Estad´ıstica III Repaso de Algebra Lineal -...

Estadıstica III

Repaso de Algebra Lineal

Pedro Galeano Estadıstica III

Vectores

I Un vector columna de dimension n × 1 es una serie de numerosdispuestos como sigue:

x =

x1

x2

...xn

I Un vector fila de dimension 1× p es una serie de numeros dispuestoscomo sigue:

x = (x1, x2, . . . , xp)


Traspuesta de un vector

I La traspuesta de un vector columna x de dimension n × 1 es unvector fila de dimension n × 1 tal que:

x =

x1

x2

...xn

=⇒ x ′ = (x1, x2, . . . , xp)

I Ejemplo:

x =

3−21−5

=⇒ x ′ = (3,−2, 1,−5)


Producto de un vector y un numero real

I Un vector se puede multiplicar por un numero real constante comosigue:

cx =

cx1

cx2

...cxn

I Ejemplo:

cx = 4

3−21−5

=

12−84−20


Suma de dos vectores

I Dos vectores de la misma dimension pueden sumarse como sigue:

x + y =

x1

x2

...xn

+

y1

y2

...yn

=

x1 + y1

x2 + y2

...xn + yn

I Ejemplo:

x + y =

3−215

+

403−2

=

7−243


Producto interior de vectores

I El producto interior entre dos vectores de dimensiones n × 1 es:

x ′y = (x1, x2, . . . , xp)

y1

y2

...yn

=n∑

i=1

xiyi

I Ejemplo:

x ′y = (3,−2, 1, 5)

403−2

= 12 + 0 + 3− 10 = 5


Norma de un vector

I La norma de un vector es un numero no negativo que se definecomo sigue:

‖x‖ =√

x ′x =

√√√√ n∑i=1

x2i

I Ejemplo: Si x = (3,−2, 1, 5)′, entonces:

‖x‖ =√

x ′x =

√32 + (−2)2 + 12 + 52 =

=√

9 + 4 + 1 + 25 =√

39 = 6.2449


Vectores ortogonales

I Se dice que dos vectores son ortogonales si:

x ′y = 0

I Ejemplo:

x ′y = (3,−2, 1, 5)

403−3

= 12 + 0 + 3− 15 = 0


Proyeccion ortogonal

I La proyeccion ortogonal de un vector x sobre un vector y es:

Proyeccion de x sobre y =(x ′y)

(y ′y)y

I Ejemplo: Sean los vectores:

x =

3−215

y =

403−2

Entonces, es facil ver que x ′y = 5 y y ′y = 29, por lo que:

Proyeccion de x sobre y =5

29

403−2

=

202901529− 10

29

.


Matrices

I Una matriz se define como sigue:

A =

a11 a12 · · · a1p

a21 a22 · · · a2p

......

. . ....

an1 an2 · · · anp

donde n es el numero de filas y p es el numero de columnas.Decimos que el tamano de la matriz es n × p.

I Ejemplo:

A =

(3 −1 21 5 4

)n = 2 y p = 3


Traspuesta de una matriz

I La traspuesta de una matriz A es una nueva matriz de tamano p × ndada por:

A′ =

a11 a21 · · · an1

a12 a22 · · · an2

......

. . ....

a1p a2p · · · apn

I Ejemplo:

A =

(3 −1 21 5 4

)=⇒ A′ =

3 1−1 52 4


Matriz cuadrada y matriz simetrica

I Una matriz A es cuadrada si tiene las mismas filas que columnas, esdecir, n = p.

I Ejemplo:

A =

3 −1 26 5 43 −5 7

I Si una matriz A es cuadrada, y A = A′, diremos que la matriz A essimetrica.

I Ejemplo:

A =

3 −1 2−1 5 42 4 7

=⇒ A′ =

3 −1 2−1 5 42 4 7

=⇒ A = A′


Producto de una constante por una matriz

I El producto de una constante c por una matriz A se define comosigue:

cA =

ca11 ca12 · · · ca1p

ca21 ca22 · · · ca2p

......

. . ....

can1 can2 · · · canp

I Ejemplo:

A =

(3 −1 2−1 5 4

)=⇒

3A = 3

(3 −1 2−1 5 4

)=

(9 −3 6−3 15 12

)


I La suma de dos matrices A y B de la misma dimension se definecomo sigue:

A + B =

a11 a12 · · · a1p

a21 a22 · · · a2p

......

. . ....

an1 an2 · · · anp

+

b11 b12 · · · b1p

b21 b22 · · · b2p

......

. . ....

bn1 bn2 · · · bnp

=

=

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1p + b1p

a21 + b21 a22 + b22 · · · a2p + b2p

......

. . ....

an1 + bn1 an2 + bn2 · · · anp + bnp

I Ejemplo:

A =

(3 −1 2−1 5 4

)B =

(4 2 1−1 3 −5

)=⇒

A + B =

(3 −1 2−1 5 4

)+

(4 2 1−1 3 −5

)=

(7 1 3−2 8 −1

)


Propiedades de estas operaciones

I Si A, B y C son tres matrices del mismo tamano y a y b son dosnumeros reales cualquiera, tenemos:

I Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C).

I Propiedad conmutativa: A + B = B + A.

I c (A + B) = cA + cB.

I (a + b) A = aA + bA.

I (ab)A = a(bA) = b(aA).

I (A + B)′ = A′ + B ′.

I (aA)′ = aA′.


Producto de matrices

I Para poder multiplicar matrices necesitamos que el numero decolumnas de la primera matriz sea igual que el numero de filas de lasegunda matriz. El producto de matrices se realiza como en elsiguiente ejemplo:

A =

(3 −1 2−1 5 4

)B =

4 −12 31 5

=⇒

A · B =

(3 −1 2−1 5 4

)·

4 −12 31 5

=

=

(3 · 4 + (−1) · 2 + 2 · 1 3 · (−1) + (−1) · 3 + 2 · 5(−1) · 4 + 5 · 2 + 4 · 1 (−1) · (−1) + 5 · 3 + 4 · 5

)=

=

(12 410 36

)


I Ejemplo:

A =

(3−1

)B =

(4 −1

)=⇒

A · B =

(3−1

)·(

4 −1)

=

=

(3 · 4 3 · (−1)(−1) · 4 (−1) · (−1)

)=

=

(12 −3−4 1

)


Matrices idempotentes e nilpotentes

I Una matriz cuadrada A es idempotente si A2 = A · A = A.

I Ejemplo:

A =

(1 0−1 0

)=⇒ A2 =

(1 0−1 0

) (1 0−1 0

)=

(1 0−1 0

).

I Una matriz cuadrada A es nilpotente si para algun numero entero k,Ak = 0.

I Ejemplo:

A =

(0 10 0

)=⇒ A2 =

(0 10 0

) (0 10 0

)=

(0 00 0

).


Propiedades del producto de matrices

I Si A, B y C son tres matrices de dimensiones adecuadas y a es unnumero real cualquiera, tenemos:

I a (A · B) = (aA) · B. = A · (aB)

I Propiedad asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C .

I En general, A · B 6= B · A.

I A · (B + C) = A · B + A · C .

I (A + B) · C = A · C + B · C .

I (A · B)′ = B ′ · A′.

I Si A · B = una matriz de ceros, no implica que A o B sea una matrizde ceros. Por ejemplo:

„3 1 31 2 2

« 0@ 43−5

1A =

„00

«.


Determinante de una matriz cuadrada

I El determinante de una matriz A de tamano 2× 2 se denota por |A|y se calcula como sigue:

|A| =∣∣∣∣ 3 1

1 2

∣∣∣∣ = 3 · 2− 1 · 1 = 5

I El determinante de una matriz de tamano 3× 3 se calcula comosigue:

|A| =

∣∣∣∣∣∣3 −1 2−1 5 42 4 7

∣∣∣∣∣∣ = 3

∣∣∣∣ 5 44 7

∣∣∣∣− (−1)

∣∣∣∣ −1 42 7

∣∣∣∣ + 2

∣∣∣∣ −1 52 4

∣∣∣∣ =

= 3 · 19 + 1 · (−15) + 2 · (−14) = 14

I Una matriz cuadrada es singular si su determinante es 0. La matrizanterior, por lo tanto, no es singular.


Propiedades del determinante de una matriz cuadrada

I Si A es una matriz cuadrada de tamano n × n y a es un numero realcualquiera, tenemos:

I |A| = |A′| .I |AB| = |A| |B| .I |aA| = an |A| .I Si todos los elementos de una fila o de una columna de A son 0,

entonces, |A| = 0.

I Si dos filas o columnas son iguales, entonces, |A| = 0.

I Si una fila (columna) es multiplo de otra fila (columna), entonces,|A| = 0.

I Si A es idempotente,˛A2

˛=

˛A2

˛.

I Si A es nilpotente,˛Ak

˛= |A|k = 0, donde k es tal que Ak = 0.


Inversa de una matriz cuadrada no singular

I Si A es una matriz cuadrada no singular de tamano n × n, entoncesexiste una unica matriz B tal que:

A · B = B · A = I

donde I es la matriz indentidad de tamano n × n:

I =

1 0 · · · 0

0 1. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 1

I La matriz B recibe el nombre de matriz inversa y se denota por A−1.

I Ejemplo:(2 31 5

) (57 − 3

7− 1

727

)=

(57 − 3

7− 1

727

) (2 31 5

)=

(1 00 1

)


Inversa de una matriz de tamano 2× 2

I La inversa de una matriz de tamano 2× 2 es la siguiente:

A =

(a11 a12

a21 a22

)=⇒ A =

1

|A|

(a22 −a12

−a21 a11

)

I Ejemplo:

A =

(2 31 5

)=⇒ A =

1

7

(5 −3−1 2

)


Inversa de una matriz de tamano 3× 3

I La inversa de una matriz de tamano 3× 3 es la siguiente:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=⇒

A =1

|A|

∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣−

∣∣∣∣ a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣∣∣∣∣ a12 a13

a22 a23

∣∣∣∣ −∣∣∣∣ a11 a13

a21 a23

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣


I Ejemplo:

A =

3 −1 2−1 5 42 4 7

=⇒

A =1

14

19 15 −1415 17 −14−14 −14 16

=

1914

1514 −1

1514

1714 −1

−1 −1 1614


Propiedades de la inversa de una matriz cuadrada

I(A−1

)′= (A′)

−1.

I (AB)−1 = B−1A−1.

I∣∣A−1

∣∣ = 1/ |A| .


Traza de una matriz cuadrada

I Se define la traza de una matriz cuadrada A de dimension p como lasuma de los elementos de la diagonal de la matriz A, es decir:

A =

a11 a12 · · · a1p

a21 a22 · · · a2p

......

. . ....

ap1 ap2 · · · app

=⇒ Tr (A) =

p∑i=1

aii .

I Ejemplo:

A =

3 1 31 2 2−1 3 4

= 3 + 2 + 4 = 9.


Propiedades de la traza de una matriz

I Si A y B son dos matrices cuadradas y a es un numero realcualquiera, tenemos:

I Tr (cA) = cTr (A) .

I Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B) .

I Tr (A − B) = Tr (A) − Tr (B) .

I Tr (A · B) = Tr (B · A) .

I Tr`B−1 · A · B

´= Tr (A) .

I Tr (A · A′) =Pp

i=1

Ppj=1 a2

ij .


Matriz cuadrada ortogonal

I Una matriz cuadrada A se dice que es ortogonal si, y solo si,A−1 = A′. En este caso:

AA′ = A′A = I

I Ejemplo:

A =

(0.7170 0.7170−0.7170 0.7170

)=⇒ A−1 = A′ =

(0.7170 −0.71700.7170 0.7170

).

I Si una matriz cuadrada A es ortogonal, entonces, |A| = 1 o|A| = −1.


Diagonalizacion de matrices

I Si A es una matriz cuadrada de dimension n × n, entonces, losautovectores y los autovalores de A son vectores v1, . . . , vn de norma1 y ortogonales y numeros λ1, . . . , λn tales que:

Avi = λivi , i = 1, . . . , n

I Los autovalores de A se obtienen resolviendo la ecuacioncaracterıstica |A− λI | = 0.

I Si todos los autovalores de una matriz son positivos, decimos que lamatriz es definida positiva.


I Ejemplo:

A =

(1 −5−5 1

)=⇒

=⇒ |A− λI | =∣∣∣∣( 1 −5

−5 1

)− λ

(1 00 1

)∣∣∣∣ = 0

=⇒ (1− λ)2 − 25 = 0 ⇐⇒ λ1 = 6 y λ2 = −4.

I La matriz A no es definida positiva.


I Los autovectores se obtienen resolviendo la ecuacion Avi = λivi ,teniendo en cuenta que ‖vi‖ = 1. En el ejemplo,(

1 −5−5 1

) (v11

v21

)= 6

(v11

v21

)

=⇒ v11 − 5v21 = 6v11

−5v11 + v21 = 6v21=⇒ v11 = 0.7071

v21 = −0.7071

(1 −5−5 1

) (v12

v22

)= −4

(v12

v22

)

=⇒ v12 − 5v22 = −4v12

−5v12 + v22 = −4v22=⇒ v12 = 0.7071

v12 = 0.7071


Descomposicion espectral de una matriz

I La descomposicion espectral de una matriz A simetrica se definecomo:

A =n∑

i=1

λiviv′i .

I Ejemplo:

A =

(1 −5−5 1

)=⇒

A = 6

(.7071−.7071

) (.7071 −.7071

)− 4

(.7071−.7071

) (.7071 .7071

)


Descomposicion de valores singulares

I La descomposicion de valores singulares de una matriz A simetricase define como:

A = VΛV ′,

donde V = [v1| · · · |vn] y Λ es una matriz diagonal formada por losautovalores de dicha matriz.

I Ejemplo:

A =

(1 −5−5 1

)=⇒

A =

(.7071 .7071−.7071 .7071

) (6 00 −4

) (.7071 −.7071.7071 .7071

)


Algunas consecuencias importantes

I Sea A es una matriz cuadrada con descomposicion de valoressingulares dada por:

A = VΛV ′.

I Entonces, se verifican:

I Tr (A) = Tr (VΛV ′) = Tr (Λ) =Pn

i=1 λi .

I |A| = |VΛV ′| =Qn

i=1 λi .

I Ak = VΛkV ′, de donde, los autovalores de Ak son λki y˛

Ak˛= |A|k =

Qni=1 λk

i .

I Ejemplo:

A =

(1 −5−5 1

)=⇒

Tr (A) = 1 + 1 = 6− 4 |A| = 6 · (−4) = −24.


I Si x = (x1, . . . , xn)′ es un vector columna de tamano n × 1,

entonces, una forma cuadratica en x es:

Q (x) = x ′Ax

donde A es una matriz cuadrada simetrica de tamano n × n.

I Notar que una forma cuadratica se puede escribir como sigue:

Q (x) = (x1, . . . , xn)

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

x1

x2

...xn

=n∑

i=1

n∑j=1

aijxixj .

I Ejemplo:

Q (x) = (x1, x2)

(1 23 4

) (x1

x2

)=

= (x1 + 3x2, 2x1 + 4x2)

(x1

x2

)= x2

1 + 5x1x2 + 4x22 .


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