Estadística Aplicada 2. Tema 3. Análisis de Varianza 1 Estadística Aplicada 2. Tema 3. Análisis...

Estadística Aplicada 2. Tema 3. Análisis de Varianza 1

Estadística Aplicada 2.

Tema 3. Análisis de Varianza


DefiniciónEstudio del efecto que distintas situaciones experimentales tienen sobre ciertas respuestas cuantitativas.

• Todo experimento contiene:

1. Conjetura: Hipótesis original.

2. Experimento: Prueba efectuada para investigar la conjetura.

3. Análisis: Estudio estadístico de los datos obtenidos durante el experimento.

4. Conclusión: Lo que se ha aprendido con la realización del experimento.


Ejemplos• Estudiar el efecto de una marca de combustible sobre

el desempeño de un motor de automóvil (distancia recorrida por litro de gasolina).

• Estudiar el efecto de cuatro soluciones azucaradas (glucosa, sacarosa, fructosa y una mezcla) en el desarrollo bacteriano.

• Investigar el efecto de la concentración de madera dura en la pulpa sobre la resistencia de las bolsas fabricadas con la pulpa.

• Determinar si la densidad de color de la tela depende de la cantidad de colorante utilizado.


Definiciones

• Factor: Característica que diferencia a los tratamientos (o poblaciones) entre sí.

• Niveles: Diferentes tratamientos (o poblaciones)

Factores

Cualitativos CuantitativosLos niveles corresponden a

posibles categorías del factorLos niveles corresponden a diferentes ajustes del factor



Experimentos con un factor


Diseño de experimentos de un factor

• Deseamos comprobar si la media de cada nivel de factor (cada tratamiento) es igual para todos.

• Esto es lo mismo que decir que el efecto de cada nivel es nulo.

• La hipótesis alternativa es que al menos un factor difiere de los demás

H0 :1 2 ...nA

H0 :1 2 ... nA0


Análisis de Varianza

• La prueba de hipótesis anterior infiere información sobre las medias.

• El proceso anterior se le conoce como análisis de varianza.

• El nombre puede resultar engañoso (¿por qué no se llama Análisis de Medias?) pero hay que ver el nombre como la técnica que intenta explicar el origen de las diferencias (varianza) para extraer conclusiones.


Ejemplo con cuatro niveles

Los cuatro niveles tienen amplia variabilidad, que podría proceder de la muestra.


Situación inversa


Modelo estadístico

• Un modelo lineal para analizar las diferencias sería el siguiente:

• Otra forma de entender la relación sería

Residuo N(0,σ2)

Efecto del tratamiento

i=1,…,nA (alternativas / tratamientos)j=1,…,n (observaciones)

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇+𝜏𝑖 +𝜀𝑖𝑗

𝑌𝑖𝑗 = 𝜇𝑖 +𝜀𝑖𝑗


Representación de las observaciones

• Las observaciones acostumbran a ordenarse mediante una matriz como la mostrada a posteriori.

• Es importante identificar la notación y.. ya que se usa extensivamente a lo largo del tema.

ObservacionesTratamiento Totales Promedios

1 y11 y12 … y1n y1.

2 y21 y22 y2n y2.

. . . … . . .

. . . … . . .

nA ynA1 ynA2 … y nAn ynA.

y..

.1

y

.2y

.nAy

..y


Experimento con un factor

• El efecto de los tratamientos corresponde a desviaciones respecto a una media global μ. Por tanto:

• Y la prueba de hipótesis queda definida por:

ii1

na 0

H0 :1 2 ... nA0

Ha : i 0 Para alguna i


Notas

• Este modelo supone implícitamente que el factor no varía la varianza de la muestra (su único efecto es el cambio del valor medio esperado).

• El modelo puede plantearse como una regresión múltiple con diversas variables “dummy”. ¿Cómo?

• El experimento requiere aleatoriedad.


Tipos de experimentos

Existen tres tipos principales de experimento cuyas diferencias pueden resultar confusas en ocasiones:

• Modelo de efectos fijos: Experimentos en el que los niveles (tratamientos) de los factores han sido escogidos a priori, y en los que se intenta extraer conclusiones únicamente de esos niveles.



• Modelo de efectos aleatorios: Experimentos en que el número de niveles (tratamientos) es demasiado grande como para considerarse completamente, por lo que los niveles estudiados se escogen aleatoriamente. Posteriormente, se desea extraer conclusiones que sirvan para otros niveles usando la información disponible con los niveles considerados.



• Modelo de efectos mixtos: En este caso aparecen factores fijos y factores aleatorios de forma conjunta.

• Este tipo de problema no será tratado en el presente curso, pero cabe indicar que existe este tipo de modelos.


Ejemplos

• Modelo de tipo fijo: Se desea estudiar la modernización de la flota de camiones de una empresa y para ello se desea estudiar el efecto en los costes operativos de cuatro alternativas de un fabricante de camiones.

• Modelo de tipo aleatorio: Se desea estudiar el efecto en los costes operativos de los diferentes tipos de camiones que actualmente componen la flota de la empresa.

• Modelo de efectos mixtos: En este caso se desea estudiar posibles cambios (efecto aleatorio) en los modelos ofrecidos por el fabricante (efecto fijo).



Un factor. Efectos Fijos


Modelo de efectos fijos

• En este caso la variabilidad total de los datos puede descomponerse en dos factores como sigue:

Variabilidad Total de los Datos

Variabilidad Debido al tratamiento

(Variabilidad Entre)

Variabilidad Inherente de los datos

(Variabilidad Dentro)

SST SSTr SSE


Efectos fijos

• Matemáticamente, el modelo equivale a:

SST SSTr SSE

yij y.. 2j1

n

i1

nA

n yi . y.. 2 i1

nA

yij yi . 2j1

n

i1

nA

i=1,…,nA (alternativas)j=1,…,n (observaciones)

Recordemos: yij

Dif. entre tratamientos(variabilidad entre)

Error aleatorio(variabilidad dentro)


Relación de cálculosObservacionesTratamiento Totales Promedios

1 y11 y12 … y1n y1.

2 y21 y22 … y2n y2.. . . … . . .. . . … . . .

nA ynA1 ynA2 … y nAn ynA.

y..

.1y

.2y

.nAy

..y

yij y.. 2j1

n

i1

nA

n yi . y.. 2 i1

nA

yij yi . 2j1

n

i1

nA

Error AleatorioDiferencia Entre Tratamientos

yi y 2j1

n

y j y j 2 j1

n

yi yi 2j1

n

Caso Regresión:


Estimación de la varianza

• Puede demostrarse que:

• Por tanto, si H0 es cierta:

• Pero si Ha es cierta:

E SSTr nA 1 2 n i2

i1

nA

2

1

An

SSTrE

ESSTr

nA 1

2

n i2

i1

nA

nA 1

H0 :1 2 ... nA0

Ha : i 0

Recordemos:


Estimación de la varianza

• Por tanto, si H0 es cierta:

• Pero si Ha es cierta:

• El cuadrado medio de los tratamientos equivale a:

2

1

An

SSTrE

ESSTr

nA 1

2

n i2

i1

nA

nA 1

Si H0 es falsa, MSTr sobreestima σ2, si no

es un estimador insesgado.

MSTrn

SSTr

A

1


Estimación del error aleatorio

• Podemos demostrar que:

• Por lo que:

• Y el error cuadrático medio equivale a:

E SSE nA n 1 2

2

1

nn

SSEE

A

MSEnn

SSE

A

1

MSE siempre es un estimador insesgado

de σ2.


Test de hipótesis nula

• Considerando a todas las muestras como observaciones procedentes de distribuciones normales, podemos verificar que:

• Cuando la H0 es cierta, F0 debería ser cercana a 1, mientras que el valor debería de crecer si H0 es falsa.

1;10 ~

1

1

nnnA

AAA

FMSE

MSTr

nnSSE

nSSTrF


Test de hipótesis nula

• El estadístico debe cumplir la siguiente condición:

• Como F0 se distribuye según una distribución F con ν1=nA-1 y ν2=nA (n-1) grados de libertad, la región de rechazo de la hipótesis nula corresponde a:

P F

0c | H

0 es verdadera

F0 F ,nA 1;nA n 1


Fórmulas de cálculo

An

i

n

j Aij nn

yySST

1 1

22 ..

An

i A

i

nn

y

n

ySSTr

1

22 ...

Muestras con distinto tamaño en cada

tratamiento

Muestras con igual tamaño en cada

tratamiento

A in

i

n

jij N

yySST

1 1

22 ..

An

i i

i

N

y

n

ySSTr

1

22 ...

N: número total de observaciones


Tabla ANOVA

• Igual número de observaciones por tratamiento:

• Diferente número de observaciones :

Fuente de VariaciónGrados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio f

Tratamientos nA-1 SSTr MSTr = SSTr / (nA-1) MSTr/MSEError nA(n-1) SSE MSE = SSE / [nA(n-1)]

Total nAn-1 SST

Fuente de VariaciónGrados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio f

Tratamientos nA-1 SSTr MSTr = SSTr / (nA-1)MSTr/MSEError N-nA SSE MSE = SSE / [N-nA]

Total N-1 SST


Ejemplo 1

• Un fabricante de papel utilizado para fabricar bolsas de caramelo, está interesado en mejorar la resistencia a la tensión del producto medida en [psi] .

• El grupo de ingeniería del producto piensa que la resistencia a la tensión es una función de la concentración de madera dura en la pulpa

• El rango de interés práctico de las concentraciones de madera dura está entre 5% y 20%.


Ejemplo 1

• Se decide investigar cuatro niveles de concentración de madera dura: 5, 10, 15 y 20%.

• Se fabrican seis especímenes de prueba para cada nivel de concentración, utilizando una planta piloto.

• Los 24 especímenes se someten a prueba de tensión en laboratorio, siguiendo un orden aleatorio. Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla:


Datos y notas

• Notas:– Se sigue un modelo de efectos fijos.– Es importante recalcar que las pruebas se han

hecho en orden aleatorio.

Concentración de madera dura (%)

Observaciones

1 2 3 4 5 65 7 8 15 11 9 10

10 12 17 13 18 19 1515 14 18 19 17 16 1820 19 25 22 23 18 20


Cálculos

SST yij2

y2

Nj1

6

i1

4

SST 7 2 8 2 L 20 2 383 224

521,96

SSTr y

i2

n

y2

Ni1

4

SSTr 60 2 94 2 102 2 127 2

6

383 224

382,79

SSE SST SSTr 512,96 382,79 130,17

nA n

…


Tabla ANOVA

• Los cálculos ordenados en forma tabular son:

• En este caso el valor p = P(F3,20 ≥ 19,6) = 3,5910-6

• Por lo tanto al menos una de las concentraciones de pulpa de madera permite variación en la resistencia.

• ¿Podemos determinar qué tratamientos son significativamente distintos?

Fuente de Variación

Grados de Libertad

Suma de Cuadrados Cuadrado Medio f

Tratamientos 3 382,79 127,619,6

Error 20 130,17 6,51Total 23 512,96


Métodos de comparación múltipleAlternativas:• Método LSD de Fisher:

– Fácil de calcular– Trabaja con la t de student– Muy sensible a pequeñas variaciones– Confianza individual y no grupal

• Método de Tuckey– Distribución de rango estudentizado– Fuerte evidencia para detectar diferencias– Confianza grupal– Concepto de tasa de error por experimento


Método LSD de Fisher

• Deseamos encontrar un intervalo de confianza para la diferencia entre dos tratamientos.

• El estimador puntual es:

• La varianza es:

por tanto:

ji YY

V Y i Y j 2

n 2

n

2 2

n

n

MSEs

n

MSEs

jiji YYYY

222


Método LSD de Fisher

• Con lo cual tenemos que:

• y el intervalo de confianza del 100(1-α)% para la diferencia entre las medias de dos tratamientos µi - µj es:

)1(~

/2

nn

jiji

At

nMSE

YYT

n

MSEtyy

n

MSEtyy nnjijinnji AA

22)1(,2/)1(,2/


Ejemplo 1 (continuación)

• Para el ejemplo 1, si comparamos los tratamientos 2 y 3:

• Las diferencias no son significativas con un α=0,05. Puesto que el “0” se encuentra en el intervalo, existiendo la posibilidad de que:

µ3-µ2=0

y3g y2gt0,025;20

2MSE

n

7,00 15,67 2,08626,51

6 1,74

3

24,40


Múltiples comparaciones

El par de medias i - j se considera

diferente si:)1(~

2

nn

ji

At

nMSE

YYT

LSDyy ji

n

MSEtLSD nnA

2)1(,2/

jinN nn

MSEtLSDA

11,2/

Tamaños de muestra iguales

Tamaños de muestra desiguales


Ejemplo 2

• Apliquemos el método LSD a los datos del ejemplo 1.

• nA = 4, n = 6, MSE = 6,51 y además t0,025;20 = 2,086.

• Las medias de tratamiento son:

y110,00 [psi]

y215,67 [psi]

y317,00 [psi]

y421,17 [psi]


Ejemplo 2

07,36

51,62086,2

220;025,0

n

MSEtLSD

• Con los datos disponibles podemos obtener el valor de LSD.

• Por tanto, cualquier par de medias que difiera en más de 3,07 unidades implica que los tratamientos son significativamente distintos.

• Las comparaciones se detallan en la siguiente transparencia.


Ejemplo 2

• Existen diferencias significativas entre todos los pares de medias excepto los pares 2 y 3. Esto implica que el 10 y 15% de concentración son parecidos y el resto diferentes.

3,07 5,67 00,1067,15 1 v/s2

3,07 1,33 67,1500,17 2 v/s3

3,07 7,00 00,1000,17 1 v/s3

3,07 4,17 00,1717,21 3 v/s4

3,07 5,50 67,1517,21 2 v/s4

3,07 11,17 00,1017,21 1 v/s4

12

23

13

34

24

14

yy

yy

yy

yy

yy

yy


Ejemplo 2

• Visualmente se puede observar el efecto mostrado por la prueba LSD de Fisher:

• Pueden verse diferencias significativas las diferentes concentraciones, pero las concentraciones de 10% y 15% son muy parecidas.


Método de Tuckey

• Como se indicó con anterioridad, el método usa una distribución conocida como “Distribución de rango estudentizado”.

• Al igual que la distribución F, ésta distribución depende de dos parámetros, los grados de libertad del numerador (m) y los del denominador (ν).

• Por lo tanto, se define como:

,,mQ Valor crítico de la cola superior de α con m=nA y ν=nAn


Método de Tuckey

• El intervalo de confianza se construye como sigue:

• Al igual que en el LSD de Fisher, si el intervalo no incluye el 0, las medias difieren significativamente.

Y i Y j Q ,nA ,nA (n 1)

MSE

ni j Y i Y jQ ,nA ,nA (n 1)

MSE

n


Procedimiento

• Seleccionar α y buscar• Determinar W como:

• Cualquier par de medias que difieran en más que la cantidad definida por W son juzgadas como significativamente diferentes entre sí.

Para realizar este último paso, es práctico ordenar las medias muestrales en orden no decreciente.

Q ,nA ,nA (n 1)

nMSEQW nnn AA/)1(,,


Ejemplo 3

• Se efectuó un experimento para comparar 5 marcas distintas de filtros de aceite automotrices, en relación con su capacidad para capturar materia extraña. Se usó una muestra de nueve filtros de cada marca y se obtuvieron las siguientes cantidades promedio: y114,5; y

213,8; y313,3; y

414,3; y513,1


Ejemplo 3. Tabla ANOVA

• Partiendo de la siguiente ANOVA:

• ¿Los datos indican que la cantidad promedio real de material capturado depende de la marca de los filtros? Utilice un nivel = 0,05. Si es así, use el método de Tuckey para identificar diferencias significativas.


Grados de Libertad


Tratamientos 4 13,32 3,3337,73

Error 40 3,53 0,088Total 44 16,85


Resolución

Inicialmente comprobamos el análisis ANOVA:• El parámetro de interés es el efecto de la

marca i sobre el material capturado.

• H0: τ1=τ2=τ3=τ4=τ5=0.

• Ha: Al menos uno diferente.

• El estadístico es:

a comparar con

f F ,nA 1,nA n 1 F0,05,4,40 2,61

F MSTr

MSE37,73 Se rechaza H0


Resolución

• Posteriormente se pasa a verificar las diferencias mediante Tuckey.

• El valor• Determinamos W.

• Al ordenar verificamos que:

Q ,nA ,nA (n 1) Q0,05;5;40 4,04

W Q ,nA ,nA (n 1)MSE

n 4,04 0,0889 0,4

y5 y3 y

2 y4 y

1

13,1 13,3 13,8 14,3 14,5


Procedimiento de Tuckey-Kramer

• Útil para tamaños muestrales diferentes n1, n2, ..., nnA que son razonablemente cercanos entre sí.

• Se utilizan promedios entre parejas (es decir 1/ni en vez de 1/n).

• El nivel de confianza simultáneo es al menos del 100(1-)% (sólo aproximado, no exacto), para tamaños muestrales desiguales.

Wij Q ,nA ,N nA

MSE

2

1

ni

1

n j


Ejemplo 4

• Un artículo presentó los siguientes datos del módulo de elasticidad, en GPa, obtenidos con un nuevo método ultrasónico, para muestras de cierta aleación producida con tres métodos de colado diferente.


Resolución

Inicialmente comprobamos el análisis ANOVA:• El parámetro de interés es el efecto del módulo

de elasticidad en el promedio del proceso.

• H0: τ1=τ2=τ3=τ4=0.

• Ha: Al menos uno diferente.

• Para obtener el estadístico necesitamos realizar algunos cálculos intermedios:

y

ij

2 45,5 2 45,3 2 ... 43,1 2 43.998,73


Resolución

93,137,98322

173,43998

.. 2

1 1

22

A in

i

n

jij N

yySST

93,77,9832

1

6

5,273

8

5,352

8

7,357... 2222

1

22

An

i i

i

N

y

n

ySSTr

00,693,793,13 SSTrSSTSSE

MSTr SSTr

nA 1

7,93

23,965

MSE SSE

N nA

6,00

190,3158

f MSTr

MSE12,56

El valor p = P(F2, 19 ≥ 12,56) = 0,0003 indica que se debe rechazar H0 a cualquier nivel de significancia.Por lo tanto, el módulo de elasticidad promedio depende de cierta forma del proceso de colado que se utilice.


Resolución

• Posteriormente se pasa a verificar las diferencias mediante Tuckey-Kramer.

• n1=8, n2=8, n3=6 y nA=3; N–nA=19 y MSE = 0,316.

• Por lo tanto, un nivel de confianza simultáneo de aproximadamente 95% requiere:

771,0 ,771,0 ,713,08

1

8

1

2

316,059,3

11

2

231312

19;3;05,0

WWW

nn

MSEQW

jiij


Resolución

• En este caso tras ordenar los datos:

• Se concluye que 1 y 2 no son considerablemente diferentes, sin embargo tanto 1 como 2 parecen diferir en forma significativa de 3.

2. A presión

1. Permanente

3. Yeso

44,06 44,71 45,58


Verificación de las hipótesis del modelo

• Las hipótesis de partida son:– Normalidad (eij ~ N(0, 2 ))

– Homocedasticidad (igualdad de varianzas)

• La verificación se realiza mediante:– Gráficas de probabilidad normal.

– Gráficas de los ei vs. los niveles del factor.

– Gráficas de los ei vs. medias de tratamiento observadas

ˆi ij ij ij ie y y y y


Volviendo al ejemplo 3.1

• Los residuos son los siguientes:

5 -3,00 -2,00 5,00 1,00 -1,00 0,0010 -3,67 1,33 -2,67 2,33 3,33 -0,6715 -3,00 1,00 2,00 0,00 -1,00 1,0020 -2,17 3,83 0,83 1,83 -3,17 -1,17

% de Concentración de Madera Dura

Residuos


Gráfico de probabilidad normal


Gráfico de residuos respecto al factor


Gráfico de residuos respecto respuesta



Un factor. Efectos Aleatorios


Modelo Efectos Aleatorios

• El factor de interés tiene un número muy grande de niveles posibles.

• El analista está interesado en obtener conclusiones respecto todos los posibles niveles del factor.

• Si se selecciona al azar nA de estos niveles de la población de todos los niveles del factor, entonces se dice que el factor es aleatorio.

• Las conclusiones pueden generalizarse debido a la aleatoriedad.


Efectos aleatorios

• El modelo lineal es:

ijiijY

... 2, 1,

... 2, 1,

nj

ni A

Variable aleatoria que explica el efecto aleatorio del factor,

i ~ N(0,σ2)

(Para efectos fijos, se suponía que σ

2 = 0 y que el efecto era únicamente en la media)

Residuos,

ij ~ N(0,σ2)


Consideraciones del modelo

• Los i son independientes para i = 1…nA, cada uno con varianza σ

2

• Los εij son independientes para i = 1…nA, y j = 1…n cada uno con σ2

• Los i y εij son independientes para cada combinación de i y j

• La varianza del modelo es:

donde cada término del lado derecho es denominado componente de la varianza.

V Yij 2 2


Consideraciones del modelo

• La hipótesis que las {i } son independientes, implica que la hipótesis usual que:

• del modelo de efectos fijos no se aplica al modelo de efectos aleatorios.

• Las hipótesis apropiadas a probar son:

• Y la descomposición sigue siendo:

01

An

ii

H0 : 2 0 ; Ha :

2 0

SSESSTrSST


Determinación de cuadrados medios• En el modelo ANOVA de un solo factor,

experimento completamente aleatoriezado, el valor esperado de la media de cuadrados de los tratamientos es:

• El valor esperado de los cuadrados del error:

• Y los estimadores de los componentes de la varianza:

22

1 nn

SSTrEMSTrE

A

E MSE ESSE

nA(n 1)

2

MSEs 2

n

MSEMSTrs

2


Ejemplo 5• Una compañía textil produce en varios telares.• Interesa estudiar la la variabilidad de la

resistencia a la tensión de un telar a otro. • Se seleccionan al azar cuatro telares y se

determina la resistencia a la tensión de observaciones aleatorias.

Observaciones

Telar 1 2 3 4 Totales Promedios

1 98 97 99 96 391 97,5

2 91 90 93 92 368 91,5

3 96 95 97 95 386 95,75

4 95 96 99 98 392 97

1537 95,44


Solución

• Tabla ANOVA:

• El valor de F y su p valor permiten concluir que los telares influyen en la resistencia a la tensión de los telares. La varianza estimada es s2 = 1,90 y:


Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Media de Cuadrados f 0 Valor P

Telar 89,19 3 29,73 15,68 1,88E-04Error 22,75 12 1,9Total 111,94 15

96,64

90,173,292

s


Solución

• La varianza total es:

• Por tanto, la mayor parte de la varianza se debe a los telares.

• El aislamiento de diversas fuentes de aleatoriedad es un tema recurrente en los problemas de control y mejora de la calidad.

V Yij s2 s2 6,96 1,90 8,86


Aplicación al control de calidad• En el ejemplo anterior, la estimación de los

parámetros del proceso son:

• Suponiendo un límite inferior de resistencia de 90 [psi]

y95,45 [psi]

sY V Yij 8,86 2,98 [psi]

Aprox. 3,37% de fallos

N 95,45; 2,98


Aplicación al control de calidad• Si se eliminaran las fuentes de variabilidad

causadas por los telares (sτ2=0):

• En ese caso, la reducción en la variabilidad de la resistencia disminuye en gran medida la degradación del proceso, lo que trae como resultado:

sY s2 1,90 1,38 [psi]

Menores costesMayor calidadClientes satisfechosVentaja competitiva



Un factor. Diseño por Bloques


Diseño aleatorio por bloques

• Técnica que extiende la prueba t para datos emparejados para el caso en que hay más de dos niveles.

• Los bloques han sido creados por las condiciones y el diseño del experimento.

t1

t2

t3

Bloque 1t1

t2

t3

Bloque 2t1

t2

t3

Bloque 3t1

t2

t3

Bloque 4


Ejemplo del concepto “Bloque”

• Suponga que deseamos comprobar diferentes métodos para cortar una viga. Se opta por probar tres métodos de corte (factores) y se comprobará el resultado en cuatro vigas. Idealmente deberíamos realizar:

Tratamiento Bloques (Viga)

(Método) 1 2 3 4

A y11 y12 y13 y14

B y21 y22 y23 y24

C y31 y32 y33 y34


Procedimiento general

• A Grosso Modo, la “dimensión observaciones” se sustituye por la “dimensión bloques”, pero ahora también tienen sentido las diferencias y promedios de los bloques.

BloquesTratamiento 1 2 … nB Totales Promedios

1 y11 y12 … y1nBy1.

2 y21 y22 … y2nBy2.

. . . … . . .

. . . … . . .nA ynA1 ynA2 … ynAnB

ynA.

Totales y. 1 y. 2 … y.nBy..

Promedios …

.1y

.2y

.nAy

..y1.y 2.ynB

y.


Modelo Lineal

• El modelo lineal que tiene en cuenta bloques es el siguiente:

• El modelo asume que:• El efcto de tratamientos y bloques es fijo.• Los bloques no interactúan.• Dentro de cada bloque las unidades son homogéneas

frente a otros factores que podrían afectar

ijjiijY i 1, 2, ... nA Factores

j 1, 2, ... nB Bloques

0y 011

BA n

jj

n

ii


Hipótesis de la prueba

• La hipótesis de la prueba son:

• Y la suma de cuadrados:

• De forma resumida:

H0 :1 ... nA0; Ha : i 0 al menos para una i

yij y.. 2j1

nB

i1

nA

nB yi . y.. 2 i1

nA

nA y.j y.. 2j1

nB

yij y.j yi . y.. 2j1

nB

i1

nA

SSESSSSSST BA

(tratamientos) (bloques)



Cuadrados Medios Valores Esperados

MSA SSA

nA 1

MSB SSB

nB 1

MSE SSE

nA 1 nB 1

ESSA

nA 1

2

nB i2

i1

nA

nA 1

ESSB

nB 1

2

nA j2

j1

nB

nB 1

E MSE 2



• Por tanto:

SST yij2

y..2

nAnBj1

nB

i1

nA

SSA 1

nB

yi.2

y..2

nAnBi1

nA

SSE SST SSA SSB

SSB 1

nA

y. j

2 y..

2

nAnBi1

nB


Tabla ANOVA

..


Grados de Libertad


Tratamientos nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE

Bloques nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1)

Error(nA-1)(nB-

1)SSE MSE = SSE / (nA-1)(nB-1)

Total nAnB-1 SST


Ejemplo 3.6

• Experimento del efecto de cuatro sustancias químicas sobre la resistencia de una tela.

• Se escogen cinco muestras de tela y se aplica un diseño completamente aleatorizado por bloques mediante la prueba de cada sustancia en un orden aleatorio sobre cada una de las muestras de tela.

• En caso de existir efecto por parte de las sustancias químicas sobre la resistencia de las telas, se identificarán aquéllas que provoquen efecto sobre la resistencia, con = 0,01.


Ejemplo 3.6

• Datos

Muestra de Tela Sustancia Química 1 2 3 4 5 Totales Promedios

1 1,3 1,6 0,5 1,2 1,1 5,7 1,142 2,2 2,4 0,4 2,0 1,8 8,8 1,763 1,8 1,7 0,6 1,5 1,3 6,9 1,384 3,9 4,4 2,0 4,1 3,4 17,8 3,56

Totales 9,2 10,1 3,5 8,8 7,6 39,2 Promedios 2,3 2,5 0,9 2,2 1,9 1,96


Resultados MINITABANOVA: Resistencia de la Tela vs. Sustancia Química. Muestra de Tela

Factor Tipo Niveles ValoresSustancia Química fijo 4 1. 2. 3. 4Muestra de Tela fijo 5 1. 2. 3. 4. 5

Análisis de varianza de Resistencia de la Tela

Fuente GL SC MC F PSustancia 3 18,0440 6,0147 75,89 0,000Muestra 4 6,6930 1,6733 21,11 0,000Error 12 0,9510 0,0793Total 19 25,6880

S = 0,281514 R-cuad. = 96,30% R-cuad.(ajustado) = 94,14%


Análisis de resultado

• La tabla ANOVA muestra que el estadístico de prueba f0 = 75,89 > f0,01;3;12 = 5,95.

• Concluimos que hay diferencias significativas en las resistencias de las telas bajo los distintos tipos de sustancias químicas.

• El p Valor 0.000 también podría usarse para llegar a la misma conclusión.

• Además como el valor p = 0, indica que no cambiaría la decisión independientemente del nivel de significación usado en la prueba.


Identificación efectos

• Utilizaremos LSD de Fisher


Identificación de efectos

• Los resultados muestran que la sustancia química 4 tiene da más resistencia que las otras.

Nótese que el método no se ha modificado excepto por el cambio de notación (nB en vez de n).


Adecuación del modelo

• Los residuos se definen como:

• Dónde:

• Por tanto:

• El valor ajustado representa la estimación de la respuesta media cuando el i-ésimo tratamiento se efectúa en el j-ésimo bloque.

ijijij yye ˆ

jiijy ˆˆˆˆ

y.. yi. y.. y. j y.. yi. y. j y..

jiijij yyyye ....


Ejemplo 3.6

• Los residuos ajustados del experimento son:

• A continuación se muestran los gráficos de residuos

Muestra de TelaSustancia Química 1 2 3 4 5

1 -0,18 -0,10 0,44 -0,18 -0,022 0,1 0,08 -0,28 0,00 0,103 0,08 -0,24 0,30 -0,12 -0,024 0,00 0,28 -0,48 -0,30 -0,10


Gráfico de probabilidad normal


Gráfico de residuos por tratamiento


Gráfico de residuos por bloques


Residuos respecto al valor esperado



Diseños Factoriales


Experimentos con varios factores

• Un experimento es una prueba o serie de pruebas

• El diseño del experimento juega un papel principal en el análisis estadístico de éste.

• Un diseño factorial es aquél en el que se realizan ensayos con todas las configuraciones de los niveles de los factores.

• Se usa ANOVA como herramienta para analizar estadísticamente los resultados del experimento.


Definición

• Se entiende por experimento factorial a aquél en que se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores en cada ensayo o réplica completa del experimento.

Factor BFactor A Alto Bajo

Alto 10 20Bajo 30 40


Ejemplo

• El caso anterior es un experimento factorial sin interacción

Rectas Paralelas


Ejemplo con interacción

• Nota: Ambos ejemplos son exagerados.

Factor BFactor A Alto Bajo

Alto 10 20Bajo 30 0


Ejemplo con interacción

No Paralelas


Representación 3-D caso sin interacción

• Superficie del experimento sin interacción en 3 D (vertical: resultado, plano factor A y B)


Representación 3-D con interacción


Representación isocurvas

• Rendimiento vs. Tiempo de reacción a temperatura constante (155 oF).



• Rendimiento vs. Temperatura a tiempo de reacción constante (1,7 horas).



• Gráfica de contorno en función de temperatura y tiempo


Datos• Cada combinación de dos niveles se conoce

como Configuración Experimental. La cantidad observaciones es: N = nAnBn.

Factor B

1 2 … nB Totales

Promedios

Factor A

1 y111,..y11n

y121,..y12n

y1nB1,..y

1nBn

y1.. y1..

2 y211,.. y221,.. y2nB1,.. y2.. y2..

…

nAynA11,

…ynA21,

…ynAnB1,..

ynAnBn

ynA.. ynA..

Totales y.1. y.2. y.nB.

y... y...

Promedios

y.1. y.2. y.nB.


Modelo Lineal

• Con:

• Yijk es la k-ésima observación tomada en el i-ésimo nivel del Factor A y en el j-ésimo nivel del Factor B.

i 0i1

nA

ij 0j1

nB

ij 0i1

nA

Yij i j ij ijk

... 2, 1,

... 2, 1,

... 2, 1,

nk

nj

ni

B

A

j 0j1

nB

ijk ~ N 0, 2


Análisis estadístico del modelo

A B

A

B

n

i

n

j

n

kijk

n

kijkij

n

i

n

kijkj

n

j

n

kijki

yy

yy

yy

yy

1 1 1

1

1 1

1 1

...

.

..

..

nnn

yy

n

yy

nn

yy

nn

yy

BA

ijij

A

jj

B

ii

......

..

....

....

B

A

nj

ni

... 2, 1,

... 2, 1,


Estimación de parámetros del modelo

y...

i yi .. y...

j y.j. y...

ij yij . yi .. y.j. y...

Se deduce de y de.)( ijij yYE ijjiijYE ˆˆˆ)(

.............. yyyyyy jiij

........ yyyy jiij

.ˆˆˆ ijijji y

jiijij y ˆˆˆ.

ij


yijk y... 2k1

n

j1

nB

i1

nA

nBn yi .. y... 2i1

nA

nAn y.j. y... 2j1

nB

n yij . yi .. y.j. y... 2j1

nB

i1

nA

yijk yij . 2k1

n

j1

nB

i1

nA

Suma de cuadrados

• Suma de cuadrados:

Y grados de libertad:

SSESSSSSSSST ABBA

nAnBn 1 nA 1 nB 1 nA 1 nB 1 nAnB n 1


Cálculo de cuadrados

• Fórmulas de cálculo:

BAAB

BABA

n

i

n

j

ijAB

BA

n

j A

jB

BA

n

i B

iA

BA

n

i

n

j

n

kijk

SSSSSSSSTSSE

SSSSnnn

y

n

ySS

nnn

y

nn

ySS

nnn

y

nn

ySS

nnn

yySST

A B

B

A

A B

2

1 1

2

2

1

2

2

1

2

2

1 1 1

2


Prueba de hipótesis

iH

H

ia

nA

una para menos al 0:

0...: 210

jH

H

ja

nB

una para menos al 0:

0...: 210

ijH

H

ija

nn BA

pareja una para menos al 0:

0...: 12110

Efectos sin interacción

Interacciones lineales


Estadísticos

Para probar H0: i = 0 usar la razón:

Para probar H0: j = 0 usar la razón:

Para probar H0: ()ij = 0 usar la razón:

MSE

MSF A

MSE

MSF B

MSE

MSF AB


Tabla ANOVA


Grados de Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio F

Tratamiento A nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE

Tratamiento B nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1) MSB / MSE

Interacción (nA-1)(nB-1) SSAB

MSAB = SSAB / [(nA-1)(nB-1)]

MSAB / MSE

Error nAnB (n-1) SSEMSE = SSE / [nAnB(n-

1)]

Total nAnBn-1 SST


Ejemplo 3.7

• Se estudia el efecto del tapaporos en la pintura en superficies de aluminio, con dos métodos: inmersión y rociado.

• La de la pintura es mejorar la adhesión de la pintura.

• El grupo de ingeniería de procesos responsable de esta operación se encuentra interesado en saber si existen diferencias entre tres tapaporos diferentes y los dos métodos de aplicación.


Ejemplo 3.7

Tipo de Tapaporo Inmersión Σ Rociado Σ

yi ..

1 4,0; 4,5; 4,3 12,8 5,4; 4,9; 5,6 15,9 28,72 5,6; 4,9; 5,4 15,9 5,8; 6,1; 6,3 18,2 34,13 3,8; 3,7; 4,0 11,5 5,5; 5,0; 5,0 15,5 27,0

y. j . 40,2 49,6 y… = 89,8

SST yijk2

k1

n

j1

nMétodos

i1

nTipos

y

2

nTiposnMétodosn

4,0 2 4,5 2 ... 5,0 2 89,8 218

10,72


Ejemplo 3.7

SSTipos yi

2

nMétodosni1

nTipos

y

2

nTiposnMétodosn

28,7 2 34,1 2 27,0 2

6

89,8 218

4,58

91,4

18

8,89

9

6,492,40

222

2

1

2

nnn

y

nn

ySS

MétodosTipos

n

j Tipos

jMétodos

Métodos


Ejemplo 3.7

SSInterac. yij

2

nj1

nMétodos

i1

nTipos

y

2

nTiposnMétodosn SSTipos SSMétodos

12,8 2 15,9 2 11,5 2 15,9 2 18,2 2 15,5 2

3

89,8 2

18 4,58 4,910,24

99,0

91,458,424,072,10

MétodosTiposInterac SSSSSSSSTSSE


ANOVA

• El modelo indica que no existe interacción entre los diferentes tratamientos.


Grados de

Libertad

Suma de Cuadrados

Cuadrado Medio F P

Tipo de Tapaporos 4,58 2 2,29 28,63 2,7E-5

Métodos de Aplicación 4,91 1 4,91 61,38 5,0E-7

Interacción 0,24 2 0,12 1,50 0,26Error 0,99 12 0,08 Total 10,72 17


Gráficos

• Los gráficos de interacción nos permiten visualizar si existen interacciones.

Id.

Aproximadamente paralelas

Curvas / Líneas paralelas indican que no hay interacción


Gráficas

• El gráfico de efectos principales permite detectar el efecto de cada factor en la respuesta


Ejemplo 3.7. Minitab

ANOVA de dos factores: Fuerza de Adhesi vs. Tipo de Tapaporo. Método de Aplica

Fuente GL SC MC F PTipo de Tapaporo 2 4,5811 2,29056 27,86 0,000Método de Aplicación 1 4,9089 4,90889 59,70 0,000Interacción 2 0,2411 0,12056 1,47 0,269Error 12 0,9867 0,08222Total 17 10,7178

S = 0,2867 R-cuad. = 90,79% R-cuad.(ajustado) = 86,96%


Adecuación del modelo

• Los residuos se definen como: .ijijkijk yye

Método de AplicaciónTipo de

Tapaporo Inmersión Rociado

1 -0.27, 0.23, 0.03 0.10, -0.40, 0.302 0.30, -0.40, 0.10 -0.27, 0.03, 0.233 -0.03, -0.13, 0.170.33, -0,17, -0.17


Gráfico de probabilidad de los residuos


Gráfico de residuos por tipo

• Por tipo de tapaporos:


Gráfico de residuos por tipo

• Por método de aplicación:


Gráfico de residuos respecto estimados


Diseños factoriales generales

• Caso con tres factores:

ijklijkjkikijkjiijY

... 2, 1,

... 2, 1,

... 2, 1,

... 2, 1,

nl

nk

nj

ni

C

B

A Interacciones de 2 factores

Interacción de los 3 factores


Tabla ANOVA


Grados de LibertadSuma de

CuadradosCuadrado Medio F

Tratamiento A nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE

Tratamiento B nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1) MSB / MSE

Tratamiento C nC-1 SSC MSC = SSC / (nC-1) MSC / MSE

Interacción AB (nA-1)(nB-1) SSAB MSAB = SSAB / [(nA-1)(nB-1)] MSAB / MSE

Interacción AC (nA-1)(nC-1) SSAC MSAC = SSAC / [(nA-1)(nC-1)] MSAC / MSE

Interacción BC (nB-1)(nC-1) SSBC MSBC = SSBC / [(nB-1)(nC-1)] MSBC / MSE

Interacción ABC (nA-1)(nB-1)(nC-1) SSABC

MSABC = SSABC / [(nA-1)(nB-1) (nC-1)]

MSABC / MSE

Error nAnBnC(n-1) SSE MSE = SSE / [nAnBnC(n-1)]

Total nAnBnCn-1 SST


Ejemplo 8

• Se estudia la rugosidad superficial de una pieza en una operación de corte de metal.

• Se exploran tres factores:– Rapidez con la que se hace el corte (A)– Profundidad de éste (B)– Ángulo de la herramienta (C)

• Cada factor tiene dos niveles• Se realizan dos réplicas del diseño factorial.


Ejemplo 8Profundidad de corte (B)

0,025 '' 0,040 ''Rapidez de Corte (A)

Ángulo de la herramienta (C)

Ángulo de la herramienta (C)

15° 25° 15° 25° yi…

20''/min. 9 11 9 10757 10 11 8

16 21 20 18

30''/min. 10 10 12 1610212 13 15 14

22 23 27 30Totales BxC

y.jk. 38 44 47 48 177 y….


Ejemplo 8. MinitabFactor Tipo Niveles ValoresRapidez de Corte (A) fijo 2 20. 30Profundidad de Corte (B) fijo 2 0,025. 0,040Ángulo de la herramienta (C) fijo 2 15. 25

Análisis de varianza

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P(A) 1 45,562 45,562 45,562 18,69 0,003(B) 1 10,563 10,563 10,563 4,33 0,071(C) 1 3,063 3,063 3,063 1,26 0,295(A)*(B) 1 7,563 7,563 7,563 3,10 0,116(A)*(C) 1 0,063 0,063 0,063 0,03 0,877(B)*(C) 1 1,563 1,563 1,563 0,64 0,446(A)*(B)*(C) 1 5,062 5,062 5,062 2,08 0,188Error 8 19,500 19,500 2,438Total 15 92,938

S=1,56125 R-cuad.=79,02% R-cuad.(aj)=60,66%


Diseños factoriales

• Diseño 22


Diseños 2k

• Diseño 22

• El efecto principal del primer factor (A) se estima como:

• Y para el factor (B) como:

A yA yA a ab

2n

b 1 2n

1

2na ab b 1

B yB yB b ab

2n

a 1 2n

1

2nb ab a 1


Diseños 2k y contrastes

• El efecto de la interacción es:

• A las cantidades entre corchetes, se les denomina contrastes.

• Por ejemplo, el contraste de A es:

• ContrasteA = a + ab – b – (1)

AB yA yA ab 1

2n

a b

2n

1

2nab 1 a b


Contrastes

• Los contrastes se utilizan para determinar los efectos principales y las interacciones.

• Los residuos se pueden determinar como:

SSA a ab b 1

2

4n

SSB b ab a 1

2

4n

SSAB ab 1 a b

2

4n


Ejemplo 9

• Un artículo describe la aplicación de diseños factoriales de dos factores a la fabricación de circuitos integrados.

• Los factores utilizados son:– A: Tiempo de descomposición (-=corto, +=largo)– B: Rapidez de flujo de arsénico (-=55%, +=59%)

• La variable de respuesta es el grosor de la capa epitaxial (μm).

• Se usan 4 réplicas (n=4)


Datos

Tratamiento

Factor Grosor

A B AB Grosor Total Media

(1) - - + 14,037 14,165 13,972 13,907 56,081 14,020

a + - - 14,821 14,757 14,843 14,878 59,299 14,825

b - + - 13,880 13,860 14,032 13,914 55,686 13,922

ab + + + 14,888 14,921 14,415 14,932 59,156 14,789


Cálculos


Gráfico normal de residuos


Gráfico de residuos con factor tiempo


Gráfico residuos / Rapidez flujo


Desviación estándar


Diseños factoriales 2k para k≥3


InteraccionesRepresentación de contrastes asociados a los efectos principales y sus interacciones en un diseño 23. (a) efectos principales. (b) Interacciones entre dos factores. (c) interacción entre tres factores.


Estimación de efectos principales

• Estimación del efecto de A, B y C:

A yA yA

1

4na ab ac abc 1 b c bc

B yB yB

1

4nb ab bc abc 1 a c ac

A yC yC

1

4nc acbc abc 1 a b ac


Estimación interacciones

• Interacción entre dos factores:

• Interacción de los tres factores:

AB 1

4nabc bc ab b ac c a 1

AC 1

4n1 a b ab c ac bc abc

BC 1

4n1 a b ab c acbc abc

A 1

4nabc bc ac c ab b a 1


Interacciones en formato tabular


1.Aparte de la columna de la identidad (I), cada columna tiene la misma cantidad de “-” y de “+”

2. La suma-producto de cualquier pareja de columnas es cero; es decir que las columnas son ortogonales

2.La multiplicación de cualquier columna por I no cambia la columna; es decir que I es un elemento de identidad

3.El producto de cualquier pareja de columnas da una columna que está en la tabla,


Contrastes

• Se calculan de forma parecida al caso anterior:

Efecto Contraste

n2k 1

SS Contraste 2

n2k


Ejemplo 10

• Considérese el ejemplo 8. Éste es un experimento con 3 factores (A) velocidad de corte, (B) profundidad de corte y (C) ángulo de la herramienta con 2 réplicas. La tabla siguiente muestra los datos observados de rugosidad:


Solución

• Para A se calcula:

• Se actúa de forma idéntica para el resto de factores (las columnas)

• Minitab reporta los siguientes resultados:

A 1

4na ab ac abc 1 b c bc

1

4(2)22 27 23 40 16 20 21 18 3.375


Resultados


Gráfico de probabilidad para residuos


Réplica única del diseño para k grande

• Según aumenta k, el número de observaciones que deben realizarse aumenta, haciendo difícil poder realizar réplicas del diseño.

• Además, la falta de réplicas haría que el número de grados de libertad disminuyera.

• Una solución es considerar sólo algunas interacciones.


Ejemplo 11

• Se estudia un problema de grabado con cuatro factores.

• Se realiza una única réplica del diseño.• El diseño sigue un esquema 24.• Se consideran sólo interacciones hasta nivel 2.


Observaciones


Resolución

• Los valores de la tabla anterior, junto a los signos, pueden utilizarse para estimar el efecto de cada factor.

A 1

8

a ab ac abc ad abd acd

abcd 1 b c bc d bd cd bcd

1

8

669 650 642 635 749 868 860

729 550 604 633 601 1037

1052 1075 1063

101,625


Tabla de contrastes para 24


Ejemplo

• La tabla completa de contrastes es la siguiente:


Ejemplo


Gráfico de probabilidad de los efectos


Gráfico de interacción


Gráfico de los residuos

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