Anlisis de Datos I Esquema del Tema 12

Carmen Ximnez 1

Tema 12: Probabilidad: Definiciones

1. CONCEPTOS Experimento aleatorio Suceso Espacio muestral

2. DEFINICIN DE PROBABILIDAD Enfoque clsico Enfoque frecuencialista

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. TEOREMAS BSICOS

Teorema de la suma Teorema del producto

5. EJERCICIOS __________________

Bibliografa: Tema 12 (pg. 247-270) Ejercicios recomendados: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11 y 15.

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1. CONCEPTOS:

Experimento aleatorio: Toda accin cuyo resultado no puede predecirse con certeza (por ejemplo, introducir 2 ratas en un laberinto con 3 salidas equiprobables) Suceso elemental: Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Su conjunto constituye el espacio muestral (E).

Suceso: Cualquier subconjunto de los elementos de E. Tipos: Imposible: { } suceso que tal y como est definido E, es imposible que ocurra

Seguro: suceso que est incluido en E Complementario: A subconjunto de sucesos elementales de E que no est

incluido en A Sucesos Incompatibles o excluyentes: no pueden darse simultneamente: P(A B) = 0

Operaciones con sucesos:

BA

A B

Espacio muestral de un experimento aleatorio

Unin: A B ............. Subconjunto de elementos de E que estn incluidos, al menos en uno de esos sucesos (A o B)

Interseccin: A B ..... Subconjunto de elementos de E que estn incluidos simultneamente en los subconjuntos de ambos sucesos (A y B).

Diferencia: A - B .......... Subconjunto de E integrado por los sucesos elementales que pertenecen a A pero no a B.

Espacio muestral, E: conjunto (poblacin) de resultados posibles o sucesos elementales de un experimento aleatorio.

Puede ser de dos tipos:

a) Espacio muestral finito: sabemos cuntos resultados posibles (sucesos elementales) hay.

b) Espacio muestral infinito: tiene infinitos sucesos elementales. Si se corresponden con los nmeros naturales se trata de un espacio muestral infinito numerable. En caso contrario, infinito no numerable.

EJEMPLO 1:

Experimento aleatorio: introducir 2 ratas en un laberinto con 3 salidas equiprobables (A, B y C)

Espacio muestral: E = {AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC},

Suceso A: Al menos una rata sale por A: A = {AA, AB, AC, BA, CA}, Suceso B: Las dos ratas salen por la misma salida: B = {AA, BB, CC},

BA

AAAB

BA AC

CA

BB

CC

BC CB

EJEMPLO 2:

Experimento aleatorio: Lanzar una moneda al aire 2 veces

Espacio muestral: E = {CC, CX, XC, XX}, donde: C (Cara) y X (Cruz)

Suceso C: Al menos sale una cara: C = {CC, CX, XC} Suceso D: Las dos veces sale cara: D = {CC}

DC

CCCX

XC

XX

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2. DEFINICIN DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un suceso es un nmero que cuantifica en trminos relativos las opciones de verificacin de ese suceso

Enfoque clsico o a priori (Laplace, 1812)

nn

:posibles casosN :favorabes casosN

)P( A=A

1. Los elementos de E tienen la misma probabilidad de ocurrencia (equiprobables) 2. 0 P(A) 1 3. Si A es un suceso imposible: P(A) = 0 4. Si A es un suceso seguro (contiene todos los sucesos elementales de E): P(A) = 1 5. P(A) + P(A) = 1. Por tanto: P(A) = 1 - P(A)

Ejemplo 1: P(A) = nA / n = 5 / 9 P(B) = nB / n = 3 /9 P(A B) = nA B / n = 7 / 9 P(A B) = nA B / n = 1 / 9

Enfoque frecuencialista o a posteriori

nn

nLm A)P(

=A

(n = n de ensayos de Bernoulli que se repite el experimento aleatorio) La probabilidad del suceso A se determina a partir de la repeticin sistemtica (n veces) del experimento aleatorio (en ensayos independientes y en las mismas condiciones) y el n de veces que se verifican los sucesos

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL

Probabilidad del suceso A, dada la verificacin del suceso B

)P()P()P(

BBAA/B = - Si A y B son excluyentes: P(A B) = 0 y P(A / B) = 0

- Si A es un suceso seguro: P(A) = 1 y P(A / B) = P(A B)

EJEMPLO 3: Se definen los sucesos: A: Tener entrenamiento B: Acertar una prueba de razonamiento espacial

Acierto Error Tener entrenamiento 11 1 12 No tener entrenamiento 3 5 8

14 6 20

Probabilidad de acierto dado que el sujeto extrado no tiene entrenamiento: 3 / 8 = 0,375

O bien: 375,020/820/3

)'P()'P()P( ===

AABB/A'

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4. TEOREMAS BSICOS. Teorema de la suma

La probabilidad de la unin de los sucesos A y B es: ( ) ( )BAPP(B)P(A)BAP +=

Teorema del producto

Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:

)()( = ) BPAP (A P O lo que es lo mismo, si la verificacin de uno no altera la probabilidad del otro:

Donde: P (A / B) = P (A)

Demostracin: P(A)P(B)

P(B)P(A)P(B)

B)P(AP(A/B) === 5. EJERCICIOS

EJERCICIO 1

Sujeto Sexo Escolarizacin CI 1 V 0 72 2 V 1 95 3 M 0 75 4 V 1 100 5 M 1 110 6 M 0 78 7 V 1 105 8 V 0 65 9 M 1 115

Se extrae un sujeto al azar y se definen los siguientes sucesos: A: El sujeto extrado es varn (V)

B: El sujeto extrado est escolarizado (0: no; 1: s)

C: el sujeto extrado supera la puntuacin CI = 92

10 M 1 105

Conteste a las siguientes preguntas: 1. Cul es la probabilidad de que el sujeto extrado sea un nio? 2. Cul es la probabilidad de que est escolarizado? 3. Cul es la probabilidad de que punte en CI ms de 92? 4. Cul es la probabilidad de que sea nio y escolarizado? 5. Cul es la probabilidad de que sea un nio y tenga CI > 92? 6. Cul es la probabilidad de que sea nio, est escolarizado y tenga CI > 92? 7. Si el sujeto extrado es una nia, cul es la probabilidad de que est escolarizada? 8. Si el sujeto extrado est escolarizado, cul es la probabilidad de que sea nia? 9. Cul es la probabilidad de que sea nio o est escolarizado? 10. Cul es la probabilidad de que sea nia o tenga CI > 92? 11. Son los sucesos A y B independientes? y A y C?

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EJERCICIO 2

En un colegio de 4000 alumnos de primaria, secundaria obligatoria y bachillerato se realiza una encuesta sobre la actitud hacia la selectividad. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Primaria Secundaria obligatoria Bachillerato A favor 1250 465 270 1985 En contra 1530 350 135 2015

2780 815 405 4000

Si se extrae un sujeto al azar: 1. Cul es la probabilidad de que est a favor de la selectividad? 2. Cul es la probabilidad de que sea de primaria? 3. Cul es la probabilidad de que no sea de bachillerato? 4. Cul es la probabilidad de que sea de primaria y est a favor? 5. Son independientes los sucesos ser de secundaria y estar a favor de la selectividad? 6. Calcule la probabilidad de que el sujeto extrado cumpla al menos uno de los siguientes sucesos:

ser de secundaria o estar a favor de la selectividad 7. Si el sujeto extrado est a favor de la selectividad, cul es la probabilidad de que sea de

bachillerato? 8. Si el sujeto extrado est en contra, cul es la probabilidad de que sea de primaria? EJERCICIO 3

Un psiclogo clnico evala a un grupo de 100 pacientes. Les administra una prueba sobre satisfaccin con el estilo de vida y otra sobre depresin. Los resultados indicaron que las puntuaciones en satisfaccin superaron la media en 40 casos, que haba 65 sujetos depresivos y de ellos slo 10 obtuvieron puntuaciones superiores a la media en satisfaccin.

Se definen dos sucesos: A: Tener una puntuacin superior a la media en satisfaccin con el estilo de vida B: Ser depresivo

Conteste a las siguientes preguntas: 1. Cul es la probabilidad de que, al extraer un sujeto al azar, sea depresivo? 2. Si se selecciona un sujeto que punta por encima de la media en satisfaccin, cul es la

probabilidad de que sea depresivo? 3. Cul es la probabilidad de que, al extraer un sujeto al azar, sea depresivo y no tenga

una puntuacin superior a la media en satisfaccin? 4. Son los sucesos A y B independientes? 5. Cul es la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos? 6. Si se selecciona un sujeto que no es depresivo, cul es la probabilidad de que tenga una

puntuacin superior a la media en satisfaccin? Soluciones:

Ejercicio 1: 1. 0,50; 2. 0,60; 3. 0,60; 4. 0,30; 5. 0,30; 6. 0,30 7. 0,60; 8. 0,50; 9. 0,80; 10. 0,80; 11. S (en ambos casos).

Ejercicio 2: 1. 0,496; 2. 0,695; 3. 0,899; 4. 0,3125; 5. No; 6. 0,58; 7. 0,136; 8. 0,759

Ejercicio 3: 1. 0,65; 2. 0,25; 3. 0,55; 4. No; 5. 0,95; 6. 0,86.