Organizacin de datos agrupados: Se obtiene una buena descripcin de una muestra con un gran nmero de datos agrupando las observaciones individuales en clases o intervalos de clase. Cuando esto se efecta, se dice que los datos han sido agrupados. La agrupacin de datos sintetiza la descripcin de estos. Cuando estos han sido agrupados y divididos en clases, el nmero de observaciones en cada clase se llama frecuencia de clase. Y se representa como fi . La disposicin de los datos de esta forma se denomina distribucin de frecuencia (aqu en el curso se manejarn 4 distribuciones que son: distribucin de frecuencia absoluta, distribucin de frecuencia absoluta acumulada, distribucin de frecuencia relativa y distribucin de frecuencia relativa acumulada). Los datos que se en listan a continuacin representan los kwatts/hr que se consumen en casas habitacin de un grupo de alumnos de elctrica del ITA.

Las siguientes observaciones corresponden a los pesos en kg de 100 estudiantes, y estn dispuestos por orden de magnitud.

Mtodo de los 4 pasos: 1. Calcular el rango. 2. Calcular el nmero de clases. 3. Amplitud de intervalo Frecuencia acumulada representa la frecuencia de esa clase y las anteriores. Distribucin de frecuencia relativa: observaciones en cada una de las clases. representa el porcentaje de

Grficos Con las distribuciones de frecuencia que son: fi, Fi, hi, Hi Se construyen algunos grficos como son: el histograma el polgono de frecuencias, y el polgono de frecuencias acumuladas. Histograma: es un grfico que se construye utilizando los limites reales de cada clase y se ubican en el eje horizontal, tambin se necesitan las frecuencias absoluta de cada clase las cuales se ubica en el eje Y. Polgono de frecuencias: Para construir el polgono de frecuencias se necesita la marca de clase la cual se ubica en el eje X, tambin se necesita la fi que se encuentra en el eje Y Diagrama de Dalton: Este se hace con los limites reales superiores de cada una de las clase en el eje x, tambin se necesita la frecuencia relativa acumulada o Hi la cual se grafica en el eje Y.

Medidas de tendencia central para datos agrupados

Media: Moda: Mediana: Frctiles:

Con las medidas verificar la simetra o asimetra de los datos.

Diagrama de pareto Con 2 ejemplos En la libreta

Unidad II

2.1 Probabilidad de eventos Consiste en calcular numricamente una incertidumbre. Introduccin: definiciones, smbolos y terminologa. En nuestro lenguaje es comn utilizar las siguientes expresiones: Probablemente, es posible, es probable, tal vez, etc. Estas frases o palabras se usan para marcar la ocurrencia de un fenmeno, evento o experimento. Hay dos enfoques: Probabilidad de frecuencia relativa (emprica). Esta existe cuando se tiene un nmero muy grande de observaciones o repeticiones del mismo fenmeno o evento. Su definicin es: si un experimento se ejecuta n veces en las mismas condiciones y hay x resultados, x menor o igual a n, encuentre una estimacin de la probabilidad de ese evento es la razn x/n. Siempre que n tiende a infinito. Probabilidad clsica (probabilidad equiprobable). La definicin clsica de probabilidad fue dada por la Plase y desde entonces se ha repetido en todos los libros de probabilidad. La cual es: la razn del nmero de casos favorables del experimento al nmero de casos totales.

Las probabilidades son tiles ya que sirven para desarrollar estrategias. Independientemente de su aplicacin particular, en empleo de las probabilidades indica que existe algn elemento aleatorio o de incertidumbre de que ocurra o no ocurra algn evento futuro. As en muchos casos puede ser virtualmente imposible predecir que pasara, pero es posible establecer lo que podra pasar. Ejemplos donde interviene algn ejemplo aleatorio: a) Pronosticar fallas. b) Estimar el costo de produccin. c) Comprar seguros. d) Predecir la demandad de un nuevo artculo.

Sin embargo, cambiando el raciocinio, la experiencia y los datos histricos, con frecuencia es fcil decir que probable es un evento futuro. Raciocinio Evento Experiencia Datos histricos Cuantificar Fcil

El, punto central de todos los casos es la capacidad de probar cual probable es la capacidad de un evento. Las probabilidades se plantean con respecto a algn evento. El evento puede ser: que llueva, que falle un equipo, que falte un alumno, que ocurran accidentes de trabajo, que ocurran fallas elctricas, etc. La probabilidad de un evento A se representa: P(A) La P(A) es un nmero que va del 0-1. Si tenemos la certeza de que el evento A ocurre su probabilidad ser 1, si tenemos la certeza de que no ocurra ser de 0. Las probabilidades pueden expresarse de diferentes formas como: Decimales Fracciones Porcentajes Reafirmando la probabilidad de que algn evento ocurra est dada mediante un nmero que est entre 0-1, por lo tanto no hay probabilidades negativas.

Eventos que resultan al relacionar los eventos: -Elementos mutuamente excluyentes: Los eventos son excluyentes si no presentan elementos comunes entre ellos. mutuamente

S={1,2,3,4,5,6} E1={4,5,6} E2={1,3,2}

S E1 4,5,6 E2 1,2,3

S S={Alumnos del aula 46} B={hombres} C={mujeres} B hombres C mujeres

-Elementos no mutuamente excluyentes: A={alumno con calificacin 80} 80< 80 80>

S S={1,2,3,4,5,6} E1={4,5,6} E2={1,3,2} E1 5,6 3,4 E2 1,2,

Probabilidad equiprobable Enfoque de Enfoque objetivo relativa datos histricos probabilidad subjetiva Enfoque subjetivo

clsica

-

Probabilidad de frecuencia Probabilidad

Probabilidad clsica = resultados -- S

nmero de casos favorables al evento A/ Nmero de

S={1,2,3,4,5,6} F={1,2,5,6} P(F)= 4/6=.66

De la lista de alumnos de un total de 31 se quiere encontrar la probabilidad de inasistencia de esa lista de alumnos. 8/31=.25

Frecuencia relativa: nmero de casos favorables al evento A/ Nmero de observaciones del experimento.

Se les pregunta a los alumno que asistieron hoy a clases estudiaron por lo menos una hora el da de ayer. 2/23=.086

Se les pregunta a los alumnos cuantos vieron por lo menos una hora de tv. 12/23=.52 Problemario N=7 R=4 7P4=840 De cuantas formas puede un director de televisin programar 5 comerciales diferentes de patrocinadores durante los 5 cortes de Encontrar el nmero de palabras diferentes que pueden formarse con las letras de la palabra Cristal (sin significado). Con 4 letras.

tiempo asignado a comerciales durante la trasmisin por TV del primer cuarto de un juego de baloncesto. N=5 R=5 5P5=120

Cuantas secuencias de 4 letras (no necesariamente con significado se pueden formar mediante el uso de las letras de la palabra armona: a) Sin repetir letras. N=7 N1=2 N2=1 N3=1 N4=1 N5=1 N6=1 7!/2!*1!*1!*1! *1! *1! b) Con repeticin de letras. 74=2401 De cuantas formas se puede resolver un examen que se compone de 12 preguntas de Verdadero o Falso. a) De cuantas maneras puede contestar un estudiante cada pregunta que sea diferente. n r =212=4096 formas. De cuantas maneras se pueden acomodar 5 computadoras en forma circular.

Permutaciones circulares= nPc=(n-1)! 5Pc=(5-1)! 5Pc=4!=24 formas Nota: si dos necesitan estar juntas se toman como una y se multiplica por su permutacin, la cual seria 2.

n=8 r=4

El departamento de subministro tiene 8 diferentes motores elctricos, de cuantas maneras se pueden escoger 4 para una inspeccin.

nCr=8!/4!*4!=70 n=7 r=3 7P3=7!/(7-3)!=210 7* =210 Un barco desea mandar seales, utilizando 2 banderas blancas, cuatro azules, dos rojas y dos amarillas. De cuantas formas se podrn formar las seales. 6* 5 Cuantos nmeros de tres dgitos pueden formase con los dgitos del 0-6 (sin repetir).

Objetos iguales e indistinguibles. n=10 n1=2 n2=4 n3=2 n4=2 10!/(2!* 4!* 2!* 2!)]=151200/8=18900 formas

Se tiene un grupo de 15 personas y se va a formar un equipo de 6 personas (hay 10 hombres y 5 mujeres en el grupo). De cuantas formas se puede elegir el equipo si debe contener:

a)4 Hombres y dos mujeres. 10C4*5C2=2100 formas a) Sin restriccin. 15C6=5005 c) Slo hombres.

10C6=210 d) Debern estar incluidas todas las mujeres en el equipo. 5C5*10C1=10 e) Slo deber de haber dos hombres. 2C1=2

Hay tres solicitantes para una empresa de los cuales 12 tienen grado universitario. De cuantas formas se pueden cubrir estos puestos con: a) 3 para grado universitario. b) Todos sin grado universitario. c) Por lo menos uno de los aspirantes con grado universitario. d) Dos de los aspirantes con grado universitario.

Una caja contiene 12 bateras para calculadora y en ella se encuentran cuatro defectuosas. De cuantas formas se pueden elegir 5 s: A) Ninguna defectuosa. B) 3 defectuosas. C) 2 sin defecto. D)1 defectuosa.

Diagramas de rbol: Son esencialmente tiles como mtodo para representar los eventos relacionados con observaciones sucesivas o experimentos sucesivos. Los diagramas de rbol son representaciones grficas que muestran todos los resultados posibles de una serie de eventos en forma descriptiva. Se construye de izquierda a derecha, y en cada nodo que no sea punto final se originan las ramas que corresponden a los posibles resultados del evento que se est desarrollando. A A S

Moneda A S S Probabilidad= +++=1

Se lanza un dado y una moneda normal en forma consecutiva. Verificar la cara superior del dado y la cara superior de la moneda, mostrar los resultados con un diagrama de rbol. A 1 S A 2 S A 3 DADO 4 S A 5 S A 6 S A) P(SOLO UN # PRIMO) =8/12 B) P(>6)=0 C) P(