FLOTACIN ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS La estabilidad de un cuerpo parcial o totalmente sumergido es vertical y obedeceal equilibrio existente entre el peso del cuerpo ( ) y la fuerza de flotacin (F): FF = W(en el equilibrio) ambas fuerzas son verticales y actan a lo largo de la misma l!nea" La fuerza deflotacin estar# aplicada en el centro de flotacin ($F) y el peso estar# aplicadoen el centro de gravedad ($%)" La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos: &'()*+L+,),L+-&)L./ 'eponedemanifiestocuandodesplazamoselcuerpo verticalmente 0acia arriba" &ste desplazamiento provoca unadisminucindel volumendefluidodesplazadocambiandolamagnituddelafuerza de flotacin correspondiente"$omo se rompe el equilibrio existenteentrelafuerza deflotaciny el pesodelcuerpo(FFW)1apareceunafuerza restauradora de direccin vertical y sentido 0acia aba2o que 0ace queel cuerpo regrese a su posicin original1 restableciendo as! el equilibrio" ,e lamisma manera1 si desplazamos el cuerpo verticalmente 0acia aba2o1 aparecer#unafuerzarestauradoravertical y0aciaarribaquetender#adevolverelcuerpoasuposicininicial" &nestecasoel centrodegravedadyel deflotacin permanecen en la misma l!nea vertical" &'()*+L+,), 34()$+4-)L ./ &ste tipo de estabilidad se pone demanifiesto cuando el cuerpo sufre un desplazamiento angular" &n este caso1 elcentro de flotacin y el centro de gravedad no permanecen sobre la mismal!nea vertical1 por lo que la fuerza de flotacin y el peso no son colinealesprovocando la aparicin de un par de fuerzas restauradoras"&lefecto quetiene dic0o par de fuerzas sobre la posicin del cuerpo determinar# el tipo deequilibrio en el sistema: &quilibrio estable : cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve elcuerpo a su posicin original" &sto se produce cuando el cuerpo tienemayor densidad en la parte inferior del mismo1 de manera que el centrode gravedad se encuentra por deba2o del centro de flotacin" &quilibrioinestable : cuandoel par defuerzas tiendeaaumentar eldesplazamiento angular producido" &sto ocurre cuando el cuerpo tienemayordensidadenlapartesuperiordel cuerpo1 demaneraqueelcentro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotacin" &quilibrio neutro : cuando no aparece ningn par de fuerzasrestauradoras a pesar de 0aberse producido un desplazamiento angular"5odemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribucinde masas es 0omog6nea1 de manera que el centro de gravedad coincidecon el centro de flotacin" ESTABILIDAD DE CUERPOS PRISMTICOS7ay ciertos ob2etos flotantes que se encuentran en equilibrio estable cuandosu centro de gravedad est# por encima del centro de flotacin" &sto entra encontradiccinconlovistoanteriormenteacercadel equilibrio1 sinembargoeste fenmeno se produce de manera 0abitual1 por lo que vamos a tratarlo acontinuacin"8amosaconsiderarlaestabilidaddecuerposprism#ticosflotantesconelcentro de gravedad situado encima del centro de flotacin1 cuando se producenpeque9os #ngulos de inclinacin"La siguiente figura muestra la seccin transversal de un cuerpo prism#tico quetiene sus otras secciones transversales paralelas id6nticas" &n el dibu2opodemosverel centrodeflotacin$F1 el cual est#ubicadoenel centrogeom6trico (centroide) del volumen sumergido del cuerpo (8d)" &l e2e sobre elque acta la fuerza de flotacin est# representado por la l!nea vertical )):que pasa por el punto $F"8amos a suponer que el cuerpo tiene una distribucin de masas 0omog6nea1 porlo que el centro de gravedad $% estar# ubicado en el centro geom6trico delvolumen total del cuerpo (8)" &l e2e vertical del cuerpo est# representado porla l!nea **: y pasa por el punto $%"$uando el cuerpo est# en equilibrio1 los e2es )): y **: coinciden y la fuerza deflotacin y el peso actan sobre la misma l!nea vertical1 por tanto soncolineales1 como muestra la figura" )0ora inclinamos el cuerpo un #ngulo peque9o en sentido contrario a las agu2asdel relo2" $omo vemos1 el volumen sumergido 0abr# cambiado de forma1 por loque su centroide $F 0abr# cambiado de posicin"5odemos observar tambi6nque el e2e )): sigue estando en direccin vertical y es la l!nea de accin de lafuerza de flotacin"5or otro lado1 ele2e delcuerpo **:que pasa por elcentro de gravedad $%0abr# rotado con el cuerpo" )0ora los e2es )): y **: ya no son paralelos1 sinoqueformanun#nguloentres! igual al #nguloderotacin" &l puntodondeintersectanambose2essellama;&()$&-(34(;)" &nlafigurasiguientepodemos ver que el metacentro se encuentra por encima del centro degravedad y acta como pivote o e2e alrededor del cual el cuerpo 0a rotado" $omo sabemos1 la fuerza de flotacin acta verticalmente en el centroide $F ya lo largo del e2e )):1 mientras que el peso acta sobre el centro de gravedad$% y tambi6n en direccin vertical" &n esta configuracin ambas fuerzas no soncolineales1 por lo que actan como un par de fuerzas restauradoras que 0acengirarelcuerpoen sentidocontrario alarotacin producida enun principio1devolviendo al cuerpo a su posicin inicial" 'e dice entonces que el cuerpo seencuentra en equilibrio estable"'i la configuracin del cuerpo es tal quela distribucin demasas noes0omog6nea1 la ubicacin del metacentro puede cambiar" 5or e2emplo1consideremosuncuerpoprism#ticocuyocentrodegravedadseencuentresobre el e2e vertical del cuerpo **: pero descentrado1 como indica la siguientefigura" $uando inclinamos el cuerpo1 puede ocurrir que el metacentro ; est6 ubicadoa0ora por deba2o del centro de gravedad" $omo el metacentro acta de e2e derotacin alrededor del cual el cuerpo gira1 el par de fuerzas actan comoun par de fuerzas restaurador1 0aciendo girar el cuerpo en el mismo sentido enel que se realiz la rotacin y d#ndole la vuelta1 sin alcanzar la posicin queten!a inicialmente" 'e dice entonces que el cuerpo presenta equilibrioinestable"&n resumen1 cuando el metacentro ; se encuentra por encima del centro degravedad $%1 el cuerpo presenta equilibrio estable"$uando el metacentro seencuentra por deba2o de $% el equilibrio es inestable< y cuando el metacentrocoincide con $%1 est# en equilibrio neutro"Ladistanciaentreel metacentroyel centrodeflotacinseconocecomo=alturametac6ntrica> yesunamedidadirectadelaestabilidaddel cuerpo"&sta distancia se calcula mediante la siguiente expresin:donde + es el momento de inercia de la seccin 0orizontal del cuerpo flotante y8des el volumen de fluido desplazado por el cuerpo"

http://fcm.ens.uabc.mx/~fsica/FISICA_II/APUNTES/ESTABII!A!.htmsi e# c$https://%%%.aca&emia.e&u/'()*(+,/ESTABII!A!_!E_CUE-P.S_F.TANTES&e #a un/e0sis&a& &e tachi0awww.unet.edu.ve/.../Estabilidad%20de%20un%20cuerpo%20flotante.do...Se$un&1 inf10mehttps://%%%.aca&emia.e&u/23++('3/ESTABII!A!_!E_UN_CUE-P._F.TANTEFLOTACION, PRESION DE VAPOR Y CAVITACIONIntroduccin:La mecnica de fuidos es, en lneas generales una de las ciencias ms viejas, y el primero enestudiarla a fondo fue Arqumedes, tres siglos antes de cristo, cuando dedujo las leyes de fotacin.En este mismo orden de ideas, Leonardo Da Vinci en el siglo XV, hizo aportes importantes a laecuacin de continuidad. Propuso el ciclo del agua y desarrollo muchas maquinas hidrulicas.Toricelli en el siglo XVII, hizo estudios acerca de la salida del agua por un orifcio y encontr larelacin entre altura y presin atmosfrica.Pascal en el siglo XVII, desarrollo la Ley de la Hidrosttica que defne las presiones en un liquidosin movimiento.Newton en el siglo XVII, establece las tres (3) Leyes de la Fsica, que llevan su nombre, y queluego se utilizaron para el desarrollo de las ecuaciones fundamentales de la Mecnica de Fluidos.Adems desarrollo estudios sobre la viscosidad y desarrollo la Ley que lleva su nombre.En el siglo XVIII, se dan los mayores adelantos, Bernoulli y Euler desarrollan las ecuacionesfundamentales de la hidrodinmica, y el teorema de Bernoulli, D`Lambert encentra la ecuacindiferencial de continuidad. Chezy desarrolla su formula para velocidad de canales. Lagrangedesarrolla funciones de potencial y corriente, y Ventury desarrolla el medidor de corriente que llevasu nombre.En el siglo XIX, se hacen los primeros anlisis sobre friccin en tuberas por Darcy y Weisbach.Reynolds encuentra la diferencia entre un fujo laminar y uno turbulento, y Manning desarrolla laecuacin que lleva su nombre y permite el calculo del fujo en canales.Ya para el siglo XX, se desarrolla la teora de la capa lmite gracias a Prandtl, fundador de laMecnica de fuidos moderna, y se desarrollan los modelos matemticos para el clculo deproblemas complejos con el uso de computadoras.Este informe corresponde al tema de investigacin #1, de la ctedra Mecnica de fuidos, delsptimo trmino de Ingeniera Civil, y recoge tres temas fundamentales de la mecnica de fuidos:La fotacin, La Presin de Vapor y CavitacinFlotacinLa fuerza de fotacin se debe al aumento de presin en un fuido con profundidad.La fuerza de fotacin que acta sobre un cuerpo sumergido en un fuido es igual al peso del fuidodesplazado por el cuerpo y acta hacia arriba pasando por el centroide del volumen desplazado.Las fuerzas de fotacin que actan sobre un cuerpo slido sumergido en un fuido y sobre la masade un fuido de la misma forma y a la misma profundidad, son idnticas. La fuerza defotacin Fb acta hacia arriba pasando por el centroide C del volumen desplazado y es igual enmagnitud al peso W del fuido desplazado, pero en la direccin opuesta. Por ejemplo si consideramos una placa plana de espesor h sumergida en liquido de densidad df,paralela a la superfcie libre, el rea de la superfcie (inferior y superior) de la placa es A, y sudistancia libre es S. Las presiones en la superfcie superior e inferior de la placason dfgs y dfg(s+h), respectivamente. Entonces la fuerza hidrosttica Fsup =dfgsA acta haciaabajo sobre la superfcie superior y la fuerza mas grande Finf =df g(S+h)A, acta hacia abajosobre la superfcie superior y la fuerza mas grande Finf =df g(S+h)A, acta hacia arriba sobre lasuperfcie inferior de la placa. La diferencia entre estas dos fuerzas neta hacia arriba se llamafotacion.Fb= Finf - Fsup = df g(S+h)A - df gsA = df gshA = df gV Donde V= hA es el volumen de la placa pero la relacion df gV es sencillamente, el peso del liquidocuyo volumen es igual al volumen de la placa. Llegando al la conclusin de que la fuerza defotacin que acta sobre la placa es igual al peso del liquido desplazado por la propia placa.Observndose que la fuerza de fotacin es independiente de de distancia del cuerpo a lasuperfcie libre, y tambin independiente de la densidad del cuerpo slido.En la ecuacin presentada anteriormente se desarrolla para una confguracin geomtrica sencillapero es valida para cualquier cuerpo sin importar su forma.Para los cuerpos fotantes, el peso del cuerpo completo debe ser igual a la fuerza de fotacin, lacual es el peso de fuido cuyo volumen es igual al de la parte sumergida, es decir:Fb=Wdf gVsum = dprom,cuerp gVtotal Vsum/Vtotal =dprom,cuerp/ dfLas fuerzas de fotacin que actan sobre un cuerpo slido sumergido en un fuido y sobre la masadel un fuido de la misma forma, a la misma profundidad, son idnticas. La fuerza de fotacin Fb,acta hacia arriba pasando por el centroide C; del volumen desplazado y es igual a la magnitud delpeso W, del fuido desplazado pero en direccin opuesta. Para un slido de densidaduniforme Ws , tambin acta pasando por el centroide, pero su magnitud no es necesariamenteigual al la del fuido de desplaza (aqu Ws> W y donde Ws> Fb este cuerpo solo se hundira).Por lo tanto la fraccin sumergida del volumen de un cuerpo fotante es igual a la razn de ladensidad promedio del cuerpo a la densidad del fuido. En funcin de estas observaciones un cuerpo sumergido en un fuido:1. Permanece en reposo en cualquier punto del fuido, cuando su densidad, es igual a la densidaddel fuido.2. Se hunde hasta el fondo, cuando su densidad es mayor a la densidad del fuido y3. Asciende a la superfcie y fota, cuando la densidad del cuerpo es menor a la del fuido.Estabilidad de los cuerpos sumergidos y de los fotantesPara un cuerpo sumergido fotante o en equilibrio esttico, el peso y la fuerza de fotacin queactan sobre l se equilibran entre si, y de manera inherente estos cuerpos son estables endireccin vertical. Si un cuerpo sumergido neutralmente fotante se asciende o desciende hasta unaprofundidad diferente, el cuerpo permanecer en equilibrio en esa ubicacin. Si un cuerpo asciendeo desciende mediante una fuerza vertical, el cuerpo regresara a su posicin original tan prontocomo se elimine el efecto externo. Por lo tanto un cuerpo fotante posee estabilidad vertical,mientras que uno sumergido neutralmente fotante es neutralmente estable, puesto que no regresaa su posicin original despus de una perturbacin.La estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido depende de las ubicaciones relativas del centrode gravedad G del cuerpo y el centro de fotacion B, el cual es el centroide del volumendesplazado. Un cuerpo sumergido es estable si tiene un fondo pesado y en consecuencia el puntoG esta directamente debajo del B, En estos casos una perturbacin rotacional cuerpo produce unmomento de restitucin, que lo regresa a su posicin estable original. Un cuerpo sumergido cuyo centro de gravedad G esta directamente arriba del B es inestable ycualquier perturbacin hara que el cuerpo se voltee. Un cuerpo para el cual B y G coinciden esneutralmente estable, tal es el caso de los cuerpos cuya densidad es constante en toda suextensin y para estos cuerpos no existe la tendencia a voltearse o enderezarse por si mismos. Presin de Vapor y CavitacinLa temperatura y la presin son propiedades independientes para las sustancias puras durante losprocesos de cambio de fase y existe una correspondencia uno a uno entre esas propiedades. Auna presin determinada, la temperatura a la cual la sustancia pura cambia de fase se conocecomo temperatura de saturacin Tsat, De manera semejante, a una temperatura dada, la presion ala cual una sustancia pura cambia de fase se llama presion de saturacin Psat, La Presin deVapor PV de una sustancia pura se defne como la presin ejercida por su presin en equilibrio defases con su lquido a una temperatura dada.La Presin de Vapor PV es una propiedad de la sustancia pura y resulta ser idntica a la presin desaturacin Psat del liquido por tanto: PV= Psat.Es importante no confundir la presin parcial con la presin de saturacin, La presin parcial estadefnida como la presin de un gas o vapor en una mezcla de otros gases, (como por ejemplo elaire, atmosfrico, que es una mezcla de aire seco y vapor de agua, y la presin atmosfrica es lasuma de la presion parcial del aire seco y la presin parcial del vapor de agua).La presin parcial de un vapor debe ser menor o igual, que la presin de vapor, si no hubieselquidos presentes, pero cuando estn presentes ambos (liquido y vapor) y el sistema esta enequilibrio de fases, la presin parcial del vapor debe ser igual a la presin del vapor y se dice que elsistema esta saturado.La rapidez de la evaporacin desde masas abiertas de agua, es controlada por la diferencia de lapresin de vapor y la presin parcial.Ejemplo:La presin de vapor del agua a 20C es 2,34 KPa: por lo que un cubo de agua a 20C que sedejara en una habitacin con aire seco a 1 atm continuara evaporndose hasta que sucedan doscosas: 1ero- el agua se evapore por completo, o 2do- la evaporacin se detenga cuando la presinparcial del vapor de agua en el cuarto se eleve hasta 2,34 KPa, que es el punto donde se estableceel equilibrio de fases.Para procesos de cambio de fase entre las fases liquida y de vapor de una sustancia pura, lapresin de saturacin y la de vapor son equivalentes, ya que el vapor es puro.La presin de vapor posibilita la cada de la presin del lquido, en los sistemas de fujos de loslquidos, por debajo de la presin de vapor en algunos lugares y la vaporizacin resultante noplaneada. Las burbujas de vaco llamadas Burbujas de Cavitacin ya que forman cavidades en loslquidos , se desintegran conforme son barridas hacia fuera de las regiones de baja presinextremadamente destructivas. Este fenmeno es la causa comn de la cada del rendimiento.La Cavitacin es la ruptura de un liquido de interfaz fuido -slida causada por una reduccin en lapresin esttica local producida por la accin dinmica del fuido del liquido en el interior y/o en lasfronteras de un sistema liquido. La ruptura es la formacin de una burbuja visible.Los lquidos como el agua, contienen muchos vacos microscpicos que actan como ncleos decavitacin. La cavitacin ocurre cuando estos ncleos crecen hasta un tamao visible signifcativo.Aun cuando la ebullicin es tambin la formacin de vacos en un lquido, se suele separar de estefenmeno, ya que se causa por un aumento de temperatura en lugar de por una reduccin depresin.La Cavitacin debe evitarse ( o al menos minimizarse) en los sistemas de fujo ya reduce elrendimiento, genera vibraciones y ruidos molestos. Las puntas de presin resultantes del grannumero de burbujas que se desintegran cerca de la superfcie slida durante un periodo largopueden causar erosin, picadura de la superfcie, falla por fatiga, y la eventual destruccin de loscomponentes o la maquinaria, y se puede detectar la presencia de este fenmeno en un sistemade fujo por su sonido caracterstico de traquetear. Pero tambin se puede usar como formabenfco en limpiadores ultrasnicos, grabadores y cortadores, pero en lneas generales en el fujode fuidos arruina el redimiendo hidrodinmico.Con el fn de evitar la Cavitacin, es necesario tener la certeza de que la presin local en cualquierpunto de un sistema se mantiene por encima de la presin de vapor, y la presin es mas fcil demedir o estimar.En el caso de Bombas, los criterios de Cavitacin se especifcan siempre en la entrada de labomba, los fabricantes prueban sus productos a fn de verifcar si se produce Cavitacin haciendovariar de una manera controlada el gasto volumtrico y la presin de entrada, especfcamente a uncaudal y una temperatura del lquido determinada.Cuando las burbujas de cavitacin entran en regiones de alta presin y se desintegran las ondassubacuaticas de choque crean diminutas cantidades de luz, este fenmeno se conoce consonoluminiscencia.Los arquitectos navales y los especialistas en dinmica de fuidos intentan disear los domos de lobarcos de manera de que no caviten, y haciendo modelos a escala determinar si el rendimiento hamejorado respecto a la cavitacin. Para esto deben garantizar que se minimice el efecto de latensin del liquido analizando variables como nivel del contenido de gas (distribucin de losncleos) del agua, al temperatura y la presin hidrosttica a la cual se opera.La cavitacin aparece en principio conforme a se aumente la velocidad V o a medida que se hacedisminuir la profundidad h, de sumersin en el punto de presin mnima Cp min del cuerpo. Por lotanto un diseo adecuado hidrodinmico demanda que 2(P - PV)/ dV2> Cp min; donde d es ladensidad, P= rgh que es la referencia de presin esttica, Cp es el coefciente de presin, y PV esla presin de vapor del agua.ConclusionesA manera de defniciones:La fuerza de fotacin que acta sobre un cuerpo sumergido en un fuido es igual al peso del fuidodesplazado por el cuerpo y acta hacia arriba pasando por el centroide del volumen desplazado.La Presin de Vapor PV de una sustancia pura se defne como la presin ejercida por su presinen equilibrio de fases con su lquido a una temperatura dada.La Cavitacin es la ruptura de un liquido de interfaz fuido -slida causada por una reduccin en lapresin esttica local producida por la accin dinmica del fuido del liquido en el interior y/o en lasfronteras de un sistema liquido. La ruptura es la formacin de una burbuja visibleReferencia BilbliografcaYunes Cengel, John M.Cimbala: Mecnica de fuidos. Mc Graw Hill. 2006.Antonio Sanchez F: Curso de mecnica de Fluidos. Edit. Limusa. 1999LOS TEMAS DE LA EXPOSICION DE ESTE EQUIPO SON:INTEGRACIN DE LA ECUACIN DE EULER: ECUACIN DE BERNOULLIFUNCIONES DE CORRIENTE Y CONDICIONES DE FRONTERAFLUJO EN DOS DIMENSIONESONDAS DE AGUA: UN PROBLEMA DE FRONTERA MVIL.jueves, 13 de marzo de 2008INTEGRANTES:DAVID SEGOVIAC.I. 15.480.5!""E"INA #ORTI""OC.I. 15.!24.$$2%SAG"EID% S&NC'E(C.I. 1$.!15.!2CA#.)E*N+, IV&N GARRIDOC.I. 12.$1-.851Se../0n 0! 1A2C343.356 11 de 7348o de 2.008.EC9ACI:N DE E9"EREn dinmica de fluidos6 ;35 e.u3./one5 de Eu;e4 5on ;35 4e5/=;e no v/5.o5o. Su e?>4e5/0n .o44e5>onde 3 ;35 ecuaciones de Navier-Stokes .u3ndo ;35 .o7>onente5 d/5/>3t/v35 5on de5>4e./3=;e5 @4ente 3 ;35 .onve.t/v356 e5to no5 ;;ev3 3 ;35 5/Au/ente5 .ond/./one5 ueden dedu./4 3 t43vB5 de; 3nC;/5/5 de 73An/tude5 de ;35N3v/e4DStoEe5:Aun4e53n en ;3 @o473 7o5t43d3 en e5te 34tG.u;o d3do ;/.3=;e5 3 ;3 7e.Cn/.3 .;C5/.3J >343 @;u/do5 .o7>4e5/=;e5 .on ve;o./d3de5 >40?/735 3 ;3velocidad de la luz 5e de=e .on5u;t34 e; 34tG.u;o Ecuaciones relativistas de Euler.E?>4e5/0n 73te7Ct/.3Aun34/./0n de; nmero de ach )e5 de./4 >343 nK7e4o5 de L3.F 7uH >e4C.t/.36 de=/do e5en./3;7ente 3 4o?/73./0n de /n.o7>4e5/=/;/d3d no 4e5t3 e?3.t/tud 3 ;o5 .C;.u;o5. "3 e?>4e5/0n d/@e4en./3; de e5t35 e.u3./one5 e5 ;3 5/Au/ente:donde E N Oe P O)u2 P v2 P w2, / 2 e5 ;3 ene4AG3 tot3; >o4 un/d3d de vo;u7en )e e5 ;3 ene4AG3 /nte4n3 >o4 un/d3d de 7353 >343 e; @;u/do,6 > e5 ;3 >4e5/0n6 u ;3 ve;o./d3d de; @;u/do H O ;3 den5/d3d de; @;u/do. "3 5eAund3 e.u3./0n /n.;uHe ;3 diver!encia de un tensor d/Cd/.o H >uede onente de; 7o7ento de ;35 e.u3./one5 de Eu;e4 5e e?>4e53 de; 5/Au/ente 7odo:3un34t/.u;346 no e5 .;3437ente /ntu/t/vo >o4o4 t3nto ./n.o e.u3./one5 H 5e/5 /n.0An/t35 )O6u6v6w6E6>,. #343 .e4434 e; 5/5te73 5e ne.e5/t3 un3 ecuaci"n de estadoJ ;3 e.u3./0n de e5t3do 7C5 .o7Kn7ente ut/;/83d3 e5 ;3 ;eH de ;o5 A35e5 /de3;e5 ) >.e. > N O)R S 1,e ,.9n3 .343.te4G5t/.3 7uH /7>o4t3nte de ;35 E.u3./one5 de Eu;e4 e5 4e./3ndo ;o5 tB47/no5 >4oven/ente5 de ;o5 tB47/no5 d/5/>3t/vo5 .o7o Fe7o5 d/.Fo 3; >4/n./>/o6 e5t37o5 e;/7/n3ndo en ;35 e.u3./one5 ;o5 tB47/no5 en de4/v3d35 >34./3;e5 de73Ho4 A43do: en ;3 E.u3./0n de ;3 C3nt/d3d de 7ov/7/ento 35G .o7o Hde ;3 E.u3./0n de ;3 Ene4AG36 e5t35 e.u3./one5 no >od4Cn .u7>;/4 .on tod35 ;35 .ond/./one5 de .onto4no n3tu43;e5. En >34t/.u;34 no .u7>;en .on ;3 .ond/./0n de no de5;/837/ento en ;35 5u>e4@/./e5 de .ont3.to .on 50;/do5 o ;3 .ond/./0n de .ont/nu/d3d de ;3 te7>e43tu436 e5t35 d/5.ont/nu/d3de5 .34e.en de /7>o4t3n./3 >343 7u.F35 3>;/.3./one5 >e4o no >343 ot435 ;o ;/n3 .o7o e5 ;3 Teo4G3 de ;3 C3>3 "G7/te. #o4 K;t/7o F3H 4odu.en ot435 d/5.ont/nu/d3de5 en e5t35 e.u3./one5 .o7o 5on ;35 Ond35 de CFo343 ;3 e.u3./0n de ;3 ene4AG3J ve4 ;3ecuaci"n de #ankine-$u!oniot. "o5 tB47/no5 3d/./on3;e5 4e5/0n > )>4e5/0n, >ueden 5e4 /nte4>4et3do5 .o7o e; t43=3Io 7e.Cn/.o 4e3;/83do >o4 e; @;u/do en un e;e7ento de @;u/do >o4 ;o5 e;e7ento5 @;u/do5 >40?/7o5 4e5/=;e."3 7C5 .ono./d3 ecuaci"n de %ernoulli >uede 5e4 o=ten/d3 /nteA43ndo ;3 e.u3./0n de Eu;e4 3 t43vB5 de un3 l&nea de corriente);Gne35 3 ;35 unto, 35u7/endo end/ente5 )u H v, en @un./0n de un3 v34/3=;e de>end/ente%6 tene7o5:H6 2Su5t/tuHendo 1 en 2 o=tene7o5:E5t3 e.u3./0n v3 3 53t/5@3.e4 .u3;;3837/ento5 ent4e e; @;u/do H ;3 >34ed6 donde ;35 >34tG.u;35 de @;u/do 3dH3.ente5 3 ;3 >34ed 5e 3dF/e4en 3 ;3 5u>e4@/./e de ;3 >34ed H 5e 7ueven 3 ;3 7/573 ve;o./d3d de ;3 >34ed.#343 ;o5 .35o5 en e43tu43 /Au3;7ente ;3 6 ;3 35/An3./0n de e5t3 .ond/./0n de no de5>;3837/ento de=e 5e4 7uH .u/d3do53 en .u3nto 3 .u3; 734.o de 4e@e4en./3 e5t37o5 ut/;/83ndo.#o4 eIe7>;o: en e5t3 @/Au43 5e t/ene un e7=o;o6 ;3 de;A3d3 >e;G.u;3 ent4e ;3 >34ed de; e7=o;o H e; ./;/nd4o. De5de e; 734.o 4e@e4en./3; de 4e;3./on3do .on e; @;u/do 3dH3.ente 3; ./;/nd4o6 e5t3 en 4e>o5o H3 e43tu436 .on5/de434G37o5 /Au3;7ente 35o de 3;AKn 73te4/3; o >4odu.to >o4 ;o5 arcos6 e5to5 K;t/7o56 v/5to5 .o7o .37/no5 o .ondu.to5 H to73ndo en .uent3 ;3 ley de corrientes de 'irchoff6 donde6 ;3 5u73 de @;uIo5 ent43nte5 3 un v(rtice de=e 5e4 /Au3; 3 ;3 5u73 de @;uIo5 53;/endo de; vB4t/.e.De5.4/>./0n 73te7Ct/.39n3 4ed de @;uIo e5 un !rafo diri!ido G N )V6E, en donde .3d3 34.o )u6v, E t/ene un3 .3>3./d3d no neA3t/v3 .)u6v, N 0.Se d/5t/nAuen do5 vB4t/.e5: ;3 @uente 5 H e; de5t/no t.Se 5u>one oten./3; >4etende de5.4/=/4 e; .o7>o4t37/entocinemtico de ;o5 fluidos =35Cndo5e en e; .on.e>to 73te7Ct/.o defunci"n potencial6 35eAu43ndo ode ve;o./d3de5 )oten./3; uede de@/n/45e 5/n e; 7eno5 H ;3 @o47u;3./0n oten./3; H 3 un @;uIo >oten./3;.9n3 de ;35 >4/7e435 >e45on35 en 3>;/.34 e5t3 @o47u;3./0n >343 e; @;uIo de un @;u/do @ue +,)lembert.Z; e5tud/0 ;3 @ue483 de 34435t4e >4odu./d3 >o4 un @;uIo de @;u/do 5o=4e un .ue4>o onG3 3 B5te en do5 d/7en5/one5 .u3ndo e5te >4o=;e73 e43 .o7>;et37ente o=5.u4o H Newton6 3 >e534 de F3=e4;o e5tud/3do6 no F3=G3 ;;eA3do 3 .on.;u5/one5 53t/5@3.to4/35.D[A;e7=e4t de@/n/0 ;3 @un./0n de .o44/ente6 \6 >343 de5.4/=/4 ;3 t43He.to4/3 34tG.u;3 de un @;u/do 3 t43vB5 de; t/e7>o. E5t3 @un./0n .o44/ente e5tC dete47/n3d36 en e; >;3no6 >o4 do5 v34/3=;e5 e5>3./3;e5 H >343 .3d3 v3;o4 de \ ;3 /Au3;d3d \ N \)?6H, dete47/n3 un lu!ar !eom(trico ;;373do ;Gne3 de .o44/ente."A NAT9RA"E(A DE ] % S9 RE"ACI:N CON ^#4/7e437ente de@/n/4e7o5 ;3 @un./0n .o44/ente en e; >;3no6 >343 ;ueAo e?>;/.34 5u5 .343.te4G5t/.35. "3 @un./0n \ 5e de@/ne .o7o 34o>/ed3d 3>;/.3 >343 .3d3 ;Gne3 de .o44/ente:H>o4 ;o .u3; de dete47/n3 4o>/ed3d de 37=35 @un./one5 >e47/te /nte4.37=/34;35 >343 Aene434 ot4o5 >3t4one5 de @;uIo H6 .o7o ;35 ;Gne35 de .o44/ente no >ueden .o4t345e ent4e 5G6 no e?/5te n/nAKn .3ud3; e4>end/.u;34 3 e5t35. E5to >e47/te 5u>one4 3 ;35 ;Gne35 de .o44/ente ;G7/te5 73te4/3;e56 e5 de./46 >34ede5 u o=5tC.u;o5 uIe de un @;uIo .o44/endo 5o=4e un o=Ieto 4o>/ed3de5 de ;3 @un./0n .o44/ente H ;3 @un./0n >oten./3; dete47/n0 odG3n 5u>e4>one45e >343 Aene434 35G un >3t40n de @;u/do e4>on/endo un3 @uente H un 5u7/de4o de /Au3; .3ud3; o=tuvo un3 ./4.un@e4en./3 ;3 343 7ode;34 e; @;uIo de @;u/do 5o=4e un ./;/nd4o de ;34Ao /n@/n/to. 9n3 ve8 o=ten/do e5to6 de7o5t40 e; ;3 5u73 de ;35 >4e5/one5 5o=4e e; ./;/nd4o 5e 3nu;3=3n6 ;o .u3; F3.G3 ;e .on o4:Con ;o .u3; >od4e7o5 en.ont434 ;3 @un./0n >oten./3; /nteA43ndo:S3=/endo unto de; @;uIo tene7o5:En e5t3 e.u3./0n >ode7o5 to734 ;3 .on5t3nte de /nteA43./0n /Au3; 3 .e4o. `ued3ndo ;35 @un./one5 >oten./3; H .o44/ente .o7o:Y N S 90?\ N S 90HQ9ENTES % S9LIDEROS9n3 @uente o un 5u7/de4o de 3;AKn @;u/do t/ene ;3 >34t/.u;34/d3d de unto de; @;uIo 5e4C .o;/ne3; 3; o4/Aen >343 37=o5 .35o5. E5 7u.Fo 7C5 5en./;;o F3;;34 e5t3 @un./0n >oten./3; u53ndo .oo4den3d35 >o;34e5. A5G:va N 0Donde ` e5 e; .3ud3; o5/t/vo o ent43 5/ e5 neA3t/vo. #343 F3;;34 ;3 @un./0n >oten./3; /nteA437o5:Co7o ;3 ve;o./d3d en a e5 /Au3; 3 .e4o 50;o ode7o5 F3.e4 .e4oJ enton.e5:#343 o=tene4 ;3 @un./0n .o44/ente >ode7o5 4e3;/834 un >4o.ed/7/ento 3nC;oAo .on5/de43ndo ;3 @o473 de; o>e43do4 !radiente encoordenadas polares:enton.e5:ROTACIONA"En e; clculo vectorial6 e; 4ot3./on3; o 4oto4 e5 un operador vectorial o ve.to4/3; 3 4ot34 3;4ededo4 de un >unto. E; o 3;4ededo4 de un>unto 5e3 d/5t/nto de .e4o no /7>;/.3 o A/4en 3;4ededo4 de e5e >unto. #o4 eIe7>;o6 e; .37>o de ve;o./d3de5 de un @;u/do o4 un3 tu=e4G3 ).ono./do .o7o >e4@/; de-oiseuille, >o5ee un 4ot3./on3; no nu;o en tod35 >34te56 53;vo e; eIe .ent43;6 >e5e 3 ;e3n sistemas de coordenadas d/@e4ente5 de; .34te5/3no6 ;3 e?>4e5/0n de=e Aene43;/8345e6 >343 /n.;u/4 e; enden de ;3 >o5/./0n. #343 un 5/5te73 de .oo4den3d35 o4toAon3;e56 .o7o ;35 .34te5/3n356 ;35 ./;Gnd4/.35 o ;35 e5@B4/.356 ;3 e?>4e5/0n Aene43; >4e./53 de ;o5 factores de escala:donde6 en .34te5/3n356 F? N FH N F8 N 1 H 4eo=tene7o5 ;3 e?>4e5/0n 3nte4/o4. En coordenadas cil&ndricas H en coordenadas esf(ricas ,.ET#RESI:N LEDIANTE QORLAS DIQERENCIA"ES953ndo ;3 derivada e/terior6 e; 4ot3./on3; 5e e5.4/=e 5/7>;e7ente .o7o:O=5B4ve5e o ).o,ve.to4/3; no d3 ;uA34 3 ot4o .37>o ve.to4/3;6 5/no 3 un3 2D@o473 o un .37>o de =/ve.to46 e5.4/to .o44e.t37ente .o7o . S/n e7=34Ao6 >ue5to 4odu./endo un pseudovector o >oten./3; )e?>4e53=;e .o7o e; !radiente de un >oten./3; e5.3;34, e5 /44ot3./on3; H v/.eve4536 e5to e56Todo campo central )43d/3; H de>end/ente 50;o de ;3 d/5t3n./3 3; .ent4o,e5 /44ot3./on3;.En >34t/.u;346 e; .37>o e;B.t4o5tCt/.o de un3 .34A3 >untu3; )H >o4 5u>e4>o5/./0n6 .u3;o e;e.t4o5tCt/.o, e5 /44ot3./on3;.E; 4ot3./on3; de un .37>o ve.to4/3; e5 5/e7>4e un .37>o 5o;eno/d3;6 e5to e56 5u d/ve4Aen./3 5/e7>4e e5 nu;3:EIe7>;o5En un tornado ;o5 v/ento5 e5tCn 4ot3ndo 5o=4e e; oIo6 H un .37>o ve.to4/3; o5/=;e7ente en ot435 >34te5 )vB35evorticidad,.En un .37>o ve.to4/3; 34te /nd/v/du3; de un d/5.o 34te5 de; d/5.o.S/ un3 3uto>/5t3 @ue43 de5.4/t3 .on un .37>o ve.to4/3;6 H ;o5 .344/;e5 tuv/e43n d/ve45o5 ;G7/te5 de ve;o./d3d6 e; 4ot3./on3; en ;35 @4onte435 ent4e ;o5 .344/;e5 5e4G3 d/@e4ente de .e4o."3 ley de *araday de ;3 /ndu../0n6 un3 de ;35 ecuaciones de a/well6 5e >uede e?>4e534 7uH 5/7>;e7ente u53ndo e; 4ot3./on3;. Ind/.3 o e;B.t4/.o e5 /Au3; 3 ;3 t353 de v34/3./0n de ;3 den5/d3d de; @;uIo 73AnBt/.o6 .on 5/Ano o>ue5to de=/do 3 ;3 Ley de Lenz.ONDAS DE AG9A: 9N #RO+"ELA DE QRONTERA LOVI"9n @;u/do >uede 5e4 no 5o;37ente >e473nente 5/no 4o=;e735 >4C.t/.o5 5e .343.te4/83n >o4 .37>o5 de @;uIo5 donde ;35 @4onte435 en 5G 7/573 5e de@o473n o 5e 7ueven .on e; t/e7>o6 3;;G ent43 ;35 ;;373d35 @4onte435 70v/;e5 4o=;e735 /nvo;u.43n e; 3nC;/5/5 H ;3 >4ed/../0n de ond35 en ;3 /nte4@35e en 7ov/7/entoJ un eIe7>;o 735 .;34o tene7o5 ;35 ond35 de 3Au3 ueden 5e4 v/5t3 en ;3 >;3H36 >o4 /nte4@35e 3/4e f 3Au36 H ;35 @o4735 de ond35 de ;o5 5ed/7ento5 @;u/d/83do5 onen e; @ondo de un3 4Go o .3n3; du43nte e; t43n5>o4te de; .3u.e.E5to5 >4/7e4o5 en@o4o=;e73 de 3nun./34 ond35 @ue4on Fe.Fo5 >o4 A/4H H StoEe56 4o=;e73 de ;35 ond35 de 3Au3 7ed/3nte un3 @un./0n >oten./3; v34/3=;een e; t/e7>o6 >ue5 e;;3 4e5u;t3 de ;3 teo4G3 de ond3 ;/ne3; 3>;/.3do5 3 >4o=;e735 de 5u>e4@/./e5 ;/=4e.DI+9*OA .ont/nu3./0n en un .37>o de @;uIo =/d/7en5/on3; en un >;3no ve4t/.3;6 5eM3;3do en ;3 @/Au436 5e not3 4oA4e5/v3 5e 7ueve F3./3 ;3 de4e.F3 .on un3 CE"ERIDAD 1C2 o ve;o./d3d de ond36 ;3 >4o@und/d3d de; 3Au3 de5de e; @ondo F35t3 e; n/ve; de 3Au3 en 4e>o5o )NAR, e5 d 343 d/.F3 5e../0n 5e .on5/de43 .on5t3nte. "3 de@o473./0n v34/3=;e en e; t/e7>o H en e; e5>3./o de;3 5u>e4@/./e ;/=4e 5e 7/de .on 4e5>e.to 3; NAR H 5e deno7/n3 g)?6 H6 t,. AFo43 =/en tene7o5 ;3 d/5t3n./3 ent4e ;3 .4e5t3