Espectro de Frecuencias, Aplicación de La Transformada de Fourier

8/18/2019 Espectro de Frecuencias, Aplicación de La Transformada de Fourier

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ANÁLISIS DE VIBRACIONES

ESPECTRO DE FRECUENCIAS, APLICACIÓN DE LATRANSFORMADA DE FOURIER


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TR NSFORM D DE FOURIER

INTRODUCCION

Los sucesos que se repiten con una cierta periodicidad son relativamente comunes en la

naturaleza. Piensa, por ejemplo, en las olas en el mar, las estaciones a lo largo del año, la

transmisión del sonido, el péndulo de un reloj, las señales electromagnéticas emitidas por

una antena, etc. Aunque todos estos sistemas sean más o menos cíclicos, esto no quiere

decir que sean fáciles de describir o modelar. Las series de Fourier y la transformada de

Fourier han jugado y continúan jugando un papel fundamental en el estudio de estos

problemas y el desarrollo de las Matemáticas tal y como hoy las conocemos. El problema

de la representación de una función mediante una suma, posiblemente infinita, de

funciones sinusoidales surge en el siglo XVIII de la mano de numerosos científicos como

D’Alembert, D. Bernoulli o Fourier entre otros, para intentar resolver ecuaciones

diferenciales asociadas a fenómenos físicos como el movimiento de una cuerda o la

transmisión del calor. A la hora de estudiar fenómenos periódicos tenemos dos frentes

abiertos. Por un lado es necesario un conocimiento de las leyes físicas que gobiernan el

sistema que queremos modelar, ya se trate del movimiento de un fluido para estudiar las

olas del mar o cuál es la relación entre la electricidad, el magnetismo, voltajes, resistencias

y lo que sea necesario para estudiar una señal eléctrica.

BIOGRAFIA

Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, Francia, 21 de marzo de 1768 - París, 16 de mayo

de 1830), matemático y físico francés conocido por sus trabajos sobre la descomposición

de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de

Fourier, método con el cual consiguió resolver la ecuación del calor. La transformada de

Fourier recibe su nombre en su honor. Fue el primero en dar una explicación científica al

efecto invernadero en un tratado.1 En su honor un asteroide que fue descubierto en 1992

por el astrónomo belga Eric Walter Elst fue designado como (10101) Fourier .

Ilustración 1 Retrato de Jean-Baptiste Joseph Fourier


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PRINCIPALES APORTACIONES

Las principales aportaciones de Fourier a la Física y las Matemáticas fueron el desarrollo

de la teoría del calor, ecuaciones diferenciales, ecuaciones algebraicas, series

trigonométricas, estadística matemática y teoría de las probabilidades; siendo su obra

monumental la Théorie analytique de la chaleur; en la que desarrolla ecuaciones paraexplicar la conducción térmica en metales. La primera publicación sobre este tema fue

una memoria presentada a la Academia en 1807 y completada con el texto Théorie

analytique de la chaleur en 1822. Para explicar la conducción térmica, Fourier utiliza series

matemáticas infinitas que permiten encontrar las soluciones del problema. El desarrollo

de una función en forma de series infinitas de funciones trigonométricas se conoce como

series de Fourier y tienen numerosas aplicaciones en prácticamente en todas las áreas

científico-técnicas con las que se hay que modelizar numerosos datos y procesos

complejos. Tiene especial importancia en Física, Química, Climatología, Oceanografía, e

Ingeniería. Fourier también publicó artículos en Egiptología y en Historia de la Ciencia,

especialmente biografía de grandes científicos. Como dato curioso, mencionar que Victor

Hugo, en su monumental obra Los Miserables, menciona a Joseph Fourier, aunque piensa

que sus méritos están sobrevalorados (en aquella época de la década de 1820, en los que

transcurre la acción). Es indudable que Hugo se equivocó en su apreciación.


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CONCEPTO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

La transformada de Fourier (pr. f ʊrieɪ), denominada así por Joseph Fourier, es una

transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del

tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la

física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de losdominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación

como a la función que produce.

En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo

pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para

el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las

series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-

tiempo original.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f de

valores complejos y definidos en la recta, con otra función g definida de la manera

siguiente:

La constante cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un

exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad

que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso aespacios de funciones generalizadas.

Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la teoría de

los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la

probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En

procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la

descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es

decir, corresponde al espectro de frecuencias de la señal .

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones

es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de .


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DESARROLLO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Sea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto está acotada en R.

Se define su transformada de Fourier como:

Siendo la anti-transformada o transformada inversa:

Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F ( ) (dominio de la frecuencia) a

partir de f (t) (dominio del tiempo) y viceversa.

Notación: A la función F () se le llama transformada de Fourier de f (t) y se denota por F

o f ˆ, es decir:

En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f (t) a partir de F() se le llama

transformada inversa de Fourier y se denota por ,es decir:

TRANSFORMADAS INTEGRALES

K(,t): núcleo o kernel.

Asocia a cada función f (t) en el espacio t, directo o real, otra función F () en el

espacio o recíproco.

Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon,

etc.


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Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a

menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio. Después, la

transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.

Ejemplo:

Calcular F () para el pulso rectangular f (t) siguiente:

Solución: La expresión en el dominio del tiempo de la función es:

Integrando:


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Usando la fórmula de Euler:

En forma gráfica, la transformada es:

ALGUNAS FUNCIONES NO POSEEN TRANSFORMADA DE FOURIER

La condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F () exista es:

Es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a

cero cuando x tiende a + y – en general no tienen transformadas de Fourier.


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La transformada de Fourier F(k) y la función original f(x) son ambas en general complejas.

De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:

LA TRANSFORMADA DE FOURIER CUANDO F(X) ES REAL

La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:

Propiedades de las transformadas de Fourier

Linealidad:


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LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA COMBINACIÓN LINEAL DE

DOS FUNCIONES

EJERCICIOS APLICANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Ejercicio 1: Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular de altura b:


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Ejercicio 2: Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponencial lateral

Ejercicio 3: Obtenga la transformada de Fourier


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ESPECTRO DE FRECUENCIAS

CONCEPTO

El espectro de frecuencia de un fenómeno ondulatorio (sonoro, luminoso o

electromagnético), superposición de ondas de varias frecuencias, es una medida de la

distribución de amplitudes de cada frecuencia. También se llama espectro de frecuencia al

gráfico de intensidad frente a frecuencia de una onda particular.

El espectro de frecuencias o descomposición espectral de frecuencias puede aplicarse a

cualquier concepto asociado con frecuencia o movimientos ondulatorios, sonoros y

electromagnéticos. Una fuente de luz puede tener muchos colores mezclados en

diferentes cantidades (intensidades).

Ilustración 2 Ejemplo de forma de onda de la voz y su espectro de frecuencia

Un prisma transparente, deflacta cada fotón según su frecuencia en un ángulo

ligeramente diferente. Eso nos permite ver cada componente de la luz inicial por

separado. Un gráfico de la intensidad de cada color deflactado por un prisma que muestre

la cantidad de cada color es el espectro de frecuencia de la luz o espectro luminoso.

Cuando todas las frecuencias visibles están presentes por igual, el efecto es el "color"

blanco, y el espectro de frecuencias es uniforme, lo que se representa por una línea plana.

De hecho cualquier espectro de frecuencia que consista en una línea plana se llama blanco

de ahí que hablemos no solo de "color blanco" sino también de "ruido blanco".


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EL ESPECTRO DE FRECUENCIAS

El espectro de frecuencias se divide en dos grandes partes:

Ondas materiales

Ondas electromagnéticas.

ANALISIS ESPECTRALAnálisis se refiere a la acción de descomponer algo complejo en partes simples o

identificar en ese algo complejo las partes más simples que lo forman. Como se ha visto,

hay una base física para modelar la luz, el sonido o las ondas de radio en superposición de

diferentes frecuencias. Un proceso que cuantifique las diversas intensidades de cada

frecuencia se llama análisis espectral.

Matemáticamente el análisis espectral está relacionado con una herramienta

llamada transformada de Fourier o análisis de Fourier. Dada una señal o fenómeno

ondulatorio de amplitud esta se pude escribir matemáticamente como la siguiente

combinación lineal generalizada:

https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourierhttps://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier


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Es decir, la señal puede ser concebida como la transformada de Fourier de la

amplitud . Ese análisis puede llevarse a cabo para pequeños intervalos de tiempo,

o menos frecuentemente para intervalos largos, o incluso puede realizarse el análisis

espectral de una función determinista (tal como ( ). Además la transformada de

Fourier de una función no sólo permite hacer una descomposición espectral de los

formantes de una onda o señal oscilatoria, sino que con el espectro generado por el

análisis de Fourier incluso se puede reconstruir (sintetizar) la función original mediante la

transformada inversa. Para poder hacer eso, la transformada no solamente contiene

información sobre la intensidad de determinada frecuencia, sino también sobre su fase.

Esta información se puede representar como un vector bidimensional o como un número

complejo. En las representaciones gráficas, frecuentemente sólo se representa el módulo

al cuadrado de ese número, y el gráfico resultante se conoce como espectro de potencia o

densidad espectral de potencia (SP):

Es importante recordar que la transformada de Fourier de una onda aleatoria, mejor dicho

estocástica, es también aleatoria. Un ejemplo de este tipo de onda es el ruido ambiental.

Por tanto para representar una onda de ese tipo se requiere cierto tipo de promediado

para representar adecuadamente la distribución frecuencial. Para señales estocásticas

digitalizadas de ese tipo se emplea con frecuencia la transformada de Fourier discreta.

Cuando el resultado de ese análisis espectral es una línea plana la señal que generó elespectro se denomina ruido blanco.

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