ESPECIALIDAD EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS FACULTAD DE ...

ESPECIALIDAD EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS FACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA UNIVERSIDAD VERACRUZANA

ALGUNOS DISEÑOS EXPERIMENTALES Y EL ANÁLISIS DE VARIANZA MULTIVARIADO

Trabajo recepcional que como requisito parcial para obtener el diploma de esta Especialidad presenta:

JOSÉ MIGUEL HERNÁNDEZ MORALES.

Tutor Académico

M. en C. Ibrahima Gobhi Sow

Xalapa, Ver., Diciembre de 1995.

DATOS DEL AUTOR: José Miguel Hernández Morales, nació en Xalapa, Veracruz en 1952, realizó todos sus estudios en su ciudad natal. En 1972 ingreso a la Facultad de Estadística de la Universidad Veracruzana. Obtuvo el titulo de Licenciado en Estadística en 1979, con la tesis titulada “Distribución óptima en asignación sistemática de testigos, empleando funciones de tendencia”. Trabajo en México D.F., en el Instituto Nacional de Investigaciones Agrícolas de enero de 1977 a abril de 1978. En 1978 se incorporo a la docencia en las Carreras de Biología, Estadística y Economía de la U.V. En 1980 formó parte del grupo de académicos que fundan el Sistema de Enseñanza Abierta de la U.V. en donde actualmente labora.

AGRADECIMIENTOS:Agradezco los apoyos prestados por las autoridades universitarias y sindicales, así como las facilidades por parte del SEA para realizar estos estudios. Deseo hacer patente mi agradecimiento a todos los maestros de la Especialidad, y en particular al M. en C. Ibrahima Gobhi Sow por la dirección de esta monografía y al Dr. Mario Miguel Ojeda R. por la revisión, sugerencias y recomendaciones. A las futuras licenciadas en Estadística Erika Cervantes C. y Erika Rodríguez V. por su esmerado apoyo en la edición del trabajo.

El Comité Académico de la Especialidad en Métodos Estadísticos, y el respectivo Tutor Académico del trabajo recepciones “ALGUNOS DISEÑOS EXPERIMENTALES Y ANÁLISIS DE VARIANZA MULTIVARIADO”, una vez cubiertos todos los requisitos académicos y administrativos establecidos, autorizan la impresión y la constitución del jurado para la defensa del mismo.

TUTOR.

9

1

2

3

INTRODUCCION 5

CONCEPTOS GENERALES DE LOS DISEÑOS EXPERIMEN

TALES 9

2.1 Antecedentes.............................................................................................. 9

2.2 Terminología ........................................... 10

2.3 Principios básicos de los diseños experimentales .................................... 12

2.4 Directrices para el diseño de experimentos............................................ 14

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR 17

3.1 Caso Univariado........................................................................................... 17

3.1.1 Introducción.................................................................................... 17

3.1.2 Modelo lineal................................................................................. 20

3.1.3 Notación matricial . ..................................................................... 21

3.1.4 Análisis de varianza........................................................................ 23

3.1.5 Ejemplo................................... . . ............................................... 25

3.2 Caso Multivariado .................................................................................... 31

3.2.1 Introducción..................... 31

3.2.2 Modelo lineal................................................................. 32

3.2.3 Notación matricial........................................................................ 34

V - .' •

3.2.4 Análisis de varianza multivariado............ 36

3.2.5 Ejemplo:.......................................................................................... 39

4 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS AL AZAR 44

4.1 Caso Univariado........................................................................................ 44

4.1.1 Introducción.............................. 44

4.1.2 Modelo Lineal.................................. 46


4.1.4 Análisis de varianza ........................................................................ 49

4.1.5 Ejemplo.......................................................................................... 51

4.2 Caso Multivariado ..................................................................................... 55

4.2.1 Introducción. . . . ........................................................................ 55

4.2.2 Modelo lineal............ ............... -............................................. ... . 56


4.2.4 Análisis de varianza.................................................................... ( . 59

4.2.5 Ejercicio............................................................................. 61

5 DISEÑO EN CUADRADO LATINO 68

5.1 Caso univariado...................................... 68

5.1.1 Introducción.................................................................................... 68

5.1.2 Modelo lineal................................................................ 71

5.1.3 Notación matricial..................................................... ................

5.1-4 Análisis de varianza......................... ........................................

5.1.5 Ejemplo..........................................................................................

5.2 Caso Múltivariado ..................................................... ..............................

5.2.1 Introducción.............................................. .....................................

5.2.2 El modelo lineal............ ............................................

5.2.3 Notación matricial.......................................................................

5.2.4 Análisis de varianza.......................................................................

5.2.5 Ejemplo.................. ..................................... ..................................

73

74

76

80

80

80

81

82

84

6 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR DE DOS FACTORES

CON n OBSERVACIONES POR CELDA

6.1 Caso Univariado..........................................................................................

6.1.1 Introducción ....................................................................................

6.1.2 Modelo lineal........................................................... ...

6.1.3 Notación matricial . .....................................................................

6.1.4 Análisis de varianza.................................................. .....................

6.1.5 Ejemplo..........................................................................................

6.2 Caso Múltivariado ....................................................................................

6.2.1 Introducción............... .................................. .................................

6.2.2 Modelo lineal............... .................................................................

91

91

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94

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99

104

104

6.2.3 Notación matricial....................................................................... 107

6.2.4 Análisis de varianza....................................................................... 108

6.2.5 Ejemplo.......................................................................................... 111

7 BIBLIOGRAFIA 119

8 APENDICES 121

8.1 Tablas. .......................................................................................................... 121

8.2 Programas y salidas de SAS....................................................................... 121

1 INTRODUCCION

La importancia de la estadística multivariada está fuera de discusión. Algunas razones

son:

• Los investigadores estudian los fenómenos multidimensionalmente.

• Se cuenta con los desarrollos teóricos y metodológicos desde hace varias

décadas.

• Se dispone de software para poder aplicar las técnicas y métodos multi-

variados.

En el área de diseños experimentales es bastante frecuente que se colecten ob

servaciones en varias variables. Por tal motivo es muy importante aplicar técnicas

multi variadas al análisis de estos datos. Los análisis marginales pueden dar resulta

dos no realistas, en razón que las variables observan una estructura de correlación.

Sin embargo tal aspecto no se considera en los cursos de diseños experimentales y los

cursos de multivariado sólo dan una introducción al análisis de varianza multivariado.

Aunado a esto se debe decidir que no hay libro alguno dedicado a presentar en una

forma didáctica y sencilla el análisis de varianza multivariado aplicado a los diseños

experimentales de uso más común; esto es válido incluso en idioma inglés.

Así, en virtud de que no existe un material didáctico que se ajuste a los objetivos

que persiguen los cursos que traten el tema de diseños experimentales en su modal

idad multivariada, impartidos en la licenciatura en Estadística de la Universidad

Veracruzana, se consideró de gran interés la realización de un trabajo con las carac

terísticas de una monografía cuyo fin fuese el de llenar este vacío en la bibliografía.

Tal es el objetivo del presente.

La temática que se expone tiene el propósito de, en forma didáctica y sencilla, dar

una panorámica metodológica del análisis de varianza multivariado, pensando en un

curso que trate los diseños experimentales más usuales, generalizando de lo univariado

a lo multivariado.

No se pretende, por supuesto, hacer ninguna aportación novedosa a la extensa lit

eratura teórica y metodológica ya existente; la idea primordial es presentar, de manera

detallada e ilustrada, la metodología usando un enfoque basado en la generalización

del análisis univariado al caso multivariado, misma que consideramos ayudará a una

mejor comprensión del tema, así como a una mayor asimilación y fácil aprendizaje

de los procedimientos. Para esto se presentan ejemplos en los que se ilustra detal

ladamente el aspecto operativo, tanto de forma manual como mediante el paquete

estadístico SAS.

El presente trabajo está integrado por cinco capítulos. En el primero se presentan

los aspectos generales de los diseños experimentales, incluyendo los antecedentes,

terminología, principios básicos, las directrices generales del diseño experimental y el

análisis estadístico de los datos resultantes.

En el capítulo segundo, se presenta el diseño completamente al azar bajo el orden

siguiente: introducción, modelo lineal, notación matricial, análisis de varianza y un

ejemplo. En el ejemplo se ilustra la metodología del análisis de varianza tanto de

forma manual como mediante el paquete SAS.

Posteriormente aparecen en forma secuencial, en capítulos diferentes y bajo la

misma estructura, el diseño de bloques al azar y el diseño en cuadrado latino. En

el último capítulo se trata el arreglo factorial con dos criterios de clasificación con

k observaciones por celda, y se asume anidado en el diseño completamente al azar.

Cabe hacer notar que este arreglo puede ser anidado en cualquiera de los diseños

experimentales, pero este aspecto ya no se trata aquí.

Se anexa un apéndice integrado por:

• Las tablas de distribución de probabilidad F, xl y Ua.

• El programa y salida de .los ejemplos correspondientes a cada uno de los

diseños univariados y multivariados.

Cabe hacer notar que en el caso univariado el programa también calcula y muestra

los residuos y valores predichos, con el objeto de explorar gráficamente los supuestos

de independencia y homocedasticidad. También se incluye en la salida el valor del

estadístico de Shapiro-Wilk para probar normalidad.

Aunque este material fue elaborado pensando en estudiantes de un curso específico,

esperamos que sirva como material de consulta para investigadores, técnicos y profe

sionistas que requieran de usar esta metodología.

2 CONCEPTOS GENERALES DE LOS DISEÑOS EXPERIMENTALES

2.1 Antecedentes

El análisis de varianza tuvo su origen en el área de la agricultura, siendo el científico

inglés Sir Ronald A. Fisher, aproximadamente en 1920, quien lo implemento como

herramienta para el análisis estadístico de datos obtenidos de los diseños experimen

tales. A partir del análisis de datos específicos, Fisher inventó esta técnica y estableció

los principios del diseño experimental. La experimentación ha tenido un gran desar

rollo en este siglo y prácticamente se utiliza en todas las áreas de conocimiento, desde

las ciencias biológicas hasta las ciencias sociales y de la conducta, pasando por la

ingeniería industrial y química. Aunque hay que señalar que, como las primeras apli

caciones de los métodos del diseño experimental se dieron en el área de la agricultura

y ciencias biológicas, gran parte de la terminología está asociada a éstas. En la ac

tualidad la experimentación se incluye en muchos programas de formación a nivel de

licenciatura, por ejemplo en agronomía, en ingeniería química e industrial, psicología,

biotecnología y bionálisis. Mucho más imnportante se considera a esta materia en los

programas de estudios de posgrado.

2.2 Terminología

El análisis de cualquier conjunto de datos está sujeto por la manera en la cual los datos

fueron colectados y por los objetivos que se persiguen en el estudio. Cuando el objetivo

principal del estudio se traduce en comparar medias de tratamiento o ver como un

conjunto de variables independientes afectan a una o más variables dependientes la

técnica adecuada para seleccionar la muestra puede ser el diseño de experimentos,

siempre que el investigador esté en posibilidades de manipular la asignación de los

tratamientos a las unidades experimentales.

El diseño de experimentos es la secuencia completa de pasos tomados de antemano

para asegurar que se obtendrán, los datos apropiados, de modo que sea posible un

análisis que conduzca a deducciones válidas con respecto al problema establecido.

Diseñar un experimento no es más que plantearlo de modo que se reúna la infor

mación que sea pertinente al problema bajo estudio. Los propósitos fundamentales

de un diseño experimental son:

a) Que proporcione la máxima información pertinente al problema.

b) Que sea lo más simple y eficiente posible.

Esto quiere decir que se debe hacer el esfuerzo para ahorrar tiempo, dinero, per

sonal y material experimental. Entonces el propósito de cualquier diseño experimental

es proporcionar la máxima cantidad de información al mínimo costo; es evidente que

es un método general que implica tanto a la metodología estadística como al análisis

económico, donde el fin último es lograr eficiencia estadística y economizar recursos.

Dado su importancia dentro de esta temática es necesario tener claro el significado

de algunos términos clave, que trataremos en seguida.

Una unidad experimental es la unidad básica mínima sobre la que se va a medir,

a la cual se le aplica un sólo tratamiento (que puede ser una combinación de niveles

de varios factores) en una reproducción del experimento básico.

El error experimental describe el fracaso de llegar a resultados idénticos con dos

unidades experimentales tratadas en condiciones idénticas. Es en sí una cantidad que

representa la variabilidad no explicada.

El error experimental puede reducirse normalmente adoptando una o más técnicas

como las siguientes:

1. -Usando material experimental más homogéneo cuando esto sea posible.

2. -Usando covariables y/o bloques.

3. -Tener más cuidado al conducir el experimento y en los instrumentos de

medición.

El concepto tratamiento o combinación de tratamientos implica el conjunto par

ticular de condiciones experimentales que se asignan a una unidad experimental bajo

las condiciones del diseño elegido, y cuyo efecto se va a medir.

Los experimentos según Montgomery (1991) se clasifican en unifactoriales y multi

factoriales. En los experimentos multifactoriales un tratamiento es el nivel o cantidad

de un sólo factor. Los multifactoriales incluyen más de un factor, y un tratamiento se

define como la combinación de niveles de los factores en estudio. Estos experimentos

permiten él estudio del efecto de cada factor por separado y del efecto conjunto de

dos o más factores llamado ”interacción”. La interacción es la respuesta diferencial

a un factor en una combinación con niveles variables de un segundo factor aplicado

simultáneamente. Es decir, la interacción es un efecto adicional debido a la influencia

combinada de dos o más factores.

2.3 Principios básicos de los diseños experimentales

El propósito final del diseño estadístico de experimentos es obtener datos apropiados,

que puedan ser análizados mediante métodos estadísticos, con objeto de producir con

clusiones validas y objetivas. La metodología estadística es el único enfoque objetivo

para analizar un problema que involucre datos sujetos a errores experimentales.

Existen dos aspectos en cualquier problema experimental: el diseño del experi

mento y el análisis estadístico de los datos. Ambos temas están estrechamente rela

cionados, ya que el método de análisis depende del diseño empleado.

Un diseño estadístico se fundamenta en tres principios básicos qúe son: replicación,

aleatorización y control local.

• a) La replicación es la repetición del experimento básico; las razones del

por qué la replicación es deseable son:

1 Proporciona una estimación del error experimental que actúa como

una "unidad básica de medida” para indicar la significancia de las

diferencias observadas, o para determinar la amplitud de un intervalo

de confianza.

2 La replicación produce, hasta cierto nivel de incremento, una esti

mación más aproximada del error experimental.

3 Capacita para obtener una estimación más precisa del efecto medio de

cualquier factor, porque <r^ — donde cr2 es el error experimental

verdadero y n es el número de repeticiones.

• b)La aleatorización es la piedra angular que fundamenta el uso de los

métodos estadísticos en el diseño de experimentos. Se entiende por aleator

ización al echo de que tanto la asignación del material experimental como

el orden en que se realizan las pruebas o ensayos se determinan aleato

riamente. Los métodos estadísticos requieren que las observaciones (o los

errores) sean variables aleatorias independientes. La aleatorización permite

argumentar la razonabilidad de esta suposición, además ayuda a cancelar

los efectos de factores extraños que pudieran estar presentes.

• c)El control local o análisis por bloques, se refiere a la cantidad de bal

anceo, bloqueo y agrupamiento de las unidades que se emplean en el diseño

estadístico adoptado; el propósito de usar el principio de control local es

hacer el diseño experimental más eficiente, incrementando su precisión para

reducir la magnitud del error experimental.

2.4 Directrices para el diseño de experimentos

Para usar un enfoque estadístico al diseñar y analizar un experimento se requiere que

todos los participantes en él tengan de antemano una idea clara de qué es exactamente

lo que se va a estudiar, cómo se van a recopilar los datos y, al menos, una idea general

de como se van a analizar. Se recomienda seguir los siguientes pasos.

• 1.-Comprensión y planteamiento del problema. Este punto pudiera parecer

obvio; sin embargo, en la práctica no es sencillo darse cuenta de que existe

un problema que requiere experimentación, ni diseñar un planteamiento

claro y aceptable del mismo. Es necesario desarrollar todas las ideas so

bre los objetivos del experimento. Un planteamiento claro del problema

contribuye a menudo en forma sustancial a un mejor conocimiento del

fenómeno y de la solución final del problema.

• 2.-Elección de factores y niveles. El experimentador debe elegir los fac

tores que variarán en el experimento, los intervalos de dicha variación y

los niveles específicos a los cuales se hará el experimento. También debe

considerarse la forma en que se controlarán estos factores, para mantener

los en los valores deseados, y como se les medirá. Es importante investigar

todos los factores que puedan ser de interés, y no depender demasiado

de la experiencia pasada, en particular durante la primeras etapas de la

experimentación o cuando el proceso no está muy avanzado. Cuando el

objetivo es el escrutinio de factores o la caracterización del proceso, suele

ser mejor mantener en un número bajo los niveles de los factores (lo más

común es a dos niveles).

• 3.- Selección de la variable de respuesta. Al seleccionar las respuestas o

variables dependientes, el experimentador debe estar seguro de que aquello

que se va a medir realmente provea información útil acerca del proceso de

estudio.

• 4.-Elección del diseño experimental. Si los tres pasos anteriores se han

seguido de la manera correcta este cuarto es relativamente fácil. Para ele

gir el diseño es necesario considerar el tamaño muestral (número de repeti

ciones), seleccionar un orden adecuado para los ensayos experimentales y

determinar si hay implicado bloqueo u otras restricciones de aleatorización.

Siempre se debe procurar elegir el diseño más sencillo.

• 5.-Realización del experimento. Cuando se realiza el experimento es vital

vigilar el proceso cuidadosamente para asegurar que todo se haga conforme

a lo planeado. En esta fase, los errores en el procedimiento suelen anular

la validez experimental. La planeación integral es decisiva para el proceso.

• 6.-Análisis de datos. Deben emplearse métodos estadísticos para análizar

los datos de modo que los resultados y conclusiones sean objetivos más

que apreciativos. Si el experimento se diseñó correctamente y se ha real

izado conforme a lo planteado, los métodos estadísticos que se requieren

no son complicados. Existen muchos excelentes paquetes de software para

en análisis de datos, y varios métodos gráficos sencillos son importantes en

la interpretación de tales datos. El análisis de residuos y la verificación de

la idoneidad del modelo son también técnicas de análisis de gran utilidad.

• 7.-Conclusiones y recomendaciones. Una vez que se han analizado los

datos, el experimentador debe extraer conclusiones prácticas de los resulta

dos y recomendar un curso de acción. En este punto el análisis económico

y de factibilidad es fundamental.

3 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR

3.1 Caso Univariado

3.1.1 Introducción

Consideremos en términos generales, que se desea comparar el efecto de t tratamientos

o niveles de un factor. La respuesta en cada uno de los tratamientos aplicado a una

unidad experimental es una variable aleatoria respuesta, que tiene asociada un modelo

estadístico. Sobre los parámetros de este modelo se plantea las hipótesisi a contrastar.

El diseño completamente al azar es un diseño en el cual los tratamientos son

asignados al azar a las unidades experimentales, o viceversa. Este diseño no impone

restricciones en la distribución de los tratamientos a las unidades experimentales.

Debido a su simplicidad, el diseño completamente al azar es usado ampliamente. Sin

embargo, se tiene que ser cauteloso y su uso debe limitarse a situaciones en las cuales

se disponen de unidades experimentales relativamente homogéneas; puede decirse que

las unidades experimentales deben tener la misma capacidad de respuesta.

El esquema general es el siguiente:

Se tiene un conjunto de N unidades experimentales relativamente homogéneas; se

elige de acuerdo a ciertos criterios (t) tratamientos que pueden ser diferentes niveles

de un factor o una combinación de niveles de varios factores. Esto determina la

formación de t grupos de unidades experimentales, lo cual debe hacerse de forma

aleatoria; es decir, se eligen al azar las unidades que recibirán el tratamiento í-ésimo.

La variable respuesta asociada a la unidad j-ésima que recibió el tratamiento í-ésimo

se denota por

Los datos que produce este diseño experimental se presentan simbólicamente en

la tabla siguiente:

TABLA DE OBSERVACIONES

tratamientos (o niveleís de un factor)

1 2 t

2/n 2/21 ■ • yn

yu 2/22 • • yt2

yini l/2n2 ytnt

y i. yi. y*. ■ ■ ■ yt. y..

Cabe hacer notar que con el propósito de simplicidad en la notación no distinguire

mos deyij (la variable aleatoria de las observaciones o datos correspondientes), ya

que esto no nos causará problema alguno. El lector debe tenerlo en cuenta por que a

veces deduciremos estadísticos y a veces evaluaremos éstos a partir de datos. Estric

tamente hablando esto debería hacerse con notación distinta, pero eso complicaría la

comprensión de los aspectos operativos.

3.1.2 Modelo lineal

El modelo lineal correspondiente al diseño completamente al azar para una variable

escalar observada por unidad experimental es:

Uij P “b £ij ii = 1,2,...,t

j = l,2,...,n¿(1)

donde:

yij =observación correspondiente a la unidad experimental j-ésima que recibió el

i-ésimo tratamiento.

fi =media general.

q¡í =efecto del tratamiento í-ésimo.

£ij =Error aleatorio.

En este modelo los efectos de los tratamientos se definen como desviaciones con t

respecto a la media general, por lo tanto ^2 o¡¿ = 0. Con estas restricciones se puede »=i

estimaraj, £*2,..., a¡t.

En el caso de tener un diseño balanceado se sabe que m=n2=...=nt=n

Supuestos:

Los supuestos asociados al modelo son: Normalidad, Independencia y Homocedas-

ticidad. Su representación compacta es:

£tJ~7V/(0,^2)

En relación con los supuestos del Análisis de Varianza en el diseño estadístico de

experimentos Cochran en 1947, referido por Cochran y Cox (1974), menciona que: ”La

lógica del Análisis de Varianza exige el cumplimiento de los tres supuestos. Sin em

bargo, en la práctica, dichos supuestos no son igualmente críticos. Se demuestra que

aunque la distribución dentro de cada uno de los subgrupos sea bastante asimétrica,

el contraste de significación apenas se afecta”. Es posible mencionar que el cumplim

iento del supuesto de independencia se apoya en gran medida de la planeación y

conducción del experimento, no así la homocedasticidad y la normalidad.

Respecto a los supuestos se recomienda realizar una exploración inicial de los

datos a través de técnicas gráficas y de estadísticas descriptivas para tener una idea

de su razonabilidad antes de ajustar el modelo. Posterior al ajuste se debe realizar

un diágnostico basado en los residuos.

3.1.3 Notación matricial

En notación matricial el modelo lineal correspondiente al diseño es el siguiente:

Y = X/3 + E

donde:

Y = Vector respuesta (o de observaciones en la variable respuesta Y).

X=Matriz de diseño.

/3=Vector de parámetros desconocidos.

E=Vector de errores aleatorios.

La forma que tomaría matricialmente el modelo en (1) es:

• ■

yn 1 1 ••• 0 Sil

yn 1 1 ••• 0 £12

2/lni 1 1 ... 0 £lr»l

2/21 1 0 ... 0 £21

2/22 1 0 ••• 0 CEi £22

= : • • • ; <*2 +

2/2n2 1 0 ••• 0

ot-t

^2n2

ya 1 o ... 1 £tl

yt2 1 0 ••• 1 St2

i • 1____

____

1 0 ••• 1 &tnt

Y(A?xl) X(jVx<7) ^faxl) E(wxi)

Donde q = t + 1

Donde para definir la matriz X podemos construir variables indicadoras

1, 2,t tal que:

f

Xi1 si la unidad experimental recibió el tratamiento i-ésimo.

0 en cualquier otro caso.

3.1.4 Análisis de varianza

El modelo (1) permite probar la hipótesis acerca de la nulidad del efecto producido

por los tratamientos. Tal hipótesis puede expresarse como:

Hq : Mi — M? — ••• — Mí — 0

Vs

Hi : m» 7^ Mí* Para menos un par (z, i*)

Si Hq es verdadera todos los tratamientos tienen la media común M- Una forma

equivalentes de expresar la hipótesis anterior en términos de los efectos de tratamien

tos, a^, i = 1,2,..., t es:

Ho : q¡i = o¡2 = ••• = ott = 0

Vs

Hy : ai / 0 para al menos un i

Porque Mi = M + z = 1,2,

Por tanto , es posible probar la igualdad de las medias de tratamientos, o bien

probar que los efectos de tratamientos (a¡<) son cero. El procedimiento apropiado

para probar la igualdad en el nivel medio de t tratamientos es el análisis de varianza.

El diseño completamente al azar permite particionar la variabilidad total en dos

fuentes: la atribuida a tratamientos y la atribuida al error aleatorio. Los cálculos

correspondientes al diseño completamente al azar se resumen en la tabla siguiente:

TABLA ANVA PARA UN DCA

Fuente de Grados de Suma de Cuadrado Fo

Variación Libertad Cuadrados Medio

Tratamientos í-1t

SCtroí — 52 ^¿ (í/¿ ¿=1.-y..)2 CMtroí = CMtrat

cme

Error N-t SCB = 52 ¿ (ytj ¿=ij=i

- yJ2 CME = g* í-'MtratCMe

Total N-l SCtot =52 52 (y¿j -y..)2

Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes

sctot =¿£¿=1.7=1

SClr„, =¿ ¿¿=1

SCE =sctoí-sctrotDonde:

N=ív, Fc = ¿»=i

n< t mí/<. =E2Zv í/.. =EEí/o

j=i »=ij=i

Al cumplirse los supuestos del modelo y si Ho, resulta ser cierta, entonces Fq se

distribuye como una F con (t — 1) grados de libertad en el numerador y (2V — t) en el

denominador, lo cual fundamenta la regla de decisión, a un nivel de significancia a,

que consiste en rechazar Hq ; si Fo > Fp y no rechazar en caso contrario. Aquí Fp

es un valor de tablas de la distribución F buscada a un nivel a.

3.1.5 Ejemplo

Se desea evaluar si para una zona dada existen diferencias significativas en el crec

imiento en altura de cinco clases de plantas de Pinus Montezumae. Para el efecto,

se plantó material de cada una de las clases en seis parcelas de igual superficie. Las

mediciones se hicieron a los diez años de efectuada la plantación, observándose que

para entonces se habían perdido dos parcelas de la clase 1 y una parcela de la clase

5. Los datos son:

Clases (Tratamientos)

1 2 3 4 5 total

8.4 12.3 4.3 8.2 5.1

7.6 15.2 5.9 10.1 7.2

8.2 10.6 4.7 10.4 6.7

10.8 11.7 4.9 12.6 6.5

12.5 6.1 9.8 6.3

15.6 5.2 11.7

34.40 77.9 31.1 62.8 31.8 238

El modelo lineal para este caso particular es:

yij = fí + ai + £ij ■ <i = 1,2,3,4,5

j = l,2,...,ni

donde:

y¿j = es la observación de la parcela J-ésima en la clase z-ésima.

fj, = media general.

ai = es el efecto asociado a la z-ésima clase.

&ij = error aleatorio.

Digamos, que según la notación del modelo tendríamos que:

8.4 = Ai + a! +£n

7.6 = p, + Q¡i + £12

6.3 = /z + a¡5 + £55

La hipótesis a probar es:

Ho : Qi = a2 = ... = ce5 = 0

Vs

H\ : «i / 0 para al menos un i

A continuación mostramos los cálculos que implica el análisis de varianza:

• Grados de libertad:

total=7V-l=27-l=26

tratamientos=í-1=5-1=4

error=JV — t =27-5=22

• Suma de cuadrados:

calculamos = 2097.926

SCtoí = [(8.4)2 + (7.6)2 + ... + (6.3)2] - Fc = 270.294

SCtrat = + ... + Í3L212] - Fc = 230.062

SCe = 270.294 - 230.062 = 40.232

• Cuadrados medios:

CMtroí = 230.062/4 = 57.51

CMe = 40.232/22 = 1.828

Finalmente la tabla ANVA nos queda:

TABLA ANVA PARA UN DCA

F.V gl SC CM Fo

clases 4 230.062 57.51 31.46

error 22 40.232 1.828

total 26 270.294

Regla de decisión:

Dado que Fq ~ > buscando en tablas obtenemos F? = F^q^ = 2.82. Así

como Fq > Ft, entonces se rechaza Hq.

Conclusión: Por lo menos existe una clase de pino diferente a las demás, con una

significancia del 5%.

Con el propósito de probar el supuesto de homocedasticidad de varianzas de nue

stro ejemplo, se usa la prueba de Bartlett. La hipótesis que se prueba es de que

t poblaciones normales tienen varianza común (cr2); es decir, que si las varianzas

poblacionales se representan por cr2, <72,<r2, el juego de hipótesis es:

■tlQ • — ^2 — ••• —

Vs

Hi al menos un cr2 es diferente de las demás

El estadístico de prueba es:

l ln S2- ¿ Z» ln S?t=l

donde:t

Z = 52 Z¿ = son los grados de libertad del CMet=l

C = 1 + 3<¿I> (¿ í - ¡)

Bartlett, demostró que cuando Hq es cierta, Xo tiene una distribución que es

aproximadamente xft-iy regla de decisión para la prueba es: ”rechazar Ho si

Xo > Xa,(t_i)” • Del ejemplo los cálculos son:

s?

1.98

li

3

liSf

5.94

InS?

0.683

ZilnS?

2.049

1/li

0.333

3.95 5 19.75 1.373 6.865 0.20

0.49 5 2.45 -0.713 -3.565 0.20

2.35 5 11.75 0.854 4.27 0.20

0.65 4 2.44 -0.494 -1.976 0.25

22 42.33 7.643 1.183

S2 = *4— = ^ = 1.924 Ez*i=l

c =1 + 5<¿i> (1183 - á) =1094

ZlnS2 = (22) ln(1.924) = 14.398

x3 = T^(14.398-7.643) = 6.17

Regla de decisión: Como 6.17<9.48, entonces no se rechaza Ho. Esto nos lleva

a concluir que: no existe suficiente evidencia para decir que el supuesto de homo

cedasticidad de varianza para este juego de datos no se cumple.

En el programa No.l del apéndice se encuentra instrucciones para SAS y parte de

la salida de resultados de este ejemplo.

3.2 Caso Múltivariado

3.2.1 Introducción

El análisis de varianza múltivariado se presenta, generalizando los conceptos y las

fórmulas al caso en el que se observan más de una variable respuesta o dependiente.

En general, en el análisis múltivariado se miden p variables en cada individuo o unidad

experimental, obteniéndose un vector de variables y no una medición sobre una sola

variable como en el caso del análisis univariado.

Si en el diseño completamente al azar (DCA) univariado el modelo estadístico

considera un factor de clasificación o t tratamientos con una sola variable respuesta

bajo estudio, entonces la extensión al caso múltivariado consiste en estudiar más

de una variable respuesta, bajo la misma situación en la que, como dijimos antes,

interesa determinar la diferencia entre tratamientos. Aquí la diferencia se tendría que

plantear a través de vectores de mediáis correspondientes a varias variables medidas

sobre las mismas unidades experimentales. En sí el diseño experimental (proceso

de aleatorización) es el mismo, lo que cambiaría sería el modelo, los supuestos y el

análisis de los datos.

Las observaciones o datos multivariados resultantes de un DCA se pueden presen

tar como en la tabla siguiente:


tratamientos

1 2 • '• • t

Ki r2 ••• YP Y y2 ... Yp • •• Yi y2 ... Yp

2/m 1/112 • • • Vnp y2n 1/212 - - ' y¡ip • • • y tu ym • • ytip

1/121 1/122 ’ ’ ’ y\2P 1/221 1/222 ' • ’ y22p • • • l/í21 ym ' • • yt2p

1/131 1/132 yi3P 1/231 1/232 ’ ’ ' V23p • ' • l/t31 ym ■ ■ • yt3P

1/lnl yin2 yinp l/2nl í/2n2 ‘ ‘ y2np ytnl ytn2 ' ’ ' ytnp

2/i.i yn ■ ■ ■ yi.p 1/2.1 1/2.2 • • • V2.p ■ ■ yt.i yt.2 ■ ■ ■ yt.P

3.2.2 Modelo lineal

El modelo asociado a este diseño es:

Yij = p + Qi+Eij ;i = 1,2,...,*

j = l,2,...,ni\

(2)

donde:

Yij = (VijuViji, = vector de p observaciones respuesta medidas sobre la

unidad j-ésima que recibió el tratamiento i-ésimo.

¿?=(/xi,/22, = vector de las medias generales.

eij — (£iji,£ij2, ■■■,£ijp) = vector de errores aleatorios.

ai — (o¡ii, q¡í2) •••) Q¡»P) = vector del efecto del tratamiento i-ésimo. Con la re- t

stricción £ <*i = 0.t=lNótese que aquí el superíndice t indica transpuesto; este debe distinguirse del

índice t asociado al número de tratamientos.

Supuestos:

En relación con el modelo (2) se supone que, cada componente del vector de

observaciones (y^) se corresponde a un modelo normal univariado, de manera como

fue expresado en la ecuación (1).

Los vectores de errores son variables independientes entre sí con vector de medias

media 0 y matriz de covarianzas Se supone para los errores idéntica distribución

normal multivariada, es decir:

e«~7Vp/(0,E)

donde:

y

z =

<7li <Tj2 • • • O'lp

^22 • • 1

PP


El vector de observaciones de las p variables bajo estudio Yi, Y¿,Yp medidas sobre

la unidad experimental j-ésima que recibió el tratamiento í-ésimo, se representa por:

y íj= (yiji > yij^ i • • • j yijp)

La notación matricial particular del modelo general Y = X/3 + E, cuando se tiene

un DCA multivariado con t tratamientos es:

yíi

yÍ2

yín,

y«

Y22

yU

y«

1

<<

1____

__

I 1 o ••• o

II o • ■ • o

1 1 o ••• o

1 O 1 ••• o

1 o 1 • •• o

1 O 1 ••• o

1OO-1

1OO-1

(N xP) ^(Nxq)

ell

£12

'lni

Mil Ml2 ’ Mlp

Qll <*12 • <*lp

Oítl <*t2 ' <*tp

+

^(qxP) E,

'21

fc22

'2n2

'ti

'tnt

(NxP)

donde:

7V=¿ m- q=t+l, E(Y)=X/3 y V(Y)=I ® .i=l

donde ® indica producto Kronequer.

3.2.4 Análisis de varianza multivariado.

La descomposición de la suma de cuadrados del total en el análisis de varianza multi

variada es análoga al caso univariado; sin embargo, dado que se tienen p mediciones

se debe calcular la suma de cuadrados de cada una además de los productos cruzados,

ya que interesa estimar las varianzas y covarianzas. La base de todas las operacionesf

son¡ los cuadrados y productos cruzados, que se presentan en una matriz:1

yijyfj =

Z/iji

Z/ij2

yiji yij2 y^p

yh

yijí'yiji

yiji*yij2

y2n2

• yijiyijp

■ yij2yijp

yijp yijp'Viji y^p' yij2 ■ V-Urjp

Así:

(2/iji - z/i)2 • • • (z/iji - yi) (y^ - yP)

(yo - y) (yo - y) =

(y^p z/P) (í/iji 2/1) • • • (y^p z/p)

donde y, como es obvio pensar, representa la media general; es un vector de las p

medias globales asociadas a las p respuestas.

Dado que:

(yo- - y)(yij - y)4 = [(yo - y¿) + (y¿ - y)][(yij - y¿) + (yf - y)]4

= (y^ - yi)(yij - y y + (yo - yi)(yo - y)‘+ .

(y¿ - y) (yo - y¿)t + (y¿ - y)(y¿ - y)4

donde y¿ es el vector de las p medias en el grupo i-ésimo, simplificando se obtiene:

EE (y<j - y)(yy - y)‘ =E ^(y* - y)(y< - y)‘+ ¿E (yy - yJíyy - yj** 3 * i í

La matriz de la suma de cuadrados y productos cruzados residuo, o error, puede

expresarse y calcularse como:

w - ¿g (y« - y()(y« - y,)‘ = (n, - 1)S, + (n, - 1)S2 + ... + (n, - 1)8,» 3

donde: S¿ es la matriz de varianzas y covarianzas muéstrales para la i-ésima

muestra.

La suma de cuadrados y productos cruzados de tratamientos se puede expresar y

calcular como:

B = Era¿(y«-y)(y¿-y)íi

La matriz de la suma de cuadrados y productos cruzados del total puede expresarse

como:

T = EE (yy - y) (ya - y)‘* j

El valor de la suma de cuadrados y productos cruzados de los tratamientos y del

error es igual a la suma de cuadrados y productos cruzados del total ya corregido, de

manera análoga al caso univariado.

Se recomienda resumir en una tabla análoga a la del caso univariado los cálculos

importantes del análisis de varianza multivariado. La construcción de esta tabla es

idéntica a la tabla en el caso univariado, sólo que ahora la columna de sumas de

cuadrados contiene matrices. Los grados de libertad se calculan igual que en el caso

de la distribución univariada.

El modelo (2) permite probar la hipótesis:

Ho : Qi = «2 = ••• = = 0

Vs

Hi ati / 0 para al menos un i

TABLA ANVA MULTIVARIADO PARA UN DCA

Fuente de variación Grados de libertad Matrices de suma de cuadrados y

(F.V.) (g-1) productos cruzados (SC y PC)

tratamientos t-1 B

error N-t W

total N-l T = B + W

Para fines prácticos se recomiendan las fórmulas siguientes:

Factor de correción = Fc =

B = E - Fci

T = EE y¿yyU - Fc i j

W = T —B

Se rechaza la hipótesis Ho si la relación: A* = pg"Pvv¡ es pequeña.

La distribución A* se aproxima bajo determinadas circunstancias y transforma

ciones a la distribución F. A continuación se presentan las correcciones y circunstan

cias que permitan aproximar a la distribución del estadístico A* por una F.

No. de vars. No. de grupos Función y la distribución aproximada

p=l t> 2 am -

p=2 t> 2

P>1 t=2 (^X^) - ^-P-!

P>1 t=3

En relación con los tamaños de las muestras, se derivan otros casos particulares t

de estadísticos. Bartlett estableció que si Hq es verdadera y 53 = TV es grande,i

— (n~1~2^p~t‘>)lnA*, se aproxima a una distribución x2 con p(t — 1) grados de libertad.

Se rechaza Ho a cierto nivel de significancia, si — ( ) In A* > Xp(t-i) Q-

donde: Xp(í-i),a es 1111 a-cuantil de la distribución x2 conp(í—1) grados de libertad.

3.2.5 Ejemplo:

Se tienen 3 tratamientos de adiestramiento a choferes; se miden dos variables respuesta:!^

destreza y = conocimiento mecánico. Se desarrolló un experimento de acuerdo a

un DCA con y nj = 3, n2 = 2 y n3 = 3, de manera que N = 8. Los resultados son:

tratamientos

I II III

Yi y2 Y, y2 Ki Y¡

9 3 0 4 3 8

6 2 2 0 1 9

9 7 2 7

Vi. 24 12 2 4 6 24 ( 32 40 )

Hipótesis:

Ho OLj — a.¡¡ — cx.in = 0

Vs

Hi oti 0 para al menos un i

Cálculos:

32 / \ 1024 1280 128 160/? — y-y.. — I lc ~ N — 8

401 32 40 ) = i

1280 1600 160 200

T = y^y-j - Fc = - » j

9 (9 3) + 6

3 \ / 2

o

4

7

2

2O 4

7 2

81 27

27 9

+O

>-Fc

+36 12

12 4+

1

91 9 +

81 63

63 49+

O O

O 16+

4 0 9 24+ +

0 0 24 64

1 9+

4 14

9 81 14 491

206 148 128 160 78 -12

148 248 160 200 -12 48

88 -11 78 -12 10 1

-11 72 -12 48 1 24La tabla de análisis de varianza multivariado para el ejemplo sería entonces:

TABLA ANVA MULTIVARIADO PARA UN DCA

F.V. g.l matrices de SC y PC

tratamientos 2

error 5

total 7

78 -12

-12 48

10 1

1 24

88 -11

-11 72

Para probar la Ho se calcula el estadístico A* de Wilk

10 1

A* = |w¡ =|B+W|

1 24

88 -11

-11 72

= S = 0.0384

Si Hq es cierta, entonces la A* ~ El valor de la tabla de la Ua =

Ae = Ag,t_! = A°2°2,6) = 0.1173, por lo que dado que A*<At, se rechaza Ho, y se

concluye que existe diferencias significativas en los vectores de medias y de tratamiento

con un nivel de significancia del 5%.

Dado que se tiene p = 2, t = 3, se calcula el estadístico siguiente:

Fo = = (W1) = 8-19’ el cual debe dis-

tribución aproximada F con 4 y 8 grados de libertad en el numerador y denominador

respectivamente. Dado que: Ft = = -^°85 ~ 3.84, entonces Fo > Ft,

y por tanto se rechaza Hq. Esto nos lleva a la misma conclusión que ya habíamos

enunciado.

En el programa No. 2 del apéndice se muestra las instrucciones de SAS y la salida

de resultados de este ejemplo.

4 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS AL AZAR

4.1 Caso Univariado

4.1.1 Introducción

El diseño de bloques completos al azar es aquel en el que:

1. Las unidades experimentales se distribuyen en grupos o bloques, de manera

tal que las unidades experimentales dentro de un bloque sean relativamente

homogéneas y que el número de unidades experimentales dentro de un bloque

sea igual al número de tratamientos por investigar.

2. Los tratamientos se asignan al azar a las unidades experimentales dentro de

cada bloque.

En lo anterior, la formación de los bloques refleja el criterio del investigador re

specto a las respuesta diferenciales potenciales de las diversas unidades experimen

tales, mientras que el procedimiento de aleatorización actúa como justificación del

supuesto de independencia.

En la planeación de un experimento de acuerdo a un diseño de bloques completo

al azar (DBCA), sin interacción entre los tratamientos y bloques, es necesario fijar los

factores o tratamientos y contar con un criterio adecuado para bloquear N unidades

experimentales de tal forma que N = bt, donde t es igual al número de tratamientos

y b el número de bloques. Este diseño experimental es quizá más utilizado.

En la práctica, las situaciones en las que este diseño se aplica son muy numerosas y

pueden .detectarse fácilmente. Por ejemplo, con frecuencia las unidades de equipo de

prueba o maquinaria son diferentes en sus características de operación y constituyen

un factor típico que es necesario controlar, lotes de materia prima, personas, animales

experimentales o tiempo, también constituyen fuentes de variabilidad en un experi

mento, los cuales pueden ser controlados sistemáticamente mediante la consideración

de bloques.

Las observaciones obtenidas bajo este diseño pueden representarse simbólicamente

en la tabla siguiente:


tratamientos (o niveles de un factor)

1 2 •• t y.j

1 2/u 2/21 • 2/ti 2/.i

2 2/12 2/22 • •• 2/t2 y.i

6 2/16 2/26 • • • 2/í6 y.b

Vi. yi. 2/2. • • • yt. y..

4.1.2 Modelo Lineal

El modelo lineal correspondiente al diseño de bloques completos al azar es:

ytj — + oti + f3j + £iji = 1,2,t (tratamientos)

<j = 1,2, ...,b (bloques)

(3)

donde:

= observación de la unidad experimental del j-ésimo bloque correspondiente

al tratamiento i-ésimo.

= media general.

q¿ = efecto del tratamiento i-ésimo.

/3j = efecto del bloque j-ésimo.

= error aleatorio.

La presentación compacta de los supuestos es:

Sij-NI^a2)

Además existe una suposición importante en este modelo, referente a que no existe

interacción entre tratamientos y bloques. Adicionalmente se asume que:

Ea. = °y = °»=i j=i


La notación matricial del modelo lineal Y = X/3 + E, asociado al diseño de bloques

completos al azar, se presenta siguiendo la misma idea que en el DCA.

Si cada variable aleatoria yij de la tabla de observaciones se presenta por:

yn = V + «i + A + £n

2/12 = M + A + e12

2/13 = /¿ + «i + $3 + £13

Vtí> — M + at + 0b + £tb

Entonces la representación matricial del modelo (3) es:

• ■

SZ11 1 1 0

2/12 1 1 0

2/16 1 1 0

2/21 1 0 1

2/22 1 0 1

• • : :

2/26 1 0 1

2/ti 1 0 0

2/í2 1 0 0

ytb 10 0

...010 ••• 0

...001 ••• 0

•••000 ••• 1

•••010 ••• 0

• 0 0 1 ••• 0

••000 ••• 1

•110 ••• 0

•101 ••• 0

•••100 ••• 1

<*i

«2

A

02

fo

+

Y(jvxi) X(Afxg)

donde N = tx.byq = t + b + l

£n

en

£lt

£21

£22

£2b

£tl

£t2

£«6

/^(gxl) E(Nx1)


El modelo (3) permite probar la hipótesis de los efectos de los tratamientos.

Hq : a¡i = q¡2 = ... = o¡t = 0

Vs

/ 0 para al menos un i

Con el propósito de verificar si el diseño de bloques fue apropiado, también se

podría probar la hipótesis análoga sobre la nulidad de los efectos de bloques. Sin

embargo esto no se recomienda ya que es un procedimiento sujeto a controversias.

El (DBCA.) permite particionar la varibilidad total en tres fuentes: la atribuida

a tratamientos, la de bloques y la atribuida al error experimental. Los cálculos cor

respondientes al (DBCA.) se resumen en la tabla siguiente:

TABLA ANVA PARA UN DBCA

Fuente de Grados de Suma de Cuadrados

variación libertad cuadrados * Medios

tratamientos t- 1 SCtrot = 6 ¿ (&.-S..)2 ¿=1

cMtrot =

bloques 6-1 SCWoí = t ¿ (5., -S..)27=1

cmMo, = ^

error (í-l)(6-l) SCe =E £ fej - - y.j - y¿=1,7=1 • / CMe — (t-i)(b-i)

total tb — 1t 6 / X2SCÉot=££ (üij-yj

La relación Fo = permite la prueba de hipótesis de manera análoga al caso

del DCA.


Factor de corrección: Fc =

sctot=¿ ¿ yl - Fc

SCtrot=¿4-Fc

SCWog = 53 — Fcj'=i

SCe =SCtoí-SCírat—SC6jO9

Se puede verificar que:

SCe(DCA)=SCWo,+SCe(DBCA)

Esto significa que el uso de bloques en el experimento mejora la precisión en las

estimaciones ya que se reduce el error experimental; por lo que el DBCA. será en

el peor de los casos tan eficiente como el DCA, en cuanto a la explicación de la

variabilidad.

Si Ho es verdadera, entonces Fo = ~ F(t-i)(b-i)> Y Ft = <*, es un

valor de tablas al nivel a de significancia. Entonces se rechaza Hq si Fq > Ft-

4.1.5 Ejemplo

Los datos siguientes son puntajes de una prueba de rendimiento de personas que se

capacitan bajo tres métodos de instrucción (tratamientos), de acuerdo con los niveles

de aptitud previamente identificados (bloques).

tratamientos

A, a2 a3 y.j

Bz 86 90 82 258

b2 84 89 81 254

b3 81 88 73 242

b4 79 76 68 223

b5 70 82 71 223

Vi- 400 425 375 1200


Vij — + &i + (3j + £ij ;i = 1,2,3

j = 1,2,3,4,5\

donde:

=Es el puntaje obtenido por el individuo del j-ésimo bloque y que recibió la

capacitación con en el z-ésimo método.

y =Media general.

dj =Efecto asociado al z-ésimo método.

¡3^ =Efecto asociado al j-ésimo nivel.

Sij =Error aleatorio.

Hipótesis:

Ho : o¡i = a2 = q¡3 = 0

Vs

H\ : ocí / 0 para al menos un i

• Grados de libertad: a) del total= N — 1 — 14; de tratamientos= t — 1 = 2; de

bloques= 6—1=4; del error=(í — 1) (b — 1) = 8

• Suma de cuadrados:

Fc = £ = = 96000;

SCtot = [(86)2 + (84)2 + ... + (71)2] - Fc = 698;

SCtrat =¿ £-Fc = (400) + (425) + (375) - Fc = 250;¿=1

SCblog =í y-f-Fc = (258) + ... + (223) - Fc = 367.33; j=i

SCe ^Ctot-SCtrat-SCuog = 698 - 250 - 367.33 = 80.67.

Así la tabla ANVA para este caso sería .

TABLA ANVA PARA UN DBCA

F.V g-1 SC CM Fo

tratamiento 2 250 125 12.40

bloque 4 367.33 91.83 9.11

error 8 80.67 10.08

total 14 698

Regla de decisión: Con a = 0.05; Ft = F^^ — 4 .46, entonces dado que Fq > Ft

se rechaza la hipótesis Ho. La conclusión a la que llegamos es que existe suficiente ev

idencia para declarar diferencias significativas en los puntajes promedio de la prueba

de rendimiento para los diferentes métodos de instrucción; esto con un nivel de sig

nificancia del 5%.

En el programa No. 3 del apéndice se muestra las intrucciones de SAS y parte de

la salida de resultados de este ejemplo

4.2 Caso Multivariado

4.2.1 Introducción

Análogamente al caso univariado, el diseño de bloques al azar bajo el enfoque multi

variado permite reducir la variación no aplicada o al error experimental. Al controlar

el factor bloques, los valores correspondientes a la suma de cuadrados y productos

cruzados del error son menores en comparación con el valor del error en un diseño

completamente al azar. Las observaciones de un diseño de bloques al azar completo

multivariado se pueden presentar en una tabla de la forma siguiente:


tratamientos

1 2 t

Yi y2 ... Yp Vi y2 ... Yp •• ■ Y, y2 ... n

2/m 2/112 • • • 2/i ip 2/211 2/212 ’ ’ ‘ 2/21p • • 2/tn 2/tl2 • • • 2/tip

2/121 2/122 • • • 2/12p 2/221 2/222 ’ ’ ’ 2/22p ’ ' 2/í21 2/t22 ‘ ’ 2/t2p

2/131 2/132 ’ ' ’ 2/l3p 2/231 2/232 ' ' ‘ 2/23p ’ 2/t31 2/t32 ’ ’ ’ 2/t3p

2/161 2/162 ’ ’ ’ 2/l6p 2/261 2/262 2/26p ' ‘ 2/t61 2/t62 ytbp

2/1.1 2/1.2 2/i .p 2/2.1 2/2.2 • • • 2/2.P • 2/t.i 2/í.2 • ' • Vt.p

Si denotamos, de forma análoga que en el DCA, a yf ■ — (yiji,yij2,...,yijP), entonces

podemos desarrollar el modelo lineal correspondiente usando una simple extensión.

4.2.2 Modelo lineal

El modelo asociado a un DBCA multivariado es:

yij = H + ati + P + Eíj

i = l,2,...,í(4)

j = lt2,...,b

donde:

yij =vector de observaciones o respuestas de la unidad en el bloque j-ésimo que

recibió el tratamiento i-ésimo.

pi =vector de las medias generales.

aj =vector de los efectos del tratamiento i-ésimo

=vector de los efectos del bloque j-ésimo

Sij =vector de los errores aleatorios o experimentales.

También se introduce la restricción de que:

¿ai=¿/3i = 0

¿=i j=i

La representación compacta de los tres supuestos es;

~2VpJ(0,E)


Si yij denota un vector de p mediciones sobre igual número de variables para la

unidad correspondiente al bloque j-ésimo y recibió el tratamiento i-ésimo; esto es:

y\j = (yiii,y¿j2,y¿j3, -••:y¿jp), entonces la postulación del modelo en forma matricial

sería:

y‘u i i 0 • • 0 1 0 • • 0

yÍ2 i i 0 • • 0 0 1 • • 0

yíí, i i 0 • • 0 0 0 ■ • 1

y« i 0 1 • • 0 1 0 ■ • 0

y^ i 0 1 • • 0 0 1 • • 0

—

y£& i 0 1 • • 0 0 0 • • 1

y« i 0 0 • • 1 1 0 • • 0

yii i 0 0 • • 1 0 1 • • 0

. y‘b. i 0 0 • • 1 0 0 • • 1

Y(yv xp) XNxg)

donde:

/Mi Ml2 •• Mlp

«11 «12 • ■ • «lp

«21 «22 • «2p

«ti «t2 • «tp

fri /?12 • ' ■ 01p

/^21 $22 • '■ • @2p

A>1 0b2 • • fibp

/^(?xp) E(JVxp)

2?(Y) = X/3 y V(Y)=I®E

y cada hilera de Y se supone sigue una distribución normal multivariada.

Análogamente, se tiene:

= [m. , <*2, •••, , ¿32, •••» 3&] , con/? = (mi,M2.--,Mp) ><*¿ = (a¿i,a»2, ••

y = (/3j\,0j2, ...,í3jP) y entonces cada hilera de Y tiene la forma:

yy = /z + a, + /3,+ey ;

donde eL es una hilera de E, 1° Que presenta el modelo como una extensión del

caso univariado.


La hipótesis a probar bajo este diseño es, en términos de efectos de tratamientos:

Ho : Qj = o¡2 = ••• = <*t = 0

Vs

Hi : Oíí 0 para al menos un i

El procedimiento para contrastar la hipótesis es un análisis de varianza multivari

ado. Los cálculos correspondientes al DBCA multivariado se resume en la siguiente

tabla:

TABLA ANVA MULTIVARIADO PARA UN DBCA

Puente GradosSuma de cuadrados y productos cruzados

de variación de libertad

tratamiento/

t-1 B=6¿(y¡.-y.)(y,.-y..)‘i

bloque 6-1 H=í¿(y,-y.)(yi-y..)‘j

error (í-l)(6-l) w = ee (yo - y i. - y.j + y..) (ya - y¿.i j

total N - 1 t = EE (yij - y..) (y¿¿ - y../» j

Al igual que en el DCA desde el punto de vista práctico, se recomiendan las

siguientes fórmulas:

T = ¿¿ y^-y^ - Fc l j

B ¿ y¿.y[ - Fc ' -i

H =1 ¿ y,y‘- - Fc j

W=T—B—H

Para probar la hipótesis con respecto a los tratamientos, se puede utilizar el

estadístico A de Wilk. Para ello se calcula A* = ; el que bajo Ho, A* ~

Así entonces se compara A* contra un valor de tablas At =

que es un valor crítico de la distribución a un nivel de significancia a. Si A*<At, se

rechaza Ho con ese nivel de significancia a; de lo contrario no se rechaza.

4.2.5 Ejercicio

Se desea probar el efecto de tres plagicidas (tratamientos) sobre la reducción de tres

tipos de hiervas (Kj, Y2, Y3) en cultivo de caña. Las parcelas están bloqueadas en

tres tamaños: chicas, medianas y grandes. Se realiza un experimento y se mide un

índice de efectividad para la reducción de la hierba, que se evaluó antes de fertilizar

el cultivo. Este índice toma valores de 0 a 25.

tratamientos

I ii II III

Yi Y2\ y3 i• JS y2 y3 i y2 y3 Y.

13.3 10.6 21.2 13.6 20.2 21.0 14.2 10.7 21.1 135.9

13.4 9.4 21.0 13.2 9.6 20.1 13.9 10.4 19.8 130.8

12.9 10.0 20.5 12.2 9.9 20.7 13.9 11.0 19.1 130.2

Yi. 39.6 30.0 62.7 39.0 29.7 61.8 42.0 32.1 60.0 396.9

El modelo lineal para este caso sería:

í = 1,2,3y.j = m + ar + Pj + ; «

j = 1,2,3donde:

Yy =vector de observaciones de dimensión p = 3, para la parcela J-ésima que

recibió el fungicida í-ésimo.

/z =vector de las medias generales.

O£¿ =vector de los efectos del tratamiento í-ésimo

=vector de los efectos del bloque j-ésimo

£ij =vector de los errores aleatorios

Para el planteamiento de la hipótesis de nulidad de los efectos de los tratamientos,

tenemos:

Hq : = at2 = Q3 = 0

Vs

Hi : oti / 0 para al menos un i

Así, los cálculos necesarios son:

Factor de corrección:

120.6 1616 1230 2472

F = í’c — N 91.8 120.6 91.8 184.5 = 1230 936 1882

184.5 2472 1882 3782

t = EE yijyij-Fc = < i i

13.3

10.6

21.2

13.3 10.6 21.2 +

13.4

9.4 13.4 9.4 21.0

21.0

t b

12.9 13.6

+ 10.0 12.9 10.0 20.5 + 10.2 13.6 10.2 21.0 +

20.5

13.2

21.0

12.2

9.6 13.2 9.6 20.1 + 9.9 12.2 9.9 20.7 +

20.1 20.7

14.2

10.7

21.1

13.9

11.0

19.1

14.2 10.7 21.1 +

13.9 11.0 19.1

1618.96 1231.96 2471.6

1231.56 938.58 1881

2471.6 1881 3782.25r r

13.2

=| E y».yíi ~FC = < 3 10.0

10.9» L

Fc =

13.2 10.0 10.9 +3

13.9

10.4

19.8

13.9 10.4 19.8 +

2.92 1.44 -0.7

1.44 2.22 -0.9

-0.7 -0.9 4

13.0

9.9

20.6

13.0 9.9 20.6 +

> - Fc

14.0

10.7

20.0

14.0 10.7 20.0 ? - Ft

1617.72 1231.5 2476.04 1.68 1.38 -1.26

1231.5 937.5 1880.8 ~FC = 1.38 1.14 -1.08

2476.04 1880.8 3783.5 -1.26 —1.08 1.26

TABLA ANVA MULTIVARIADO PARA UN DBCA

F.V. g-1- Matrices de SC y PC

1.68 1.38 -1.26

Tratamientos 2 B = 1.38 1.14 -1.08

-1.26 -1.08 1.26

Bloques

0.78 0.03 0.96

0.03 0.78 0.66

0.96 0.66 1.68

Error 4 W

0.46 0.03 -0.4

0.03 0.3 -0.48

-0.4 -0.48 1.06

Total 8 T =

2.92 1.44 -0.7

-0.91.44 2.22

-0.7 —0.9 4

La hipótesis de igualdad de vectores de medias de tratamiento se puede probar

usando el estadístico: A* = ¡bVw¡ ~ 0663I24 = 0-004. El valor de tablas Ua =

= 0-0096, por lo que dado que A* < At) se rechaza Ho, y se

concluye que existe suficiente evidencia para declarar que hay diferencias significativas

en los vectores de medias de los fungicidas con un nivel de significancia del 5%.

En el programa No. 4 del apéndice se muestra las instrucciones de SAS y parte

de la salida de resultados de este ejemplo.

5 DISEÑO EN CUADRADO LATINO

5.1 Caso univariado

5.1.1 Introducción

El diseño en Cuadrado Latino es una extensión lógica del diseño en bloques al azar, ya

que este diseño especial, permite delimitar los efectos relativos de varios tratamientos,

cuando se impone a las unidades experimentales una restricción de doble bloqueo;

o sea se usa para eliminar dos fuentes de variabilidad. Este doble bloqueo puede

presentarse en dos direcciones, las que se llaman vertical y horizontal de manera que

se habla de efectos de hileras y columnas.

Por sus características, el diseño cuadrado latino se usa principalmente en la agri

cultura y en la industria. En general un cuadrado latino para t tratamientos es un

cuadrado que contiene t renglones y t columnas, a cada una de la í2 celdas se les

asigna una de las t letras latinas A,B,..., que representan a un tratamiento.

La asignación de los tratamientos es al azar de tal forma que cada tratamiento

aparece una sola vez en cada hilera y columna.

A continuación, se presentan algunos ejemplos de cuadrados latinos:

4x4 5x5 6x6

Con el objeto de ilustrar este diseño, se plantea el ejemplo siguiente:

Suponga que se tienen cuatro fertilizantes por investigar y que se disponen de

16 parcelas para el experimento. Si el suelo muestra una tendencia de fertilidad en

dos direcciones (digamos N —> S y E —► O) parece razonable formar bloques

de 4 parcelas en ambas direcciones. Esto es precisamente lo que sé hace bajo la

denominación de renglones y columnas. Entonces, los tratamientos se aplican al azar

sujetos a la restricción de que cada tratamiento aparezca una sola vez en cada renglón

y en cada columna.

Suponiendo que se tienen 3 tratamientos por comparar, los cuales se denotan por

A, B y C. El arreglo de tratamientos de un cuadrado latino podría ser el siguiente (si

A=l, B=2, y C=3):

ABC

B C A

C A B

donde i = 1,2,3 es el índice de columna; j = 1,2,3 es el índice de hileras; y

k = 1,2,3 es el índice de tratamientos.

Así, cada observación puede estar representada en la forma siguiente:

celdas

columna hilera trat var. resp. (2/y(k))

1 1 A 2/n(i)

1 2 B 2/12(2)

1 3 C 2/13(3)

2 1 B 2/21(2)

2 2 C 2/22(3)

2 3 A 2/23(1)

3 1 C 2/31(3)

3 2 A 2/32(1)

3 3 B 2/33(2)

5.1.2 Modelo lineal

Asumiendo que todas las interacciones son cero el modelo lineal para una observación

asociado a un diseño cuadrado latino es:

ízv(fc) = m + Q« + Pj + 7* + ^ú(fc); *

i = 1)2,

J = 1,2,

fc = 1,2,

,í

,í (5)

donde:

yij(k) =es observación de la columna i-ésima, de la hilera j-ésima correspondiente

al tratamiento fe-ésimo.

p, =la media general.

CKj =efecto de la columna i-ésima

/3j =efecto de la hilera j-ésima

7^ =efecto del tratamiento A;-ésimo

£íj(k) =error aleatorio.

El denotar la k entre paréntesis indica que sólo se necesita saber los índices i y j

para especificar una observación, ya que hay una sola observación por celda.


£ij(k) cr2)

Adicionalmente se asume que:

E = E Pj =E = 0í=i j=i fc=i


Para representar matricialmente este diseño se parte de la suposición anterior; donde

se tiene A=l, B=2 y C=3 con el arreglo:

ABC

B C A

C A B

Si cada observación se presenta como:

2/ii(i) = M + <*i + A + 71 + ^n(i)

2/12(2) = + Q1 + #2 + 72 + e12(2)

2/33(2) = M + Oís + + 72 + £33(2)

entonces la representación matricial del modelos (5) es:

• • r

2/m

2/122

1/133

2/212

2/223

2/231

2/313

2/321

2/332

1 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0 0 1 0

1 100001001

1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

1001010100

1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

■< ■

£lli

ai

£l22

Oi2£133

o¡3

£212A

+ £22302

£23103

£313

7i

£321

72

£332

73

Y(9xl) X(9xio) ^(10x1) E(9x1)


Las hipótesis de interés bajo este diseño es probar el efecto de los tratamientos:

Ho ■ 7i = 72 = ••• = 7t = 0

Vs

Hi : 7*; 7^ 0 para al menos un k

Para comprobar la hipótesis se efectúa el análisis de varianza, partiendo del prin

cipio de descomposición de la variación total de las observaciones en las diferentes

fuentes de variación del modelo. Los cálculos correspondientes se resumen en la tabla

siguiente:

TABLA ANVA PARA UN DCL

Fuente de grados de Suma de Cuadrados

variación libertad cuadrados medios

hileras t- 1 SC»,, =¿ (y.!.- j

CMhü =

columnas t- 1 sccot =¿ - y...)2i

CMcoi =

tratamiento t - 1 SCtraí =¿ (y..k - yj2k

CMtrot =

error (í - l)(í - 2) SCe =¿¿¿ +i j k

fivr _ sccCiVLe —

total í2-l SCM =É¿¿ - 5 )2i j k

donde -^o=C¿^e<>t mnos permite probar la hipótesis de igualdad de efectos de

tratamientos.


Fc = ; N = t2

SCM=j±é,y¡¡t-Fci j k

2XSC„« = -h- - Fc

íM.

SCCOJ = - Fc

SCtrat = Fc

SCe =SCtot-SCMÍ-SCco/-SCtrot

Si Hq es cierta entonces Fq ~ F^t_\^t_2y y Ft = F^t_\^t_2^ a,, es un valor de tablas

al nivel a de significancia. Entonces si Fo > Ft se rechaza Hq.

5.1.5 Ejemplo

En un experimento en el que se desea estudiar la efectividad de cuatro tipos de

máquinas, considerando como factores de bloqueo a los operados y a los periodos de

operación. Se diseñó un experimento en cuadrado latino, y la asignación al azar de las

máquinas se muestra con letras latinas entre paréntesis, en la tabla siguiente donde

se presentan los resultados del número de piezas producidas (Y).

operadores

Períodos de

tiempo 1 2 3 4 total

1 31(C) 43(D) 67(A) 36 (B) 177

2 39(D) 96(A) 40(B) 48(C) 223

3 57(B) 33(C) 40 (D) 84(A) 214

4 85(A) 46(B) 48(C) 50(D) 229

total 212 218 195 218 843

Modelo lineal para este caso particular es:

i

yij(k) — Z2 + “i + + 7k + £ij(k)

1,2,3,4

1,2,3,4* j

k = 1,2,3,4

donde:

yíj(k) =Producción obtenida de la máquina fc-ésima del operador i-ésimo del j-

ésimo período de tiempo.

p =media general

q¡i =efecto del í-ésimo operador

(3j =efectos del j-ésimo período.

7jt =efecto de la fc-ésima máquina

£tj(fc) =error aleatorio

La hipótesis a probar es de que no existe interacción entre período, operador y

maquinaria que formalmente sería:

Ho : 71 = 72 = 73 = 74 = 0

Vs

Hi : 7*; 0 para al menos un k

iCálculos:

Fc = £ = = 44415.56;

SCtoí = [(31)2 + (43)2 + ... + (50)2] - Fc = 5959.44;

SChil =-Lt--Fc= [(W-+4-+W] _ Fe = 17^95 _ Fc = 408 lg.e

SCcoi = - Fc = [í212)2+-4+(218)z] _ Fc = 88.68;t

SCtrot = -F= _ Fc = 4946.69;

SCe =SCtot-SChíZ-SCcoZ-SCírat = 5959.41 - 408.18 - 88.68 - 4949.68 = 515.87

Los resultados de los cálculos se encuentran en la tabla siguiente:

TABLA ANVA

F.V gl SC CM Fo

período 3 408.18 136.06 1.58

operador 3 88.68 29.56 0.34

maquinaria 3 4946.68 1648.9 19.17

error 6 515.87 85.98

total 15 5959.41

Para la implementáción de la regla de decisión buscamos la F con a=0.01, Ft =

^,6) = 9-78. Como Fo > Ft, se rechaza Ho.La conclusión a la que llegamos es que

existe suficiente evidencia para declarar diferencias significativas entre las producción

de las 4 máquinas, ésto a un nivel de significancia del 1%.i

En el programa No. 5 del apéndice se presenta las intrucciones de SAS y parte de



5.2.1 Introducción

En el caso del diseño cuadrado latino múltivariado, también lo desarrollamos como

una extensión del caso univariado. Se tiene un vector y^k de p observaciones. Los

aspectos del diseño son las mismas para el caso univariado lo que cambia es el modelo

estadístico y el análisis.

5.2.2 El modelo lineal

Para este diseño es:

y«¿(k) — t¿ + ati + Pj + 7fc + eij(fe)

i = 1,2,..., t

j = l,2,...,t

k = l,2,...,ík

(6)

donde:

=vector de observaciones o respuestas para la unidad de la i-ésima hilera,

de la j-ésima columna que recibió el fc-ésimo tratamiento.

// =vector de las medias generales.

cx-i =vector de los efectos de la columna i—ésima.

=vector de los efectos de la hilera j-ésima.

7fc =vector de los efectos de los tratamientos k—ésimo.

=vector de los errores aleatorios o experimentales

Los supuestos en forma compacta se presentan como:

eú(fc) ~ NPI(O,Z)

tAdemás se supone que no existe interacción entre ai()9- y yk, y que £ ai

»=it

= E i=l

^ = E^ = o.k=i


Para presentar la notación matricial tenemos el ejemplo de un cuadrado 3x3 que

tendría la siguiente tabla de datos asociada:

celdas variables

i j k Yx

111 yn(i)i

12 2 3/12(2)1

13 3 2/i3(3)i

3 2 2 2/33(2)1

y2 ••• yP

2/11(1)2 ■ • • 2/ii(i)p

2/12(2)2 ' - ‘ 2/l2(2)p

2/13(3)2 ’ ' ’ 2/l3(3)p

2/33(3)2 ’ ' ‘ 2/33(2)p

Esto es:

yíj(fc) = (yij(k)i,yij(k)2.... yij(k)p), entonces la postulación del modelo en forma ma

tricial es:

yíid) 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0

yÍ2(2> 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0

y*i3(3) 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1

y21(2) 10 1 0100010

X22Í3) = 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1

3^3(1) 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0

ysi(3) 1 001 1 0000 1

y¡2(i) 1001010100

■

ÍS*

X“«v

KO

1___ 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

Mu ^12

<*11 O¡12

<*21 <*22

<*31 <*33

/?11 /?12

021 $22

031 033

7ll 712

721 722

731 733

(9xp) -«-(9x10) $(10xp)

Mip

0¡ip

<*2p

<*3p

01p

02p

03p

7lp

72p

733

E,

ii(i)

'12(2)

-t'13(3)

-t-21(2)

-t=•22(3)

-(=•23(1)

-t=■31(3)

-t-32(1)

-t-33(2)

(9xp)

+

e


Al igual que en el caso univariado el interés principal es probar la hipótesis del efecto

de tratamientos:

Ho ■■ 7k = 0 ;k = l,2,...,t

Vs

Hi : 7* O para al menos un k

Los cálculos correspondientes al DCL múltivariado se resumen en la siguiente

tabla.

TABLA ANVA MULTIVARIADO PARA UN DCL

Matrices de suma de cuadradosFuente de variación Grados de libertad

y productos cruzados

hileras t-1i

columnas t-1 C = t¿(yi..-y...)(yi..-y...)'i

tratamientos t-1 B = í¿(y.Jt-y...)(y..fc-yJtk

error (!-l)(í-2)W =EEE (yak - y,.. - ytJ. + 2y.J

i j fc

(yak - y i.. - yij. + 2y y

total i2-l T=¿¿¿ (yijk-yj(yijk-yjt

Para fines prácticos se recomiendan las formulas siguientes:

yl... yi...y2...

yi...y2... yl...

p = = J.lr- N N

T =ÉÉÉ Yijkyíjk - Fc i j k

B =¿ --fcty--fc - Fc

H =¿ - Fci

C =¿ — Fe

W=T—B—H—C

Para probar la hipótesis con respecto a los tratamientos se puede utilizar el es

tadístico A de Wilk. Para ello se calcula. A* = el que si Ho es cierta, en

tonces A* ~ entonces se compara A* contra un valor de tablas

A. = %<- i (t-x)(t-2))i Que es val°r crítico de la distribución Ua a un nivel de sig

nificancia a. Si A* < At entonces se rechaza Ho a un cierto nivel de significancia

a.

5.2.5 Ejemplo

Un investigador desea evaluar la influencia de cinco diferentes máquinas de enseñanza

de lectura. El diseño elegido es un cuadrado latino 5x5 donde se consideran los días de

la semana como hileras y las horas del día como columnas. Las variables dependientes

son la velocidad de lectura (Yí) y la comprensión de lectura (Y2), los datos son como

siguen:

Horas

Dias Yi r2 Yi r2 Yl y2 Yt y2 Y\ y2

1 8(B) 4(B) 18(E) 8(E) 5(D) 3(D) 8(0 16(C) 6(A) 12(A)

2 1(0 6(0 6(A) 19(A) 5(B) 7(B) 18(E) 9(E) 9(D) 27(D)

3 5(D) 11(D) 4(B) 5(B) 4(C) 17(C) 8(A) 8(A) 14(E) 8(E)

4 11(E) 9(E) 4(C) 15(C) 14(A) 17(A) 1(D) 5(D) 7(B) 8(B)

; 5 9(A) 14(A) 9(D) 13(D) 16(E) 23 (E) 3(B) 7(B) 2(C) w(O

•y.j. 34 44 41 60 44 67 38 45 38 61


¿ = 1,2,...,5

Yij(k) = M 5 - j = l,2,...,5

fc = 1,2,..., 5donde:

y¿j(fc) =vector de observaciones de dimensión (p = 2), para la unidad que está en

la ¿-ésima hilera de la J-ésima columna y que recibió el fc-ésimo tratamiento

=vector de las medias generales.

di =vector de los efectos de la columna t—ésima.

=vector de los efectos de la hilera j-ésima.

7fc ==vector de los efectos de los tratamientos fc—ésimo.

e0'(*) =vector de los errores aleatorios.

Para el planteamiento de la hipótesis de nulidad de los efectos de los tratamientos,

tenemos:

Ho : 7i = 72 = 73 = 74 = 7s = 0

Vs

H\ : 7fc / 0 para al menos un fc

Cálculos:

y... =

/? — y -y?- _ j_1 c — N — Ny*..i y...iy...2

195 277

y...i = 195

y...2 = 277y,..\y...2 yt.2

25

(195)2 (195)(277) 1521 2160.6

(195) (277) (277)2 2160.6 3009.16

T =EEE yijkyíjk - K = <i j k

8

48 4 +

1

61 6 + •••+

2

102 10 ? “ F=

2111 23441

1521 2160.6 590 183.412344 3835 2160.6 3009.16 183.4 765.84

g y:-.^Lk _ pc = i 43 / \ 271 43 70 +

70 \ / 3127 31 +•••+

77

5777 57 > “ Fc

1941.8 2209.41

1521 2160.6 420.8 48.8

2209.4 3246.2 2160.6 3009.16 48.8 177.07■ -i r -i

45

4345 43 +

39

64H =£ - Fc = 39 64 +•••+

39’ ( \i

1532.2 2151.4 1521 2160.639 67 -*= —

67' \ / J2151.4 3150.2 2160.6 3009.16

Í1.2 -9.2

-9.2 81.04

c=¿y^ Fc = i34

4434 44 I +

41

6041 60 I + ••■+

38

61

(38 61

1532.2 2186.4 1521 2160.6 11.2 25.8

2186.4 3154.2 2160.6 3009.16 25.8 85.04Matriz de suma de cuadrados y productos cruzados del error.

420.8 48.8W=T—B—H—C

590 183.4

183.4 765.84 48.8 177.07

11.2 -9.2

-9.2 81.04

11.2 25.8

25.8 85.04

146 118

118 422.72

A continuación se presenta la tabla ANVA para este ejemplo:

TABLA ANVA MULTIVARIADO PARA UN DCL

F.V g-1 Matrices de SC y PC

Días (hileras) 4 H =11.2 -9.2

-9.2 81.04

Horas (columnas) 4 C =11.2 25.8

25.8 85.04

Programas(trátamientos) 4 B =420.8 48.8

48.8 177.07

Error 12 W =146 118

118 422.72(

Total 24 T =590 183.4

183.4 765.84

La hipótesis de igualdad de vectores de medias de programas se puede probar us

ando el estadístico: A = = 312601.53 = 0-1539; dado que A* = —

^(2?4,i2) = 0.2855, entonces corno A*<At, se rechaza Ho y se concluye que existe sufi-

cíente evidencia para declarar que hay diferencias significativas en el vector de medias

de programas a un nivel de significancia del 5%..

En el programa No. 6 del apéndice se muestran las intrucciones de SAS y parte


6 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR DE DOS FACTORES CON

n OBSERVACIONES POR CELDA

6.1 Caso Univariado

6.1.1 Introducción

Con frecuencia se plantean experimentos para estudiar simultáneamente el efecto

producido por dos o más factores. Cuando se presenta esta situación se dice que se

tiene un arreglo factorial de tratamientos

Los arreglos factoriales no son propiamente un diseño experimental. Se trata de

una técnica que se vale de algunos de los diseños vistos en los capítulos anteriores

para la realización del experimento. El aspecto importante de esta información es el

conocimiento de las ”interacciones”.

Por arreglo factorial completo se entiende aquel en donde se investigan todas las

posibles combinaciones de los niveles de cada factor en cada ensayo o repetición del

experimento. Digamos si existen tres niveles del factor A y dos niveles del factor B,

entonces cada repetición del experimento contiene todas las 3 x 2 combinaciones de

tratamientos.

Se dice que existe interacción entre los factores de un experimento, cuando la

diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los

niveles de los otros factores.

Para efectuar el análisis de un experimento factorial bajo cualquier diseño clásico

es necesario tener más de úna observación por celda. El caso más simple de un

experimento factorial es aquel que implica sólo dos factores con dos repeticiones por

celda.

Los experimentos factoriales presentan importantes ventajas, entre las que desta-I

can las siguientes:i

• Son más eficientes que los experimentos de un sólo factor.

• Si existe interacción entre los factores, esta puede análizarse.

• Se llegan a conclusiones más reales y completas.

Para introducir el plan factorial ox fc, donde a es el número de niveles de un factor

A y b es el número de niveles de otro factor, digamos, B. Así el experimento contará

con a x b tratamientos.

Dado un diseño completamenta el azar con con k repeticiones por celda, la tabla

de observaciones es la siguiente:

Factor B

Factor A

Ai A¡ Aa Tot,

ym ym 2/oii

Biym ym 2/o12

2/.i.

yun y21n 2/aln

2/121 2/221 2/o21

b22/122 2/222 2/a22

y.2.

2/l2n Y22n 2/a2n

2/lbl 2/2bl 2/abl

Bb3/lb2 2/2b2 2/ob2

y.b.

2/lbn 2/2bn y<ibn

Tot 2/1.. 2/2.. ya.. y...

6.1.2 Modelo lineal

El modelo lineal para un DCA cuando se tiene dos factores y n observaciones por

celda es:

Vijk = fi + oii + /3j + + Sijk ;

i = l,2,...,o

j = 1,2,...,6

k - 1,2, ...,n

(7)

donde:

yijk =Es la fc-ésima observación en el j-ésimo nivel del factor B y del i-ésimo nivel

del factor A.

p, =Es la media general.

a¿ =Es el efecto del i-ésimo nivel del factor A.

f3j =Es el efecto del j-ésimo nivel del factor B.

=Es la interacción del j-ésimo nivel del factor B con el i-ésimo nivel del

factor A.

£ijk =Es el error aleatorio.


£ijk~NI(Q,a2)

Adicionalmente se asume que:

¿>=0, ¿& = 0, ¿¿(oj9)«=0

i j i j


La representación matricial del modelo lineal asociado a un DCA con n observaciones

por celda es:

Si cada variable aleatoria y^ de la tabla de observaciones, anterior, está dada

por:

2/m = M + «i + A + (<*/?) n + £iu

2/112 = /z + Q¡1 + /?1 + (<*/?) 11 + £112

2/113 = M + c*i + A + (ot/3)ii + £ii3

Vabn — M + &a + A + (oí0}áb + £obn

Y con el propósito de facilitar la representación, consideramos el ejemplo, donde

¿ = 1,2,3, j = l,2yfc = l,2; entonces la representación matricial del modelo (7) es:

yin 1100101000 00 V

3/112 110010100000 o¡l

í/121 11000101000 0 «2

3/122 110001010000 <*3

3/211 101010001000 A

3/212 101010 001000 fo :

3/221 101001000100 (<*/3)ii

3/222 101001000100 (a/?)i2

3/311 100110000010 (<2/3)21

3/312 100110000010 (a (3) 22

3/321 100101000001 (<2/3)31

3/322 1001010000 0 1 (<2/3)32

Y(i2xl) X(12x12) /3(12x1) E

, Donde q = a + b + ab+l, N = ábn

6.1.4 Análisis de varianzai

El modelo (8) permite probar las hipótesis siguientes:

Ho : «i = o¡2 = • • • = Q¡a = 0

£in

£ll2

£121

£122

£211

£212

£221

£222

£311

£312

£321

£322

(12x1)

Vs

Hi : / O para al menos un i

• II:

Ho : fii = A = • • • = 0b = 0

Vs

H\ : /3j / 0 para al menos un j

• III:

Ho : (a/3)n = (a£)12 = • • • = (a/3)a6 = 0

Vs

Hi : (oí/3)í:¡ 0 para al menos un par (i, j).

La primera hipótesis se refiere a la nulidad de efecto del factor A, la segunda a la

nulidad del efecto de factor B y la tercera respecto a la nulidad de la interacción AB.

El análisis de varianza para DCA con dos factores y con k observaciones por celda

permite particionar la variabilidad total en cuatro fuentes: la atribuida al factor A,

al factor B, a la interacción AB y a la atribuida al error experimental.

Los cálculos correspondientes se resumen en la tabla siguiente:

TABLA ANVA DE UN DCA FACTORIAL axb CON n OBSERVACIONES POR

CELDA

Fuente de Grados de Suma de cuadrados

variacióni libertad

Factor A1 a — 1 SCA = na£(yi —y _)2 i

.Factor B 6-1 SCB = nb^(y,},-yy i

■Interacción (a - 1)(6 - 1) SCab = n ¿¿ - yL -i j

Error ab(n — 1) SC, =¿é£ (!/«* -5«.)2i j k

Total abn — 1 SC«„,=¿¿£(!,yt-!/...)2i j fc

Cuadrados

medios

CMa = ^

CMs = ga

y y

CMe = ^ñ

Para fines prácticos se recomiendan las siguientes formulas:

Fc = N = abn

‘ SC^ =¿¿£ yljk - Fc i j k

£»iSCa = ^--Fc

• b

,SCb = ^-Fc

SCab « - Fc-SCa-SCb

SCe =SCtot-SCA-SCfl-SC,iB

Donde debemos calcular F¿ = Fb — y Fab — cuyos valores nos

permiten probar las hipótesis en I, II y III siguiendo los siguientes criterios:

• Respecto al factor A, si Ho es verdadera, entonces Fa ~ ,F^_â y F? =

Fabfn-i'ia es 1111 val°r de tablas al nivel a de significancia. Entoces se rechazal

Ho si Fa > Ft.

• Respecto al factor B, si Ho es verdadera, entonces Fa ~ F<íb(i-I),a y Ft =

' ô¿(n-i) q es 1111 val°r de tablas al nivel a de significancia. Entonces se rechaza

Hq si Fb > Ft

• Respecto a la interacción AB, si Ho es verdadera, entonces Fab ~ F^^r^ y

Ft = F^îycP es un valor de tablas al nivel a de significancia. Entonces se

rechaza Ho si Fab > Ft-

6.1.5 Ejemplo

Las observaciones siguientes son el puntaje de una prueba de rendimiento de personas

que se capacitan bajo tres métodos de instrucción y para cuatro áreas temáticas.

Método de intrucción

Area temática Ax a2 a3 total (j/.y.)

70 83 81

Bx 79 89 86 717 ''

72 78 79

77 77 74

b2 81 87 69 709

79 88 77

82 94 72

b3 78 83 79 722

80 79 75

85 84 68

b4 90 90 71 732

87 88 69

total 960 1020 900 2880

, El modelo lineal para este caso particular es:

Vijk = f¿ + Qi+ /3j + + £ijk ; < 3 = 1,2,3,4

k = 1,2,3V

donde:

y^k =Es el porcentaje obtenido en la Zc-ésima observación del i-ésimo y de la

j'-ésimo método del área temática.

p, =Media general.

=Es el efecto del i-ésimo método.

0j =Es el efecto del j-ésima área temática.

=Efecto de la interacción del i-ésimo método y la j-ésima área temática.

£ijk =Error aleatorio.

Con respecto a métodos, tenemos la siguiente hipótesis:

Ho : Qi = q2 — q3 = 0

Vs

Hi : oíí 0 para al menos un i

Con respecto al área temática, se plantea:

Hq : /?1 — /?2 — 03 — & — 0

Vs

Hi : / O Para menos un j

Y con respecto a la interacción AxB, tendríamos:

Ho : (a/3)n = (a/?)i2 = • • • = (a(3)-u = 0

Vs

Hi : / 0 para al menos un par (¿7).

Cálculos:

= ^5 = 230400

SCto( = E EEyljk -Fe = [(70)2 + (79)2 +... + (69)2] - Fc = 232000 - 230400

= 16003

SCX = - Fc = [í?6°)!±(i02012+(9Qg)2j _ Fc = 231000 - 230400 = 6004v-'k 2

SCB = - Fc = [pi7)L+(7O9^+(7i222+(732)2 ] _ = 230430.8 - 230400 = 30.83 4

SCxB = -Hr~ ~ Fc-SCx-SCb = pl)2±l237)2+.,:.+(208X2j _ 230400 _ 600 _ 30 8

533.9

SCe =SCtot-SC4-SCB-SC?iB = 1600 - 600 - 30.8 - 533.9 = 435.3

Finalmente ordenando los resultados la tabla ANVA nos queda:

TABLA ANVA PARA UN DCA FACTORIAL axb

F.V g-1 SC CM Fo

métodos 2 600 300 16.57

área temática 3 30.8 10.3 0.57

interacción AxB 6 533.9 89.0 4.92

Error 24 435.3 18.1

Total 35 1600

Implementando la regla de decisión, con a = 0.05, tenemos que con respecto a

métodos:

Ft — Fmqsx = 3.4, dado que FO=16.57>FÍ=3.24, se rechaza Ho. La conclusión a la

que llegamos es que existe suficiente evidencia para declarar diferencias significativas

en los puntajes de la prueba para los diferentes métodos de instrucción a un nivel de

significancia del 5%.

J Con respecto al área temática: Ft = F^.o.os = 3.01, dado que Fo=0.57<Ft=3.01,

no se rechaza Ho. La conclusión a la que llegamos es que no se detecta suficiente evi-

dencia para decir que hay diferencias significativas entre las diferentes áreas temáticas

a un nivel de significancia del 5%.

Con respecto a la interacción:

Ft = F§4,o.o5 = 2.5, dado que Fo=4.92>Ft=2.51, se rechaza Hq. La conclusión

a la que llegamos es que existe suficiente evidencia para declarar una interacción

importante entre los dos factores. Esto quiere decir que varia la efectividad de los

tres métodos de instrucción para las diferentes áreas temáticas.

En el programa No.7 del apéndice se muestra las intrucciones de SAS y parte de


I


6.2.1 Introducción

El proceso univariado de un modelo con dos factores con interacción se extiende de

manera lógica al caso múltivariado. Se considera ahora a la observación y^k como un

vector de observaciones de las p variables bajo estudio Yi, Yi, Yp-

Si consideramos un DCA con dos factores (A,B)j el primero con á niveles (Ai ,A2,...,AO)

y el segundo con b niveles (Bi,B&), con n observaciones por cada tratamiento

(combinación). Las observaciones se pueden ordenar en una tabla como la siguiente:


IAi a2 ••• / la

Yi y2 • • Yp Yi y2 • • Yp Yi y2 • Yp

í/m 2/in • • 2/iu 2/211 2/211 • 3/211 J/oll 2/all • 2/all

Ba 2/112 2/112 ' 2/112 2/212 2/212 • • 2/212 2/al2 2/al2 • • 2/o12

i

j2/lln 2/lln ' ’ 2/lln 2/21n 2/21n 2/21n 2/oln 2/oln 2/oln

2/121 2/121 ' 2/121 2/221 2/221 • 2/221 2/a21 2/o21 2/a21

*b22/122 2/122 ’ ‘ 2/122 2/222 2/222 ’ ‘ 3/222 3/a22 3/o22 ’ 3/a22

í Vlln 2/l2n ’ 2/l2n 2/22n 2/22n 3/22n 2/a2n 2/o2n 2/o2n

1

2/ibi 2/lbl • ’ 2/lbl 2/261 2/261 ’ 2/261 2/abl 2/abl ' 2/abl

1Jb6

1

2/162 2/162 • ' 2/162 2/262 2/262 ‘ 3/262 2/a62 2/ab2 ’ 2/o62

1.2/lbn 2/lbn 2/lbn 2/2bn 2/2bn 2/2bn 2/abn 2/abn Vabn

6.2.2 Modelo lineal

La representación del modelo para un DCA con dos factores con n observaciones por

celda en el caso multivarado:

✓

yijk = p + Oíi +/3j + (a/3)í¿ + £ijk ; <

* = 1,2,

j = 1,2, ;b (8)

k = 1, 2, ...,n

donde:

yijk =Es un vector de p observaciones correspondientes a la unidad experimental

A;-ésima que recibió la combinación (i,j) de los tratamientos.

p. =Vector de las medias general.

Q£j = Vector de los efectos del z-ésimo nivel del factor A.

f3j = Vector de los efectos del j-ésimo nivel del factor B.

{pL0}ij =Vector de los efectos del la interacción AxB.

£ijk =Vector de los errores aleatorios.

Con la restricción de:

É Pj =É («0)y =Z («^)v = 0i Í i 3

La representación resumida de los supuestos es:

eiifc~2Vp/(0,E)


Si y^k denota un vector de p variables, en donde i es el nivel del factor A y j es el

nivel del factor B y k es el índice de repetición de cada posible combinación de los

niveles de los dos factores A y B.

Cada observación se representa por:

Yin = M + <*1 ++ (o¡/3)n + £111

yin — + <*i + Pi + (0/3)11 + £112

yObn = tí + Ota + A + (OLp)ab + eabn

Sea y‘jfc = (yyfc.yyfc, —,yijk) ■ Con elpropósito de facilitar la representación ma

tricial, consideramos el caso donde -¿ = 1,2,3, j = 1,2, k = 1,2 y p variables, entonces

la notación matricial del modelo (9) es:

Yin 1

Yin 1

yÍ2i 1

yÍ22 1

yin 1

yin 1

y‘22i 1

Y222 1

yin 1

yin 1

Y321 1

Y322 1

I

, Y(12xp)

10 0 10

10 0 10

1 0 0 0 1

1 0 0 0 1

0 10 10

0 10 10

0 10 0 1

0 10 0 1

0 0 110

0 0 110

0 0 10 1

0 0 10 1

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

Mil Ml2 Mlp

«n «12 «lp

«21 «22 &2p

«31 «32 «3p

Ai A2 Ap

Ai A2 Ap

(«Ani («A 112 • • • («Anp

(«A 121 («A 122 ’ • • («Al2p

(«A211 («A212 ’ ' • («/^)21p

(«A 221 (ck/3)222 ‘ '• • («/^)22p

(«A311 («A312 ’ ' • («/?)31p

(«A321 («A322 ‘ ' • («A32p

+

-111

.t'112

-tl121

-t1122

-t=•211

='212

-221

-t-222

-311

-312

-321

-322

X(i2xl2) ^(12xp) E(i2xp)

: Donde: q = a, + b + ab + l, N — abn


El modelo lineal (9) permite probar las hipótesis siguientes:

• Con respecto al factor A

Ho : a¡i = o¡2 = • • ■ = <*o = O

Vs

Hi : Oíí / O para al menos un i

• Con respecto al factor B.

Ho : = /32 = • • • = f3b = 0

Vs

Hi : 0 para al menos un j

• Con respecto a la interacción:

Ho : (a/3)n = (a/3)12 = ■ • • = (a/3)a6 = 0

Vs

Hi : (oí(3)íí / 0 para al menos un par (¿j).

El procedimiento para calcular los juegos de hipótesis anteriores es un análisis de

varianza multivariado. Los cálculos correspondientes para este diseño se resumen en

la tabla siguiente:

TABLA ANVA MULTIVARIADO PARA UN DCAFACTORIAL axb

Fuente de variación Grados de libertad Matrices de suma de cuadrados y productos cruzados

1 Factor A a — 1 A =E 6n(y¿. - y J(yc - y.j*i

i Factor B 6-1 B =E an(y- y.j (y.j. - y.j*3

Interacción AB (a-l)(6-l) AB =EE (yj. - y¿ - y ¿ + y. J(yü. - y¿.. - y.j. + y..• 3

Error ab(n — 1) w =EEE (yak - yij.)(yijk - y^.)*» 3 fc

Total abn — 1 T =¿¿£ (y«* - y...)(y¡jfc - y...)>i j k

Para fines prácticos se recomiendan las formulas siguientes:i

Factor de corrección Fc =

T yofcy| .fc - Fc’ i j k• A = ¿ ¿ y¿..yt - Fcf l

, B = £ E y .¿y*. - Fc■ 3

1 ab yij.yíj. - Fc - A - BI * 3

¡W = T- A- B-AB

Para probar la hipótesis del efecto del factor A, se calcula el estadístico

A* = i si Ho, es cierta entonces

A* ~ t/¿,o-i,o6(n-i)) At = ^,a-i,ab(n-i))> a es un valor de tablas al nivel a de

significancia. Entonces si A* < At, se rechaza Hq a un nivel de significancia a.

Para probar la hipótesis del efecto del factor B, se calcula el estadístico A* =? «

si H0,es cierta entonces A* ~ y At = a es un valor de

tablas al nivel a de significancia. Entonces si A* < At, se rechaza Ho a un nivel de

significancia a.

Para probar la hipótesis del efecto de la interacción AB, se calcula también el

estadístico A* = si H0,es cierta entonces A* ~ U^a-i)(b-i),ab(n-i))^ At =

-i)(6-i),af>(n-i))> a un valor de tablas al nivel a de significancia. Entonces si

A* < A(, se rechaza Hq a un nivel de significancia a. ¡

6.2.5 Ejemplo

Se realizó un experimento para evaluar la comprensión de lectura (Vi) y velocidad

de lectura (Y2) se eligieron al azar N = 30 estudiantes, dividiéndolos en seisigrupos

de cinco cada uno. Los grupos fueron asignados al azar a dos tratamientos (método

tradicional y método no tradicional) y considerando por otro lado tres maestros,

entonces se tiene cinco observaciones en cada celda; los datos se presentan en la tabla

siguiente:

Factor A Método tradicional Método no tradicional

y.j.

Maestreo 1

Maestreo 2

Maestreo 3

Yi y2 Yi y2 y¿..

10 21 9 14

12 22 8 15

9 19 11 16 101 185

10 21 9 17

14 23 9 17

11 23 11 15

14 27 12 18

13 24 10 16 118 708

15 26 9 17

14 24 9 18

8 17 9 22

7 15 8 18

10 18 10 17 84 181

8 17 9 19

7 19 8 19

162 316 141 258 303 574

El modelo lineal es:

í= 1,2,3

yijk = /X + a< + + (a/3)v + eijk ; < 3 = 1,2

k = 1,2,3,4,5

donde:

yijk =Es un vector de observaciones de dimensión (p = 2), que corresponde a la

observación A;-ésima, que recibió la combinación (i, j) de los factores en estudio..

fj, = Vector de las medias generales.

oti =Vector de los efectos del factor maestros.

= Vector de los efectos del factor método.

(pcftyij =Vector de los efectos de la interacción métodos por maestros.

£íjk = Vector de los errores aleatorios.

Las hipótesis a probar son:

• Con respecto a maestros:

Ho : = a2 = a3 = Q

■ Vs

Hi : 0 para al menos un i

• Con respecto a métodos:

Ho : fli = fii — O

Vs

Hi : ¡3j / 0 para al menos un j

• Con respecto a la interacción AxB:

Ho : (a/3)ij = 0

Vs

Hi : (o¿/3)ij / 0 para al menos un par (ij).

A continuación mostramos los cálculos:

yi...=Total de variable Yj

?/2...=Total de variable Y2

2V=3x 2x5=30

s/.-.í/L _ iN — N

yl.. yi...y2... _ i30

(303)2 (303) (574)

y-í...V2... vi... (303)(574) (574)2

3060.3 5797.4

5797.4 10982.5

abnf r

10T y¿jfcyU - fc = .

¿ j k21

10 21 +12

2212 22 +

F,

9 Z \ 9 Z \ 89 19 +••• + 9 19 I +

19 \ / 19 \ / 198 19 } “ Fc

3199 5955

5955 11322

a = ¿ £ y¿..y¿.. - fc = inb ~»

84

181

3060.3 5797.4

5797.4 10982.5

101

185

138.7 157.6

157.6 339.5

11810 101 185 +'

208118 208

10

84 181

- •31181 58433 3060.3 5797.4 57.8 45.9

58433 110250 5797.4 10982.5 45.9 42.5

B = £ £ y.j.y5. - Fc = ¿ , j

162

316162 316 +

3075 5838 3060.3 5797.4

5838 1194.6 5797.4 10982.5

a bAB =E£ y¿ .y^. -Fc-A-B = ¿

* j

+...+44

9544 95

55

106

- Fc - A - B

141

258141 258

14.7 40.6

40.6 112.13

55 106 | +67

12467

57.8 45.9

45.9 42.5AB =

3153.4 5935.2

5935.2 11267.2

3060.3 5797.4

5797.4 10982.5

20.6 51.3

51.3 130.1

138.7 157.6 57.8 45.9w = T — A-B - AB = —

157.6 339.5 45.9 42.5p p *

45.9 19.8

19.8 54.8

14.7 40.6

40.6 112.13

20.6 51.3

51.3 130.1La tabla siguiente contiene los resultados de los cálculos:

14.7

40.6

40.6

112.13

TABLA ANVA MULTIVARIADO DE UN DCA FACTORIAL axb

F.V g.l Matrices de SC y PC

Maestros (A) 2

Métodos (B) 1

Interacción (AB) 2 AB

Error 24

A =

B =

57.8 45.9

45.9 42.5

14.7 40.6

40.6 112.13

20.6 51.3

51.3 130.1

45.9 19.8

19.8 54.8W =

Total 29 T =138.7 157.6

157.6 339.5

Para probar la hipótesis de igualdad del vector de efecto de maestros se calcula:

A = ]a+w| = 5773.5 = 0-368, y se busca At = U^a_lab^n_1^ = í^p¡^24) = 0.668.

Puesto que A* < At, entonces se rechaza HOi y se concluye que existe suficiente

evidencia para declarar que hay diferencias significativas en los vectores de medias

del factor maestros, a un nivel de significancia del 5%.

Para probar la hipótesis del vector métodos se calcula: A* = =

0.328, y se busca At = U^<b_Xab{n_i}) = = °-771- Puesto Que A* < At,

entonces se rechaza Ho, y se concluye que existe suficiente evidencia para declarar

que hay diferencias significativas en los vectores de medias del factor métodos a un

nivel de significancia del 5%.

Para probar la hipótesis del vector de la interacción se calcula: A* = =

fÜÜ! = 0.293, y se busca At = = ^°2524) = 0-668. Puesto que

A* < At, entonces se rechaza Ho, y se concluye que existe suficiente evidencia para

declarar que hay diferencias significativas en los vectores de medias de la interacción

(maestros x métodos).

En el programa No. 8 del apéndice se muestran las intrucciones de SAS y parte


7 BIBLIOGRAFIA

[ ] Cochran y Cox (1974). Diseños Experimentales; Edit Trillas, México.

[ ] Galán H. H. (1995) Monografía: Diseños y Análisis de Experimentos. Fac. de

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[ ] Johnson, R. A.,and Wichern D.W. (1980) Applied Multivariate Statistical Anal

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[ ] Timm N.H. (1975). Multivariate Analysis whith Applications in Education and

Psychology. BrooksCole,California.

8 APENDICES

8.1 Tablas.

8.2 Programas y salidas de SAS.

TAB

LE IV

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O.

Tabla O. Valore» (aleccionado» da X¿ltr|En la distribución Ji-Cuadrada con P grado» da libertadla tabla proporciona al valor X¿(P) tal que ?(xj > X¿(PH “O.

a0.001 0.005 0.010 .0.026 0.060 0.950 0.876 0.990 0.996 0.999

1 10.8276 7 8794 6 6349 5.0239 3.8415 0.0039 0.0010 0.0002 0.0000 0.00002 13.8155 10 5966 9.2103 7 3778 5 9915 0.1026 0.0506 0.0201 0.0100 0.00203 16.2662 12.8382 11.3449 9 3484 7.8147 0.3618 0.2158 0.1148 0.0717 0.02434 18.4668 ,4 8603 13.2767 ,1.1433 9.4877 0.7,07 0.4844 0.2971 0.2070 0.09085 20.5150 16.7496 15.0863 12.8325 11.0705 1.1455 0.8312 0.5543 0.4117 0.21026 22.4577 18.5476 16.8119 14.4494 12.5916 1.6354 1.2373 0.8721 0.6767 0.38117 24.3219 20.2777 18.4753 16.0128 14.0671 2.1673 1.6899 1.2390 0.9893 0.59868 26.1244 21.9550 20.0902 17.5345 15.5073 2.7326 2.1797 1.6465 1.3444 0.85719 27.8771 23.5893 21.6660 19.0228 16.9190 3.3251 2.7004 2.0879 1.7349 1.16,9

10 29.5883 25.1882 23.2092 20.4832 18.3070 3.9403 3.2470 2.5582 2.1559 1,478711 31 2641 26,7568 24.7250 21.9200 19.6751 4.5748 3.8157 3.0535 2.6032 1.833912 32.9095 28.2995 26.2170 23.3367 21.0261 5.2260 4.4038 3.5706 3.0738 2.214213 34.5282 29.8195 27.6882 24.7356 22.3620 5.8919 5.0088 4.1069 3.5650 2.6172,4 36.1233 31.3193 29.1412 26.1189 23.6848 6.5706 5.6287 4.6604 4.0747 3.040715 37.6973 32.8013 30.5779 27.4884 24.9958 7.2609 6.262, 5.2293 4.6009 3.482716 39.2523 34.2672 31.9999 28.8453 26.2962 7.9616 6.9077 5.8122 5.1422 3.94,617 40.7902 35.7185 33.4087 30.1910 27.5871 8.6718 7.5642 6.4078 5.6972 4.416118 42.3124 37.1564 34.8053 31.5264 28.8693 9.3905 8.2307 7.0149 6.2648 4.904819 43.8202 38.5823 36.1909 32.8523 30.1435 10.1,70 8.9065 7.6327 6.8440 5.406820 45 3147 39.9968 37.5662 34 , 696 31.4104 10.8508 9.5908 8.2604 7.4338 5.921021 46.7970 41 4011 38.9322 35 4789 32.6706 11.5913 10.2829 8.8972 • 8.0337 6.446722 48.2679 42.7956 40.2894 36 7807 339244 12.3380 10.9823 9 5425 8.6427 6.983023 49.7282 44.1813 41 6384 38.0756 35.1725 13.0905 11.6886 10.1957 9.2604 7.529224 51.1786 45.5585 42.9798 39.3641 36.4,50 13.8484 12.4012 10.8564 9.8862 8.084925 52.6,96 46.9279 44.3141 40.6465 37.6525 14.61,4 13.1197 11.5240 10.5197 8.649326 54.0519 48.2899 45.64,7 41.9232 38.8851 ,5.3792 ,3 8439 12.1981 ,1.1602 9.222,27 55.4760 49.6449 46.9629 43.1945 40.1133 16.1514 14.5734 12.8785 11.8076 9.802828 56.8922 50 9934 48.2782 44.4608 41.3371 16.9279 ,5.3079 ,3.5647 12.46,3 10.390929 58 30,, 52 3356 49 5879 45.7223 42.5570 ,7.7084 16.0471 14.2565 13.12,1 10.986130 59 7030 53 6720 50 8922 46 9792 43 7730 18.4927 ,6 7908 ,4.9535 ,3.7867 11.588031 61.0983 55.0027 52.1914 48 2319 44 9853 19.2806 17.5387 ,5.6555 14.4578 12.196332 62.4872 56.3281 53.4858 49.4804 46 1943 20.07,9 18.2908 16.3622 15.1340 12.8,0733 63.8701 57.6484 54.7755 50.725, 47.3999 20.8665 19.0467 ,7.0735 15.8153 13.430934 65.2472 58 9639 56.0609 51.9660 48.6024 21.6643 19.8063 17.7891 16.5013 14.056735 66.6188 60.2748 57.3421 53.2033 49.8018 22.4650 20.5694 18.5089 ,7.1918 14.687836 67.9851 61.5812 58.6192 54.4373 50.9985 23 2686 21.3359 ,9.2327 17.8867 ,5.324,37 69 3464 62.8833 59.8925 55.6680 52.1923 24.0749 22.1056 ,9.9602 ,8.5858 15.965338 70.7028 64.1814 61.1621 56.8955 53.3835 24.8839 22.8785 20.69,4 19.2889 16.611239 72 0546 65.4756 62.428, 58.120, 54.5722 25 6954 23.6543 21.4262 19.9959 ,7.26,640 73.4019 66.7660 63.6907 59.3417 55.7585 26.5093 24.4330 22.1643 20.7065 17.916441 74.7449 68.0527 64.9501 60.5606 56.9424 27.3256 25.2145 22.9056 2, .4208 18.575442 76.0837 69.3360 66.2062 61.7768 58.1240 28.1440 25.9987 23.6501 22.1385 19.238543 77.4186 70.6,59 67.4593 62.9904 59.3035 28.9647 26.7854 24.3976 22.8595 19.905544 78.7495 71 8925 68.7095 64.2015 60.4809 29.7875 27.5746 25.1480 23.5837 20.576345 80.0767 73.1661 69.9568 65.4102 61.6562 30.6123 28.3662 25.9013 24.3,10 21.250746 81.4003 74.4365 71.20,4 66.6,65 62.8296 31.4390 29.1601 26.6572 25.0413 21.928747 82 7204 75.704, 72.4433 67.8206 64.0011 32.2676 29.9562 27.4158 25.7746 22.610148 84.0371 76.9688 73.6826 69.0226 65.1708 33.0981 30.7545 28.1770 26.5106 23.294949 85.3505 78.2307 74.9195 70.2224 66.3386 33.9303 31.5549 28.9406 27.2493 23.982850 86.6608 79.4900 76.1539 71.4202 67.5048 34.7643 32.3574 29.7067 27.9907 24.673960 99.6072 91.95,7 88.3794 83.2977 79.08,9 43.1880 40.4817 37.4849 35.5345 31.738370 1,2.3169 ,04.2149 100.4252 95.0232 90.5312 51.7393 48.7576 45.4417 43.2752 39.036480 124.8392 116.3211 112.3288 ,06.6286 101.8795 60.3915 57.1532 53.5401 51.1719 46.519990 137.2084 128.2989 124.1163 118.1359 113.1453 69.1260 65.6466 61.754, 59.1963 54.1552

100 149 4493 140 1695 135.8067 129.5612 124.3421 77.9295 74.2219 70.0649 67.3276 61.9179

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TABLE IX. Lo*«r Ptrctnujt Poinu oí Wilk»1 UmM» Crtt«rio«. «,«)2-1 o *99) Wt>» krpaibaM<«

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o.oooofco0.000000 0.009000 o.oooooo 0

0.009000 0.000400 0.090990 9.000000 0 .000090 O.OOOOOO 0.000000 0.900000 o.oooooo O.OOOOOO o.oooooo 9o.oooooo 0.000000 9.000000 0.000000 0.000000 o.oooooo 0.000009 0.999000 9.009000 0,000006 0.000000 o.oooooo 6

0.000000 0.070000 0.009033 0.000009 9.000000 0.090090 0.090000 0.000009 o.oooooo o.oooooo 0.000000 0.000000 10.090000 0.090000 0.000007 0.900000 0.000009 0.000090 0 .000009 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 •0.000154 0.004031 0.09000* 0.000001 9.000001 0.000000 9.000000 0.000000 0.000000 0.000000 o.oooooo 0.000000 /0.90)291 0.09037) 0.000003 0.3009/4 0.000012 7 .090006 0.09000) 0.000002 0.0000031 0.000003 0.000003 0.000000 8O.Ol»0»7 0.002*1/ 0.000*19 0.000/18 0.00008/ 0.0000*0 0.000020 0.090031 0.00000* 0.00000* 0.000005 0.00009/ 10.9*>1/4 0.30*620 0.00/410 0.0000*2 0.000)63 0.0901*4 0.900000 0.00004* 0.0000/0 0.00001/ 0.090011 0.000000 100.0 »*0 19 •7.73 90)3 0.0063*4 0.902165 0.0010)2 0.000*4/ 0.000214 0.0003*4 0.000061 0.000092 0.00003* 0.00002) II0.134**0 ).3 3113 4 0.03/03( 0.00474) 0.00/30* 0.003 3 11 0.000636 0.000)¿8 0.000207 0.0003 50 0.00500* 0.00001* 120.115*30 0.010118 0,0(9440 0.00870* 0.0043)1 0.0022*1 0.00(212 0.000*2* 0.0004*3 0.9002/1 0.100113 1.000122 320.190*41 0.0*7/10 0.024*34 0.93*329 0.00/216 0.901411 0.00221* O.OOlDI 0.0008/4 0.00012/ 0.0003*2 0.000211 I*3.?2l4»> 0.070)1» 0.0*3 /« 3 0.020140 0.03 04*0 0.09*1 /) 0.00)620 0.0022(1 0.003 344 0.000430 0.090*00 0.000*3* 110./14**) 0.(1(241 0.0136/1 0.0243*3 0.031610 0.00*0*1 O.OO14/0 0.00)422 0.002/95 0.00149/ 0.000402 0.000*0) 100.247300 0.1)21/1 0.06»«*» 0.030/29 0.023063 0.0(214* 0.097*03 0.00*482 0.00)204 0.00234* 0.001104 0.001012 1*3.>18301 0.11)838 0.901099 0.046311 0.02/261 9.01*7*9 0.9100(1 0.00*411 0.00*43/ O.OO)ll( 0.00/34* 0.105111 113.3**/** 0. 3 /4 4I* 0.04*«|1 9.056115 0.0)41 4* 0.02(4/2 0.03 >700 0.009/20 O.OOA/Al 0.00*3)4 0.003000 0.00210* 300.3*0011 0.391)19 0.313*10 0.066601 0.0*1016 0.0/***/ 0.03 7*1) 0.01 i•/> 0.000219 0.001*/I 0.00*1/0 0.002002 200.14)14/ 0.2(1 |/« 0,3 26414 9.0*765» 0.0*4603 0.0)/l|4 0.023041 0.01*491 0.010*8) 9,00**1* 0.001300 0.00)0*0 210.4 31/3 / 0.2.3* /70 0.1*3 »24 0.9872)) 0.046021 0.05*/)/ 0.026410 0.0(6*30 0.03 591) 0.006)4* 0.00**6> 0.001020 220.4)1*)/ 0.21)160 0.3168/6 0.100*4) 0.06600* 0,0*1)10 9.0)14)1 0.0/214/ 0.03492) 0.0(154) 0.091111 0.001)40 219,*)•»*4 0.2»!* 3/ 0.1Zl*91 0.112606 0.0/1*8* 0.012 )(1 0.0 50/04 o.o/*/*/ 0.039041 0.03*0*3 1.0104*2 ••102011 210.4 »?0» » 0.289224 0.3 4*1*4 3.12441/ 0.061» 97 0.91*5/) 0.0*2416 0.0)0*01 0.0/2111 0.03**)) 0.01/1*) 0.0041*1 210.447514 0. >060/2 0.20(0/5 0.3163)1 0.04*641 0.06*043 e.0*4)*6 0.0)1)*I 0.0/4210 0.0346*) 0.03401* 0.011*24 210,401 11/ 0. 5/2/94 9.2115)1 0.(48/0) 9.10*3)2 0.0/4*26 0.01*121 0.0*024) 0.0)0310 0.022031 0.01*4*1 ••lt)**2 2*0.1/02/3 0. D/880 0.224/9 > 0.3*00(0 0.|1*000 0.0*/ 717 0.0*0926 0.0*1*42 O.O)«)34 0.0201*4 0.0/0102 0.0(1044 210.1)4)45 0.>4/8/4 0.2*/4*4 9.3▼(221 0.3/)4«« 0.040/4* 9.00/II* 0.0104)3 0.0)8/00 0.024*1* 0.02)10* 0.010004 243.14 /0S4 0.51/59/ 0.21*2” 0.1*31)0 0. 1 >3*1) 9.04*90/ 0.0*42*0 0.040)4* 0.0*J2/0 0.0)1124 9.02*20* 0.020011 200.**9*30 9.40*8/6 O.)/I4O2 9.2*7*5/ 0.228010 0.1*2962 0.1*61)1 0.136)3* 0.04*)6l 0.0*1*0* 0.0110*0 0.01)04* *1O./)/**O 0.12/2/4 0,12/101 0. *4/00* 0. )0»*62 0. >2/211 0.2030/0 0.2*J4I9 0.21(»(• O.ll*)** 0. (*(0(1 O.t«3O3l 100.931/4 1 9. 700*4> 0.6//849 1.4105// 0.4*0*44 9.4)1*21 0. >66*72 0,)*10OO 0.>32/04 0.213 21) 0.21)441 0.220**0 M0.010/4/ 0. 76 3 )10 >.*•*•3 9 9.022*13 0.4*18)0 0.4356*/ O.A/O01* O.*)O*/| 0.)4«02/ 0. )82)/2 0.>1/4)1 0.204)10 1000.4/4*33 0.71/45» 0. / 52*21 0.6/4»4( 0.62)211 9.1*0/** 0.11*146 O.«4*l6/ 0.46113* 0.42*942 0.)44«4| 0.222)20 120i.H1 2/31 9.4/4 »|7 0. /**1|0 7. *34114 9.*4/44/ 0.0/4121 0.1*706/ 0,1*8/3 / 0.13133/ l.***00/ 0.414(20 0.4/0240 1*00.71 4/4 3 0, «* (4/4 9.90*054 9. 7467/0 0. /> »*7) □.*/*!•3 0.** >1/2 O.*l02*/ 0.1/9(10 0.14440* 0.12/«/t 0.440001 1209.7? 3714 0.4'* //I 0. • 31 20* 0 ./ 73 4 1 0 0. 71*12» 0. *29003 *•*«//*« O.*1/)*O 0.0/86*2 0.601500 0.1/11/0 0.111*20 200>.738 >«* 0.«74 >51 0.Al>55* 7.82 M2 1 7. /«♦1 1 • 0. 7*76*7 0. / 1/2*6 0.*040/4 0.0/72 >« 0.81**01 O.*)3100 ••*010*1 2*0*.«••/» 0 4 0.7/7217 0.*♦(* •) ).8**580 0.8)7,14 0.*1 * 7* • ».*43 *•• 0.7*41*0 0.Z782I6 0./2/014 O.*O*0*t 0.*00222 1207 . 7«7V4/ 1.741414 0.* 290 * 5 7. * »7 t • 1 9.88046 > 0,4*1«47 1,84 >4*0 0,8/46/4 9,*«7«/l 1,143409 «.»»»**« O./*<>*4 • 401, U» IH 0. .4*8/ ) •l,«((.*5 7. >25574 0 . 'i 3 0 • » / 0 . • »4 *24 O.*«>94) 0.084*24 0.01444* 0.8* ) 74* 9.«>3*«4 0.034)0* 000. , »«4 »* » 0. M./424 7. «15 M / J. 74 J// 1 0.7J/1 1 2 9.7/1*27 0. *3 1 00 0 •.400024 0.040*0* 0.6*0444 O.«/9/O« *•661004 0001.74*541 0.7/t«4« 1. <•*« 1 (* 7.7S* »•* 4.4*1«6| 0.7 3**11 0.42*34* • •41 4041 0.43 1 >62 0.40)3*) 0.0411/2 0.0*2(02 3 000

3.003000 1.300030 3.0)7070 1.909090 3.000000 1.000009 1 .000009 1.0*000* 1.00090* 1.0000** 1 .900000 1,0*0000 IX

DATA AN0VA1; * PROGRAMA No. 1;* PROGRAMA SAS PARA ANALIZAR DATOS DE UN DISEÑO CÓMPLETAMENTE AL AZAR; INPUT TRAT$ RESP;CARDS;a 8.4a 7.6a 8.2a 10.2b 12.3b 15.2b 10.6b 11.7b 12.5b 15.6c 4.3c 5.9c 4.7c 4.9c 6.1c 5.2d 8.2d 10.1d 10.4d 12.6d 9.8d 11.7e 5.1e 7.2e 6.7e 6.5e 6.3

PROC GLM;CLASS TRAT;MODEL RESP=TRAT;OUTPUT OUT=SALIDA PREDICTED=P RESIDUAL=R; PROC PRINT DATA=SALIDA;PROC PLOT DATA=SALIDA;PLOT R*TRAT="*";PLOT R*P="PROC UNIVARIATE DATA=SALIDA NORMAL PLOT; VAR R; RUN;

General Linear Modele Procedure Clase Level Information

Clase Levels Valúes

TRAT 5 a b c d e

Number of observations in data set = 27

General Linear Models Procedure

Dependent Variable: RESP

Source DF Type III SS Mean Square F Valué Pr > F

TRAT 4 230.0720741 57.5180185 31.46 0.0001

INTERPRETACION:EL VALOR DE Fo= 31.46 COINCIDE CON EL RESULTADO OBTENIDO

EN FORMA MANUAL, POR LO TANTO SE TIENE LA MISMA INTERPRETACION:SE RECHAZA LA HIPOTESIS Ho Y SE CONCLUYE QUE EXISTE SUFICIENTE EVIDENCIA PARA DECIR QUE LOS TRATAMIENTOS SON DIFERENTES.

NOTA :LOS RESULTADOS DEL MODELO TIPO III SON LOS QUE SE USAN EN EL CASO DE LOS DISEÑOS EXPERIMENTALES.

LISTADOS DE OBSERVACIONES Y RESULTADOS

OBS TRAT RESP PRED. RESIl

1 a 8.4 8.6000 -0.200002 a 7.6 8.6000 -1.000003 a 8.2 8.6000 -0.400004 a 10.2 8.6000 1.600005 b 12.3 12.9833 -0.683336 b 15.2 12.9833 2.216677 b 10.6 12.9833 -2.383338 b 11.7 12.9833 -1.283339 b 12.5 12.9833 -0.48333

10 b 15.6 12.9833 2.6166711 c 4.3 5.1833 -0.8833312 c 5.9 5.1833 0.7166713 c 4.7 5.1833 -0.4833314 c 4.9 5.1833 -0.2833315 c 6.1 5.1833 0.9166716 c 5.2 5.1833 0.0166717 d 8.2 10.4667 -2.2666718 d 10.1 10.4667 -0.3666719 d 10.4 10.4667 -0.0666720 d 12.6 10.4667 2.1333321 d 9.8 10.4667 -0.6666722 d 11.7 10.4667 1.2333323 e 5.1 6.3600 -1.2600024 e 7.2 6.3600 0.840U025 e 6.7 6.3600 0.3400026 e 6.5 6.3600 0.1400027 e 6.3 6.3600 -0.06000

(NOTE:Plot of R*TRAT.

9 obs hidden.)Symbol used is

*

-5 +-- +

a

★

★★

★

★

+■d

R

O

★

+ * * ★

★

★

★

**

★

★

*

+b

+c

+e

TRAT

INTERPRETACION:LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA TRATAMIENTOS PERMITE OBSERVAR

SI EL SUPUESTO DE HOMOCEDASTICIDAD SE CUMPLE. EN ESTE CASO SE OBSERVA QUE LA DISPERSION DE LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES A CADA UNO DE LOS TRATAMIENTOS NO ES MUY MARCADA POR LO TANTO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

Plot of R*P. (NOTE: 9 obs hidden.)

Symbol used is '*'.

* *

**

*★

* * * ** * * *

ir★

★*

-5__ +------------- +---------------+------------- +-------------- +----------- ---- + -

4 6 8 10 12 14

P

INTERPRETACION:

LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA VALORES PREDICHOS O ESTIMADO PERMITE OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE INDEPENDENCIA SE CUMPLE. PARA ESTO L DISPERSION DE LOS PUNTOS NO DEBEN PRESENTAR ALGUN PATRON; ES DECIR LOS DATOS SE DISTRIBUYEN AL AZAR. EN NUESTRO CASO PUEDE OBSERVAR QUE SI SE CUMPL CON ESTE SUPUESTO.

UNIVARIATE PROCEDURE

Variable=RMoments

N 27 Sum Wgts 27Mean. 0 Sum 0Std Dev 1.243785 Variance 1.547Skewness 0.308486 Kurtosis 0.0253USS 40.222 CSS 40.222CV Std Mean 0.239366T:Mean=0 0 Prob>¡T¡ 1.0000Sgn Rank -16 Prob>|S1 0.7083Num *= 0 27W:Normal 0.965155 Prob<W 0.5058

INTERPRETACION:DEL CUADRO DE ESTADISTICAS DESCRIPTIVAS, LA ESTADISTICA

DE SHAPIRO-WILK SE UTILIZA PARA PROBAR EL SUPUESTO DE NORMALIDAD. EN NUESTRO CASO EL VALOR CALCULADO ES 0.965155, EL CUAL LE CORRESPONDE UN VALOR DE PROB. DE 0.5058, EL QUE ES MUCHO MAYOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA.

DATA MANOVA; ‘PROGRAMA No. 2;‘PROGRAMA SAS PARA ANALIZAR DATOS DE UN DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR INPUT XI X2 FACTORl;CARDS;9 3 16 2 19 7 10 4 22 0 23 8 319 32 7 3

MULTIVARIAD

PROC GLM DATA=MANOVA; CLASS FACTORl;MODEL XI X2=FACTORl/SS3; MANOVA H=FACTORl/PRINTE; RUN;

General Linear Models Procedure Class Level Information

Class Levels Valúes

FACTORl 3 12 3

Number of observations in data set

General Linear Models ProcedureDependent Variable: XI

Source DF Type III SS Mean Square , F ValuéFACTORl 2 78.00000000 39.00000000 19.50

Pr > F

0.0044

General Linear Models ProcedureDependent Variable: X2

Source DF Type III SS Mean Square F ValuéFACTORl 2 48.00000000 24.00000000 5.00

Pr > F

0.0642

8

E = Error SS&CP Matrix

XI X2

XI 10 1X2 1 24

INTERPRETACION:ESTA ES LA MATRIZ DE SUMA DE CUADRADOS Y PRODUCTOS CRUZADOS

DEL ERROR; EN NUESTRA NOTACION SE IDENTIFICA POR W. LOS RESULTADOS OBTENIDO MEDIANTE EL PAQUETE COINCIDEN CON LOS OBTENIDOS MANUALMENTE.

General Linear Models Procedure Multivariate Analysis of Variance

Partial Correlation Coefficients from the Error SS&CP Matrix / Prob > |r|

DF = 4 XI X2

XI 1.0000000.0

0.0645500.9033

X2 0.0645500.9033

1.0000000.0


Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SS&CP Matrix for FACTORl E = Error SS&CP Matrix

CharacteristicRoot

Percent Characteristic Vector V'EV=1

XI X2

8.07638502311.8650375710

81.2418.76

0.313427000.04671111

-0.043148470.19994803

Manova Test Criteria and F Approximations for the Hypothesis of no Overall FACTORl Effect

H = Type III SS&CP Matrix for FACTORl E = Error SS&CP Matrix

S=2 M=-0.5 N=1

Statistic Valué F Num DF Den DF Pr > F

Wilks' Lambda 0.03845535 8.1989 4 8 0.0062Pillai's Trace 1.54078842 8.3882 4 10 0.0031Hotelling-Lawley Trace 9.94142259 7.4561 4 6 0.0164Roy's Greatest Root 8.07638502 20.1910 2 5 0.0040

NOTE: F Statistic for Roy's Greatest Root is an upper bound. NOTE: F Statistic for Wilks' Lambda is exact.

INTERPRETACION:EL VALOR DEL ESTADISTICO LAMBDA DE WILK ES 0.0384, EL CUAL

COINCIDE CON EL VALOR CALCULADO MANUALMENTE. ESTE ESTADISTICO SE PUEDE APROXIMAR A LA DISTRIBUCION F, EN ESTE CASO EL VALOR CALCULADO ES Fo=8.1989 A LOS CUALES LE CORRESPONDE UN VALOR DE PROBABILIDAD DE 0.0062, DICHO VALOR ES MENOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA, POR LO TANTO SE RECHAZA Ho

DATA DBCA; *PROGRAMA No. 3;* PROGRAMA SAS PARA ANALIZAR DATOS DE UN DISEÑO BLOQUES AL AZAR; INPUT TRAT BLOQUE RESP;CARDS;1 1 861 2 841 3 811 4 791 5 702 1 902 2 892 3 882 4 762 5 823 1 823 2 813 3 733 4 683 5 71

PROC GLM ;CLASSES TRAT BLOQUE;MODEL RESP=TRAT BLOQUE;OUTPUT OUT=SALIDA PREDICTED=P RESIDUAL=R; PROC PRINT DATA=SALIDA;PROC PLOT DATA=SALIDA;PLOT R*TRAT="*";PLOT R*P="*";PLOT R*BLOQUE="*";PROC UNIVARIATE DATA=SALIDA NORMAL PLOT; VAR R; RUN;


Class Levels

TRAT 3

BLOQUE 5

Valúes

12 3

1 2 3 4 5


ANALISIS DE VARIANZADependent Variable: RESP


TRAT 2 250.0000000 125.0000000 12.40 0.0035BLOQUE 4 367.3333333 91.8333333 9.11 0.0045

INTERPRETACION:EL VALOR Po DE TRATAMIENTOS COINCIDE CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS

MANUALMENTE, POR LO TANTO SE LLEGAN A LA MISMA CONCLUSION. SE RECHAZAN LA HIPOTESIS Ho Y SE CONCLUYE QUE EXISTE SUFICIENTE EVIDENCIA PARA DECIR QUE LOS TRATAMIENTOS SON DIFERENTES.

TABLA DE OBSERVACIONES Y RESULTADOS

OBS TRAT BLOQUE RESP PRED. RES ID

1 1 1 86 86.0000 0.000002 1 2 84 84.6667 -0.666673 1 3 81 80.6667 0.333334 1 4 79 74.3333 4.666675 1 5 70 74.3333 -4.333336 2 1 90 91.0000 -1.000007 2 2 89 89.6667 -0.666678 2 3 88 85.6667 2.333339 2 4 76 79.3333 -3.33333

10 2 5 82 79.3333 2.6666711 3 1 82 81.0000 1.0000012 3 2 81 79.6667 1.33333

. 13 3 3 73 75.6667 -2.6666714 3 4 68 69.3333 -1.3333315 3 5 71 69.3333 1.66667

Plot of R*TRAT. Symbol used is (NOTE: 3 obs hidden.)

R |5 +*

★

★

0 +*★ ★

★

-5 +- +1

TRAT

**

*

*

+ - 2

+ - 3

INTERPRETACION:

LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA TRATAMIENTOS PERMITE OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE HOMOCEDASTICIDAD SE CUMPLE. EN ESTE CASO SE OBSERVA QUE LA DISPERSION DE LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES A CADA UNO DE LOS TRATAMIENTOS NO ES MUY MARCADA POR LO TANTO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO

Plot of R*P. Symbol used is

R I5 + ★

*★

o + *

★ *★

★

** * *

★

★

★

-5 +- +---------- +65 70

- +75

-----+80

P

- + 85

- + 90

- + -95

INTERPRETACION:

LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA VALORES PREDICHOS O ESTIMADOS PERMITE OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE INDEPENDENCIA SE CUMPLE. PARA ESTO LA DISPERSION DE LOS PUNTOS NO DEBEN PRESENTAR ALGUN PATRON; ES DECIR LOS DATOS SE DISTRIBUYEN AL AZAR. EN NUESTRO CASO SE PUEDE OBSERVAR QUE SI SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

(NOTER I 5 +

Plot of R*BLOQUE. Symbol used is '*' 1 obs hidden.)

★

0 + *

★ •

★

★

★ ★

★ ★

-5 +-- +

1+--------------- +--------------- +2 3 4

*★

+5

BLOQUE

INTERPRETACION:

LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA BLOQUES ES PARA OBSERVAR SI EXISTE HOMOCEDASTICIDAD CON RESPECTO A BLOQUES EN ESTE CASO SE OBSERVA QUE LA DISPERSION DEL BLOQUE (1) ES MUCHO MENOR QUE LA DISPERSION CORRESPONDIENTE AL BLOQUE (5), ENTONCES NO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.


Variable=R

Moments

N 15 Sum Wgts 15Mean 0 Sum 0Std Dev 2 . 400397 Variance 5.761905Skewness 0 Kurtosis -0.13633USS 80 .66667 CSS 80.66667CV Std Mean 0.61978T:Mean=0 0 Prob> T 1.0000Sgn Rank 2 Prob> S 0.9153Num *= 0 14W:Normal 0. 989986 Prob<W 0.9966

INTERPRETACION:

DEL CUADRO DE ESTADISTICAS DESCRIPTIVAS, EL ESTADISTICO DE SHAPIRO-WILK SE UTILIZA PARA PROBAR EL SUPUESTO DE NORMALIDAD. EN NUESTRO CASO EL VALOR CALCULADO ES 0.989986, EL CUAL LE CORRESPONDE UN VALOR DE PROB. DE 0.9966. EL QUE ES MUCHO MAYOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA, POR LO TANTO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

DATA MANOVA; * PROGRAMA No. 4;♦PROGRAMA SAS PARA ANALIZAR DATOS DE UN DISEÑO DE BLOQUES AL AZAR MULTIVARIADO; ♦FACTOR A =TRATAMIENTOS Y B =BLOQUES;INPUT XI X2 X3 A B;CARDS;13.3 10.6 21.2 1 113.4 9.4 21 1 212.9 10 20.5 1313.6 10.2 21 2 113.2 9.6 20.1 2 2

12.2 9.9 20.7 2314.2 10.7 21.1 3 113.9 10.4 19.8 3 213.9 11 19.1 3 3

PROC GLM DATA=MANOVA;CLASSES A B;MODEL XI X2 X3 =A B/SS3;MANOVA H= A B/PRINTE;RUN;


Class

A

B

Levels

3

3

Valúes

12 3

12 3



9

Dependent Variable: XI


A 2 1.68000000 0.84000000 7.30 0.0462B 2 0.78000000 0.39000000 3.39 0.1376

General Linear Models Procedure !

Dependent Variable •. X2


A 2 1.14000000 0.57000000 7.60 0.0434B 2 0.78000000 0.39000000 5.20 0.0772


Dependent Variable: X3


A 2 1.26000000 0.63000000 2.38 0.2088B 2 1.68000000 0.84000000 3.17 0.1497



XI X2 X3

XI 0.46 0.03 -0.4X2 0.03 0.3 -0.48X3 -0.4 -0.48 1.06

INTERPRETACION:

ES LA MATRIZ DE SUMA DE CUADRADOS Y PRODUCTOS CRUZADOS DEL ERROR, LA CUAL NOSOTROS REPRESENTAMOS POR W. ESTOS RESULTADOS SON IGUALES A LOS OBTENIDOS MANUALMENTE.



DF = 3 XI X2 X3

XI 1.0000000.0

0.0807570.8973

-0.5728330.3128

X2 0.080757 0.8973

1.0000000.0

-0.8511920.0673

X3 -0.5728330.3128

-0.8511920.0673

1.OOOOOO 0.0


Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SS&CP Matrix for A E = Error SS&CP Matrix

CharacteristicRoot

Percent Characteristic Vector V'EV=l

XI X2 X3

145.61343403 99.60 5.42319873 10.56763832 6.76887832. 0.581534567 0.40 0.28774996 0.77899201 1.428736160.000000000 0.00 -1.05550083 1.47770116 0.21110017


Manova Test Criteria and the Hypothesis of no

H = Type III SS&CP Matrix for

F Approximations for Overall A EffectA E = Error SS&CP Matrix

Statistic

S=2 M=0

Valué

N=0

F Num DF Den DF Pr > F



INTERPRETACION:

EL VALOR DEL ESTADISTICO LAMBDA DE WILK ES 0.0043, EL CUAL COINCIDE CON EL VALOR CALCULADO MANUALMENTE. ESTE ESTADISTICO SE PUEDE APROXIMAR A LA DISTRIBUCION F, EN ESTE CASO EL VALOR CALCULADO Fo=9.4849,AL CUAL LE CORRESPONDE UN VALOR DE PROB. DE 0.023 7, QUE ES MENORQUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA, POR LO TANTO SE RECHAZA Ho.ESTE PAQUETE TAMBIEN CALCULA OTROS ESTADISTICOS, SIN EMBARGO EN EL DESARROLLO DE TODO EL TRABAJO SOLO SE UTILIZO EL ESTADISTICO LAMBDA DE WILK.

DATA ANOVA; * PROGRAMA No. 5;* PROGRAMA SAS PARA ANALIZAR DATOS DE UN DISEÑO EN CUADRADO LATINO; INPUT H C TRAT Y;CARDS;1 1 3 311 2 4 431 3 1 671 4 2 362 1 4 392 2 1 962 3 2 402 4 3 483 1 2 573 2 3 333 3 4 403 4 1 844 1 1 854 2 2 464 3 3 484 4 4 50

PROC GLM; CLASS H C TRAT;MODEL Y=H C TRAT;OUTPUT OUT=SALIDA PREDICTED=P RESIDUAL=R; PROC PRINT DATA=SALIDA;PROC PLOT DATA=SALIDA;PLOT R*TRAT="*";PLOT R*P="*";PLOT R*H="PLOT R*C="*";PROC UNIVARIATE DATA=SALIDA NORMAL PLOT; VAR R; RUN ;

AnalysisClass

of Variance Procedure Level Information

Class Levels Valúes

H 4 12 3 4

C 4 12 3 4

TRAT 4 12 3 4

Number of observations in data set 16

ANALISIS DE VARIANZA

Dependent Variable: Y

Source DF Anova SS Mean Square F Valué Pr > F

H 3 408.187500 136.062500 1.58 0.2890C 3 88.687500 29.562500 0.34 0.7952TRAT 3 4946.687500 1648.895833 19.18 0.0018

INTERPRETACION:¡

LOS VALORES DE Fo COINCIDEN CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS MANUALMENTE, POR TANTO SE TIENE LA MISMA INTERPRETACION:SE RECHAZA LA Ho Y SE CONCLUYE QUE EXISTE SUFICIENTE EVIDENCIA PARA DECIR QUE LOS TRATAMIENTOS SON DIFERENTES.

LISTADO DE OBSERVACIONES Y RESULTADOS

OBS H C TRAT Y PRED. RESID

1 1 1 3 31 31.875 -0.8752 1 2 4 43 36.375 6.6253 1 3 1 67 70.625 -3.6254 1 4 2 36 38.125 -2,1255 2 1 4 39 46.375 -7.3756 2 2 1 96 87.875 8 ¡. 1257 2 3 2 40 43.875 -3.8758 2 4 3 48 44.875 3.1259 3 1 2 57 45.875 1U125

10 3 2 3 33 42.625 -9 i 62511 3 3 4 40 39.875 0,12512 3 4 1 84 85.625 -1.62513 4 1 1 85 87.875 -2*87514 4 2 2 46 51.125 -5.12515 4 3 3 48 40.625 7.37516 4 4 4 50 49.375 0:625

R

12.5

10.0

7.5

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

-7.5

-10.0

+ - 1

- + - 2 3

- + - 4

TRAT3N:

LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA TRATAMIENTOS PERMITE OBSERVAR rO DE HOMOCEDASTICIDAD SE CUMPLE. EN ESTE CASO SE OBSERVA QUE Ü DE LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES A CADA UNO DE LOS TRATAMIENTOS JA Y POR LO TANTO NO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

R

12.5 +

10.0 +

7.5 +

5.0 +

2.5 +

0.0 +

-2.5 +

■5.0 +

-7.5 +

-10.0 +-- +--------- +------------ +-----------+--------- +----------- +----------- +

30 40 50 60 70 80 90P

INTERPRETACION:LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA VALORES PREDICHOS O ESTIMADOS

PERMITE OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE INDEPENDENCIA SE CUMPLE. PARA ESTO LA DISPERSION DE LOS PUNTOS NO DEBEN PRESENTAR ALGUN PATRON;ES DECIR LOS DATOS SE DISTRIBUYEN AL AZAR. EN NUESTRO CASO SE PUEDE OBSERVAR QUE SI SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

R

12.5 +

10.0 +

7.5 +

5.0 +

2.5 +

0.0 +

-2.5 +

-5.0 +

-7.5 +

■10.0 +

+1

+----------2

H

+3 !&

• +

INTERPRETACION:LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA HILERAS ES PARA OBSERVAR

SI EXISTE HOMOCEDASTICIDAD CON RESPECTO AL FACTOR HILERAS, EN ESTE CASO SE OBSERVA QUE LA DISPERSION ES MUY DIFERENTE ENTRE CADA UNA DE LAS HILERAS, ENTONCES NO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

R12.5

10.0

7.5

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

-7.5

-10.0

RETAC

★

’ + ■ 1 2

■ + ■ 3

+

LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA COLUMNAS ES PARA OBSERVAR 4OCEDASTICIDAD CON RESPECTO AL FACTOR COLUMNAS, EN ESTE CASO JE LA DISPERSION ENTRE LAS COLUMNAS ES DIFERENTE, ENTONCES CON ESTE SUPUESTO.


Variable=R

MomentsN 16 Sum Wgts 16Mean 0 Sum 0Std Dev 5.864441 Variance 34.39167Skewness 0 .402089 Kurtosis -0.55994USS 515.875 CSS 515.875CV Std Mean 1.46611T:Mean=0 0 Prob> T 1.0000Sgn Rank -4.5 Prob> S 0.8318Num *= 0 16W:Normal 0.960657 Prob<W 0.6496

INTERPRETACION:

DEL CUADRO DE ESTADISTICAS DESCRIPTIVAS, EL ESTADISTICO DE SHAPIRO-WILK SE UTILIZA PARA PROBAR EL SUPUESTO DE NORMALIDAD. EN NUESTRO CASO EL VALOR CALCULADO ES 0.960657, EL CUAL LE CORRESPONDE UN VALOR DE PROB. DE 0.6496, EL QUE ES MUCHO MAYOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA, POR LO TANTO SI SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

DATA LATINO; * PROGRAMA No.6;♦PROGRAMA SAS PARA ANALIZAR DATOS DE UN DISEÑO CUADRADO LATINO MULTIVARIADO; INPUT H C TRAT Yl Y2;CARDS;1 1 2 8 41 2 5 18 81 3 4 5 31 4 3 8 161 5 1 6 122 1 3 1 62 2 1 6 192 3 2 5 72 4 5 18 92 5 4 9 233 1 4 5 113 2 2 4 53 3 3 4 173 4 1 8 83 5 5 14 84 1 5 11 94 2 3 4 154 3 1 14 174 4 4 1 54 5 2 7 85 1 1 9 145 2 4 9 135 3 5 16 235 4 2 3 75 5 3 2 10

PROC GLM DATA=LATINO; CLASS H C TRAT;MODEL Yl Y2=H C TRAT; MANOVA H=H C TRAT/PRINTE; RUN;


Class

H

C

TRAT

Levels

5

5

5

Valúes

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5



Dependent Variable: Yl

Source DF Type I SS Mean Square F Valué Pr > F

H 4 11.2000000 2.8000000 0.23 0.9169C 4 11.2000000 2.8000000 0.23 0.9169TRAT 4 420.8000000 105.2000000 8.60 0.0016


H 4 11.2000000 2.8000000 0.23 0.9169C 4 11.2000000 2.8000000 0.23 0.9169TRAT 4 420.8000000 105.2000000 8.60 0.0016


Dependent Variable: Y2

Source DF Type I SS Mean Square F Valué Pr > F

H 4 81.0400000 20.2600000 0.58 0.6861C 4 85.0400000 21.2600000 0.60 0.6675TRAT 4 177.0400000 44.2600000 1.26 0.3397


H 4 81.0400000 20.2600000 0.58 0.6861C 4 85.0400000 21.2600000 0.60 0.6675TRAT 4 177.0400000 44.2600000 1.26 0.3397

General Linear Models Multivariate Analysis

Procedure of Variance


Yl Y2

Yl 146.8Y2 118

118422.72

INTERPRETACION:

ESTE ES LA MATRIZ DE SUMA DE CUADRADOS Y PRODUCTOS CRUZADOS DEL ERROR EN NUESTRO TRABAJO SE DENOTO POR W. LOS RESULTADOS SON IDENTICOS A LOS OBTENIDOS MANUALMENTE.


DF = 11 Yl Y2

Yl 1.0000000.0

0.4736880.1020

Y2 0.473688 1.0000000.1020 0.0


Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SS&CP Matrix for TRAT E = Error SS&CP Matrix

CharacteristicRoot

Percent Characteristic

Yl

Vector V'EV=1

Y2

3.5776187912 89.52 0.09371572 -0.026203730.4188089801 10.48 0.00008381 0.04861435


Manova Test Criteria and F Approximations for the Hypothesis of no Overall TRAT Effect

H = Type III SS&CP Matrix for TRAT E = Error SS&CP Matrix

S=2 M=0.5 N=4.5




INTERPRETACION:

LOS VALORES DE LOS ESTADISTICOS LAMBDA DE WILK Y F SON (0.1539) Y (4.2883) RESPECTIVAMENTE, A LOS CUALES LE CORRESPONDE UNA PROBABILIDAD DE 0.0033, EL CUAL ES MENOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA, POR LO TANTO SE RECHAZA Ho.

DATA ANOVA; *PROGRAMA No. 7;♦DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON DOS FACTORES Y CON K-OBSERVACIONES POR CELDA- INPUT FA FB Y;FAFB=FA*FB;CARDS;1 1 70 1 1 791 1 722 1 832 1 892 1 783 1 813 1 863 1 791 2 771 2 811 2 792 2 772 2 872 2 883 2 743 2 693 2 771 3 821 3 781 3 802 3 942 3 832 3 793 3 723 3 793 3 751 4 851 4 901 4 872 4 842 4 902 4 883 4 683 4 713 4 69

PROC GLM;CLASS FA FB;MODEL Y=FA FB FA*FB/SS3;OUTPUT OUT=SALIDA PREDICTED=P RESIDUAL=R;PROC PRINT DATA=SALIDA;PROC PLOT DATA=SALIDA;PLOT R*FA="*";PLOT R*FB="*";PLOT R*FAFB="*";PLOT R*P="*";PROC UNIVARIATE DATA=SALIDA NORMAL PLOT;VAR R; RUN;


Class

FA

FB

Levels

3

4

Valúes

12 3

12 3 4

Number of observations in data set 36

45


Dependent Variable: Y

Source DFFA (METODOS) "T n 2FB(AREA TEMATICA) 3FA*FB (INTERACCION) 6

Type III SS Mean Square F Valué

600.000000030.8888889

533.7777778

300.000000010.2962963

88.9629630

16.540.57

4.90

Pr > F

0.00010.6417

0.0021

INTERPRETACION :LOS VALORES DE Fo COINCIDEN CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS

MANUALMENTE, POR LO TANTO SE TIENE LAS MISMAS CONCLUSIONES:CON RESPECTO A METODOS SE RECHAZA Ho Y SE CONCLUYE QUE EXISTE SUFICIENTE EVIDENCIA PARA DECIR QUE LOS METODOS SON DIFERENTES.CON RESPECTO AL AREA TEMATICA NO SE RECHAZA Ho Y SÉ CONCLUYE QUE NO EXISTE SUFICIENTE EVIDENCIA PARA DECIR QUE LAS AREAS SON DIFERENTES.CON RESPECTO A LA INTERACCION SE RECHAZA HO Y SE CONCLUYE QUE EXISTE SUFICIENTE EVIDENCIA PARA DECIR QUE SI EXISTE INTERACCION ENTRE LOS DOS FACTORES.

46

123456789

101112131415161718192021222324252627282930313233343536

LISTADO DE OBSERVACIONES Y RESULTADOS

FA FB Y FAFB P R

1 1 70 1 73.6667 -3.666671 1 79 1 73.6667 5.333331 1 72 1 73.6667 -1.666672 1 83 2 83.3333 -0.333332 1 89 2 83.3333 5.666672 1 78 2 83.3333 -5.333333 1 81 3 82.0000 -1.000003 1 86 3 82.0000 4.000003 1 79 3 82.0000 -3.000001 2 77 2 79.0000 -2.000001 2 81 2 79.0000 2.000001 2 79 2 79.0000 0.000002 2 77 4 84.0000 -7.000002 2 87 4 84.0000 3.000002 2 88 4 84.0000 4.000003 2 74 6 73.3333 0.666673 2 69 6 73.3333 -4.333333 2 77 6 73.3333 3.666671 3 82 3 80.0000 2.000001 3 78 3 80.0000 -2.000001 3 80 3 80.0000 0.000002 3 94 6 85.3333 8.666672 3 83 6 85.3333 -2.333332 3 79 6 85.3333 -6.333333 3 72 9 75.3333 -3.333333 3 79 9 75.3333 3.666673 3 75 9 75.3333 -0.333331 4 85 4 87.3333 -2.333331 4 90 4 87.3333 2.666671 4 87 4 87.3333 -0.333332 4 84 8 87.3333 -3.333332 4 90 8 87.3333 2.666672 4 88 8 87.3333 0.666673 4 68 12 69.3333 -1.333333 4 71 12 69.3333 1.666673 4 69 12 69.3333 -0.33333

Plot of R*FA. Symbol used is . (NOTE: 17 obs hidden.)

R I 10 +

★

* ★*

* *o +* *

* ** *

**

-10 +-+.-------- -------------------------------+1 2

★

★

***

+3

FA

INTERPRETACION:LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA FA(METODOS) PERMITE

OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE HOMOCEDASTICIDAD SE.CUMPLE. EN NUESTRO CASO SE OBSERVA QUE LA DISPERSION DE LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES A CADA UNO DE LOS NIVELES NO ES MUY MARCADA POR LO TANTO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

50

(NOTE:Plot of R*FB.

13 obs hidden.)Symbol used is '*'.

1-■ir

*★ * *

* * •Je

(- * * * ** * ★ ★* * * ** ★

★

- - - - — + -

1 2 3 • 4

FB

INTERPRETACION:LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA FB(AREAS TEMATICAS)

PERMITE OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE HOMOCEDASTICIDAD SE CUMPLE. EN NUESTRO CASO SE OBSERVA QUE LA DISPERSION DE LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES A CADA UNO DE LOS NIVELES NO ES MUY MARCADA POR LO TANTO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

(NOTE:Plot

3 obs hidden.of R*FAFB.

)Symbol used is ' * ' .

★

★ ★

★ ★ ★ *

★ ir * ★ ** ir ★ ★ ir ir ir

* ★ ir ★ ★ ir

* ir ★ ir ir

irir

★

- - +-- - - +--- - - + ---- ■ +-----+---- ■ - +-- -- +----- ■ + —--------+ _ _ -- + - - -- + __ ---------+ -

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

FAFB

INTERPRETACION:LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA FAFB(INTERACCION)

PERMITE OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE HOMOCEDASTIDAD SE CUMPLE. NUESTRO CASO SE OBSERVA QUE LA DISPERSION ES MUY MARCADA POR

ENLO

TANTO NO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

Plot of R*P. Symbol used is(NOTE: 2 obs hidden.)

R 110 +

★

ir ir

* t * *ir > * * * ir

0 + * * * ir * * irir * ir ir * * *

ir ir ir * ir

* ★

-10 +- + 65

- + 70

- + 75

- + 80

- + 85

- + 90

P

INTERPRETACION:' LA GRAFICA DE RESIDUOS CONTRA VALORES ESTIMADOS O PREDICHOS

PERMITE OBSERVAR SI EL SUPUESTO DE INDEPENDENCIA SE CUMPLE. PARA ESTO LA DISPERSION DE LOS PUNTOS NO DEBE PRESENTAR ALGUN PATRON; ES DECIR LOS DATOS SE DISTRIBUYEN AL AZAR. EN NUESTRO CASO SE PUEDE DECIR QUE SIGUE UN COMPORTAMIENTO MAS O MENOS CICLICO POR LO TANTO NO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.


Variable=R

Moments

N 36 Sum Wgts 36Mean 0 Sum 0Std Dev 3.526768 Variance 12.4381Skewness 0.184365 Kurtosis -0.12676USS 435.3333 CSS 435.3333CV Std Mean 0.587795T:Mean=0 0 Prob> T 1.0000Sgn Rank -4.5 Prob> S 0.9400Num A= 0 34W:Normal 0.98756 Prob<W 0.9653

INTERPRETACION:DEL CUADRO DE ESTADISTICAS DESCRIPTIVAS, EL ESTADISTICO

DE SHAPIRO-WILK SE UTILIZA PARA PROBAR EL SUPUESTO DE NORMALIDAD. EN NUESTRO CASO EL VALOR CALCULADO ES 0.98756, QUE LE CORRESPONDE UN VALOR DE PROB. DE 0.9653, QUE ES MUCHO MAYOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA POR LO TANTO SE CUMPLE CON ESTE SUPUESTO.

*

DATA FACT; *PROGRAMA No. 8;* PROGRAMA SAS PARA ANALIZAR DATOS DE UN DISEÑO FACTORIAL a*b BAJO UN DCA INPUT A B Yl Y2;CARDS;1 1 10 211 1 12 221 1 9 191 1 10 211 1 14 232 1 11 232 1 14 272 1 13 242 1 15 262 1 14 243 1 8 173 1 7 153 1 10 183 1 8 173 1 7 191 2 9 141 2 8 151 2 11 161 2 9 171 2 9 172 2 11 152 2 12 182 2 10 162 2 9 172 2 9 183 2 9 223 2 8 183 2 10 173 2 9 193 2 8 19

PROC GLM DATA=FACT;CLASS A B;MODEL Yl Y2=A B A*B/SS3; MANOVA H=A B A*B/PRINTE; RUN; '

General Linear Models Procedure Class Level Information .

Class

A

B

Levels

3

2

Valúes

12 3

1 2



Dependent Variable:

Source

ABk*B

Yl

DF

212

Type III SS

57.80000000 14.70000000 20.60000000

Mean Square

28.9000000014.7000000010.30000000

F Valué

15.217.745.42

Pr > F

0.0001 0.0104 0.0114


Dependent Variable: Y2


k 2 42.4666667 21.2333333 9.10 0.0011B 1 112.1333333 112.1333333 48.06 0.0001A*B 2 128.8666667 64.4333333 27.61 0.0001

General Linear Models ProcedureMultivariate Analysis of Variance


Yl Y2

Yl 45.6 19.8Y2 19.8 56

INTERPRETACION:

ES LA MATRIZ DE SUMA DE CUADRADOS Y PRODUCTOS CRUZADOS DEL ERROR QUE EN NUESTRA NOTACION ES W. LOS RESULTADOS OBSERVADOS COINCIDEN CON LOS VALORES CALCULADOS MANUALMENTE.


Partial Correlation Coefficients from the Error SS&CP Matrix / Prob > |r

DF = 23 Yl Y2

Yl 1.000000 0.0

0.3918220.0527

Y2 0.3918220.0527

1.0000000.0

f

Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, whereH = Type III SS&CP Matrix for A E = Error SS&CP Matrix

aracteristic Percent Characteristic Vector V'EV=1Root

Yl Y2

1.4407479098 92.81 0.11533443 0.052432700.1116679380 7.19 -0.11227282 0.13544994

General Linear Models ProcedureMultivariate Analysis of Variance

Manova Test Criteria and F Approximations forthe Hypothesis of no Overall A Effect

H = Type III SS&CP Matrix for A E = Error SS&CP Matrix

.5S=2 M=-0.5 N=10 ,




INTERPRETACION:

LOS VALORES DE LOS ESTADISTICOS LAMBDA DE WILK Y F SON (0.3685) Y (7.4429) RESPECTIVAMENTE, A LOS CUALES CORRESPONDE UN VALOR DE PROBABILIDAD IGUAL A 0.0001, POR LO TANTO SE RECHAZA LA Ho CON CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA. SE OBSERVA QUE EL VALOR DE LAMBDA DE WILK (0.3685) CALCULADO MEDIANTE EL PAQUETE ES IGUAL AL VALOR CALCULADO MANUALMENTE

Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SS&CP Matrix for B E = Error SS&CP Matrix

CharacteristicRoot


Yl Y2

2.0025907215 100.00 0.0000000000 0.00

0.00164735 0.133041170.16094875 -0.05827455


Manova Test Criteria and Exact F Statistics forthe

H = Type IIIHypothesis of no Overall B EffectSS&CP Matrix for B E = Error SS&CP Matrix

S=1 M=0 N=10.5



INTERPRETACION:

LOS ESTADISTICOS LAMBDA DE WILK Y F TOMAN VALORES (0.333)Y (23.0298) RESPECTIVAMENTE; LES CORRESPONDE UN VALOR DE PROBABILIDAD DE 0.0001 EL CUAL ES MENOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA, POR LO TANTO SE RECHAZA Ho. TAMBIEN SE OBSERVA EL VALOR DELA LAMBDA DE WILK CALCULADO EN EL PAQUETE ES (0.333) Y EL CALCULADO MANUALMENTE FUE (0.328) .


Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Type III SS&CP Matrix for A*B E = Error SS&CP Matrix

CharacteristicRoot


Yl Y2

2.30781924610.0046032636

99.800.20

0.008634940.16072540

0.13038512-0.06399685

Manova Test Criteria and F Approximations for the Hypothesis of no Overall A*B Effect

H = Type III SS&CP Matrix for A*B E = Error SS&CP Matrix

S=2 M=-0.5 N=10.5



NOTE-. F Statistic for Roy's Greatest Root is an upper bound. NOTE: F Statistic for Wilks' Lambda is exact.

INTERPRETACION:

LOS ESTADISTICOS LAMBDA DE WILK Y F TOMAN VALORES (0.300)Y (9.4636) RESPECTIVAMENTE, A LOS CUALES CORRESPONDE UN VALOR DE PROBABILIDAD DE 0.0001, EL CUAL ES MENOR QUE CUALQUIER VALOR TIPICO DE SIGNIFICANCIA, POR LO TANTO SE RECHAZA Ho. SE OBSERVA QUE EL VALOR CALCULADO DE LAMBDA DE WILK ES (0.300) MEDIANTE EL PAQUETE Y (0.293) EL OBTENIDO MANUALMENTE.

ESPECIALIDAD EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS FACULTAD DE ...

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