La Moda (Md):

Llamado también Modo, esta definido como la realización mas frecuente del conjunto de valores observables. La moda puede no existir para un conjunto de datos en algunos casos puede haber mas de una moda.

Además se tiene:UNIMODAL: Si la distribución de datos tiene una sola Moda.BIMODAL: Si la distribución de datos tiene dos Modas.MULTIMODAL ó POLIMODAL: Si la distribución de datostiene dos ó más Modas.

Hay dos tipos de Moda:

Moda absoluta: o para datos aislados o sin tabulación. Es el valor de la variable que se da con mayor frecuencia.Moda relativa: es un valor de la variable que representa un intervalo de clase.

Ejemplo # 01

Encontrar la moda de la serie siguiente:5,4,3,0,8,3,1

Ordenando la serie: 0, 1,3,3,4,5,8El numero que se repite mayor de veces es 3 entonces:

Md = 3

Ejemplo # 02

La siguiente distribución corresponde a los pesos de 15 adultos:

63; 67; 70; 69; 81; 57; 63; 73; 68; 63; 71; 71; 71; 83.Ordenamos la serie:

57; 63; 63; 63; 67; 68; 69; 70; 71; 71; 71;73; 81; 83.

El valor 63 y 71 ocurren 3 veces, y el resto ocurre una vez cada uno. Luego la Moda de estas observaciones es:Md1= 63 kilos y Md2 = 72 kilos

En este caso la distribución se la llama:

BIMODAL

PROPIEDADES DE LA MODA

El valor de la Moda es totalmente independiente de los valores extremos.

La Moda es una medida inestable porque varía si se cambia el intervalo de clase.

Es el valor típico, y por ello el promedio más descriptivo.

La Moda no se presta a manipulaciones algebraicas posteriores.

Ejemplo

Los siguientes datos representan el número de desaprobados por salón en una Institución Educativa:

Hallar la Moda: Solución:

10 11 13 15 18

1 4 2 1 2

Dado que 11 se representa 4 veces (frecuencia más alta).

Entonces la Moda es: Md = 11Este conjunto de datos es :

UNIMODAL

18; 13; 15; 18; 11; 11; 13; 11; 10; 11.

Los siguientes datos representan las edades de 11 cachimbos de la UAP, Carrera Profesional de Contabilidad:

16; 18; 19; 17; 20; 19; 18; 19; 18; 18; 19.

Hallar la Moda:Solución

Agrupando los datos, tenemos:16 17 18 19 20

1 1 4 4 1

Dado que los valores 18 y 19 poseen frecuencias iguales a cuatro (4), tenemos:

En este caso la distribución es: BIMODAL

Ejemplo

Md1 = 18 y Md2 = 19

c

Donde:: Limite inferior del intervalo modal.

: Frecuencia absoluta simple que pertenece al intervalo modal.

: Frecuencia absoluta simple anterior o inferior al intervalo modal.: Frecuencia absoluta simple posterior o

superior al intervalo modal.C : Amplitud intervalica.

Moda relativa: Para datos tabulados. Es un valor de la variable que representan un intervalo de clase. Además tenemos una formula general:

El intervalo modal se determina observando la columna de la Frecuencia Absoluta Simple dentro del cuadro (número mayor).

EjemplosLos siguientes datos corresponden a las tallas (m) de los 46 estudiantes de la Escuela Profesional de Estomatología Filial Juliaca 2 012. 1.62 1.48 1.53 1.48 1.57

1.57 1.55 1.66 1.54 1.711.58 1.70 1.52 1.70 1.691.40 1.48 1.64 1.47 1.651.59 1.61 1.54 1.53 1.641.48 1.53 1.52 1.60 1.631.52 1.57 1.50 1.45 1.561.67 1.67 1.61 1.59 1.611.54 1.74 1.48 1.60 1.601.56

if

1if

1if

Tallas fi

45.139.1 1

51.145.1 8

57.151.1 12

63.157.1 13

69.163.1 7

75.169.1 5

TOTAL 46

cff

fLMd

ii

ii

11

1

Interpretación: El mayor número de tallas de los 46 estudiantes de la Escuela Profesional de Estomatología Filial Juliaca 2 012.

Determinamos el intervalo de la moda:

06.0712

757.1

Md

592105263.1Md

a) Hallar: La ModaSolución

Por la Regla de CZUBER.

La Mediana (Me):

Es una medida de tendencia central, es un valor de la variable que divide a la muestra en dos partes iguales, siempre y cuando los datos estén ordenados ascendente o descendentemente. Cuando las observaciones no están agrupadas en forma de una tabla de distribución de frecuencias, basta ordenar los valores en forma decreciente o en forma creciente. El lugar donde se encuentra la mediana es igual a:

Me=

Ejemplos

Sea: x: 3; 5; 1; 0; 7; 4; 9; 10Luego ordenado en forma creciente:

0; 1; 3; 4; 5; 7; 9; 10n = 8

lugar donde se encuentra la mediana :

Me==

Entonces lugar donde se encuentra la mediana está entre el cuarto y quinto lugar:

Me=

MEDIANA PARA LA VARIABLE DISCRETAEn este caso bastará con identificar la frecuencia acumulada que es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones. La mediana será el valor de la variable que corresponde a dicha frecuencia acumulada.

Ejemplo:Los siguientes datos los el numero de hijos por persona:

# de hijos

1 15 15

2 10 20

3 12 37

4 13 50

5 25 75

6 15 90

7 10 100

TOTAL 100

Ubicamos el lugar donde se encuentra la mediana reemplazando en la fórmula.

como coincide está:

La menor frecuencia acumulada que supera este valor es 75 que corresponde al valor 5, entonces la mediana es 5.

=

𝑛2

𝑭 𝟒<𝑛2

<𝑭 𝟓

Ejemplo:

Hallar la nota mediana en el curso de estadística.

=

nota

9 2 2

10 6 8

11 10 18

12 7 25

13 8 31

14 4 35

TOTAL 35

como coincide con 𝑛2

n : Número de datos de la muestra.

iL : Límite inferior de la clase mediana.

ic : Amplitud del intervalo de la clase mediana.

medianaf : Frecuencia absoluta simple de la clase mediana.

1iF : Suma de todas las frecuencias absolutas acumuladas anteriores a la clase mediana.

MEDIANA PARA LA VARIABLE CONTINUA

Corresponde a los datos tabulados o agrupados, se trabaja con la siguiente expresión:

Donde:: Numero de datos de la muestra.: Limite inferior de la clase mediana.

: Amplitud del intervalo de la clase mediana.

: Frecuencia absoluta simple de la clase mediana.

: Suma de todas las frecuencias absolutas acumuladas anteriores a la clase

mediana.

Ejemplos:

Los siguientes datos corresponden a las tallas (m) de los 46 estudiantes de la Escuela Profesional de Estomatología ”Filial – Juliaca 2 011.

1.62 1.48 1.53 1.48 1.571.57 1.55 1.66 1.54 1.711.58 1.70 1.52 1.70 1.691.40 1.48 1.64 1.47 1.651.59 1.61 1.54 1.53 1.641.48 1.53 1.52 1.60 1.631.52 1.57 1.50 1.45 1.561.67 1.67 1.61 1.59 1.611.54 1.74 1.48 1.60 1.601.56

a) Hallar: La mediana.

Solución

if iF 1iF

Tallas Xi fi Fi hi Hi

45.139.1 1.42 1 1 0.022 0.022

51.145.1 1.48 8 9 0.174 0.196

57.151.1 1.54 12 21 0.260 0.456

63.157.1 1.60 13 34 0.283 0.739

69.163.1 1.66 7 41 0.152 0.891

75.169.1 1.62 5 46 0.109 1.000

TOTAL 46 1.000

Determinamos el intervalo de la mediana:

5.232

146

2

1

n

Me

5.23Me

5.23 Pertenece al intervalo 63.157.1

cf

Fn

LMei

i

i

12

1

06.012

92

146

51.1

Me

5825.1Me

Interpretación: El 50 % de tallas de los 46 estudiantes” de la Escuela Profesional de Estomatología ”Filial – Juliaca 2 011, es mayor que 1.5825 m. y el 50 % de tallas de los estudiantes es mayor o superior a 1.5825 m.

RELACIÓN DE LAS TRES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODAPara las curvas de frecuencias unimodales que sean moderadamente sesgadas (asimétricas), se tiene la relación empírica

Para curvas simétricas, la Media, Moda y Mediana coinciden