Estadigrafos de Concentracion

INSTITUTO COMERCIAL SUPERIOR DE LA NACION“TTE. ARMANDO DE PALACIOS”

I.N.C.O.S.Carrera ANALISTA DE SISTEMAS

ESTADÍGRAFOS DE CONCENTRACION

Preparado : Mendoza Mamani Julio CésarRamos Colque Ariel

Docente : Lic. Hernán Chávez

Fecha : Noviembre de 2012

La Paz – Bolivia

--- ESTADÍGRAFOS DE CONCENTRACIÓN ---

CONCEPTO.

Las medidas o índices de concentración tienen como objetivo fundamental cuantificar el grado de desigualdad en el reparto o distribución de una magnitud económica (rentas, negocio, beneficios, etc.), entre un número determinado de “unidades” (individuos, familias, empresas, etc.).

La forma de la distribución de una magnitud, representada por una variable estadística, ya se ha estudiado a través de diversas medidas de posición, dispersión, asimetría y apuntamiento. Lo que ahora nos interesa es la mayor o menor equidad en el reparto de la suma total observada de una magnitud entre los integrantes del conjunto perceptor de dicha suma. Para ello, deberemos recoger de cada elemento perteneciente al conjunto perceptor, la información de la cuantía individual recibida en el reparto. La dificultad reside en que, en muchas ocasiones, esa información viene agrupada en clases y, por tanto, el estudio de la concentración no se podrá hacer con la precisión debida.

Es evidente que las dos situaciones extremas que podemos considerar, respecto a la equidad en el reparto, son:

- Mínima concentración o máxima igualdad: cuando a todos los integrantes del conjunto perceptor se les asigna la misma cantidad en el reparto del monto total.

- Máxima concentración o mínima igualdad: cuando un único perceptor recibe la suma total a repartir y los demás no perciben nada.

Estas dos situaciones deberán estar claramente identificadas por las medidas de concentración que se definan y que, asimismo, deberán graduar las situaciones intermedias, entre las que se encontrará la mayoría de los casos estudiados en la práctica.

Para resumir la información de un conjunto de datos, la Estadística Descriptiva proporciona una serie de medidas que se clasifican de acuerdo con el tipo de características que se quieran poner en evidencia. Así, hablamos de medidas de posición, dispersión, forma y, por último, de medidas de concentración.

ESTADÍGRAFOS DE CONCENTRACIÓN Página 1

Mientras que las primeras se pueden aplicar a cualquier variable estadística, estas últimas, que desarrollaremos en el presente tema, sólo pueden ser aplicadas a las variables que toman valores positivos. La condición anterior es necesaria desde el punto de vista formal, pero insuficiente en cuanto a su significado.

Las medidas de concentración han de aplicarse a variables en las que tenga sentido plantearse la consideración del grado de reparto entre cada uno de los individuos de la suma total de los valores de la variable (como siempre en Estadística, entenderemos la palabra individuo de forma genérica, es decir, las unidades de las cuales se observa una cierta característica).

Las medidas de concentración son medidas de reparto del total de la variable. Trataremos de estudiar si el reparto es más o menos equitativo (el total se reparte de forma más o menos igualitaria entre los individuos) o desigual (unos pocos individuos concentran en sí gran parte del total).

De lo anterior ya podemos deducir qué variables serán aquellas susceptibles de ser medidas desde el punto de vista de la concentración: rentas de personas, regiones o países, ingresos y gastos familiares, ventas de las empresas de un sector económico, propiedades agrícolas, población provincial o regional, etc.

Situemos el problema en su génesis histórica. Desde sus orígenes, la Economía ha tratado de explicar el porqué de las desigualdades entre las distintas naciones o entre los individuos de una de ellas. En este afán una de las primeras tareas ha consistido en la medición de esa desigualdad manifiesta. Los enfoques han sido y son múltiples. El que aquí vamos a ver y que se conoce en toda la literatura estadística con el nombre de medidas de concentración, recoge técnicas de medición del reparto de la renta (y por extensión de otro tipo de variables) que tienen su origen en la curva de Lorenz. En 1905, el estadístico americano Max Lorenz propone un método gráfico para medir el grado de concentración (o de distribución) del total de la renta de un país entre sus ciudadanos.

La idea es muy simple: para un cierto nivel de renta, se compara el porcentaje de individuos con rentas iguales o inferiores a la dada y el porcentaje de renta que dichos individuos detentan. Realizada esta comparación para distintos niveles de renta, si los pares de porcentajes obtenidos son parecidos, la renta estará distribuida más o menos equitativamente; si, por el contrario, estos pares de porcentajes difieren sustancialmente, la renta presenta una distribución poco igualitaria, concentrándose en manos de unos pocos.

Acudiendo al símil vulgar, pero siempre esclarecedor, de la tarta, las medidas de concentración calibran el buen o mal reparto del pastel.


MEDIALA

La mediala es una medida estadística de dispersión que nos define la observación a partir de la cual divide lo observado en dos partes iguales.

La Mediala (Md o Ml) se usa principalmente para variables continuas agrupadas en intervalos. La Mediala viene definida a partir de los cálculos necesarios para la Curva de Lorenz, de manera que es el valor de la variable para el cual Qi es igual a 0,5 siendo:

Si al calcular los valores de Qi tenemos uno exactamente igual a 0,5, la Mediala será el extremo superior del intervalo. En caso contrario, para un intervalo (i, I] se debe sacar el dato por extrapolación lineal mediante la fórmula

Con lo que:

PROPIEDADES DE LA MEDIALA

La Mediala siempre es mayor o igual que la Mediana.

En caso de que una distribución esté completamente equidistribuida, la Mediala y la Mediana serán iguales.

EJEMPLOS

Ejemplo explicativo:

Si estamos realizando una encuesta sobre los salarios de una empresa, la MEDIALA será aquel valor que si sumamos todos los sueldos de los empleados que cobran por debajo de la MEDIALA supondrá la mitad de los que la empresa se gasta en salarios.

Ejemplo numérico:


La empresa Salaitos y Cojines S.A. siempre ha presumido de tener una política de sueldos a favor de los empleados, sin que sus directivos cobren grandes sueldos. Una compañía que mide la felicidad de los trabajadores ha decidido comprobar este punto de los estatutos de Salaitos y Cojines S.A., para ello ha realizado una encuesta entre los trabajadores de todas las categorías de la empresa, obteniendo los siguientes datos una vez ordenados y calculados los descriptivos:

SALARIO

Intervalo

500- 600

550 3 3 0,1 0,1 1650 1650 0,04

601- 700

650 2 50,07

0,17 1300 2950 0,06

701- 800

750 3 8 0,1 0,27 2250 5200 0,11

801- 900

850 4 120,13

0,4 3400 8600 0,18

901- 1000

950 3 15 0,1 0,5 2850 11450 0,24

1001-1100

1050

4 190,13

0,63 4200 15650 0,33

1101-1200

1150

5 240,17

0,8 5750 21400 0,46

1201-1500

1350

2 260,07

0,87 2700 24100 0,51

1501-8000

4750

3 29 0,1 0,97 14250 38350 0,82

8001-9000

8500

1 300,03

1 8500 46850 1

Según la definición sabemos que la Mediala se encuentra en el intervalo (1200-1500], pero a no ser el valor exactamente 0,5 debemos hacer una interpolación lineal:


Es decir, la suma de los salarios de aquellas personas que cobran 1.440€ o menos suponen aproximadamente la mitad de lo que la empresa se gasta en salarios mensualmente.

Un corolario de esto es que cuatro empleados (el número de personas que se encuentran por encima del intervalo de los 1.440€) cobran la mitad de lo que se gasta la empresa en sueldos.

Con esto podemos decir que la empresa Salaitos y Cojines S.A. no cumple su supuesta política de sueldos

A partir de la curva de concentración de Lorenz se puede definir una característica que, comparándola con la mediana, permite medir el grado de reparto de la suma total de valores de la variable (S).La mediala (Md) es el valor de la variable tal que la suma de los valores de los individuos que individualmente toman un valor inferior o igual a la mediala, es igual a la suma de los valores de los individuos que individualmente toman un valor mayor que la mediala.

Así, la mediala es el valor de la variable para el cual toma el valor 0.5. Si,

cuando calculamos los pares de puntos ( , ) que determinan la curva de

concentración, existe un valor de exactamente igual a 0.5, la mediala será el extremo superior del intervalo correspondiente. Si no es así, y al igual que ocurría con la mediana, la mediala se obtendrá por interpolación lineal entre

los extremos del intervalo medial (aquel al que le corresponda el valor de inmediatamente superior a 0.5).

ÍNDICE DE GINI.

Para la obtención de este índice de concentración se debe ordenar, previamente, el conjunto de perceptores de menor a mayor cuantía obtenida


en el reparto de la magnitud distribuida. Si el número de perceptores es N y representamos por Vi el valor que le corresponde al perceptor i-ésimo, la

ordenación supondrá que:

V1 ≤ V2 ≤ ··· ≤ Vi ≤ ··· ≤ VN-1 ≤

VN

A continuación se obtendrán las cantidades acumuladas, tanto del número de perceptores como del valor percibido, para determinar, finalmente, las proporciones correspondientes a estas cantidades acumuladas.

Todo lo anterior se puede exponer en el siguiente cuadro:

perceptore

s

Valor

Obtenid

o Vi

número acumulado

de perceptores

valoracumulado

Ui

p = i

×

100i N

q = U i

×

100i U1º

2º···iº···

(N-1)º Nº

V1V2···Vi

··· VN-1VN

12···i

··· N-1N

U1 =

V1U2 =

V1+V2···

Ui = V1+...

+Vi···

UN-1 = V1+...

+VN-1

p1p2···pi···

pN-1

pN =

100

q1q2···qi···

qN-1

qN =

100

Las dos últimas columnas nos describen de qué forma se ha llevado a cabo la distribución de la cuantía total entre los perceptores. Si el reparto hubiese sido igualitario, todos percibiendo la misma cantidad, se cumpliría que pi =

qi ∀ i = 1,N-1; mientras que en el caso de que un único perceptor obtuviera

la cuantía total, caso de máxima concentración, se tendría que qi = 0 ∀ i = 1,

... ,N-1. En cualquier otro caso intermedio, que serán los considerados en la práctica, se dará que pi > qi, pudiéndose establecer que si estos valores

están muy próximos la concentración será muy baja, y si están muy alejados entre sí, la concentración será elevada.

Cuanto mayor sea la diferencia (pi - qi) mayor será la concentración producida

en el reparto, pudiendo, así, identificar en qué sectores o grupos del conjunto perceptor se da mayor concentración, por el mayor valor de esas diferencias.


El índice de concentración de Gini se define como:

Cumpliendo que:

Caso de mínima concentración o máxima igualdad (pi = qi ∀ i =

1, ... ,N-1): IG = 0

Caso de máxima concentración o mínima igualdad (qi = 0 ∀ i =

1, ... ,N-1): IG = 1

Casos intermedios: cuanta mayor concentración se detecte, más cerca de 1 se situará el valor del índice, y cuanta mayor igualdad haya en el reparto más cerca de 0 estará.

Por tanto: 0 ≤ IG ≤ 1

Pero, como se ha expuesto antes, la información de la distribución nos puede venir agrupada en clases o intervalos. En este caso los datos deberán ordenarse según lo percibido por los integrantes de las clases y no por el valor que corresponda a toda la clase. Si se pudieran determinar las marcas de clase, éstas deberán estar ordenadas de menos a más. Las proporciones acumuladas de los valores se calcularán sobre los valores totales percibidos por las clases. El cuadro quedará de la siguiente forma:


clases

Marcas de clase

frecuencias

valorobtenido

Vi

frecuencias acu muladas

valoracumulado

Ui

N

p =i

× 100

q = Ui

×

100i

UC1C2···Ci

··· Cn-1

x1x2···xi···

xn-1

n1n2···ni···

nn-1

V1=

x1·n1V2=

x2·n2···

Vi=

xi·ni···

N1N2···Ni

··· Nn-1

U1 =

V1U2 =

V1+V2···

Ui = V1+...

+Vi···

p1p2···pi···

pn-1

q1q2···qi···

qn-1

N U

De tal forma que en la clase C1 estarán incluidos los perceptores con menor

cuantía asignada en el reparto, mientras que en la última clase estarán los que les haya correspondido mayor cantidad. Esta ordenación implica que las marcas de clase cumplirán que: x1 ≤ x2 ≤ ··· ≤ xi ≤ ··· ≤ xn-1 ≤ xn. Sin

embargo, los valores Vi no tendrán que verificar una ordenación como ésa, ya

que sus cuantías dependerán de las frecuencias (ni) que correspondan a cada

clase.

Para este caso el índice de concentración de Gini se definirá así:

Manteniéndose la misma relación entre sus valores y los distintos casos de concentración que se describieron anteriormente. Lo único a señalar es que el valor de este último índice, será una aproximación del anterior, dado que éste se calcularía con la información de todas las cuantías correspondientes a cada uno de los integrantes del grupo perceptor, con las proporciones acumuladas uno a uno, mientras que el otro utiliza las proporciones acumuladas por las clases o intervalos que recogen la información de los diferentes perceptores incluidos en ellas.CURVA DE LORENZ.


La curva de Lorenz o curva de concentración es una gráfica que se deduce a partir de la información suministrada para el cálculo del índice de Gini y que, por tanto, refleja la mayor o menor concentración en la distribución de una magnitud. Como expondremos a continuación, existe una relación directa entre el índice de Gini y la forma de la curva de Lorenz, suponiendo ésta última una información adicional muy interesante sobre la forma en que se ha llevado a cabo el reparto de la cuantía total.

Para su representación gráfica llevaremos al eje de abscisas de un sistema de ejes cartesianos los valores de las proporciones acumuladas del número de perceptores “pi”, Y en el eje de ordenadas situaremos las proporciones

acumuladas de los valores obtenidos en el reparto “qi”. Ambas proporciones

varían entre 0 y 100, y como sabemos cumplen que: pi ≥ qi, de tal forma que

si trazamos la diagonal, del cuadrado formado, que parte del origen de coordenadas, los puntos (pi, qi) se mantendrán en o por debajo de dicha

diagonal. La curva de Lorenz es la resultante de unir todos los puntos (pi , qi),

obteniéndose una gráfica, en forma de línea quebrada, que cuanto mayor sea el número de puntos más se aproximará a ser una curva, como la que se describe en el siguiente gráfico, con cuatro puntos intermedios (n=5 y, por tanto, p5 = q5 = 100):

De tal forma que en el caso de mínima concentración la curva de Lorenz se confundirá con la diagonal. Luego, cuanta mayor concentración se establezca en el reparto, mayores serán las diferencias (pi - qi) y, por tanto, más alejada

de la diagonal aparecerá la curva de Lorenz. En el otro caso extremo de máxima concentración la curva de Lorenz quedará formada por el propio eje de abscisas y la vertical trazada por el punto de abscisa igual a 100. Tal como se refleja en los siguientes gráficos:


Mínima concentración caso intermedio máxima concentración∀i = 1, ... ,N-1 pi = qi ∃ i / pi > qi ∀i = 1, ... ,N-1 qi =

0 ( IG = 0 ) ( 0 < IG < 1 ) ( IG = 1 )

Como vemos, existe una relación entre el índice de Gini y la curva de Lorenz: a mayor alejamiento de la diagonal, por parte de la curva de Lorenz, mayor valor tomará el índice de concentración de Gini.

Mientras que el índice de Gini nos da un valor indicativo del nivel de concentración producido en el reparto, la curva de Lorenz nos describe gráficamente ese fenómeno, pudiendo identificar para qué grupos de perceptores se acentúa la concentración y para cuáles de ellos se aminora. Como se puede distinguir en estos dos gráficos:

(1) (2)

En el primer caso la concentración es de mayor importancia para los últimos perceptores, al ser en la segunda parte de la curva donde se separa más de la diagonal. Mientras que en el segundo caso la concentración es más amplia en el primer grupo de perceptores, a partir del cual la curva tiende con mayor pendiente a unirse a la diagonal.

Además se puede determinar una relación más directa entre la curva de Lorenz y el valor del índice de Gini. Si le damos carácter continuo a los valores de qi y de pi la expresión del índice se podría igualar a:


Donde ∆pi representa una diferencia constante entre dos valores

consecutivos de pi. Si hacemos tender esa diferencia a cero, se obtendrá que:

Siendo las áreas resultantes las que aparecen en el siguiente gráfico, donde la curva de Lorenz se supone continua y representada por la función f(p).

Es decir, que el valor del índice de Gini se puede aproximar por el cociente entre el área de la figura comprendida entre la diagonal y la curva de Lorenz y el área del triángulo (ODB) que forma la diagonal con el eje de abscisas y la vertical por el valor de p igual a 100. Esta aproximación será más precisa cuando sean menores las diferencias entre valores consecutivos de pi, o, lo

que es lo mismo, cuando sea mayor el número de perceptores considerados en el cálculo del índice de concentración. Si suponemos que la curva de Lorenz es continua y que las proporciones se determinan, no entre 0 y 100, si- no entre 0 y 1, sin multiplicar por 100 los cocientes respectivos, se puede comprobar la siguiente relación:


CASO PRÁCTICO

Planteemos el problema con un ejemplo que recoja la distribución del salario mensual, en euros, de los empleados de la empresa LOGISA.

SalariosEmpleados

Desde 500 hasta 700 60

Desde 700 hasta 1000 95

Desde 1000 hasta 1500

70


35


15

Organizaremos en una tabla los cálculos para hallar (proporción de

empleados con salarios iguales o inferiores a uno dado) y (proporción de masa salarial acumulada por dichos empleados). Si los datos de la variable, referidos a N individuos, están agrupados en k intervalos (cuando los datos estén sin agrupar el planteamiento es idéntico) dicha tabla incluirá:

, intervalo de valores de la variable X (salarios, rentas,...).

, marca de clase (valor medio del intervalo), que representará a todos los valores incluidos en el mismo.

, número de individuos para los cuales la variable X toma valores en el intervalo.

, número de individuos para los cuales X toma valores iguales o

inferiores al extremo superior del intervalo, .

, valor anterior expresado en proporción sobre el total de individuos.


, suma total de los valores de X para los individuos del intervalo.

, suma total de los valores de X para los individuos en los que X

toma valores inferiores o iguales a .

, valor anterior expresado en proporción sobre la suma total S de la variable.

Para los datos salariales de la empresa LOGISA, el cuadro obtenido será:

La tabla se interpretará de la siguiente forma. Si nos fijamos, por ejemplo, en la fila correspondiente al tercer intervalo salarial, sabremos que el 82% de los empleados de salarios inferiores (los 225 que no superan los 1.500 €) acumulan el 62% de la masa salarial (en concreto 204.250 euros).

La observación de la discrepancia entre las columnas con los valores y nos puede dar una primera idea del grado de reparto del "pastel", en este caso, de los 330.500 euros que constituye la masa salarial mensual de la empresa LOGISA. Pero la observación, sin más, puede llevar a distintas interpretaciones. Un observador puede decir que dichas columnas se parecen mucho, mientras que otro puede opinar lo contrario. La Estadística proporciona medidas

objetivas de la discrepancia entre y , es decir, medidas objetivas del reparto de la masa salarial.


A continuación se muestran dos de estas medidas: una gráfica, la curva de Lorenz y otra geométrica, el índice de Gini.

Max Lorenz propuso la primera medida, de la que se deduce el resto. Sobre un

sistema de ejes cartesianos se representan los pares de valores , ,

,... , donde el último par será siempre (1,1). La poligonal obtenida al unir dichos puntos mediante segmentos recibe el nombre de curva de Lorenz. Para resaltar más la representación se enmarca el sistema de ejes en un cuadrado de lado unidad con uno de los vértices en el origen (obsérvese

que todos los y están comprendidos entre 0 y 1), trazando la diagonal del mismo.Para los valores de la empresa LOGISA la curva de Lorenz será:

Cuando los salarios presenten una distribución más o menos igualitaria, los

valores de y serán similares. Por tanto, la curva de concentración tenderá a acercarse a la diagonal (los puntos de la diagonal tienen el mismo valor de abscisa y ordenada).

Cuando los salarios presenten una distribución muy desigual, tendiendo a

concentrarse la masa salarial en unos pocos empleados, los valores de y serán muy dispares. Entonces la curva se alejará de la diagonal.Veamos qué ocurre en los dos casos extremos:


EQUIDISTRIBUCIÓNEl total de valores de la variable S, se distribuye en partes iguales entre los N individuos, correspondiendo S/N a cada uno. Entonces el cuadro quedará:

S/N N N 1 S S 1

La curva de Lorenz coincidirá con la diagonal:

Máxima concentración

Uno de los individuos acapara el valor total S de la variable.

0 N-1 N-1 (N-1)/N 0 0 0

S 1 1 1 S S 1

Entonces la curva quedará "casi" pegada a los lados del recuadro:


Por tanto, en la medida en que la curva se acerque a la diagonal, hablaremos de equidistribución, y en la medida en que se aleje, hablaremos de concentración.La curva de Lorenz, como medida de concentración, presenta un problema debido a su naturaleza gráfica. Cuando se interpreta para una única distribución entramos en valoraciones subjetivas en relación al acercamiento o alejamiento de la curva a la diagonal; cuando comparamos dos distribuciones, a veces es difícil apreciar cuál de las dos curvas se "pega" más a la recta de equidistribución.Para evitar este inconveniente se desarrolla otro tipo de medidas, unas geométricas y otras analíticas.

En el año 1912 el estadístico y demógrafo italiano Corrado Gini propone una medida de concentración en base a la curva de Lorenz, que consiste en una medición numérica del grado de acercamiento de la curva a la recta de equidistribución: el área entre dicha curva y la diagonal, que llamaremos área de concentración, Ac. Entonces se define el índice de Gini como el doble de dicho área:

El cálculo de este índice, en concreto del área de concentración, se realiza de forma sencilla teniendo en cuenta las áreas del triángulo y trapecios que quedan por debajo de la curva de Lorenz.

Para los salarios de LOGISA, este índice vale 0,285.

De cara a interpretar dicho valor consideremos de nuevo los casos extremos:


EQUIDISTRIBUCIÓN

(En buena lógica no estaría definido).

Máxima concentración

Dicho valor será prácticamente uno cuando el número de individuos N sea lo suficientemente grande. De esta forma, valores del índice próximos a cero indican repartos igualitarios y valores próximos a uno repartos desiguales.

En el caso extremo de equidistribución, la mediala coincidirá con la mediana: "la mitad de los individuos se lleva la mitad del pastel". En los demás casos, la mediala será superior a la mediana: "la mitad de los individuos, los que toman los valores inferiores de la variable, se reparte menos de la mitad del pastel". La discrepancia entre la mediana y la mediala da una idea del grado de concentración de las dos mitades del total de valores de la variable.

CÁLCULO DE LA MEDIALA PARA LA EMPRESA LOGISA

Como se observa en la tabla que recoge los cálculos realizados para la determinación de la curva de Lorenz para la empresa LOGISA, no existe ningún

valor de igual a 0.5. El intervalo (1000, 1500] es aquel al que le corresponde

un valor de inmediatamente superior a 0.5; esto es, se trata del intervalo medial. Interpolando en él, calcularemos la mediala:

De acuerdo con el resultado anterior, los trabajadores que individualmente reciben un salario menor o igual a 1277,14 euros, se llevan conjuntamente la mitad de la masa salarial, esto es, 165.250 euros.Una vez determinada la mediala podremos conocer qué porcentaje de individuos gana menos que la mediala, o lo que es lo mismo, se reparte el 50% de la masa salarial.


En nuestro ejemplo,

Este valor indica que el 70% de los trabajadores que menos ganan se llevan el 50% de la masa salarial, mientras que el 30% restante (los mejor pagados) se reparte la otra mitad.


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