Estadística Bidimensional Marginal Condicional

7/23/2019 Estadística Bidimensional Marginal Condicional

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MEDIDAS

ESTADISTICASBIDIMENSIONALES



CONTENIDO:

Medidas estadísticas bidimensionales.Medidas estadísticas condicionales. Covarianza.



DISTIBUCIONES BIDIMENSIONALES

• Las distribuciones bidimensionales son aquellas en las que se estudian almismo tiempo dos variables de cada elemento de la población o de lamuestra.

• Estas variables pueden ser cuantitativas o cualitativas. Por ejemplo: peso yaltura de un grupo de estudiantes; edad y horas de lectura; usuario y turnode asistencia, etc.



DISTIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Las tres situaciones que pueden presentarse en este caso son las Siguientes:

• 1) Ambas variables son cualitativas.

•

2) Ambas variables son cuantitativas.• 3) Una variable es cuantitativa y la otra cualitativa.

• Para representar los datos obtenidos se utiliza la siguiente tabla:



TABLAS DE DOBLE ENTRADA O DE CONTINGENCIA

Y

X y1 y2 ….. ….. yk ni .

x1 n11 n12 ….. ….. n1k n1 .

x2 n21 n22 ….. ….. n2k n2 .

.

.

.

.

.

.

.

.

….

.

.

….

.

.

.

.

.

xi ni .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

….

.

.

….

.

.

.

.

.

.

.

xh nh1 nh2 ….. ….. nhk nh .

n. j n. 1 n. 2 ….. n. j ….. n. k n



TIPOS DE FECUENCIASBIDIMENSIONALES

• n11 : frecuencia absoluta conjunta

• ni. : frecuencia marginal de la variable x

• n. j : frecuencia marginal de la variable y

• h11 : frecuencia relativa conjunta

• N11 : frecuencia absoluta acumulada



OBJETIVO DEL ANALISISBIDIMENSIONAL

Uno de los objetivos del análisis de distribuciones bidimensionales es

estudiar si existe asociación o relación entre las variables X e Y.



Si las variables x e y son cualitativas la tabla de distribución

bidimensionales se llama tabla de contingencia.

Si las variables x e y son cuantitativas La distribución conjunta dedos variables puede expresarse gráficamente mediante undiagrama de dispersión que indica la relación entre las dos

variables.



• A partir de una distribución bidimensional se obtendrán distribuciones

• unidimensionales de dos tipos: marginales y condicionadas.



DISTRIBUCIONESMARGINALES

Al analizar una distribución bidimensional, uno puede centrar suestudio en el comportamiento de una de las variables, conindependencia de como se comporta la otra. Estaríamos así en elanálisis de una distribución marginal.



• Marginal de X: expresa cómo se distribuye X en la poblacióntotal, al margen de la otra variable.

• Marginal de Y: expresa cómo se distribuye Y en la población total,

al margen de la otra variable.

DISTRIBUCIONESMARGINALES



TABLAS MARGINALES

De cada distribución bidimensional se pueden deducir dosdistribuciones marginales: una correspondiente a la variablex, y otra correspondiente a la variable y.

Marginal de X Marginal de Y

Xi ni. yj n .j

x1 n1. y1 n.1

x2 n2. y2 n.2

x3 n3 . y3 n.3

x4 n4. y4 n.4

total n total n



MEDIDAS ESTADÍSTICAS ENDISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

La media marginal de x está dada por:

La media marginal de y está dada por:



La varianza marginal de x:

La varianza marginal de y:

MEDIDAS ESTADÍSTICAS ENDISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

o

o



COVARIANZA:

La medida de asociación lineal más simple entre dos variables x e y esla covarianza definida como sigue:

Sea (xi, y j), con i = 1, 2, 3, …, k; j = 1, 2, 3, …, m, los distintos valoresde una variable bidimensional (x, y) con frecuencias absolutas f ij i = 1,

2, 3, …, k; j = 1, 2, 3, …, m. la covarianza entre x e y se define:



INTERPRETACIÓN DE LA COVARIANZA:

La covarianza como medida absoluta de dispersión conjunta de lasvariables x e y nos proporciona el sentido de la variación conjuntaentre x e y a través de su signo.

i. Si cov(x , y) > 0 , entonces ambas variables x e y varían en el

mismo sentido. Esto es, si x aumenta, y también aumente, yviceversa.

ii. Si cov(x , y ) < 0 , entonces ambas variables x e y varían en sentidoopuesto. Esto es, si x aumenta, y disminuye, y viceversa.

iii. Si cov(x , y) = 0 , entonces la variación de x no tiene efecto sobre

la variación de y , y viceversa



EJEMPLO:

A partir de una muestra de 100 familias se desea hacer un estudiosobre la relación entre el ingresos (X) y los ahorro (Y). Los datosobtenidos se recogen en la siguiente tabla, expresados en milesnuevos soles anuales:

Calcular el ingreso anual medio, el ahorro anual medio y medir larepresentatividad (varianza) de ambos valores medios. La covarianzade entre el ingreso y ahorro anual.



SOLUCION:

X f i . x i x i f i . x 2 i . f i .

4 - 8 50 6 300 1800

8 - 15 35 11,5 402,5 4628,75

15 - 20 15 17,5 262,5 4593,75

Total 100 965 11022,5

Y f . j y j y j f . j y 2 f . j . j

0 - 1 33 0,5 16,5 8,25

1 - 5 34 3 102 3065 - 8 33 6,5 214,5 1394,25

Total 100 333 1708,5

Luego, el ingreso anual medio es 9,65 miles de soles y el ahorro anualmedio es 3,33 miles de soles.

Tenemos que calcular las medias de las distribuciones marginales de X eY .



SOLUCION:

Sus varianzas son:



Y

X 0 - 1 1 - 5 5 - 8

0.5 3 6.5

4 - 8 6 30f 11

20f 12

0f 13

8 - 15 11.5 3f 21

14f 22

18f 23

15 - 20 17.5 0f 31

0f 32

15f 33

Interpretación:

A medida que aumenta el ahorro también aumenta el ingreso en las familias.

SOLUCION:



DISTRIBUCION BIDIMENSIONALCONDICIONAL

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS PARA X DADO Y:

Definición: la distribución de frecuencias de la variable x,condicionada a un valor particular de y (y=y j) representada por f(x/y=y j), está dada por la columna j-ésima de la tabla de doble

entrada de la distribución.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS RELATIVAS:

se llama frecuencia relativa

condicional de:x dado y = y j



DISTRIBUCION DE FRECUENCIASPARA: X DADO Y

Como se ha visto en la distribución de frecuenciasbidimensionales, es también una distribución unidimensional ytiene la siguiente tabla de presentación:



DISTRIBUCION DEFRECUENCIAS ABSOLUTAS

PARA Y DADO X:Definición: la distribución de frecuencias de la variable y, condicionada aun valor particular de x (x=xi) representada por f(y/ x=xi), está dada por la j-ésima fila de la tabla de doble entrada de la distribución.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS RELATIVAS:

La distribución condicionada de y/x=xi



DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS PARA:Y DADO X

y j f(y/ x=xi) h(y/ x=xi)

y1y2

y3

.

.

.

ym

f i1

f i2f i3

.

.

.

f im

hi1

hi2hi3

.

.

.

him

Total f i. hi.



Ejemplo:Se presenta un cuadro de distribución de 50 órdenes de compras de

baterías de automóviles según el número de unidades compradas (x) y el

precio unitario (y) en soles. Los datos fueron recolectados de una empresadistribuidora de baterías.

a) Determinar la distribución condicionada de y dado x = 20

b) Determinar la distribución condicionada de x dado y = 62

c) Si el precio pagado por batería fue de S/. 65, ¿Qué porcentaje de

órdenes de compra de diez baterías se realizó?d) Si se ordenaron compras de veinte baterías, ¿Qué porcentaje de ellas se

pagó S/. 62 por batería?

y

x 60 62 65 70 Total

510152025

00135

02789

14221

31010

47101415

Total 9 26 10 5 50



Solución:

a.

b.

c.

d.

y f(y/ x=20) h(y/ x=20)

6062

6570

38

21

0.220.57

0.140.07

Total 14 1.00

x f(x/y=62) h(x/y=62)

5

10152025

0

2789

0.00

0.080.270.310.34

Total 26 1.00



MEDIDAS ESTADISTICASCONDICIONALES:

Media o promedio condicional:Media de X dado Y

Se lee la media de X tal que (dado que) Y = d

Media de Y dado X

Se lee la media de Y tal que (dado que) X = d

d

k

i

id i

d f

f x

Y X M .

)/(

1

.

)/(d

m

j

dj j

d f

f y

X Y M

1



EJEMPLO:

Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en un testque mide la habilidad verbal (X) y el razonamiento abstracto (Y)son las siguientes:

Determinar:a. M(x/y2)

b. M(y/x4)

Y

X 25-35 35-45 45-55 55-65

20 6 3 0 0

30 4 6 2 1

40 0 1 5 2

50 0 0 3 7



SOLUCIÓN:

a.

b.

Y 25-35 35-45 45-55 55-65

X 30 40 50 60 fi.

20 6 3 0 0 f 1.=9

30 4 6 2 1 f 2.=13

40 0 1 5 2 f 3.=8

50 0 0 3 7 f 4.=10

f .j f .1=10 f .2=10 f .3=10 f .4=10 n=40



MEDIDAS ESTADISTICAS CONDICIONALES:

VARIANZA CONDICIONAL

Varianza de X dado un Y

Se lee la varianza de X tal que (dado que) Y = d

Varianza de Y dado un X

Se lee la varianza de Y tal que (dado que) X = d

d

k

i

id ik

i

id i

d

d f

f x

f x f

Y X V ..

)(

)/( 1

2

1

2

1

1

..

)(

)/(d

m

j

dj jm

j

dj j

d

d f

f y

f y f

X Y V 1

2

1

2

1

1



APLICACIONES:

1. Sea X= salario semanal en dólares.Sea Y = antigüedad en la empresa (años)



EJEMPLO:Del ejemplo anterior determinar :

a. V(x/y2)b. V(y/x4)

Solución:

a.

40

10

050140630320050140630320

110

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2222

2

2

2

424323222121

42

2

432

2

322

2

212

2

1

2

2

2

24

1

24

1

2

2

2

2

1

2

1

2

)/(

))()()()(()()()()()/(

)/(

)/(

)(

)/(

..

..

..

Y X V

Y X V

f

f x f x f x f x f x f x f x f x

f Y X V

f

f x

f x f

Y X V

f

f x

f x f

Y X V

i

ii

i

ii

d

k

i

id ik

i

id i

d

d



SOLUCIÓN:

33.23)/(

10

))7(60)3(50)0(40)0(30()7(60)3(50)0(40)0(30

110

1)/(

1

1)/(

)(

1

1)/(

)(

1

1)/(

4

22222

4

2.

2

43443342241144

2

443

2

342

2

241

2

1

.4

4

.4

4

1

2

44

1

4

2

.4

4

.

1

2

1

2

.

X Y V

X Y V

f

f y f y f y f y f y f y f y f y

f X Y V

f

f y f y

f X Y V

f

f y

f y f

X Y V

j j j

j

j j

d

m

j

dj jm

j

dj j

d

d



APLICACIONES1. Sobre un conjunto de conductores se ha realizado una encuesta para

analizar su edad (Y) y el número de accidentes que han sufrido (X). Apartir de la misma, se obtuvieron los siguientes resultados:



¿QUÉ HEMOS VISTO?

o Las medidas estadísticas bidimensionales.

o Calculo medidas estadísticas bidimensionalescondicionales.

o Interpretación las medidas estadísticas bidimensionales ycondicionales.

o Calculo e interpretación de la covarianza.



Cualquier esfuerzo resulta ligero con el hábito.

Tito Liv io

Para las cosas grandes y arduas se necesitan combinación sosegada,voluntad decidida, acción vigorosa, cabeza de hielo, corazón de fuegoy mano de hierro.

- Jaime Balmes ,

sacerdote, filósofo y periodista español

http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=1098




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