Estadisitca Farmacia Clinicos

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ciencias Qumicas

ESTADSTICA

Carrera: Qumica Farmacutica-Bioqumica

Clnica

Errores en el anlisis cuantitativo

No existen resultados cuantitativos vlidos si no van acompaados de alguna estimacin de los errores inherentes en ellos.

Tipos de errores

Errores crasos: errores muy graves que no queda alternativa que abandonar el experimento. Ej. La avera total de algn instrumento.

Errores aleatorios: provocan que los resultados individuales caigan a ambos lados del valor medio. Afectan a la precisin.

Errores sistemticos: todos los resultados son errneos en el mismo sentido. Afectan la exactitud.

Errores aleatorios y sistemticos

Tipos de errores

No se pueden conocer sus causas, pero

juntos producen un gran efecto

en los datos

Cuyas causas las podemos conocer y podemos

eliminarlas

ALEATORIOS (indeterminados)

SISTEMATICOS (determinados)

EJEMPLO

Precisos y no exactos

No precisos exactos

Preciso y exacto

No preciso ni exacto

pesas

volmenes Sustancias

de alto peso molecular

polvo

Al calibrar pesas

precipitados

Sustancias impuras

Ejemplos Medida de un intervalo de tiempo con un cronmetro.

Error en el start y en el stop del experimentador:

error aleatorio.

El cronmetro funciona mal y da siempre un intervalo de tiempo menor (o mayor):

error sistemtico.

Medida de una longitud con una regla.

Error en la interpolacin entre dos marcas por el experimentador: error aleatorio.

La regla esta mal calibrada y da longitudes menores (o mayores) siempre: error sistemtico.

1. CONCEPTOS Y DEFINICIN DE TRMINOS

ERROR

DESVIACIN

Diferencia que existe entre el valor verdadero de una magnitud y el que se obtiene de una medida experimental del mismo.

Diferencia entre el valor promedio de una serie de medidas y el de una cualquiera de ellas..

Si aceptamos (clculo de probabilidades) que el verdadero valor de una magnitud es el promedio de una serie de medidas de la misma

ERROR DESVIACIN =

Si no lo aceptamos nunca podremos conocer el valor verdadero

1.2. ERROR Y DESVIACIN

PRECISIN

- Efectuar comparaciones con una muestra estndar - Aplicar procedimientos distintos

Una elevada concordancia entre los resultados de varios mtodos proporciona cierta confianza.

Es el grado de concordancia o proximidad entre el valor medido y el valor real aceptado.

EXACTITUD

Grado de concordancia entre rplicas de mediciones de la misma cantidad. Repetibilidad de un resultado.

Buena precisin no asegura buena exactitud

El resultado de un experimento puede ser perfectamente reproducible pero equivocado

Todos los anlisis reales son desconocidos. Mientras mayor sea el grado de precisin, mayor probabilidad habr de obtener el valor verdadero

A mayor n de medidas ms confiable ser la medicin de la precisin

El n de mediciones necesarias depender de la exactitud necesaria y de la reproducibilidad conocida del mtodo.

1.2. PRECISIN Y EXACTITUD

FORMAS DE EXPRESAR LA EXACTITUD

Varias formas y unidades

ERROR ABSOLUTO EA

ERROR RELATIVO ER

- Diferencia entre el valor medido (xi) y el valor aceptado como verdadero (). Las unidades corresponden a la medicin que se efecta

EA = xi -

- El valor aceptado puede estar sujeto a error - El signo es muy importante

aumento

disminucin

- Relacin que existe entre el error absoluto (EA) y el valor real - Se expresa en % o % . Adimensional

ER = xi -

. 100

Formas de expresar la precisin

Desviacin estndar

1 - N

)x - x( = s

2

i

x

sCV Desviacin estndar relativa

(coeficiente de variacin)

Precisin absoluta

varianza s2

es la expresin del margen de precisin asociado a una medida

Precisin relativa es una expresin que compara la magnitud de la precisin absoluta con el tamao de la medida que se realiza

Exactitud y precisin

Realizacin de 10 disparos a una diana

Valoracin de 10 mL de HCl 1M con NaOH 1M

Afectan a la exactitud o precisin de los datos experimentales

2. LOS TIPOS DE ERRORES

1. Blunders (Patinazos o deslices) 2. Errores determinados o sistemticos

3. Errores indeterminados o aleatorios (al azar)

2.1 ERRORES DETERMINADOS O SISTEMTICOS

Tienen causas concretas y valores definidos

Pueden ser calculados y tenidos en cuenta

Pueden evitarse y corregirse

CARACTERSTICAS:

Unidireccionales

Resultados superiores o inferiores al valor real, pero no en ambas direcciones

Proporcionales al tamao de la muestra (contaminantes)

De magnitud constante independiente de las dimensiones

de la cantidad medida (pesa mal calibrada)

CLASIFICACIN:

CAUSAS:

Errores Instrumentales

Aparatos. La calibracin elimina la mayora de los errores de este tipo

Errores del Mtodo

Tienen su origen en las propiedades fsico-qumicas del sistema por lo que son inherentes al mtodo

Son los ms graves y difciles de detectar (indicadores visuales, coprecipitacin, reacciones secundarias)

No pueden cambiarse a menos que se modifiquen las condiciones de la determinacin

Errores Personales

Asociados con las manipulaciones realizadas en la tcnica

Su magnitud depende del analista (errores matemticos, niveles de lquidos, posicin de agujas)

Pueden afectar a un slo valor o a una serie completa de medidas

Son consecuencia del descuido y pueden eliminarse con autodisciplina

Los errores sistemticos dan lugar a una prdida de exactitud pero pueden afectar o no a la precisin segn que dicho error sea constante o variable

DETECCIN Y ELIMINACIN DE ERRORES DETERMINADOS

Errores Instrumentales

Anlisis de muestras patrn y (CRMs)

Anlisis independiente

Determinaciones en blanco

Calibracin (Espectrofotometra: Recta Relacin seal/conc. A/conc.)

Calibracin de pHmetros ( pH 4 y pH 7)

Calibracin de balanzas (pesas de 50 o 100 mg)

Material volumtricos (gravimetria con agua o Hg)

Estufas (termmetros certificados)

Muflas (sales inorgnicas de alto PF)

Autodisciplina

Se identifican y eliminan por alguno de los siguientes mtodos:

Errores Personales

Errores del Mtodo

2.2 ERRORES INDETERMINADOS

Son de causa desconocida

Producidos por el efecto de variables que no se pueden determinar

No son constantes

Fluctan al azar alrededor de un valor medio

Sus fuentes son desconocidas, ya que estn formados por innumerables incertidumbres insignificantes y no observables

El n y tamao de las incertidumbres + y - son aproximadamente iguales

Son de pequea magnitud

Se revelan por las diferencias en los valores obtenidos en varias

determinaciones, en condiciones cercanas a lo ideal

No pueden evitarse, por ello es necesario dar una interpretacin

estadstica a los resultados

Deteccin: Fluctuacin aleatoria de los resultados que se obtienen al repetir varias veces un anlisis.

Caractersticas fundamentales: 1.- Por exceso o defecto con igual probabilidad 2.- Un error pequeo es ms probable que uno de gran magnitud (Fluctuaciones de T, de la lectura de un aparato, etc.) Los E.I. producen una disminucin de la precisin de las observaciones. Aumentando N no se afecta grandemente la exactitud. Los E.I. siguen una distribucin aleatoria. El resultado ms probable se consigue aplicando las leyes matemticas de la probabilidad. Los E.I. en Anlisis Qumico se distribuyen de una forma que se aproxima a una distribucin gaussiana o normal. Slo pueden reducirse a un mnimo, pero no ser eliminados.

3. CURVA NORMAL DEL ERROR

Tabla 2.1.- Resultados de 50 determinaciones de nitrato en aguas de un ro (g/mL)

0.51 0.51 0.51 0.50 0.51 0.49 0.52 0.53 0.500.47

0.51 0.52 0.53 0.48 0.49 0.50 0.52 0.49 0.490.50

0.49 0.48 0.46 0.49 0.49 0.48 0.49 0.49 0.510.47

0.51 0.51 0.51 0.48 0.50 0.47 0.50 0.51 0.490.48

0.51 0.50 0.50 0.53 0.52 0.52 0.50 0.50 0.510.51

Tabla 2.2.- Tabla de frecuencia para las medidas de concentraciones de in nitrato

Concentracin de in nitrato (g/mL) Frecuencia

0.46 1 0.47 3 0.48 5

0.49 10 0.50 10 0.51 13 0.52 5 0.53 3

CURVA NORMAL DEL ERROR

Histograma de la concentracin de in

nitrato (datos de la Tabla 2.1)

Distribucin normal

La porcin encerrada bajo la curva indica el porcentaje de datos de la poblacin que se est considerando

68% 2 95 % 3 99.7%

INCERTIDUMBRE

DEFINICION La incertidumbre de una medicin es la duda que existe respecto al resultado de dicha medicin. Ejemplo: Se puede pensar que las reglas graduadas estn bien hechas, que los relojes y los termmetros deben ser veraces y dar resultados correctos. Sin embargo, en toda medicin, an en las ms cuidadosas, existe siempre un margen de duda. En lenguaje comn, esto se puede expresar como mas o menos, por ejemplo, al comprar o vender un tramo de una tela de dos metros, mas o menos un centmetro

EXPRESIN DE LA INCERTIDUMBRE DE UNA MEDICIN Dado que siempre existe un margen de duda en cualquier medicin, necesitamos conocer cun grande es ese margen? Por esto se necesitan dos nmeros para cuantificar una incertidumbre. Uno es el ancho de este margen, llamado intervalo, el otro es el nivel de confianza, el cual establece qu tan seguros estamos del valor verdadero dentro de ese margen. Por ejemplo: Si decimos que la longitud de cierta barra mide 20 cm, ms o menos () 1centmetro, con un 95% de confianza decimos: 20 cm 1 cm, con un nivel de confianza del 95% Esto significa que en 95 de cada 100 mediciones la longitud de la barra est comprendida entre 19 y 21 centmetros

PASOS PARA CALCULAR LA INCERTIDUMBRE: 1.- Frmula que se va a utilizar Y = f(p,q,r) 2.- Fuentes de incertidumbre Se establece si se realizara mediante pesos (gr) o medidas (cm) -Material A 0.1 -Fuentes por temperatura y factores ambientales -3. Cuantificacin

-Todas las incertidumbres que se tiene hay que convertirlas en incertidumbres estndar

3.1 Incertidumbre Incertidumbre estndar X1= 5.3032 X2= 5.3038 X3= 5.3031 X4= 5.2989 X5= 5.3027 = 5.3025 S = 2.0577x10 tgl5= 4.60 3.2 Incertidumbre experimental IC = t.s IC = 5.3025 4.60 x 0.002 = 5.3025 0.004

Distribucin triangular

Se encarga en la medicin de volmenes,

Se emplea a siguiente formula:

u=

6

Ejemplo

Una certificacin estndar de calibracin dice que un baln tiene una incertidumbre de 250 ml 0.15 ml

u=

6

u=0.15

6 = 0.0061 (I.S)

Distribucin rectangular

Se utiliza en temperatura, peso, volumen, y variacin de volumen.

Se usa la siguiente formula:

u=

3

Ejemplo: Un certificado de calibracin nos da 0.063 gr:

u=

3

u=0.003

3 = 0.0017 gr (I.S)

Combinada. Es el resultado de las contribuciones de todas las fuentes a la que la denomina como combinada.

La formula es:

Uc (x1)= + +

Ejemplo:

Pipeta con un volumen de 12ml 0.03ml

Incertidumbre expandida

Se la considera como el numero de veces de expresar las incertidumbres y en algunos con los niveles de confianza

Uc (x1)= .

2+ (

) + (

)

Es una representacin grfica de una variable en forma de barras.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados, ya sea en forma diferencial o acumulada.

Sirven para obtener una "primera vista" general, o panorama, de la distribucin de la poblacin, o la muestra, respecto a una caracterstica, cuantitativa y continua, de la misma y que es de inters para el observador.

Diagramas de barras simples Representa la frecuencia simple (absoluta o

relativa) mediante la altura de la barra la cual es proporcional a la frecuencia simple de la categora que representa.

Diagramas de barras compuesta Se usa para representar la informacin de una tabla de doble

entrada o sea a partir de dos variables, las cuales se representan as; la altura de la barra representa la frecuencia simple de las modalidades o categoras de la variable y esta altura es proporcional a la frecuencia simple de cada modalidad.

Diagramas de barras agrupadas Se usa para representar la informacin de una tabla

de doble entrada o sea a partir de dos variables, el cual es representado mediante un conjunto de barras como se clasifican respecto a las diferentes modalidades.

Polgono de frecuencias Es un grfico de lneas que de las frecuencias

absolutas de los valores de una distribucin en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la frecuencia de dicho valor.

Paso 1 Determinar el rango de los datos. Rango es

igual al dato mayor menos el dato menor.

Paso 2

Obtener todos los nmeros de clases, existen varios criterios para determinar el nmero de clases (o barras).

Algunos autores recomiendan de cinco a quince clases, dependiendo de cmo estn los datos y cuntos sean

Paso 3 Establecer la longitud de clase: es igual al

rango dividido por el nmero de clases.

Paso 4

Construir los intervalos de clases: Los intervalos resultan de dividir el rango de los datos en relacin al resultado del PASO 2 en intervalos iguales.

Paso 5

Graficar el histograma: En caso de que las clases sean todas de la misma amplitud, se hace un grfico de barras, las bases de las barras son los intervalos de clases y altura son la frecuencia de las clases.

Si se unen los puntos medios de la base superior de los rectngulos se obtiene el polgono de frecuencias.

Tamao de muestra

POBLACION DESCONOCIDA

=(/2) 2

2

POBLACION CONOCIDA

=(/2) 2

2 1 + (/2) 2

pHombres=

=

14

40= 0,35

pMujeres=

=

26

20= 0,65

2 95% = 1,96

2 98% = 2,58

Ejemplos:

= % = ,

= % = ,

= % = ,

= ,

=

=(, ) , (, )

(, )

= ,

=

= ,

= % = ,

= % = ,

= , % = ,

=

+

= , , ,

, + , , ,

= ,

Tipos de muestreo

Existen diferentes criterios de

clasificacin, aunque en general, pueden dividirse en

:

Probabilsticos. Son aquellos en los que todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra.

No Probabilsticos. Es una tcnica donde las muestras se recogen en un proceso que no brinda a todos los individuos de la poblacin iguales oportunidades de ser seleccionados.

Tipos de muestreo

Muestreo Probabilstico

Sistemticos

Sistemticos Estratificados

Estratificado Proporcional

Estratificado Constante

I. Sistemticos

Eligen un individuo al azar y a partir de l, a intervalos constantes, se eligen los dems hasta completar la muestra. As para una N = 600 y n = 20. Entonces se ordenan los alumnos y se numeran, se elige uno al azar, por ejemplo: 27 y de este, se eligen de 30 en 30 hasta completar la muestra.

As: 27; 57; 87; 117; 147; 177; 207; 237; 267; 297; 327; 357; 387; 417; 447;477; 507; 537; 567; 597

=

=

I. Sistemticos

Ejemplo 2: Un investigador desea saber como seleccionar una muestra de 12 individuos de una poblacin de 60 para determinar la incidencia de cncer por el consumo de tabaco. Cmo recomendara que seleccione su muestra? N = 60 y n = 12

=

=

Entonces debe elegir un nmero al azar, por ejemplo: 2 y de este, se elegir de 4 en 4 hasta completar su muestra.

II. Sistemticos estratificados

Los elementos de la muestra son proporcionales a su presencia en la poblacin. Se divide a la poblacin en uno o varios grupos o estratos con el fin de dar representatividad a los distintos factores que integran el universo o poblacin de estudio.

Ejemplo: En una poblacin de 600 nios, se desea tomar una muestra de 240; pero tambin se saben que existen 400 nios y 200 nias. Entonces se procede as:

=240 400

600= =

200 240

600=

En conclusin: de la muestra de 240, se deben seleccionar 160 nios y apenas 80 nias

II. Sistemticos estratificados

Ejemplo 2: En una fbrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la seccin A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.

III. Sistemticos proporcional

En este tipo de muestreo en donde cada estrato queda representado en la muestra en una proporcin exacta a su frecuencia en la poblacin total.

Por ejemplo, en una poblacin de estudiantes universitarios de 700 de los cuales 300 son de primer semestre, 250 de segundo, 100 de tercero y 50 de cuarto; se desea tomar una muestra de 255 estudiantes. Para ello, se expresan cada uno de estos valore en sus respectivos porcentajes, as:

X=42,86% X=35,71% X=14,29% X=7,14%


Estudiantes Porcentajes Calculo de la muestra

Primer Semestre 42,86 % 255 x 0,4286 = 109,29 109

Segundo Semestre 35,71 % 255 x 0,3571 = 91,06 91

TercerSemestre 14,29 % 255 x 0,1428 = 36,41 36

Cuarto Semestre 7,14 % 255 x 0,0714 = 18,20 18

En consecuencia, se tomaran 109 estudiantes de primer semestre, 91 de segundo, 36 de tercero y 18 de cuarto a fin de completar la muestra preestablecida


Ejemplo 2: A travs de un proceso investigativo se desea conocer cuan frecuentes son las enfermedades en los animales de un granja para ello se toma una muestra de 266 en una poblacin 800 animales, diferentes como se muestra en la tabla. Cuntos animales de cada clase se deben tomar para completar la muestra de 266?

Donde: N = 800 n = 266

Animales Cantidad

Vacas 300

Cerdos 200

Gallinas 150

Ovejas 100

Conejos 50


Entonces, luego de determinar los porcentajes que representan a cada uno de estos grupos de animales tenemos

Animales Porcentajes Calculo de la muestra

Vacas 37,5 % 266 x 0,375 = 99,75 100

Cerdos 25 % 266 x 0,25 = 66,5 67

Gallinas 18,75 % 266 x 0,1875 = 49,87 50

Ovejas 12,5 % 266 x 0,125 = 33,25 33

Conejos 6,25 % 266 x 0,0625 = 16,625 16

Por lo tanto se deben tomar 100 vacas, 67 cerdos, 50 gallinas, 33 ovejas y 16 conejos para realizar el estudio en la muestra de

266.

IV. Estratificado constante

La muestra se obtiene seleccionando un nmero igual de individuos de cada estrato, ejemplo:

En una poblacin de 600 ancianos se desea tomar una muestra de 240, de los cuales se tiene cinco grupos de la siguiente edad:

Edad

55

60

65

80

85

Entonces se procede as:

240

5= 48

Por lo tanto, se deben tomar 48 individuos de los cinco grupos existentes.

IV. Estratificado constante

Ejemplo 2: Una investigacin desarrollada para determinar el grado de contaminacin de los automviles requiere extraer una muestra de 338 de una poblacin de 2150, en 13 marcas de vehculos diferentes. Cmo se determinara dicha muestra?

Entonces se procede as:

338

13= 26

Por lo tanto, se deben tomar 26 vehculos de

cada marca para realizar el estudio.

Nos permite identificar si un mtodo est libre de errores sistemticos

COMPARACIN DE UN DATO

EXPERIMENTAL CON UN VALOR

VERDADERO

Media experimental = Media real

Media experimental Media real

Acepto Ho: no hay errores sistemticos

HIPTESIS

Rechazo Ho; Acepto H1: hay errores sistemticos

Si un mtodo para determinar Hg por asociacin atmica obtuvo los siguientes resultados, para un material de referencia que contiene 38% de Hg.

Ejemplo:

u 38,9 38,9 38,9

x 38,9 37,4 37,1

95% n - 1

Acepto Ho: no hay errores sistemticos

En este caso tenemos dos medias muestrales 1 y 2 Si tomamos como hiptesis nula que los dos mtodos dan el mismo

resultado, necesitamos probar si ( 1 2 ) difiere en forma significativa de cero. Si las dos muestras tienen desviacin estndar que no sean significativamente diferentes.

: 1 = 2 1: 1 2

1 = 2

1 2

0: 12 = 2

2 0: 1

2 22

=1

2

22

Se puede calcular una estimacin conjunta de la desviacin estndar a partir de las desviaciones estndar individuales S1 y S2 utilizando la ecuacin

=1 1 1

2 + 2 1 22

( 1 + 2 2

t est dado por la siguiente ecuacin =

(1 2)

11

+12

< Grados libertad

1 = 2

=(1 2)

1

2

1+

22

2

=

12

1+

22

2

2

12

1

2

1 + 1+

22

2

2

2 + 1

2

>

1 2

EJERCICIOS

1. En una comparacin de dos mtodos para determianar potasio en plantas se obtuvieron los siguientes valores:

Mtodo Espectrofotomtrico

{X} S n gl (n-1)

28.0 0,3 10 9

Mtodo Fluoromtrico

{X} S n gl (n-1)

26.25 0.23 10 9

Son iguales las {X}?

Resolucin =

12

22

=(0.3)2

(0.23)2

= 1.70

=

= 4.026

4.026 1.70 <

Por lo tanto :

0: 12 = 2

2

=(1 2)

11

+12

=28.0 26.25)

0.27110 +

110

=1 1 1

2 + 2 1 22

( 1 + 2 2

=10 1 (0.3)2+ 10 1 (0.3)2

( 10 + 10 2

= 0.27

= 16.15

Grados libertad = 10 + 10 2

Grados libertad = 18

Escriba aqu la ecuacin. 16.15 2.10 >

1 2

2. Se est analizando tiol en la sangre con dos mtodos diferentes:

X Mtodo 1%

Mtodo 2%

1 1.84 2.81

2 1.92 4.06

3 1.94 3.62

4 1.92 3.27

5 1.85 3.27

6 1.91 3.76

7 2.07 -

2 = 3.47 1 = 1.92

1 = 0.075

2 = 0.44

Resolucin =

12

22

=(0.44)2

(0.075)2

= 34,42

=

= 5.989

Por lo tanto : 0: 12 2

2

34,42 5.989 >

=(1 2)

1

2

1+

22

2

=

(0.075)2

7 +(0.44)2

6

2

(0.0752

7 )2

(7 + 1)+

(0.442

6 )2

(6 + 1)

2

=(3.47 1.92)

(0.44)2

6 +(0.075)2

7

= 8.52

= 5 95%

= 2.57

8.52 2.57 > 1: 1 2

COMPARACIN DE VARIAS MEDIAS

X1=X2=X3=X4.

X1X2X3X4.

El objetivo de este proceso, es determinar y demostrar si las medias obtenidas en un trabajo varan debido a la influencia de un factor externo o debido a errores aleatorios y sistemticos.

Se toma en cuenta varios factores o fuentes de variacin como:

1. Errores sistemticos

2. Errores aleatorios

3. Efecto Factor: Temperatura, presin, concentracin, etc.

La varianza es la variable que utilizaremos para este proceso, en caso de que estas sean iguales solo se tienen errores aleatorios, si son diferentes el efecto factor s influye.

Para realizar esta comparacin se pueden utilizar 2 mtodos:

Mtodo 1

Este mtodo analiza el error aleatorio y del factor presentes dentro de las muestras y fuera de las muestras respectivamente a travs de las siguientes ecuaciones:

CLCULO DE LA VARIANZA DENTRO DE LA MUESTRA O ERROR ALEATORIO:

1.1 calculo de varianza de cada una de las muestras:

1.2 Calculo de S2 promedio o estimacin dentro de la muestra y de los grados de libertad.

Grados de libertad:

gl= n-1 + n-2 + n-3 + ..n-i

CLCULO DE LA VARIANZA ENTRE MUESTRAS O FACTOR:

Para el clculo de esta varianza se calcula primeramente la varianza de la media muestra:

Estimacin entre muestras:

Grados de libertad:

gl= h - 1

Numero total de medias a analizar

-1

Promedio de todos los datos

CLCULO DE F DE FISHER EXPERIMENTAL

El clculo de la F es el punto final que nos permite comparar si las medias son iguales entre s, a travs de la comparacin de la F experimental y la F tabulada.

La F tabulada se ubica en una tabla de F para dos colas con los grados de libertad calculados de cada varianza.

Mtodo 2 Para este mtodo se puede utilizar una tabla:

Variacin Grados de libertad (gl)

Suma de Cuadrados (SC)

^2=Cuadrado Medio (CM)

F experimental F Terica

Error Dentro de muestra

N-h SCE=CME*glE ^2Error=CME ^2Error/^2Factor Se la encuentra en tablas.

Factor Entre

muestras

h-1 SCF=CMF*glF ^2Factor=CMF

Total N-1 SCT=SCF+SCE

Formulas:

De la tabla anterior:

N= # total de datos.

h= # de muestras.

Se quiere averiguar la cantidad de producto obtenido luego de hacer una reaccin qumica, y se quiere comprobar que la cantidad de producto obtenido es igual o diferente, teniendo la muestra en diferentes condiciones de almacenamiento.

Condiciones Medias repetidas Media

A Recin preparada 102 100 101 101

B Oscuridad 101 101 104 102

C Luz tnue 97 95 99 97

D Luz brillante 90 92 94 92

Media global:

98

Factor error: Almacenamiento

- Varianza entre muestras Se considera las medias obtenidas y la media obtenida en cada una de las condiciones en las que se ha realizado la reaccin qumica.

2 =

( 1)2+ ( 2)

2++ ( )2

1

2 =

(102 101)2+ (100 101)2+ (101 101)2

31 = 1

2 =

(101 102)2+ (101 102)2+ (104 102)2

31 = 3

2 =

(97 97)2+ (95 97)2+ (99 97)2

31 = 4

2 =

(90 92)2+ (92 92)2+ (94 92)2

31 = 4

2 =

2 +

2 + 2 +

2

2 =

1+3+ 4+4

4 = 3 =

2

g.l = 1 1 + 2 1 + + ( 1) g.l = 3 1 + 3 1 + (3 1) + 3 1 = 8

Varianza entre muestras Se considera las medias obtenidas y la media obtenida en cada una de las condiciones en las que se ha realizado la reaccin qumica.

2 =

( 1)2+ ( 2)

2++ ( )2

1

2 =

(102 101)2+ (100 101)2+ (101 101)2

31 = 1

2 =

(101 102)2+ (101 102)2+ (104 102)2

31 = 3

2 =

(97 97)2+ (95 97)2+ (99 97)2

31 = 4

2 =

(90 92)2+ (92 92)2+ (94 92)2

31 = 4

2 =

2 +

2 + 2 +

2

2 =

1+3+ 4+4

4 = 3 =

2

g.l = 1 1 + 2 1 + + ( 1) g.l = 3 1 + 3 1 + (3 1) + 3 1 = 8

=

2

2 =

62,01

3= 20,67

= 4,06 g.l (numerador): 3 g.l (numerador): 8

20,67 > 4,06 Entonces rechazo Ho: 1 = 2 = 3 = 4 Acepto Hi: 1 2 3 4

Como acepto Hi, las medias difieren unas de otras, lo que demuestra que el efecto factor en este caso el almacenamiento si afecta los resultados.

Efecto Grados de libertad Suma de

cuadrados (SM)

Cuadrados medios

(C.M)

F.

experimental

F.

tabulad

o

Dentro de

muestras

N - h

2 = C.M =

20,67

S.C = C.M x g.l

2 = C.M = 3

F exp. = 62/3 =

20,67

F tab. =

4,06

12 -4 = 8 S.C = 3 X 8 = 24 2 = C.M = 20,67

20, 67 > 4,06

Entre muestras

h -1 S.C = C.M x g.l Acepto:

4 - 1 = 3 S.C = 20,67 X 3 =

62,01

Total N - 1

12 - 1 = 11

2 = C.M = 3

2 = C.M = 20,67

2 Los siguientes valores se refieren a la concentracin de albmina, en el suero sanguneo de un adulto. Se tom la muestra de sangre durante 4 das y se determin la concentracin de albmina en el suero fortificado. Pruebe si la concentracin media de los diferentes das vara significativamente.

Da Concentraciones X

1 63 61 62 62

2 57 56 56 56,3

3 50 46 - 48

4 57 54 59 56,7

X 55,8

Hi : X1 X2 X3 Ho : X1 = X2 = X3

Variacin dentro de muestra o de error

21 =

(6362)2+(6162)2+(6262)2

2= 1

22 =

(5756,3)2+(5656,3)2+(5656,3)2

2= 2

23 =

(5048)2+(4648)2

2= 8

24 =

(5756,7)2+(5456,7)2+(5956,7)2

2= 6,3

2 =

1+2+8+6,3

4= 4,3 gl= (1 1) + (1 1) + (1 1)

gl= 7

2 = ( )

2

1= 2

Variacin entre muestra o de factor

2 = (6255,8)2+(56,355,8)2+(4855,8)2+(56,755,8)2+(55,855,8)2

4 1 = 33,37

2 = 2 =3+3+2+3

4 = 2,8

2 = 33,37 * 2,8

2 = 93,5

2 = ( )

2

1

= 22

=93,5

4,3= 21,74

1 =3 =7

21,74 > 4,347

Hi : se acepta, no es lo mismo tomar la concentracin el da 1 que el 4 da. Ho : se rechaza

Grado de libertad

(gl) SC CM F exp F tab

Error dentro de muestra

N h 11- 4 = 7

CM * gl 4,3 * 7

= 30,1

2

4,3

2

2

93,5 4,3 =

21,74

> 4,347

Factor o entre

muestra

h 1 4-1 = 3

93,5 * 3

= 280,5

93,5 Hi : se acepta, no es lo mismo tomar la concentracin el da 1 que el 4 da. Ho : se rechaza

n1 n2 n3

A 102 100 101 101

B 101 101 104 102

C 97 95 99 97

D 90 92 94 92

T = 98

Fuente de

variacin

gl SC CM Fexp Ftab

Factor 3 186 62 20.6 > 4.06

Error 8 24 3

11 40

Ho: 1 = 2 = 3 = 4 (rechazo) H1: 1 2 3 4 (acepto)

= 2 1

22

(.. )

=

22

=

22

Iguales valores de n:

= 2

2

Diferentes valores de n:

= 2

1

1+

1

2+

1

3

= 2 8

2 3

3

= 2.31 2

= 3.27

Comparar todas las muestras entre s, combinacin de muestras

( 1)

2=

4(4 1)

2=

4 3

2= 6

Ordeno las medias 2 = 102 1 = 101 3 = 97 4 = 92

1) 2 - 1 102 - 101 = 1 <

3.27

No Significativo 2 = 1

2) 2 - 3 102 - 97 = 5 >

3.27

Si Significativo 2 3

3) 2 - 4 102 - 92 = 10 >

3.27


4) 1 - 3 101 97 = 4 >

3.27


5) 1 - 4 101 - 92 = 9 >

3.27


6) 3 - 4 97 - 92 = 5 > 3.27 Si Significativo 3 4

Medias iguales

Proximo al DMS

DMS

(2 = 1) 3 4

Medias 2 y 1 son iguales y son diferentes de la 3 y 4.

Para saber cunta diferencia hay entre las medias hacemos el clculo de Turkey (Estricto, confiable) Turkey Shefer

1 < 2.5 No Significativo

5 > 2.5 Si Significativo





1 < 2.5 No Significativo






Acepto el dato

Primer caso

x

4% 8

8% 40

16% 80

20% 140

Segundo caso

x

4% 8

7% 10

16% 14

20% 12

Medios diferentes

: 1 = 2= 3 = 4 ( rechazo)

1: 1 2 3 4 ( acepto)

Primer caso: ordeno los medios

140

80

40

8

DMS

1: 1 2 3 4

X y

x

70C 120

80C 160

90C 170

100C 190

y= ax+b

Si los puntos siguen una recta ideal, quiere decir

que los puntos estn sobre la curva y hay un coeficiente de variacin

r=1

Cuando no todos los puntos estn sobre la recta ideal el coeficiente de variacin esta

entre 0 y 1

0 1

r= 0

Puntos alejados de la recta ideal

1 0

Recta ideal con pendiente negativa

r= -1

Cuando r es casi igual a 1 los puntos experimentales recaen sobre la recta

ideal

=( )( )

( )2( )2 = +

a= pendiente de la recta

=( )( )

( )2

=

b

a

Se ha examinada una serie de soluciones estndares de flourecina en un flourometro y dio los siguientes intensidades de fluorescencia

1 2 3 4 5 6 7

Concentracin

2,1 5 9 12,6 17,5 21,0 24,7 Intensidad (Y) ppm

0 2 4 6 8 10 12

n Xi Yi (Xi X )

(Xi X ) (Yi - Y)

(Yi Y) (Xi X ) (Yi - Y)

1 0 2,1 0-6=-6 36 2,1-13,13=-11,03 121,66 -6 * -11,08= 66,18

2 2 5 2-6=-4 16 5-13,13= -8,13 66,1 -4* -8,13 = 35,52

3 4 9 4-6= -2 4 9-13,33= -4,13 17,06 -2* -4,13= 8,26

4 6 12,6 6-6=0 0 12,6-13,33=-0,53 0,28 0*-0,53 = 0

5 8 17,5 8-6=2 4 17,5-13,33=4,37 19,1 2* 4,87 = 8,74

6 10 21,0 10-6=4 16 21,0-13,13=7,87 61,94 4* 7,87 = 31,41

7 12 24,7 12-6=6 36 24,7-13,13=11,57 133,9 6* 11,57 = 69,42

42 91,9 112 420,01 216,6

media

6 13,13

= (Xi X )(Yi Y)

(Xi X )2 (Yi Y) 2 =

(Xi X )(Yi Y) (Xi X )

=216,6

112420,01 =

216,6

112

r= 0,999 a= 1,93

(esta sobre la recta) (pendiente de la recta)

b = y ax

b = 13,13-1,93(6)

b = 1,55

Si te toma una alcuota y el flourometro da una intensidad de 1,14

y = ax + b

y = 1,93x + 1,55

I= 1,93 C + 1,55

=11,4 1,55

1,93 = 5,10 ppm +- Intervalo de confianza

C= 5,10+- 1,55

Segundo mtodo ( Sistema de ecuaciones)

y= ax + b

2,1= a(0) + b x0

5= a(2) + b x2 10= 4 a + 2b

9= a(4) + b x4 36= 16 a + 4b

12,6= a(6) +b x6 75,6= 36 a + 6b

17,5 = a(8) + b x8 140 = 64 a + 8b

21,0= a(10) + b x10 210 = 100 a + 10 b 24,7 = a(12) + b x12 296,4= 144 a + 12 b

Suma= 91,9 = 42a + 7b 768= 364 a + 42 b

n X= C Y= I

1

0 2,1

2 2 5

3 4 9

4 6 12,6

5 8 17,5

6 10 21,0

7 12 24,7

(I) 91,9 = 42 a + 7b 768,0= 364 a +42 b

768,0 = 364 a + 12b 768,0 = 364(1,93) +42b

-551,4 = -252 a 42 b 768,0 = 702,52 -702,52

768,0 = 364 a + 42b b=768702,52

42

216,6 = 112 a b= 1,55

a=216,6

112

a= 1,93

Se obtuvieron los siguientes resultados cuando se analizaron una serie de soluciones estndar de plata por espectrometra de absorcin atmica.

Muestra= 0.308

Concentracin Mg/ml

n1 0

n2 5

n3 10

n4 15

n5 20

n6 25

n7 30

Absorvancia 0,003 0.127 0.251 0.390 0.498 0.625 0.713

CALCULO DE r

r= 0.999

CLCULO DE a

CLCULO DE b

2. SEGUNDO MTODO

X Y

0 0.003

5 0.127

10 0.251

15 0.390

20 0.498

25 0.625

30 0.763

2.657 =105a +7b 57.47=2275a +105b 1 2

Mediante sistema de ecuaciones buscamos a y b

Cuando se tiene varias muestras se realiza lo siguiente:

S= 0.72

g.l= n-1 = 3 t 95% =3.18

C mg/ml = 12.61 IC

El contenido de oro de una muestra de agua de mar concentrada se determin por espectrometra de absorcin atmica mediante el mtodo de las adiciones estndar. Los resultados obtenidos fueron los siguientes.

Oro aadido mg/ml de muestra concentrada

0 10 20 30 40 50 60 70

Absorbancia 0. 257 0.314 0.364 0.413 0.468 0.528 0.574 0.635

n X Y ( ) ( )

( )

( )

( )

1 0 0.257 -35 1225 -0.187 0.035 6.545

2 10 0.314 -25 625 -0.13 0.017 3.25

3 20 0.364 -15 225 -0.08 0.006 1.2

4 30 0.413 -5 25 -0.031 0.0009 0.155

5 40 0.468 5 25 0.024 0.0005 0.12

6 50 0.528 15 225 0.084 0.007 1.26

7 60 0.574 25 625 0.13 0.017 3.25

8 70 0.635 35 1225 0.191 0.036 6.685

280 3.553 4200 0.1194 22.465

35 0.444

= ( )( )

( ) ( )

=22.465

(4200)(00.1194) = .

= ( )( )

( )

=22.465

4200 = .

=

= 0.444 0.005(35) = .

= + = . + .

La respuesta de un ensayo calorimtrico para la glucosa (GLU), se control con la ayuda de soluciones estndar de glucosa. Determine el coeficiente de correlacin a partir de los siguientes datos, y comente los resultados.

Concentracin de la glucosa, mM 0 2 4 6 8 10

Absorbancia 0.002 0.150 0.294 0.434 0.570 0.704

n X Y ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 0 0.002 -5 25 -0.357 0.127 1.785

2 2 0.150 -3 9 -0.209 0.044 0.627

3 4 0.294 -1 1 -0.065 0.004 0.065

4 6 0.434 1 1 0.075 0.006 0.075

5 8 0.570 3 9 0.211 0.045 0.633

6 10 0.704 5 25 0.345 0.119 1.725

30 2.154 70 0.345 4.91

5 0.359

= ( )( )

( ) ( )

=4.91

(70)(0.345) = .

= ( )( )

( )

=4.91

70 = .

=

= 0.359 0.07(5) = .

= + = . + .

LOGARITMOS

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS ln 1 = 0

ln e = 1

ln = ln + ln ln( ) = ln + ln

ln + xln

ln

= ln ln

ln

= ln ln

Dada la ecuacin:

=

= constante = variable

=

= ln = ln ln = ln + ln

= + = +

EJEMPLO

Dada la siguiente tabla de datos:

Calcular A y r

t R

0 3

2 4

4 11

7 25

Desarrollo del ejercicio

ln = ln + ln ln 3 = ln + 0 ln = 1,099 = 0 ln + ln ln 4 = ln + 2 ln = 1,39 = 2 ln + ln ln 11 = ln + 4 ln = 2,40 = 4 ln + ln ln 25 = ln + 7 ln = 3,22 = 7 ln + ln

, = +

ln = ln + ln 0 = (ln = ln + 0 ln ) 0 = (ln = ln + 0 ln ) 0 = (ln = ln + 0 ln ) 0 = (ln = ln + 0 ln )

ln = ln + ln 0 = (ln = ln + 0 ln ) = 0 2 = (ln = ln + 2 ln ) = 2,78 = 2 ln + 4 ln 4 = (ln = ln + 4 ln ) = 9,6 = 4 ln + 16 ln 7 = (ln = ln + 7 ln ) = 22,54 = 7 ln + 49 ln

34,92 = +

Igualando las dos ecuaciones

8,11 = 13 ln + 4 ln (13) 34,92 = 69 ln + 13 ln (4)

105,43 = 169 ln + 52 ln 139,6 = 276 ln + 52 ln 34,17 = 107 ln

ln =34,17

107=

= 0,32

= 1,38

8,11 = 13 ln + 4 ln 8,11 = 13 0,32 + 4 ln

ln =8,11 4,16

4

= 0,98

= 2,66

= = 2,66 1,38

= ,

Concentracin

ng/ml:

0 5 10 15 20 25 30

Absorbancia: 0.003 0.127 0.251 0.390 0.498 0.625 0.763

Se obtuvieron los siguientes resultados cuando se analizaron una serie de soluciones estndar de plata por espectrometra de absorcin atmica de llama Concentracin ng/ml: Calcular: Absorbancia: 0.308 Calcule las concentraciones si se hizo por cuadriplicado: m1= 0.308, m2= 0.314, m3=0.347, m4= 0.312

(yi-) (yi-)2

1= 0.025(0)+0.005=0.005 (0.003-0.005)=-0.002 (-0.002)2= 4x10-6

2=0.025(5)+0.005=0.13 (0.127-0.13)=-0.803 (-0.803)2= 9x10-6

3=0.025(10)+0.005=0.255 (0.251-0.255)=-0.004 (-0.004)2= 1.6x 10-5

4=0.025(15)+0.005=0.38 (0.390-0.38)=-0.010 (-0.010)2= 1x10-4

5=0.025(20)+0.005=0.505 (0.498-0.505)=-0.007 (-0.007)2= 4.9x10-5

6=0.025(25)+0.005=0.63 (0.625-0.63)=-0.005 (-0.005)2= 2.5x10-5

7=0.025(30)+0.005=0.755 (0.763-0.755)=0.008 (0.008)2= 6.4x10-5

(yi-)2 2.67x10-4

Cuando tengo un solo dato como absorbancia a) Absorbancia= 0.308

= . + . 0.308 = 0.025 + 0.005

=0.308 0.005

0.025

= 12.12

.

= 12.12

.

t= 95% gl= n-2 gl= 7-2 =5 t gl= 2,57

=/

+

+

( )

( )

/

Sxo =0.0073

0.025 1

1+

1

7+

(0.308 0.380)2

(0.025)2 700

1/2

Sxo = 0.292 1 + 0.14 + 0.012 1/2 Sxo = 0.292 1.15 1/2 Sxo = 0.292 1.07

Sxo = 0.31

/ = ( )

/

Sy/x = 2.67x10 4

7 2

1/2

Sy/x = 5.3410 5 Sy/x = 0.0073

= .

.

= 12.12

2.57 (0.31)

= 12.12

0.80 /

Cuando tengo varios valores b) Calcule las concentraciones si se hizo por cuadriplicado: m1= 0.308, m2= 0.314, m3=0.347, m4= 0.312

t95% gl= n-1 gl = 4-1= 3 tgl= 3.18

=

= 12.61 3.180,72

4

= 12.61

1,14

Abs= 0.025x+ 0,005

m1= 0.308 0.308= 0.025x+ 0,005 X= 0.308-

0,005/0.025

12.12

m2= 0.314 0.314= 0.025x+ 0,005 X= 0.314-

0,005/0.025

12.36

m3=0.347 0.347= 0.025x+ 0,005 X= 0.347-

0,005/0.025

13.68

m4= 0.312 0.312= 0.025x+ 0,005 X= 0.312-

0,005/0.025

12.28

M= 12.61

S= 0.72

El contenido de oro en una muestra de agua de mar concentrada se determino por espectrometra de absorcin atmica mediante el mtodo de las adiciones estndar . Los resultados fueron los siguientes :

Oro aadido ng /ml de muestra

concentrada 0 10 20 30 40 50 60 70

Absorbancia 0.257 0.314 0.364 0.413 0.468 0.528 0.574 0.634

TABLA DE CLCULOS

CALCULO DE r

CLCULO DE a

CLCULO DE b

SOLUCION MEDIANTE ECUACIONES

X Y

0 0.257

10 0.314

20 0.364

30 0.413

40 0.468

50 0.528

60 0.574

70 0.635

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Despejamos el valor de a

Reemplazamos este valor en la segunda ecuacin para encontrar b.

Despejamos el valor de b

Obtenemos la ecuacin de la recta

GRAFICAMOS LA RECTA

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 20 40 60 80

AB

SOR

BA

NC

IA

CONCENTRACION

A=0,005C + 0,27

Series1

LIMITE DE DETECCIN Y CUANTIFICACIN

E s un analito como aquella concentracin que proporciona una seal en el instrumento

Es significativamente diferente de la seal de una muestra en blanco o seal

de fondo

Esta descripcin da al analista un buen margen de libertad

para definir la definicin exacta del limite de deteccin

Se basa en una adecuada interpretacin de la frase

SIGNIFICATIVAMENTE DIFERENTE

Otra definicin que se utiliza comnmente para el limite

de deteccin

Es la cantidad de concentracin de analito que proporciona una seal igual a la seal del blanco.

Esto es mas dos veces la desviacin estndar del blanco

Esto seria y-yB=3sB

La probabilidad de concluir que esta muestra no difiere de la del blanco es errneo porque

difiere si quiera en un 50%

n x y Y= ax + b X[(y=ax + b )]

1 0 0.257 0.257=0a + b 0

2 10 0.319 0.319=a10 + b 10(0.319=a10 + b)=3.19=a100 + 10b

3 20 0.364 0.364=a20 + b 20(0.364=a20 + b)=7.28=a400 + 20b

4 30 0.413 0.413=a30 + b 30(0.413=a30 + b)=12.39=a900 + 30b

5 40 0.468 0.468=a40 + b 40(0.468=a40 + b)=18.72=a1600 + 40b

6 50 0.528 0.528=a50 + b 50(0.528=a50 + b)=26.4=a2500 + 50b

7 60 0.574 0.574=a60 + b 60(0.574=a60 + b)=34.3=a3600 + 60b

8 70 0.635 0.635=a70 + b 70(0.635a70 + b)=44.45=a4900 + 70b

3.58=280a +8b 146.83= 1400a +280b

El contenido de oro de una muestra d agua de ro se determina por espectrometra de absorcin atmica. Los resultados son los siguientes:

3.588=290a +8b (280) 146.83=1400a +280b (8)

-1004.64 =-78400a -2240b

1174.64=112000a + 22406

Calculo de a y b

170=33600a a= 0.0054

3.588= 280(0.0054) +8b 3.588 1.512= 8b 2.076/8= 0.25 b= 0.25

Y= ax + b Y= 0.0054x + 0.25

n x y

1 0 0.257

2 10 0.319

3 20 0.364

4 30 0.413

5 40 0.468

6 50 0.528

7 60 0.574

8 70 0.635

GRFICA

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

10 20 30 40 50 60 70

Y=LIMITE DE DETECCIN X= LIMITE DE CUANTIFICACION

El mtodo es aplicable cuando se posee soluciones problemas en las cuales no es

aplicable el uso de soluciones puras o reactivos puros para realizar nuestra curva de

calibracin.

Este mtodo consiste en realizar una curva de calibracin con la

propia muestra problema.

Es decir, se toman volmenes iguales de

solucin problema, y se les aade una

concentracin conocida del analito que se

requiere saber, excepto a una muestra de volumen

de solucin problema.

Y luego de todas estas muestras se obtendrn sus absorbancias y

calcularemos la ecuacin que rige a nuestra curva de calibracin, en

donde encontraremos la concentracin de nuestra muestra cuando la absorbancia sea igual a

cero.

Ejercicio: Se desea conocer la concentracin del in Na en una muestra de la

bebida Gatorage.

Resolucin:

Procedemos a tomar volmenes iguales de la muestra, en este caso de la botella de Gatorade, luego a cada frasco aadiremos una concentracin conocida de sodio puro, excepto al primer frasco.

Aadimos Na puro

0 5 10 15 20 25 30 ppm Na

Gat

ora

de

Luego las colocamos en una mquina que nos presentar la absorbancia de cada muestra realizada. Obteniendo los siguientes datos:

Muestra 1 2 3 4 5 6 7

Co

nce

ntr

aci

n d

e

Na

pu

ro

0 ppm Na

5 ppm Na

10 ppm Na

15 ppm Na

20 ppm Na

25 ppm Na

30 ppm Na

Ab

sorb

anci

a 0,32 0,41 0,52 0,60 0,70 0,77 0,89

A continuacin se realizaran los clculos para obtener la ecuacin de nuestra curva de calibracin como lo hemos hecho anteriormente. As obtendremos:

A= pendiente= 0,018

B=ordenada al origen = 0,322

Por ende nuestra ecuacin es: Donde:

x = concentracin de Na (Sodio) Y = absorbancia

Y= 0,018 x + 0,322

La grfica:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35

Ab

sorb

anci

a

Concentracin de Na en ppm

Ecuacin que rige :Y= 0,018 x + 0,322

m +0

m +5

m +10

m +15

m +20 m +25

m +30

Una vez realizada la grfica podemos realizar una extrapolacin, y saber el corte con el eje x, o podemos reemplazar en la ecuacin que Y=o; por ende obtendremos:

Y= 0,018 x + 0,322 ; cuando y=o X= ?

0= 0,018 x + 0,322

X= - 0,322 0

0,018

X= -17,88 ; punto en X = 17,88 y expresa la concentracin de la muestra de Gatorade cuando se lo expresa en valor absoluto, es decir 17,88.

Pero como sabemos debemos expresar esta concentracin con un intervalo de confianza, es decir:

+ = t de student gl= n-2 ; son los

grados de libertad al 95%

n= al nmero de muestras realizadas, en este caso 7; por

ende gl=7-2=5.

Y sabemos que t de student al 95% de confianza y con 5

grados de libertad es igual a 2,57.

Calculamos

Empezando por

=0,32 + 0,41 + 0,52 + 0,60 + 0,70 + 0,77 + 0,89

7

= ,

Luego

= ( )

2

2

12

=0,2439

7 2

12

= ,

Al final

=

1

+

2

2 ( )2

12

=0,1094

0,0018

1

7+

0,602

0,00182 700

12

= ,

Calculamos el intervalo de confianza

+ =

+ = 17,88 2,57 0,70

As obtenemos la concentracin con un intervalo de confianza

+ = 17,88 1.8 +

Comparacin de Dos Mtodos Analticos

=/

2 1/2

= /

2

2

1/2

Ejercicio:

El nivel de plomo de 10 muestras de jugos de fruta se determin por un nuevo mtodo de anlisis potencimetro de disolucin

(ARP) empleando un electrodo de carbono verificado y los

resultados fueron comparados con los obtenidos mediante la tcnica

de absorcin atmica, se obtuvieron los resultados (ug/ml)

determinar si los mtodos son diferentes o no.

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9MEAA 35 75 75 80 125 205 205 215 350 xMAPR 35 70 80 80 120 200 220 200 330 y

050

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350 400

AP

R

EAA

APR Vs. EAA

APR Vs. EAA

Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9MEAA 35 75 75 80 125 205 205 215 350 xMAPR 35 70 80 80 120 200 220 200 330 y

=/

2 1/2

r= 0,9945 gl= 10-2 t= 2,31 a= 0,963 t*Sa a= 0,963 0,082467 b= 3,87 t*Sb b= 3,87 15,3384

= 0,0357

= /

2

2

1/2

= 6,64

a= 0,963 0,082467 a= 1,045467 a= 0,880533

b= 3,87 15,3384 b= 19,2084 b= -11,4684

Ambos mtodos son iguales por que

tanto a como b le contienen al cero

Teorema de Lmite central Este teorema establece que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribucin (cualquiera que ste sea), la suma de ellas se distribuye segn una distribucin normal.

Conforme se aumenta los datos de la muestra, la

media de la misma tiende a ser la media poblacional

Curva Normal estndar

Propiedades de la Curva Normal

Estndar La media moda y mediana son iguales.

Es una curva simtrica al eje y ( es decir el rea a la derecha es igual al de la izquierda)

Es asinttica para el eje x ( es decir que nunca tocar este eje)

El rea bajo la curva es el 100%

Para esta transformacin de cualquier curva a una normal se requiere la siguiente frmula:

=

EJERCICIOS :

Datos:

= 140 (peso de estudiantes UCE )

= 20

Z =

Z = 150 140

20

Z= 50

REA = 0,6915

REA = 69,15%

TABULADO

Qu porcentaje de chicas tienen un peso a 120 libras?

Datos:

= 140

= 20

Z= 120 140

20

Z= -1,0

REA = 0,1587

REA = 15,87%

80 140 160 180 200 120 100

Qu porcentaje de chicas tienen un peso entre 130 y 170 libras? Datos:

= 140

= 20

1= 170 140

20

1= 1,5

2= 130140

20

2= - 0,5 = 0,9332

= 0,3085

1

, 170 = 93,32%

2

, 130 = 30%

A 130 170 = 93,32 30,85

A 130 170 = 62,47 %

80 100 140 160 180 200 120

Ejercicio

La resistencia de unas varillas obtenidas por determinado proceso tiene una distribucin, con una media x de 24 y un de 3, el cliente necesita que al menos el 95% de las varillas tenga una resistencia de 20

DATOS

:24

:3

x: 20

5 %

A>/95%

Z= X1-

Z= 20-24 3

Z= -1,33

Con este valor procedemos a utilizar la tabla de valores de Z y que sean -1,33 y ese valor nos dar el rea y al multiplicarlo por 100 nos dara el porcentaje de las varillas deseadas que tendrn la resistencia de 20.

A= 0,0968*100= 9,68% A debe ser > 95% 100%-9,68%= 90,32%.Este valor es menor al 95 % por lo tanto el 90,32% de las varillas tendrn una resistencia de 20 y no son las indicaciones que requiere el cliente.

Los pesos individuales de un lote de ampollas sigue una distribucin normal cuya medida es 1.433 g y un 0.033 g el lmite de especificacin son x=1.460.085.

a) Cual es el porcentaje de las ampollas por debajo de la especificacin.

b) Cual es el porcentaje de las ampollas sobre la especificacin.

c) El porcentaje total de las ampollas fuera de especificacin.

d) Que porcentaje cumple la especificacin.


Datos:

=1.433 g

=0.033

lmite= 1.460.085

L.S.E= 1.545

L.I.E= 1.375

1.33 1.36 1.4 1.43 1.46 1.49 1.52

Limite de especificacin


=X1

=1.3751.433

0.033 = -1.76

Tablas: 0.0392= 3.92 %

A1= 3.92%

b. Cual es el porcentaje de las ampollas sobre la especificacin. =

X1

=1.5451.433

0.033 = 3.39

Tablas: 0.9997= 99.97 %

A2= 1-99.91= 0.03%

c.-El porcentaje total de las ampollas fuera de especificacin. A1 + A2= 3.92+0.03= 3.95%

d.- Que porcentaje cumple la especificacin. 100-3.95= 96.05%

LA DISTRIBUCIN BINOMIAL:

Llamamos experiencia aleatoria dicotmica a aquella que slo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de xito, adems representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').

A la funcin de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el nmero de xitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotmica con probabilidad de xito p la llamamos distribucin binomial y la representamos por

B (n, p)

Para esta distribucin se verifica que, la variable X puede tomar los valores:

0, 1, 2, ... , n

y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad

Propiedades

La muestra se compone de un nmero fijo de observaciones n

Cada observacin se clasifica en una de dos categoras, mutuamente excluyentes (los eventos no pueden ocurrir de manera simultnea. Ejemplo: Una persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A estas categoras se las denomina xito y fracaso.

La probabilidad de que una observacin se clasifique como xito, p, es constante de una observacin o otra. De la misma forma, la probabilidad de que una observacin se clasifique como fracaso, 1-p, es constante en todas las observaciones.

La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a n

Caractersticas

Una distribucin binomial o de Bernoulli tiene las siguientes caractersticas:

1. En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados: xito y fracaso.

2.La probabilidad de xito es constante, es decir, que no vara de una prueba a otra. Se representa por p.

3.La probabilidad de fracaso tambin es constante, Se representa por q,

q = 1 p 3.El resultado obtenido en cada prueba es

independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

5.La variable aleatoria binomial, X, expresa el nmero de xitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

La distribucin bimomial se expresa por B(n, p)

ECUACION () =

!

! !

Donde

=Probabilidad de X xitos, dadas

n = Nmero de observaciones

p = Probabilidad de xitos

1-p = Probabilidad de fracasos

X = Nmero de xitos en la muestra ( = 0, 1, 2, 3, 4, )

Ejemplo En una moneda probabilidad que me caiga sello o cara.

n=10; p=0.5; q=1-p=0.5; x=2

() =!

! !

(2) =10!

2! 102 ! 0.52 10.5102

(2)= 0.04 Probabilidad que salga cara del 4%

2) Cul es la probabilidad de que me salgan 5 caras.

X=5

() =!

! !

(5) =10!

5! 105 ! 0.55 10.5105

(5)= 0.21=21%

Probabilidad que me salgan dos caras o menos

(2) 0 + 1 +(2)

10!

! 10 ! 0.5 10.5 +

10!

1! 101 ! 0.51 10.51 +

10!

2! 102 ! 0.52 10.52

= 0.0597= 5.97%

Probabilidad que salgan menos de dos caras

(

3) Probabilidad de que me salgan mas de dos

(2)= 2 + 3 + 4 + 5 +

6 + 7 + 8 + 9 + 10

= 1-(

6) 3x5

3x5 = =3 + =4 + =5

7) 3 < x 5

3

EJERCICIO N1 La produccin de lmparas es continua y tiene una fraccin de no conformes de 0.725.

Un cartn es aceptado si una muestra de 4 no contiene cartones y esta aceptada cual es

la probabilidad de aceptar esas 4 cajas n=4

p= 0.125

x=0

=0 =4!

0! 4 0 ! 0.125 1 0.125 40

=0 =4!

0! 4 0 ! 0.125 0.875 40

=0 = 0.586100% = . %

EJERCICIO N2 La empresa JBC dice en una campaa publicitaria que no ms de cada cliente llama a

reclamar, para comprobar esto se toma una muestra de 20 clientes y resulta que 4 de

ellos haban llamado a reclamar, esto destruye lo enunciado de la empresa JBC s o no

=1

10= 0.1

= 20

= 4

= 1 0.1 = 0.9

=4 =20!

4! 20 4 ! 0.1 4 0.9 204

=4 = 0.09100% = %

EJERCICIO N3 En una fbrica de cmaras de fotos el 5% de productos sale defectuoso, a) determine

la probabilidad de que en una muestra de 10 cmaras se encuentran hasta 2 cmaras

defectuosas, en esa muestra, b) se encuentran 2 cmaras defectuosas, c) se

encuentran ms de 2 cmaras defectuosas, d) se encuentran de 2 a 3 cmaras en la

muestra de 10 = 0.05

= 1 0.05 = 0.95

= 10

a)

2 =10!

0! 10 0 ! 0.05 2 0.95 10

+10!

1! 10 1 !0.05 1 0.95 9

+10!

2! 10 2 !0.05 2 0.95 8

2 = 0.9885100% = . %

b)

=2 =10!

2! 10 2 ! 0.05 2 0.95 10

=2 = 0.0745100% = . %

c)

>2 = 1 2

>2 = 1 0.9885 = 0.0115

>2 = 0.0115100% = . %

d)

23 = 7.4 +10!

3! 10 3 !0.05 5 0.95 7

23 = 0.074 + 0.0115 = 0.0845

23 = 0.0848100% = . %

Un 10% producido en un producto de fabricacin sale de defectuoso. Hallar la probabilidad que en una muestra de 50 se encuentren dos defectuosas

Datos:

p= 10% -> 0.1

n= 50

q= 0.9

Binomial

p(x=2)=

50 l2l 502 l (0.1)

2(0.9)48

p(x=2)=0.078 -> 7.8%

Poisson=x ex

2l

Poisson=0.084 -> 8.4%

Poisson=

(500.1)2 e(500.1)

2l

Poisson=0.084 -> 8.4%

EJERCICIO N 4

En un proceso productivo se produce el 2%, si se a producido 800 productos. Cul es la productividad de encontrar dos productos definitivos?.

Datos:

p= 2% -> 0.02

n= 800

x= 2

= n.p

= 0.02x800= 16

p(x=2)=(np)x e(n.p)

x l

p(x=2)=(16)2 e(16)

2 l =1.4x105

Cul es la productividad de encontrar dos productos definitivos?. p(x2)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)

p(x 2)=(16)2 e(16)

0 l+(16)1

e(16)

1 l+1.4x105

p(x2)=2.88x105+2.88+1.4x105 p(x2)=1x106

x2

p(x> 4)=p(x=5)+p(x=6)+.+p(x=799)+p(x=800) p(x> 4)=1-p(x4) p(x> 4)=1-p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3) +p(x=4)

p(x> 4)=1-0.0004 = 0.9996

x> 4

EJERCICIO N5

Se lanza una moneda 10 veces a la probabilidad de que salga cara 70% cual es la probabilidad de que salgan cuatro caras o menos

Datos:

p= 70% -> 0.7

n= 10

q= 0.3

x4

p(x 6)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)

p(x6)=10 l

0l 100 (0.7)0(0.3)10+

10 l1l 101 l (0.7)

1(0.3)9+

10 l

2l 102 l(0.7)2(0.3)8+

10 l

3l 103 l(0.7)3(0.3)7+

10 l

4l 104 l(0.7)4(0.3)6+

10 l

5l 105 l(0.7)5(0.3)5

p(x6 )=1p (x5)

p (x6 )=10,9527

p (x6)=0.0473

EJERCICIO N6

Distribucin de Poisson

n>50

p

DISTRIBUCION DE POISSON

=

!

0

< 10%

Medio h

=

Normal

M 0

G 40% 60%

=

En un proceso productivo se produce el 2% si

se produce 200 productos cual es la

probabilidad de encontrar 2 productos

defectuosos

a)

= 2% = 0.02

= 800

= 2

=

= 8000.02

= 2 =8000.02 2 8000.02

2!

= 2 = .

Ejercicio N1

b) Cul es la probabilidad de encontrar hasta 2

productos defectuosos

2 =8000.02 2 8000.02

0!

+8000.02 2 8000.02

1!

+8000.02 2 8000.02

2!

2 = .

c)

> 4 = 1 4

> 4 = 1

0.000001

+8000.02 3 8000.02

3!

+8000.02 4 8000.02

4!

> 4 = 1 0.0004

> 4 = .

EJECICIO N2 - El 10% de producto producido en un proceso de fabricacin sale defectuoso, hallar la probabilidad que en una muestra de 50 se encuentren 2 defectuosos. a) Realizar por el mtodo de distribucin binomial b) Realizar por el mtodo de poisson p= 10% 0,1 n = 50 x= 2n Binomial Poisson

P(x=2)

EJERCICIO N3 - Cada hora se producen 2.5 teclados defectuosos de

promedio, determine la probabilidad que en la siguiente hora se produzcan mas de 4 teclados defectuosos.

EJERCICIO N4 - En un proceso se producen 5% de producto defectuoso y se toma

una muestra de 200.

a) Cual es la probabilidad de encontrar tres productos defectuosos

b) Cual es la probabilidad de encontrar hasta tres productos defectuosos

c) Cual es la probabilidad de encontrar mas de tres producto defectuosos

d) Cual es la probabilidad de encontrar cuatro o ms productos defectuosos.

e) Cual es la probabilidad de encontrar

f) Cual es la probabilidad de encontrar

g) Cual es la probabilidad de encontrar

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

P= 5

n= 205 =n x p

Probabilidad de encontrar 3 productos defectuosos:

P (x=3) = P(x 3) P(x 2) = 0.00865 0.0073 = 0.0064 = 0. 64%

Con Formula:

= 0.0063 = 0.63%

Con Tabla:

EJERCICIO N5

INTRODUCCIN A PLANES DE MUESTREO

Poison

Binomial

La distribucin binomial se aplica cuando n es pequea La distribucin de Poisson se aplica cuando n es mayor al 50% y menor al 10%

Riesgo para el proveedor (): Siempre quiere que se acepte ms del 95% del producto o que se rechace solo el 5% del producto defectuoso.

Riesgo para el cliente (): Acepta hasta un 10% del producto defectuoso.

Proveedor Cliente

A B C

P (Fraccin de

defectuoso)

3% 7% 10% 8%

Precio Unidad

$ 1.10 $1.00 $0.90 ____

5% 5% 5% ____

_____ ______ ______ 10%

Ejercicio N1

Poisson:

=n x p

X= 0

X= 1

X= 9

X= 0

X= 1

X= 9

Con X= 9 el cliente y el proveedor estn de acuerdo.

Cliente: = 10% 0.1

Proveedor: = 0.05 P (acepta)

= 0.95

CHI CUADRADO X2

2 = = 1

1 = 32

12 + 2

2

2 ~ 22

3 = 12 + 2

2 + 32 = ~ 3

2

Grados de libertad totales

PROPIEDADES DE CHI CUADRADO

APLICACIONES:

1) Es sesgada hacia la derecha

2) Conforme aumenta los grados de libertad tiende a ser una curva normal

1) Composicin de dos variables cualitativas

2) S2 ------ 2 Estimar al varianza poblacional a partir de la varianza de una muestra

S2 ------

tratamientos peor igual Mejor

Tratamiento 1 7 28 115 150




37 118 405 560

Se tiene 2 hiptesis: 1.- Ho: variable es independiente de la variable tratamiento 2.- Hi: variable efecto si depende del tratamiento X experimental > X tabulada Cuando pasa esto se rechaza la hiptesis nula

EJERCICIO N1

F1.1=150 37

560= 9.91

F1.2=150 11.8

560= 31.6

F1.3=150 405

560= 108.41

F2.1=120 37

560= 9.93

F2.2=120 11.8

560= 25.23

F2.3=120 405

560= 86.78

F3.1=130 37

560= 8.59

F3.1=130 11.8

560= 27.39

F3.3=130 405

560= 94.02

F4.1=160 37

560= 10.57

F4.2=160 11.8

560= 33.71

F4.3=160 405

560= 115.21

X2 experimental =( )

= 13.87

Fo: frecuencia observada Fe: frecuencia esperada

gl= ( 1)( 1)

gl= (4 1)(3 1)

gl= 3 2 = 6

Y

X

= 0.05

Un distribuidor regional de sistemas de aire acondicionado ha subdividido la regin en cuatro regiones, a un posible comprador de la distribuidora se le dice que las instalaciones del equipo tiene una distribucin aproximadamente igual en los cuatro territorios. El posible comprador toma los archivos de la compaa y toma una muestra de 40 instalaciones, realizadas en el ultimo ao y determina que el nmero de instalaciones en los cuatro territorios se indican en la tabla como frecuencia observada y tambin se ha determinado las frecuencias esperadas que se indican en la tabla:

EJERCICIO N2

Tipo de frecuencia Territorio Total

# instalaciones en la muestra (fo)

6 12 14 8 40

# Esperado de instalaciones (fe)

10 10 10 10 40

H0: Las reparaciones no dependen del territorio.

H1: Las reparaciones dependen del territorio

Resolucin

2 =

()2

2 =

(610)2

10+

(1210)2

10+

(1410)2

10+

(810)2

10

2 = 4

2 = 54,57

2 <

2

por lo tanto se acepta H0 en donde se afirma que las reparaciones no dependen del territorio.

EJERCICIO N3

Una compaa embotelladora de gaseosas quiere hacer una diferencia acerca de la variabilidad de llenado de las botellas. La compaa tiene maquinas que llenan botellas de 1 litro, se necesita calcular la desviacin estndar en la cantidad de gaseosa, la

cantidad es importante pero una cantidad media concreta no garantiza que la maquina

funcione bien, si la varianza es muy grande se derrama el lquido, y si la varianza es

muy pequea no se llena la botella.

Se quiere que la varianza no sobrepase 0,0004 y para verificar se toma una muestra de

28 botellas y se determina la varianza que es de 0,0007.

Grfica

EJERCICIO N4: Un fabricante afirma que un qumico fotogrfico tiene una vida en anaquel que sigue

una distribucin normal en torno a una media de 180 das con una desviacin estndar

de no ms de 10 das, un usuario de este qumico est preocupado que la desviacin

estndar puede ser ms de 12 das. Tome una muestra de 12 das y calcule la

desviacin estndar. Trabajar al 95 % y determinar si la desviacin estndar es igual o

diferente.

Grfica

Ciclo medio de un foco de 4000 horas con desviacin estndar 200 horas se supone que los ciclos siguen una distribucin normal supongamos que se establecido que la desviacin estndar no es mayor a 150 horas se tomo una muestra de 10 focos cuya desviacin estndar es de 200 horas

Datos: =150h =

m=10 S=20

Ho:

150

=3.3251

Ho: acepto Hi: rechazo

Hi:

EJERCICIO N5

Estadisitca Farmacia Clinicos

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