ESTADISTICA EDUCACIONAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA AMAZONIA PERUANAESCUELA DE POST GRADO

DOCENCIA E INVESTIGACIÒN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA AMAZONÍA PERUANA

ESCUELA DE POST GRADO

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN Y HUMANIDADES

SECCIÓN DE POST GRADO

MAESTRÍA EN DOCENCIA E INVESTIGACIÒN UNIVERSITARIA

VI- PROMOCIÒN

TEXTO AUTOINSTRUCTIVO PARA USO EXCLUSIVO DE ESTUDIANTES DE PRE GRADO Y POST GRADO, Y QUE ASPIRAN SER BUENOS MAESTROS E INVESTIGADORES Y EN CONCORDANCIA CON LO DISPUESTO POR LA

LEGISLACIÓN SOBRE DERECHOS DE AUTOR:DECRETO LEGISLATIVO Nº 822Decreto Legislativo del 23 de abril de 1996 (publicado el 24 de abril de 1996)

Artículo 43º.- Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitida sin autorización del autor:a) La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes en instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de lucro.

Art. 69º: Pueden ser reproducidos y difundidos breves fragmentos de obras literarias, científicas y artísticas y aún la obra entera, si su breve extensión y naturaleza lo justifican, siempre que la reproducción se haga con fines culturales y no comerciales y que ella no entrañe competencia desleal para el autor en cuanto al aprovisionamiento pecuniario de la obra, debiendo indicarse, en todo caso, nombre del autor, el título de la obra y la fuente de donde se hubieren tomado.

(*) Para uso interno de la cátedra

COMPILADOR:Lic.JUAN ORLANDO OLIVERA RIOS.

IQUITOS – PERÚ2,013

Lic. JUAN ORLANDO OLIVEIRA RIOS.




ÍNDICEPRESENTACIÓN

APRENDIZAJES ESPERADOSEVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

ESTRATEGIAS

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

Pág. 1. Concepto 42. Población 43. Muestra 44. Variable 55. Dato estadístico 56. Tipos de variable 6

6.1 Variable cuantitativa 66.1 Variable continúa 66.2 Variable discreta 6

6.2 Variable cualitativa 77. Distribución no agrupada 78. Frecuencia absoluta 89. Frecuencia absoluta acumulada 810. Frecuencia Relativa 911. Frecuencia Relativa acumulada 912. Frecuencia Porcentual 1013. Frecuencia Porcentual acumulada 1014. Gráficos estadísticos 11

14.1 Gráfico de barras 1114.2 Gráfico circular 11

CAPÍTULO IIMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. Media Aritmética 132. Mediana 143. Moda 154. Medidas de tendencia central para datos agrupados 16

Auto evaluación 22Glosario de términos 23Bibliografía 24



PRESENTACIÓN

En los últimos años, la estadística ha llegado a constituir una herramienta de trabajo necesaria en muchos

campos de la actividad intelectual. Más aún, en la investigación científica, la estadística es una técnica

importante, ya que sus métodos y técnicas, ayudan en la búsqueda permanente de nuevos conocimientos

en cualquier área de estudio.

Antiguamente se entendía por estadística el conjunto de técnicas que el estado aplicaba para elaborar un

censo, a fin de conocer el número de habitantes y las características de éstos, como sus edades, nivel

social y económico, profesiones, etc. De hecho para mucha gente de nuestro tiempo, la palabra estadística

sigue significando puras y largas descripciones numéricas. Sin embargo esta recolección de datos, que se

manipulan a fin de extraer resultados numéricos que tengan por si mismo un significado útil para el estudio

que nos interesa, o bien que sobre ellos se pueda realizar un análisis a fondo, es tan solo una rama de la

estadística, la estadística descriptiva. La estadística es una ciencia y es parte del método científico y se le

define como un conjunto de técnicas usadas para recopilar, organizar, presentar, analizar e interpretar

datos, con el fin de obtener conclusiones y tomar decisiones sobre determinados hechos o fenómenos en

estudio.

La presente separata tiene como objetivo principal brindar a los docentes información pertinente y actual

sobre los conceptos estadísticos básicos a fin de que puedan llenar los vacíos que puedan tener sobre esta

disciplina. La separata consta de dos capítulos. En el I Capítulo se explican los conceptos elementales de la

estadística como: población, muestra, variable, dato, encuesta y tipos de variable. En el II Capítulo se

estudiarán las medidas de tendencia central. Al finalizar cada capítulo se proponen actividades para afianzar

mejor los aprendizajes.

Estoy convencido, que esta separata servirá de mucha utilidad para muchos docentes de la especialidad de

matemática.

Los Autores.


“La Estadística es una de las ramas de la matemática que nos ayuda a recoger, organizar, analizar e interpretar información de nuestro entorno”.

Lic. Juan T. Reyes Acate. Lic. Juan O. Oliveira Rios.



APRENDIZAJES ESPERADOS


CAPÍTULO I: CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS

1. Interpreta los conceptos estadísticos básicos (población, muestra, variable, dato, rango) escribiendo sus propias conclusiones.

2. Discrimina los tipos de variables y los tipos de frecuencia elaborando un cuadro comparativo.

3. Organiza datos estadísticos en tablas de distribución de frecuencias. 4. Interpreta tablas de distribución de frecuencias, gráficos estadísticos, medidas de

tendencia central escribiendo sus conclusiones. 5. Representa información estadística en gráficos de: barras, circulares, histogramas,

polígonos de frecuencias, ojivas, etc.

CAPÍTULO II: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. Aplica fórmulas estadísticas para el cálculo de las medidas de tendencia central, localización y de dispersión de datos.

2. Interpreta las medidas de tendencia central, localización y de dispersión de una distribución agrupada escribiendo sus conclusiones.

CAPÍTULO III: PROBABILIDADES

1. Elabora ejemplos de experimentos aleatorios. 2. Identifica espacios muéstrales y eventos mediante ejemplos. 3. Analiza las propiedades de la probabilidad de un evento planteando ejemplos. 4. Calcula la probabilidad de un evento y de una probabilidad condicional en ejemplos

planteados. 5. Aplica la regla general de la multiplicación y el teorema de Bayes.6. Calcula la esperanza matemática en ejemplos planteados.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICAEVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

ESTRATEGIAS



INSTRUCCIONES

1.E n b a s e a l a s i g u i e n t e t a b l a d e d i s t r i b u c i ó n d e

frecuencias.

xi fi

2 103 84 165 106 6

Xi = Número de hijos por familiafi = Número de familias.Calcular el porcentaje de familia que tienen menos de 5 hijosA) 88% B) 68% C) 30% D) 24%

2. El siguiente cuadro muestra la asistencia a una asamblea de padres de familia. ¿Qué porcentaje representa el número de varones respecto al número de mujeres?

A) 18%B) 20% 80C) 24% D) 25%E) 22.5% 20

3. Marque la alternativa correcta. La estadística descriptiva se encarga de:A) Recolección, clasificación. presentación y

análisis de datos.B) graficar los datosC) Elaborar tablas de frecuenciaD) las conclusiones de una información

de la muestra.E) N.A

4. Una distribución de frecuencias relativas presenta las frecuencias en términos de:A) Fracciones decimalesB) Números naturalesC) PorcentajesD) Se cumplen a y cE) Ninguna de las anteriores.

5. La regla de Sturges, se emplea para calcular:A) Intervalo de claseB) Marca de claseC) Frecuencia absolutaD) Frecuencia relativaE) frecuencia acumulada.

6. Es el dato que tiene mayor frecuencia:A) MedianaB) ModaC) MediaD) Media ponderadaE) N.A

7. Al promedio aritmético también se le conoce como:

A) Mediana

B) ModaC) MediaD) Media ponderada

8. La siguiente formula nos permite calcular:

A) MedianaB) ModaC) MediaD) Media ponderadaE) N.A

9. Un experimento es aleatorio cuando:A) Cuando es un suceso seguro.B) Cuando es imposible.C) Cuando el resultado no se puede acertar

con total seguridad antes de su realizaciónD) Cuando el resultado se puede acertar con

total seguridad antes de su realización.

10. La probabilidad de un suceso seguro es:

A) 1B) 0C) ½D) ¼E) 3/4

11.La probabilidad de un suceso ligado a dos sucesos independientes se calcula:

A) P ( A B) = P( A) – P ( B)B) P(A B) = P (A). P (B)C) P(AB) = P (A). P (B / A)D) P (A B) = P (A) + P(B)E) N.A


Estimado colega lee detenidamente cada una de las preguntas y resuélvelo. Solo es saber como podemos ayudar a elevar tu nivel académico. Muchas Gracias

¡Muy bien lo hiciste!




CAPÍTULO I: INTRODUCCCIÓN A LA ESTADÍSTICACAPÍTULO I: INTRODUCCCIÓN A LA ESTADÍSTICA

1. Desarrollan una evaluación diagnóstica antes de abordar cada capítulo.

2. Identifican los aprendizajes esperados antes de iniciar el estudio de cada capítulo.

3. Leen la separata y subrayan las ideas más relevantes, las propiedades y definiciones.

4. Analizan los ejemplos resueltos en cada capítulo.5. Elaboran un organizador visual que resuma el contenido de cada

capítulo. 6. Desarrollan las actividades propuestas por cada capítulo.7. Desarrollan la evaluación propuesta por cada capítulo.

Estimado colega estos son los procedimientos que debes de seguir para tu auto aprendizaje.

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMAPASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA

COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA

DISEÑO O ADAPTACIÓN DE UNA ESTRATEGIA

¿FUNCIONA?

RETROSPECCIÓN Y VERIFICACIÓN

NO

SI



1. CONCEPTO

La estadística se la define como un conjunto de técnicas usadas para recopilar, organizar, presentar,

analizar e interpretar datos, con el fin de obtener conclusiones y tomar decisiones sobre determinados

hechos o fenómenos en estudio. Esta recolección de datos obedecen a diferentes características o

aspectos de una determinada población, como por ejemplo: si se quiere averiguar el nivel social y

económico, profesiones, edades, etc. De la población de un lugar. La estadística es la ciencia de la

recopilación, organización, presentación e interpretación de datos.

2. POBLACIÓN

Se llama población o universo al conjunto de individuos (personas, animales y plantas) u objetos cuyas

características se han de analizar. Las características pueden ser el peso, la talla, las calificaciones, el

salario, los costos, las inclinaciones políticas, etc.

3. MUESTRA

En casi todos los casos, la población que nos interesa estudiar es imposible de abarcar en su totalidad

por varias razones, aunque la más frecuente es su excesivo tamaño. Resultaría dificultoso, por ejemplo,

conocer las inclinaciones políticas de un país preguntando a todos los individuos que forman el censo, si

quisiéramos averiguar la calidad de la marca de automóvil para comprobar sus efectos ante un

choque frontal no tiene sentido destrozar todos los coches de esa marca para comprobar su calidad,

también si quisiéramos averiguar la calidad de un producto alimenticio no es necesario comer todo el

producto, si deseáramos averiguar el rendimiento académico de los alumnos del nivel secundaria en el

área de matemática de los C.E de la provincia de Requena resultaría muy dificultoso y costoso evaluar

a todos; si no que bastaría tomar un grupo de alumnos de cada C.E para inferir y sacar conclusiones.


Por ejemplo: Todos los alumnos (as) que estudian actualmente UNAP, el

conjunto de todas las aves domésticas de la ciudad de Iquitos, el conjunto de

todos los árboles de la región Loreto, el conjunto de todos los motocarros del

distrito Punchana, el conjunto de todos los tarros con leche que se venden en

las tiendas de la ciudad de Belén.

ELABORA TUS EJEMPLOS

a. ………………………………………………………………………………

b. ………………………………………………………………………………

c. ………………………………………………………………………………

Llamaremos muestra a una parte de la población que es tomada aleatoriamente (al azar), para ser estudiada como parte representativa de la población.



4. VARIABLE

Es una característica o atributo que poseen todos los individuos de una población y que deseamos investigar. Es decir es la característica que deseamos estudiar de la población. Por ejemplo:Ejemplo 1:

a. Población: Todos los alumnos (as) que estudian actualmente en la UNAP. b. Muestra: Los alumnos (as) de la especialidad de matemática de la UNAP. c. Variables: Talla, peso, edad, calificaciones, color de ojos, coeficiente de inteligencia, etc.

Ejemplo 2:

a. Población: El conjunto de pobladores de la provincia de Maynas. b. Muestra: Un grupo de 500 pobladores tomados de diferentes barrios de la provincia de Maynas.c. Variables: inclinación política, edad, profesión, salarios, etc.

5. DATO ESTADÍSTICO

Es el valor que toma la variable para cada elemento perteneciente a la población o a la muestra.Ejemplo 1:

a. Variable: Pesob. Dato : 60, 5 Kg.; 55, 2 Kg. ; 61,0 Kg.; etc.

Ejemplo 2:


EJEMPLO:

a. Población: Todos los alumnos (as) que estudian actualmente en la UNAP.

b. Muestra: Los alumnos (as) de la especialidad de matemática.

c. Población: El conjunto de pobladores de la provincia de Maynas.

d. Muestra: Un grupo de 500 pobladores tomados de diferentes barrios de la

provincia de Maynas.

c. Población: conjunto de todos los motocarros de la región Loreto.

d. Muestra: Conjunto de de motocarros de la ciudad de Iquitos.

ELABORA TUS EJEMPLOS

a. ……………………………………………………………………………

…

b. ……………………………………………………………………………

…



a. Variable: Inclinación política.b. Dato: Unipol, Fuerza Loretana, APRA, etc.

Ejemplo 3:

a. Variable: Calificacionesb. Dato : 0, 1,2,3,4,…,20

6. TIPOS DE VARIABLES

6.1 VARIABLE CUANTITATIVA

Son aquellas que se pueden medir o contar. Los valores de esta variable son números. Cuanto la variable es cuantitativa los elementos reciben el nombre de datos.

6.1.1 VARIABLE CONTINUA

Cuando los valores de la variable son números enteros. Está variable se puede contar. Un conteo siempre produce datos numéricos discretos.

6.1.2 VARIABLE DISCRETA

Cuando los valores de la variable son números decimales y son susceptibles de ser

medidos.


Ejemplo 1:

a. Variable: El Nº de hijos de una familia.b. Datos: 0,1, 2, 4, 5, 3, etc.

Ejemplo 2:

a. Variable: El número de insectos hallados en el faro de un automóvil. b. Datos: 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , …Pero no se puede ser 1.9 ó 3.25. (Los restos de

cualquier insecto se cuentan como un insecto completo).

ELABORA TU EJEMPLO

a. ………………………………………………………………………………

b. ………………………………………………………………………………

Ejemplo 1.

a. Variable : EL peso de una persona.

b. Datos : 56.5 Kg., 58.7 Kg., 60.0 Kg.

Ejemplo 2.

a. Variable : La estatura de una persona.b. Datos : 1.60 m, 1.65 m, 1.78 m.

ELABORA TU EJEMPLO

c. ………………………………………………………………………………

d. ………………………………………………………………………………



6.2 VARIABLE CUALITATIVA

Son aquellas que no se pueden medir. Los valores de esta variable no son números si no que se pueden clasificar o categorizar y reciben el nombre de atributos o datos cualitativos.

7. DISTRIBUCIÓN NO AGRUPADA

Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas en una asignatura por un grupo de 40 alumnos.

10 12 16 18 1008 14 10 12 1309 10 12 13 1513 11 10 09 1512 10 08 11 1616 09 10 08 1717 11 16 17 1413 15 12 08 10

Ahora organizamos esta información en una tabla de distribución de frecuencias:

TABLA Nº 01

Variable (x)

Calificación

Frecuencia absoluta

(f)

Frecuencia

absoluta acumulad

a

(F)

Frecuencia relativa

(h)

Frecuencia relativa

acumulada

(H)

Frecuencia relativa

porcentual

(hi%)

Frecuencia relativa

porcentual acumulada

(Hi%)

08 f1= 4 F1 = 4 h1= 0.1 H1 = 0.1 h1% = 10% 10%09 f2= 3 F2 = 7 h2= 0.075 H2 = 0.175 h2%= 7.5% 17.5%10 f3= 8 F3 = 15 h3= 0.2 H3 = 0.375 h3% = 20% 37.5%11 f4= 3 F4 = 18 h4= 0.075 H4 = 0.45 h4% = 7.5% 45%12 f5= 5 F5 = 23 h5= 0.125 H5 = 0.575 h5% = 12.5% 57.5%13 f6= 4 F6 = 27 h6= 0.1 H6 = 0.675 h6% = 10% 67.5%14 f7= 2 F7 = 29 h7= 0.05 H7 = 0.725 h7% = 5% 72.5%


Ejemplo 1.a. Variable : El sexo de un individuo.b. Datos o atributo: Masculino y femenino.

Ejemplo 2.

a. Variable : Inclinación política.b. Datos o atributos: Fuerza Loretana, Unipol, Acción Popular, APRA, etc.

Ejemplo 3.a. Variable : Nivel socioeconómicob. Datos o atributos: Bajo, medio y alto.

..

.

OBSERVACIÓNObserve que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al de datos de la muestra. Es decir: Suma fi = Total = N = 40

OBSERVACIÓNObserve que la suma de todas las frecuencias relativas debe ser igual a uno. Es decir: h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 + h8 + h9 + h10 + h11 = 1

KEn general si K= # Datos distintos, entonces: h i = 1

i = 1



15 f8= 3 F8 = 32 h8= 0.075 H8 = 0.8 h8% = 7.5% 80%16 f9= 4 F9 = 36 h9= 0.1 H9 = 0.9 h9% = 10% 90%17 f10= 3 F10 = 39 h10= 0.075 H10 = 0.975 h10% = 7.5% 97.5%18 f11= 1 F11 = 40 h11= 0.025 H11= 1 h11% = 2.5% 100%TOTAL = 40 TOTAL = 1 TOTAL = 100 %

8. FRECUENCIA ABSOLUTA ( f )

La frecuencia absoluta de un dato (valor de la variable), es el número de veces que se

repite ese dato en la muestra. La frecuencia absoluta se representará por la letra “f”.

Ejemplos: (Ver tabla Nº 01)

INTERPRETACIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

f1= 4 Significa que hay 4 alumnos que tienen la nota de 08.f4= 3 Significa que hay 3 alumnos que tienen la nota de 11.f7= 2 Significa ………………………………………………………………………………

9. FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( F )

La frecuencia absoluta acumulada de un dato, es igual a la suma de la frecuencia absoluta de

dicho dato con todas las frecuencias absolutas de todos los datos anteriores a el. La

frecuencia absoluta acumulada se representa por la letra “F”.


F1 = f1 = 4F2 = f2 + f1 = 3 +4 = 7F3 = f3 + f2 + f1= 8 + 3 +4 = 15F4 = f4 + f3 + f2 + f1 = 3 + 8 +3 +4 = 18F5 = f5 + f4 + f3 + f2 + f1 = 5 +3 +8 +3 +4 = 23Y así sucesivamente se obtienen las demás frecuencias absolutas acumuladas. INTERPRETACIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADASF3= 15 Significa que hay 15 alumnos que tienen la nota de 10 o menor que 10. También, que hay 15 alumnos que tienen una nota menor o igual que 10. F5= 23 Significa que hay ………………………………………………………………................F9= 36 Significa que hay…………………………………………………………………………..


¡Ahora hazlo tú!

¡Ahora hazlo tú!

OBSERVACIÓNObserve que la suma de todas las frecuencias relativas debe ser igual a uno. Es decir: h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 + h7 + h8 + h9 + h10 + h11 = 1

KEn general si K= # Datos distintos, entonces: h i = 1

i = 1

OBSERVACIÓN

En general: Hi = hi +Hi-1

B. También se cumple que: K

HK = hi

i = 1



10. FRECUENCIA RELATIVA ( h )

Se llama frecuencia relativa de un dato, al cociente que resulta de dividir la frecuencia absoluta de dicho dato entre el total de datos. Se representa por la letra “h”.

Ejemplos: (Ver tabla Nº 01) 4 1

h1= ------ = -------; Significa que 1 de cada 10 alumnos tienen una nota de 08. 40 10

3h2= ------ =;………………………………………………………………… 40

8 1h3= ------ = -------;……………………………………………………………… 40 5

11. FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( H )

Se llama frecuencia relativa acumulada de un dato, a la suma de la frecuencia relativa de

dicho dato, con todas las frecuencias relativas anteriores a dicho dato. La frecuencia relativa

acumulada de un dato se representa por: “H”.


H2= h1 + h2= 4 / 40 + 3 / 40 = 7 / 40

Significa que 7 de cada 40 alumnos tienen una nota de 09 o menor que 09.

También que 7 de cada 40 alumnos tienen una nota menor o igual que 09.

H 3 =………………………………………………………………………..

H 4 =…………………………………………………………………………..

H 5 =…………………………………………………………………………..


¡Ahora hazlo tú!

¡Ahora hazlo tú!

OBSERVACIÓN

Observe que la suma de todas las frecuencias relativas

porcentuales es igual al 100%. Es decir:

K

h i % = 100%; siendo k= # de datos distintos.

i=1

OBSERVACIÓNSi nos preguntaran por ejemplo: ¿Cuántos alumnos tienen una nota

menor que 13? Sumamos 5+3+8+3+4= 23 ó se resta los alumnos que tienen una nota menor o igual que 13 (F6= 27), con los alumnos que tienen la nota de 13 (f6= 4); es decir F6 – f6= 27-4= 23. ¿Cuántos alumnos tienen una nota menor que 16? F9- f9= 36-4= 32.

Si nos preguntan: ¿Cuántos alumnos tienen una nota mayor que 15? Sumamos 4+3+1= 8 ó restamos el total de datos de la muestra (40) con la frecuencia acumulada del dato 15; es decir: 40 – F8 = 40 – 32= 8. ¿Cuántos alumnos tienen una nota mayor que 13? Sumamos 5+3 +8+3+4= 22



12. FRECUENCIA PORCENTUAL ( hi %) ó (f %)

La frecuencia relativa porcentual de un dato es aquella que resulta de multiplicar la frecuencia relativa de ese dato por el 100%. Es decir.

Donde:hi % = Frecuencia relativa porcentual del i – ésimo dato.fi = Frecuencia absoluta del i – ésimo dato.N = Total de datos.

Ejemplo: (Ver tabla Nº 01)

h1%= 10% Significa que el 10% de los alumnos tienen la nota de 08.

h3%= 20% Significa que……………………………………………h7% = 5% Significa que……………………………………………

13. FRECUENCIA PORCENTUAL ACUMULADA (H i %)

Se llama frecuencia relativa acumulada porcentual de un dato a la suma de la frecuencia relativa

porcentual de ese dato con todas las frecuencias relativas porcentuales anteriores a dicho dato.

Ejemplo: (Ver tabla nº 01)

H4%= 45% Significa que el 45% de los alumnos tienen una nota menor o igual que 11. También que el 45% de los alumnos tienen una nota de 11 o menor que 11.

H7% = 72.5% Significa que…………………………………………………………………..H9% = 90% Significa que……………………………………………………………………..


hi % = h i x 100% fi x 100% hi % = ------------------

N

¡Ahora hazlo tú!

¡Ahora hazlo tú!



14. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

14.1 GRAFICO DE BARRAS

Es un gráfico que es utilizado para variables cuantitativas discretas o para

variables cualitativas. El gráfico de barras está formado por la intersección de dos

rectas perpendiculares. En la recta vertical o eje Y se colocan los valores de las

frecuencias absolutas y en la recta horizontal o eje X se colocan los valores de la

variable, las categorías o atributos.

Todas las barras deben de tener el mismo ancho. El espacio entre barra y barra debe ser la misma. El ancho de la barra debe ser el doble del espacio que se deja entre barra y

barra. Para elegir en eje vertical una escala de medida adecuada; dividir la

frecuencia más alta entre el número de datos o de atributos. El resultado obtenido se redondea al número entero más próximo y de fácil manejo.Por ejemplo:

Máxima frecuencia= 8; Número de datos=11

8------- = 0.72= 1; entonces la escala de medida=1

11Ejemplo: Tomando como ejemplo la tabla nº 01 tendremos lo siguiente:

FRECUENCIAABSOLUTA (f)




VARIABLE (CALIFICACIÓN)14.2 GRÁFICO CIRCULAR

1. Un grupo de 30 niños se encuentran en el patio de un colegio. A cada uno se le pregunta por su edad, obteniendo las siguientes respuestas:

5 7 6 7 9 8 5 7 8 107 6 6 5 6 7 9 7 10 86 9 7 6 6 5 11 10 7 8

a. Elaborar la tabla de distribución de frecuencias.b. Interpretar las frecuencias absolutas, relativas, acumuladas y porcentuales. c. ¿Cuántos niños tienen una edad menor que 7 años?d. ¿Qué porcentaje de niños tienen una edad mayor o igual que 9 años?e. Elaborar el gráfico de barras y el gráfico circular.

1. MEDIA ARITMÉTICA ( M.A) ó ( )


ACTIVIDADESACTIVIDADES

¡Ahora hazlo tú!

CAPÍTULO II: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CAPÍTULO II: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

INTERPRETACIÓN

El promedio de las calificaciones obtenidas por 30 alumnos es de 11.



La media aritmética para datos no agrupados se halla sumando todos los datos de la

distribución y dividiendo dicha suma entre el total de datos.

Ejemplo:

En la siguiente tabla:

Tabla Nº 02

Variable (x)

Calificación

Frecuencia absoluta

(f)

Frecuencia absoluta

acumulada

(F)

Frecuencia relativa

(h)

Frecuencia relativa

acumulada

(H)

Frecuencia relativa

porcentual

(hi%)

Frecuencia relativa

porcentual acumulada

(Hi%)09 f1= 5 F1 = 5 h1= 0.17 H1 = 0.17 h1% = 17% 17%10 f2= 6 F2 = 11 h2= 0.2 H2 = 0.37 h2% = 20 % 37%11 f3= 3 F3 = 14 h3= 0.1 H3 = 0.47 h3% = 10 % 47%12 f4= 5 F4 = 19 h4= 0.17 H4 = 0.64 h4% = 17 % 64%13 f5= 11 F5 = 30 h5= 0.36 H5 = 1 h5% = 36% 100%TOTAL = 30 TOTAL = 1 TOTAL = 100 %

En la Tabla Nº 02 la media aritmética se calcula de la siguiente manera:

5(9) + 6(10) + 3(11) + 5(12) + 11(13) 45 + 60 +33 + 60 + 143 = ----------------------------------------------- = -------------------------------------- 30 30 = 341 / 30 = 11. 3 = 11

2. MEDIANA (Me)


Sean: 14, 13, 12, 11, 15, las calificaciones que obtuvo un alumno en el curso

de matemática. La media aritmética será:

= 14 + 13 + 12 + 11 + 15 = 65 = 13

5 5

..

.

¡HAZLO TÚ!

Calcula la media aritmética de las siguientes notas: 12, 13, 14, 15, 11, 08, 11, 07,

= ……………………………………………………………………………………



Es el punto que divide a la distribución de los datos en dos partes iguales. También es el valor

de la variable que deja igual número de datos antes y después de él en una distribución de

frecuencia. Por debajo de la mediana estará la mitad del número de casos y por encima de

ella estará la otra mitad. En una distribución no agrupada para el cálculo de la mediana se

presentan dos casos:

Ejemplo:


Edad Frecuencia

F. Acumulada

5 6 66 8 147 4 188 5 239 2 2510 6 3111 8 3912 4 4313 6 4914 2 5115 4 55

TOTAL 55

Caso I: Cuando el número de elementos de la distribución es impar

Ejemplo: Hallar la mediana de las edades de 9 personas: 3, 8, 56, 14, 24,

31, 2, 7,52. Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente

o decreciente. Así: 2, 3, 7, 8, 14, 24, 31, 52,56. La mediana será el dato que

ocupa el centro de la distribución, siendo este valor “14”.Obsérvese que hay

cuatro valores mayores que 14 y cuatro valores menores que 14.

Interpretación:

El valor 14 nos indica de que el 50% de las personas tienen una edad

mayor que 14 años y que el otro 50% tienen una edad menor que 14 años.

Caso II: Cuando el número de elementos de la distribución es par.

Ejemplo: Hallar la mediana de los puntajes obtenidos por 8 alumnos en un

concurso de matemática: 38, 56, 87, 22, 15, 90, 43, 33. Como en el caso

anterior ordenamos los datos en forma creciente. Así: 15, 22, 33, 39, 43,

56, 87, 90. Vemos que hay dos valores centrales, la mediana será el

promedio de dichos valores.

39 + 43 82

Me =------------= --------= 41

2 2

Interpretación:

El valor 41 nos indica que el 50% de los estudiantes obtuvieron un puntaje

mayor que 41 y que el otro 50% de los alumnos obtuvieron un puntaje

menor que 41.

Nota: Si N es impar (números de datos), la mediana será el valor de la variable que se sitúe justamente en la mitad del conjunto de datos, siempre y cuando estos hayan sido brevemente ordenados de forma creciente. Si el resultado N/2 aparece entre las dos frecuencias absolutas acumuladas Fj y Fj+1 esto es Fj N/2 Fj+1, indicará que el valor de la mediana coincide con el valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es Fj+1 en nuestro caso el valor de la mediana sería 10, porque 55/2 está entre 25 y 31, con lo cual el dato que corresponde la frecuencia acumulada Fj+1 = 31 es 10.



3. MODA

Es el valor más frecuente o el valor que más repite dentro de un a serie de datos. En una

distribución no agrupada la moda es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia

absoluta.

Ejemplo:

Ejemplo: Hallar la moda para la siguiente información que consiste en una muestra de

consumidores según preferencias por marcas de mantequilla.


Marca de

Mantequilla Frecuencia

Astra. 20

Dorina. 32

Crema de oro. 18

Laive. 12

Ninguno. 5

TOTAL 87

Calcular la moda del coeficiente intelectual del siguiente grupo de

alumnos: 100, 95, 105, 100, 110. Observamos que el dato que más se

repite es 100. Luego M o = 100.

Interpretación: Se interpreta que el coeficiente intelectual más frecuente

en el grupo de alumnos es 100. En este caso la serie es unimodal, porque

tiene una sola moda.

Calcular la moda del coeficiente intelectual del siguiente grupo de

alumnos: 95, 100, 105, 110, 95, 100, 115, 95. Observamos que existe dos

valores que se repiten en el mismo número de veces, siendo estos 95 y

100, luego diremos que Mo = 95 y 100. En este caso la serie es bimodal

porque tiene dos modas.

...



Observamos que la marca de mantequilla de mayor preferencia es Dorina por tener la mayor

frecuencia

4. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

1. En un colegio de nivel primario de la provincia de Requena, 20 estudiantes han sido examinados para una prueba de matemática. La escala es de 0 – 50. Las calificaciones individuales se presentan en el cuadro.

Elaborar la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados. Interpretar algunas frecuenciasElabore un histograma, polígono de frecuencias y la ojiva.Calcular la media aritmética, mediana y la moda, e interpretar dichos valores.

RESOLUCIÓN 1.1.

a. Calculamos el rango (R)

R = Dato mayor – dato menor.

R = 35 – 16 =

b. Calculamos el número de intervalos (K)K = 1 + 3,3 Log N. N = Total de Datos.K = 1 + 3,3 Log 20K = 5.29

(Redondeando)

c.Calculamos la amplitud del intervalo (W)W = R = 19 = 3.8. = (Redondeando) K S

d. Elaboramos la Tabla:

¡ I; F h H h% H% X; x;;1 16 – 19 5 5 5 = 0.25

200.25 25% 25% 17.5 87.5

2 20 – 23 9 14 9 = 0.4520

0.7 45% 70% 21.5 193.5

3 24 – 27 4 18 4 = 0.220

0.9 20% 90% 25.5 102.0

4 28 – 31 1 19 1 = 0.0520

0.95 5% 95% 29.5 29.5


21 25 35 22 1824 21 23 16 2327 17 26 19 2920 19 20 23 22

19

K = 5

4



5 32 – 35 1 20 1 = 0.0520

1 5% 100% 33.5 33.5

Total = 20 total =1

1.2. Interpretamos algunas frecuencias:

Frecuencia Absoluta. ()

1= 5 Hay 5 alumnos que obtuvieron una calificación entre 16 y 19 puntos.

3 = 4 Hay 4 alumnos que obtuvieron una calificación entre 24 y 27 puntos.

Frecuencia Absoluta Acumulada. (F)

F2 = 14 Hay 14 alumnos que obtuvieron una calificación entre 16 y 23 puntos.

F4 = 19 Hay 19 alumnos que obtuvieron una calificación entre 16 y 31 puntos.

Frecuencia Relativa. (h)

h2 = 9 9 de cada 20 alumnos obtuvieron una calificación entre 20 y 23 puntos.

20

Frecuencia Relativa Acumulada. (H) 7

H2 = h1+ h2 = 5 + 9 = 14 = 7

20 20 20 10

10

7 de cada 10 alumnos obtuvieron una calificación entre 16 y 23 puntos.

Frecuencia Relativa Porcentual (h%)

h2 %=45% de los alumnos obtuvieron una calificación entre 20 y 23 puntos.

Frecuencia Relativa Acumulada Porcentual. (H%)

H2 = 70% EL 70% de los alumnos obtuvieron como máximo una calificación de 23

puntos.

1.3.a) Elaboramos un Histograma: escala = 9 = 1,8 = 2

5




b) Elaboramos el Polígono de Frecuencias.

c) Elaboramos la Ojiva: escala = 20 = 5


4

16-19 20-23 24-27 28-31 32-35

Ii

Xi

F



1.4. a) Calculamos la media Aritmética ()

n=Total de datos.Xi = Marcas de clases.i = Frecuencias absolutas.

En nuestro caso:

= X1.1 + X2.2 + X3.3 + X4.4 + X5.5

20 = (17.5) (5) + (21.5) (9) + (25.5) (4) + (29.5) (1) + (33.5) (1)

20 = 87.5. + 193.5 + 102.0 + 29.5 + 33.5

20

= 446 = = Rta. 20INTERPRETACIÓN El puntaje promedio de los 20 alumnos fue de 22. b) Calculamos la Mediana (Me)

La mediana es el punto que divide la distribución de los datos en 2 partes iguales. Por debajo de la mediana estará la mitad del número de casos y por encima de ella estará la otra mitad.

Donde:


= Xi i n

22,3 22

Me = Li + m n - Fm – 1

m 2

Fi



Li = Límite inferior de la clase mediana.m = Ancho de clase de la clase mediana.n = Total de datos.Fm-1= Frecuencia absoluta acumulada que precede a la clase mediana.m = Frecuencia absoluta de la clase mediana.

Datos. Se ubica la clase mediana: n = 20 n = 20 = 10

2 2 NOTA: La clase mediana será aquella en donde la primera frecuencia acumulada contenga al valor 10 para este caso, la primera frecuencia acumulada que contiene a 10, es 14, como 14 se encuentra en la segunda clase entonces dicha clase será la clase mediana.

Clase mediana: 20 – 23Li = 20 ; m = 4; m = 9; Fm-1 = 5

Reemplazando:Me = 20 + 4 20 - 5

9 2 Me = 20 + 4 (10 – 5) 9 Me = 20 + 4 (5) 9 Me = 20 + 2,2 = =

Rta.Interpretación.En la muestra en estudio, el 50% de los alumnos obtuvieron un porcentaje menor que 22 y el otro 50% obtuvieron un porcentaje mayor que 22.d) Calculamos la Moda (Mo)

La moda de un conjunto de valores es el valor que más se repite en dicho conjunto. Si ningún valor se repite, se dirá que no existe moda y el conjunto de datos será amodal. El intervalo que contiene a la moda es aquella que tiene la mayor frecuencia.

Donde: Li = Límite inferior Wo = Ancho de la clase modal.d1 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior.d2 = Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.

La clase modal se ubica en aquella clase que tiene mayor frecuencia. En nuestro ejemplo la mayor frecuencia es 9, y corresponde a la segunda clase.

Clase modal: 20 – 23Li = 20, w = 4; d1 = 9 – 5 = 4 d2 = 9 – 4 = 5


22,2 22

Mo = Li + Wo d 1 d1+d2



Reemplazando:Mo = 20 + 4 4 4 + 5

Mo = 20 + 4 (4) 9Mo = 20 + 1,7 = 21,7 = 22.

1. Los números del recuadro representan las calificaciones de 30 niños que participan en un

concurso de matemática.

11 10 09 13 13 10

13 09 12 13 13 11

12 10 13 10 12 09

10 13 13 13 12 13

13 09 10 12 11 09

a. Elaborar el cuadro de distribución de frecuencias para datos agrupados.

b. Interpretar algunas frecuencias.

b. Elaborar un histograma, un polígono de frecuencias y la ojiva.

c. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda.

AUTOEVALUACIÓn

1. Los siguientes datos representan a los calificativos de un curso de matemática en el que se

han evaluado a 56 estudiantes, siendo la escala de evaluación de 0 a 100.

73 81 44 69 30 38

75 66 76 84 72 82

58 89 73 59 87 63

43 59 64 74 63 63

48 52 77 68 47 53


ACTIVIDADESACTIVIDADES



63 72 52 55 75 43

67 61 87 39 62

75 69 53 79 95

50 38 70 84 82

95 59 75 36 65

a. Elaborar la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados.

b. Interpretar algunos valores de las frecuencias.

c. Construir el histograma, la ojiva y el polígono de frecuencias.

d. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda e interpretar los resultados obtenidos.

2. Tenemos los puntajes de los coeficientes de inteligencia obtenido por 40 estudiantes.

93 108 112 90 108

99 110 102 124 96

105 115 108 104 104

103 120 110 108 107

107 93 109 125 106

110 124 110 130 97

115 130 95 136 122

92 102 98 140 103

a. Elaborar la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados.

b. Interpretar algunos valores de las frecuencias.

c. Construir el histograma, la ojiva y el polígono de frecuencias.

a. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda e interpretar los resultados obtenidos.

HETEROEVALUACIÓN1. Elabore un organizador visual que resuma el contenido de la separata.

GLOSARIO DE TÉRMINOS Población:

Se llama población al conjunto de individuos (personas, animales y plantas), objetos y

mediciones, que tienen características comunes observables, el cual es analizado para

mostrar una información determinada.

Muestra:

Muestra a una parte de la población que es tomada aleatoriamente (al azar), para ser

estudiada como parte representativa de la población.

Variable:




Es una característica o atributo que poseen todos los individuos de una población y

que deseamos investigar. Es decir es el objetivo de nuestro estudio.

Frecuencia absoluta:

La frecuencia absoluta de un dato (valor de la variable), es el número de veces que se

repite ese dato en la muestra.

Frecuencia relativa:

Se llama frecuencia relativa de un dato, al cociente que resulta de dividir la frecuencia

absoluta de dicho dato entre el total de datos.

Media Aritmética

La media aritmética para datos no agrupados se halla sumando todos los datos de la

distribución y dividiendo dicha suma entre el total de datos

Mediana

Es el punto que divide a la distribución de los datos en dos partes iguales. También es

el valor de la variable que deja igual número de datos antes y después de él en una

distribución de frecuencia. Por debajo de la mediana estará la mitad del número de

casos y por encima de ella estará la otra mitad.

Moda

Es el valor más frecuente o el valor que más repite dentro de un a serie de datos. En

una distribución no agrupada la moda es el valor de la variable que tiene mayor

frecuencia absoluta.

Rango

Es la diferencia entre el dato mayor y el menor dentro de un conjunto de datos,

Amplitud

Es el ancho del intervalo de clase.

BIBLIOGRAFÍA ESTADÍSTICA BÁSICA…………………………………… LUIS ALBERTO PÉREZ

Editorial San Marcos, 1º edición- 2001

FASCICULOS……………………………………………… MEDLima – 2001

LA BIBLIA DE LAS MATEMÁTICAS………………………LEXUSEditorial Letrarte.

DICCIONARIO DE MATEMÁTICA. ……………………….FELIPE E. SEBASTIANI CARRANZA

Lima Perú - 2000


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