•TEOREMA DE SHEVYSHEV.•REGLA EMPÍRICA.•INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD.•MODELOS DE PROBABILIDAD.

Se utiliza cuando se tienen datos con mucha asimetría, para todo conjunto de datos la proporción mínima de los valores que se encuentran dentro de “K” desviaciones estándar desde la media es al menos.

%1

1 2

K

Regla EmpíricaEs una curva simétrica en forma de campana Por ley sólo hay 3 S y de acuerdo al Teorema de Chevyshev K puede valer 1, 2 o 3

S es igual a σ en la gráfica son las desviaciones estándar posibles.

KURTOSIS

La kurtosis indica que tan alta o baja es la curva

La regla empíricaLa regla Empírica.-Se utiliza en conjunto de datos simétricos donde la y la μ son iguales generando una distribución en forma de campana que permite examinar gráficamente la variabilidad.

La regla empírica ayuda a medir como se distribuyen los valores por encima o por debajo de la (valores extremos) y permite identificar los los valores atípicos valores atípicos es decir los valores extremos.

X

X

Ejercicio La distribución de contribuciones del Seguro Social

tiene una = 51.54 y una S = 7.51 ¿Qué % de

distribuciones como min se encuentra entre la y 3 S ?

888.0

3

11 2

Como es porcentaje, se multiplica por 100

Entonces el 88.88% de las contribuciones está

xx

Una línea aérea reveló de pasajeros 78.7 por día con S= 12.14. Para programar los tiempos de una manera correcta el administrador desea saber con que frecuencia los pasajeros están dentro de 2s de la y cuál es el intervalo exacto de número de pasajeros que se encuentran en esa S

x

%7575.25.122

11

El 75% de los pasajeros se encuentran dentro de 2 s de la media

42.5428.247.7825

98.10228.247.7825

28.2414.1222

x

x

s El intervalo de pasajeros que hay entre 2s está entre 54.42 y 102.98 (que corresponde al 75% de los pasajeros)

X

Una muestra de las cantidades mensuales de dinero que destina un universitario que vive sólo p ara su alimentación sigue una distribución normal con = $150 y S=$20 determine la cantidad que se encuentra en el 68% de los gastos, en el 95%, en el 99% y grafique.

x

35

25

15

20

150

x

x

x

S

x

9060150

21060150

%99

11040150

19040150

%95

13020150

17020150

%68

PROBABILIDADEs la posibilidad numérica entre 0 y 1 de que ocurra un evento donde CERO no ocurre y 1 ocurre

Tarea Experimento, evento (en tema de probabilidad)

TEOREMAS DE PROBABILIDAD1) P (E1) > = 0 2) P (E1) < = 03) P (E1) = 1

Evento.- Resultado de un experimentoExperimento.- proceso que produce un conjunto de eventos.Resultado.- espacio muestral (SS) en donde se identifican todos los posibles resultados.

Ejemplo:a)al lanzar una moneda SS {A,S

b) Selecciono una muestra de 1 producto {defectuoso, no defectuoso determinado p su inspección

c) telefonemas de ventas SS { compra, no compra

d) partido de futbol SS { gana, pierde, empata

Tipos de Eventos Simples Aquellos que afectan 1 sólo resultado por lo tanto son excluyentes si ocurre una cosa no ocurre la otra.

Mutuamente excluyentes la ocurrencia de 1 prohíbe la ocurrencia del otro

COMPUESTOS resultado de eventos conjuntos (union) (intersección). Ejemplos: E y F E F que ocurra E o F o ambasE F P E o F al mismo tiempo

* Si cae águila en un volado no caerá sol, y viceversa.

Colectivamente Exahustivos .- todos los posibles resultados en donde existe la certeza de que al menos uno de éstos eventos ocurrirá y su probabilidad combinada es igual a 1

Ejemplo : de los 500 empleados de la empresa 170 están clasificados como miembros del personal administrativo (D) 290 como trabajadores de línea (L) y 40 como auxiliares (a) Cual es la probabilidad de que al seleccionar un trabajador sea de D L o A

P (D) = 170/500 = 0.34P (L) = 290/500 = 0.58P (A) = 40/500 = 0.08

INDEPENDIENTES.- Si un evento ocurre no tiene nada que ver con la ocurrencia de otro . Ejemplo lanzar una moneda y un dado

COMPLEMENTARIOS.- si un evento ocurre el otro debe ocurrir.

APAP

APAP~1

1~

EJERCICIO FRDurante 2009 hubo 50 nacimientos en el IMSS de Azcapotzalco de los cuales 32 fueron niñas, que P de que el siguiente nacimiento seleccionado aleatoriamente sea niña P (E) 32/50 = .64

MODELOS DE PROBABILIDADFrecuencia Relativa .- Utilizar los dados que se han observado empíricamente, registrar la Frecuencia (F) con la que ha ocurrido en el pasado y estimar la P de que el evento ocurra nuevamente con base en los datos históricos.P (E) = # de veces que ha ocurrido el evento en el pasado / el # total de obs

* Se consultan datos posteriori

MODELO CLASICO DE PROBABILIDAD : Número de formas en las que puede ocurrir 1 evento entre el número total de posibles resultados.

Ejercicio Juancho Lagarto vende automóviles nuevos en 1 agencia

FORD los sábados vende el mayor número de autos . El Sr Lagarto tiene la siguiente distribución de Probabilidades para determinar el Número esperado de ventas en un día sábado.

Autos Vendidos

P(Xi) Media(Xi)(P(Xi))

S2

(Xi-M)2.P(Xi)

0 0.10 0 0

1 0.20 0.2

2 0.30 0.6

3 0.30 0.9

4 0.10 0.4

∑ = 2.1

Distribución de Probabilidad Binomial (discreta) Tiene un número determinado de

ensayos (n) Sus resultados son mutuamente

excluyentes (éxito o fracaso) La probabilidad permanece constante

de un resultado a otro La variable aleatoria cuenta el # de

éxitos en una cantidad fija de ensayos La variable aleatoria (x) determina la

probabilidad de un valor determinado, es decir, P(x)

PARAMETROS PARA CALCULAR P BINOMIAL

xnxxn

xx CxnX

nxP

11.

!!!

n es el número de ensayosx es el número de éxitosC significa combinación∏ es la Probabilidad de éxito en cada ensayo.P es probabilidad. Nota ∏ Es una letra griega

para representar 1 parámetro de la población binomial no debe confundirse con la correspondiente matemática 3.1416

Binomial simple Entre 2 ciudades hay 5 vuelos diarios y la probabilidad de que

1 vuelo llegue retrasado es de .20 cual es la P de que exactamente 1 de los vuelos llegue tarde hoy y cual es la P de que ninguno llegue tarde.

8.)8.0(1

20.0120.05

1

1)(

%4040.4096.20.5

20.0120.0

20.0120.0

1

%3232.0)3276)(.1(1

20.0120.0

:)0(

)1()0(;20.0;5

4115

15115

05005

S

S

nS

nxE

C

C

P

C

P

yPPxn

P(0) Probabilidad de que no llegue tarde

P(1) Probabilidad de que 1 vuelo llegue tarde.

De que ningún vuelo llegue tarde

De que un vuelo llegue tarde ese día.

BINOMIAL ACUMULADA ES LA SUMA DE PROBABILIDADES 5% de los engranes producidos por una maquina

de alta velocidad resultan defectuosos cual es la probabilidad de que al seleccionar 6 engranes al azar que ninguno sea defectuoso, dos y mas de dos de que al menos 4 estén defectuosos

)6()5()4()3()2()2()4(,2),2(),0(;05.0;6 PPPPPPPPPPn

También se puede buscar en Tablas de distribución n=6 y ∏=0.05 x=2

)4()3()2()1()0()4( PPPPPxP

DISTRIBUCIÓN DE P HIPERGEOMÉTRICA Admite sólo 2 tipos de resultados

La P asociada en cada ensayo NO es constante

Cada ensayo NO es independiente La población es finita y conocida el muestreo se realiza sin

reposición

nN

xnrNxr

CCC

xP )( N Tamaño de la Poblaciónr # de éxito de la Poblaciónn Tamaño de la muestraX # de éxito s de la muestra

Ejercicio Suponga que en un establo de caballos

de carrera hay 10 caballos, 4 tienen una enfermedad contagiosa ¿Cuál es la P de seleccionar una muestra de 3 y que 2 de ellos estén enfermos?

30.0120

66310

2341024)2(

2;3;4;10

CCC

P

xnrN

Ejercicio En el DDF 3 mujeres entablaron 1 demanda por

discriminación de sexo porque de 9 personas elegibles para un ascenso 4 eran mujeres 3 de los 9 recibieron el asenso pero solo 1 de ellas era mujer por lo tanto las otras tres mujeres demandaron; el administrador dice que el género no fue factor, por lo que tiene que demostrar la Probabilidad de que NO mas de 1 de los asensos fuera asignado a 1 mujer

N=9 personasr=4mujeresn=3asensosx= o menor 1 mujer

%4747.084104

)0(

%1111.084101

)0(

39

134914

39

034904

CCC

P

CCC

P

Ejercicio Para evitar que lo descubran 1 viajero de EU a México

coloca 6 tabletas de narcóticos en un frasco que contiene 9 tabletas de vitaminas similares en apariencia el oficial de aduana de EU selecciona 3 tabletas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea arrestado en EU y cual es la probabilidad de que lo arresten en MX?

N=15 tabletasr=6 narcóticosn=3seleccionadasx= 1

%4747.0455

366)1(

315

1361516

CCC

P

Distribución de P Normal Es una distribución continua y puede adoptar cualquier

valor Es la mas importante para describir cualquier variable

aleatoria Su forma es una curva en forma de campana regida por los

parámetros S=1 y μ=0 Es una distribución simétrica con una imagen especular

cuyas alas o extremos se extienden al ∞ en ambas direcciones.

La curva es simétrica y asintótica que jamás atraviesa el eje horizontal.

sx

Z

Distribución de P Normal• Entre menos kurtosis exista o más aplanada

esté la curva habrá más dispersión en los datos.

• El punto más alto de la curva es la Media, Mediana y la moda.

• El # de Distribuciones normales es ilimitado.• S determina el ancho de la curva a mayor S

más ancha.• La probabilidad para cualquier variable

normal está dada por el área bajo la curva.

sx

Z

¿QUÉ SON Y PARA QUÉ SIRVEN LOS NÚMEROS ÍNDICES?

Un índice es un número que resulta de la comparación de dos cantida des del mismo tipo pero medidas en distintos momentos, lugares o circunstancias, algunas veces se expresan como porcentajes y en otras ocasiones como puntos. En el caso de que un índice mida precios, significará que éstos quedarán expresados como precios relativos, y servirá para medir el cambio de valor del bien a través del tiempo. Re gularmente, los números índices se usan para medir cambios en pre cios, cantidades y/o valores.

¿En dónde se usan los números índices?

Existe una gran variedad de índices. Todos los sectores productivos tienen sus propios indicadores, y las dependencias gubernamentales cuentan con una serie de estos que utilizan como herramienta para de-. terminar el rumbo de sus acciones.

Por ejemplo, en el sector educativo, la Secretaría de Educación Públi ca (SEP) maneja una gran variedad de índices entre los que encontramos:

a) Atención a la demanda: Este índice se obtiene, para primaria, di vidiendo la matrícula de 6 a 14 años entre la población de 6 a 14 años, a la que se resta la población de esa edad con primaria terminada y po blación atípica (2%). Para secundaria se divide la inscripción total al inicio de cursos entre la población que solicitó este servicio.

b) Deserción: considera a los alumnos que se inscribieron en un año escolar y no concluyeron el mismo, o bien no se inscribieron al ci clo siguiente.

c) Reprobación: Sé calcula dividiendo el número de alumnos repro bados entre el número de aquellos que terminan el curso.

d) Eficiencia terminal: Para primaria se obtiene dividiendo el nú mero de alumnos que .terminan el ciclo de referencia entre el número de estudiantes de nuevo ingreso a primer grado de cinco ciclos antes-(secundaria dos ciclos antes).

Pero ¿cómo es que un número índice muestra los cambios que se presentan en la variable estudiada?. Supongamos que se desea analizar la cantidad de alumnos —matrícula escolar— que ingresan a secunda ria según los datos presentados en la tabla siguiente

Matrícula Escolar SecundariaPeríodo Miles de alumnos

1995-1996 4,687.34

1996-1997 4,809.26

1997-1998 4,929.30

1998-1999 5,070.55

1999-2000 5,208.90

2000-2001 5,349.66

Fuente: Estadísticas Básicas, SEP

¿Qué se puede deducir de esta información?. En primera instancia, que el ingreso de alumnos aumenta a medida que transcurre el tiempo. Pero para saber la magnitud del aumento, habría que realizar los cálcu los correspondientes, ya que con las cifras presentadas en la tabla la cantidad que se incrementa año con año no resulta obvia.

Los números índices van a resolver este problema. Estos además de mostrar que se ha dado un aumento año con año —la dirección del cambio—, también van a expresar de cuánto ha sido el incremento —la magnitud del cambio—. Si se observa la misma tabla pero ahora con los valores indizados1, se puede determinar rápidamente cuánto varió el ingreso a secundaria año con año

Indizado quiere decir que se ha expresado en forma de índice o que su valor depende de un índice. En lugar de este término, es muy común que se use la palabra indexado, aunque ésta es un anglicismo proveniente de índex.

Hay que notar que en la tabla el período 1996-1997 sirvió como base, es decir, como período de comparación. Así, al ver las cifras se destaca, al igual que en el caso anterior, que se ha dado un incremen to, pero si comparamos el período base —1996-1997, con un valor de cien— con cualquier otro, podemos calcular fácilmente la variación mediante una simple resta, la cual indicará en términos porcentuales la magnitud del cambio. De esta manera concluimos, por ejemplo, que en tre el período de 1998-1999 y el período base, el incremento en la ma-. trícula fue del 5.43%.

Quizá los índices de precios son los indicadores más importantes en economía. Estos son series de datos periódicos que permiten calcular la variación del nivel de precios, entre dos fechas, de los bienes y servi cios que se compran o se venden2. Su importancia radica en que ade más de medir las variaciones en los precios, se utilizan como deflactores.

índice de preciosActividad económica representada

1.- índice de precios al consumidor 2.- índice de sueldos y salarios

Consumo e ingreso familiar

3.- índice de precios al mayoreo de los insumes de las empresas 4.- índice de precios al mayoreo de productos de las empresas —

Producción

5.- índice de precios de productos 6.- índice de precios de productos exportados

Comercio exterior

7.- índice de precios de acervos y de formación de capital Capitalización

Indice Big Mac Una aplicación poco ortodoxa, es el índice

de la hamburguesa estándar conocido como el índice Big Mac. Este índice lo construyó la revista in glesa The Economist en 1986, con el propósito de que sirviera de guía para determinar si las divisas mantenían una paridad correcta.

Este índice se basa en la Teoría de la Paridad del Poder de Compra (PPC), partiendo del supuesto que un dólar debe comprar la misma cantidad de productos en todos los países. Está teoría establece que, a largo plazo, el tipo de cambio entre dos divisas debe fijarse de tal forma que iguale los precios de una canasta idéntica de bienes y servicios que se comercie entre ambos países.

En el caso de este índice, la canasta idéntica es la hamburguesa Big Mac producida en aproximadamente 120 países. La paridad del poder de compra de la Big Mac es el tipo de cambio que haría que esta hamburguesa costara lo mismo en dos países. Al comparar el tipo de cambio que efectivamente tiene cada moneda contra el dólar, con el PPC de la Big Mac, se establece si la moneda está sub o sobre valuada. En la tabla No. 4 se muestran los resultados del índice en 2001

La interpretación de este índice para el caso de México es que la hamburguesa Big Mac cuesta $21.9 pesos, lo que al tipo de cambio del 17 de abril del 2001 representó 2.36 dólares (21.90/9.29); pero se está comprando una hamburguesa que cuesta 2.54 dólares con 21.90 pesos por lo que la paridad del poder de compra implícito es de 8.62 (21.90/2.54 = 8.62), está cantidad representa el tipo de cambio con respecto al dólar que se debiera mantener para que la Big Mac costara lo mismo en México y en Estados Unidos; pero dado que ésta no es la paridad que se maneja, se concluye que el peso está subvaluado en 7% (8.61/9.29 = 0.93, a esta cantidad se le resta uno y se le multiplica por cien, para expresarlo en términos porcentuales, (0.93-1)*100 = -7. El signo indica subvaluación).

Indice Big MacPaís Precios de la Big Mac PPC

implícitoTipo de cambio el 17/04/01

Sub o sobre valuación con respecto al US dólar

En moneda nacional

En dolares

Estados Unidos 2.54 dólares 2.54 2.54 2.54

Argentina 2.50 pesos 2.50 0.98 2.50 2.50

Brasil 3.60 reales 1.64 1.42 1.64 1.64China 9.90 yuanes 1.20 3.90 1.20 1.20 .

Área del Euro 2.57 euros |_ 2.27 0.99 2.27 2.27

Japón 294 yenes 2.38 116 • 2.38 2.38

México 21.90 pesos 2.36 8.62 2.36 «, 2.36

Rusia 35 rublos 1.21 13.80 1.21 1.21

Suiza 6.30 francos - 3.65 2.48 3.65 3.65

En esta tabla la hamburguesa más barata se encontró en China a 1.20 dólares y la más cara en Suiza 3.65 dólares.En realidad este índice no pretende servir como una proyección precisa de los movimientos del tipo de cambio, sino simplemente co mo una forma de hacer más-digerible a la teoría cambiaría usada en economía internacional.

• Un número índice es un número que resulta de la comparación de cantidades del mismo tipo pero medidas bajo distintas circunstan cias, momentos o lugares. Estos indicadores sirven para medir tanto la dirección del cambio como la magnitud del mismo.

• Los índices se construyen en referencia a un valor de compara ción conociere- como base, y con tan sólo una simple resta se puede calcular el tamaño del cambio que ha sufrido la variable estudiada en un año determinado con respecto a la base.

• En general, los índices son utilizados o bien como herramientapara medir el desempeño de las variables involucradas o como instrumentos auxiliares en la toma de decisiones.

• En economía los indicadores más usados son aquellos que miden el nivel de precios, ya que permiten convertir los precios a los cuales se vendieron bienes y servicios en un determinado año a precios de otro año. En otras palabras con estos indicadores es posible deflactar los precios, permitiendo comparaciones entre distintos años sin que el ni vel de la inflación afecte el valor de la variable estudiada.

Índices Simples

Esta es la construcción más sencilla de un índice y por esta razón es muy usada. Para crear un índice simple únicamente se requiere comparar el precio, valor o cantidad de un año o período a estudiar contra el precio, valor o cantidad de otro período que sirva de referencia.

Período Miles de alumnos

1995-1996 1,532.85

1996-1997 1,612.32

1997-1998 1,727.48

1998-1999 1,837.88

1999-2000 1,962.76

2000-2001 2,047.90

Matrícula de Ingreso Nivel Superior

Con los datos anteriores es posible crear un indicador que se podría llamar índice de ingreso al nivel superior

1. Primero se debe de escoger la base, es decir, el período de refe rencia contra el cuál se desea hacer la comparación. Por ejemplo, si se desea comparar el ingreso al nivel superior respecto al período 1996-1997, entonces este período es el que se escoge como base (período base).

2. Una vez definido éste, supóngase que se desea comparar el ingreso en el período 1995-1996 contra el período base. Esto se calcula co mo el cociente entre el año a comparar y el año base y el resultada se multiplica por cien

07.9510032.161285.1532

Este resultado de 95.07 indica que el número de alumnos que ingresaron en el ciclo 1995-1996 fue menor que los que empezaron a estudiar en el año base, puesto que representó el 95.07% del ingreso en el año base.

Si se observa el período 1996-1997, que es el período base, este muestra un valor de 100.00 ¿por qué?. La cantidad de alumnos que in gresaron a nivel superior en el período base representan el 100 por cien to contra el cual se harán las comparaciones. Desde luego, si se aplica la fó|mula (anexa) también se concluye que el período base siempre es 100, ya que como es el año de comparación se divide el año base entre sí mismo y después se multiplica por 100.

Período índice

1995-1996 95.07

1996-1997 100.00

1997-1998 107.14

1998-1999 113.99

1999-2000 121.73

2000-2001 127.02

Índices Agregados Supóngase que se define como una despensa

básica del hogar a los cuatro artículos con sus respectivos precios que se enlistan en la Tabla No. 9, y que se desea encontrar un índice de precios para esta despen sa, ¿cómo se puede construir éste?

La respuesta no es única. Existen varias formas de crear un índice con este tipo de información. Para poder decidir cuál es la mejor se de berá considerar cada caso en particular, y analizar para qué se requiere construir el índice.Artículo Unidad $ de 1994 $ de 2001

Leche llt. 2.10 7.00

Bolillo 1 pieza 0.15 0.70

Tortillas Ikg. 0.80 4.50

Aceite llt. 4.00 10.00

Totales 7.05 22.20

índice de precios agregados simple (primera solución) Esta implica sumar los precios para cada uno de los productos en cada año (año base y año dado), y luego comparar los totales o cantidades agregadas igual que para construir un índice simple. índice promedio de precios relativos (segunda solución) Esta supone el calcular los índices simples para cada artículo y ob tener el promedio aritmético. El mismo resultado se obtiene si se calcu lan primero los precios relativos, esto es (Pn / P0), de cada artículo y luego

índice ponderado de precios agregados La canasta básica del ejemplo No. 3 pudiera evaluarse, con más

preci sión, si se consideran los consumos. Es decir, debería tomarse en cuen ta qué artículos se consumen más o cuales son más importantes, de acuerdo a la proporción de ellos que se incluye en la despensa. La for ma de incorporar este nuevo elemento en el análisis —el consumo— es construyendo un índice ponderado.

En primer lugar se debe otorgar un peso a los conceptos que se estén comparando. En este ejemplo se pueden ponderar los precios por las cantidades mensuales consumidas de cada artículo, para luego calcular el índice agregado de dichos precios ponderados

Artículo UnidadPrecio 1994

Cantidad 1994

Precio 2001

Cantidad 2001

Leche llt. 2.10 75 7.00 100

Bolillo 1 pieza 0.15 120 0.70 150

Tortillas Ikg. 0.80 30 4.50 30

Aceite llt. 4.00 4 10.00 3

muestra los precios y los consumos en ambos períodos de comparación, lo que supone variaciones tanto de precios co mo de cantidades. Pero si se multiplica el precio por la cantidad de cada artículo en cada uno de los años considerados, de la siguiente manera

P1994 x Q1994 = Valor de la canasta en 1994

P2001 X Q2001 = Valor de la canasta en 2001

después se comparan dichas cantidades se obtiene un índice simple de valor y no un índice ponderado de precios, como se habría pensado que ocurriría

Otros métodos. Método de Laspeyres En éste método se toman como ponderadores las

cantidades consumidas en el año base, es decir, se compara la canasta del año base contra la misma canasta'en el año dado.

Método de Paasche Si en lugar de ponderar las cantidades del año

base lo hubiéramos he cho con las del año dado, es decir, el año que se está comparando, se estaría calculando el índice ponderado con el método de Paasche.