Esquemas Formales Debiles

J. Rogelio Perez Buendıa

Centro de Investigacion en Matematicas (CIMAT)

Seminario de estudio en cohomologıa p-adica de De Rham

11 de febrero de 2016

Completacion de un Anillo

A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.

Definicion

La completacion de A respecto al ideal I es el anillo

A := lim←−n>1

A/I n ⊂∏n>1

A/I n

Tambien decimos que A es la completacion I -adica de A.

Tenemos un morfismo canonico de anillos A→ A inducido por las

proyecciones A→ A/I n.

Similarmente si M es un A-modulo, entonces definimos la completacion

I -adica de M como:

M := lim←−M/I nM

con su estructura natural de A-modulo.

Completacion de un Anillo

A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.

Definicion

La completacion de A respecto al ideal I es el anillo

A := lim←−n>1

A/I n ⊂∏n>1

A/I n

Tambien decimos que A es la completacion I -adica de A.

Tenemos un morfismo canonico de anillos A→ A inducido por las

proyecciones A→ A/I n.

Similarmente si M es un A-modulo, entonces definimos la completacion

I -adica de M como:

M := lim←−M/I nM

con su estructura natural de A-modulo.

Propiedades

I Tenemos que A/I n ' A/I n.

I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.

I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo

finito.

I A es un anillo noetheriano.

Propiedades

I Tenemos que A/I n ' A/I n.

I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.

I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo

finito.

I A es un anillo noetheriano.

Propiedades

I Tenemos que A/I n ' A/I n.

I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.

I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo

finito.

I A es un anillo noetheriano.

Propiedades

I Tenemos que A/I n ' A/I n.

I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.

I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo

finito.

I A es un anillo noetheriano.

Completacion Formal

Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada

definida por la gavilla de ideales I.

Definicion

La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:

X := (X ,OX )

tal que:

I X = Y como espacio topologico.

I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .

Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si

A ' A. En particular A es completo.

Completacion Formal

Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada

definida por la gavilla de ideales I.

Definicion

La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:

X := (X ,OX )

tal que:

I X = Y como espacio topologico.

I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .

Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si

A ' A. En particular A es completo.

El caso afın

Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un

subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:

Γ(OX , X ) = A

es la completacion I -adica de A.

I X es de hecho un espacio localmente anillado

I Los anillos locales de X no son completos en general.

El caso afın

Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un

subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:

Γ(OX , X ) = A

es la completacion I -adica de A.

I X es de hecho un espacio localmente anillado

I Los anillos locales de X no son completos en general.

Completacion de gavillas coherentes

Sea X un esquema y Y → X una inmersion cerrada determinada por la

gavilla de ideales I. Sea F una gavilla coherente en X .

Definicion

La completacion de F respecto a Y es la gavilla en Y :

F := lim←−F/InF

con su estructura natural de OX -modulo (y por lo tanto es una gavilla

coherente en X ).

La categorıa de esquemas formales noetherianos

Definicion

Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado

(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para

cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a

la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .

Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de

espacios localmente anillados.

Una gavilla F es coherente si existe una cubierta como la descrita en el

primer parrafo, {Ui } con Ui ' Xi tal que para cada i F|i es isomorfa a una

gavilla coherente Fi de Xi .

La categorıa de esquemas formales noetherianos

Definicion

Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado

(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para

cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a

la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .

Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de

espacios localmente anillados.

Una gavilla F es coherente si existe una cubierta como la descrita en el

primer parrafo, {Ui } con Ui ' Xi tal que para cada i F|i es isomorfa a una

gavilla coherente Fi de Xi .

La categorıa de esquemas formales noetherianos

Definicion

Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado

(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para

cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a

la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .

Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de

espacios localmente anillados.

Una gavilla F es coherente si existe una cubierta como la descrita en el

primer parrafo, {Ui } con Ui ' Xi tal que para cada i F|i es isomorfa a una

gavilla coherente Fi de Xi .

Ejemplos triviales

I Si Y es un subesquema cerrado del esquema noetheriano X ,

entonces X es un esquema formal (Esquemas formal algebraizable).

I Si tomamos Y = X entonces X = X ası que la categorıa de

esquemas formales noetherianos contiene a la categorıa de esquemas

noetherianos.

Esquema formal afın

Definicion

Un esquema formal (noetheriano) es afın si se obtiene como la

completacion de un esquema afın noetheriano respecto a un subesquema

cerrado.

X = Spec(A), Y = V(I), X = X.

Si M es un A-modulo finitamente generado, entonces definimos la gavilla

M∆ en X como la completacion de la gavilla coherente M en X . Esta es

obviamente una gavilla coherente en X.

Notacion

Sea R un anillo (local) noetheriano con ideal (maximal) m.

Para a ∈ R definimos el orden de a respecto a m, denotado por ordm(a)

como el entero n tal que a ∈ mn pero a /∈ mn+1.

En particular ordm(a) = 0 ⇐⇒ a ∈ R× para R local.

Completacion debil

Definicion

Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:

I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si

∩mn = (0).

I Si f =∑

|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con

coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda

n-tupla i :

c[ordm(ai )] > |i |

es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para

toda n-tupla a ∈ A†n

se tiene que f (a) ∈ A†.

Completacion debil

Definicion

Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:

I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si

∩mn = (0).

I Si f =∑

|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con

coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda

n-tupla i :

c[ordm(ai )] > |i |

es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para

toda n-tupla a ∈ A†n

se tiene que f (a) ∈ A†.

Completacion debil

Definicion

La completacion debil de una R-algebra A, es el algebra debilmente

completa mas pequena A† ⊂ A tal que contiene a A.

Es decir, que satisface la propiedad universal:

Debilmente completa finitamente generada

Definicion

Una algebra A† debilmente completa es llamada (dcfg) debil completa

finitamente generada si existe una coleccion finita de elementos

a1, a2, . . . , ak ∈ A† tal que para todo a ∈ A† existe una serie de potencias

f en n-variables tal que:

a = f (a1, . . . , an)

Claramente la completacion debil de una algebra R finitamente generada

es una dcfg algebra.

Esquema formal debil afın

Definicion

I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente

anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico

asociado es:

X = Spec(A†/mA†)

I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos

principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†

denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.

Entonces:

Γ(Xf ,OX) := (A†f )†

la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier

representante f de [f ] en A†.

Esquema formal debil afın

Definicion

I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente

anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico

asociado es:

X = Spec(A†/mA†)

I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos

principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†

denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.

Entonces:

Γ(Xf ,OX) := (A†f )†

la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier

representante f de [f ] en A†.

Esquema formal debil

Definicion

Un (pre)esquema formal debil es un espacio localmente anillado

(X,OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales debiles afines.

Teoremas de Meredith

I Si R es un anillo de valuacion discreta completo y si (X,OX) es el

esquema formal debil asociado a una algebra A† debilmente

completa finitamente generada (dcfg), entonces:

Se tiene una equivalencia entre las categorıas:

{Gavillas coherentes de OX-modulos} ⇐⇒{

A†-modulos f.g.}

Teoremas de Meredith

I Si (X ,OX ) es un esquema (ordinario) de R-algebras propio sobre R

con completacion debil (X,OX) y si F es una gavilla coherente de

OX -modulos con completacion debil F, entonces el mapeo natural:

H i (X , F ) −→ H i (X,F)

es biyectivo.

Teoremas de Meredith

Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un

R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el

funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:

{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }

Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.

Teoremas de Meredith

Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un

R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el

funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:

{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }

Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.

Notacion y Convencion

I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.

Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .

I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente

completa.

I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos

simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.

I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion

(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:

(X,OX/m)

en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un

levantamiento de su reduccion.

I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla

estructural por OX† .

Notacion y Convencion

I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.

Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .

I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente

completa.

I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos

simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.

I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion

(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:

(X,OX/m)

en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un

levantamiento de su reduccion.

I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla

estructural por OX† .

Notacion y Convencion

I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.

Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .

I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente

completa.

I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos

simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.

I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion

(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:

(X,OX/m)

en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un

levantamiento de su reduccion.

I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla

estructural por OX† .

Notacion y Convencion

I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.

Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .

I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente

completa.

I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos

simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.

I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion

(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:

(X,OX/m)

en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un

levantamiento de su reduccion.

I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla

estructural por OX† .

Notacion y Convencion

I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.

Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .

I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente

completa.

I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos

simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.

I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion

(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:

(X,OX/m)

en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un

levantamiento de su reduccion.

I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla

estructural por OX† .

Criterios de Afinidad

Teorema

Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre

R1 := R/m) es afın.

Corolario

El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un

esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.

levantamiento

Criterios de Afinidad

Teorema

Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre

R1 := R/m) es afın.

Corolario

El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un

esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.

levantamiento

...Continuara

Siguiente semana: Criterios de afinidad y esquemas †-adicos lisos.