Estabilidad y Controladores

7/24/2019 Estabilidad y Controladores

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SistemasdeControlAutomticos 1

ESTABILIDAD

Un sistema dinmico es estable si para cualquier entrada comprendida entre un lmite superior

y otro inferior la salida tambin resulta acotada sin importar las condiciones iniciales del

sistema.La localizacin de los polos de una funcin de transferencia representa un primer criterio de

estabilidad de un sistema. Todos los polos de la funcin de transferencia deben estar en el

semiplano complejo con parte real negativa.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existen o no races inestables en una ecuacin

polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad.

Este criterio de estabilidad slo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de trminos.

Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la informacin acerca de la estabilidadabsoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuacin caracterstica

(denominador de la funcin de transferencia).

El procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh es el siguiente:

1)

Escriba el polinomio en s en la forma siguiente:

+

+ + +

+ = 0

+ + + + + = 0

en donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que an0; es decir, se elimina

cualquier raz cero.

2)

Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un

coeficiente positivo, hay una raz, o races imaginarias o que tiene partes reales positivas.

En tal caso, el sistema no es estable. Si slo nos interesa la estabilidad absoluta, no es

necesario continuar con el procedimiento. Observe que todos los coeficientes deben ser

positivos.sta es una condicin necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente: un

polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y

cuadrticos tales como (s + a) y (s2+ bs+ c), en donde a, b y c son nmeros reales. Los

factores lineales producen las races reales y los factores cuadrticos producen las races

complejas del polinomio. El factor (s2 + bs + c) produce las races con partes reales

negativas slo si by c son ambas positivas. Para todas las races que tienen partes reales


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negativas, las constantes a, b, c,.. deben ser positivas en todos los factores. El producto de

cualquier cantidad de factores lineales y cuadrticos que contengan solo coeficientes

positivos siempre produce un polinomio con coeficientes positivos. Es importante sealar

que la condicin de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente para

asegurar la estabilidad. La condicin necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad esque todos los coeficientes de la ecuacin estn presentes y tengan un signo positivo. (Si

todas las a son negativas, se hacen positivas multiplicando ambos miembros de la

ecuacin por -1.)

3) Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones

y columnas de acuerdo con el patrn o arreglo siguiente:

Los coeficientes b1, b2, b3,etc., se evalan del modo siguiente:

La evaluacin de las bcontina hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo

patrn de multiplicacin cruzada de los coeficientes de los dos renglones anteriores al

evaluar las c, las d,las e, etc. Es decir,


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Este proceso contina hasta que se completa el n-simo rengln. El arreglo completo delos coeficientes es triangular. Observe que, al desarrollar el arreglo, un rengln completo

se divide entre, o se multiplica por, un nmero positivo para simplificar el clculo numrico

subsecuente sin alterar la conclusin de la estabilidad.

El criterio de estabilidad de Routh plantea que el nmero de races de la ecuacin con

partes reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de los coeficientes de la

primera columna del arreglo. Debe sealarse que no es necesario conocer los valores

exactos de los trminos de la primera columna; slo se necesitan los signos. La condicin

necesaria y suficiente para que todas las races de la ecuacin se encuentren en el

semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuacin sean positivosy que todos los trminos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

Casos especiales. Si el trmino de la primera columna de cualquier rengln es cero, pero los

trminos reptantes no son cero, o no hay trminos restantes, el trmino cero se sustituye con

un nmero positivo muy pequeo y se evala el resto del arreglo. Por ejemplo, considere la

ecuacin:

+ 2 + + 2 = 0

El arreglo de coeficientes es 1 1

2 2

0

2

Si el signo del coeficiente que est encima del cero () es igual al signo que est debajo de l,

quiere decir que hay un par de races imaginarias. En realidad, la ecuacin tiene dos races en

s = j.

Sin embargo, si el signo del coeficiente que est encima del cero () es opuesto al del que estabajo, quiere decir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuacin:

3 + 2 = ( 1)( + 2) = 0

El arreglo de coeficientes es:


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Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto coincide con elresultado correcto indicado por la forma factorizada de la ecuacin polinomial.

Si todos los coeficientes de cualquier rengln son cero significa que existen races de igual

magnitud que se encuentran radialmente opuestas en el plano s, es decir, dos races con

magnitudes iguales y signos opuestos y/o dos races imaginarias conjugadas. En este caso, la

evaluacin del resto del arreglo contina mediante la formacin de un polinomio auxiliar con

los coeficientes del ltimo rengln y mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de

este polinomio en el rengln siguiente. Tales races con magnitudes iguales y radialmente

opuestas en el plano s se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par.Para un polinomio auxiliar de grado 2n, existen n pares de races iguales y opuestas. Por

ejemplo, considere la ecuacin:

+ 2 + 24 + 48 25 50 = 0

El arreglo de coeficientes es:

Todos los trminos del rengln s3son cero. Despus se forma el polinomio auxiliar a partir de

los coeficientes del rengln s4. El polinomio auxiliar P(s) es:

() = 2 + 48 50

lo cual indica que hay dos pares de races de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se

obtienen resolviendo la ecuacin del polinomio auxiliar P(s)=0. La derivada de P(s) con

respecto a s es

() = 8 + 96

Los coeficientes de la ltima ecuacin, es decir, 8 y 96, sustituyen los trminos del rengln s3.

Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en


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Vemos que hay un cambio de signo en la primera columna del arreglo nuevo. Por tanto, la

ecuacin original tiene una raz con una parte real positiva. Despejando las races de la

ecuacin del polinomio auxiliar

2 + 48 50 = 0

Obtenemos

= 1 = 25

O bien

= = 5

Estos dos pares de races son una parte de las rafces de la ecuacin original. De hecho, la

ecuacin original se escribe en forma factorizada del modo siguiente:

( + 1)( 1)( + 5)( 5)( + 2) = 0

Es evidente que la ecuacin original tiene una raz con una parte real positiva.

Ejemplo: Aplicacin del arreglo de Routh para la determinacin del parmetro de ajuste de

un controlador proporcional


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Se desea conocer el valor de KCque causa inestabilidad, es decir si existe al menos una raz de

(A) que sea positiva. Usando el arreglo de Routh,

Se analizan las condiciones para la estabilidad

La restriccin importante es KC


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Adems se acostumbra definir:

=1

=

La ganancia proporcional KC suele ser reemplazada por la banda proporcional PB. Este

parmetro es adimensional, porcentual y se define como:

En donde:

R max = Valor mximo posible de la referencia

y = Rango de variacin de salida

La banda proporcional y la ganancia KCestn relacionadas a travs de la expresin:

Aplicando la Transformada de Laplace a m(t), se obtiene:

sTdsTi

KFdTCRCONTROLADO

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Propiedades de los controladores continuos

Una correcta seleccin de un controlador para un proceso determinado depende

fundamentalmente del efecto que ste producir sobre el proceso. En un controlador PID ello

pasa por conocer el efecto que producen los distintos modos de control.

Modo de control proporcional

Aplica una seal de control proporcional al error generado. Es relativamente rpida, pues entrega una seal de control instantnea.

Frente a una perturbacin esta accin no asegura que el sistema retorne a su punto de

trabajo original (ess).

100max

RPB

y

CKPB

100


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)()( teKtm C CKsE

sMsGc

)(

)()(

Modo de control integral

Es ms lenta que la accin proporcional.

Puesto que introduce un polo en el origen, tiende a inestabilizar un tanto el sistema.

Tericamente asegura ess=0

t

dtteTi

tm0

)(1

)( sTisE

sMsGc

1

)(

)()(

Modo de control derivativo

Slo tiene efecto en la parte transiente de la respuesta (en estado estacionario m=0).

Es fuertemente sensible a ruidos.

Se utiliza para estabilizar lazos demasiado oscilatorios.

)()( tedt

dTdtm sTd

sE

sMsGc

)(

)()(

SINTONIZACIN DE CONTROLADORES PID

El ajuste de parmetros o sintona de controladores, es uno de los aspectos ms importantes

en el contexto de un sistema de control. A pesar de su importancia, existen tan solo algunos

procedimientos generales que permiten la estimacin de los parmetros en base a mediciones

directas del proceso o por relaciones empricas. Se hace hincapi que son solamente mtodos

aproximados y por lo tanto deben realizarse un ajuste fino de los parmetros, en un entorno,

hasta lograr la respuesta adecuada.

Todos los procedimientos aproximados siguen las siguientes etapas bsicas:

Determinacin de un modelo que describa el comportamiento dinmico del proceso

en torno al punto de trabajo (modelo en lazo abierto).

Definicin de un criterio de comportamiento para el proceso controlado.

Determinacin de los parmetros del controlador.


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De acuerdo al tipo de modelo dinmico que se ajuste a la respuesta del proceso y al criterio

de comportamiento, se obtiene diversas reglas para fijar los parmetros de los controladores.

CRITERIOS DE COMPORTAMIENTO

Una vez que se tiene una representacin dinmica del proceso sin el control (en lazo abierto),

es necesario definir un criterio de calidad para la respuesta del proceso controlado. En otras

palabras se debe decidir la forma en que se desea que se comporte el proceso con el

controlador instalado.

La forma usual de definir un criterio de comportamiento es en base a la respuesta al escaln;

comparando la respuesta del proceso con la que idealmente se podra obtener y que es

lgicamente un escaln. La diferencia entre este escaln ideal de respuesta y la respuestaactual se define como el error e(t).

Un criterio de comportamiento muy usado por la simplicidad de su verificacin es el llamado

razn de amortiguamiento de , el cual est indicado en la siguiente figura.

e

Yc

Tiempo

Respuesta ideal

Respuesta real

a

SP

Tiempo

Perturbacion

a/4a/16

VARIABLE CONTROLADA


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Al especificar la razn de amortiguamiento se pretende garantizar un adecuado margen de

estabilidad y al mismo tiempo asegurar que las variaciones de la variable controlada sern

despreciables prcticamente despus del cuarto ciclo de oscilacin.

El diagrama de un control en lazo cerrado tiene la siguiente forma:

Si el modelo matemtico de la planta es tan complicado que no es fcil de obtener, se debe

recurrir a los enfoques experimentales para la sintonizacin de los controladores PID. La FdTdel controlador es

)(

)(

sE

sMy de la planta es

)(

)(

sM

sC

Este mtodo hace uso del modelo matemtico del proceso. Se supone un sistema de primer

orden con retardo en la respuesta.

ZIEGLER - NICHOLS

Establecen valores de KC, Ti y Td con base en las respuestas escaln experimentales. Existendos mtodos de sintonizacin de Ziegler-Nichols. En ambos se pretende obtener un 25% de

sobre impulso en la respuesta escaln.


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PRIMER METODO

En el primer mtodo la respuesta de la planta a una entrada unitaria se obtiene de manera

experimental.

Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de

respuesta escaln unitario puede tener la siguiente forma:

Esta curva se caracteriza por dos parmetros: el tiempo de retardo y la constante de tiempo

. El tiempo de retardo y constante de tiempo se determina dibujando una recta tangente en

el punto de inflexin de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta

tangente con el eje de tiempo y lnea c(t)=K.

La funcin de transferencia del controlador)(

)(

sM

sC se aproxima mediante un sistema de primer

orden con un retardo del modo siguiente:

1)(

)(

s

eK

sM

sC s

Se establecen los valores de KC, Ti y Td de acuerdo a la siguiente tabla:Tipo de

controladorKC Ti Td

P / 0

PI 0,9 / / 0,3 0

PID 1,2 / 2 0,5


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Remplazando las constantes del controlador PID:

s

s

sGC

21

6,0)(

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en:

1s

SEGUNDO METODO

En el segundo mtodo, primero se establece Ti=y Td=0, usando slo la accin de control

proporcional.

Se incrementa KCde 0 a un valor crtico Kcr en donde la salida tenga una una primera oscilacin

sostenida (si no lo tiene con cualquier valor de KC, no se aplica ste mtodo). Por lo tanto, la

ganancia crtica Kcr y el periodo Tcr correspondiente se determinan experimentalmente de:

Tipo de

controladorKC Ti Td

P 0,5 Kcr 0

PI 0,45 Kcr Tcr / 1,2 0

PID 0,6 Kcr 0,5 Tcr 0,125 Tcr

Remplazando las constantes del controlador PID:


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s

Tcrs

TcrKcrsGC

24

075,0)(

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en:Tcr

s 4

Si la planta tiene la presencia de un integrador, no se aplica el primer mtodo, ya que la

respuesta no tendr una forma de S, ms bien se incrementa con el tiempo, por lo tanto, se

aplica el segundo mtodo.

El trmino de Kcr se determina a travs del mtodo de estabilidad de Routh Hurwitz donde se

obtiene el valor de KCen que el sistema se hace inestable. El trmino de Tcr, se obtiene del

anlisis de la ecuacin caracterstica en el dominio de la frecuencia al sustituir el operador s

por j, y posteriormente obtener:

2

Tcr

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