Esperanza, Varianza y Momentos - Probabilidad y Estadística · Esperanza, Varianza y Momentos...
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Esperanza, Varianza y Momentos Probabilidad y Estadística Profra. Blanca Lucía Moreno Ley April 7, 2013
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Esperanza, Varianza y MomentosProbabilidad y Estadística
Profra. Blanca Lucía Moreno Ley
April 7, 2013
Esperanza
La esperanza de una v.a.c. X con función de densidad fX(x) denotada por E(x)se define como:
E(X) =
∞∫−∞
xfX(x)dx (1)
Análogamente, si X es una v.a.d. con función de densidad fX(x), definimos laesperanza de X como sigue:
E(X) =∑x
xfX(x) (2)
en donde la suma se realiza sobre todos los valores x que la v.a.d. X puedatomar.La esperanza también se conoce como la media, valor promedio o valor esperadode la v.a.
Ejemplo 1
Sea X una v.a.d. con función de densidad dada por la siguiente tabla
x -1 0 1 2fX(x) 1
10410
310
210
Esperanza
La esperanza de una v.a.c. X con función de densidad fX(x) denotada por E(x)se define como:
E(X) =
∞∫−∞
xfX(x)dx (1)
Análogamente, si X es una v.a.d. con función de densidad fX(x), definimos laesperanza de X como sigue:
E(X) =∑x
xfX(x) (2)
en donde la suma se realiza sobre todos los valores x que la v.a.d. X puedatomar.La esperanza también se conoce como la media, valor promedio o valor esperadode la v.a.
Ejemplo 1
Sea X una v.a.d. con función de densidad dada por la siguiente tabla
x -1 0 1 2fX(x) 1
10410
310
210
Esperanza
La esperanza de una v.a.c. X con función de densidad fX(x) denotada por E(x)se define como:
E(X) =
∞∫−∞
xfX(x)dx (1)
Análogamente, si X es una v.a.d. con función de densidad fX(x), definimos laesperanza de X como sigue:
E(X) =∑x
xfX(x) (2)
en donde la suma se realiza sobre todos los valores x que la v.a.d. X puedatomar.La esperanza también se conoce como la media, valor promedio o valor esperadode la v.a.
Ejemplo 1
Sea X una v.a.d. con función de densidad dada por la siguiente tabla
x -1 0 1 2fX(x) 1
10410
310
210
Esperanza
Calculemos la esperanza de X de la siguiente forma:
E(X) =∑x
xfX(x) (3)
= (−1)(
1
10
)+ (0)
(4
10
)+ (1)
(3
10
)+ (2)
(2
10
)(4)
=6
10(5)
Notemos que la esperanza no necesariamente tiene que ser un valor que tome lav.a.
Ejemplo 2
Sea X una v.a.c. con función de densidad dada por:
fX(x) =
{4x si x ∈ [0, 1/
√2]
0 si x /∈ [0, 1/√2]
Calcule la esperanza de X.
Esperanza
Calculemos la esperanza de X de la siguiente forma:
E(X) =∑x
xfX(x) (3)
= (−1)(
1
10
)+ (0)
(4
10
)+ (1)
(3
10
)+ (2)
(2
10
)(4)
=6
10(5)
Notemos que la esperanza no necesariamente tiene que ser un valor que tome lav.a.
Ejemplo 2
Sea X una v.a.c. con función de densidad dada por:
fX(x) =
{4x si x ∈ [0, 1/
√2]
0 si x /∈ [0, 1/√2]
Calcule la esperanza de X.
Esperanza
Calculemos la esperanza de X de la siguiente forma:
E(X) =∑x
xfX(x) (3)
= (−1)(
1
10
)+ (0)
(4
10
)+ (1)
(3
10
)+ (2)
(2
10
)(4)
=6
10(5)
Notemos que la esperanza no necesariamente tiene que ser un valor que tome lav.a.
Ejemplo 2
Sea X una v.a.c. con función de densidad dada por:
fX(x) =
{4x si x ∈ [0, 1/
√2]
0 si x /∈ [0, 1/√2]
Calcule la esperanza de X.
Esperanza
Calculemos la esperanza de X de la siguiente forma:
E(X) =∑x
xfX(x) (3)
= (−1)(
1
10
)+ (0)
(4
10
)+ (1)
(3
10
)+ (2)
(2
10
)(4)
=6
10(5)
Notemos que la esperanza no necesariamente tiene que ser un valor que tome lav.a.
Ejemplo 2
Sea X una v.a.c. con función de densidad dada por:
fX(x) =
{4x si x ∈ [0, 1/
√2]
0 si x /∈ [0, 1/√2]
Calcule la esperanza de X.
Esperanza
Por definición tenemos:
E(X) =
∞∫−∞
xfX(x)dx (6)
=
1√2∫
0
x(4x)dx (7)
=4
3x3
∣∣∣∣ 1√2
0
(8)
=
√2
3(9)
La esperanza se puede interpretar como el valor promedio de la variable aleatoria.La definición que hemos dado para la esperanza es un promedio ponderado delos valores que toma la v.a., el hecho de conocer a E(X) para una v.a. nosproporcionará información acerca de cual es el valor central que puede tomar lav.a.
Esperanza
Por definición tenemos:
E(X) =
∞∫−∞
xfX(x)dx (6)
=
1√2∫
0
x(4x)dx (7)
=4
3x3
∣∣∣∣ 1√2
0
(8)
=
√2
3(9)
La esperanza se puede interpretar como el valor promedio de la variable aleatoria.La definición que hemos dado para la esperanza es un promedio ponderado delos valores que toma la v.a., el hecho de conocer a E(X) para una v.a. nosproporcionará información acerca de cual es el valor central que puede tomar lav.a.
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
Esperanza
Supongamos X y Y variables aleatorias de esperanza finita.
1 Si c es una constante, entonces E(c) = c
2 E(E(X)) = E(X)
3 Si X ≥ 0 entonces E(X) ≥ 0
4 Si c es una constante, entonces E(cX) = cE(X)
5 E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
6 Si X ≥ Y entonces E(X) ≥ E(Y )
7 Si X y Y son v.a. independientes entonces,
E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
8 Sea X una v.a.c. con función de densidad fX . Sea g : RR una funcióncualquiera tal que g(X) es una v.a. Si la esperanza de la v.a. g(X)existe, entonces esta se define como:
E[g(X)] =
∞∫−∞
g(x)fX(x)dx
