Est Ad is Tic A

5/9/2018 Est Ad is Tic A - slidepdf.com

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Gas ideal relativista

Carlos Crispın Espinosa Ponce, Jorge Chavez Carlos

10 Junio, 2011

En los grandes aceleradores de partıculas es posible acelerar iones pesados altas energıas cineticas E my realizar experimentos con ellos. Si tales pertıculas golpean un objetivo, habra colisiones entre los nucleosatomicos en donde los nucleones son desacelerados, asumiendo una energıa cinetica estadisticamente distribuida.Esta energıa puede ser tan larga que la energıa de amarre de los nucleones en el nucleo is pequena. Entonces,para tiempos cortos, uno obtiene un gas de nucleones que es casi una aproximacion que corresponde a un gasideal de partıculas clasicas no interactuantes. El hamiltoniano de tal gas es:

H =

N i=1

mc21 +

p2

imc

1

2

− 1 (1)

Donde se le ha restado la masa en reposo mc2 de las partıculas, por lo que solo permanece la energıa cinetica.La funcion de particion total correspondiente a la ecuacion (1), como en muchos sistemas no interactuantestenemos:

Z (T,V,N ) =1

N ![Z (T,V, 1)]N (2)

donde

Z (T,V, 1) =1

h3 d3q

d3 p exp

−βmc2

1 +

p2

2m

1

2

− 1

(3)

La integral sonbre las coordenadas simplemente es sobre el volumen del gas. Adicionalmente, la integral sobreel momento puede ser simplificada al considerar coordenadas esfericas:

Z (T,V, 1) =4πV

h3exp{βmc2}

∞

0

p2dp exp

−βmc2

1 +

p2

2m

1

2

(4)

Si hacemos las siguientse transformaciones, que son muy utiles en problemas relativistas

p

mc= senhx

dp = mc coshxdx

1 +

p

mc

2 12

= coshx (5)

Entonces nos queda la expresion:

Z (T,V, 1) =4πV

h3(mc)3eu

∞

0

dx coshx sinh2 x exp{−u coshx} (6)

1



Donde se ha introducido el parametro caracterıstico u = βmc2. La cantidad u mide la relacion de la energıa enreposo mc2 de las partıculas y su energıa termica promedio kT . La integral (6) puede resolverse por medio defunciones las funciones cilındricas, tambien conocidas como las funciones modificadas de Bessel. Se tiene que

∞

0

exp{−u coshx} sinh(γx) sinhxdx =γ

uK γ(u) (7)

Las funciones cilındricas son definidas como las soluciones al ecuaciones diferencial

z2d2w

dz2+ z

dw

dz− (z2 + γ 2)w = 0 (8)

donde z puede ser complejo. La solucion a la ecuacion (8) son las funciones de Bessel J γ(z) mientras quela soluciın singular es la funcion de Neumann N γ(z). Es de gran utilidad usar combinaciones lineales tales

que H (1).(2)γ (z) = J γ(z) ± iN γ(z), las cuales son llamadas las funciones de Hankel de primer y segundo tipo,respectivamente. Las funciones K γ(z) son esencialmente funciones de Hankel con un argumento imaginario

K γ(z) =πi

2exp

π2γiH (1)γ (iz) (9)

Estas funciones son exponencialmente decrecientes que divergen en z → 0.La expansion en series de K n(z) es

K n(z) =1

2

n−1k=0

(−1)k(n− k − 1)!

k!

z2

2k−n

+ (−1)n+1∞k=0

1

k!(n + k)!

z2

2k+n

×

lnz

2−

1

2Ψ(k + 1) −

1

2Ψ(n + k + 1)

(10)

Donde la funcion Ψ es la funcion de Gauss, la cual es: Ψ(x) = ddx lnΓ(x). Para pequenos argumentos, las

funciones K’s divergen como K n(z) ≈ 12(n − 1)!(z2 )−n. Para argumentos grandes, estas funciones tiene uncomportamiento parecido al de una funcion exponencial tal que ∝ e−z

K n(z) =

π

2ze−z

l−1k=0

Γ(n + k + 12)

k!Γ(n− k + 12)

(2z)−k + ΘΓ(n + l + 1

2)

n!Γ(n− l + 12)

(2z)−l

(11)

Donde l es un numero natural en el cual la serie es cortada, y Θ ∈ [0, 1]. El ultimo termino corresponde a laestimacion del error en la expansion de Taylor. Con la identidad cosh x sinh x = 1

2 sinh(2x), encontramos que lafuncion de particion (6) es

Z (T,V, 1) =4πV

h3(mc)3eu

K 2(u)

u(12)

Esto nos lleva a el limite no relativista con u = βmc2 →∞, i.e. mc2 kT . Si la energıa termica promedio kT es muy pequena comparada a la masa de reposo mc2 de las partıculas, de acuerdo a la ecuacion (11) tenemosque K 2(u) ≈

π/2ue−u, y entonces

Z (T,V, 1) ≈4πV

h3(mc)3

1

βmc2

3/2 π

2= V

2πmkT

h2

3/2

(13)

2



El cual corresponde a el caso no relativista. Analogamente para altas temperaturas u = βmc2 1 con laecuacion (10) tenemos que a partir de (12) K 2(u) ≈ 2/u2 ası como eu ≈ 1

Z (T,V, 1) ≈8πV

h3(mc)3

1

βmc2

3

= 8πV

kT

hc

3

(14)

Que es la funcion de particion del caso del gas ideal ultrarelativista, el cual es reproducido en el limite kT mc2,altas temperaturas o pequenas masas. La funcion de particion total, de acuerdo a la ecuacion (2) es

Z (T,V,N ) =1

N !

4πV

mc

h

3exp{βmc2}

K 2(βmc2)

βmc2

N (15)

Esto puede ser usado para calcular la energia libre, donde se asume que N 1 y lnN ! ≈ lnN −N por lo que

F (T,V,N = −kT lnZ (T,V,N ))

= −NkT

ln

4π

V

N

mc

h

3 K 2(u)

ueu

+ 1

= −NkT

ln

4πV

N mc

h3 K 2(βmc2)

βmc2

+ 1−Nmc2 (16)

Para la presion tenemos

p(T,V,N ) = −∂F

∂V |T,N =

NkT

V (17)

i.e. la ecuacion del gas ideal es tambien valida para el gas ideal relativista. El potencial quımico puede serfacilmente calculado

µ(T,V ,N ) =∂F

∂N |T,V = −KT ln

4π

V

N

mc

h

3 K 2(βmc2)

βmc2

−mc2 (18)

Hay que remarcar que, dado que (1) se le ha sustraido la masa en reposo de las particulas, en la ecuaci on (12)

aparece el factor eu

= exp{βmc2

}. Esto quiere decir que en la energıa libre (16) la energia en reposo Nmc2

de todas las partıculas tambien es sustraida, por lo que solo la energia cinetica de la partıcula permanece. Porla misma razon, en la ecuacion (18) aparece el termino mc2. Esto tiene la ventaja de que todos lo resultadosreproducen los resultados no relativistas en el caso lımite T → 0.

Sin embargo, tambien se puede disminuir el factor eu. Esto podria significar que todas las energıas contienenuna contribucion debida a las masas en reposo de las partıculas. Entonces en la ecuacion (18) el termino −mc2

podria despreciarse, y el potencial quımico podrıa incrementar su valor. En una consideracion estrictamenterelativista esto es razonable por que la energıa mınima que es requerida para agregar otra partıcula a el sistemaen equilibrio es solo la masa en reposo de la particula al potencial quımico.

La entropıa del gas ideal relativista es un poco mas difıcil de calcular. Se tiene

S (T,V ,N ) = −∂F

∂T |N,V = Nk

ln

4π

V

N mc

h 3 K 2(βmc2)

βmc3

+ 1

+ NkT

u

K 2(u)

K 2(u)

u−K 2(u)

u2

du

dT

(19)

con

du

dT =

d

dT (βmc2) = −

mc2

kT 2= −

u

T (20)

3



Podemos calculas la derivada de la funcion K 2 con la ayuda de la formula de recursion

K n(u) = −K n−1(u)−n

uK n(u) (21)

Utilizando esto en la ecuacion (19), se obtiene

S (T,V ,N ) = Nk

ln

4π

V

N

mc

h

3 K 2(βmc2)

βmc3

+ 1

+ Nk

uK 1(u)

K 2(u)+ 3

= Nk

ln

4π

V

N

mc

h

3 K 2(βmc2)

βmc3

+ 4 + u

K 1(u)

K 2(u)

(22)

Donde podemos reproducir el resultado no relativista en el l ımite u 1. Para u 1 en el primer termino dela ecuacion (22) se tiene que K 2(u)/u ≈

π/2u−3/2e−u. El factor u−3/2 junto con los otros factores produce

V Nλ3 , el argumento no relativista del logaritmo, donde λ =

h2

2πmkT

1/2. El termino ln e−u = −u junto con

uK 1(u)/K 2(u) ≈ u(1+ 38u+, · · · )/(1+ 15

8u · · · ) ≈ u− 32 +· · · que resulta una contribucion constante 4−3/2 = 5/2,

el termino constante que esta presente en la entropıa no relativista.De la misma manera, el limite ultrarelativista en la ecuacion (22) para u 1 se tiene que uK 1(u)/K 2(u) ≈

u2/2 ≈ 0 y K 2(u)/u ≈ 2/u4 dando como resultado el argumento derecho en el logatirmo. De las ecuaciones (16)y (22) la energıa interna es

Figura 1: Energıa interna de un gas ideal relativista

U (T,V,N ) = F + TS = NkT

3 + u

K 1(u)

K 2(u)

−Nmc2

= Nmc2K 1(u)K 2(u) + 3u − 1

(23)

Donde u→∞ da el limite no relativista U ≈ 32NkT , mientras que para u→ 0 se tiene que K 1(u)/K 2(u) ≈

u/2 por lo que U ≈ Nmc23/u = 3NkT . La energıa interna por lo tanto continuamente se incrementa del caso

4



no relativista 32NkT para pequenas T a el caso ultrarelativista U = 3NkT . La ecuacion (23) se usa para calcular

el calor espefıfico, el cual es

C V =∂U

∂T |V = −

u

T

∂

∂uU |V

= −Nmc2 u

T K 1(u)

K 2(u) −

K 1(u)K 2(u)

K 22(u) −

3

u2

=Nmc2

T

uK 0(u)

K 2(u)−K 1(u)

K 2(u)

1 + u

K 1(u)

K 2(u)

+

3

u

(24)

Donde se ha usado la formula de recursion (21)

Figura 2: Calor especıfico de un gas relativista

La expresion (24) puede simplificarse si se utiliza la formula de recursion

K n−1 = K n+1 −2

uK n (25)

Usando (25) en (24) para n− 1 = 0 se obtiene

C V =Nmc2

T

u +

3

u−K 1(u)

K 2(u)

3 + u

K 1(u)

K 2(u)

(26)

En la ecuacion (26) solo falta calcularK1(u)K2(u)

, la cual es una simplificacion considerable comparada a la ecuacion

(24). Usando las aproximaciones

K 1(u)

K 2(u)≈ 1−

3

2u+

240

128u2+

1455

1024u3+ · · · u 1 (27)

y

K 1(u)

K 2(u)≈

u

2+ · · · u 1 (28)

se obtiene el caso no relativista C V = 32Nk y el caso ultrarelativista C V = 3Nk de la ecuacion (26)

5

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