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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE POSTGRADO

PROGRAMA DE POSTGRADO EN MATEMÁTICA APLICADA

ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS MECÁNICOS SUBACTUADOS DE GRADO 1 MEDIANTE EL MÉTODO IDA-PBC

Trabajo de Grado presentado ante la Ilustre Universidad del Zulia para

optar al Grado Académico de

MAGÍSTER SCIENTIARUM EN MATEMÁTICA APLICADA

Autor: Msc. Ing. Maribel Cecilia Pérez Pirela Tutor: Msc. Atilio Morillo P.

Maracaibo, julio de 2009

APROBACIÓN

Este jurado aprueba el trabajo de grado titulado ESTABILIZACIÓN DE SISTEMAS MECÁNICOS SUBACTUADOS DE GRADO 1 MEDIANTE EL MÉTODO IDA-PBC, que Pérez Pirela, Maribel Cecilia, C.I. V-12.869.954, presenta ante el Consejo Técnico de la División de Postgrado de la Facultad de Ingeniería en cumplimiento del articulo 51, Párrafo 51.6 de la Sección Segunda del Reglamento de Estudios para Graduados de La Universidad del Zulia, como requisito para optar al Grado Académico de

MAGÍSTER SCIENTIARUM EN MATAMÁTICA APLICADA

______________________ Coordinador del Jurado

Atilio Morillo C.I.: 3.117.961

________________________ _____________________ Robert Quintero José Rincón C.I.: 7.935.866 C.I.: 4.417.049

_______________________________

Director de la División de Postgrado Gisela Páez

Maracaibo, julio de 2009

Pérez Pirela, Maribel Cecilia. Estabilización de sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante el método IDA-PBC. (2009) Trabajo de Grado Universidad del Zulia. División de Postgrado. Facultad de Ingeniería. Maracaibo, Venezuela. 138 p. Tutor: Prof. Atilio Morillo.

RESUMEN El problema de la estabilización de sistemas no lineales subactuados ha atraído la atención de la comunidad de control en años recientes. Con el método denominado IDA-PBC (Interconexión y Asignación de Amortiguamiento Control basado en Pasividad), desde el punto de vista teórico, se ha logrado describir el comportamiento dinámico de una amplia clase de dichos sistemas, obteniéndose su representación en la denominada forma Hamiltoniana controlada por puertos, mediante la cual se facilita el diseño de un controlador por realimentación que permite estabilizarlos en torno a un punto de equilibrio deseado. El objetivo general de este estudio es analizar la estabilidad de sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante el método IDA-PBC. Dentro de este enfoque, para lograr el objetivo de control, se interpreta el mecanismo de estabilización en términos del intercambio de la energía del sistema, para lo cual se siguen dos etapas básicas: (1) la etapa del moldeado de la energía, la cual consiste en modificar la función de energía total del sistema para asignar el estado de equilibrio deseado; y (2) la etapa de inyección de amortiguamiento para alcanzar la estabilidad asintótica. El éxito de la aplicación de este método reside en la posibilidad de resolver el conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, cuyas soluciones proveen las funciones de energía asignables al sistema en lazo cerrado. Se obtiene un controlador que logra estabilizar en forma global y asintótica el punto de equilibrio, alcanzando un excelente desempeño. Las simulaciones numéricas mostradas al final del trabajo confirman esta apreciación. Palabras clave: Control no lineal, Sistemas mecánicos subactuados, Método IDA-PBC.

E-mail del autor: [email protected]

Pérez Pirela, Maribel Cecilia. Stabilization of mechanical systems underactuation degree one using IDA-PBC method. (2009) Trabajo de Grado Universidad del Zulia. División de Postgrado. Facultad de Ingeniería. Maracaibo, Venezuela. 138 p. Tutor: Prof. Atilio Morillo.

ABSTRACT

The problem of the stabilization of not linear systems underactuation has attracted the attention of the community of control in the recent years. The so called IDA-PBC method (Interconnection and Damping Assignment Passivity Based Control), from the theoretical point of view, it has been achieved to describe the dynamic behavior of a wide class of the above mentioned systems, obtained a port controlled Hamiltonian form, the controller stabilizes globally and asymptotically the equilibrium point. The general objective of this study is to analyze tha estabilización de sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante el método IDA-PBC. In this method, in order to achieve the control objective, the stabilization mechanism follows two basic stages: (1) energy holding stage, which consists on shaping the total energy function of the system in order to assign the desired equilibrium state, and (2) damping introduction stage, necessary to achieve asymptotic stability. The success of the application of this method resides in the possibility of solving the set of equations in partial derivatives, which solutions provide the assignable functions of energy to the system in closed loop. The controller stabilizes globally and asymptotically the equilibrium point, showing an excellent preformance. The numerical simulations confirm this appreciation. Keywords: Non linear control, underactuated mechanical systems, IDA-PBC method. E-mail the author: [email protected]

DEDICATORIA

A Dios, por ser la luz que siempre ilumina mi vida, guiándome por los caminos del

amor, permitiéndome conocer y alcanzar esta meta.

A mi Madre Querida, mujer admirable de sólidos principios, de corazón noble e

inmenso, que desde el cielo siempre me acompaña iluminándome el camino y mis

pensamientos… Gracias por enseñarme que por muy difíciles que sean los momentos

siempre se puede seguir teniendo una buena actitud ante la vida…

AGRADECIMIENTOS

Ante todo, expresar mi gratitud a mi tutor el Profesor Atilio Morillo, cuyo apoyo

incondicional, ha resultado imprescindible para llevar a buen término esta ambiciosa

tarea… le debo la dedicación, su compromiso con la calidad y la puesta al servicio de

sus sólidos conocimientos en nuestra área… Profe Atilio, por su orientación

académica, por tenderme una mano amiga, por toda la confianza que depositó en mí…

Mil Gracias…

A la Profesora Susana Salinas por su contribución al inicio y desarrollo del trabajo de

investigación, así como la ejemplar gestión en el CIMA donde se enmarca el presente

trabajo… por toda la confianza que depositó en mí… por tenderme una mano

amiga…Mil Gracias…

Al Profesor Jorge Guiñez por su apoyo y comprensión, por su orientación académica,

por sus sabias y oportunas recomendaciones…Mil Gracias…

Al Profesor Jhonny Araque por sus sugerencias y colaboración… mil Gracias…

A Aleida mi cariño y gratitud por toda su colaboración a lo largo de mi proceso de

investigación… Mil Gracias…

TABLA DE CONTENIDO

Página RESUMEN…………………………………………………………………….... 3

ABSTRACT……………………………………………………………………… 4

DEDICATORIA………………………………………………………………..... 5

AGRADECIMIENTOS……………………………………………………..…... 6

TABLA DE CONTENIDO…………………………………………………….... 7

LISTA DE TABLAS…………………………………………………………….. 9

LISTA DE FIGURAS………………………………………………………….… 10

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………...… 12

CAPÍTULO

I EL PROBLEMA

Planteamiento del Problema…………………………………… 13 Formulación del Problema…………………………………...… 15 Objetivos de la Investigación………………………………...… 15

Objetivo General…………………………………………..… 15 Objetivos Específicos……………………………………...… 15

Justificación de la Investigación……………………………….. 16 Conveniencia……………………………………………….… 16 Valor Teórico………………………………………………….. 16 Implicaciones Prácticas……………………………………… 16 Utilidad Metodológica………………………………………... 16 Relevancia Social……………………………………………. 16

Importancia…………………………………………………….… 17 Delimitación de la Investigación……………………………….. 17

II MARCO TEÓRICO

Bases Teóricas…………………………………………...…….. 18

Teorías relacionadas con el Método IDA-PBC………….. 18

Teorías relacionadas con la Técnica de Linealización Aproximada…………………………………………………… 33

Teorías relacionadas con el Modelo Matemático de los Sistemas Mecánicos…….…………………………………... 38

Antecedentes de la Investigación……………………….......... 40

Hipótesis de la Investigación………………………………….. 42

III MARCO METODOLÓGICO Página

Tipo de Investigación…………………………………..………. 43 Procedimiento de la Investigación……………………….……. 43 Programas de Simulación Numérica………………………….. 46 Descripción de los Programas de Simulación Numérica… 47

IV RESULTADOS OBTENIDOS

Sistema TORA 48 Sistema ACROBOT 86 CONCLUSIONES………………………………………………………….. 117RECOMENDACIONES…………………………………………………… 118REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………………………… 119ANEXOS

A Programas VDESTORA y SIMVDESTORA……………….. 121B Programas TORALAZ y SIMTORALAZ…………………….. 123C Programas TORADIN y SIMTORADIN…………………….. 126D Programas VDESACRO y SIMVDESACRO……………….. 129E Programas ACROLAZ y SIMACROLAZ……………………. 132F Programas ACRODIN y SIMACRODIN…………………….. 136

LISTA DE TABLAS

Tabla Página

1 Parámetros para el sistema TORA………...……………… 79

2 Parámetros para el sistema ACROBOT…….……………… 112

LISTA DE FIGURAS

Figura Página

1 Grados de libertad de un sistema subactuado………….. 18

2 Sistema Pasivo estabilizado con u=-ky…………………..

26

3 Relación entre las variables originales y las variables incrementales………………………………………………….. 37

4 El Sistema TORA…………………………………………... 38

5 Esquema del sistema Acrobot, con 2~

11π−= qq ……….. 40

6 Etapas del Método IDA-PBC……………………………… 44

7 Gráfica de la Función Vd.................................................. 61

8 Curvas de Nivel de la Función Vd……………………….... 62 9 Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado:

Comportamiento de las variables y función de Control…

80

10 Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Plano de Fase……………………………………………………… 80

11 Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo: Comportamiento de las variables………………………… 81

12 Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo: Plano de Fase………………………………………………. 81

13 Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Comportamiento de las variables y función de Control.

Condiciones iniciales 11 =q , 22π

=q , 01 =p

y 02 =p ……………………………………………………... 82 14 Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Plano de

Fase. Condiciones iniciales: 11 =q , 22π

=q , 01 =p y

02 =p ……………………………………………..……… 83

15 Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo: Comportamiento de las variables. Condiciones iniciales

11=q , 22π

=q , 01 =p y 02 =p …………………………..…. 83 16 Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo:

Plano de Fase. Condiciones iniciales 11=q , 22π

=q , 01 =p

y 02 =p …………………………………………….. 84 17 Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado:

Comportamiento de las variables. Condiciones

iniciales 01 =q , 2

52

π=q , 01 =p y 02 =p …….…..…… 85

18 Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Plano de

Fase. Condiciones iniciales 01 =q , 2

52

π=q , 01 =p y

02 =p …………………………………………………….. 85 19 Gráfica de la Función Vd…………………………………… 96 20 Punto crítico aislado de Vd………………………………… 98 21 Simulación del Sistema ACROBOT en lazo cerrado:

Comportamiento de las variables. Condiciones iniciales

21π

=q , 32π

=q , 11 =p y 12 =p ……………… 113

22 Simulación del Sistema ACROBOT en lazo cerrado: Plano de Fase. Condiciones iniciales

21π

=q , 32π

=q ,

11 =p y 12 =p ……………… 113 23 Simulación del Sistema ACROBOT con la dinámica

objetivo: Comportamiento de las variables. Condiciones iniciales

21π

=q , 32π

=q , 11 =p y 12 =p ………………… 114

24 Simulación del Sistema ACROBOT con la dinámica objetivo: Plano de Fase. Condiciones iniciales

21π

=q ,

32π

=q , 11 =p y 12 =p …………………….. 114

INTRODUCCIÓN

Las técnicas de control basada en la estructura Hamiltoniana de los sistemas

mecánicos han experimentado un reciente auge de notables proporciones.

Los métodos a los que ha dado lugar esta línea de investigación permiten, por

primera vez, abordar de manera sistemática un conjunto de problemas abiertos como el

control de sistemas subactuados y la obtención de funciones de Lyapunov para

controladores no lineales.

Los sistemas mecánicos subactuados de grado 1, desde el punto de vista

teórico, son susceptibles de ser controlados mediante el denominado método IDA-PBC.

En esta tesis se aplica el método IDA-PBC para desarrollar la estructura

Hamiltoniana de sistemas mecánicos subactuados de grado 1, tanto en bucle abierto

como en bucle cerrado para dirigirlos de manera robusta hacia equilibrios basándose en

consideraciones energéticas.

Claramente, el éxito del método IDA-PBC descansa sobre la posibilidad de

resolver las ecuaciones en derivadas parciales que identifican las funciones de energía

que pueden ser asignadas al sistema en lazo cerrado. En [1] los autores dan una serie

de condiciones sobre el sistema y sobre las matrices de inercia asignables, tales que

dichas ecuaciones en derivadas parciales puedan ser resueltas.

En este trabajo, se aplica un proceso de reducción, que permite obtener una

familia genérica de matrices de inercia, para las cuales es posible encontrar también

una solución constructiva de la función de moldeado de la energía cinética. La

utilización de la genericidad de la familia de matrices conduce a una simplificación de

las ecuaciones en derivadas parciales, que facilita la integración de las ecuaciones.

Esta investigación se ha estructurado en cuatro (04) capítulos. En el capítulo 1,

se muestran las razones que dan origen a esta investigación, así como también los

objetivos que se esperan cumplir y la delimitación del caso de estudio. En el capítulo 2,

se muestran las bases teóricas en las que se fundamenta el método IDA-PBC. En el

capítulo 3, se explica el tipo de investigación desarrollada y se muestra la metodología

utilizada para estabilizar sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante el

método IDA-PBC. Finalmente, en el capítulo 4 se aplica dicho método para analizar la

estabilidad de dos interesantes casos de sistemas mecánicos subactuados de grado 1.

CAPÍTULO I EL PROBLEMA

Planteamiento del Problema

A lo largo de la historia del desarrollo de los sistemas de control, se ha tratado

siempre de estudiar de manera separada los sistemas lineales de los sistemas no

lineales. Dada la relativa sencillez de los sistemas lineales, se ha producido un

conocimiento extenso y profundo de éstos, relegando considerablemente el área

correspondiente a los sistemas no lineales. Con los avances en la robótica, se comenzó

a entender la importancia de abordar problemas de carácter global, que por su propia

naturaleza no lineal, no permitían una reducción a un entorno local del punto de

operación.

Hoy en día se encuentran con mucha frecuencia procesos no lineales en

sistemas mecánicos y electromecánicos, entre los que se puede mencionar: satélites

espaciales, circuitos electrónicos, brazos robóticos, péndulos invertidos, osciladores,

sistemas de control de nivel en tanques, motores de corriente continua, entre otros; por

lo que se observa la necesidad de darle la importancia requerida al estudio de las leyes

de control de estos sistemas.

El control de sistemas mecánicos corresponde a uno de los campos más activos

de investigación, debido a las diversas aplicaciones en la vida real. Una serie de

aplicaciones científicas, industriales, y militares ha motivado un riguroso análisis para el

control de los sistemas mecánicos.

En la actualidad, se ha mostrado un interés creciente en el problema de la

estabilización de sistemas no lineales subactuados, dedicando mayor atención al caso

de sistemas mecánicos subactuados de grado 1.

Estos sistemas se caracterizan por el hecho de poseer más grados de libertad

que grados de actuación, es decir, uno o más grados de libertad son subactuados. Esta

clase de sistemas mecánicos abundan en la vida real; y los ejemplos de tales sistemas

incluyen, el Tora, Acrobot, Pendubot, Péndulo Invertido, entre otros.

Recientemente los autores de [1] han desarrollado una aplicación del método de

control no lineal de Interconexión y Asignación de Amortiguamiento, basado en

pasividad (IDA-PBC) [2], para lograr la estabilización de sistemas mecánicos

subactuados. La idea central del método es realizar un “matching” entre la dinámica del

sistema expresada, con respecto a la función de energía del sistema, en forma

Hamiltoniana con disipación, y una dinámica deseada que preserva la estructura

Hamiltoniana controlada por puertos (PCH) [3], del sistema en términos de una función

de energía total deseada.

Para el desarrollo de este método se siguen dos etapas básicas ([1],[4]): (1) la

etapa del moldeado de la energía y (2) la etapa de inyección de amortiguamiento. El

moldeado de la energía total en sistemas mecánicos es garantizado por el paradigma

de primeramente modificar la matriz que representa la energía cinética, y

posteriormente se moldea la energía potencial.

Sin embargo el éxito en la aplicación de este método se basa fuertemente en la

posibilidad de resolver las ecuaciones diferenciales parciales que resultan al tratar de

preservar la representación Hamiltoniana del sistema en lazo cerrado.

En [4] los autores dan una serie de condiciones sobre el sistema y sobre las

matrices de inercia asignables tales que dichas ecuaciones en derivadas parciales

puedan ser resueltas. Adicionalmente, introducen un procedimiento de

reparametrización de las funciones que aparecen en el término independiente de las

ecuaciones que permite la integración de las mismas, obteniendo una solución

constructiva para el moldeado de la energía potencial.

En [5],[6] se aplica un proceso de reducción que permite obtener una familia

genérica de matrices de inercia para las cuales es posible encontrar también una

solución constructiva de la función de moldeado de la energía cinética. La utilización de

la genericidad de la familia de matrices conduce a una simplificación de las ecuaciones

en derivadas parciales que facilita la integración de las ecuaciones sin tener que recurrir

a complicadas reparametrizaciones de las funciones a integrar.

Estas simplificaciones sólo pueden llevarse a cabo en el caso de algunos

sistemas subactuados, en los cuales la matriz de inercia es función solamente de la

coordenada actuada.

Ante lo anteriormente planteado, se considera pertinente analizar, diseñar y

simular sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante el método IDA-PBC para

lograr la estabilización del sistema en torno al punto de equilibrio deseado.

Del panorama antes planteado surge la presente investigación, la cual busca

darle respuesta a las siguientes interrogantes:

• ¿El método IDA-PBC resultará ser efectivo para la estabilización de sistemas

mecánicos subactuados de grado 1?

• ¿Es posible resolver las ecuaciones diferenciales parciales que resultan al tratar

de preservar la representación Hamiltoniana del sistema en lazo cerrado mediante el

método IDA-PBC?

Formulación del Problema Una vez planteado el problema para enfocar y direccionar la investigación, se

hace necesario formular la siguiente pregunta:

¿Podrían estabilizarse sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante el

método IDA-PBC?

Objetivos

Objetivo General

Analizar la estabilidad de sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante

el método IDA-PBC

Objetivos Específicos

• Describir los modelos matemáticos de los sistemas físicos a estudiar.

• Establecer la dinámica de los sistemas físicos propuestos para estudiar.

• Establecer las dinámicas deseadas que conducen a las EDP asociadas a la

estabilización de los sistemas.

• Determinar las funciones de control que permiten la estabilización de los sistemas

propuestos.

• Analizar la estabilidad de los sistemas en lazo cerrado.

• Realizar simulaciones numéricas que corroboren el comportamiento esperado de los

sistemas controlados.

• Rediseñar las funciones a partir de los resultados obtenidos en las simulaciones.

Justificación de la Investigación

Esta investigación se justifica atendiendo los siguientes criterios:

Conveniencia: Porque los sistemas mecánicos subactuados de grado 1 representan

numerosos problemas reales, donde es mayor el número de grados de libertad que de

actuadores reales. El método IDA-PBC resulta útil para estabilizar sistemas no lineales.

Valor Teórico: Permite generar problemas interesantes de control que requieren

análisis no lineales. La propiedad de subactuación de sistemas subactuados se debe a

la dinámica de los sistemas y a las estrategias de reducción de costos o algunos

propósitos prácticos.

Implicaciones Prácticas: Porque se le da respuesta a un problema específico cuya

solución mejoraría el desempeño de sistemas mecánicos que abundan en la vida real; y

los ejemplos de tales sistemas incluyen, naves espaciales, submarinos, helicópteros,

vehículos, robots móviles, entre muchos otros. El problema del control de sistemas

subactuados está motivado por numerosas aplicaciones prácticas, donde el argumento

de la economía de diseño juega un papel protagónico.

Utilidad Metodológica: Se espera avanzar en el desarrollo de herramientas para el

moldeado y control de los sistemas físicos en general. Para ello, se construyen

programas en Matlab para realizar las simulaciones numéricas que corroboren el

comportamiento esperado de los sistemas controlados. Estos programas servirán como

base para futuras investigaciones.

Relevancia Social: Porque el control de sistemas mecánicos está actualmente entre

uno de los campos más activos de investigación, debido a las aplicaciones diversas de

sistemas mecánicos en la vida real. Una serie de aplicaciones científicas, industriales, y

militares ha motivado un riguroso análisis y metodologías para el control de los sistemas

mecánicos. Adicionalmente, existe una familiaridad con los conceptos de energía, lo

que puede servir como un idioma común para facilitar la comunicación en la teoría de

control, incorporando conocimientos anteriores y las interpretaciones físicas a la acción

del control.

Importancia La importancia de la aplicación del método IDA-PBC a sistemas mecánicos

subactuados de grado 1, radica en el hecho de poder visualizar dichos sistemas físicos

como la interconexión de sub-sisternas o componentes más simples que almacenan o

disipan energía. Este método de moldeo de energía intenta preservar la estructura física

Hamiltoniana en lazo cerrado, lo cual es altamente favorable en el problema de

regulación de sistemas electro-mecánicos.

Delimitación

El estudio se desarrollará temporalmente en el lapso comprendido entre

noviembre 2008 y julio 2009, período que incluye las fases de análisis, diseño y

simulación de sistemas mecánicos subactuados de grado 1.

El área de conocimiento abarca el estudio de los sistemas dinámicos de control

no lineales.

El estudio se fundamenta teóricamente en el método IDA-PBC aplicado a

sistemas mecánicos subactuados desarrollado en [1].

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO

Bases Teóricas

Este capítulo presenta la fundamentación teórica y los antecedentes de

estudios afines con las variables a investigar que sirven de soporte a la presente

investigación. La revisión bibliográfica se hizo en el estudio y análisis de teorías

referente al método IDA-PBC, a la técnica de linealización aproximada para el análisis

del comportamiento de sistemas dinámicos y a los modelos matemáticos de los

sistemas mecánicos a ser estudiados.

Teorías relacionadas con el Método IDA-PBC Sistemas Subactuados en Control

Uno de los problemas matemáticos abiertos en teoría de control que más interés

ha despertado en la última década, es la síntesis de controladores para sistemas

mecánicos subactuados.

Un sistema subactuado es aquel que posee menos entradas de control que

grados de libertad. Mantener en equilibrio una varilla cilíndrica sobre la palma de la

mano es un buen ejemplo de un sistema subactuado. Este sistema, como se muestra

en la figura 1, tiene cinco grados de libertad (tres para la posición del punto de contacto

de la mano con la varilla, y dos ángulos para la última). Sin embargo sólo es posible

actuar en los tres grados de libertad de la mano.

Figura 1. Grados de libertad de un sistema subactuado

En la práctica cualquier sistema que necesite mantenerse en equilibrio es un

sistema subactuado. Otros ejemplos son la bicicleta, y aunque menos evidente, un

avión, con seis grados de libertad y cuatro actuadores.

Control basado en la Energía

Una de las técnicas que mayor interés ha despertado en la comunidad del control

de sistemas subactuados por sus múltiples aplicaciones y por su retorno al uso de la

intuición física en la labor del ingeniero, es la pasividad. Para su entendimiento es

preciso establecer el papel de la energía en el control.

Si al analizar una ley de control que actúa sobre un sistema, se sabe discernir

qué términos mantienen la energía constante, cuáles tienen un efecto disipativo, y

cuáles inyectan energía al sistema, se arrojaría una luz necesaria para el problema de

la estabilización, abriendo paso a las tareas subsiguientes de ajuste y refinamiento del

comportamiento transitorio.

En control automático es tendencia reciente la incorporación del concepto de

energía como un elemento matemático de ayuda al diseño de los controladores, así

como marco para la incorporación de la intuición física en el control. En la descripción

de sistemas electromecánicos en bucle abierto se emplea una función de energía que

se corresponde con el fenómeno natural, concretamente en el sentido de función

asociada al estado o configuración del mecanismo. En este caso se puede establecer

una separación entre energías potencial, cinética, eléctrica y magnética, cuya suma es

invariante o decreciente en ausencia de una fuente externa que suministre energía.

También se puede identificar en bucle abierto el fenómeno de disipación y sus causas.

El segundo principio de la termodinámica establece el sentido de la disipación de la

energía en sistemas aislados. Más aún, la expresión analítica de una función de energía

de un sistema autónomo, el hamiltoniano, expresado en función de las coordenadas

generalizadas, proporciona información suficiente para calcular trayectorias en ausencia

de disipación o inyección externa de energía.

En la tarea de síntesis de controladores, no basta con un conocimiento del

sistema libre, se requieren objetos matemáticos que reflejen el efecto energético de la

señal de control. Controlar implica la adición de energía al sistema en algunos instantes

y absorción en otros, de manera que se abandona la naturaleza conservativa o

disipativa del sistema natural porque éste ya no se encuentra aislado. En este contexto,

sin un principio de conservación de la energía o de la cantidad de movimiento, el

ingeniero se ve desprovisto de las herramientas más fundamentales para el cálculo de

trayectorias o análisis de estabilidad de los cuerpos. La alternativa natural que surge de

estos planteamientos es encontrar funciones de energía que describan a los sistemas

controlados, para que las trayectorias de éstos puedan ser calculadas y analizadas en

virtud de dichas funciones. Se abre un problema conceptual de dos incógnitas para el

ingeniero de control: la elección de la función de energía en bucle cerrado y el

consiguiente cálculo de señal de control.

En la fase de diseño de un controlador basado en energía, tanto la función de

energía como la señal de control son los parámetros a diseñar. La elección de estos

parámetros se hará atendiendo a restricciones de distinta naturaleza, que aparecen por

especificaciones de rendimiento del sistema o por simples limitaciones del equipamiento

disponible.

Conocidas las restricciones y conocido el modelo del sistema en bucle abierto se

puede enunciar el problema del control basado en la energía del siguiente modo: dado

el sistema ),( uxfx =& , hallar una función de realimentación del estado u ≡ u(x), tal que el

sistema resultante tenga, respecto a una función del estado H(x), denominada función

de almacenamiento o energía, un comportamiento disipativo (la energía decrece con el

tiempo). La forma de esta función debe acomodarse al conjunto de restricciones que se

desprenden de las especificaciones en bucle cerrado del sistema.

En el caso particular de no existir restricciones explícitas sobre la señal de

control, el proceso de diseño es secuencial: se obtiene una función de energía

adecuada a las especificaciones y se calcula por procedimientos puramente algebraicos

la señal de control que transforma el sistema en bucle abierto en otro que sea descrito

por dicha función de energía.

Estabilización mediante la Energía

Al introducir el problema del control basado en la energía, surge la necesidad de

trasladar las especificaciones de lazo cerrado a restricciones en la función de energía.

El significado que tiene esto en la práctica, se concentra en el procedimiento que se

emplea en la literatura denominado Energy Shaping (moldeo de energía) ya que las

especificaciones en bucle cerrado se satisfacen dando forma o moldeando la superficie

n-dimensional de la función de energía.

Los criterios con que se debe “moldear” la función de energía, se encuentran en

las especificaciones de un sistema en bucle cerrado dividas en dos aspectos:

estabilidad del régimen permanente y calidad del transitorio (velocidad,

sobreoscilación).

Para el régimen permanente se sabe que la herramienta fundamental del análisis

de estabilidad de sistemas no lineales es el método directo de Lyapunov. La existencia

de una función definida positiva (salvo en el conjunto límite deseado donde vale cero),

que evaluada en las trayectorias solución es monótona decreciente, implica la de

estabilidad de dicho conjunto límite. Bajo ciertas condiciones adicionales dadas en

teoremas como los de LaSalle, se garantiza la estabilidad asintótica, es decir, la

convergencia de las trayectorias hacia el límite deseado. Al analizar la estabilidad de un

sistema controlado por métodos energéticos en la energía, el concepto de disipatividad,

unido al de moldeo de energía, proporcionan una función de Lyapunov para el control,

que es la energía del sistema en bucle cerrado.

El proceso de diseño en este contexto sería: dado un punto o conjunto de puntos

que se desee estabilizar, hallar una ley de control tal que la función de energía en bucle

cerrado sea definida positiva en todo el rango de funcionamiento y cero en el objetivo.

Si el sistema en bucle cerrado es conservativo con respecto a la energía, esta será la

función de Lyapunov y el sistema será estable.

Generalización de la Energía en el Control

El concepto de energía suministra una magnitud escalar cuya evolución sintetiza,

en algún sentido, la del propio sistema dinámico. Es decir, desde un punto de vista

físico estricto, el sistema evoluciona de forma autónoma hacia el estado en que la

energía se hace mínima. El hecho de que una magnitud escalar resuma en su

comportamiento la evolución del estado (en general un vector) tiene consecuencias

teóricas y prácticas que resulta difícil sobrevalorar. La evolución del sistema hacia el

estado de energía mínima sirvió de inspiración a Lyapunov para desarrollar su conocido

método para el estudio de la estabilidad de los sistemas dinámicos no lineales. Por una

parte, introdujo lo que luego se ha conocido como función de Lyapunov, que no es sino

una función V (x) que posee las mismas propiedades matemáticas que la energía, es

decir:

0,00 )()0( ≠∀>= xVyV x

0,0)( ≠∀< xV x&

Con el concurso de las funciones de Lyapunov V (x), el problema del control se

puede plantear, de forma abstracta, de manera extremadamente simple. Supóngase

que se dispone de una planta, o sistema en bucle abierto, a la que se asocia una

representación matemática, en general no lineal, de la forma:

),( uxfx =& (2)

Es sabido que el problema del control consiste en determinar una función u = k(x)

tal que el sistema resultante de llevar esta u a (2) dé lugar a un sistema en bucle

cerrado de la forma:

)())(,( xFxkxfx ==& , (3)

sistema autónomo que posee el comportamiento requerido. Este comportamiento

comprende la propiedad de estabilidad en el origen, lo que se traduce en que las

trayectorias de (3) tienden al mínimo de la función de Lyapunov V (x). Es decir,

0))(,( <∂∂

= xkxfxVV& (4)

Pues bien la gran aportación de Lyapunov fue permitir generalizar los conceptos

de comportamiento de la energía, a situaciones en las que exista esa función V (x) que

posee las mismas propiedades matemáticas que la energía, aunque no tenga su mismo

significado físico. De este modo se puede generalizar considerablemente el control

basado en la energía al control basado en la existencia de la función de Lyapunov.

Una generalización adicional, que está teniendo auge recientemente, es la de

asociar una estructura (o realización, en una terminología clásica de la teoría del

control) Hamiltoniana al sistema considerado. La función de Hamilton de esta

realización Hamiltoniana posee las propiedades de una función del Lyapunov, por lo

que se alcanza una notable síntesis para el tratamiento de los sistemas dinámicos que

admiten esa formalización.

(1)

Es el caso, en principio, de los sistemas electromecánicos para los que la

adopción de una estructura Hamiltoniana es un hecho bien conocido y explotado desde

hace tiempo.

Para estos sistemas las técnicas de proyecto de controladores mediante moldeo

de energía poseen un carácter natural. Sin embargo, mediante las formulaciones

Hamiltonianas, y el consecuente empleo de funciones de Lyapunov, se puede ampliar

considerablemente el campo de aplicación de las técnicas de moldeo de energía,

desarrolladas inicialmente para sistemas electromecánicos.

Sistemas Hamiltonianos

La dinámica de los sistemas de Euler Lagrange admite una descripción

alternativa conocida como ecuaciones canónicas de Hamilton. Su primera ventaja

aparente es la estructura: un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, que

se ajusta a la descripción clásica en variables de estado x = f(x) empleada en control no

lineal. A medida que se analiza la estructura y propiedades de esta descripción

aparecerán interesantes ventajas para el control, que hacen de ella una herramienta

merecedora de su gran popularidad.

Para obtener estas ecuaciones se define la función de Hamilton a partir de la

transformada de Legendre de la función de Lagrange

LqpH ii −∑=Δ

& (5)

donde las variables {p1,p2,...,pn} se denominan momentos conjugados y se definen

como:

kk q

Lp&∂

∂= (6)

Tomando derivadas parciales:

kkk

i

i i ik

ii

k

pqL

qq

qL

qqp

qH

&&

&−=

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=∂∂ ∑ ∑

kk

i

i i ik

iik

k

qpq

qL

pqpq

pH

&&

&

&& −=

∂∂

∂∂

−∂∂

+=∂∂ ∑ ∑

(7)

se llega a la siguiente descripción en variables de estado:

H

pHqH

IIp

qnxn

n

n

nxn ∇Γ=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0

0&

& (8)

Donde In es la matriz identidad de orden n. La matriz Γ se denomina matriz

simpléctica.

Sistemas Hamiltonianos Generalizados

En [3] aparece una generalización de los sistemas hamiltonianos mediante la

definición de la estructura PCH (Port–Controlled Hamiltonian System), o sistemas

hamiltonianos controlados por puertos. Generalmente se trata con sistemas PCH con

disipación (o PCHD) al incluir un término disipativo en la dinámica. Los sistemas PCH

con disipación admiten la siguiente descripción en variables de estado:

( ) GuxHRJx xx +∂∂

−= )()(& (9)

donde x ∈ℜ n es el vector de estado, J(x)= −J(x)T es la matriz de interconexión, R(x) ≥ 0 es

la matriz de disipación, H es el hamiltoniano o función de Hamilton y G y u representan,

respectivamente, la matriz y el vector de control. Además,

T

nxH

xH

xHH ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

=∇ ,.......,,21

(10)

Es fácil de comprobar, por la propiedad antisimétrica de J(x), que en ausencia de

acción de control la derivada del hamiltoniano viene dado por:

( ) ( ) 0)( ≤∇∇−= HRHH xT& (11)

De hecho, si R(x) = 0 desaparece el efecto disipativo y el hamiltoniano se

conserva (sistema PCH). Gracias a este hecho fundamental, la funcón H puede ser

empleada como función de Lyapunov de control para sistemas con estructura PCHD en

bucle cerrado.

Estabilidad en Sistemas Autónomos

Los resultados presentados en esta sección son ampliamente conocidos y

empleados en la literatura del control no lineal [9].

Considérese el conjunto de ecuaciones diferenciales

)( xfx =& (12)

donde x ∈ℜ n . Más generalmente, x denota un conjunto de coordenadas locales en un

espacio m–dimensional χ. Supóngase que f es localmente continua en el sentido de

Lipschitz, implicando la existencia y unicidad de soluciones.

Definición 1: (Estabilidad en sistemas no lineales). Sea x∗ un equilibrio de (12),

es decir, f(x∗) =0, y por tanto x(t; x∗)= x∗, ∀t. El equilibrio x∗ es:

(a) estable, si para cada ε> 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que:

0*

)(*

)( , ttxxxx tto ≥∀<−⇒<− εδ (13)

(b) asintóticamente estable, si es estable y existe c > 0 talque:

*)(

*)( ),(lim xxtxcxx toto =⇒<− (14)

t→ ∞

Una herramienta fundamental para el análisis de estabilidad de los sistemas

dinámicos es el método directo de Lyapunov:

Teorema 1 (Lyapunov). Sea x∗ un equilibrio de (12). Sea V : χ → ℜ + una función

C1 que cumple:

** ,0)(,0)( xxxVxV ≠>= (15)

(es decir, definida positiva en x∗), tal que:

,0)())(()( ≤∇= xfxVxV Tx

& ∀ x ∈ χ (16)

Entonces x∗ es un equilibrio estable. Si además

,0)( <xV& ∀ x ∈ χ , *xx ≠ (17)

entonces x∗ es un equilibrio asintóticamente estable.

Una herramienta muy potente para probar estabilidad asintótica en sistemas no

lineales es el principio de invariancia de LaSalle.

Teorema 2 (Principio de invariancia de LaSalle). V : χ → ℜ n una función C1

para la cual ,0)())(()( ≤∇= xfxVxV Tx

& para todo x ∈ χ. Sea x(t, x0), t ≥ 0 una solución

de x = f(x). Suponga que existe un conjunto compacto B tal que x(t : x0) ∈ B, ∀t ≥ 0.

Entonces x(t,x0) converge al mayor subconjunto de {x ∈ χ| ˙ )(xV& =0} B que es

invariante para el sistema )( xfx =&

Pasividad y Disipatividad

Un aporte importante y más reciente en el control de sistemas no lineales es lo

que se refiere a la pasividad, este concepto de manera intuitiva muestra que un sistema

pasivo no puede entregar más energía de la que está recibiendo y muestra de manera

inmediata la estabilización de un sistema con esta cualidad, es decir un sistema no

lineal que es pasivo se puede estabilizar simplemente haciendo una retroalimentación

negativa de la salida u = −ky, con k > 0. (Ver figura 2)

Figura 2. Sistema Pasivo estabilizado con u=-ky

Para un sistema de entrada u y salida y, se dice que es pasivo si verifica:

ℜ∈∀≥∫ ββ ,0

TydtuT

T (18)

La pasividad es una propiedad importante entre la entrada y la salida de un

sistema y ha sido ampliamente utilizada en el análisis de estabilidad de sistemas no

lineales Este concepto ha sido usado para analizar la estabilidad de sistemas

interconectados [2].

El concepto de pasividad es bastante general, en el sentido de que éste puede

ser definido por cualquier tipo de sistema descrito por una entrada y una salida, y no

necesariamente para sistemas dinámicos. Por otro parte, el concepto de disipatividad

puede ser considerado para un tipo particular de sistemas pasivos, en los cuales están

los sistemas dinámicos descrito por las siguientes ecuaciones:

∑⎩⎨⎧

==

YyuxhyUuuxfx

....),.....,(....),.....,(

:εε&

. (19)

Definición 2: Un sistema Σ se dice que puede ser disipativo con respecto a la tasa de

suministro s, si existe una función S: X → R+, llamada función de energía, tal que para

todo x0 ε X, t1 ≥ t0, y toda función de entrada u

∫+≤1

0)0()1( ))(),(()()(

t

ttt dttytusxSxS (20)

Donde x(t0) = x0 y x(t1) es el estado del Σ en el tiempo t1 producto de la condición inicial

x0 y la función de entrada u.

Esta inecuación es llamada la inecuación de disipación, que expresa el hecho de

que la energía almacenada )( )1(txS del Σ en el tiempo t1 es menor igual a la suma de la

energía almacenada )( )0(txS en el tiempo t0 y la energía total externamente

suministrada ∫1

0

))(),((t

t

dttytus durante el intervalo de tiempo [t0, t1].

Método IDA-PBC

El método basado en pasividad conocido como Interconnection and Damping

Assignment Passivity Based Control o IDA-PBC fue introducido en [1]. Esencialmente

consiste en partir de una estructura PCH en bucle abierto y obtener otra en bucle

cerrado con las propiedades de estabilidad deseadas. Igualando las ecuaciones de

bucle abierto y del sistema deseado se obtiene la ley de control. La filosofía del mismo

no es más que la búsqueda de una función de energía y una estructura Hamiltoniana

para el sistema en bucle cerrado.

A. Realización del sistema mecánico en forma Hamiltoniana controlada por puertos.

Se aplica el enfoque IDA-PBC para regular la posición de sistemas mecánicos

subactuados cuya energía total viene dada por:

)()(21),( 1 qVpqMppqH T += − (21)

donde nn pq ℜ∈ℜ∈ , representan la posición generalizada y el momento generalizado,

0)()( >= qMqM T es la matriz de inercia del sistema, y )(qV es la energía potencial.

Si se asume que el sistema no posee amortiguamiento natural, las ecuaciones

del movimiento pueden escribirse como:

uqGH

HI

I

p

qp

q

n

n⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•

•

)(0

00

(22)

donde nI es la matriz identidad nxn , HH pq ∇∇ , son los vectores columna gradiente de

H respecto de q y respecto de p , y mu ℜ∈ es la función de control.

La matriz nxmG ℜ∈ es determinada por la manera como el control mu ℜ∈ ingresa

en el sistema, y es invertible en el caso que el sistema sea completamente actuado, es

decir, nm = . En esta investigación se considera el caso más difícil en que el sistema es

subactuado, es decir, menos controles que grados de libertad, asumiendo que

nmGrango <=)( .

En la aplicación del método IDA-PBC se siguen dos etapas básicas ([1],[2]): (1) la

etapa del moldeado de la energía, en la cual es modificada la función de energía total

del sistema, considerada como la suma de la energía cinética más la energía potencial,

para asignar el estado de equilibrio deseado; y (2) la etapa de inyección de

amortiguamiento, la cual permite alcanzar estabilidad asintótica. El mecanismo de

estabilización es interpretado en términos del concepto de energía, para lo cual se

requiere obtener una realización del sistema en lazo cerrado en la denominada forma

Hamiltoniana controlada por puertos ([3]).

B. Dinámica Objetivo.

La forma de la ecuación (21) motiva proponer la siguiente forma para la energía

deseada del sistema en lazo cerrado:

)()(21),( 1 qVpqMppqH dd

Td += − (23)

donde 0>= Tdd MM y dV representan la matriz de inercia en lazo cerrado y la función

de energía potencial deseada, respectivamente, y las cuales están por ser definidas. Un

requerimiento básico es que la energía deseada dV posea un mínimo aislado en ∗q ,

esto es:

)(minarg qVq d=∗ (24)

En la teoría de control basado en pasividad (PBC) la entrada de control

usualmente se descompone en dos términos (véase [4])

),(),( pqupquu dies += (25)

donde el primer término es designado para alcanzar el moldeado de la energía,

mientras que a través del segundo término se introduce amortiguamiento al sistema.

En tal caso la dinámica en lazo cerrado adopta la forma Hamiltoniana controlada

por puertos siguiente

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•

•

dp

dqdd H

HpqRpqJ

p

q ),(),( (26)

donde los términos:

00

00),(

0

21

1

≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=−=

−

−

Tv

Tdd

d

dTdd GGK

RRypqJMM

MMJJ (27)

representan las estructuras de interconexión y de amortiguamientos deseadas .

La matriz antisimétrica 2J (y algunos elementos de la matriz dM ) se introducen

como parámetros libres, mientras que la presencia del término dMM 1− está justificada

para preservar la relación pMq 1−•

= . Por otro lado, como es bien sabido, el aporte de

amortiguamiento en sistemas pasivos se logra vía realimentación negativa de la nueva

salida pasiva, la cual en este caso viene dada por dpT HG ∇ . Esta es la razón por la cual

se elige para el término diu de la ecuación (25) la expresión:

dpT

vdi HGKu ∇−= (28)

donde se toma 0>= Tvv KK . Esto justifica el bloque (2,2) en la definición de dR .

C. Estabilidad.

Para la dinámica deseada en lazo cerrado se tiene la siguiente proposición, la

cual revela las propiedades de estabilización del método IDA-PBC:

Proposición 1: El sistema (22) con dH dada por (23) y ∗q dado por (24) posee

un punto de equilibrio estable en )0,( ∗q . Este equilibrio es asintóticamente estable si es

localmente detectable a partir de la salida ),()( pqHqG dT ∇ .

Dem. Véase [1].

D. Moldeado de la Energía.

Para obtener el término de moldeado de la energía esu en el controlador, se

reemplazan (25) y (27) en (22) e igualamos el resultado con (26), es decir,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− −

−

dp

dq

d

des

p

q

n

n

HH

pqJMMMM

uGH

HI

I),(

000

0

21

1

(29)

donde el término dR de (26) se ha cancelado con el término diu de (28).

La primera fila de la ecuación (29) produce una identidad, mientras que la

segunda fila puede expresarse como

pMJHMMHGu ddqdqes1

21 −− +∇−∇= (30)

Si el sistema fuese subactuado, o sea si G fuese invertible, para determinar esu

bastaría premultiplicar por 1−G . En el caso que nos ocupa el sistema es subactuado,

luego G ya no es invertible, sino a lo sumo de rango por columnas máximo, y por lo

tanto el control esu únicamente ejerce influencia sobre los términos en el espacio

imagen del operador G . Esta observación conduce al siguiente conjunto de ecuaciones

de restricción, las cuales deben satisfacerse para cualquier escogencia de esu

{ } 012

1 =+∇−∇ −−⊥ pMJHMMHG ddqdq (31)

donde ⊥G es un anulador izquierdo de rango máximo de G ( o sea, 0=⊥GG ).

La ecuación (31) es un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) no

lineales con incógnitas dd VyM , y con 2J siendo un parámetro libre, mientras que p

es una coordenada independiente. Si puede obtenerse una solución para esta

ecuación, la ley de control resultante esu vendría dada por:

( ) ( )pMJHMMHGGGu ddqdqTT

es1

211 −

−

−+∇−∇= (32)

Las ecuaciones en derivadas parciales (31) pueden de manera natural ser

separadas en términos que dependen de p y términos que son independientes de p , o

sea, aquéllos que corresponden a la energía cinética, y aquéllos que corresponden a la

energía potencial, respectivamente. En tal sentido, la ecuación (31) es equivalente al

par de ecuaciones

( ) ( ){ } 02 12

111 =+∇−∇ −−−−⊥ pMJpMpMMpMpG ddT

qdT

q (33)

{ } 01 =∇−∇ −⊥ VMMVG qdq (34)

La primera ecuación es una ecuación en derivadas parciales no lineal que debe

ser resuelta para los elementos desconocidos de la matriz de inercia en lazo cerrado

dM . Conocida esta dM , la ecuación (34) es una ecuación en derivadas parciales

lineal, y por lo tanto mas fácil de resolver, de manera que la mayor dificultad está en

resolver (33). Una simplificación, que disminuiría considerablemente las dificultades, es

asumir la existencia de una matriz de inercia dM de términos constantes, lo cual

permitiría concentrarse únicamente en hallar la energía potencial deseada dV .

Afortunadamente, esta simplificación puede llevarse a cabo en el caso de

algunos sistemas subactuados, en los cuales la matriz de inercia es función solamente

de la coordenada actuada.

En esta investigación se sigue la orientación de [1] y [2], donde para obtener una

reducción de las EDP (33) y (34), se plantean las siguientes hipótesis:

Hipótesis H1: El sistema posee grado de subactuación 1, es decir, 1−= nm .

Hipótesis H2a: La matriz de inercia depende solamente de la coordenada actuada.

Hipótesis H2b: La matriz de inercia depende solamente de la coordenada no actuada.

Hipótesis H3: El sistema posee dos grados de libertad, y, sin pérdida de generalidad, la

matriz G viene dada por [ ]TG 10= cuando la matriz de inercia depende solamente de

la coordenada actuada. Y cuando la matriz de inercia depende solamente de la

coordenada no actuada, G viene dada por [ ]TG 01= .

La hipótesis H3 es crítica en el presente desarrollo .Las hipótesis H1 y H2

garantizan que el término ( )pMpG dT

qT 1−∇ en la EDP (33) es nulo. En tal caso (33)

puede ser resuelta para una matriz constante dM , para lo cual, sobre la base de su

libertad de escogencia, basta tomar 02 =J . Esto permite concentrarse en el moldeado

de la energía potencial solamente, de manera que la EDP a resolver se reduce a:

{ } 01 =∇−⊥dd VMMG (35)

En el caso que la matriz de inercia depende solamente de la coordenada no

actuada, la filosofía que se aplicará consistirá en asumir como libre la matriz Md,

mientras que la matriz J2 de la ecuación (33) deberá ser calculada.

Teorías relacionadas con la Técnica de Linealización Aproximada Técnica de Linealización Aproximada para Sistemas No Lineales

Los fenómenos de la naturaleza no lineal son susceptibles de aproximaciones

lineales cuyo valor práctico es innegable. La técnica de linealización aproximada o

Jacobiana como también se conoce, propone utilizar sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales que aproximen, tanto en una región restringida del espacio de

estado, y/o del espacio de las entradas y de las salidas del sistema, el comportamiento

descrito por el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineal original.

Es necesario acotar que en el análisis del comportamiento de sistemas

dinámicos no lineales, el método de la linealización aproximada será útil en la vecindad

de su punto de equilibrio, siempre y cuando las perturbaciones que afectan la evolución

del sistema sean suficientemente pequeñas.

A. Linealización Aproximada: Expansión en Serie de Taylor:

Se considera el sistema no lineal (36):

))(()()()),.......(),(()( 00

txhtyxtxtutxftx

===&

(36)

cuyos puntos de equilibrio son constantes y están dados por (U, X, Y). Se escribe el

sistema de ecuaciones diferenciales dado en términos de la ecuación integral

equivalente de la manera siguiente:

)))(),((()(

))(),(()(

0

0

0

0

σσσ

σσσ

duxfxhty

duxfxtx

t

t

t

t

∫

∫+=

+=

(37)

Esta representación tiene sus ventajas al momento de evaluar el efecto causado

sobre los estados y las salidas debido a posibles perturbaciones que se sucedan en el

estado inicial x0 y en la función de entrada u(t).

Se supone que el sistema dinámico se encuentra operando en perfecto equilibrio.

Esto se traduce en lo siguiente:

YxhtyUtuXxtx ===== )()(;.....)(;.....)( 00 (38)

Es decir, el estado inicial en que se encuentra operando al sistema en el instante

t0 coincide enteramente con el estado de equilibrio constante X, el cual se produce de

manera inmutable (si el sistema es asintóticamente estable) sobre la base de sustentar

la entrada constante u=U durante un período de tiempo indefinidamente grande.

Considerando perturbaciones significativas, tanto en el estado inicial de equilibrio

x0 = X, como en la función de entrada de equilibrio u(t) = U, descritas de la manera

siguiente:

);.()(;.....)( 0000 tuUtuxXxxtx δδ δ +=+=+= (39)

Con estas perturbaciones acaecidas alrededor de los valores de equilibrio,

consecuentemente, se suceden cambios o perturbaciones tanto en el estado de

equilibrio constante del sistema x(t) = X como en el valor de la salida y(t)= Y. Utilizando

el sistema de ecuaciones (37), el estado perturbado y la salida perturbada pueden ser

descritos mediante:

))(()(

))(),(()(0

0

txXhty

duUxXfxXtxt

t

δ

δδδ σσσ

+=

++++= ∫ (40)

La expresión (40) constituye una representación exacta del efecto de las

perturbaciones. Ciertamente esta representación no es muy útil puesto que sigue

describiendo mediante una ecuación integral no lineal el valor del nuevo estado x(t)= X

+ xδ(t) y como una relación no lineal el valor de la nueva salida y (t) = Y + yδ(t).

En efecto, a partir de (40) y de las definiciones que se acaban de dar del estado

perturbado y la salida perturbada, se obtiene:

)())(()(

))(),(()(0

0

XhtxXhty

duUxXfxtxt

t

−+=

+++= ∫δδ

δδδδ σσσ (41)

Por lo tanto, se prefiere utilizar una aproximación lineal de estas relaciones. Se

sabe que, en virtud del teorema de expansión en serie de Taylor, se puede escribir los

valores perturbados de las funciones f(•) y h(•) como:

SOTtxxhXhtxXh

SOTtuuftx

xfUXftutxXf

X

UXUX

.............)()())((

......)()(),())(),((),(),(

++∂∂

+=+

++∂∂

+∂∂

+=+

δδ

δδδδ

(42)

donde T.O.S. significa términos de orden superior. Tomando en cuenta que f(X,U) = 0,

la cual viene de la definición de punto de equilibrio, se puede calcular el valor del estado

perturbado como:

σσσ δδδδ dSOTuufx

xfxtx

t

tUXUX

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

+∂∂

+=0

.....)()()(),(),(

0 (43)

Y de la salida perturbada,

)(.............)()()( XhSOTtxxhXhty

X

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

+= δδ

SOTtxxh

X

.............)( ++∂∂

= δ (44)

Si se trunca la serie de Taylor y se desprecia los términos de orden superior

utilizados en las fórmulas anteriores, es evidente que, tanto en la ecuación integral del

estado perturbado como en la ecuación de salida, se obtendrá sólo una aproximación

(lineal en este caso) a los valores de xδ(t) y de yδ(t).

Se adopta como valor aproximado de xδ(t) al valor )(~ txδ , el cual se obtiene al eli-

minar todos los términos de orden superior en la ecuación integral, es decir:

σσσ δδδδ duufx

xfxtx

t

tUXUX

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+=0

)()(~)(~),(),(

0

)(~)(~ txxhty

Xδδ ∂

∂= (45)

El término )(~ txδ no es exactamente igual a xδ(t) y otro tanto sucede con )(~ tyδ y

)(tyδ . Sin embargo, no se establece diferencia entre el valor de la perturbación dado en

(42) y el valor aproximado de la misma obtenido en (45).

Se asume, entonces, como valor perturbado del estado y como valor de la

perturbación de la señal de salida, a la solución de la ecuación integral y a la relación

lineal descritas en (45), es decir,

σσσ δδδδ duufx

xfxtx

t

tUXUX

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+=0

)()()(),(),(

0

)()( txxhty

Xδδ ∂

∂= (46)

B. Representación del Sistema Linealizado:

De esta forma, se designa mediante la matriz A de n filas y n columnas, la matriz

Jacobiana xf∂∂ particularizada en el punto de equilibrio constante (X,U). Mediante el

vector B de n filas se designa al vector uf∂∂ evaluado en (X,U). Igualmente, se designa

mediante el vector fila C al vector xh∂∂ , evaluado en X. De tal forma que las ecuaciones

en (46) se reescriben entonces:

( ) σσσ δδδδ duBxAxtxt

t∫ ++=0

)(*)(*)( 0

)(*)( txCty δδ = (47)

Espacio de estados: Si se toma derivadas respecto del tiempo en esta ecuación

integral, obtenemos una ecuación diferencial equivalente para xδ(t):

)(*)()();....(*)(*)( 00

txctyxtxtuBtxAtx

δδ

δδδδδ

==+=&

(48)

Para dicho sistema de ecuaciones diferenciales, se toma en cuenta como

condición inicial en t = t0, el valor x0δ = x0 - X.

La ecuación diferencial en la expresión (48) representa un sistema de

ecuaciones diferenciales lineales en xδ y en uδ. A este sistema se le llama

representación (lineal) en el espacio de estado, o brevemente, representación de

estado.

La solución xδ(t) es una aproximación al comportamiento de las perturbaciones

que exhibe el sistema no lineal (37) sobre los valores de la trayectoria de equilibrio x(t)

= X y u(t)= U.

En resumen, el sistema dinámico que aproxima las perturbaciones ocurridas al

sistema no lineal cuando éste opera en condiciones estables de equilibrio está

representado por un sistema lineal cuyas ecuaciones de estado y de salida están dadas

por (48).

Las matrices constantes (A, B, C), llamadas matrices Jacobianas, que definen a

esta aproximación lineal están dadas por:

XUXUX xhC

ufB

xfA

∂∂

=∂∂

=∂∂

= ;;),(),(

(49)

Es por esto precisamente que la linealización aproximada también recibe el

nombre de linealización Jacobiana.

En forma aproximada se tiene igualmente:

)()();()();()( tyYtytuUtutxXtx δδδ +=+=+= (50)

o equivalentemente:

YtytyUtutuXtxtx −=−=−= )()(;)()(;)()( δδδ (51)

Éstas últimas se le llaman variables incrementales. En el caso de la entrada u y

el estado x, la interpretación de sus valores perturbados en términos de las variables

originales admite una representación gráfica como la que se muestra en la figura 3.

Figura 3. Relación entre las variables originales y las variables incrementales

Teorías relacionadas con el Modelo Matemático de los Sistemas Mecánicos Modelo Matemático del Sistema TORA: Oscilador Traslacional con Actuación

Rotacional

El denominado sistema TORA (translational oscillator with rotational actuator)

fue introducido por primera vez en [11]. La figura 4 ilustra el sistema TORA consistente

de una plataforma oscilante traslacionalmente de masa 1m , la cual es controlada vía

una masa rotacional excéntrica de masa 2m . El problema es de interés como un caso

de estudio en el diseño de controles no lineales debido a que el modelo exhibe una

interacción no lineal entre sus movimientos traslacional y rotacional.

Figura 4. El Sistema TORA

La matriz de inercia del sistema posee la forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

Irmqrmqrmmm

M 2222

2221

)cos()cos(

(52)

donde 2q es el ángulo de rotación de la masa 2m , r es su radio de excentricidad, e I

es el momento de inercia. Si denotamos por 1q la posición generalizada del sistema,

por [ ]Tqqq 21= , por g la constante de gravedad, y por ( )21 ,qqV la energía potencial

de la masa 2m , el Lagrangiano del sistema viene expresado como:

( ) ( )21

2

1221 ,

21, qqV

q

qqMqqqqL −⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

•

••••

(53)

con energía potencial dada por:

( ) )cos(21, 22

2121 qgrmqKqqV += (54)

siendo K la constante de rigidez del resorte.

Si denotamos por τ la fuerza actuadora sobre el punto de giro de 2m , las

ecuaciones de Euler-Lagrange para el sistema TORA adoptan la forma:

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+−++••••

•••••

τ)sin()cos(

0)sin()2cos(

2222

2122

12

22222121

qgrmqIrmqqrm

Kqqqrmqqrmqmm (55)

resultando así un sistema con 2 grados de libertad, con grado de subactuación 1, y con

2q como coordenada actuada . De tal manera que se satisfacen las hipótesis H1, H2 y

H3, con [ ]TG 10= .

Denotando Irmcrmcmmc +==+= 22322211 ,, , y definiendo el momento de

inercia generalizado mediante •

= qMp , la matriz de inercia M se escribe como:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

322

2212 )cos(

)cos(cqc

qccqM (56)

donde, a fin de obtener ( )2qM inversible, debe asumirse la siguiente relación entre los

parámetros:

02231 >−ccc (57)

Modelo Matemático del Sistema ACROBOT:

El denominado sistema ACROBOT fue introducido por primera vez en [4]. La

figura 5 ilustra el interesante caso del sistema ACROBOT consistente de dos brazos

mecánicos giratorios con masas 1m y 2m respectivamente. El problema es de interés

como un caso de estudio en el diseño de controles no lineales debido a que el modelo

exhibe una interacción no lineal entre sus movimientos rotacionales.

Las ecuaciones del movimiento del Acrobot, del cual se muestra un esquema en

la figura 5 son dadas por (1) y (2), con n= 2, m=1,

( ) ( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++

=2232

23223212 cos

coscos2cqcc

qccqcccqM , (58)

( ) ( ) ( )[ ]21514 coscos qqcqcgqV ++= , (59)

donde g es la constante de gravedad y los parámetros son:

225121142123

22

22212

122

111

, ccc

cc

lmclmlmcllmcIlmcIlmlmc

=+==+=++= (60)

los cuales verifican la restricción 2

321 c›cc , que garantiza la inversibilidad de la matriz de inercia. El objetivo de control es estabilizar la posición de equilibrio vertical, o sea, la posición ( )0,0* =q .

Figura 5. Esquema del sistema Acrobot, con 2~

11π−= qq

Antecedentes de la Investigación

A continuación se presentan algunos estudios realizados sobre la aplicación del

método IDA-PBC, resaltando de ellos, los aspectos significativos que sirven de

referencia teórica a la realización del presente trabajo.

Ortega, Spong, Gómez y Blankestein. (2002) en su trabajo Stabilization of a

class of underactuated mechanical systems via interconnection and damping

assignment, presentaron la caracterización de una clase de sistemas para los

cuales el método IDA-PBC logra el diseño de controladores que permitan la

estabilidad asintótica en un dominio garantizado de atracción.

Ortega, van der Schaft, Masche, y Escobar. (2002) en su trabajo Stabilization

of port-controlled Hamiltonian systems: Energy balancing and passivation,

presentaron como el mecanismo de estabilización es interpretado en términos

del concepto de energía, para lo cual se requiere obtener una realización del

sistema en lazo cerrado en la denominada forma Hamiltoniana controlada por

puertos.

Acosta, Ortega, y Astolfi. (2005) en su trabajo Interconnection and damping

assignment passivity-based control of mechanical systems with actuation degre

one, desarrollaron un método adecuado para resolver las EDPs para el caso de

sistemas que tengan subactuación de grado 1 y la matriz de inercia dependa

solamente de la coordenada actuada.

Mahindrakar, Astolfi, Ortega y Viola. (2006) en su trabajo Further constructive

results on interconnection and damping assignment control of underactuated

mechanical systems: The acrobot example, desarrollaron una serie de

condiciones sobre el sistema y sobre las matrices de inercia asignables tales que

dichas ecuaciones en derivadas parciales puedan ser resueltas. Adicionalmente,

introducen un procedimiento de reparametrización de las funciones que aparecen

en el término independiente de las ecuaciones que permite la integración de las

mismas, obteniendo una solución constructiva para el moldeado de la energía

potencial.

Morillo, Ríos y Acosta. (2008) en su trabajo Control no lineal de sistemas

mecánicos sub-actuados basado en el enfoque IDA-PBC: el caso del sistema

TORA, logran obtener una solución para las EDPs mediante un proceso de

reducción que logra simplificar dichas ecuaciones y hacer más fácil su solución.

Morillo, Ríos y Arteaga. (2008) en su trabajo Una estrategia de control no lineal

para el sistema Acrobot basada en el enfoque IDA-PBC, presentaron la

aplicabilidad del método IDA-PBC en sistemas con 2 grados de libertad y

subactuación de grado 1, en el caso que la matriz de inercia dependa solamente

de la coordenada actuada, como es el caso del sistema ACROBOT.

Hipótesis de Estudio

De lo anteriormente planteado y con el desarrollo de la investigación se intentará

darle respuesta a la hipótesis de estudio:

Los sistemas mecánicos subactuados de grado 1 son susceptibles a ser

estabilizados mediante el método IDA-PBC.

CAPÍTULO III MARCO METODOLÓGICO

Tipo de Investigación Utilizando la clasificación mostrada en [7], esta será una investigación del tipo

aplicada, que inicialmente recogerá los trabajos y avances bibliográficos sobre el tema a

estudiar para luego plantear un desarrollo sistemático para el análisis, diseño y

simulación de sistemas mecánicos subactuados de grado 1 mediante el método IDA-

PBC. Este tipo de investigación se caracteriza porque busca la aplicación o utilización

de los conocimientos que se adquieren. Tal y como lo expone Grajales en [7]; la

investigación aplicada, guarda íntima relación con la básica, pues depende de los

descubrimientos y avances de la investigación básica y se enriquece con ellos, pero se

caracteriza por su interés en la aplicación, utilización y consecuencias prácticas de los

conocimientos. La investigación aplicada busca el conocer para hacer, para actuar, para

construir y para modificar.

Procedimiento de la Investigación Tratando de cumplir con las premisas del Método IDA-PBC propuesto por [1], para

el control de sistemas mecánicos subactuados de grado 1, se lleva a cabo un

procedimiento que consta de siete (7) etapas, sistematizadas de la siguiente forma:

Revisión bibliográfica, realización Hamiltoniana, moldeado de la energía, inyección de

amortiguamiento, análisis de la estabilidad, simulaciones numéricas y rediseño de las

funciones. (Ver figura 6).

A continuación se explica en que consiste cada una de estas etapas para el

desarrollo del método IDA-PBC en sistemas mecánicos subactuados de grado1:

Revisión Bibliográfica: En esta etapa se realiza una revisión de los artículos y

libros mencionados en la referencia.

Realización Hamiltoniana: En esta etapa se procede a determinar las

realizaciones Hamiltonianas de los sistemas mecánicos considerados,

Moldeado de la Energía: En esta etapa se determina las estructuras de

interconexión modificando la función de energía del sistema para asignar el

estado de equilibrio deseado.

Inyección de Amortiguamiento: En esta etapa se determina la estructura de

amortiguamiento que permite alcanzar la estabilidad asintótica. Adicionalmente,

se hace el análisis de los puntos de equilibrio de cada sistema en lazo abierto,

utilizando la técnica de la Linealización Jacobiana.

Análisis de la Estabilidad: En esta etapa se analiza la estabilidad de los sistemas

en lazo cerrado y la estabilidad asintótica aplicando el Principio de Invariancia de

Lasalle.

Simulaciones Numéricas: En esta etapa se realizan simulaciones

computacionales usando la plataforma de Matlab 7.1 para mostrar el desempeño

del controlador propuesto.

Rediseño de las funciones: En esta etapa se procede a rediseñar las funciones a

partir de los resultados obtenidos en las simulaciones.

Figura 6. Etapas del Método IDA-PBC (Pérez, 2009)

Revisión Bibliográfica Realización Hamiltoniana

Moldeado de la Energía

Inyección de Amortiguamiento

Análisis de Estabilidad

Simulaciones Numéricas

Rediseño de las Funciones

El método IDA-PBC persigue una dinámica en bucle cerrado con función de

Hamilton Hd(q,p) y una matriz antisimétrica también llamada de interconexión

generalizada de la forma Jd(q,p)= −Jd(q,p)T que permite aumentar los grados de

libertad en el diseño. Las ecuaciones de estado en lazo abierto y cerrado se deben

ajustar exactamente. Esto quiere decir que la ley de control u debe calcularse de modo

que

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

−=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

dp

dqdd

p

q

n

n

HH

RJGuHH

II

pq

00

&

& (61)

donde Rd(q) ≥ 0 la matriz de disipación en bucle cerrado. Las principales dificultades de

este método aparecen en el caso de sistemas subactuados, donde el conjunto de

funciones de Hamilton Hd alcanzables en bucle cerrado es limitado, y depende de la

resolubilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. En efecto, en el caso

subactuado existe una matriz ⊥G de rango m<n siendo n el número de grados de

libertad, que represente las direcciones en las que la ley de control no tiene efecto,

cumpliéndose que

0=⊥GG (62)

es decir, si G es una matriz constante, las filas de ⊥G forman el núcleo de G. Si se

premultiplica (61) por ⊥G se obtiene:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⊥⊥

dp

dqdd

p

q

n

n

HH

RJGHH

II

pq

G0

0&

& (63)

Esta ecuación ha de cumplirse para cualquier valor de la ley de control, y por lo

tanto representa una restricción en el conjunto de sistemas hamiltonianos alcanzables

en bucle cerrado definidos por las matrices (Hd, Jd, Rd). Una correcta elección de los

parámetros (Hd, Jd, Rd) debe ser compatible con estas ecuaciones de ajuste y al

mismo tiempo representar una dinámica en lazo cerrado con las propiedades deseadas

en términos de estabilidad. Proporcionar métodos de cálculo de las (Hd, Jd, Rd)

adecuadas y de leyes de control para el ajuste lazo abierto-lazo cerrado es la esencia

del método IDA-PBC.

Programas de Simulación Numérica Para corroborar el comportamiento esperado de los sistemas controlados se

diseñaron programas utilizando la herramienta computacional Matlab 7.1. Para simular

un sistema no lineal controlado utilizando Matlab, se requieren dos programas

llamados: Programa de simulación y Programa del sistema o modelo a simular. El

programa de simulación permite definir los lineamientos básicos de la simulación:

tiempo de simulación (inicial y final), condiciones iniciales y tipo de algoritmo de

simulación (ode23, ode45,…); inclusive se puede definir los parámetros del sistema

controlado y hasta graficar los resultados de la simulación. Este programa consiste en

un conjunto lógico de instrucciones de ejecución secuencial denominado script en el

ambiente Matlab. El corazón principal de este programa es el algoritmo de simulación.

En esta investigación se utilizó el algoritmo ode45, el cual es un método de resolución

de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante fórmulas de Runge-Kutta de cuarto y

quinto orden.

El modelo a simular se presenta por medio de un programa o función, o function

en Matlab, en el cual se plantean explícitamente las ecuaciones diferenciales asociadas

al sistema de control. Esencialmente, posee dos parámetros de entrada, el tiempo t de

simulación y la variable de estado x, representadas por ( 121 ,, pqq y 2p ), debido a que

éstas son las variables utilizadas directamente por los algoritmos de simulación. Junto

con las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema, aparece la ley

de control diseñada, la cual puede estar definida a través de variables auxiliares

locales. A diferencia del script, el modelo a simular requiere un encabezado con la

palabra function <salida> = <nomarch>(t,x), donde <salida> corresponde al vector

x& que refleja la dinámica del sistema, <nomarch> es el nombre original del programa,

que tiene la extensión .m y el par (t,x ) representan las variables de tiempo y de estado

correspondientes de la simulación y del sistema a simular.

Para la etapa de Moldeado de la energía, se diseñaron dos programas que

permitieron verificar si la función de energía potencial deseada (Vd) hallada en la

resolución de la EDP, cumplía con ser una función de Lyapunov.

Para la etapa de Simulaciones numéricas y Rediseño de las funciones, se

diseñaron cuatro programas que permitieron corroborar el comportamiento esperado

de los sistemas a controlar.

Descripción de los Programas de Simulación Numérica

El diseño de estos programas de simulación numérica, permiten proporcionar

información numérica y gráfica, sobre la función correcta de Hd, Jd, Rd y la ley de

control para el ajuste lazo abierto-lazo cerrado, que permitan que el sistema en lazo

cerrado tenga el miso comportamiento de la dinámica objetivo.

Para el sistema TORA, se diseñaron 6 programas descritos como: 3 programas

de simulación y 3 programas del sistema o modelo a simular. Los dos primeros

denominados VDESTORA Y SIMVDESTORA como se muestra en el anexo A, están

dirigidos a verificar si la Vd hallada en la resolución de la EDP, cumple con ser una

función de Lyapunov.

Los dos siguientes programas denominados TORALAZ y SIMTORALAZ como

se muestra en el anexo B, están dirigidos a corroborar el comportamiento de la

dinámica en lazo cerrado.

Asímismo, los programas denominados TORADIN y SIMTORADIN como se

muestra en el anexo C, están dirigidos a corroborar el comportamiento de la dinámica

objetivo.

Para el sistema ACROBOT de igual forma se diseñaron 6 programas. Los dos

primeros denominados VDESACRO Y SIMVDESACRO como se muestra en el anexo

D, están dirigidos a verificar si la Vd hallada en la resolución de la EDP, cumple con ser

una función de Lyapunov.

Los dos siguientes programas denominados ACROLAZ y SIMACROLAZ como

se muestra en el anexo E, están dirigidos a corroborar el comportamiento de la

dinámica en lazo cerrado.

Asimismo, los programas denominados ACRODIN y SIMACRODIN como se

muestra en el anexo F, están dirigidos a corroborar el comportamiento de la dinámica

objetivo.

CAPÍTULO IV RESULTADOS OBTENIDOS

A continuación se presentan dos interesantes casos de sistemas mecánicos

subactuados de grado 1, el Sistema TORA y el Sistema ACROBOT. Estos sistemas han

sido seleccionados para analizar la estabilidad aplicando el método IDA-PBC, y así

probar de esta manera la efectividad del método. Es importante mencionar que todos

los cálculos que se hicieron necesarios realizar se llevaron a cabo utilizando el

programa computacional Maple 10.

Sistema TORA El sistema TORA es de interés como un caso de estudio en el diseño de

controles no lineales debido a que el modelo exhibe una interacción no lineal entre sus

movimientos traslacional y rotacional.

Estabilización del Sistema TORA

A. Realización Hamiltoniana

El sistema Hamiltoniano Generalizado es:

uxGHJx *)(+∇=&

donde la matriz J es antisimétrica, siendo la más sencilla:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0

0

n

n

II

J

L*cos(q2) q2 L

h

h = L - L*cos(q2)

h = L*(1 - cos(q2))



uGH

HI

Ipq

p

q

n

n⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ 00

0&

&


H respecto de q y respecto de p , y mu ℜ∈ es la función de control. La matriz nxmG ℜ∈ es determinada por la manera como el control mu ℜ∈ ingresa en el sistema, y

es invertible en el caso que el sistema sea completamente actuado, o sea, nm = . En

esta investigación se considera el caso más difícil en que el sistema es subactuado, es

decir menos controles que grados de libertad, y asumimos que mGrango =)( .

Para el sistema TORA n = 2 y m = 1 → m<n → Sistema subactuado de grado 1

La energía total del sistema viene dada por:

PotencialEnergíaCinéticaEnergíaH +=

)(21 1 qVPMPH T += −



Para el sistema TORA la matriz M es la siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

322

221

)cos(*)cos(*

cqcqcc

M

Y la energía potencial es la siguiente:

))cos(1(21)( 22

21 qgLmKqqV −+=

Se busca con el método IDA-PBC hacer coincidir el comportamiento del sistema

en lazo abierto con la dinámica objetivo.

La dinámica objetivo según éste método viene dada por:

( ) ddd HRJx ∇−=&

donde:

Jd: Matriz de interconexión

Rd: Matriz de amortiguamiento

Md: Matriz de inercia deseada

Cuyas estructuras son las siguientes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

−

−

0*0

1

1

MMMM

Jd

dd , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= T

vd GKG

R**0

00 y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32

21

aaaa

Md

B. Moldeado de la Energía



),(),( pqupquu dies += (63)



Por otro lado, como es bien sabido, el aporte de amortiguamiento en sistemas pasivos

se logra vía realimentación negativa de la nueva salida pasiva, la cual en este caso

viene dada por dpT HG ∇ . Esta es la razón por la cual se elige para el término diu de la

ecuacióm (66) la expresión

dpT

vdi HGKu ∇−= (64)


Al igualar el sistema en lazo abierto y la dinámica objetivo resulta lo siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎭⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎩⎨⎧

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dqT

d

d

p

q

n

n

HH

GKvGMMMM

uGH

HI

Ipq

**000

0**00

00

1

1

&

& (65)

donde Hd es la energía total deseada que mantiene la misma forma de la energía total

original del sistema y esta expresada por:

)(21 1 qVPMPH d

Td += −


reemplazan (63) y (64) en (65) se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dq

d

des

p

q

n

n

HH

pqJMMMM

uGH

HI

Ipq

),(00

00

21

1

&

& (66)


La primera fila de la ecuación (66) produce una identidad para q& como sigue a

continuación:

dpdp HMMHq ∇=∇= −1&

pMpMMMpMq dd1111 −−−− ===& → Con lo que se consigue que la primera

ecuación es una igualdad.

De tal manera que q& equivale a:

pMqq

q 1

2

1 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

&

&& (67)

donde ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

pp

p y M es la matriz de inercia, entonces se procede a calcular 1−M

como sigue:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=322

221

)cos()cos(

cqcqcc

M → ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==−

122

223

1

1

)cos()cos(1

cqcqcc

Mδ

donde 222311 ))cos(( qccc −=δ

Se sustituye las ecuaciones anteriores en (67) resultando lo siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

2

1

122

223

1

1

2

1

)cos()cos(1

pp

cqcqcc

pMqq

qδ&

&&

donde la primera ecuación correspondiente a 1q& es la siguiente:

[ ])cos(122213

11 qpcpcq −=

δ& (68)

Y la segunda ecuación correspondiente a 2q& es la siguiente:

[ ]212121

2 )cos(1 pcqpcq +−=δ

& (69)

Ahora se resuelve la segunda fila de la ecuación (66) correspondiente a p& como

sigue a continuación:

pMJHMMHGu ddqdqes1

21 −− +∇−∇= (70)

Si el sistema fuese subactuado, o sea si G fuese invertible, para determinar

esu bastaría premultiplicar por 1−G . En el caso de estudio el sistema es subactuado,





{ } 012







( )( )pMJHMMHGGu ddqdqT

es1

21−

− +∇−∇= (72)





par de ecuaciones:

( ) ( ){ } 02 12


qdT

q (73)

{ } 01 =∇−∇ −⊥ VMMVG qdq (74)





resolver (73). Una simplificación, que disminuye considerablemente las dificultades, es


permite concentrarse únicamente en hallar la energía potencial deseada dV .




En esta investigación, se sigue la orientación de [1] y [4], donde para obtener una



Hipótesis H2: La matriz de inercia depende solamente de la coordenada actuada.

Hipótesis H3: El sistema posee dos grados de libertad, y, sin pérdida de

generalidad, la matriz G viene dada por [ ]TG 10= .

La hipótesis H3 es crucial en el presente desarrollo .Las hipótesis H1 y H2






{ } 01 =∇−⊥dd VMMG (75)

De esta forma la segunda fila de la ecuación (66) queda:

dqdesq HMMuGHp ∇−=+−∇= − *** 1& (76)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dq

dq

q

q

HH

cqcqcc

aaaa

uHH

pp

p2

1

2

1

122

223

132

21

2

1

)cos(*)cos(*1**

10

δ&

&&

Además, como la matriz Md es constante → dqdq VH11

∇=∇ y dqdq VH22

∇=∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dq

dq

q

q

VV

caqcaqcacacaqcaqcaca

uHH

pp

p2

1

2

1

1322222332

1222122231

12

1

)cos()cos()cos()cos(1*

10

δ&

&& (77)

La primera fila de p& es 1p& :

[ ]VdcaqcaVdqcacaHp qqq 211))cos(())cos((1

12221222311

1 ∇+−+∇−−=−∇=δ

& (78)

11 KqHq =∇ se sustituye en (80) para conseguir la EDP para encontrar Vd.

[ ]VdcaqcaVdqcacaKq qq 2122211222311

1 ))cos(())cos((1∇+−+∇−−=−

δ (79)

Claramente el sistema TORA satisface las hipótesis H1, H2 y H3 comentadas

anteriormente, por lo tanto, la atención puede concentrarse en la resolución de la EDP

de la ecuación (79). Para ello se define la matriz Md mediante:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32

21

aaaa

Md , con 01 >a y 02231 >− aaa (80)

La ecuación (79) puede reescribirse como:

122112

121

22112

22231

)cos()cos()cos(

Kqqcaca

VqVqqcacaqcaca

dd ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=∇+∇⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− δ (81)

La ecuación anterior puede intentar resolverse usando el comando pdsolve del

programa Maple pero se obtiene una solución extremadamente complicada válida para

cualquier conjunto de valores de los parámetros 321 ,, ayaa . Para resolver esta

dificultad, se recurre a un subconjunto de valores posibles para estos parámetros que

reducen la complejidad de la ecuación.

Se denota:

)cos()cos(

)cos()cos(

221

243

22112

22231

2

1

qbbqbb

qcacaqcaca

++

=−−

=γγ (82)

donde 224313212121 ,,, cabycabcabcab −==−== . Una simple división en el término

de la derecha de (82) da lugar a:

)cos(

1.2212

4123

2

4

2

1

qbbbbbbb

bb

+−

+=γγ (83)

de manera que se obtiene:

041232

4

2

1 =−⇔= bbbbbb

γγ (84)

Es decir,

111

32

1

2

2

1 aacc

aaa

αγγ

=±=⇔= (85)

En lo sucesivo, para simplificar, se toma únicamente el valor positivo de la

constante α .

Sobre el conjunto:

{ }123213

321 )80(,/),,( aaademásysatisfacenayaaaaa α=ℜ∈ (86)

Sustituyendo 12 aa α= y 222311 ))cos(( qccc −=δ en la ecuación (81):

122111

22231

2122111

22131

)cos())cos((

)cos()cos( Kq

qcacaqcccVqVq

qcacaqcaca

dd ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=∇+∇⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−αα

α

12211

223122312

11

12211

2231

)cos(())cos())(cos((11

)cos(()cos((

Kqqcca

qcccqcccVq

qVq

qqccaqcca

dd⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

=∇+∇⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−/−/

ααα

[ ]1

223122231

221

11

12231

221

221

223 )cos()cos(

)cos(11)cos(

)cos()cos()cos(

aKqcccVq

qcccqcc

qVq

qqcccqcc

qccqcc

dd +=∇⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+∇

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− αα

αα

[ ]1

223122231

221

11

12231

223 )cos()cos(

)cos(11cos(

)cos(aKqcccVq

qcccqcc

qVq

qqcccqcc

dd +=∇⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+∇

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

− αα

Como 1

3

cc

=α

[ ]1

223122231

2211

3

11

12231

221

33

)cos()cos(

)cos(11

cos(

)cos(

aKqcccVq

qccc

qcccc

qVq

qqccc

qccc

c

dd +=∇

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+∇

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

[ ]1

2231222311

21213

11

122311

22313 )cos())cos((

)cos(11))cos((

)cos(aKqcccVq

qcccc

qccccq

Vqqqcccc

qccccdd +=∇

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+∇

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

[ ]1

223122231

2213

1

1

11

12231

2213

1

3 )cos()cos(

)cos(11)cos(

)cos(aKqcccVq

qccc

qccc

c

cq

Vqqqccc

qccc

c

cdd +=∇

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−+∇

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

Finalmente se consigue la EDP para hallar la Vd:

[ ])cos(12231

12

11

1

qcccaKVq

qVq

q dd +=∇+∇α (87)

La aplicación del método de las características a la ecuación (87) conduce a la

solución de la EDP. Este método se aplica a continuación:

Se toma como condición inicial: )()(0)()(: 21 sfsVsqssq d ===γ

Se multiplica la ecuación (87) por 1q , resultando:

[ ])cos( 22311

121 qccc

aKqVqVq dd +=∇+∇α (88)

El sistema característico es:

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

=

=

)cos(

1

22311

1

2

1

qccca

Kqdt

dVdt

dqdtdq

d

α

Se resuelve la primera EDO del sistema característico:

∫ ∫=1

10 01

q

q

t

dtdq α → 010

11

tt

qq

q α= → tsq α=−1 → stq += α1 → tqs α−= 1

Se resuelve la segunda EDO del sistema característico:

∫ ∫=2

20 02

q

q

t

dtdq → 020

22

tt

qq

q = → tq =2

De lo anterior ⎩⎨⎧

−==

21

2

qqsqtα

Se resuelve la tercera EDO del sistema característico:

[ ]∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

tV

Vd dtqccc

aKqdV

d

d 02231

1

1 )cos(0

Se sustituye 21 qtstq =+= α

[ ]∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

tV

Vd dttccc

astKdV

d

d 0231

1

)cos()(

0

α

∫ ∫ ∫ ∫+++=t t t t

d

dd dt

atKscdt

attKdt

asccK

dtcca

tKVV

V0 0 0 0 1

2

11

3131

10

)cos()cos(αα

( )0

)(0

)()cos(002 1

2

1

2

1

3131

1

2

0t

tsena

Ksctttsent

acKt

ta

sccKtcc

atKVV dd ++++=−

αα

( ) )()()cos(2

)(1

2

1

2

1

3131

1

2

tsena

Kscttsenta

cKta

sccKcc

atKsfVd ++++=−

αα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++++= )()()cos(

2)( 22223131

2

1

tssenccttsenctcstcccctaKsfVd αααα

Se sustituyen t y s por ⎩⎨⎧

−==

21

2

qqsqtα

y se toma 221 )(

21)( qqRsf d α−=

)(sf es una función arbitraria de la variable 21 qqs α−= . Para asignar el punto

de equilibrio en el origen a la función dV puede elegirse la función )(sf como

( )22121)( qqRsf d α−= , donde se ha introducido Rd como un parámetro de diseño y

con lo cual se obtiene finalmente para la energía potencial deseada:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−++−++−= )()()()cos()(

2)(

21

22122222222213131

22

1

221 qsenqqccqsenqcqcqqqcccc

qaKqqRV dd ααααα

αα

Simplificando términos comunes resulta finalmente la solución de la EDP:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++−+−= )()cos(

2)(

21

212222213131

22

1

221 qsenqccqcqqcccc

qaKqqRV dd αα

αα (89)

Se sabe por el Principio de Lagrange que:

=

y

Se procede a calcular los puntos críticos de la función Vd, es decir, 0=∇ dqV

LLLooosss pppuuunnntttooosss dddeee

eeeqqquuuiii lll iiibbbrrriiiooo dddeeelll

SSSiiisssttteeemmmaaa

LLLooosss pppuuunnntttooosss

cccrrríííttt iiicccooosss dddeee VVVddd


eeeqqquuuiii lll iiibbbrrriiiooo

eeessstttaaabbbllleee


mmmííínnniiimmmooosss dddeee VVVddd

1

2223121

1

))(()(

aqsencqccK

qqRqV

dd +

+−=∂∂ α

1

2122213123121

2

))cos()(()(

aqqcqsencqccqccK

qqRqV

dd +−+−

+−−=∂∂ αα

αα

dqdqdd VH

qV

qV

∇=∇==∂∂

=∂∂

021

0))((

)(1

2223121 =

++−

aqsencqccK

qqRd α

0))cos()((

)(1

2122213123121 =

+−+−+−−

aqqcqsencqccqccK

qqRd

αααα

Resultando ser 01 =q y 02 =q → Puntos críticos de Vd y por lo tanto puntos

de equilibrio del sistema TORA.

Se evalúa la función Vd en (0,0) → Vd(0,0) = 2cα - 2cα =0

Para verificar si el punto (0,0) es un punto mínimo se procede a calcular el

Hessiano:

)0,0(

)(

22

2

21

221

2

21

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

qV

qqV

qqV

qV

vHessdd

dd

d

dd R

qV

=∂

∂)0,0(2

1

2

1

2312

1

212223122

2

2 ))()cos(()0,0( a

cKccKR

aqsenqcqcccK

RqV

ddd αα

ααα

α−

−=+−−

+=∂

∂

1

231

1

2231

21

2 ))cos(()0,0( a

KcccKR

aqcccK

Rqq

Vdd

d ++−=

++−=

∂∂∂

αα

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

++−

++−

=

1

2312

1

231

1

231

)(

acKccK

Ra

KcccKR

aKcccK

RRvHess

dd

dd

d αααα

α

Para que exista un mínimo en la función Vd los menores deben ser positivos:

Determinante 1: 0>dR

Determinante 2: 02

1

231

1

231 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−−

aKcccK

Ra

KcccKRR d

dd α

αα

02

1

231

1

231 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−−

aKcccK

Ra

KcccKRR ddd ααα

01

231

1

231 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

aKcccK

RRa

KcccKR ddd ααα

01

231

1

231 >⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

aKcccK

aKcccK

Rdα

1

231

1

231

aKcccK

aKcccK

Rd

−−>

−+− α

1

231

1

231

aKcccK

aKcccK

Rd

−−

−−>− α

1

231 )(2

aKcccK

Rd

−−>− α

α1231 )(

2a

KcccKRd

+<

Por lo tanto, si se cumple que α1

231 )(2

aKcccK

Rd

+< → el Hess(vd(0,0)) es

definido positivo → (0,0) es un mínimo y es un punto de equilibrio es estable.

A continuación se comprueba que la solución encontrada para Vd satisface la

EDP de la ecuación (88):

Se sustituyen 1q

Vd

∂∂ y

2qVd

∂∂ en la EDP de la ecuación (88):

[ ])cos())cos()((

)(1))(()( 2231

11

2122213123121

11

2223121

1

qcccaK

aqqcqsencqccqccK

qqRqa

qsencqccKqqR

q dd −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+−+−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−

αααααα

[ ])cos()cos())(()())(()(2231

111

212

11

131

11

22231

1

21

11

22231

1

21 qcccaK

aqqqKc

aqqccK

aqqsencqccK

qqqR

aqqsencqccK

qqqR dd −=+

//+

+−

−−

++

− αααααα

Resultando:

[ ] [ ])cos()cos( 22311

22311

qcccaKqccc

aK

−=− → Se cumple la igualdad, por lo tanto

la función Vd hallada si es solución de la EDP.

A continuación se presenta los resultados obtenidos utilizando los programas

computacionales VDESTOR Y SIMVDESTOR, los cuales fueron diseñados para

comprobar que la Vd hallada al resolver la EDP, es la función Lyapunov que se necesita

para calcular la función de control que permita estabilizar el sistema TORA.

Al ejecutar dichos programas se obtiene los siguientes resultados para la función

Vd del sistema TORA:

(1) grafica la función

-2-1.5-1-0.500.511.52-2

02

0

50

100

150

200

250

300

350

Figura 7. Gráfica de la Función Vd

(2) grafica las curvas de nivel de la función

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 8. Curvas de Nivel de la Función Vd

(3) determina si la función es cóncava o convexa en (0,0)

Ingrese x: 0

Ingrese y: 0

valores_propios =

22.7129

90.0000

Existe un mínimo y la función es convexa

(4) Puntos críticos de la función

x =

1/18*33^(1/2)*atan(i*131^(1/2),-2*33^(1/2))-1/18*i*131^(1/2)

1/18*33^(1/2)*atan(-i*131^(1/2),-2*33^(1/2))+1/18*i*131^(1/2)

0.

0.

y =

atan(i*131^(1/2),-2*33^(1/2))

atan(-i*131^(1/2),-2*33^(1/2))

0.

0.

(5) Hessiano y Gradiente en (0,0)

grad =

0 0

hess =

90.0000 0

0 22.7129

Una vez encontrada la Vd correcta se procede a determinar la función de control

ues que permita estabilizar el sistema TORA.

Se retoma la ecuación (79) para despejar la ues que logre que el sistema en lazo

cerrado tenga el mismo comportamiento de la dinámica objetivo:

dqdesq HMMuGHp ∇−=+−∇= − *** 1&

dqdqes HMMHuG ∇−∇= − *** 1 , tomando en cuenta que G no es inversible, se

hace lo siguiente:

)**(* 1dqdq

Tes

T HMMHGuGG ∇−∇= −

)**()(*)()( 111dqdq

TTes

TT HMMHGGGuGGGG ∇−∇= −−−

)**( 1dqdq

Tes HMMHGu ∇−∇= −

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

=dq

dq

q

qes V

Vcqc

qccaaaa

HH

u2

1

2

1

122

223

131

11

)cos()cos(110

δαα

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

+−−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

=dq

dq

q

qes V

Vcaqcaqcacacaqcaqcaca

HH

u2

1

2

1

1322122331

1122122131

1 )cos()cos()cos()cos(110

αααα

δ

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇+−+∇−∇+−+∇−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

=dqdq

dqdq

q

qes VcaqcaVqcaca

VcaqcaVqcacaHH

u21

21

2

1

))cos(()cos())cos(())cos((110

1322122331

1122122131

1 αααα

δ

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∇+∇+−+∇−−

∇+∇+−+∇−−=

HVcaqcaVqcaca

HVcaqcaVqcacau

qdqdq

qdqdq

es

221

121

]))cos(()cos([1

]))cos(())cos([(1

101322122331

1

11221221311

ααδ

ααδ

HVcaqcaVqcacau qdqdqes 221]))cos(()cos([1

13221223311

∇+∇+−+∇−−= ααδ

(90)

Es conocido que la energía total deseada del sistema tiene la forma:

ddT

d VpMpEpdEcdH +=+= −1

21

ddT

d VpMpH += −1

21

Sustituyendo la ecuación (92) que corresponde a la Vd calculada se tiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++−+−+= − )()cos(

2)(

21

21

212222213131

22

1

221

1 qsenqccqcqqccccq

aKqqRpMpH dd

Td αα

αα

Ahora se procede a calcular 1q

Vd

∂∂ ,

2qVd

∂∂ y

2qH

∂∂

1

2223121

1

))(()(

aqsencqccK

qqRqV

dd +

+−=∂∂

α

1

2122213123121

2

))cos()(()(

aqqcqsencqccqccK

qqRqV

dd +−+−

+−−=∂∂ αα

αα

Para H se tiene que:

)(21 1 qVpMpH T += − y ))cos(1(

21)( 22

21 qgLmKqqV −+=

))cos(1(

21

21

222

11 qgLmKqpMpH T −++= −

[ ] ))cos(1(21

)cos()cos(1

21

222

12

1

122

223

121 qgLmKq

pp

cqcqcc

ppH −++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

δ

[ ] ))cos(1(21

)cos()cos(

21

222

121212

2221321

1

qgLmKqpcqpc

qpcpcppH −++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−=

δ

[ ] ))cos(1(21)cos()cos(

21

222

12

21221222122

131

qgLmKqpcqppcqppcpcH −+++−−=δ

[ ] ))cos(1(21)cos(2

21

222

12

2122122

131

qgLmKqpcqppcpcH −+++−=δ

Sustituyendo 2

22311 ))cos(( qccc −=δ

))cos(1(21

))cos(()cos(2

21

222

122231

2212212

213 qgLmKq

qcccpcqppcpcH −++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

=

)())())(cos(2)()cos(2())cos(2(

21

2221

222

22

2122122

13122122

qgLsenmqsenqcpcqppcpcqppc

Hq +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−+−−=∇

δδ

Se obtiene finalmente el 2q

H∂∂ como:

[ ] )()(

)cos(2)cos()(

221

22122212212

2132

1

222

22

qgLsenmqsenppc

pcqppcpcqqsenc

Hq +++−−

=∇δδ

Ahora se procede a sustituir 1q

Vd

∂∂ ,

2qVd

∂∂ y

2qH

∂∂ en la ecuación (93) para finalmente

conseguir la esu .

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−−= ........

))(()())cos((1

1

222312122331

21 aqsencqccK

qqRqcacau des ααδ

⎭⎬⎫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

−+−−+−+

1

212

1

22

1

21312113221

))cos()()()())cos((.....

aqqKc

aqsencK

aqqccK

qqRcaqca dαα

ααα

…. [ ] )()()cos(2)cos()(22

1

22122212212

2132

1

222

2 qgLsenmqsenppcpcqppcpcqqsenc+++−

−δδ

Simplificando se consigue finalmente que esu tiene la siguiente forma:

..........))((

)())cos((

1

2223121

1

22331

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++−

−−=

aqsencqccK

qqRqcacau des αδ

α

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

−+−−

+−−

1

212

1

22

1

213121

1

13221 ))cos()()()(

))cos((.....

aqqKc

aqsencK

aqqccK

qqRcaqca

dαα

ααδ

α

[ ] )()()cos(2)cos()(

221

22122212212

2132

1

222


−δδ

(91)

C. Inyección de Amortiguamiento

Una vez encontrada la esu , se procede a calcular la función de control u que

garantiza la estabilización asintótica del sistema TORA:

Se sabe que ),(),( pqupquu dies += y que dpT

di HkvGu ∇−= de tal manera que:

[ ] pMkvu

pMH

ddi

ddp

1

1

10 −

−

−=

=∇

Como la matriz de inercia deseada tiene la forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

31

11

aaaa

Md αα

→ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

11

13

2

1 1aa

aaMd α

αδ

, donde 21

2312 aaa αδ −=

La inyección de amortiguamiento viene dada por:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

2

1

11

13

2

10pp

aaaakvu di α

αδ

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−=

2111

2113

2

10papa

papakvu di αα

δ

[ ]21112

papakvu di +−−= αδ

Finalmente la función de control que garantiza que el sistema TORA en lazo

cerrado se comporte igual que la dinámica objetivo propuesto por método IDA-PBC y

que logra la estabilidad asintótica del sistema.

[ ]21112

papakvuu es +−−= αδ

→ esu es la calculada y corresponde a la ecuación (92)

Sustituyendo esu se consigue que la función de control u es la siguiente:

.................))((

)())cos((

1

2223121

1

22331

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++−

−−=

aqsencqccK

qqRqcaca

u d αδ

α

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

−+−−

+−−

1

212

1

22

1

213121

1

13221 ))cos()()()(

))cos((.....

aqqKc

aqsencK

aqqccK

qqRcaqca

dαα

ααδ

α

[ ] )......()()cos(2)cos()(22

1

22122212212

2132

1

222


−δδ

[ ]21112

papakv+−− α

δ

Una vez encontradas cada una de las funciones necesarias para la aplicación del

método IDA-PBC, es posible presentar el sistema TORA en lazo cerrado, sustituyendo

Hq2∇ y u :

[ ]

[ ]

uHpKqp

pcqpcq

qpcpcq

q +−∇=−=

+−=

−=

22

11

212121

2

222131

1

)cos(1

)cos(1

&

&

&

&

δ

δ

Sustituyendo Hq2∇ y u en el sistema de EDO anterior se tiene que:

[ ]

[ ]

[ ]

.

.......)()()cos(2)cos()(

)cos(1

)cos(1

221

22122212212

2132

1

222

22

11

212121

2

222131

1

+−−+−=

−=

+−=

−=

qgLsenmqsenppcpcqppcpcqqsencp

Kqp

pcqpcq

qpcpcq

δδ

δ

δ

&

&

&

&

.................))((

)())cos((

1

2223121

1

22331

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++−

−−

aqsencqccK

qqRqcacad α

δα

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

−+−−

+−−

1

212

1

22

1

213121

1

13221 ))cos()()()(

))cos((.....

aqqKc

aqsencK

aqqccK

qqRcaqca

dαα

ααδ

α

[ ] )......()()cos(2)cos()(

221

22122212212

2132

1

222


−δδ

[ ]21112

....... papakv+−− α

δ

Simplificando el sistema TORA en lazo cerrado se obtiene lo siguiente:

[ ]

[ ]

...........))((

)())cos((

)cos(1

)cos(1

1

2223121

1

223312

11

212121

2

222131

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++−

−−=

−=

+−=

−=

aqsencqccK

qqRqcaca

p

Kqp

pcqpcq

qpcpcq

d αδ

α

δ

δ

&

&

&

&

(93)

........))cos()()(

)())cos((

.....1

212

1

22

1

213121

1

13221

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−

−+−−

+−−

aqqKc

aqsencK

aqqccK

qqRcaqca

dαα

ααδ

α

[ ]21112

.......... papakv+−− α

δ

Por otro lado, se determina la dinámica objetivo del sistema TORA como se

muestra a continuación:

La dinámica objetivo tiene la forma:

[ ] ddd HRJpq

∇−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡&

& (94)

y se sabe que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

−

−

0*0

1

1

MMMM

Jd

dd , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= T

vd GKG

R**0

00 y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

31

11

aaaa

M d αα

Con J2 = 0, resulta al sustituir en la ecuación (96):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dqT

vd

d

HH

GKGMMMM

pq

**000

0*0

1

1

&

&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dqT

vd

d

HH

GGkMMMM

pq

1

1 *0&

&

dpd HMMq ∇= −1& (95)

dpT

vdqd HGGkHMMp ∇−∇−= −1& (96)

Resolviendo la ecuación (95), como pMH ddp1−=∇ → pMMMq dd

11 −−=& → pMq 1−=&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

122

223

12

1

)cos()cos(1

pp

cqcqcc

qq

δ&

&

De esta manera se encuentran las dos primeras ecuaciones 1q& y 2q& de la

dinámica objetivo:

[ ])cos(122213

11 qpcpcq −=

δ& (97)

[ ]212121


& (98)

Seguidamente se hacen los cálculos para las ecuaciones de 1p& y 2p& , para lo

cual se resuelve la ecuación (96) como se muestra a continuación

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

11

13

2

1

122

223

131

11

2

1 11010

)cos()cos(1

2pp

aaaa

kHH

cqcqcc

aaaa

pp

vdq

dq

αα

δδαα

&

&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

+−−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

11

13

2

1

1322122313

1122122131

12

1

0001

)cos()cos()cos()cos(1

2pp

aaaa

kHH

caqcaqcaaccaqcaqcaca

pp

vdq

dq

αα

δαααα

δ&

&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇+−+∇−∇+−+∇−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2111213221122313

11221122131

12

1 01))cos(())cos(())cos(())cos((1

2

2

pakpakHcaqcaHqcaacHcaqcaHqcaca

pp

vvdqdq

dqdq

αδαααα

δ&

&

Por ser la matriz Md es constante → dqdq VH 11 ∇=∇ y dqdq VH 22 ∇=∇

....................))((

)())cos((11

222312122131

11

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++−−−=

aqsencqccK

qqRqcacap d ααδ

&

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+−−+−

1

212221312312111221

))cos()(()())cos(...(

aqqcqsencqccqccK

qqRcaqca d

ααααα

....................))()())cos((

1

22

1

23121

1

221311

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

−−=

aqsenKc

aqccK

qqRqcaca

p d αδ

α&

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

−+−−

+−−

1

212

1

22

1

213121

1

11221 ))cos()()()(

))cos((.

aqqKc

aqsencK

aqqccK

qqRcaqca

dαα

ααδ

α (99)

Ahora para 2p& :

....................))((

)())cos((11

222312122313

12

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++−−−=

aqsencqccK

qqRqcaacp d ααδ

&

.....))cos()((

)())cos(...(1

212221312312113221

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+−−+−

aqqcqsencqccqccK

qqRcaqca d

ααααα

[ ]21112

1.... pakpak vv +−− αδ

....................))()())cos((

1

22

1

23121

1

223132

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++−

−−=

aqsenKc

aqccK

qqRqcaac

p d αδ

α&

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−

−+−−

+−−

1

212

1

22

1

213121

1

13221 ))cos()()()())cos((...

aqqKc

aqsencK

aqqccK

qqRcaqca

dαα

ααδ

α

( )2

2111....δ

α pakpak vv +−− (100)

Para tener información cualitativa del sistema TORA, se hace un análisis

cualitativo de los puntos de equilibrio del sistema en lazo abierto, para ello, se utiliza la

técnica de Linealización Aproximada o Jacobiana.

El sistema TORA en lazo abierto es

[ ]

[ ]

uHpKqp

pcqpcq

qpcpcq

q +−∇=−=

+−=

−=

22

11

212121

2

222131

1

)cos(1

)cos(1

&

&

&

&

δ

δ

Al sustituir Hq2∇ resulta:

[ ]

[ ]

[ ] uqgLsenmqsenppcpcqppcpcqqsencp

Kqp

pcqpcq

qpcpcq

+−−+−=

−=

+−=

−=

)()()cos(2)cos()(

)cos(1

)cos(1

221

22122212212

2132

1

222

22

11

212121

2

222131

1

δδ

δ

δ

&

&

&

&

Los puntos de equilibrio del sistema se determinan → 02121 ==== ppqq &&&&

Los puntos de equilibrio del sistema pertenecen al conjunto:

( ){ }arbitrarioqyuppqppqqE :0,0,0,0/,,, 22112121 ===== y se elige el punto

de equilibrio (0,0,0,0).

La linealización jacobiana del sistema en torno al origen resulta como sigue a

continuación:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

2

4

1

4

2

4

1

4

2

3

1

3

2

3

1

3

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

1

)0,0,0,0(,

pf

pf

qf

qf

pf

pf

qf

qf

pf

pf

qf

qf

pf

pf

qf

qf

pqfA

01

1 =∂∂qf

0)0,0,0,0())(cos(

))()cos(2))(cos(())(cos))(((2

222

231

222

222213222

231222

2

1 =−

−−−=

∂∂

qcccqsenqcqpcpcqcccqsenpc

qf

2231

32

222

231

3

1

1

)0,0,0,0())(cos( cccc

qcccc

pf

−=

−=

∂∂

2231

22

222

231

22

2

1

)0,0,0,0())(cos()cos(

cccc

qcccqc

pf

−

−=

−

−=

∂∂

01

2 =∂∂qf

0)0,0,0,0())(cos(

))()cos(2))(cos(())(cos))(((2

222

231

222

221221222

231212

2

2 =−

−−−=

∂∂

qcccqsenqcqpcpcqcccqsenpc

qf

2231

22

222

231

22

1

2

)0,0,0,0())(cos()cos(

cccc

qcccqc

pf

−

−=

−

−=

∂∂

2231

12

222

231

1

2

2

)0,0,0,0())(cos( cccc

qcccc

pf

−=

−=

∂∂

Kqf

−=∂∂

1

3

02

3 =∂∂qf

; 01

3 =∂∂pf

; 02

3 =∂∂pf

01

4 =∂∂qf ; 0

2

4 =∂∂qf ; 0

1

4 =∂∂pf ; 0

2

4 =∂∂pf

La matriz del sistema linealizado A es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

−

=

0000000

00

00

2231

12

231

2

2231

22

231

3

Kccc

cccc

cccc

cccc

c

A

Los valores propios de A determinan la estabilidad del sistema alrededor del origen,

punto de equilibrio del sistema, cuando u=0. Tales valores propios se obtienen a partir

de las raíces del polinomio característico de la matriz A, calculadas de la siguiente

manera:

)det()( AsIspA −=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

−

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

0000000

00

00

000000000000

2231

12

231

2

2231

22

231

3

Kccc

cccc

cccc

cccc

c

ss

ss

AsI

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−

=−

ssK

cccc

ccccs

cccc

cccc

s

AsI

00000

0

0

2231

12

231

2

2231

22

231

3

0)()det( 2231

32

22

3122

=−

+−=−

cccKccsccss

AsI

0

0

32

22

312

2

=+−

=

Kccsccs

s

32

22

312 Kccsccs −=− → 3

2231

2 )( Kccccs −=− → 2231

32

cccKcs−

−=

→ 2231

3

cccKc

s−

−=

De esta manera se conocen los valores propios del sistema y estos son los siguientes:

iccc

Kcsiccc

Kcsss 2231

342

231

3321 00

−−=

−===

De tal manera que el sistema TORA posee dos valores propios nulos y dos

valores propios imaginarios puros. Se trata del denominado caso crítico para el análisis

de la estabilidad del punto de equilibrio, es decir, no se puede asegurar la estabilidad

del mismo.

D. Análisis de la Estabilidad

La estabilidad del sistema TORA esta fundamentada en la siguiente proposición:

El sistema Hamiltoniano en lazo abierto con Hd y q* posee un punto de equilibrio

estable en (q*,o). Este equilibrio es asintóticamente estable si es localmente detectable

a partir de la salida ),()( pqHqG dT ∇ .

La estabilidad asintótica, bajo la hipótesis de detectabilidad, puede establecerse

aplicando el principio de Invariancia de LaSalle.

Para este fin se define el conjunto residual:

( ){ }0))(),(),(),(((/,,, 21214

2121 =ℜ∈= tptptqtqHppqqE d&

En lazo cerrado: [ ] ddd HRJpq

∇−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&

Al derivar dH& se tiene que:

[ ]

0≤∇−∇=

∇∇−∇∇=

∇−∇=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇=

dddT

d

dddT

dddT

d

ddddT

dT

d

HRHH

HRHHJHH

HRJHpq

HH

&

&

&

&&

Que al sustituir:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇−=

dp

dqT

vdp

Tdq

Td H

HGGk

HHH0

00&

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇

∇∇−=dp

Tv

dpT

dqT

d HGGkHHH

0&

02=∇−=∇−∇= dp

Tvdp

Tvdp

Td HGkHGGkHH&

Para que lo anterior se cumpla 00 =∇→=∇ dp

Tdp

T HGHG resultando el conjunto E:

( ){ }0/,,, 2121 =∇∈= dpT HGDppqqE

Se sabe que la energía potencial deseada se representa como sigue:

ddT

d VpMpH += −1

21

( ){ }0/,,, 1

21211 =∈=→=∇ −− pMGDppqqEpMH d

Tddp

Derivando 01 =− pMG d

T se tiene que:

01 =− pMG dT & (101)

Se sabe que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dqT

vd

d

HH

GGkMMMM

pq

1

10&

&

dpT

vdqd HGGkHMMp ∇−∇−= −1& → se sustituye en la ecuación (101)

0)( 11 =∇−∇− −−dp

Tvdqdd

T HGGkHMMMG

00 11 =∇→=∇− −−dq

Tdq

T HMGHMG

Que al sustituir resulta:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−→

00

)cos()cos(110

2

1

122

223

1 dq

dq

HH

cqcqcc

δ

[ ] 00)cos(11122

121

>=∇+∇−→ δδ

yHcHqc dqdq

0)cos(21 122 =∇+∇−→ dqdq HcHqc (102)

Por otro lado, se sabe que dqdq HyH

21∇∇ satisfacen la EDP de la ecuación (88):

[ ])cos( 22311

121 qccc

aKqVqVq dd +=∇+∇α

Se sabe que tanto la ecuación (102) como la EDP de la ecuación (88) se satisfacen

para 01 =q , 02 =q

Ahora suponiendo que para )0,0(),( 21 ≠qq dqdq HyH21

∇∇ satisfacen

simultáneamente el par de ecuaciones anteriores. Esto significa que dqdq HyH21

∇∇

son soluciones del sistema lineal:

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

+=+

0)cos(

)cos(

122

22311

1

NcRqc

qccca

KqNRα donde: R= dq H

1∇ y N= dq H

2∇

Denotando )cos( 2231 qccc +=Δ el sistema anterior quedaría:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

Δ=+

0)cos( 122

1

1

NcRqca

KqNRα

Dividiendo por Δ resulta:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=Δ

+Δ

0)cos(

1

122

1

1

NcRqca

KqNRα (103)

Al calcular el determinante al sistema lineal se tiene que:

Δ+

=Δ

+Δ

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−ΔΔ

)cos()cos(

)cos(

1221221

122

qccqcc

cqc

ααα

Sustituyendo 1

3

cc

=α

[ ] [ ] 01)cos()cos(

)cos(

)cos(

2231

2231

2231

2211

3

≠=+

+=

+

+

qcccqccc

qccc

qcccc

→≠→ 0det el sistema posee solución única.

Se resuelve el sistema lineal de la ecuación (103):

1

22 )cos(c

RqcN =

Sustituyendo:

1

1

1

22 )cos(1a

Kqc

RqcR =Δ

+Δα

1

1

1

22 )cos(a

Kqc

qcR =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

+Δα

1

1

1

221 )cos(a

Kqc

qccR =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

+α → ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Δ

=)cos( 221

1

1

1

qccc

aKqR

α

Sustituyendo 1

3

cc

=α y )cos( 2231 qccc +=Δ

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

)cos(

)cos(

2211

3

12231

1

1

qcccc

cqccca

KqR → ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+=

)cos()cos(

2231

12231

1

1

qccccqccc

aKqR

11

1 qa

KcR =

Que al sustituir en N:

1

11

122 )cos(

c

qacKqc

N/

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ /

= → )cos( 211

2 qqa

KcN =

Es decir que:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∇=

=∇=

)cos( 211

2

11

1

2

1

qqa

KcHN

qa

KcHR

dq

dq

Estas identidades se satisfacen únicamente si 01 =q , 02 =q .

En consecuencia: ( ) Eppqq ∈2121 ,,, si y sólo si ( ) ))(),(,0,0()(),(),(),( 212121 tptptptptqtq =

Como ttq ∀= 0)(2 el primer par de ecuaciones del sistema se reduce a:

[ ]

[ ] 0)cos(1

0)cos(1

212121

2

222131

1

=+−=

=−=

pcqpcq

qpcpcq

δ

δ

&

&

Es decir:

[ ][ ] 0)cos(

0)cos(

21212

22213

=+−=−

pcqpcqpcpc

→ cuyo determinante del sistema es: 02231 ≠− ccc

De lo anterior se deduce que 0)(,0)( 21 == tptp

En resumen:

( ) ( ))(),(),(),(,,, 21212121 tptptqtqEppqq ⇒∈ es la solución trivial.

Por lo tanto, el más grande subconjunto invariante contenido en E es la solución

trivial, y por lo tanto el punto de equilibrio (0,0,0,0) es Asintóticamente Estable.

E. Simulaciones Numéricas y Rediseño de las funciones

Para el modelo del sistema TORA, se realizaron simulaciones computacionales

con los programas TORALAZ, SIMTORALAZ, TORADIN y SIMTORADIN, usando la

plataforma de Matlab 7.1. Con estas simulaciones se muestra el desempeño del

controlador propuesto. Se emplearon para el sistema TORA, los parámetros contenidos

en la tabla 1 que fueron tomados de [13].

Tabla 1. Parámetros para el sistema TORA

Parámetro 1c 2c 3c K

Valor 12 1 11 5

Se tomaron para la matriz dM los valores 4,,1 3121 === aaaa α . 1211

1

3 ==cc

α

Se debe tomar en cuenta que el parámetro de diseño Rd debe cumplir:

α1231 )(

2a

KcccKRd

+< → el Hess(vd(0,0)) sea definido positivo → (0,0) es un mínimo y

es un punto de equilibrio es estable. Sustituyendo: 5.130

1211)1(

))1(5)11)(12(5(2 <

+<dR

En una primera simulación, todas las condiciones iniciales fueron ubicadas en 0,

excepto el desplazamiento inicial que se ubicó en 11 =q , es decir, en el extremo del

dispositivo.

Después de algunos ensayos para obtener la mejor respuesta transitoria, la cual

corresponde a la etapa de rediseño de las funciones, se seleccionaron 90=dR y

70=vK .

Es importante señalar, que para obtener una rápida convergencia a la

estabilización del sistema, se añade a la función de control propuesto el término

150p− .

Una típica respuesta del sistema en lazo cerrado con el controlador, se muestra

en las figuras 9 y 10. Como puede verse, el sistema exhibe su respuesta en forma de

oscilaciones amortiguadas, y la estabilización se produce a los 100 segundos. En la

figura 8 también se puede ver el esfuerzo de control.

0 50 100 150-1

0

1Posición del Carro

tiempo t

q1

0 50 100 150-2

0

2Posición Angular

tiempo t

q2

0 50 100 150-10

0

10Velocidad del Carro

tiempo t

p1

0 50 100 150-10

0

10Velocidad Angular

tiempo t

p2

0 50 100 150-1000

0

1000Variable de Control

tiempo t

u

0 50 100 150-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 9. Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Comportamiento de las variables y función de Control

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 10. Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Plano de Fase

La respuesta del sistema con la dinámica objetivo propuesto por el método IDA-

PBC, se muestra en las figuras 11 y 12. Como puede verse, el sistema exhibe su

respuesta en forma de oscilaciones amortiguadas, y la estabilización se produce a los

100 segundos.

0 50 100 150-1

0


tiempo t

q1

0 50 100 150-2

0

2Posición Angular

tiempo t

q2

0 50 100 150-10

0


tiempo t

p1

0 50 100 150-10

0

10Velocidad Angular

tiempo t

p2

0 50 100 150-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 11. Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo: Comportamiento de las variables.

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 12. Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo: Plano de Fase

Esto demuestra que una vez aplicada la función de control propuesta, el sistema

en lazo cerrado tiene el mismo comportamiento de la dinámica objetivo; por lo tanto, el

método IDA-PBC, resulta ser efectivo para estabilizar el sistema TORA.

Para ilustrar la naturaleza global de la ley de control obtenida se realizan

simulaciones cambiando las condiciones iniciales del sistema.

Primero se toma como condiciones iniciales: 11 =q , 22π

=q , 01 =p y 02 =p .


en las figuras 13 y 14. Como puede verse, el sistema exhibe su respuesta en forma de

oscilaciones amortiguadas, y la estabilización se produce a los 100 segundos. En la

figura 8 también se puede ver el esfuerzo de control.

0 50 100 150-1

0


tiempo t

q1

0 50 100 150-2

0

2Posición Angular

tiempo t

q2

0 50 100 150-10

0


tiempo t

p1

0 50 100 150-10

0

10Velocidad Angular

tiempo t

p2

0 50 100 150-1000

0


tiempo t

u

0 50 100 150-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 13. Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Comportamiento de las

variables y función de Control. Condiciones iniciales 11 =q , 22π

=q , 01 =p y 02 =p

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 14. Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Plano de Fase. Condiciones

iniciales 11 =q , 22π

=q , 01 =p y 02 =p




100 segundos, a pesar de que se utilizaron otras condiciones iniciales.

0 50 100 150-1

0


tiempo t

q1

0 50 100 150-2

0

2Posición Angular

tiempo t

q2

0 50 100 150-10

0


tiempo t

p1

0 50 100 150-10

0

10Velocidad Angular

tiempo t

p2

0 50 100 150-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 15. Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo: Comportamiento de

las variables. Condiciones iniciales 11=q , 22π

=q , 01 =p y 02 =p

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2-1 -0.5 0 0.5 1

-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 16. Simulación del Sistema TORA con la dinámica objetivo: Plano de Fase.

Condiciones iniciales 11=q , 22π

=q , 01 =p y 02 =p

Esto demuestra que una vez aplicada la función de control propuesta, el sistema

en lazo cerrado tiene el mismo comportamiento de la dinámica objetivo, aún y cuando

se cambien las condiciones iniciales a 11 =q , 22π

=q , 01 =p y 02 =p . Por lo tanto, el

método IDA-PBC, resulta ser efectivo para estabilizar el sistema TORA.

Para terminar con la ilustración de la naturaleza global de la ley de control

obtenida, se presenta una simulación donde se pretende llevar el brazo rotacional

desde la posición 2/52 π=q , hasta la posición 02 =q , mientras se mantienen todas las

otras condiciones iniciales iguales a 0. Es decir se toma como condiciones iniciales:

01 =q , 2

52

π=q , 01 =p y 02 =p

La respuesta transitoria se muestra en las figuras 17 y 18, donde se observa que

la convergencia es preservada tal como lo predice la teoría.

0 50 100 150-1

0


tiempo t

q1

0 50 100 150-2

0

2Posición Angular

tiempo t

q2

0 50 100 150-10

0


tiempo t

p1

0 50 100 150-10

0

10Velocidad Angular

tiempo t

p2

0 50 100 150-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 17. Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Comportamiento de las

variables. Condiciones iniciales 01 =q , 2

52

π=q , 01 =p y 02 =p

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 18. Simulación del Sistema TORA en lazo cerrado: Plano de Fase. Condiciones

iniciales 01 =q , 2

52

π=q , 01 =p y 02 =p

De esta manera se prueba la naturaleza global de la ley de control obtenida, ya

que para diferentes condiciones iniciales, se observa que la convergencia es

preservada tal como lo predice la teoría. También es importante destacar que dicha ley

de control logra estabilizar el sistema en un tiempo de simulación o tiempo de

asentamiento perfectamente aceptable.

El sistema TORA es un prototipo de sistema mecánico subactuado que ha

merecido gran atención por la comunidad de control no lineal, y en este trabajo,

partiendo de la representación Hamiltoniana controlada por puertos basada en la

energía total del sistema considerada como energía cinética mas energía potencial, se

obtiene un controlador que logra estabilizar en forma global y asintótica el punto de

equilibrio.

Sistema ACROBOT

El sistema ACROBOT es un prototipo de sistema mecánico subactuado que ha

merecido gran atención por la comunidad de control no lineal.

El objetivo de control es estabilizar la posición de equilibrio vertical, o sea, la

posición ( )0,0* =q .

Estabilización del Sistema ACROBOT

A. Realización Hamiltoniana

El sistema Hamiltoniano Generalizado es:

uxGHJx *)(+∇=&

donde la matriz J es antisimétrica, siendo la más sencilla:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0

0

n

n

II

J



uGH

HI

Ipq

p

q

n

n⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ 00

0&

&


H respecto de q y respecto de p , y mu ℜ∈ es la función de control. La matriz nxmG ℜ∈ es determinada por la manera como el control mu ℜ∈ ingresa en el sistema, y

es invertible en el caso que el sistema sea completamente actuado, o sea, nm = . En

esta investigación se considera el caso más difícil en que el sistema es subactuado, es

decir menos controles que grados de libertad, y asumimos que mGrango =)( .

Para el sistema ACROBOT n = 2 y m = 1 → m<n → Sistema subactuado de

grado 1.

La energía total del sistema viene dada por:

PotencialEnergíaCinéticaEnergíaH +=

)(21 1 qVPMPH T += −



Para el sistema ACROBOT la matriz M es la siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+++=

2232

2322321

)cos()cos()cos(2

cqccqccqccc

M

Y la energía potencial es la siguiente:

[ ])cos()cos()( 21514 qqcqcgqV ++=

Se busca con el método IDA-PBC hacer coincidir el comportamiento del sistema

en lazo abierto con la dinámica objetivo.

La dinámica objetivo según éste método viene dada por:

( ) ddd HRJx ∇−=&

donde:

Jd: Matriz de interconexión

Rd: Matriz de amortiguamiento

Md: Matriz de inercia deseada

Cuyas estructuras son las siguientes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

−

−

0*0

1

1

MMMM

Jd

dd , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= T

vd GKG

R**0

00 y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32

21

aaaa

Md

B. Moldeado de la Energía



),(),( pqupquu dies += (104)



Por otro lado, como es bien sabido, el aporte de amortiguamiento en sistemas pasivos

se logra vía realimentación negativa de la nueva salida pasiva, la cual en este caso

viene dada por dpT HG ∇ . Esta es la razón por la cual se elige para el término diu de la

ecuacióm (66) la expresión

dpT

vdi HGKu ∇−= (105)


Al igualar el sistema en lazo abierto y la dinámica objetivo resulta lo siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎭⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎩⎨⎧

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dqT

d

d

p

q

n

n

HH

GKvGMMMM

uGH

HI

Ipq

**000

0**00

00

1

1

&

& (106)

donde Hd es la energía total deseada que mantiene la misma forma de la energía total

original del sistema y esta expresada por:

)(21 1 qVPMPH d

Td += −


reemplazan (63) y (64) en (65) se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dq

d

des

p

q

n

n

HH

pqJMMMM

uGH

HI

Ipq

),(00

00

21

1

&

& (107)


La primera fila de la ecuación (107) produce una identidad para q& como sigue a

continuación:

dpdp HMMHq ∇=∇= −1&

pMpMMMpMq dd1111 −−−− ===& → Con lo que se consigue que la primera

ecuación es una igualdad.

De tal manera que q& equivale a:

pMqq

q 1

2

1 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

&

&& (108)

donde ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

pp

p y M es la matriz de inercia, entonces se procede a calcular 1−M

como sigue:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+++=

2232

2322321

)cos()cos()cos(2

cqccqccqccc

M

→ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

==−

)cos(2)cos()cos(1

2321232

2322

1

1

qcccqccqccc

Mδ

donde 223121 ))cos(( qccc −=δ

Se sustituye las ecuaciones anteriores en (108) resultando lo siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

2

1

2321232

2322

1

1

2

1

)cos(2)cos()cos(1

pp

qcccqccqccc

pMqq

qδ&

&&

donde la primera ecuación correspondiente a 1q& es la siguiente:

[ ]2232121

1 ))cos((1 pqccpcq +−+=δ

& (109)

Y la segunda ecuación correspondiente a 2q& es la siguiente:

[ ]2232112321

2 ))cos(2())cos((1 pqcccpqccq ++++−=δ

& (110)

Ahora se resuelve la segunda fila de la ecuación (107) correspondiente a p& como

sigue a continuación:

pMJHMMHGu ddqdqes1

21 −− +∇−∇= (111)

Si el sistema fuese subactuado, o sea si G fuese invertible, para determinar

esu bastaría premultiplicar por 1−G . En el caso de estudio el sistema es subactuado,





{ } 012







( )( )pMJHMMHGGu ddqdqT

es1

21−

− +∇−∇= (113)





par de ecuaciones:

( ) ( ){ } 02 12


qdT

q (114)

{ } 01 =∇−∇ −⊥ VMMVG qdq (115)





resolver (114). Una simplificación, que disminuye considerablemente las dificultades, es


permite concentrarse únicamente en hallar la energía potencial deseada dV .




En esta investigación, se sigue la orientación de [1] y [4], donde para obtener una



Hipótesis H2: La matriz de inercia depende solamente de la coordenada actuada.

Hipótesis H3: El sistema posee dos grados de libertad, y, sin pérdida de

generalidad, la matriz G viene dada por [ ]TG 10= .

La hipótesis H3 es crucial en el presente desarrollo .Las hipótesis H1 y H2






{ } 01 =∇−⊥dd VMMG (115)

De esta forma la segunda fila de la ecuación (107) queda:

dqdesq HMMuGHp ∇−=+−∇= − *** 1& (116)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dq

dq

q

q

HH

qcccqccqccc

aaaa

uHH

pp

p2

1

2321232

2322

132

21

2

1

2

1

)cos(2)cos()cos(1**

10

δ&

&&

Además, como la matriz Md es constante → dqdq VH 11 ∇=∇ y dqdq VH 22 ∇=∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dq

dq

q

q

VV

caqcaqcacacaqcaqcaca

uHH

pp

p2

1

1322222332

1222122231

12

1

2

1

)cos()cos()cos()cos(1*

10

δ&

&&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−+−++++−+−

−=dq

dq

VV

qcccaqccaqccacaqcccaqccaqccaca

p2

1

232132322232322

232122321232221

1 ))cos(2())cos(())cos(())cos(2())cos(())cos((1

δ& (117)

La primera fila de p& es 1p& :

Hp q11 −∇=&

[ ]VdqcccaqccaVdqccacap qq 223212232112322211

1 )))cos(2())cos((()))cos(((1∇++++−+∇+−−=

δ& (118)

[ ])()( 215241 qqsencqsencgHq +−−=∇ se sustituye en (118) para conseguir la EDP para encontrar Vd.

[ ] [ ))........cos((()))cos(((1)()( 232112322211

21524 qccaVdqccacaqqsencqsencg q +−+∇+−−=+−−−δ

]Vdqccca q 223212 )))cos(2(...... ∇+++ (119)

Claramente el sistema ACROBOT satisface las hipótesis H1, H2 y H3

comentadas anteriormente, por lo tanto, la atención puede concentrarse en la

resolución de la EDP de la ecuación (119). Para ello se define la matriz Md mediante:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32

21

aaaa

Md , con 01 >a y 02231 >− aaa (120)

La ecuación (119) puede reescribirse como:

( )

132221

215142

32221

2123212121 )2cos()(

)()()2cos()(

)cos()2()(δg

qcacaaqqsencqsenc

Vqqcacaa

qaaccaccaVq dd ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−=∇⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−+−++∇ (121)

La ecuación anterior puede intentar resolverse usando el comando pdsolve del

programa Maple pero se obtiene una solución extremadamente complicada válida para

cualquier conjunto de valores de los parámetros 321 ,, ayaa . Para resolver esta

dificultad, se recurre a un subconjunto de valores posibles para estos parámetros que

reducen la complejidad de la ecuación.

Se denota:

)cos()2cos(

)2cos()()cos()2()(

221

43

32221

212321212

2

1

qbbqbb

qcacaaqaaccacca

++

=−−

−+−+=

γγ (122)

donde ( ) ( ) ( )12342121233222211 2,,, aacbycaccabcabcaab −=−+=−=−= .

Una simple división en el término de la derecha de (122) da lugar a:

)cos(

1.2212

4123

2

4

1

2

qbbbbbbb

bb

+−

+=γγ (123)

de manera que se obtiene:

041232

4

1

2 =−⇔= bbbbbb

γγ (124)

es decir;

22

11

2

1

1

2 11 acc

acc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=⇔−±=

γγ (125)

En lo sucesivo, para simplificar, se define 2

11cc

+=α y 2

11cc

−=β .

2

1

1

2

2

1

1

2 1122cc

cc

−−=→−+−=+−=γγ

βγγ

2122

11

1

2 1 aaacca βα

γγ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇔−=→

Sobre el conjunto:

{ }213213

321 )120(,/),,( aaademásysatisfacenayaaaaa β=ℜ∈ (126)

Sustituyendo 21 aa β= y 2

23121 ))cos(( qccc −=δ en la ecuación (121) resulta la EDP

para hallar la Vd:

( ) ( )[ ])()()cos(

215142

232121 qqsencqsenc

aqcccg

VqVq dd ++−

=∇−∇ α (127)

Usando los comandos del programa Maple:

>PDE:=diff(Vd1(q1,q2),q1)-alpha*diff(Vd1(q1,q2),q2)=(g/a2)*(sqrt(c1*c2)-

c3cos(q2)) *(c4*sin(q1+c5*sin(q1+q2));

> ans:=pdsolve(PDE);

donde, para simplificar, se ha tomado el término a2 como constante, se obtiene la

solución

( ) ( ) ( ){ } ( )sFqqDqqCqqBqAagqqVd +++−+++= 2121211

2211 2coscos)cos()cos(, (128)

donde )(sF es una función arbitraria de la variable 12 qqs α+= , y los coeficientes

DyCBA ,, vienen dados por

)12(21,

)1(21

)1(21

12534343215

42143

−−=

+=

−−

−=−=

ααααccDccCccccc

BcccccA (129)

Para asignar el punto de equilibrio en el origen a la función dV puede elegirse la

función )(sF como ( )21221)( qqRsF d α+= , donde dR es un parámetro de diseño, y de

este modo se obtiene para la energía potencial deseada la función:

( ) ( ) ( ){ } ( )21221212112

211 212coscos)cos()cos(, qqRqqDqqCqqBqA

agqqV dd α++++−+++= (130)

Denotando ( ) { }DCBAVE d +++−=−= 0,01 , se puede finalmente definir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )21221212112

21 212coscoscoscos, qqREqqDqqCqqBqA

agqqV pd α+++++−+++= (131)

Se evalúa la función Vd en (0,0) → Vd(0,0) = [ ] 02

=++++ EDCBAag

Se tiene entonces que la energía potencial deseada satisface ( ) 00,0 =dV .

De tal manera que, para tener un punto mínimo para ( )21 ,qqVd , sólo falta

examinar lo que ocurre con el Hessiano de dV en ( )0,0 . Para este fin, la matriz Hessiana

de dV en el punto ( )0,0

Para verificar si el punto (0,0) es un punto mínimo se procede a calcular el

Hessiano:

)0,0(

)(

22

2

21

221

2

21

2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

qV

qqV

qqV

qV

vHessdd

dd

d

( ) ( )[ ]21212112

22

1

2

2coscos)cos()cos()0,0(

qqDqqCqqBqAagR

qV

dd +−−−+−−+=

∂

∂α

[ ]DCBAagR

qV

dd −−−−+=

∂

∂

2

22

1

2

)0,0(α

( ) ( )[ ]2121212

22

2

2cos4cos)cos()0,0(

qqDqqCqqBagR

qV

dd +−−−+−+=

∂

∂

[ ]DCBagR

qV

dd 4

)0,0( 22

2

2

−−−+=∂

∂

( ) ( )[ ]212121221

2

2cos2cos)cos()0,0(

qqDqqCqqBagR

qqV

dd +−−++−+=

∂∂∂

α

[ ]DCBagR

qqV

dd 2

)0,0( 221

2

−+−+=∂∂

∂α

[ ] [ ]

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+−+−+

−+−+−−−−+=

DCBagRDCB

agR

DCBagRDCBA

agR

vHessdd

dd

d

42

2)(

22

22

2

α

αα

Para que exista un mínimo en la función Vd los menores deben ser positivos:

Determinante 1: ( )DCBAa

gRd +++> 22α

Determinante 2:

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+−−++++++

+++++>

DCBDCBDCBABDBCCDADACAB

agR d 424

4942

2 αα

Utilizando los programas computacionales VDESACRO Y SIMVDESACRO, que

fueron diseñados para comprobar que la Vd hallada al resolver la EDP, es función

Lyapunov, se puede observar en la figura 19 como dicha función posee mínimo.

-2-1012

-20

2

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Figura 19. Gráfica de la Función Vd

Asimismo, se sabe por el Principio de Lagrange que:

=

y

Retomando la ecuación (127):

( ) ( )[ ])()()cos(

215142

232121 qqsencqsenc

aqcccg

VqVq dd ++−

=∇−∇ α

Se procede a calcular los puntos críticos de la función Vd, es decir, 0=∇ dqV

( ) ( )[ ]212112

121

)()( qqCsenqqBsenqAsenagqqR

qV

dd −−+−−++=

∂∂

αα

( ) ( )[ ])2(2)( 2121212

122

qqDsenqqCsenqqBsenagqqR

qV

dd +−−−+−++=

∂∂

α

Lo anterior indica que el término de la derecha de la ecuación (127) debe ser

cero cuando 01

=∇ dq V y 02

=∇ dq V , es decir que:

( ) ( )[ ] 0)()()cos(

215142

2321 =++−

qqsencqsenca

qcccg

Se sabe que:

→>− 0)cos( 2321 qccc por ser condición del determinante 1δ de la matriz de

inercia.

De tal manera que:

( ){ } { }0)()(/),(/, 215142121 =++⊂ qqsencqsencqqVdecríticopuntoesqqq d

Entonces:

0)()( 21514 =++ qqsencqsenc

Al resolver la ecuación anterior utilizando Maple se tiene que:


eeeqqquuuiii lll iiibbbrrriiiooo dddeeelll

SSSiiisssttteeemmmaaa


cccrrríííttt iiicccooosss dddeee VVVddd


eeeqqquuuiii lll iiibbbrrriiiooo

eeessstttaaabbbllleee


mmmííínnniiimmmooosss dddeee VVVddd

>solve(c4*sin(q1)+c5*sin(q1+q2)=0,[q1,q2]);

éêë

éêë

q1 = arctan 0 sin ( q2 ) c5c4 C c5 cos ( q2 ) 1, q2 = q2 ù

úû, é

êëq1 = K arctan 0 sin ( q2 ) c5

c4 C c5 cos ( q2 ) 1, q2 = q2 ùúû

ùúû

0,)cos(

)(arctan 2254

25

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂

∂q

qccqsenc

qVd

0,)cos(

)(arctan 2254

25

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∂∂

qqcc

qsencqVd

> plot(arctan(sin(q2)*2/(3+2*cos(q2))),q2=-15.....15); asignando valores a C4=3 y C5=2

Figura 20. Punto crítico aislado de Vd

De lo anterior se deduce que 01 =q y 02 =q es punto crítico aislado para el

sistema ACROBOT.

Una vez encontrada la Vd correcta se procede a determinar la función de control

ues que permita estabilizar el sistema ACROBOT.

Se retoma la ecuación (119) para despejar la ues que logre que el sistema en

lazo cerrado tenga el mismo comportamiento de la dinámica objetivo:

dqdesq HMMuGHp ∇−=+−∇= − *** 1&

dqdqes HMMHuG ∇−∇= − *** 1 , tomando en cuenta que G no es inversible, se

hace lo siguiente:

)**(* 1dqdq

Tes

T HMMHGuGG ∇−∇= −

)**()(*)()( 111dqdq

TTes

TT HMMHGGGuGGGG ∇−∇= −−−

)**( 1dqdq

Tes HMMHGu ∇−∇= −

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

=dq

dq

q

qes V

Vqcccqcc

qcccaaaa

HH

u2

1

2

1

)cos(2)cos()cos(110

2321232

2322

132

22

δβ

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−+−+++++−+−+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

=dq

dq

q

qes V

Vqcccaqccaqccacaqcccaqccaqccaca

HH

u2

1

2

1

))cos(2())cos(())cos(())cos(2())cos(())cos((110

232132322232322

232122322232222

1

ββδ

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇++++−+∇+−+∇++++−+∇+−+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

=dqdq

dqdq

q

qes VqcccaqccaVqccaca

VqcccaqccaVqccacaHH

u21

21

2

1

)))cos(2())cos((()))cos((()))cos(2())cos((()))cos(((110

232132322232322

232122322232222

1

ββδ

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∇+∇++++−+∇+−+−

∇+∇++++−+∇+−+−=

HVqcccaqccaVqccaca

HVqcccaqccaVqccacau

qdqdq

qdqdq

es

221

121

])))cos(2())cos((()))cos(([(1

])))cos(2())cos((()))cos(([(1

10232132322232322

1

2321223222322221

δ

ββδ

HVqcccaqccaVqccacau qdqdqes 221])))cos(2())cos((()))cos(([1

2321323222323221

∇+∇++++−+∇+−+−=δ

(132)

Es conocido que la energía total deseada del sistema tiene la forma:

ddT

d VpMpEpdEcdH +=+= −1

21

ddT

d VpMpH += −1

21

Sustituyendo la ecuación (131) que corresponde a la Vd calculada se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )21221212112

221

1

212coscoscoscos)(

21

21 qqREqqDqqCqqBqA

agqqRpMpH pdd

Td αα +++++−++++−+= −

Ahora se procede a calcular 1q

Vd

∂∂ ,

2qVd

∂∂ y

2qH

∂∂

( ) ( )[ ]212112

121

)()( qqCsenqqBsenqAsenagqqR

qV

dd −−+−−++=

∂∂

αα

( ) ( )[ ])2(2)( 2121212

122

qqDsenqqCsenqqBsenagqqR

qV

dd +−−−+−++=

∂∂

α

Para H se tiene que:

)(21 1 qVpMpH T += − y [ ])cos()cos()( 21514 qqcqcgqV ++=

[ ])cos()cos(

21

215141 qqcqcgpMpH T +++= −

[ ] [ ])cos()cos()cos(2)cos(

)cos(121

215142

1

2321232

2322

121 qqcqcg

pp

qcccqccqccc

ppH +++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

=δ

[ ] [ ])cos()cos())cos(2())cos((

))cos((21

21514223211232

22321221

1

qqcqcgpqcccpqcc

pqccpcppH +++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

=δ

[ ] ....)cos(2)cos()cos(21 2

21232

22

222

21232121223212122

121

++++++−+−= pcqcppcpcqcppppcqcppppcpcHδ

[ ])cos()cos(.... 21514 qqcqcg +++

[ ] [ ])cos()cos()cos(2)cos(22

21

21514232

22

222

2123212122

121

qqcqcgqcppcpcqcppppcpcH +++++++−=δ

Sustituyendo 2

23211 ))cos(( qccc −=δ

....))cos((

)cos(2)cos(2221

22321

232

22

222

2123212122

12 +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++++−

=qccc

qcppcpcqcppppcpcH

[ ])cos()cos(..... 21514 qqcqcg +++

....))cos((

)(2)(221

22321

232

223212

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−−=∇

qcccqsencpqsencpp

Hq

)...()cos()))cos(((

)cos(2)cos(2222

2322

2321

232

22

222

2123212122

12 qsenqcqccc

qcppcpcqcppppcpc⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++++−

−

[ ])(.. 215 qqsencg +−

Se obtiene finalmente el 2q

H∂∂ como:

....)(2)(2

21

1

232

223212

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−=∇

δqsencpqsencpp

Hq

)..()cos()cos(2)cos(2222

232

1

232

22

222

2123212122

12 qsenqcqcppcpcqcppppcpc

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++++−−

δ

[ ])(.. 215 qqsencg +−

Ahora se procede a sustituir 1q

Vd

∂∂ ,

2qVd

∂∂ y

2qH

∂∂ en la ecuación (132) para finalmente

conseguir la esu .

( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+++−+−= ........)()()))cos(((1

212112

122323221

qqCsenqqBsenqAsenagqqRqccacau des αα

δ

( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+−++++++−+ )2(2)()))cos(2())cos(((..... 212121

212232132322 qqDsenqqCsenqqBsen

agqqRqcccaqcca d α

....)(2)(2

21.......

1

232

22321 −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++

δqsencpqsencpp

)..()cos()cos(2)cos(2222

232

1

232

22

222

2123212122


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++++−−

δ

[ ])(.. 215 qqsencg +− (133)

C. Inyección de Amortiguamiento

Una vez encontrada la esu , se procede a calcular la función de control u que

garantiza la estabilización asintótica del sistema ACROBOT:

Se sabe que ),(),( pqupquu dies += y que dpT

di HkvGu ∇−= de tal manera que:

[ ] pMkvu

pMH

ddi

ddp

1

1

10 −

−

−=

=∇

Como la matriz de inercia deseada tiene la forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32

22

aaaa

Md

β → ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

22

23

2

1 1aaaa

Md βδ , donde )( 2322

22232 aaaaaa −=→−= βδβδ

La inyección de amortiguamiento viene dada por:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

2

1

22

23

2

10pp

aaaakvu di βδ

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

−=2212

2213

2

10papa

papakvu di βδ

[ ]22122

papakvu di βδ

+−−=

Finalmente la función de control que garantiza que el sistema ACROBOT en lazo

cerrado se comporte igual que la dinámica objetivo propuesto por método IDA-PBC y

que logra la estabilidad asintótica del sistema.

[ ]22122

papakvuu es βδ

+−−= → esu es la calculada y corresponde a la ecuación (133)

Sustituyendo esu se consigue que la función de control u es la siguiente:

( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+++−+−= ........)()()))cos(((1

212112

1223232221

qqCsenqqBsenqAsenagqqRqccacau d αα

δ

( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+−++++++−+ )2(2)()))cos(2())cos(((..... 212121


agqqRqcccaqcca d α

....)(2)(2

21.......

1

232

22321 −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++

δqsencpqsencpp

)..()cos()cos(2)cos(2222

232

1

232

22

222

2123212122


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++++−−

δ

[ ])(.. 215 qqsencg +− [ ]22122

papakv βδ

+−−

Una vez encontradas cada una de las funciones necesarias para la aplicación del

método IDA-PBC, es posible presentar el sistema ACROBOT en lazo cerrado,

sustituyendo Hq2∇ y u :

[ ]

[ ][ ]

uHpqqsencqsencgp

pqcccpqccq

pqccpcq

q +−∇=+−−−=

++++−=

+−+=

22

215141

2232112321

2

2232121

1

)()(

))cos(2())cos((1

))cos((1

&

&

&

&

δ

δ

Sustituyendo Hq2∇ y u en el sistema de EDO anterior se tiene que:

[ ]2232121


&

[ ]2232112321


&

[ ])()( 215141 qqsencqsencgp +−−−=&

....)(2)(2

21

1

232

223212 +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−=

δqsencpqsencpp

p&

)..()cos()cos(2)cos(2222

232

1

232

22

222

2123212122


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++++−+

δ

[ ] ......)(.. 215 +++ qqsencg

( ) ( )[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+++−+− ........)()()))cos(((1

212112

1223232221

qqCsenqqBsenqAsenagqqRqccaca d αα

δ

( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+−++++++−+ )2(2)()))cos(2())cos(((..... 212121


agqqRqcccaqcca d α

....)(2)(2

21.......

1

232

22321 −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++

δqsencpqsencpp

)..()cos()cos(2)cos(2222

232

1

232

22

222

2123212122


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++++−−

δ

[ ])(.. 215 qqsencg +− [ ]22122

papakv βδ

+−−

Simplificando el sistema ACROBOT en lazo cerrado se obtiene lo siguiente:

[ ]2232121


&

[ ]2232112321


&

[ ])()( 215141 qqsencqsencgp +−−−=&

( ) ( )[ ]⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+++−+− ........)()()))cos(((1

212112

1223232221

2 qqCsenqqBsenqAsenagqqRqccacap d αα

δ&

( ) ( )[ ]⎭⎬⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−+−++++++−+ )2(2)()))cos(2())cos(((..... 212121


agqqRqcccaqcca d α

[ ]22122

.... papakv βδ

+−− (134)

Por otro lado, se determina la dinámica objetivo del sistema ACROBOT como se

muestra a continuación:

La dinámica objetivo tiene la forma:

[ ] ddd HRJpq

∇−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡&

& (135)

y se sabe que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=

−

−

0*0

1

1

MMMM

Jd

dd , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= T

vd GKG

R**0

00 y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32

22

aaaa

M d

β

Con J2 = 0, resulta al sustituir en la ecuación (135):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dqT

vd

d

HH

GKGMMMM

pq

**000

0*0

1

1

&

&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

dp

dqT

vd

d

HH

GGkMMMM

pq

1

1 *0&

&

dpd HMMq ∇= −1& (136)

dpT

vdqd HGGkHMMp ∇−∇−= −1& (137)

Resolviendo la ecuación (136), como pMH ddp1−=∇ → pMMMq dd

11 −−=& → pMq 1−=&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2321232

2322

12

1

)cos(2)cos()cos(1

pp

qcccqccqccc

qq

δ&

&

De esta manera se encuentran las dos primeras ecuaciones 1q& y 2q& de la

dinámica objetivo:

[ ])cos(122213

11 qpcpcq −=

δ& (138)

[ ]212121


& (139)

Seguidamente se hacen los cálculos para las ecuaciones de 1p& y 2p& , para lo

cual se resuelve la ecuación (137) como se muestra a continuación

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

22

23

2

1

2321232

2322

132

22

2

1 11010

)cos(2)cos()cos(1

2pp

aaaa

kHH

qcccqccqccc

aaaa

pp

vdq

dq

βδδβ

&

&

.....))cos(2())cos(())cos(())cos(2())cos(())cos((1

2

1

232132322232322

232122322232222

12

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++−+−+++++−+−+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

dq

dq

HH

qcccaqccaqccacaqcccaqccaqccaca

pp ββ

δ&

&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2

1

22

23

2 0001....

pp

aaaa

kv βδ

......)))cos(2())cos((()))cos(((

)))cos(2())cos((()))cos(((1

2

2

2321323221232322

2321223221232222

12

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇++++−+∇+−+∇++++−+∇+−+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

dqdq

dqdq

HqcccaqccaHqccacaHqcccaqccaHqccaca

pp ββ

δ&

&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−22122

01......pakpak vv βδ

Por ser la matriz Md es constante → dqdq VH 11 ∇=∇ y dqdq VH 22 ∇=∇

( ) ( )[ ] ..........)()()))cos(((121211

212232222

11 ⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−+++−+−= qqCsenqqBsenqAsen

agqqRqccacap d ααβ

δ&

( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−−+−++++++− )2(2)()))cos(2())cos((...( 212121


agqqRqcccaqcca d αβ

( ) ( )[ ] ..........)()()))cos(((21211

212

1

2322221 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−++

+−+−= qqCsenqqBsenqAsen

agqqRqccacap d αα

δβ&

( ) ( )[ ])2(2)()))cos(2())cos(((. 2121212

121

232122322 qqDsenqqCsenqqBsenagqqRqcccaqcca

d +−−−+−++++++−

− αδ

β (140)

Ahora para 2p& :

( ) ( )[ ] ........)()()))cos(((121211

212232322

12

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−+++−+−= qqCsenqqBsenqAsen

agqqRqccacap d αα

δ&

( ) ( )[ ] .....)2(2)()))cos(2())cos((...( 2121212

12232132322⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−−+−++++++− qqDsenqqCsenqqBsen

agqqRqcccaqcca d α

[ ]22122

1.... pakpak vv βδ

+−−

( ) ( )[ ] ......)()()))cos(((

212112

121

2323222 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−−++

+−+−= qqCsenqqBsenqAsen

agqqR

qccacap d αα

δ&

( ) ( )[ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−−+−++

++++−− )2(2)(

)))cos(2())cos(((... 212121

212

1

232132322 qqDsenqqCsenqqBsenagqqR

qcccaqccad α

δ

( )2

2212....δ

β pakpak vv +−− (141)

Para tener información cualitativa del sistema ACROBOT, se hace un análisis

cualitativo de los puntos de equilibrio del sistema en lazo abierto, para ello, se utiliza la

técnica de Linealización Aproximada o Jacobiana.

El sistema ACROBOT en lazo abierto es:

[ ]

[ ][ ]

uHpqqsencqsencgp

pqcccpqccq

pqccpcq

q +−∇=+−−−=

++++−=

+−+=

22

215141

2232112321

2

2232121

1

)()(

))cos(2())cos((1

))cos((1

&

&

&

&

δ

δ

Al sustituir Hq2∇ resulta:

[ ]2232121


&

[ ]2232112321


&

[ ])()( 215141 qqsencqsencgp +−−−=&

....)(2)(2

21

1

232

223212 +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−=

δqsencpqsencpp

p&

).()cos()cos(2)cos(2222

232

1

232

22

222

2123212122

12 qsenqcqcppcpcqcppppcpc⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++++−+

δ

Los puntos de equilibrio del sistema se determinan → 02121 ==== ppqq &&&&

Los puntos de equilibrio del sistema pertenecen al conjunto:

( ){ }arbitrarioqyuppqppqqE :0,0,0,0/,,, 22112121 ===== y se elige el punto

de equilibrio (0,0,0,0).

La linealización jacobiana del sistema en torno al origen resulta como sigue a

continuación:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=

2

4

1

4

2

4

1

4

2

3

1

3

2

3

1

3

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

1

1

2

1

1

1

)0,0,0,0(,

pf

pf

qf

qf

pf

pf

qf

qf

pf

pf

qf

qf

pf

pf

qf

qf

pqfA

01

1 =∂∂qf 0

2

1 =∂∂qf

2312

2

1

1

cccc

pf

−=

∂∂

2312

32

2

1

ccccc

pf

−

+−=

∂∂

01

2 =∂∂qf 0

2

2 =∂∂qf 2

312

32

1

2

ccccc

pf

−

+−=

∂∂

2312

321

2

2 2ccc

cccpf

−

++=

∂∂

)( 541

3 ccgqf

+=∂∂

52

3 gcqf

=∂∂

; 01

3 =∂∂pf

; 02

3 =∂∂pf

01

4 =∂∂qf ; 0

2

4 =∂∂qf ; 0

1

4 =∂∂pf ; 0

2

4 =∂∂pf

La matriz del sistema linealizado A es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−

++

−

+−−

+−

−

=

000000)(

200

00

554

2312

3212

312

32

2312

322

312

2

gcccgccc

cccccccc

ccccc

cccc

A

Los valores propios de A determinan la estabilidad del sistema alrededor del origen,

punto de equilibrio del sistema, cuando u=0. Tales valores propios se obtienen a partir

de las raíces del polinomio característico de la matriz A, calculadas de la siguiente

manera:

)det()( AsIspA −=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−

++

−

+−−

+−

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

000000)(

200

00

000000000000

554

2312

3212

312

32

2312

322

312

2

gcccgccc

cccccccc

ccccc

cccc

ss

ss

AsI

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

++−

−

+−−

−

+−−

−−

=−

ssgcccg

cccccc

ccccc

s

ccccc

ccccs

AsI

0000)(

20

0

554

2312

3212

312

32

2312

322

312

2

0)(

)det( 2312

24352

32

1222

=−

++−=−

ccccgccgccsccss

AsI

0

0

24352

32

122

2

=++−

=

cgccgccsccs

s

)( 24352

32

122 cgccgccsccs +−=− → )()( 2435

2312

2 cgccgccccs +−=−

→ 2312

24352 )(ccc

cgccgcs−

+−=

→ 2312

2435 )(ccc

cgccgcs

−

+−=

De esta manera se conocen los valores propios del sistema y estos son los siguientes:

iccc

cgccgcsiccc

cgccgcsss 2312

243542

312

2435321

)()(00−

+−−=

−

+−===

De tal manera que el sistema ACROBOT posee dos valores propios nulos y dos

valores propios imaginarios puros. Se trata del denominado caso crítico para el análisis

de la estabilidad del punto de equilibrio, es decir, no se puede asegurar la estabilidad

del mismo.

D. Análisis de la Estabilidad

La estabilidad del punto de equilibrio del sistema ACROBOT se sigue de la

aplicación de la Proposición 1. La estabilidad asintótica, bajo la hipótesis de

detectabilidad, puede establecerse aplicando el Principio de Invariancia de Lasalle. Para

este fin se define el conjunto residual:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =ℜ∈=Ω

•

0,,,/,,, 21214

2121 tptptqtqHppqq d (142)

Derivando dH respecto a t, se encuentra que

2

)()( dT

vdT

vT

dd pHGKpHGGKpHtH ∇−=∇∇−=•

(143)

en la cual . es la norma euclideana usual. Luego,

( ){ } ( ){ }0/,,,0/,,, 142121

42121 =ℜ∈==∇ℜ∈=Ω − pMGppqqpHGppqq d

Td

T (144)

Derivando la expresión 01 =− pMG dT se obtiene la relación

01 =•

− pMG dT (145)

donde puede substituirse •

p por su valor dado en la ecuación (137), es decir, por

dddT

vdd qHMMpHGGKqHMMp ∇−=∇−∇−= −−•

11 (146)

para obtener la cadena de igualdades:

( ) 01111 =∇=∇−=∇− −−−−d

Td

Tddd

T qVMGqHMGqHMMMG (147)

observando que para establecer la penúltima igualdad se ha usado la independencia de

la matriz de inercia dM respecto de la variable q . Ahora bien,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∇+++∇+−

∇+−∇=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−+−

=∇−

dd

dd

d

dd

VqqcccVqqcc

VqqccVqc

VqVq

qcccqccqccc

qVM

223211232

223212

1

2

1

2321232

2322

1

1

))cos(2())cos((

))cos((1

)cos(2))cos(())cos((1

δ

δ

(148)

lo cual implica que:

[ ] 0))cos(2())cos((1)( 2232112321 =∇+++∇+−=∇−

dddT VqqcccVqqccqVMG

δ (149)

Dado que los parámetros 321, cycc sólo toman valores positivos, las funciones

)cos( 232 qcc + y )cos(2 2321 qccc ++ son linealmente independientes; por lo que (149) se

produce para todo ( )21 ,qq sólo si ( ) ( ) 0,0, 212211 =∇=∇ qqVqyqqVq dd . En este punto se

hace, por lo tanto, necesario introducir la siguiente hipótesis adicional

Hipótesis H4: La función de energía potencial satisface la condición

( ) ( ) ( ) )0,0(,0,0, 21212211 =⇒=∇=∇ qqqqVqyqqVq dd (150)

Por lo tanto, usando la Hipótesis H4 y (149) se deduce que:

( ) ( )( ) )0,0(, 21 ≡tqtq (151)

y en consecuencia ( ) ( ) 0,0 21 ==••

tqytq . Sustituyendo estos resultados en el primer

par de ecuaciones de (108) se obtiene el sistema lineal en 21 pyp

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−+−=

=+−=•

•

0)2()(

0)(

23211322

232121

pcccpccq

pccpcq (152)

cuyo determinante es la ya conocida condición 02321 ≠− ccc , lo cual implica

( ) 0)(),( 21 ≡tptp (153)

Juntando este resultado con el resultado de (151), se llega a la conclusión que

( ){ }0,0,0,0=Ω , y, por el Principio de Invariancia de Lasalle, el origen es un punto de

equilibrio asintóticamente estable.

E. Simulaciones Numéricas y Rediseño de las funciones

Para el modelo del sistema ACROBOT, se realizaron simulaciones

computacionales con los programas ACROLAZ, SIMACROLAZ, ACRODIN y

SIMACRODIN, usando la plataforma de Matlab 7.1. Con estas simulaciones se muestra

el desempeño del controlador propuesto. Se emplearon para el sistema ACROBOT, los

parámetros contenidos en la tabla 1 que fueron tomados de [13].

Tabla 2. Parámetros para el sistema ACROBOT

Parámetro 1c 2c 3c 4c 5c

Valor 2.3333 5.3333 2 3 2

Se tomaron para la matriz dM los valores 4,,1 3211 === aaaa β .

3333.53333.211

2

1 +=+=cc

α y 3333.53333.211

2

1 −=−=cc

β

Se debe tomar en cuenta que el parámetro de diseño Rd debe cumplir:

( )DCBAa

gRd +++> 22α

y ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+−−++++++

+++++>

DCBDCBDCBABDBCCDADACAB

agRd 424

4942

2 αα

→ el Hess(vd(0,0)) sea definido positivo → (0,0) es un mínimo y es un punto de

equilibrio es estable. Sustituyendo: 85>dR .

En una primera simulación, todas las condiciones iniciales fueron ubicadas en

21π

=q , 32π

=q , 11 =p y 12 =p . Después de algunos ensayos para obtener la mejor

respuesta transitoria, la cual corresponde a la etapa de rediseño de las funciones, se

seleccionaron 100=dR y 100=vK .

Es importante señalar, que para obtener una rápida convergencia a la

estabilización del sistema, se añade a la función de control propuesto el término

130p− .


en las figuras 21 y 22, Como puede observarse, el sistema exhibe una muy buena

conducta transitoria, y la estabilización se produce a los 120 segundos.

0 50 100 150-1

0

1Posición Angular Brazo 1

tiempo t

q1

0 50 100 150-2

0


tiempo t

q2

0 50 100 150-10

0

10Velocidad Angular del Brazo 1

tiempo t

p1

0 50 100 150-10

0


tiempo t

p2

0 50 100 150-1000

0


tiempo t

u

0 50 100 150-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 21. Simulación del Sistema ACROBOT en lazo cerrado: Comportamiento de las variables y función

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 22. Simulación del Sistema ACROBOT en lazo cerrado: Plano de Fase




120 segundos.

0 50 100-1

0


tiempo t

q10 50 100

-2

0


tiempo t

q2

0 50 100-10

0


tiempo t

p1

0 50 100-10

0


tiempo t

p20 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 23. Simulación del Sistema ACROBOT de dinámica objetivo: Comportamiento de las variables y función

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 24. Simulación del Sistema ACROBOT de dinámica objetivo: Plano de Fase A fin de ilustrar la naturaleza global de la ley de control obtenida, se presenta una

simulación donde se pretende llevar el dispositivo desde la posición 2/51 π=q , hasta la

posición 01 =q , mientras se mantienen todas las otras condiciones iniciales iguales a

0. La respuesta transitoria se muestra en las figuras 25 y 26, donde se observa que se

la convergencia es preservada tal como lo predice la teoría, sin embargo se tomó

70=vk .

0 50 100-1

0


tiempo t

q1

0 50 100-2

0


tiempo t

q2

0 50 100-10

0


tiempo t

p1

0 50 100-10

0


tiempo t

p2

0 50 100-1000

0


tiempo t

u

0 50 100-10

0

10Variables

tiempo t

q1,q

2,p1

,p2

Figura 25. Simulación del Sistema ACROBOT de dinámica objetivo: Comportamiento de las variables y función

-1 -0.5 0 0.5 1-2

-1

0

1

2Plano de Fase

q1

q2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10Plano de Fase

p1

p2

-1 -0.5 0 0.5 1-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q1

p1

-2 -1 0 1 2-10

-5

0

5

10Plano de Fase

q2

p2

Figura 26. Simulación del Sistema ACROBOT de dinámica objetivo: Plano de Fase

De esta manera se prueba la naturaleza global de la ley de control obtenida, ya

que se observa que la convergencia es preservada tal como lo predice la teoría.

También es importante destacar que dicha ley de control logra estabilizar el sistema en

un tiempo de simulación o tiempo de asentamiento perfectamente aceptable.

El sistema ACROBOT es un prototipo de sistema mecánico subactuado que ha

merecido gran atención por la comunidad de control no lineal, y en este trabajo,

partiendo de la representación Hamiltoniana controlada por puertos basada en la

energía total del sistema considerada como energía cinética mas energía potencial, se

obtiene un controlador que logra estabilizar en forma global y asintótica el punto de

equilibrio.

De lo anteriormente planteado y luego de haber desarrollado la investigación, se

logra dar respuesta a la hipótesis de estudio:

Los sistemas mecánicos subactuados de grado 1 si son susceptibles a ser

estabilizados mediante el método IDA-PBC.

CONCLUSIONES De acuerdo a los objetivos propuestos en la investigación y en atención a los

resultados obtenidos luego de aplicada la metodología propuesta, se emiten las

siguientes conclusiones.

En el presente trabajo se ha desarrollado un esquema de control basado en el

método IDA-PBC para los sistemas prototipo TORA y ACROBOT. La principal

característica de este método es que explota la estructura física del sistema, en este

caso, se aprovecha que toda la información del comportamiento dinámico del

sistema mecánico está contenida en las funciones de energía y de disipación, en

consecuencia el diseño del controlador se ha concentrado en el manejo y

modificación de estas variables.

Para el moldeado de la energía total se tomó ventaja de la posibilidad de obtener

una matriz deseada con términos constantes, y para la síntesis de la energía

potencial deseada se obtuvo una reducción del conjunto de parámetros posibles

para la matriz deseada, que facilita enormemente la resolución de la ecuación en

derivadas parciales característica del método IDA-PBC.

Al final se realizaron simulaciones numéricas que muestran el excelente

comportamiento del controlador diseñado, reduciendo significamente las

oscilaciones de la plataforma, y con un tiempo de asentamiento perfectamente

aceptable.

RECOMENDACIONES

La estabilización de los sistemas mecánicos subactuados de grado 1

propuestos en la investigación utilizando el método IDA-PBC, es un aporte más a la

difícil tarea de abordar de manera sistemática un conjunto de problemas abiertos como

el control de sistemas subactuados y la obtención de funciones de Lyapunov para

controladores no lineales. Esto aunado al escaso desarrollo del área correspondiente a

los sistemas no lineales, permiten considerar las siguientes recomendaciones:

A partir de los resultados obtenidos en esta investigación, se recomienda evaluar los

sistemas mecánicos estudiados a través de prácticas experimentales en el

laboratorio, que permitan contrastar la teoría con la realidad.

Utilizar otros métodos de resolución de EDP de coeficientes variables, que permitan

conseguir mejores soluciones para la energía potencial deseada Vd.

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Latinoamericano de Control y Automatización, Noviembre 25-28. Mérida, Venezuela.

[6] Morillo A., Ríos M., y Arteaga F. (2008) Una estrategia de control no lineal para el

sistema Acrobot basada en el enfoque IDA-PBC”. XIII Congreso Latinoamericano de

Control y Automatización, Noviembre 25-28. Mérida, Venezuela.

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[10] Sira H., Márquez R., Rivas F. y Llanes O. (2005) Control de sistemas no lineales:

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Technology, Vol 4, No 3, pp: 292-297.

Páginas Web

http://www.ing.ula.ve/marquez/librosnl/

ANEXO A %%Programa VDESTORA: function F=VDESTORA(x,y) c1=12; c2=1; c3=11; alpha=sqrt(c3/c1); a1=1; %a2=alpha*a1; K=4; Rd=90; F=(1/2)*Rd*(x-alpha*y).^2+K/a1*((-alpha*sqrt(c1*c3)*y.^2)/2+sqrt(c1*c3)*x.*y+alpha*c2*cos(y)-alpha*c2+c2*x.*sin(y));

%%Programa SIMVDESTORA: clear all %Vd=(1/2)*Rd*(x-alpha*y)^2+K/a1*((alpha*sqrt(c1*c3)*y^2)/2+sqrt(c1*c3)*x*y-alpha*sqrt(c1*c3)*y^2+alpha*c2*cos(y)+alpha*c2*y*sin(y)-alpha*c2+c2*x*sin(y)-alpha*c2*y*sin(y)) while menu ~= 10 menu=0; [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.2:2); z=VDESTORA(x,y); disp(' (1) grafica la función') disp(' (2) grafica las curvas de nivel de la función') disp(' (3) dibuja los gradientes en el gráfico de curvas de nivel de la función') disp(' (4) determina si la función es cóncava o convexa') disp(' (5) Puntos críticos de la función') disp(' (6) Hessiano y Gradiente') disp(' (10) Salir del Programa') menu=input('elija la opcion a estudiar: '); switch menu case 1 mesh(x,y,z) case 2 contour(x,y,z) case 3 [x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); z=VDESTORA(x,y); contour(x,y,z) hold on [px,py]=gradient(z); quiver(x,y,px,py) case 4 clear all syms x y z=VDESTORA(x,y); a=input('Ingrese x: '); b=input('Ingrese y: '); d1=diff(z,'x',2);

d2=diff(z,'x','y'); d3=diff(z,'x','y'); d4=diff(z,'y',2); a11=subs(d1,{x,y},{a,b}); a12=subs(d2,{x,y},{a,b}); a21=subs(d3,{x,y},{a,b}); a22=subs(d4,{x,y},{a,b}); hess=[a11,a12;a21,a22]; valores_propios=eig(hess) c1=0; c2=0; for i = 1:length(valores_propios) if (valores_propios(i)>=0) c1=c1+1; else c2=c2+1; end end if (c1==1)&(c2==1) fprintf ('La función es indefinida'); end if (c1==2)&(c2==0) fprintf ('Existe un mínimo y la función es convexa '); end if (c1==0)&(c2==2) fprintf ('Existe un máximo y la función es cóncava'); end pause case 5 clear all syms x y z=VDESTORA(x,y); disp('Puntos Críticos de la Función:') [x,y] = solve(diff(z,'x'),diff(z,'y')) case 6 clear all syms x y z=VDESTORA(x,y); m=input('Ingrese x: '); n=input('Ingrese y: '); disp('Gradiente y Hessiano la Función:') d1=diff(z,'x',2); d2=diff(z,'x','y'); d3=diff(z,'x','y'); d4=diff(z,'y',2); d5=diff(z,'x'); d6=diff(z,'y'); a1=subs(d5,{x,y},{m,n}); a2=subs(d6,{x,y},{m,n}); a11=subs(d1,{x,y},{m,n}); a12=subs(d2,{x,y},{m,n}); a21=subs(d3,{x,y},{m,n}); a22=subs(d4,{x,y},{m,n}); grad=[a1,a2] hess=[a11,a12;a21,a22] pause end end

ANEXO B %%Programa TORALAZ: function xdot=TORALAZ(t,x) %%TORALAZ.m %%Control del Sistema TORA Lazo Cerrado %%% %%Parámetros del sistema c1=12; c2=1; c3=11; alpha=sqrt(c3/c1); a1=1; a2=alpha*a1; K=5; %a3 PUEDE SER MAYOR QUE 2. a3=4; %%Parámetros de Diseño kv=70;%PUEDE VARIAR. Rd=90;%Puede ser mayor de 65. %%Otros Parámetros que no influyen %g=32.2;%pie/seg^2. g=981;%cm/seg^2. %g=9.81; %m/seg^2. m2=1; L=1; delta1 =c1*c3-c2*c2*cos(x(2)).*cos(x(2)); delta2= a1*a3-(c3/c1)*a1*a1; %%Ley de control u=-(alpha*a1*c3-a3*c2*cos(x(2))/(delta1).*(Rd*(x(1)-alpha*x(2))+(K*sqrt(c1*c3)*x(2)/a1)-(K*c2*sin(x(2))/a1))-(-alpha*a1*c2*cos(x(2))+a3*c1)/delta1).*(-Rd*(x(1)-alpha*x(2))*alpha+(K*sqrt(c1*c3)*(x(1)-alpha*x(2))/a1)-(K*alpha*c2*sin(x(2))/a1)+(K*c2*x(1).*cos(x(2))/a1))-(c2*c2*sin(x(2)).*cos(x(2))/(delta1)*(delta1)).*(c3*x(3).*x(3)-2*c2*x(3).*x(4).*cos(x(2))+c1*x(4).*x(4))+c2*(x(4).*x(3).*sin(x(2))/delta1)+m2*g*L*sin(x(2))-(kv/delta2)*(-alpha*a1*x(3)+a1*x(4))-50*x(3); %%Ecuaciones de estado xdot=[(1/delta1)*(c3*x(3)-c2*x(4).*cos(x(2))); (1/delta1)*(-c2*x(3).*cos(x(2))+c1*x(4)); (-K*x(1)); ((c2*c2*sin(x(2)).*cos(x(2)))/delta1*delta1)*(c3*x(3).*x(3)-2*c2*x(3).*x(4).*cos(x(2))+c1*x(4).*x(4))-((c2*x(3).*x(4).*sin(x(2)))/delta1)-m2*g*L*sin(x(2))+u]; %%Fin de TORALAZ.m

%%Programa SIMTORALAZ: %SIMTORALAZ.m %Programa de generación de los gráficos TORALAZ.m %Tiempo de simulación ti=0; tf=150; %%Condiciones Iniciales: x0=[1 0 0 0]'; %%Simulación: [t,x]=ode45('TORALAZ',[ti tf],x0); %%Posición del Carro (x(1)) subplot(3,2,1),plot(t,x(:,1),'c') title('Posición del Carro') xlabel('tiempo t') ylabel('q1') %%Posición Angular (x(2)) subplot(3,2,2),plot(t,x(:,2),'b') title('Posición Angular') xlabel('tiempo t') ylabel('q2') %%Velocidad del Carro (x(3)) subplot(3,2,3),plot(t,x(:,3),'r') title('Velocidad del Carro') xlabel('tiempo t') ylabel('p1') %%Velocidad Angular (x(4)) subplot(3,2,4),plot(t,x(:,4),'g') title('Velocidad Angular') xlabel('tiempo t') ylabel('p2') %%Parámetros del sistema c1=12; c2=1; c3=11; alpha=sqrt(c3/c1); a1=1; a2=alpha*a1; K=5; %a3 PUEDE SER MAYOR QUE 2. a3=4; %%Parámetros de Diseño kv=70;%PUEDE VARIAR. Rd=90;%Puede ser mayor de 65. %%Otros Parámetros que no influyen %g=32.2;%pie/seg^2. g=981;%cm/seg^2. %g=9.81; %m/seg^2.

m2=1; L=1; delta1 =c1*c3-c2*c2*cos(x(2)).*cos(x(2)); delta2= a1*a3-(c3/c1)*a1*a1; %%Ley de Control u=-(alpha*a1*c3-a3*c2*cos(x(:,2))/(delta1).*(Rd*(x(:,1)-alpha*x(:,2))+(K*sqrt(c1*c3)*x(:,2)/a1)-(K*c2*sin(x(:,2))/a1))-(-alpha*a1*c2*cos(x(:,2))+a3*c1)/delta1).*(-Rd*(x(:,1)-alpha*x(:,2))*alpha+(K*sqrt(c1*c3)*(x(:,1)-alpha*x(:,2))/a1)-(K*alpha*c2*sin(x(:,2))/a1)+(K*c2*x(:,1).*cos(x(:,2))/a1))-(c2*c2*sin(x(:,2)).*cos(x(:,2))/(delta1)*(delta1)).*(c3*x(:,3).*x(:,3)-2*c2*x(:,3).*x(:,4).*cos(x(:,2))+c1*x(:,4).*x(:,4))+c2*(x(:,4).*x(:,3).*sin(x(:,2))/delta1)+m2*g*L*sin(x(:,2))-(kv/delta2)*(-alpha*a1*x(:,3)+a1*x(:,4))-50*x(:,3); %%Control (u) subplot(3,2,5),plot(t,u,'k') title('Variable de Control') xlabel('tiempo t') ylabel('u') %%Todas las Variables subplot(3,2,6),plot(t,x) title('Variables') xlabel('tiempo t') ylabel('q1,q2,p1,p2') pause figure %%Plano de Fase subplot(2,2,1),plot(x(:,1),x(:,2)) title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('q2') %%Plano de Fase subplot(2,2,2),plot(x(:,3),x(:,4)) title('Plano de Fase') xlabel('p1') ylabel('p2') %%Plano de Fase subplot(2,2,3),plot(x(:,1),x(:,3)) title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('p1') %%Plano de Fase subplot(2,2,4),plot(x(:,2),x(:,4)) title('Plano de Fase') xlabel('q2') ylabel('p2') %Fin de SIMTORALAZ.m

ANEXO C %%Programa TORADIN: function xdot=TORADIN(t,x) %%TORADIN.m %%Control del Sistema TORA Dinámica Objetivo %%% %%Parámetros del sistema c1=12; c2=1; c3=11; alpha=sqrt(c3/c1); a1=1; a2=alpha*a1; K=5; %a3 PUEDE SER MAYOR QUE 2. a3=15; %%Parámetros de Diseño kv=70;%PUEDE VARIAR. Rd=90;%Puede ser mayor de 65. %%Otros Parámetros que no influyen %g=32.2;%pie/seg^2. g=981;%cm/seg^2. m2=1; L=1; delta1 =c1*c3-c2*c2*cos(x(2)).*cos(x(2)); delta2= a1*a3-(c3/c1)*a1*a1; %%Ecuaciones de estado xdot=[(1/delta1)*(c3*x(3)-c2*x(4).*cos(x(2))); (1/delta1)*(-c2*x(3).*cos(x(2))+c1*x(4)); -(((a1*c3-alpha*a1*c2*cos(x(2)))/delta1).*(Rd*(x(1)-alpha*x(2))+(K*sqrt(c1*c3)*x(2)/a1)+(K*c2*sin(x(2))/a1)))-(((-a1*c2*cos(x(2))+alpha*a1*c1)/delta1).*(-Rd*(x(1)-alpha*x(2))*alpha+(K*sqrt(c1*c3)*(x(1)-alpha*x(2))/a1)-(K*alpha*c2*sin(x(2))/a1)+(K*c2*x(1).*cos(x(2))/a1))); -(((alpha*a1*c3-a3*c2*cos(x(2)))/delta1).*(Rd*(x(1)-alpha*x(2))+(K*sqrt(c1*c3)*x(2)/a1)+(K*c2*sin(x(2))/a1)))-(((-alpha*a1*c2*cos(x(2))+a3*c1)/delta1).*(-Rd*(x(1)-alpha*x(2))*alpha+(K*sqrt(c1*c3)*(x(1)-alpha*x(2))/a1)-(K*alpha*c2*sin(x(2))/a1)+(K*c2*x(1).*cos(x(2))/a1)))-((-kv*alpha*a1*x(3)+kv*a1*x(4))/delta2)-10*x(3)]; %%Fin de TORADIN.m

%%Programa SIMTORADIN: %SIMTORADIN.m %Programa de generación de los gráficos toradin.m %Tiempo de simulación ti=0; tf=150; %%Condiciones Iniciales: x0=[1 pi/2 0 0]'; %%Simulación: [t,x]=ode45('TORADIN',[ti tf],x0); %%Posición del Carro (x(1)) subplot(3,2,1),plot(t,x(:,1),'c') title('Posición del Carro') xlabel('tiempo t') ylabel('q1') %%Posición Angular (x(2)) subplot(3,2,2),plot(t,x(:,2),'b') title('Posición Angular') xlabel('tiempo t') ylabel('q2') %%Velocidad del Carro (x(3)) subplot(3,2,3),plot(t,x(:,3),'r') title('Velocidad del Carro') xlabel('tiempo t') ylabel('p1') %%Velocidad Angular (x(4)) subplot(3,2,4),plot(t,x(:,4),'g') title('Velocidad Angular') xlabel('tiempo t') ylabel('p2') %%Todas las Variables subplot(3,2,[5 6]),plot(t,x) title('Variables') xlabel('tiempo t') ylabel('q1,q2,p1,p2') pause figure %%Plano de Fase subplot(2,2,1),plot(x(:,1),x(:,2)) title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('q2') %%Plano de Fase subplot(2,2,2),plot(x(:,3),x(:,4)) title('Plano de Fase') xlabel('p1') ylabel('p2')

%%Plano de Fase subplot(2,2,3),plot(x(:,1),x(:,3)) title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('p1') %%Plano de Fase subplot(2,2,4),plot(x(:,2),x(:,4)) title('Plano de Fase') xlabel('q2') ylabel('p2') %Fin de SIMTORADIN.m

ANEXO D %%VDESACRO: function F=VDESACRO(x,y) c1=2.3333; c2=5.3333; c3=2; c4=3; c5=2; alpha=1+sqrt(c1/c2); %betha=1-sqrt(c1/c2); a2=2; g=981; %cm/s2 %a1=betha*a2; Rd=95; %F=1/2*Rd*(y+alpha*x).^2-(g/a2)*((c4*sqrt(c1*c2)-(c3*c5/2))*cos(x)-(((c5*sqrt(c1*c2))/(alpha-1))+(c3*c4/(2*(alpha-1))))*cos(x+y)-(c3*c4/(2*(alpha+1)))*cos(x-y)+(c3*c5/(2*(2*alpha-1)))*cos(x+2*y)-c4*sqrt(c1*c2)+(c3*c5/2)+(c5*sqrt(c1*c2)/(alpha-1))-(c3*c4/(2*(alpha-1)))+(c3*c4/(2*(alpha+1)))-(c3*c5/(2*(2*alpha-1)))); %F=1/2*Rd*(y+alpha*x).^2+(g/a2)*((-c4*sqrt(c1*c2)-(c5/2)+c3*c4)*cos(x)+((-c3*c5/(alpha-1))+(c4/(2*(alpha-1)))+(c5*sqrt(c1*c2)/(alpha-1)))*cos(x+y)+(-c4/(2*(alpha+1)))*cos(x-y)+(c5/(2*(2*alpha-1)))*cos(x+2*y)+(c4*sqrt(c1*c2)+(c5/2)-c3*c4)+(c3*c5/(alpha-1))-(c4/(2*(alpha-1)))-((c5*sqrt(c1*c2))/(alpha-1))+(c4/(2*(alpha+1)))-(c5/(2*(2+alpha-1)))); F=1/2*Rd*(y+alpha*x).^2+(g/a2)*(((c3*c5/2)-c4*sqrt(c1*c2)).*cos(x)+((c5*sqrt(c1*c2)/(alpha-1))-(c3*c4/(2*(alpha-1)))).*cos(x+y)+(c3*c4/(2*(alpha+1))).*cos(y-x)-(c3*c5/(2*(2*alpha-1))).*cos(x+2*y)+(c3*c5/(2*(2*alpha-1))).*cos(2*y+2*alpha*x)-(((c3*c5/2)-c4*sqrt(c1*c2))+(c5*sqrt(c1*c2)/(alpha-1))-(c3*c4/(2*(alpha-1)))+(c3*c4/(2*(alpha+1)))-(c3*c5/(2*(2*alpha-1))))); %F=1/2*Rd*(y+betha*x).^2+(g/a2)*((c4*sqrt(c1*c2)-(c3*c5/2))*cos(x)+((-c5*sqrt(c1*c2)/(betha-1))+(c3*c4/(2*(betha-1))))*cos(x+y)-(c3*c4/(2*(betha+1)))*cos(x-y)-(c3*c5/(2*(2*betha-1)))*cos(x+2*y)-c4*sqrt(c1*c2)+(c3*c5/2)+(c5*sqrt(c1*c2)/(betha-1))-(c3*c4/(2*(betha-1)))+(c3*c4/(2*(betha+1)))-(c3*c5/(2*(2*betha-1))));

%%SIMVDESACRO: clear all %Vd=1/2*Rd*(y+alpha*x).^2+(g/a2)*((-sqrt(c1*c2)+(c3*c5/2)*cos(x)+(1/alpha-1)*c5*sqrt(c1*c2)-c3*c4/2*(alpha-1))*cos(x+y)+(1/2*(alpha+1))*c3*c4*cos(x-y)-(c3*c5/2*(2*alpha-1))*cos(x+2*y)-(-c4*sqrt(c1*c2)+(c3*c5/2)+(c5/alpha-1)*sqrt(c1*c2)-(c3*c4/2*(alpha-1))+(c3*c4/2*(alpha+1))-(c3*c5/2*(2+alpha-1)))); while menu ~= 10 menu=0; [x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); z=VDESACRO(x,y); disp(' (1) grafica la función') disp(' (2) grafica las curvas de nivel de la función') disp(' (3) dibuja los gradientes en el gráfico de curvas de nivel de la función') disp(' (4) determina si la función es cóncava o convexa') disp(' (5) Puntos críticos de la función') disp(' (6) Hessiano y Gradiente')

disp(' (10) Salir del Programa') menu=input('elija la opcion a estudiar: '); switch menu case 1 mesh(x,y,z) case 2 contour(x,y,z) case 3 [x,y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); z=VDESACRO(x,y); contour(x,y,z) hold on [px,py]=gradient(z); quiver(x,y,px,py) case 4 clear all syms x y z=VDESACRO(x,y); a=input('Ingrese x: '); b=input('Ingrese y: '); d1=diff(z,'x',2); d2=diff(z,'x','y'); d3=diff(z,'x','y'); d4=diff(z,'y',2); a11=subs(d1,{x,y},{a,b}); a12=subs(d2,{x,y},{a,b}); a21=subs(d3,{x,y},{a,b}); a22=subs(d4,{x,y},{a,b}); hess=[a11,a12;a21,a22]; valores_propios=eig(hess) c1=0; c2=0; for i = 1:length(valores_propios) if (valores_propios(i)>=0) c1=c1+1; else c2=c2+1; end end if (c1==1)&(c2==1) fprintf ('La función es indefinida'); end if (c1==2)&(c2==0) fprintf ('Existe un mínimo y la función es convexa '); end if (c1==0)&(c2==2) fprintf ('Existe un máximo y la función es cóncava'); end pause case 5 clear all syms x y z=VDESACRO(x,y); disp('Puntos Críticos de la Función:') [x,y] = solve(diff(z,'x'),diff(z,'y')) case 6 clear all syms x y

z=VDESACRO(x,y); m=input('Ingrese x: '); n=input('Ingrese y: '); disp('Gradiente y Hessiano la Función:') d1=diff(z,'x',2); d2=diff(z,'x','y'); d3=diff(z,'x','y'); d4=diff(z,'y',2); d5=diff(z,'x'); d6=diff(z,'y'); a1=subs(d5,{x,y},{m,n}); a2=subs(d6,{x,y},{m,n}); a11=subs(d1,{x,y},{m,n}); a12=subs(d2,{x,y},{m,n}); a21=subs(d3,{x,y},{m,n}); a22=subs(d4,{x,y},{m,n}); grad=[a1,a2] hess=[a11,a12;a21,a22] pause end end

ANEXO E %%ACROLAZ: function xdot=ACROLAZ(t,x) %%ACROLAZ.m %%Control del Sistema ACROBOT Lazo Cerrado %%% %%Parámetros del sistema c1=2.3333; c2=5.3333; c3=2; c4=3; c5=2; alpha=1+sqrt(c1/c2); beta=1-sqrt(c1/c2); a2=1; a1=beta*a2; %a3 PUEDE SER MAYOR QUE 3. a3=10; A=((c3*c5)/2)-c4*sqrt(c1*c2); B=((c5*sqrt(c1*c2))/(alpha-1))-(c3*c4/(2*(alpha-1))); C=(c3*c4/(2*(alpha+1))); D=-(c3*c5/(2*(2*alpha-1))); E=-(A+B+C+D); %%Parámetros de Diseño kv=10;%PUEDE VARIAR. Rd=10;%Puede ser mayor de 65. %%Otros Parámetros que no influyen %g=32.2;%pie/seg^2. %g=981;%cm/seg^2. g=981; %m/seg^2. delta1 =c2*c1-c3*c3*(cos(x(2))).*cos(x(2)); delta2= a2*(beta*a3-a2); %%Ley de control u=-(1/delta1).*((a2*c2+a3*(-c2+c3*cos(x(2)))).*(Rd*alpha*(x(2)+alpha*x(1))+(g/a2)*(-A*sin(x(1))-B*sin(x(1)+x(2))-C*sin(x(1)-x(2))))+(a2*(-c2+c3*cos(x(2)))+a3*(c1+c2+2*c3*cos(x(2))))*(Rd*(x(2)+alpha*x(1))+(g/a2)*(-B*sin(x(1)+x(2))+C*sin(x(1)-x(2))-2*D*sin(x(1)+2*x(2)))))+(-1/2*delta1)*(2*c3*x(3).*x(4).*sin(x(2))+2*c3*x(4).*x(4).*sin(x(2)))-(c3*c3*(cos(x(2))).*sin(x(2))/(delta1.*delta1)).*(c2*x(3).*x(3)-2*x(3).*x(4)+2*x(3).*x(4).*cos(x(2))+c1*x(4).*x(4)+c2*x(4).*x(4)+2*x(4).*x(4).*cos(x(2)))-g*(c5*sin(x(1)+x(2)))-(kv/delta2)*(-a2*x(3)+beta*a2*x(4))-30*x(3)-30*x(4); %%Ecuaciones de estado xdot=[(1/delta1)*(c2*x(3)+(-c2+c3*cos(x(2))).*x(4)); (1/delta1)*((-c2+c3*cos(x(2))).*x(3)+(c1+c2+2*c3*cos(x(2))).*x(4)); (-g*(-c4*sin(x(1))-c5*sin(x(1)+x(2)))); (-(-1/2*delta1)*(2*x(3).*x(4)*c3*sin(x(2))+2*x(4).*x(4)*c3*sin(x(2)))-(c3*c3*(cos(x(2))).*sin(x(2))/(delta1.*delta1))*(c2*x(3).*x(3)-

2*x(3).*x(4)+2*x(3).*x(4).*cos(x(2))+c1*x(4).*x(4)+c2*x(4).*x(4)+2*x(4).*x(4).*cos(x(2)))-g*(c5*sin(x(1)+x(2))))+u]; %%Fin de ACROLAZ.m %SIMACROLAZ.m %%SIMACROLAZ: %Programa de generación de los gráficos ACROLAZ.m %Tiempo de simulación ti=0; tf=150; %%Condiciones Iniciales: x0=[pi/2 pi/3 1 1]'; %%Simulación: [t,x]=ode45('ACROLAZ',[ti tf],x0); %%Posición Angular Brazo 1 (x(1)) subplot(3,2,1),plot(t,x(:,1),'c') title('Posición Angular Brazo 1') xlabel('tiempo t') ylabel('q1') %%Posición Angular Brazo 2 (x(2)) subplot(3,2,2),plot(t,x(:,2),'b') title('Posición Angular Brazo 2') xlabel('tiempo t') ylabel('q2') %%Velocidad Angular del Brazo 1 (x(3)) subplot(3,2,3),plot(t,x(:,3),'r') title('Velocidad Angular del Brazo 1') xlabel('tiempo t') ylabel('p1') %%Velocidad Angular del Brazo 2 (x(4)) subplot(3,2,4),plot(t,x(:,4),'g') title('Velocidad Angular del Brazo 2') xlabel('tiempo t') ylabel('p2') %%Parámetros del sistema c1=2.3333; c2=5.3333; c3=2; c4=3; c5=2; alpha=1+sqrt(c1/c2); beta=1-sqrt(c1/c2); a2=1; a1=beta*a2; %a3 PUEDE SER MAYOR QUE 3.

a3=10; A=((c3*c5)/2)-c4*sqrt(c1*c2); B=((c5*sqrt(c1*c2))/(alpha-1))-(c3*c4/(2*(alpha-1))); C=(c3*c4/(2*(alpha+1))); D=-(c3*c5/(2*(2*alpha-1))); E=-(A+B+C+D); %%Parámetros de Diseño kv=10;%PUEDE VARIAR. Rd=10;%Puede ser mayor de 65. %%Otros Parámetros que no influyen %g=32.2;%pie/seg^2. %g=981;%cm/seg^2. g=981; %m/seg^2. delta1 =c2*c1-c3*c3*(cos(x(2))).*cos(x(2)); delta2= a2*(beta*a3-a2); %%Ley de control u=-(1/delta1).*((a2*c2+a3*(-c2+c3*cos(x(:,2)))).*(Rd*alpha*(x(:,2)+alpha*x(:,1))+(g/a2)*(-A*sin(x(:,1))-B*sin(x(:,1)+x(:,2))-C*sin(x(:,1)-x(:,2))))+(a2*(-c2+c3*cos(x(:,2)))+a3*(c1+c2+2*c3*cos(x(:,2)))).*(Rd*(x(:,2)+alpha*x(:,1))+(g/a2)*(-B*sin(x(:,1)+x(:,2))+C*sin(x(:,1)-x(:,2))-2*D*sin(x(:,1)+2*x(:,2)))))+(-1/2*delta1).*(2*c3*x(:,3).*x(:,4).*sin(x(:,2))+2*c3*x(:,4).*x(:,4).*sin(x(:,2)))-(c3*c3*(cos(x(:,2))).*sin(x(:,2))/(delta1.*delta1)).*(c2*x(:,3).*x(:,3)-2*x(:,3).*x(:,4)+2*x(:,3).*x(:,4).*cos(x(:,2))+c1*x(:,4).*x(:,4)+c2*x(:,4).*x(:,4)+2*x(:,4).*x(:,4).*cos(x(:,2)))-g*(c5*sin(x(:,1)+x(:,2)))-(kv/delta2)*(-a2*x(:,3)+beta*a2*x(:,4))-30*x(:,3)-30*x(:,4); %%Control (u) subplot(3,2,5),plot(t,u,'k') title('Variable de Control') xlabel('tiempo t') ylabel('u') %%Todas las Variables subplot(3,2,6),plot(t,x) title('Variables') xlabel('tiempo t') ylabel('q1,q2,p1,p2') pause figure %%Plano de Fase subplot(2,2,1),plot(x(:,1),x(:,2)) title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('q2') %%Plano de Fase subplot(2,2,2),plot(x(:,3),x(:,4)) title('Plano de Fase') xlabel('p1') ylabel('p2') %%Plano de Fase subplot(2,2,3),plot(x(:,1),x(:,3))

title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('p1') %%Plano de Fase subplot(2,2,4),plot(x(:,2),x(:,4)) title('Plano de Fase') xlabel('q2') ylabel('p2') %Fin de SIMACROLAZ.m

ANEXO F %%ACRODIN: function xdot=ACRODIN(t,x) %%ACRODIN.m %%Control del Sistema ACROBOT Dinámica Objetivo %%% %%Parámetros del sistema c1=2.3333; c2=5.3333; c3=2; c4=3; c5=2; alpha=1+sqrt(c1/c2); beta=1-sqrt(c1/c2); a2=1; a1=beta*a2; %a3 PUEDE SER MAYOR QUE 3. a3=4; A=((c3*c5)/2)-c4*sqrt(c1*c2); B=((c5*sqrt(c1*c2))/(alpha-1))-(c3*c4/(2*(alpha-1))); C=(c3*c4/(2*(alpha+1))); D=-(c3*c5/(2*(2*alpha-1))); E=-(A+B+C+D); %%Parámetros de Diseño kv=100;%PUEDE VARIAR. Rd=100;%Puede ser mayor de 65. %%Otros Parámetros que no influyen %g=32.2;%pie/seg^2. %g=9.81;%cm/seg^2. g=981; %m/seg^2. delta1 =c2*c1-c3*c3*(cos(x(2))).*cos(x(2)); delta2= a2*(beta*a3-a2); %%Ecuaciones de estado xdot=[(1/delta1)*(c2*x(3)+(-c2+c3*cos(x(2))).*x(4)); (1/delta1)*((-c2+c3*cos(x(2))).*x(3)+(c1+c2+2*c3*cos(x(2))).*x(4)); ((-beta*a2*c2-a2*(-c2+c3*cos(x(2))))/(delta1))*(Rd*alpha*(x(2)+alpha*x(1))+(g/a2)*(-A*sin(x(1))-B*sin(x(1)+x(2))-C*sin(x(1)-x(2))))+((-beta*a2*(-c2+c3*cos(x(2)))-a2*(c1+c2+2*c3*cos(x(2))))/(delta1))*(Rd*(x(2)+alpha*x(1))+(g/a2)*(-B*sin(x(1)+x(2))+C*sin(x(1)-x(2))-2*D*sin(x(1)+2*x(2)))); ((-a2*c2-a3*(-c2+c3*cos(x(2))))/(delta1))*(Rd*alpha*(x(2)+alpha*x(1))+(g/a2)*(-A*sin(x(1))-B*sin(x(1)+x(2))-C*sin(x(1)-x(2))))+((-a2*(-c2+c3*cos(x(2)))-a3*(c1+c2+2*c3*cos(x(2))))/(delta1))*(Rd*(x(2)+alpha*x(1))+(g/a2)*(-B*sin(x(1)+x(2))+C*sin(x(1)-x(2))-2*D*sin(x(1)+2*x(2))))+((kv*a2*x(3)-kv*beta*a2*x(4))/(delta2))]; %%Fin de ACRODIN.m

%%SIMACRODIN: %SIMACRODIN.m %Programa de generación de los gráficos ACRODIN.m %Tiempo de simulación ti=0; tf=10; %%Condiciones Iniciales: x0=[pi/2 pi/3 1 1]'; %%Simulación: [t,x]=ode45('ACRODIN',[ti tf],x0); %%Posición Angular Brazo 1 (x(1)) subplot(3,2,1),plot(t,x(:,1),'c') title('Posición Angular Brazo 1') xlabel('tiempo t') ylabel('q1') %%Posición Angular Brazo 2 (x(2)) subplot(3,2,2),plot(t,x(:,2),'b') title('Posición Angular Brazo 2') xlabel('tiempo t') ylabel('q2') %%Velocidad Angular del Brazo 1 (x(3)) subplot(3,2,3),plot(t,x(:,3),'r') title('Velocidad Angular del Brazo 1') xlabel('tiempo t') ylabel('p1') %%Velocidad Angular del Brazo 2 (x(4)) subplot(3,2,4),plot(t,x(:,4),'g') title('Velocidad Angular del Brazo 2') xlabel('tiempo t') ylabel('p2') %%Todas las Variables subplot(3,2,[5,6]),plot(t,x) title('Variables') xlabel('tiempo t') ylabel('q1,q2,p1,p2') pause figure %%Plano de Fase subplot(2,2,1),plot(x(:,1),x(:,2)) title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('q2') %%Plano de Fase subplot(2,2,2),plot(x(:,3),x(:,4))

title('Plano de Fase') xlabel('p1') ylabel('p2') %%Plano de Fase subplot(2,2,3),plot(x(:,1),x(:,3)) title('Plano de Fase') xlabel('q1') ylabel('p1') %%Plano de Fase subplot(2,2,4),plot(x(:,2),x(:,4)) title('Plano de Fase') xlabel('q2') ylabel('p2') %Fin de SIMACRODIN.m

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