ESTADÍGRAFOS DE POSICIÓN

Pedro Godoy G.Colegio Ingles Saint John

Media Aritmética

Valor representativo de un conjunto de datos

Para datos no agrupados

Sean x1, x2 , x3 , x4,…………………………, xn un conjunto de datos no agrupados

n

xx

n

i 1

Donde n es la cantidad de elementos de lamuestra

Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”).

NOTA: en las poblaciones se denominan parámetros y en las muestras se les denomina estimadores.

Propiedades

La interpretación de la media como centro (o punto de equilibrio) de los datos se apoya en una propiedad que afirma que la suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones a su media es igual a cero; es decir, puede probarse que

Ejemplo

Notas x - M5,0 0,24,5 -0,33,7 -1,13,5 -1,37,0 2,22,7 -2,14,7 -0,16,8 2,05,7 0,9

media 4,8 0,0

Propiedad 2

Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor fijo entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión

Si los valores x de un conjunto de datos aumenta o disminuye en un valor variable entonces su media aritmética cambia en la misma dimensión

M(a x)=a M(x)

axMaxM )()(

Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.

Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:

Notas Frecuenciaabsoluta

Notas xF. absoluta

3 5 155 8 40

6 10 60

7 2 14Total 25 129

1,525

129 Media

Datos por frecuencias

Total de datos

1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y se suman.2º. El resultado se divide por el total de datos.

Media aritmética en datos agrupados

psu

En el siguiente gráfico, la media aritmética de la muestra es:

x edad

fr

1 2 3 4 5 6

14

12

10

8

6

4

2

16

A.4,075B.4,100C.4,125D.4,150E.4,175

Mediana

La mediana, a diferencia de la media no busca el valor central del recorrido de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide la cantidad de observaciones en dos mitades iguales.

Por lo tanto es necesario atender a la ordenación de los datos, y debido a ello, este cálculo depende de la posición relativa de los valores obtenidos. Es necesario, antes que nada, ordenar los datos de menor a mayor (o viceversa).

La mediana de un conjunto de datos es un valor que supera al 50% de la muestra y al mismo tiempo es superado por el otro 50 % de la muestra

Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un equipo de fútbol son:

Ejemplo:72, 65, 71, 56, 59, 63, 72

1º. Ordenamos los datos:

56, 59, 63, 65, 71, 72, 72

2º. El dato que queda en el centro es 65.

La mediana vale 65.

Si el número de datos fuese par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales.

Para el conjunto 56, 57, 59, 63, 65, 71, 72, 72, la mediana es: 642

6563

Caso:

La mediana

Mediana para datos agrupados

Intervalo

fi Fac

20- 24 28 2825 - 29 33 6130-34 36 9735-39 45 142

40 – 44 35 17745 – 49 25 20250 – 54 10 21255 – 59 36 24860 – 64 8 256

total 256

1° paso : Obtener la frecuencia acumulada2° paso : buscar la frec acumulada mas pequeña que supere a la mitad de la muestra 3° paso : Obtener el intervalo mediano

Fórmula

i

ac

i f

Fn

IyMe1

12

intervalo al ientecorrespond absoluta frec f

anterior acumulada F

muestra la de tamañon

intervalo del amplitud I

mediano intervalo delinferior

i

1-ac

1

frecuencia

extremoyi

Psu

Años de estudio

1 5 52 8 133 9 224 11 335 8 416 3 44

Datos Frec Fac

¿Cuál es la mediana?

Moda

La moda, es aquel dato, aquel valor de la variable que más se repite; es decir, aquel valor de la variable (que puede no ser un único valor) con una frecuencia mayor.

La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.

Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos que se reflejan en la tabla:

Ejemplo.

La moda es 41.

Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45

Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7

El número de zapato más vendido, el dato con mayor frecuencia absoluta, es el 41.

Lo compran 35 personas

CÁLCULO DE LA MODA Si todas las puntuaciones de una distribución tienen la

misma frecuencia consideraríamos que no existe moda. Cuando en las puntuaciones de una distribución vemos que

dos de ellas son adyacentes, tienen la misma frecuencia, y además es mayor que el resto de las frecuencias de las demás puntuaciones, consideramos que la moda es el promedio de estas dos puntuaciones. Ejemplo: 1, 1, 4, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9, 10

En este caso la moda sería la media entre 6 y 7. Mo = 6,5 En el caso de encontrarnos con dos puntuaciones que sin

ser adyacentes tienen la misma frecuencia y además es mayor que la de otra puntuación cualquiera, entonces nos encontramos con una distribución bimodal. Ejemplo: 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7

Mo = 3Mo = 6

CÁLCULO DE LA MODA Si los datos están agrupados, entonces la moda

es el punto medio del intervalo que registra la mayor frecuencia, a lo que llamamos intervalo modal. Con datos agrupados se aplica la siguiente fórmula:

21

1

dd

dILM io

d1: diferencia entre las frecuencias

del intervalo modal y el intervalo

anterior.

d2: diferencia entre las frecuencias

del intervalo modal y el inmediato

superior.

Li: es el límite inferior real del

intervalo modal.

I: amplitud del intervalo.

CÁLCULO DE LA MODA La siguiente tabla presenta la frecuencia de

edades de una muestra agrupada por intervalos. Calculemos la moda de las edades.

Edades

fi

16 - 21 8

22 – 27 12

28 – 33 18

34 – 39 17

40 – 45 17

46 – 51 12

52 – 57 8

58 – 63 9

64 – 69 3

a) Primero se debe calcular el punto medio del intervalo modal. En este caso el intervalo modal es el 28 – 33 y su punto medio es 30,5.

b) Calculamos ahora las diferencias de las frecuencias del intervalo modal con el intervalo anterior y posterior:d1 = 18 – 12 = 6d2 = 18 – 17 = 1

c) Ahora aplicamos la fórmula:

21

1

dd

dILM io

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de 4° medio es el siguiente:¿Cuál es la moda?

Medidas de Posición: Cuartiles Si un conjunto de datos se ordena de acuerdo

con su magnitud, el valor central que divide al conjunto en dos partes iguales es la mediana.

Extendiendo esta idea, es posible considerar los valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales.

Estos valores, denotados por Q1, Q2 y Q3, se denominan como primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente, donde Q2 es la mediana.

Medidas de Posición: Cuartiles Dada la definición, Q1 deja el 25% de los

datos debajo de él y 75% por encima, Q2 el 50% por abajo y por encima de él y Q3 deja el 75% de los datos debajo de él y el 25% arriba.

Medidas de Posición: CuartilesCálculo de cuartiles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica

la siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los cuartiles:

Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima

A continuación se le asigna a los cuartiles el valor de los datos correspondientes.

nesobservacio de Número

3 , 2 1, cuartil deOrden 4

N

kk

kNQk

Medidas de Posición: Cuartiles Ejemplo: Calcular los 3 cuartiles de: 1, 6, 79, 104, 224, 247, 253, 282, 418, 446,

578, 621, 704, 751, 796, 844, 930 Primero se deben contar: N=17 Luego se calculan los cuartiles:

1642

224104

25.44

17*1

5

1

X

Q

Medidas de Posición: Cuartiles

5,7272

751704

75.124

17*3

418

5.84

17*2

13

3

9

2

X

Q

X

Q

Medidas de Posición: Cuartiles La fórmula para calcular los cuartiles en

datos agrupados es:

nesobservacio de Número N

intervalos los de Amplitud

cuartil el contiene que intervalo del Frecuencia

cuartil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia

cuartil el contiene que intervalo delinferior Límite

1,2,3 cuartil delOrden

4

)1(

)1(

A

f

fa

LI

kk

Af

fakN

LIQ

i

i

i

i

k

Medidas de Posición: Cuartiles

LI Marca fi fac

0 - 850 425 785 785

850 - 1700 1275 234 1019

1700 - 2550 2125 300 1319

2550 - 3400 2975 629 1948

3400 - 4250 3825 876 2824

2824

Medidas de Posición: Cuartiles Los resultados son:

Q1 764.46

Q2 2675.68

Q3 3564.95

Medidas de Posición: Quintiles Al igual que con los cuartiles, los

quintiles son los datos que dividen la muestra en cinco partes iguales, agrupándolas en los porcentajes 20, 40, 60 y 80.

Se denominan Q1, Q2, Q3 y Q4.

Medidas de Posición: QuintilesCálculo de quintiles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la

siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los quintiles:

Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima

A continuación se le asigna a los quintiles el valor de los datos correspondientes.

nesobservacio de Número

4 3, , 2 1, quintil deOrden 5

N

kk

kNQk

Medidas de Posición: Quintiles Nótese que: Quintil 1=1/5=0,2 Quintil 2=2/5=0,4 Quintil 3=3/5=0,6 Quintil 4=4/5=0,8 Por lo que para obtener la observación

de cada quintil, hay que multiplicar N por el tanto por uno que corresponda.

Medidas de Posición: Quintiles Dados los siguientes datos, calcular

Quintil 1, Quintil 2, Quintil 3 y Quintil 4. 39, 90, 99, 107, 155, 186, 234, 262, 275,

310, 336, 368, 395, 405, 424, 479, 496, 541, 546, 571, 673, 713, 716, 738, 753, 784, 793, 816, 840, 969, 976, 986, 998

Medidas de Posición: Quintiles En este caso, debemos multiplicar 33

por 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8. El resultado que obtenemos es:

Quintil 1: 6.6 → X7

Quintil 2: 13.2 → X14

Quintil 3: 19.8 → X20

Quintil 4: 26.4 → X27

Medidas de Posición: Quintiles Y esos valores son

Quintil 1: 234

Quintil 2: 405

Quintil 3: 571

Quintil 4: 793

Medidas de Posición: Quintiles La fórmula para calcular los quintiles en

datos agrupados es:

nesobservacio de Número N

intervalos los de Amplitud

quintil el contiene que intervalo del Frecuencia

quintil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia

quintil el contiene que intervalo delinferior Límite

4 3, 2, 1, quintil delOrden

5

)1(

)1(

A

f

fa

LI

kk

Af

fakN

LIQ

i

i

i

i

k

Medidas de Posición: Quintiles

LI LS Marca fi fa

0 970 485 444 444

970 1940 1455 4505 4949

1940 2910 2425 9850 14799

2910 3880 3395 7691 22490

3880 4850 4365 1088 23578N =23578

Medidas de Posición: Quintiles El resultado es:

Quintil 1: 1889.75

Quintil 2: 2381.39

Quintil 3: 2845.77

Quintil 4: 3422.48

Medidas de Posición: Deciles Al igual que en los casos anteriores, los

valores que dividen los datos en 10 partes iguales son llamados decíles, los cuales se denotan por D1, D2, …, D9.

En donde cada decil representa al 10%, 20%, …, 90% de los datos, respectivamente.

Medidas de Posición: DecilesCálculo de deciles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la

siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los deciles:

Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima

A continuación se le asigna a los deciles el valor de los datos correspondientes.

nesobservacio de Número

9 ..., 3, , 2 1, decil deOrden 10

N

kk

kNDk

Medidas de Posición: Deciles Al igual que en ,os casos anteriores, se

puede deducir que los factores por los que se debe multiplicar N son:

D1 =1/10=0,1 D2 =2/10 0,2 D3 =3/10=0,3 D4 =4/10=0,4 D5 =5/10=0,5 … D9 =9/10=0,9

Medidas de Posición: Deciles La fórmula para calcular los deciles en

datos agrupados es:

nesobservacio de Número N

intervalos los de Amplitud

decil el contiene que intervalo del Frecuencia

decil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia

decil el contiene que intervalo delinferior Límite

9 ..., 2, 1, decil delOrden

10

)1(

)1(

A

f

fa

LI

kk

Af

fakN

LID

i

i

i

i

k

Medidas de Posición: Percentiles Como en los casos anteriores, los valores

que dividen los datos en 100 partes iguales se conocen como percentiles y se indican como P1, P2, …, P99.

Representando cada uno de ellos al 1%, el 2% y el 99% de los datos, respectivamente.

Medidas de Posición: PercentilesCálculo de deciles en datos no agrupados: Primero de ordena los datos, luego se aplica la

siguiente fórmula para encontrar los datos que corresponden a los percentiles:

Cuando no se obtiene números enteros, el resultado se aproxima

A continuación se le asigna a los percentiles el valor de los datos correspondientes.

nesobservacio de Número

99 ..., 3, , 2 1, percentil deOrden 100

N

kk

kNPk

Medidas de Posición: Percentiles La fórmula para calcular los percentiles en

datos agrupados es:

nesobservacio de Número N

intervalos los de Amplitud

percentil el contiene que intervalo del Frecuencia

percentil el contiene que al intervalo el hasta acumulada Frecuencia

percentil el contiene que intervalo delinferior Límite

99 ..., 2, 1, percentil delOrden

100

)1(

)1(

A

f

fa

LI

kk

Af

fakN

LIP

i

i

i

i

k

Ejercicios

Para los mismos datos no agrupados, calcular el decil 6 y el percentil 27.

39, 90, 99, 107, 155, 186, 234, 262, 275, 310, 336, 368, 395, 405, 424, 479, 496, 541, 546, 571, 673, 713, 716, 738, 753, 784, 793, 816, 840, 969, 976, 986, 998

Nótese que N=33, por lo tanto Decil 6→0,6*33 = 19,8 ~ 20 Decil 6 = 571 Percentil 27→0,27*33 = 8,91 ~ 9 Percentil 27 = 275

Ejercicio

LI LS Marca fi fa

0 970 485 444 444

970 1940 1455 4505 4949

1940 2910 2425 9850 14799

2910 3880 3395 7691 22490

3880 4850 4365 1088 23578

N =23578

Ejercicio

Decil 6:

Percentil 27:

Percentil 12

77.28459850

49496.0*23578*97019406

D

55.20799850

494927.0*23578*970194027 Percentil

61.14834505

44412.0*23578*97097012 Percentil