estudiar s*lo una parte de ladistri)uci*n=

%rimer Muartil

Donde se localiza en la ta)la de frecuencia

n

M5

>7



n

"iM 55

M 5 LiM 5 C ni

Se'undo Muartil


3n

M3

3n

"iM 3 5

M 3 LiM 3 C

ni

Tercer Muartil


2n

M2

2n

"iM 2 5

M 2 LiM 2 C

ni

>6



E;emplo:

TA!LA DE /REC$E"CIA

CLASE

Li

5H

3H

2H

H

H

>H

JH

Ls

3H

2H

H

H

>H

JH

7H

ni

5

7

5H

6

7

3

3

"i

5

6

56

37

2>

H

3

4i

5

3

2

>

J

25

4ibni

5

3HH

2H

H

H

3>H

5H

573H

%rimer Muartil


3

M5

M5 5H1


5H1 6

M5 2H 5H

5H

JH



M5 251

Se'undo Muartil


3 3

M3

M3 35


35 56

M3 H 5H

6

M3 3133

Tercer Muartil


2 3

M2

M2 251


251 37

M2 H 5H

7

J5



M2 12J


3=3 EDIDAS DE DIS%ERSI."

3=3=5 Concepto

Las edidas de Dispersi*n1 son a,uellas utilizadas para medir el 'rado dearia)ilidad de los datos con respecto a un promedio= Estas medidas1complementan el anlisis estadístico puesto ,ue muestran como se distri)u+en odispersan los datos alrededor de un promedio= Entre las principales medidas dedispersi*n1 se encuentran la arianza1 la desiaci*n estndar1 el coeficiente deariaci*n + la desiaci*n media=

El procedimiento para calcular una medida de dispersi*n1 consiste )sicamente en:

5= Tomar el alor o)tenido en la medida de tendencia central aplicada=3= Esta)lecer de acuerdo con lo anterior + con el tipo de aria)le1 la medida de dispersi*n a utilizar=2= Aplicar la f*rmula respectia1 +a sea en forma manual1 por calculadora o por computadora Bo;a electr*nica o softare especial== Interpretar el resultado o)tenido + sacar conclusiones de acuerdo al 'rado de dispersi*n de los datos con respecto a la medida de tendencia central empleada=

3=3=3 La arianza

Es una medida mu+ conocida + utilizada1 da ori'en a la medida ms importante1llamada Desiaci*n típica o estndar= Sím)olo1 S3 * Bs eleada al cuadradotam)i(n = Es la media aritm(tica de los cuadrados de las desiaciones respecto ala media aritm(tica= La arianza de)e ser siempre un alor positio ma+or ,uecero la arianza de una constante es i'ual a cero=

%or medio de la arianza1 comparamos dos o ms distri)uciones1 en cuanto el 'radode aria)ilidad de cada una respecto al promedio=

J3



Datos no A'rupados

Pi 3

n

E;emplo:

Los in'resos diarios de un almac(n durante una semana1 son los si'uientes allarla arianza e interpretar=

DÍA

L$"ESARTESI0RCOLES&$EESIER"ESSK!ADODOI"GO

I"GRESO

>HH=HHH H=HHH 2H=HHH 5H=HHH HH=HHH >H=HHH 2HH=HHH

%rimero1 calculamos la media aritm(tica:

Pi

n

H=J5136


J2



Pi 3

n

A cada dato1 le restamos la media + eso lo sumamos + lo eleamos al cuadrado1 así:

Pi Pi?

6=371J5

=371J5

3=371J5

=371J5

BPi?3

7=776=J6=65712>

5=6>5=33=761J6

76=J6=65712>

57=2>J=2>162

55=5J=5H=3H1H7

3H=757=2>J=2>162

3=257=2>J=2>162

7=JJ5=37=J513

>HH=HHH1HH H=J5136

H=HHH1HH H=J5136

2H=HHH1HH H=J5136

5H=HHH1HH H=J5136

HH=HHH1HH H=J5136 ? 5H=J5136

>H=HHH1HH H=J5136 5=371J5

2HH=HHH1HH H=J5136 ? 3H=J5136

?????????????????? ??????????????????

Pi 3

n

7=JJ5=37=J513 J

53=32=H>5=3316

V 53=32=H>5=33161 lo ,ue si'nifica ,ue este alor es el promedio de ariaci*nde los datos=La arianza ePpresa la dispersi*n en unidades distintas a las de la aria)le1 pesos alcuadrado1 metros al cuadrado por e;emplo= ientras ma+or es la dispersi*n de laso)seraciones1 ma+or es la ma'nitud de sus desiaciones respecto a la media=

J



Datos A'rupados

+i 3 ni

n3

E;emplo:

Ta)la de frecuencia de empresas con entas en millones BHHH=HHHH mensuales=

Se ela)oran las operaciones )sicas de la ecuaci*n en la misma ta)la defrecuencia=

CLASE

5H

3H

2H

H

H

>H

JH

3H

2H

H

H

>H

JH

7H

???????????

ni

5

7

5H

6

7

3

3

4i

5

3

2

>

J

????????????

4ibni

51HH

3HH1HH

2H1HH

H1HH

H1HH

3>H1HH

5H1HH

573H

4i3bni

331HH

HHH1HH

533H1HH

57331HH

33HH1HH

5>6HH1HH

553H1HH

77HH

Aplicamos la ecuaci*n

+i 3 ni

n

3

3

77=HH 5=73H

3 3

3571>

J



3=3=2 La desiaci*n estndar

Llamada tam)i(n desiaci*n típica1 es una medida ,ue indica en cunto se ale;a undeterminado alor de la aria)le1 del promedio= EPpresa en forma ms real1 los

resultados de la arianza1 +a ,ue como imos1 (sta la de dispersi*n en unidades alcuadrado1 mientras ,ue la desiaci*n lo ace en unidades ori'inales a las delestudio= Su sím)olo es s + se define como la raíz cuadrada de la arianza1tomada siempre con si'no positio1 es la raíz cuadrada de las desiacionesrespecto a la media=

La desiaci*n estndar es la medida de dispersi*n ms conocida + utilizada en elanlisis de datos estadísticos= Al i'ual ,ue la arianza1 tam)i(n permite comparardos o ms distri)uciones1 cuando estn dadas en las mismas unidades de medidas1para determinar cul de ellas presenta ma+or o menor aria)ilidad con respecto alpromedio=

Datos no A'rupados

S Pi 3

n

S

E;emplo:

Los in'resos diarios de un almac(n durante una semana1 son los si'uientes allarla arianza e interpretar=

DÍA

L$"ESARTES

I0RCOLES&$EESIER"ESSK!ADODOI"GO

I"GRESO >HH=HHH H=HHH 2H=HHH 5H=HHH HH=HHH >H=HHH 2HH=HHH

J>



%rimero1 calculamos la media aritm(tica:

Pi n

>HH=HHH H=HHH 2H=HHH 5H=HHH HH=HHH >H=HHH 2HH=HHH

J

H=J5136

Aora aplicamos la ecuaci*n:

S Pi 3

n

A cada dato1 le restamos la media + eso lo sumamos + lo eleamos al cuadrado1 así:

8i

>HH=HHH1HH

H=HHH1HH

2H=HHH1HH

5H=HHH1HH

HH=HHH1HH

>H=HHH1HH

2HH=HHH1HH

H=J5136

H=J5136

H=J5136

H=J5136

Pi?

6=371J5

=371J5

3=371J5

=371J5

BPi?3

7=776=J6=65712J

5=6>5=33=7617H

76=J6=65712J

57=2>J=2>16

55=5J=5H=3H1H7

3H=757=2>J=2>16

3=257=2>J=2>16

7=JJ5=37=J512

H=J5136 ? 5H=J5136

H=J5136 5=371J5

H=J5136 ? 3H=J5136

?????????????????? ??????????????????

JJ



7=JJ5=37=J513S

J

S 53=32=H>5=3316

S 55H=>621

Datos A'rupados

S +i 3 ni

n

3

S

E;emplo:



CLASE5H3H3H2H2HHHHH>H

>HJH

JH 7H???????????

ni575H67

3

3

4i532

>J

????????????

4ibni 51HH3HH1HH2H1HHH1HHH1HH

3>H1HH5H1HH

573H

4i3bni 331HH HHH1HH533H1HH57331HH33HH1HH

5>6HH1HH553H1HH

77HH

J7




S

+i 3 ni

n 3

77=HH 5=73H

S

3 3

S 51J7

E;emplo:

3

Durante un período A de tres meses1 los precios de un producto fueron en promediode 7H1 con arianza de 51 en un período ! anterior tam)i(n de tres meses1 losprecios tuieron un promedio de H con una arianza de 2>= ^En ,u( período u)oma+or esta)ilidad_

Comparando las arianzas1 se o)tiene:

%eríodo A V V 5%eríodo ! V V 2>

La arianza del período A es ma+or ,ue la de !1 por tal raz*n se dice ,ue A tienema+or aria)ilidad ,ue !1 es decir ,ue en ! u)o ma+or esta)ilidad en los precios=

O)tenemos las desiaciones típicas1 ePtra+endo la raíz cuadrada a cada una de lasarianzas1 o)teniendo:

%eríodo A V s V 531 Mue es el 'rado de ale;amiento de los precios1 conrespecto al promedio de 7H=%eríodo ! V s V >1 Mue es el 'rado de ale;amiento de los precios con respecto alpromedio de H=

Al comparar las desiaciones1 o)tenemos los mismos resultados1 es decir ,ue en !u)o ma+or esta)ilidad en los precios=

J6



3=3= El coeficiente de ariaci*n

Es una medida de dispersi*n relatia ,ue compara la desiaci*n típica + larespectia media aritm(tica1 se ePpresa en t(rminos porcentuales= Se emplea

cuando se desea comparar dos o ms distri)uciones1 para determinar cul de ellastiene ma+or o menor 'rado de aria)ilidad relatia=

Su utilizaci*n es importante cuando dicas distri)uciones estn dadas en unidadesde medida diferentes1 por lo cual sus arianzas o desiaciones estndar no sepueden comparar= Sím)olo d=

D*nde

sd 5HHW

El coeficiente de ariaci*n1 se o)tiene diidiendo la desiaci*n típica por su mediaaritm(tica=

%or e;emplo1 Supon'amos ,ue el peso en ilos promedio de cien )ultos de arinaen la tienda el afn1 es de 1 + su arianza es de 2>1 por su parte1 en la tiendarafa1 el peso en 'ramos promedio de cien )ultos de arina es de 27H1 + suarianza es de 751 se desea esta)lecer cul de los dos pesos presenta una menoraria)ilidad=

En este caso1 no se pueden comparar las arianzas1 ni las desiaciones típicas1 porcuanto se a)la de pesos en ilos + 'ramos1 ,ue no son las mimas medidas=Empleando el coeficiente de ariaci*n1 o)tenemos:

%ara el peso en ilos 9Tienda el afn<

sd 5HHW

S 2>

S >

7H



>d 5HHW

d 52122W

%ara el peso en 'ramos 9Tienda Rafa<

sd 5HHW

S 75

S 6

6d 5HHW

27Hd 312>W

Se puede concluir ,ue el peso de los cien )ultos de arina de la tienda RA/A1presenta una menor aria)ilidad de)ido ,ue 312>W es menor ,ue 52122W=

3=3= La desiaci*n media

Es la medida de dispersi*n definida como la media aritm(tica de las desiacionesrespecto a la media= Es una de las ms fciles de calcular1 + 'iles en el momentode cuantificar la dispersi*n= Se tienen en cuenta todos los alores de la aria)le1

siendo menos afectada ,ue la desiaci*n típica1 por los alores ePtremos= Su alorser menor ,ue la desiaci*n típica= Sím)olo1 Da=

Datos no A'rupados

75



Pi

Da n

E;emplo:

Calcular la desiaci*n media del nmero de autos endidos por un asesorcomercial durante 7 meses:

ES

/E!RERO

AR#O

A!RIL

A4O

&$"IO

&$LIO

AGOSTO

SE%TIE!RE

"o=A$TOSBPi

6

2

7

7

6

7

6

57

J3

Aplicamos las ecuaciones

Pi

n

6 2 7 7 6 7 6 57

7

6

73



Pi

Da

n

6 6 2 6 7 6 7 6 6 6 7 6 6 6 57 6

7Da

Da 313

Datos A'rupados

+i ni

Da n

E;emplo:



4iniCLASE ni 4i 4i ? 4i ? ni

5H

3H

2H

H

H

3H

2H

H

H

>H

5

7

5H

6

7

5

3

2

72

51HH

3HH1HH

2H1HH

H1HH

H1HH

2122

2122

2122

2122

2122

37122

57122

7122

51>J

551>J

37122

5>1>J

72122

51HH

62122



>H

JH

JH

7H

3

3

>

J

3>H1HH

5H1HH

573H

2122

2122

351>J

251>J

7>1>J

>2122

5>1>J


+i ni

Da

n

5>1>JDa

3

Da 5312H

3=2 I"TERALOS DE CO"/IA"#A

$n ran'o de alores ,ue se constru+e a partir de datos de la muestra de modo ,ueel parmetro ocurre dentro de dico ran'o con una pro)a)ilidad específica= Lapro)a)ilidad específica se conoce como niel de confianza=


s

IC z

n

7



I"TERALO DE CO"/IA"#A DE 66W %ARA $"A EDIA

IC 66W

s

317

n


IC 6W

s

516>

n

I"TERALO DE CO"/IA"#A DE 6HW %ARA $"A EDIA

IC 6HW

s

51J

nICV I"TERALO DE CO"/IA"#A#V DISTRI!$CI." %RO!A!ILIDAD "ORAL ESTK"DARSV DESIACI." ESTK"DAR

nV $ESTRA

E&E%LO

En un estudio se toma una muestra aleatoria de 3> representantes de entasmenores de 2 a-os de edad= El in'reso anual es un punto de inter(s= La media dela muestra es de 5=3=HHH1 con una desiaci*n de >=>2H=

7



^Cul es el interalo de confianza del 6W para la media_

IC 6W

IC 6W

IC 6W

s

516> n

>=>2H

5=3=HHH 516>

3>

5=3>H=J5315J +5=36=37J173^Cules son los límites del 6W del niel de confianza para la media_

Límite superior 5=3>H=J531 5J

Límite inferior 5=36=37J173

^Mu( 'rado de confianza se utiliza_

La medici*n se confianza se refiere al 'rado de confianza o niel de confianza= Eneste caso es de H16

Interprete los resultados

$n interalo contiene la media de la po)laci*n o no la contiene= s o menos decada 5HH interalos de confianza no incluir el in'reso medio anual de la po)laci*n1es decir ,ue en 5=3>H=J5315J a 5=36=37J173 se contiene el 6W de interalos de lamuestra de la po)laci*n en salarios=

7>




TALLER DE A%LICACI."=

5= Dados los si'uientes datos1 so)re salarios Bmiles de :

6>H1 >JH1 72H1 >H61 J7H1 7HH1 JHH1 >5H1 >H1 JH1 67H1 77H1 3H17731 6>H1 JH1 >H1J>>1 >H1 63H1 >6H1 77H1 75H1 6H1 J2H1 75H1 JH1 72H1 >2H1 J2H1 77H1 7H1 JHH1 73H16H1 J7H1 6JH1 67H1 67H1 6H=

Determinar:

A=!=C=D=

La media aritm(tica1 la mediana + la moda= Bcon datos no a'rupados%resentar los datos en una ta)la de frecuencias=Determinar a partir de la ta)la1 la media aritm(tica1 la mediana + la moda=Interpretar resultados=

3= Los si'uientes datos representan el niel de in'resos de una comunidad

CLASE Li?Ls

HH=HHH ? 66=666

>HH=HHH ? >66=666

JHH=HHH ? J66=666

7HH=HHH ? 766=666

6HH=HHH ? 666=666

5=HHH=HHH ? 5=H66=666

TOTAL

/REC$E"CIASA!SOL$TAS ni"i

3

56

5H

2

3

5

>H

3

J

6

>H

>H

4i 4ibni

7J



A=!=C=D=

E=

Calcular edia aritm(ticaDeterminar la odaDeterminar la edianaDeterminar los Murtiles BM5 1 M3 1 M21 M

Interpretar cada uno de los anteriores

2= Se inierten HH=HHH a un inter(s del 21 W efectio mensual1 el primero de Enero de 3H5H= Si el inter(s se capitaliza mensualmente los días 25 de cada mes calcular el promedio de dinero inertido entre el primero de Enero de 3H5H + el 25 de diciem)re de 3H5H=

ESES

E"ERO

/E!RERO

AR#O

A!RIL

A4O

&$"IO

&$LIO

AGOSTO

SE%TIE!RE

OCT$!RE

"OIE!RE

DICIE!RE

CA%ITAL

HH=HHH1HH

5J=HH1HH

2=>531H

=2716

J2=J>51H

62=7215

>5=>3J1>>

>2>=5261>2

>7=H13

>75=71>7

JH=366127

J36=6717>

/ACTOR

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

51H2

8i

5J=HH1HH

2=>531H

=2716

J2=J>51H

62=7215

>5=>3J1>>

>2>=5261>2

>7=H13

>75=71>7

JH=366127

J36=6717>

J=2122

Lo' Pi

???????????????????

77



A= Determine la edia Geom(trica=!= Interpretar

= Inesti'ue el I%C mensual de 3HH6

interprete=

+ determine edia Arm*nica del a-o e

= Los si'uientes son estaturas de un 'rupo de personas calcular arianza1 desiaci*n estndar1 coeficiente de ariaci*n + desiaci*n media en datos a'rupados Bdatos en centímetros=

85

83

82

88

8>

8J

87

86

5H 855 53 835 5J

5> 853 5> 833 5J

57 852 5J5 832 55

5>> 85 53 83 5>757H 85 5 83 5J3

52 85> 5>> 83> 5

5 85J 5J2 83J 53

5>H 857 5 837 5>J

5> 856 53 836 5J

85H 5J6 83H 5>J 82H 57

>= Calcular arianza1 desiaci*n estndar1 coeficiente de ariaci*n + desiaci*n media de los si'uientes datos:

CLASE "i

H

>H

JH

7H

6H

5HH

55H

>H

JH

7H

6H

5HH

55H

53H

7

5H

5>

5

5H

3

>

76



J= Ta)la de in'resos de 2H familias !o'otanas Bdados en HHH1 Calcular arianza1 desiaci*n estndar1 coeficiente de ariaci*n + desiaci*n media de los si'uientes datos:

CLASE

>H

H

>3H

JHH

J7H

7>H

H

>3H

JHH

J7H

7>H

6HTOTAL

ni

2

>

5H

>

2

32H


TALLER DE SI$LACI."

3=3=53=33=23=3=

EDIDAS DE TE"DE"CIA CE"TRALEDIAEDIA"AODAC$ARTILESA"KLISIS DE RES$LTADOS

2=2=52=32=22=2=2=>

EDIDAS DE DIS%ERSI."=ARIA"#A=DESIACI." ESTK"DARCOE/ICIE"TE DE ARIACI."DESIACI." EDIAA"KLISIS DE RES$LTADOSI"TERALO DE CO"/IA"#A %ARA $"A EDIA

6H



EC$ACIO"ES DE LA $"IDAD

EDIA ARIT0TICA datos no a'rupados

Pi

n

EDIA ARIT0TICA %O"DERADA datos a'rupados

+i b ni

nEDIA"A datos no a'rupados

n 5 e 3

EDIA"A datos a'rupados

Se )usca localizaci*n en la ta)la de frecuencia mediante la ecuaci*n:

ne 3

n Z 3 "ie 5

e Lie C

nie

ODA %ara Datos A'rupados

nid nid 5 d Lid

nid nid nid nid C 5

5

65



M$ARTILES

%rimer Muartil


n

M5

n

"iM 55

M 5 LiM 5 C ni

Se'undo Muartil


3n

M3

3n

"iM 3 5

M 3 LiM 3 C

ni

63



Tercer Muartil


2n

M2

2n

"iM 2 5

M 2 LiM 2 C

ni

ARIA"#A

Datos no A'rupados

Pi 3

n

+i 3 ni

n

Datos A'rupados

3

DESIACI." ESTK"DAR

Datos no A'rupados

S Pi

n

3

62



S

Datos A'rupados

S

+i 3 ni

n

3

S

COE/ICIE"TE DE ARIACI."

sd 5HHW

DESIACI." EDIA

Datos no A'rupados

Pi Da

n

Datos A'rupados

+i ni Da

n

6




s

IC z n


IC 66W s 317

n


IC 6W s 516>

nI"TERALO DE CO"/IA"#A DE 6HW %ARA $"A EDIA

IC 6HW

s

51J n


6



2= REGRESI." 4 CORRELACI."

2

Re'resi*n + correlaci*n

$"IDAD 2 $nidad


ane;a1 calcula1 analiza e interpreta los conceptos de re'resi*n +

correlaci*n=


Descri)ir e identificar la correlaci*n entre aria)le independiente + dependiente=

Calcular e interpretar una matriz de correlaci*n=

Conocer1 calcular + analizar la correlaci*n en

dos aria)le usando una ecuaci*n de re'resi*n lineal=

Ela)orar aplicaci*n de re'resi*n + correlaci*nen los estados de resultados en el pro+ecto desimulaci*n=

EIDE"CIAS DE

Conocimiento

%roducto

%roducto

Desempe-o

/DN= /ormador Dice + Estudiante Nace

2=5 DISTRI!$CIO"ES !IDIE"SIO"ALES

Nasta aora1 s*lo emos tra)a;ado con distri)uciones unidimensionales1 es decir1ordenando1 analizando e interpretando una sola aria)le1 mediante la distri)uci*n defrecuencias + las medidas de tendencia central así como de dispersi*n=

Cuando a)lamos de dos aria)les1 nos referimos a distri)uciones )idimensionales1en las cuales1 el comportamiento de las aria)les es analizado para determinar si

ePiste al'una relaci*n funcional entre ellas1 Bcausa ? efecto1 cuantificando el 'radode la misma=

2=5=5 aria)les

Las dos aria)les a las ,ue nos referimos1 pueden ser continuas o discretas1 o unacontinua + la otra discreta=

6>



A una de las aria)les1 la llamaremos Independiente1 + a la otra1 Dependiente esdecir ,ue est en funci*n de la primera= Son e;emplos de distri)uciones)idimensionales entre otras1 el peso + la edad de un 'rupo de personas los

in'resos + 'astos de un empleado la producci*n + el consumo de un producto lasentas + las utilidades= Siempre1 tendrn relaci*n1 + una depender de la otra=ediante el anlisis de la relaci*n o)tenida1 se pueden realizar estimaciones so)reel comportamiento de una de las aria)les1 a partir del desarrollo de la otra=

Así1 la aria)le independiente la sim)olizaremos por 8i + la dependiente por 4i= Laprimera no estar en funci*n de nin'una de las dos mientras ,ue la se'unda sidepende de la independiente=

ARIA!LE I"DE%E"DIE"TE 8i

Edad de las personas=

In'reso de los tra)a;adores=

%roducci*n de un artículo=

entas de un producto=

ARIA!LE DE%E"DIE"TE 4i

%eso de las personas=

Consumo de los tra)a;adores=

Consumo del artículo=

$tilidades de la empresa=

%ara cada una de las aria)les1 se podrn calcular + analizar en formaindependiente las medidas de tendencia central + de dispersi*n ,ue se desee=

2=5=3 La Re'resi*n

Determina la relaci*n lineal entre aria)les )idimensionales1 la re'resi*n permitepredecir una aria)le de otra1 dado ,ue siempre se tiene relaci*n + una dependerde otra1 la idea es predecir sucesos futuros=

EC$ACI." DECO"OCER ARIA!LE DE%E"DIE"TE+ a ) P REGRESI." LA C$AL %ERITE

a V Intersecci*n de la recta

) V %endiente de la recta

6J



P + n P + )

P n P3 3

a + ) P

E;emplo:

El icepresidente de inesti'aci*n + desarrollo BI + D de una 'ran compa-ía,uímica + de fa)ricaci*n de fi)ras cree ,ue las 'anancias anuales de la empresadependen de la cantidad 'astada en I + D= El nueo presidente no est de acuerdo +a solicitado prue)as= Los si'uientes son los datos de seis a-os=

8 + 4 DADOS E" ILLO"ES BHHH=HHH

AO

567J

5677

5676

566H

5665

5663

GASTOS I"ESTIGACI." 4 DESARROLLO

8

3

2

55

2H

GA"A"CIA A"$AL

4

3H

3

2

2H

H

25

57H

67



Soluci*n manual


AO

GASTOSI"ESTIGACI."4 DESARROLLO

8

GA"A"CIA A"$AL

4

3H

3

2

2H

H

25

57H

8 =4 83 43

567J

5677

5676

566H

5665

5663

3

2

55

2H

H

J

5JH

53H

H

5

5HHH

6

3

5>

535

3

3HH

HH

>3

55>

6HH

5>HH

6>5

>3

El icepresidente de I + D desea una ecuaci*n para predecir las 'anancias anualesde la cantidad presupuestada para I + D=

Calcular re'resi*n en )ase a datos ist*ricos

Pi

nn >

2HP

>P

66



57H+

>+ 2H

P + n P + )

P n P 3 3

5=HHH B> 2H

) 3HH B> 3

5=HHH 6HH ) H) 3

a + ) P

a 2H 3

a 3H

Lo ,ue si'nifica ,ue la ecuaci*n de estimaci*n de estas aria)les es:

+ 3H 3 P

5HH



Lo ,ue si'nifica ,ue el icepresidente de I + D puede predecir las futuras 'ananciasanuales a partir de la cantidad presupuestada para I + D=Si la compa-ía 'asta 7=HHH=HHH de d*lares para I + D en 56621 entonces de)e 'anaraproPimadamente 2>=HHH=HHH de d*lares en ese a-o=

+ 3H=HHH=HHH 3=HHH=HHH 7=HHH=HHH

+ 2>=HHH=HHH

4 V 2>=HHH=HHH GA"A"CIA A"$AL ES%ERADA=

La ecuaci*n permite pronosticar datos futuros de aria)les )idimensionales=

Soluci*n EPcel

%aso 5

Se formulan las celdas de las operaciones sumatorias 841 8 4 3 3

5H5



84VD2 V!2bC2 4 L$EGO ARRASTRA NASTA D7

83V!2g3 4 L$EGO ARRASTRA NASTA E7

5H3



43VC2g3 4 L$EGO ARRASTRA NASTA /7

8V!6VS$AB!2:!7 4 L$EGO ARRASTRA NASTA /6

%ASO 3Se formulan las celdas encontrar P + ) a +

PVV!6Z>+VVC6Z>)VBD6?B>b/5Hb/55ZBE6?B>bB/5Hg3aV/55?B/53b/5H

5H2



+VB/52YB/53b7b5HHHHHHEPcel formulador fP

)VC5HV%E"DIE"TEBC2:C7!2:!7

aVC55VI"TERSECCIO"=E&EBC2:C7!2:!7

+VC53VBC55YBC5Hb7b5HHHHHH

5H



2=5=2 La Correlaci*n

%ara esta)lecer la relaci*n entre aria)les1 se emplean las edidas de Correlaci*n1,ue permiten encontrar un alor num(rico ,ue ePprese el 'rado de dependencia

,ue ePiste entre las mismas=

%uede ePistir Correlaci*n positia1 ,ue ocurre cuando al crecer o decrecer una delas aria)les1 la otra crece o decrece paralelamente por e;emplo si aumentan losin'resos de los tra)a;adores pude aumentar el consumo de las familias=

Caso contrario1 puede presentarse Correlaci*n ne'atia1 ,ue ocurre cuando alcrecer una de las aria)les1 la otra decrece por e;emplo al aumentar el costo deida1 disminu+e el niel de consumo de ciertos productos especialmente=

Otras clases de correlaci*n1 son las si'uientes:

? La Relaci*n de causa1 en la cual1 las ariaciones de la aria)le dependiente 4i1dependen causalmente de las ariaciones de 8i= %or e;emplo1 si se aumenta elnmero de los e,uipos de se'uridad industrial en una f)rica1 disminuir elnmero de accidentes de tra)a;o en la misma= Es dependencia causal unilateral

Relaci*n concomitante1 en la cual las dos aria)les estn en funci*n de unacausa comn por e;emplo1 la ariaci*n en los salarios de los tra)a;adores deuna f)rica1 no dependen de la ariaci*n de los salarios de sus directios1 sino,ue am)as dependen de las políticas 'u)ernamentales de a;uste salarial anual=Es una dependencia indirecta=

Relaci*n al azar1 cuando las ariaciones se de)en al azar1 a la casualidad oaccidentalidad=

Interdependencia1 cuando la influencia entre las aria)les es recíproca o)ilateral=

?

?

?

%ara conocer el 'rado con ,ue una aria)le tiene relaci*n con otra1 se esta)lece lasi'uiente ecuaci*n de correlaci*n=

r3 + a P+ ) n +

+ n +

3 3

5H

3

5HHW



E;emplo:

El icepresidente de inesti'aci*n + desarrollo BI + D de una 'ran compa-ía

,uímica + de fa)ricaci*n de fi)ras cree ,ue las 'anancias anuales de la empresadependen de la cantidad 'astada en I + D= El nueo presidente no est de acuerdo +a solicitado prue)as= Los si'uientes son los datos de seis a-os=


GASTOSI"ESTIGACI." 4

DESARROLLO

A"O

567J

5677

5676

566H

5665

5663

8

3

2

55

2H

GA"A"CIA A"$AL

4

3H

3

2

2H

H

25

57H

8=4

H

J

5JH

53H

H

5

5HHH

83

6

3

5>

535

3

3HH

43

HH

>3

55>

6HH

5>HH

6>5

>3

Calcular re'resi*n en )ase a datos ist*ricos

Anlisis de correlaci*n

r3 + a P+ ) n +

+ n +

3 3

5H>

3

5HHW



57H 3H 5HHH 3 > 2H 3

r3 5 H H W 3

>3 > 2H 3HHr 5HHW

33

3

r 731>W3

La ariaci*n de 'astos de Inesti'aci*n + desarrollo1 la aria)le independienteePplica o da ori'en al 73=>W de la ariaci*n en las 'anancias anuales Baria)ledependiente=

r3V BBC6b/52YBD6b/53?B>bB/55g3ZB/6?B>bB/55g3b5HHW

5HJ



EPcel formulador fP

r3V COE/ICIE"TE=R3BC2:C7!2:!7

2=5= El Dia'rama de Dispersi*n

Es la representaci*n 'rfica de una distri)uci*n )idimensional1 en un planocartesiano= En el e;e orizontal o a)scisa1 se colocan los alores de la aria)leindependiente 8i1 + en el e;e ertical u ordenada1 los alores de la aria)ledependiente 4i= En cada e;e1 se de)e utilizar una escala adecuada para colocar los

alores de cada una de las aria)les=

%ara cada alor de 8i1 corresponder un alor de 4i1 B8i1 4i o par ordenado1 el ,uese representar por un punto Ben la intersecci*n de los dos e;es1 + a)r tantospuntos como pares ordenados se ten'an= Este con;unto de puntos es lo ,ue sellama dia'rama de dispersi*n o de puntos=

5H7



%ueden ser de cuatro formas1 dependiendo de la relaci*n ePistente entre lasaria)les1 refle;ada en la u)icaci*n de los puntos 'raficados1 los cualesdeterminarn la tendencia de la línea1 o cura a ela)orar=

Se de)e )uscar la realizaci*n de la me;or línea con )ase en el criterio + ePperienciadel estadístico así como en el conocimiento de la distri)uci*n= Se dice ,ue la me;orlínea es a,uella ,ue ace mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entrelos puntos dados + los o)tenidos con la línea a;ustada:

5= Correlaci*n lineal ne'atia1 a ma+or alor de 8i1 menor alor de 4i=

4

4b

H 8

3= Correlaci*n lineal positia1 a ma+or alor de 8i1 ma+or alor de 4i=

44b

H 8

2= Ausencia de correlaci*n1 en la cual no se puede determinar una tendencia de línea1 s*lo un 'rupo disperso de puntos=

4

H

5H6

8



El tipo de línea1 de)er atender la forma ,ue asuma el con;unto de puntos1 latendencia ,ue ellos insinan=

E;emplo:

El icepresidente de inesti'aci*n + desarrollo BI + D de una 'ran compa-ía,uímica + de fa)ricaci*n de fi)ras cree ,ue las 'anancias anuales de la empresadependen de la cantidad 'astada en I + D= El nueo presidente no est de acuerdo +a solicitado prue)as= Los si'uientes son los datos de seis a-os=

CIA= DE I"ESTIGACI." 4 DESARROLLO

H H

22

2H25

2H

GA"A"CIASA"$ALES3 3

3H 3H

5

5H

H

H 3 > 7 5H 53

GASTOS E" I"ESTIGACI." 4 DESARROLLO

Correlaci*n lineal positia1 a ma+or alor de 81 ma+or alor de 4

55H




TALLER DE A%LICACI."

5= #I%%4 COLA est estudiando el efecto de su ltima campa-a pu)licitaria se esco'ieron personas al azar + se les llamo para pre'untarles cuantas latas de #I%%4 COLA a)ían comprado la semana anterior + cuantos anuncios a)ían leído o isto la semana anterior=

SEA" A

532>J7

"$ERO DE A"$"CIOS

2J3H53

LATASCO%RADAS BHHH

55576J>27

8= 4 83 43

A=!=C=D=

Desarrollar ecuaci*n de re'resi*nCalcular correlaci*nEla)orar dia'rama de dispersi*nInterpretar resultados=

3= $na or'anizaci*n ,uiere determinar la relaci*n entre precio al p)lico B$"IDAD + cantidades endidas de un producto B$"IDADES durante seis meses + cuentan con los si'uientes datos ist*ricos:

555



CA"TIDADES BHHHESES

532

>

A=!=C=D=

8 3515 JJ12

5

%RECIO%$!LICO B$"D 4 5=3HH 5=HH 3=HHH 5=H2H 5=HHH 6HH

8= 4 83 43

Desarrollar ecuaci*n de re'resi*nCalcular correlaci*nEla)orar dia'rama de dispersi*nInterpretar resultados


TALLER DE SI$LACI."

5= Consultar p'inas de internet con informaci*n de or'anizaciones ,ue produzcan el mismo producto asi'nado por el formador + tomar datos de entas + utilidades de los ltimos cinco a-os + desarrollar los si'uientes

puntos: Desarrollar ecuaci*n de re'resi*n

Calcular la correlaci*n

Ela)orar dia'rama de dispersi*n

Interpretar resultados

553



EC$ACIO"ES DE LA $"IDAD

EC$ACI." DE REGRESI." LA C$AL %ERITE CO"OCER ARIA!LEDE%E"DIE"TE

+ a ) P a V I"TERSECCI." DE LA RECTA

a + ) P

) V %E"DIE"TE DE LA RECTA

P + n P + )

P n P 3 3

EC$ACI." DE CORRELACI."=

3 + a P+ ) n +3

5HHW

!I!LIOGRA/ÍA

!i)lio'rafíaLos/RE$D1 &on E= Estadística Elemental

Kn'eles= %'= 2HH?23Octaa Edici*n= %rentice Nall

LEI"1 RICNARD I= Estadística para Administradores= 3da Edici*n= %rentice Nall

Los Kn'eles= %'= 6HH?6H

LI"D1 Dou'las= ASO"1 Ro)ert= ARCNAL1 Xilliam= Estadística para

Administraci*n + Economía= 2ra Edici*n= cGra?Nill= %'= 3?2 %'= 56?7 %'= >5?556 %'= 335?37 %'= HJ?53

A$LA/acil=com= Curso de Estadística )sica %'= 5?H

ORO#CO &= Arturo= Inesti'aci*n de ercados Concepto + %rctica= Editorial

"orma S=A= %'= 32?251 6?J1 5HH?52H1 25?236

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