Estadística Unidimensional2006 07.Solucion

7/25/2019 Estadística Unidimensional2006 07.Solucion

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Nombre: 18-12-2006

1) Se ha aplicado un test sobre satisfacción en el trabajo a 88 empleados de una fábrica, obteniéndose lossiguientes resultados

Puntuaciones [38, 44) [44, 50) [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 74) [74, 80)

Nº Trabajadores 7 8 15 25 18 9 6

a) Completa la tabla de frecuencias siguientePuntuaciones Xi ni Ni Xini Xi2ni

[38, 44) 41 7 7 287 11767

[44, 50) 47 8 15 376 11672

[50, 56) 53 15 30 795 42135

[56, 62) 59 25 55 1475 87025

[62, 68) 65 18 73 1170 76050

[68, 74) 71 9 82 639 45369

[74, 80) 72 6 88 462 35574

Totales 68 5204 315592(donde Xi es la marca de clase, ni es la frecuencia absoluta, Ni son las frecuencias absolutas)

b) Calcular la Moda, Mediana y Media

Como la variables está agrupada en intervalos de la misma amplitud, para el cálculo de la moda

utilizamos la fórmula

11

1 1

25 1556 6 59.529

( ) ( ) (25 15) (25 18)

i ii i

i i i i

n n Mo L a

n n n n

−

−

− +

− −= + = + =

− + − − + −

1

1

44 302 56 6 59,3625

i

i i

i

n N

Me L an

−

−

−−

= + = + = , y la media5204

59.13688

i i

i

n x

xn

= = =

∑

c) Calcula la desviación típica y la varianza.

La fórmula de la varianza es

2

2

( )i i

i

n x x

S n

−

=

∑, aunque para los cálculos se utiliza

( )2

2 22 31559259.136 89.163

88

i i

i

n xS x

n= − = − =

∑, mientras que su raíz cuadrada será la

desviación típica2 89.163 9.443S S = = =

d) ¿Qué porcentaje de trabajadores están en el intervalo ( 2 , 2 ) X S X S − +

Calculamos primero cuál es este intervalo ( , y en este intervalo están los

individuos de los intervalos [44, 50), [50, 56), [56, 62), [62, 68), [68, 74) y los que proporcionalmente les

correspondan en el primer y último intervalo (que se pueden calcula utilizando reglas de tres).

2 , 2 ) (40.26,78.02) X S X S − + =

Si en [38, 44) se acumulan 7 datos ¿cuántos se acumularán en [40.26, 44)?

44 38 7 7 3.74

4.3644 40.26 6 x x

− → ⋅

⇒ = =− →

Si en [74, 80) se acumulan 6 datos ¿cuántos se acumularán en [74, 78.02)?

80 74 6 6 4.024.02

78.02 74 6 y

y

− → ⋅⇒ = =

− →

Y por lo tanto en el intervalo ( 2 , 2 ) X S X S − + se acumulan 4.36 + 8 + 15 + 25 + 18 + 9 + 4.02=83.38

que supone el 94.75% de los 88 datos.



Nombre: 18-12-2006

e) Calcula los cuartiles primero y tercero e interpreta su significado en este problema.

1

1 1

22 154 50 6 52.815

i

i i

i

n N

Q L an

−

−

−−

= + = + = ,

1

3 1

3

66 554 62 6 65.6718

i

i i

i

n N

Q L an

−

−

−−= + = + = .

En este problema podemos decir que al menos el 25% de los empleados tiene un grado de satisfacción

por debajo de 52,8 y que por debajo de 65,67 de grado de satisfacción se encuentran el 75% de todos los

empleados.f) ¿Qué puntuación deberá tener como mínimo el 20% de los más satisfechos?

Si queremos que deje por encima sólo el 20% deberá dejar por debajo el 80%, por lo que en este caso

nos están pidiendo el percentil 80,1

80 1

8070,4 55100 62 6 67.13

18

i

i i

i

n N

P L an

−

−

−−

= + = + =

g) Indica que porcentaje de trabajadores tienen un grado de satisfacción menor de 52 puntos.

Si 52 corresponde a un percentil x, podemos escribir

1

1

( 0.88) 1510052 50 615

i

x i i

i

x n N

x P L a

n

−

−

⋅−

⋅ −= = + = + y se trata de despejar x, que se obtiene

( 0.88) 15 ( 0.88) 1552 50 6 52 50 6

15 15

2 15 5 15( 0.88) 15 5 15 0.88 22.73%

6 0

x x

x x x

⋅ − ⋅ −= + ⇒ − = ⇒

⋅ += ⋅ − ⇒ + = ⋅ ⇒ = =

.88

2) Se le ha preguntado el número de hijos de 100 familias, obteniéndose los resultados siguientes:

Nº Hijos 0 1 2 3 4 5 6

Nº familias 21 25 26 19 4 3 2a) Calcula la moda, media y mediana

Como en este caso la variable es discreta la moda es el valor con mayor frecuencia absoluta Mo=2, la

mediana es el valor que deja 50 datos a la izquierda, en este caso Me=2 porque el lugar 50 y 51 son

ambos 2. La media que se obtiene es

0 21 1 25 2 26 3 19 4 4 5 3 6 21.77

100

i i

i

n x

xn

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

∑

b) Calcula la desviación típica y la varianza. Interpreta el Teorema de Tchebychef

( )

2

2 22 5111.77 1.9771 1.406

100

i i

i

n x

S x S n

= − = − = ⇒ =

∑

Si calculamos ( , ) (1.77 1.406,1.77 1.406) (0.364,3.176) X S X S − + = − + = , en este intervalo según

Tchebychef se acumulan el 65% de los datos en este caso los valores 1, 2 y 3 (que son los que están en

ese intervalo) acumulan 70 datos, es decir representa el 70% de los datos.

c) Calcula los cuartiles primero y tercero

De igual forma que la mediana Q Q 1 31, 3= =

d) Calcula el rango intercuartílico e interpreta su significado.

El rango intercuartílico será que se puede interpretar como que en un intervalo

de amplitud 2 se acumulan la mitad de los datos.

3 1 3 1 2i R Q Q= − = − =



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e) Podrías razonar cual será la media, varianza y desviación típica de la variable “ Nº de miembros de la

unidad familiar ” (suponemos que son 2 mas que el número de hijos)

Como la variable Y= número de miembros de la unidad familiar = X+2 , podemos decir que su varianza

y desviación típica son las mismas que las de X, es decir 1.9771 y 1.406 respectivamente, mientras que la

media queda desplazada dos unidades, es decir 2 1.77 2 3.77 y x= + = + = y no es necesario realizar

ningún otro cálculo.

3) En un estudio estadístico se realizó el siguiente histograma de frecuencias relativas acumuladas. Calcula

gráficamente y de forma razonada la mediana y los cuartiles 1º y 3º. ¿Qué porcentaje de población superala cifra 27? ¿Qué porcentaje está entre 12 y 32?

En el gráfico acumulado representamos el polígono de frecuencias relativas acumuladas

0.21

0.25

0.5

0.82

0.710.75

00

5025 35Q332 27

1012

1Q1 5 20Me

5

1

Con la representaciónrealizada podemos decir

que:

1

3

13, 19.5,

29

Q Me

Q

La cifra 27 la supera el(100-71)% es decir el 29%

Entre 12 y 32 se encuentra

el

(82-21)% de los datos esdecir el 61%.

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