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Espacios Vectoriales B´ asicos Araceli Guzm´ an y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM Semestre 2017-1

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Espacios Vectoriales Basicos

Araceli Guzman y Guillermo GarroFacultad de Ciencias

UNAM

Semestre 2017-1

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Espacios Vectoriales BasicosContenido, duracion y fecha de examen

Contenido

1. Los espacios vectoriales R2 y R3.

2. Subespacios de R2. Rectas por el origen.

3. Subespacios de R3. Planos y rectas por el origen.

4. Espacios y subespacios vectoriales

5. Independencia Lineal. Conjunto generador.

6. Base y dimension.

7. Producto escalar y producto vectorial.

8. Triple producto escalar.

Duracion:

20 horas.

Fecha del examen

Viernes 14 de octubre.

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Espacios Vectoriales BasicosReferencias

Referencias:

1. Preston, G. C., & Lovaglia, A. R. (1971). Modern analytic geometry. New York:HarperCollins Publishers.

2. Ramırez-Galarza, Ana I. (2013). Geometrıa analıtica: una introduccion a lageometrıa. Mexico: Las Prensas de Ciencias, UNAM.

3. Bracho, Javier (2009). Introduccion analıtica a las geometrıas. Mexico: Fondo deCultura Economica.

4. Borceux, Francis. (2014). Geometric Trilogy II: An Algebraic Approach toGeometry. Berlin: Springer.

5. Rojo, Armando O. (1995). Algebra II. Buenos Aires: El Ateneo.

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4. Espacios y subespacios vectoriales

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Definicion

Un espacio vectorial es un conjunto no vacıo V , cuyos elementos son llamados vectores,en el cual estan definidas dos operaciones:

(a) suma (de vectores): u+ v, para todo u y v elementos en V ,

(b) producto por un escalar: tu, para todo t ∈ R y u ∈ V ,

tales que se cumplen la propiedades:

Propiedades de la suma:

(i) Cerradura de la suma:

∀u,v ∈ V, u+ v ∈ V.

(ii) La suma es conmutativa:

∀u,v ∈ V, u+ v = v + u.

(iii) La suma es asociativa:

∀u,v,w ∈ V, (u+v)+w = u+(v+w).

(iv) Existe un unico neutro para la suma:

∃!0 ∈ V (∀u ∈ V )(u+ 0 = u) .

(v) Todo elemento de V tiene un unicoinverso relativo a la suma en V :

∀u ∈ V (∃−u ∈ V )(u+(−u) = 0 ).

Para todo u y v en V , definimos

u− v := u+ (−v).

En particular,

u− u = 0.

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Definicion

Un espacio vectorial es un conjunto no vacıo V , cuyos elementos son llamados vectores,en el cual estan definidas dos operaciones:

(a) suma (de vectores): u+ v, para todo u y v elementos en V ,

(b) producto por un escalar: tu, para todo t ∈ R y u ∈ V ,

tales que se cumplen la propiedades:

Propiedades del producto por un escalar:

(vi) Cerradura del producto por unescalar:

∀t ∈ R y ∀u, tu ∈ V.

(vii) El producto por escalares puedeasociarse de cualquier forma:∀s, t ∈ R y ∀u ∈ U,

s(tu) = (st)u = t(su).

(viii) El 1 ∈ R es neutro para el productopor un escalar

∀u ∈ U, 1u = u.

(ix) El producto por un escalar sedistribuye bajo la suma de vectores:

∀t ∈ R y ∀u,v ∈ V, t(u+v) = tu+tv.

(x) El proucto por un escalar distribuyela suma de escalares:

∀s, t ∈ R y ∀u ∈ U, (s+t)u = su+tu.

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Observacion

Las propiedades de unicidad en (iv) y (v) de hecho pueden probarse asumiendo el restode las propiedades:

En efecto, supongamos que 0 y 0′ son vectores de V tales que para todo u ∈ V ,

0+ u = u y 0′ + u = u.

En particular,0′ = 0+ 0′ = 0′ + 0 = 0

Ahora, sea u ∈ V y supongamos que u′ y u′′ son vectores de V tales que

u+ u′ = 0 = u+ u′′.

tenemos entonces,

u′ = 0+ u′ = (u+ u′′) + u′ = (u′′ + u) + u′ = u′′ + (u+ u′) = u′′ + 0 = u′′.

Pregunta:

¿Puede decirse que el 1 es el unico neutro para el producto por un escalar?

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Observacion

Las propiedades de unicidad en (iv) y (v) de hecho pueden probarse asumiendo el restode las propiedades:

En efecto, supongamos que 0 y 0′ son vectores de V tales que para todo u ∈ V ,

0+ u = u y 0′ + u = u.

En particular,0′ = 0+ 0′ = 0′ + 0 = 0

Ahora, sea u ∈ V y supongamos que u′ y u′′ son vectores de V tales que

u+ u′ = 0 = u+ u′′.

tenemos entonces,

u′ = 0+ u′ = (u+ u′′) + u′ = (u′′ + u) + u′ = u′′ + (u+ u′) = u′′ + 0 = u′′.

Pregunta:

¿Puede decirse que el 1 es el unico neutro para el producto por un escalar?

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Observacion

Las propiedades de unicidad en (iv) y (v) de hecho pueden probarse asumiendo el restode las propiedades:

En efecto, supongamos que 0 y 0′ son vectores de V tales que para todo u ∈ V ,

0+ u = u y 0′ + u = u.

En particular,0′ = 0+ 0′ = 0′ + 0 = 0

Ahora, sea u ∈ V y supongamos que u′ y u′′ son vectores de V tales que

u+ u′ = 0 = u+ u′′.

tenemos entonces,

u′ = 0+ u′ = (u+ u′′) + u′ = (u′′ + u) + u′ = u′′ + (u+ u′) = u′′ + 0 = u′′.

Pregunta:

¿Puede decirse que el 1 es el unico neutro para el producto por un escalar?

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Observacion

Las propiedades de unicidad en (iv) y (v) de hecho pueden probarse asumiendo el restode las propiedades:

En efecto, supongamos que 0 y 0′ son vectores de V tales que para todo u ∈ V ,

0+ u = u y 0′ + u = u.

En particular,0′ = 0+ 0′ = 0′ + 0 = 0

Ahora, sea u ∈ V y supongamos que u′ y u′′ son vectores de V tales que

u+ u′ = 0 = u+ u′′.

tenemos entonces,

u′ = 0+ u′ = (u+ u′′) + u′ = (u′′ + u) + u′ = u′′ + (u+ u′) = u′′ + 0 = u′′.

Pregunta:

¿Puede decirse que el 1 es el unico neutro para el producto por un escalar?

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Observacion

Las propiedades de unicidad en (iv) y (v) de hecho pueden probarse asumiendo el restode las propiedades:

En efecto, supongamos que 0 y 0′ son vectores de V tales que para todo u ∈ V ,

0+ u = u y 0′ + u = u.

En particular,0′ = 0+ 0′ = 0′ + 0 = 0

Ahora, sea u ∈ V y supongamos que u′ y u′′ son vectores de V tales que

u+ u′ = 0 = u+ u′′.

tenemos entonces,

u′ = 0+ u′ = (u+ u′′) + u′ = (u′′ + u) + u′ = u′′ + (u+ u′) = u′′ + 0 = u′′.

Pregunta:

¿Puede decirse que el 1 es el unico neutro para el producto por un escalar?

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Observacion

Las propiedades de unicidad en (iv) y (v) de hecho pueden probarse asumiendo el restode las propiedades:

En efecto, supongamos que 0 y 0′ son vectores de V tales que para todo u ∈ V ,

0+ u = u y 0′ + u = u.

En particular,0′ = 0+ 0′ = 0′ + 0 = 0

Ahora, sea u ∈ V y supongamos que u′ y u′′ son vectores de V tales que

u+ u′ = 0 = u+ u′′.

tenemos entonces,

u′ = 0+ u′ = (u+ u′′) + u′ = (u′′ + u) + u′ = u′′ + (u+ u′) = u′′ + 0 = u′′.

Pregunta:

¿Puede decirse que el 1 es el unico neutro para el producto por un escalar?

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Observacion

En general, se define espacio vectorial sobre un campo escalar F. Esto es, el conjuntode escalares es un conjunto F con estructura de campo (cuerpo).

No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto devista algebraico, como el conjunto de los numeros reales R (algo parecido) con lasoperaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (lease,propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros racionales Q, con la operaciones usuales desuma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas deestas operaciones que se cumplen en R, se cumple en Q: conmutatividad, asociatividad,distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elementoidentidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Peroel conjunto Z de los numeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,no es un campo (¿por que?).

Los numeros complejos C tambien son un campo. Y hay muchos ejemplos mas.

De modo que, si un conjunto V cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia deque el conjunto de escalares no es necesariamente R, sino un campo F, decimos que Ves un espacio vectorial sobre F. Si F = R, decimos que se trata de un espacio vectorialreal. Si F = C, decimos que es un espacio vectorial complejo.

Pero para los fines de este curso, solo vamos a hablar de espacios vectoriales reales, porello no hicimos ninguna distincion en la definicion.

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Observacion

En general, se define espacio vectorial sobre un campo escalar F. Esto es, el conjuntode escalares es un conjunto F con estructura de campo (cuerpo).

No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto devista algebraico, como el conjunto de los numeros reales R (algo parecido) con lasoperaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (lease,propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros racionales Q, con la operaciones usuales desuma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas deestas operaciones que se cumplen en R, se cumple en Q: conmutatividad, asociatividad,distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elementoidentidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Peroel conjunto Z de los numeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,no es un campo (¿por que?).

Los numeros complejos C tambien son un campo. Y hay muchos ejemplos mas.

De modo que, si un conjunto V cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia deque el conjunto de escalares no es necesariamente R, sino un campo F, decimos que Ves un espacio vectorial sobre F. Si F = R, decimos que se trata de un espacio vectorialreal. Si F = C, decimos que es un espacio vectorial complejo.

Pero para los fines de este curso, solo vamos a hablar de espacios vectoriales reales, porello no hicimos ninguna distincion en la definicion.

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Observacion

En general, se define espacio vectorial sobre un campo escalar F. Esto es, el conjuntode escalares es un conjunto F con estructura de campo (cuerpo).

No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto devista algebraico, como el conjunto de los numeros reales R (algo parecido) con lasoperaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (lease,propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros racionales Q, con la operaciones usuales desuma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas deestas operaciones que se cumplen en R, se cumple en Q:

conmutatividad, asociatividad,distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elementoidentidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Peroel conjunto Z de los numeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,no es un campo (¿por que?).

Los numeros complejos C tambien son un campo. Y hay muchos ejemplos mas.

De modo que, si un conjunto V cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia deque el conjunto de escalares no es necesariamente R, sino un campo F, decimos que Ves un espacio vectorial sobre F. Si F = R, decimos que se trata de un espacio vectorialreal. Si F = C, decimos que es un espacio vectorial complejo.

Pero para los fines de este curso, solo vamos a hablar de espacios vectoriales reales, porello no hicimos ninguna distincion en la definicion.

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En general, se define espacio vectorial sobre un campo escalar F. Esto es, el conjuntode escalares es un conjunto F con estructura de campo (cuerpo).

No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto devista algebraico, como el conjunto de los numeros reales R (algo parecido) con lasoperaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (lease,propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros racionales Q, con la operaciones usuales desuma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas deestas operaciones que se cumplen en R, se cumple en Q: conmutatividad, asociatividad,distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elementoidentidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Peroel conjunto Z de los numeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,no es un campo (¿por que?).

Los numeros complejos C tambien son un campo. Y hay muchos ejemplos mas.

De modo que, si un conjunto V cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia deque el conjunto de escalares no es necesariamente R, sino un campo F, decimos que Ves un espacio vectorial sobre F. Si F = R, decimos que se trata de un espacio vectorialreal. Si F = C, decimos que es un espacio vectorial complejo.

Pero para los fines de este curso, solo vamos a hablar de espacios vectoriales reales, porello no hicimos ninguna distincion en la definicion.

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No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto devista algebraico, como el conjunto de los numeros reales R (algo parecido) con lasoperaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (lease,propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros racionales Q, con la operaciones usuales desuma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas deestas operaciones que se cumplen en R, se cumple en Q: conmutatividad, asociatividad,distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elementoidentidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Peroel conjunto Z de los numeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,no es un campo (¿por que?).

Los numeros complejos C tambien son un campo. Y hay muchos ejemplos mas.

De modo que, si un conjunto V cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia deque el conjunto de escalares no es necesariamente R, sino un campo F, decimos que Ves un espacio vectorial sobre F. Si F = R, decimos que se trata de un espacio vectorialreal. Si F = C, decimos que es un espacio vectorial complejo.

Pero para los fines de este curso, solo vamos a hablar de espacios vectoriales reales, porello no hicimos ninguna distincion en la definicion.

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En general, se define espacio vectorial sobre un campo escalar F. Esto es, el conjuntode escalares es un conjunto F con estructura de campo (cuerpo).

No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto devista algebraico, como el conjunto de los numeros reales R (algo parecido) con lasoperaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (lease,propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros racionales Q, con la operaciones usuales desuma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas deestas operaciones que se cumplen en R, se cumple en Q: conmutatividad, asociatividad,distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elementoidentidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Peroel conjunto Z de los numeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,no es un campo (¿por que?).

Los numeros complejos C tambien son un campo. Y hay muchos ejemplos mas.

De modo que, si un conjunto V cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia deque el conjunto de escalares no es necesariamente R, sino un campo F, decimos que Ves un espacio vectorial sobre F. Si F = R, decimos que se trata de un espacio vectorialreal. Si F = C, decimos que es un espacio vectorial complejo.

Pero para los fines de este curso, solo vamos a hablar de espacios vectoriales reales, porello no hicimos ninguna distincion en la definicion.

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Observacion

En general, se define espacio vectorial sobre un campo escalar F. Esto es, el conjuntode escalares es un conjunto F con estructura de campo (cuerpo).

No queremos entrar en detalles, solo diremos que un campo es, desde un punto devista algebraico, como el conjunto de los numeros reales R (algo parecido) con lasoperaciones de suma y producto, salvo las propiedades de orden y continuidad (lease,propiedad arquimidiana), que carecen de importancia desde un punto de vista algebraico.

Por ejemplo, el conjunto de los numeros racionales Q, con la operaciones usuales desuma y producto, es un campo (cuerpo), porque todas las propiedades algebraicas deestas operaciones que se cumplen en R, se cumple en Q: conmutatividad, asociatividad,distributividad, existencia y unicidad del nulo aditivo, existencia y unicidad del elementoidentidad, existencia y unicidad de inversos multiplicativos para elmentos no nulos. Peroel conjunto Z de los numeros enteros, con las operaciones de suma y producto usuales,no es un campo (¿por que?).

Los numeros complejos C tambien son un campo. Y hay muchos ejemplos mas.

De modo que, si un conjunto V cumple las propiedades (i)-(x), pero con la diferencia deque el conjunto de escalares no es necesariamente R, sino un campo F, decimos que Ves un espacio vectorial sobre F. Si F = R, decimos que se trata de un espacio vectorialreal. Si F = C, decimos que es un espacio vectorial complejo.

Pero para los fines de este curso, solo vamos a hablar de espacios vectoriales reales, porello no hicimos ninguna distincion en la definicion.

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Ejemplo

El conjunto R con las operaciones de suma y producto usuales es un espacio vectorial.

Ejemplo

Los conjuntos R2 y R3 con las operaciones que hemos definido antes, son espaciosvectoriales. Las rectas por el origen en R2 y R3 son ejemplos tambien de espaciosvectoriales. Los planos por el origen en R3 son espacios vectoriales.

Ejemplo

En general, para todo x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn) en Rn, y t ∈ R, definimos

x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn) y tx = (tx1, ..., txn).

Entonces Rn es un espacio vectorial con estas operaciones.

Ejemplo

Sea V = {x}, con x cualquier cosa, y definimos

x+ x = x y para todo t ∈ R, tx = x.

Entonces V es un espacio vectorial. (Demuestralo!)

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Ejemplo

El conjunto R con las operaciones de suma y producto usuales es un espacio vectorial.

Ejemplo

Los conjuntos R2 y R3 con las operaciones que hemos definido antes, son espaciosvectoriales. Las rectas por el origen en R2 y R3 son ejemplos tambien de espaciosvectoriales. Los planos por el origen en R3 son espacios vectoriales.

Ejemplo

En general, para todo x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn) en Rn, y t ∈ R, definimos

x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn) y tx = (tx1, ..., txn).

Entonces Rn es un espacio vectorial con estas operaciones.

Ejemplo

Sea V = {x}, con x cualquier cosa, y definimos

x+ x = x y para todo t ∈ R, tx = x.

Entonces V es un espacio vectorial. (Demuestralo!)

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Ejemplo

El conjunto R con las operaciones de suma y producto usuales es un espacio vectorial.

Ejemplo

Los conjuntos R2 y R3 con las operaciones que hemos definido antes, son espaciosvectoriales. Las rectas por el origen en R2 y R3 son ejemplos tambien de espaciosvectoriales. Los planos por el origen en R3 son espacios vectoriales.

Ejemplo

En general, para todo x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn) en Rn, y t ∈ R, definimos

x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn) y tx = (tx1, ..., txn).

Entonces Rn es un espacio vectorial con estas operaciones.

Ejemplo

Sea V = {x}, con x cualquier cosa, y definimos

x+ x = x y para todo t ∈ R, tx = x.

Entonces V es un espacio vectorial. (Demuestralo!)

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Ejemplo

El conjunto R con las operaciones de suma y producto usuales es un espacio vectorial.

Ejemplo

Los conjuntos R2 y R3 con las operaciones que hemos definido antes, son espaciosvectoriales. Las rectas por el origen en R2 y R3 son ejemplos tambien de espaciosvectoriales. Los planos por el origen en R3 son espacios vectoriales.

Ejemplo

En general, para todo x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn) en Rn, y t ∈ R, definimos

x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn) y tx = (tx1, ..., txn).

Entonces Rn es un espacio vectorial con estas operaciones.

Ejemplo

Sea V = {x}, con x cualquier cosa, y definimos

x+ x = x y para todo t ∈ R, tx = x.

Entonces V es un espacio vectorial. (Demuestralo!)

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Ejemplo

Sea n ≥ 0, y sea Pn es espacio de todos los polinomios con coeficientes reales de gradomenor o igual a n, en una variable real. Es decir, Pn, es un conjunto de funciones dela forma

pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0, ∀x ∈ R,

donde a0,...,an son numeros reales. Si pn y qn estan en P0, definimos la suma pn + qncomo el polinomio

(pn + qn)(x) := pn(x) + qn(x), ∀x ∈ R,

y si t ∈ R, definimos entonces tpn como el polinomio

(tpn)(x) = tpn(x), ∀x ∈ R.

Claramente P0 con estas operaciones es un espacio vectorial. (Demuestralo!).

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Ejemplo

En general, sea C(R) el conjunto de todas las funciones f : R → R continuas. En-tonces C(R) es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto defunciones.

Ejemplo

Sean a < b en R, y sea C0([a, b]) el conjunto de todas las funciones reales continuas fsobre todo [a, b] y diferenciables en (a, b). Entonces C0([a, b]) es un espacio vectorialcon las operaciones usuales de suma y producto de funciones.

Ejemplo

Sean a < b en R, y sea L1([a, b]) el conjunto de todas las funciones reales integrablessobre [a, b]. Entonces L1([a, b]) es un espacio vectorial son las operaciones usuales desuma y producto de funciones.

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Teorema

Sea V un espacio vectorial.

1. Para todo t ∈ R,t0 = 0.

2. Para todo v ∈ V ,0v = 0.

3. Para todo v ∈ V ,−1u = −u

Demostracion.

Tarea.

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Teorema

Sea V un espacio vectorial. Para todo v ∈ V y t ∈ R,

tv = 0 ⇔ t = 0 o v = 0.

Demostracion.

Tarea.

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Espacios Vectoriales Basicos4. Espacios y subespacios vectoriales

Definicion

Sea V un espacio vectorial. Decimos que U 6= ∅ es un subespacio vectorial (o paraabreviar, solo subespacio) de V si

(a) U ⊂ V .

(b) U es un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de suma de vectores yproducto por un escalar definidas en V .

Es decir, U ⊂ V es un subespacio vectorial de V si hereda las propiedades de espaciovectorial de V .

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Espacios Vectoriales Basicos4. Espacios y subespacios vectoriales

Teorema

Sea V un espacio vectorial y sea U ⊂ V un subespacio de V . Entonces el neutrorelativo a la suma en U coincide con el neutro para la suma en V . Los inversosaditivos en U de elementos de U , coinciden con los inversos aditivos en V .

Demostracion.

Sea 0U ∈ U el neutro para la suma en U . Sea u ∈ U cualquiera.

Como las operacionesen U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigue en particular que

0U = 0u = 0.

Ahora, sea u ∈ U y sea u′ ∈ U el inverso aditivo (en U) de u. Esto es,

u+ u′ = 0.

Nuevamente, como las operaciones en U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigueen particular que los inversos aditivos son unicos. De modo que u′ = −u.

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Espacios Vectoriales Basicos4. Espacios y subespacios vectoriales

Teorema

Sea V un espacio vectorial y sea U ⊂ V un subespacio de V . Entonces el neutrorelativo a la suma en U coincide con el neutro para la suma en V . Los inversosaditivos en U de elementos de U , coinciden con los inversos aditivos en V .

Demostracion.

Sea 0U ∈ U el neutro para la suma en U . Sea u ∈ U cualquiera. Como las operacionesen U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigue en particular que

0U = 0u = 0.

Ahora, sea u ∈ U y sea u′ ∈ U el inverso aditivo (en U) de u. Esto es,

u+ u′ = 0.

Nuevamente, como las operaciones en U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigueen particular que los inversos aditivos son unicos. De modo que u′ = −u.

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Espacios Vectoriales Basicos4. Espacios y subespacios vectoriales

Teorema

Sea V un espacio vectorial y sea U ⊂ V un subespacio de V . Entonces el neutrorelativo a la suma en U coincide con el neutro para la suma en V . Los inversosaditivos en U de elementos de U , coinciden con los inversos aditivos en V .

Demostracion.

Sea 0U ∈ U el neutro para la suma en U . Sea u ∈ U cualquiera. Como las operacionesen U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigue en particular que

0U = 0u = 0.

Ahora, sea u ∈ U y sea u′ ∈ U el inverso aditivo (en U) de u. Esto es,

u+ u′ = 0.

Nuevamente, como las operaciones en U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigueen particular que los inversos aditivos son unicos. De modo que u′ = −u.

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Espacios Vectoriales Basicos4. Espacios y subespacios vectoriales

Teorema

Sea V un espacio vectorial y sea U ⊂ V un subespacio de V . Entonces el neutrorelativo a la suma en U coincide con el neutro para la suma en V . Los inversosaditivos en U de elementos de U , coinciden con los inversos aditivos en V .

Demostracion.

Sea 0U ∈ U el neutro para la suma en U . Sea u ∈ U cualquiera. Como las operacionesen U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigue en particular que

0U = 0u = 0.

Ahora, sea u ∈ U y sea u′ ∈ U el inverso aditivo (en U) de u. Esto es,

u+ u′ = 0.

Nuevamente, como las operaciones en U son las mismas que en V , y U ⊂ V , se sigueen particular que los inversos aditivos son unicos. De modo que u′ = −u.

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Espacios Vectoriales Basicos4. Espacios y subespacios vectoriales

Teorema

Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto U 6= ∅ de V es un subespacio de V ,si y solo si, para todo s, t ∈ R y para todo u,v ∈ U ,

su+ tv ∈ U.

Demostracion.

Tarea

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Espacios Vectoriales Basicos4. Espacios y subespacios vectoriales

Teorema

Si U1 y U2 son subespacios de un espacio vectorial V , entonces U1 ∩ U2 es unsubespacio de V .

Demostracion.

Tarea.

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Espacios Vectoriales Basicos

5. Independencia lineal. Conjunto generador

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Teorema

Si V es un espacio vectorial, y v1,...,vn son elementos de V y t1,...,tn sonnumeros reales, entonces

t1v1 + · · ·+ tnvn ∈ V.

Demostracion.

Induccion sobre n.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial. Una combinacion lineal de vectores de V , es cualquiersuma finita de la forma

t1v1 + · · ·+ tnvn,

donde v1, ...,vn ∈ V y t1, ..., tn ∈ R.

Observacion

El teorema de la pagina anterior dice entonces que toda combinacion lineal de vectoresde un espacio vectorial V , es un vector de V .

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial, y sean v1,...,vn vectores de V . Decimos que v1,...,vn sonlinealmente independientes (lo que abreviamos como l.i.) si para todo t1, ..., tn ∈ R,

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0 ⇔ t1 = t2 = · · · = tn = 0.

Si un conjunto de vectores v1,...,vn no es l.i, entonces decimos que el linealmentedependiente, lo que abreviamos l.d.

Observacion

Un conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.i., si y solo si, para todo t1, ..., tn ∈ R,

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0 ⇒ t1 = t2 = · · · = tn = 0.

Observacion

Si alguno de los vectores v1,...,vn es el vector nulo 0, entonces no son l.i. En conse-cuencia, si v1, ...,vn son l.i., entonces vi 6= 0 para todo i = 1, ..., n.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial, y sean v1,...,vn vectores de V . Decimos que v1,...,vn sonlinealmente independientes (lo que abreviamos como l.i.) si para todo t1, ..., tn ∈ R,

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0 ⇔ t1 = t2 = · · · = tn = 0.

Si un conjunto de vectores v1,...,vn no es l.i, entonces decimos que el linealmentedependiente, lo que abreviamos l.d.

Observacion

Un conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.i., si y solo si, para todo t1, ..., tn ∈ R,

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0 ⇒ t1 = t2 = · · · = tn = 0.

Observacion

Si alguno de los vectores v1,...,vn es el vector nulo 0, entonces no son l.i. En conse-cuencia, si v1, ...,vn son l.i., entonces vi 6= 0 para todo i = 1, ..., n.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial, y sean v1,...,vn vectores de V . Decimos que v1,...,vn sonlinealmente independientes (lo que abreviamos como l.i.) si para todo t1, ..., tn ∈ R,

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0 ⇔ t1 = t2 = · · · = tn = 0.

Si un conjunto de vectores v1,...,vn no es l.i, entonces decimos que el linealmentedependiente, lo que abreviamos l.d.

Observacion

Un conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.i., si y solo si, para todo t1, ..., tn ∈ R,

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0 ⇒ t1 = t2 = · · · = tn = 0.

Observacion

Si alguno de los vectores v1,...,vn es el vector nulo 0, entonces no son l.i. En conse-cuencia, si v1, ...,vn son l.i., entonces vi 6= 0 para todo i = 1, ..., n.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Observacion

Un conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.d., si y solo si, existe una coleccion deescalares t1, ..., tn, no todos cero, tales que

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0.

Observacion

Un conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.d., si y solo si, para algun j, existe unacoleccion de escalares t1, ..., , tj−1, tj+1, ..., tn tales que

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tj−1vj−1 + tj+1vj+1 + · · ·+ tnvn = vj .

Es decir, el conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.d., si y solo si, alguno de ellos escombinacion lineal de los restantes.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Observacion

Un conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.d., si y solo si, existe una coleccion deescalares t1, ..., tn, no todos cero, tales que

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tnvn = 0.

Observacion

Un conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.d., si y solo si, para algun j, existe unacoleccion de escalares t1, ..., , tj−1, tj+1, ..., tn tales que

t1v1 + t2v2 + · · ·+ tj−1vj−1 + tj+1vj+1 + · · ·+ tnvn = vj .

Es decir, el conjunto de vectores v1,...,vn de V es l.d., si y solo si, alguno de ellos escombinacion lineal de los restantes.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Ejemplo

Sea Pn el espacio de todos lo polinomios de variable real, con coeficientes reales, degrado menor o igual a n. Consideremos los polinomios

µ0(x) = 1, µ1(x) = x, µ2(x) = x2, · · · µn(x) = xn, ∀x ∈ R.

Entonces µ1,...,µn son l.i.

En efecto, sean a0,...,an numeros reales tales que

a0µ0(x) + a1µ1(x) + · · ·+ anµn(x) = 0, ∀x ∈ R.

Esto es,a0 + a1x+ · · ·+ anx

n = 0, ∀x ∈ R.

En particular, si x = 0, se sigue que

a0 = 0.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Ejemplo

Sea Pn el espacio de todos lo polinomios de variable real, con coeficientes reales, degrado menor o igual a n. Consideremos los polinomios

µ0(x) = 1, µ1(x) = x, µ2(x) = x2, · · · µn(x) = xn, ∀x ∈ R.

Entonces µ1,...,µn son l.i.

En efecto, sean a0,...,an numeros reales tales que

a0µ0(x) + a1µ1(x) + · · ·+ anµn(x) = 0, ∀x ∈ R.

Esto es,a0 + a1x+ · · ·+ anx

n = 0, ∀x ∈ R.

En particular, si x = 0, se sigue que

a0 = 0.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Ejemplo

Sea Pn el espacio de todos lo polinomios de variable real, con coeficientes reales, degrado menor o igual a n. Consideremos los polinomios

µ0(x) = 1, µ1(x) = x, µ2(x) = x2, · · · µn(x) = xn, ∀x ∈ R.

Entonces µ1,...,µn son l.i.

En efecto, sean a0,...,an numeros reales tales que

a0µ0(x) + a1µ1(x) + · · ·+ anµn(x) = 0, ∀x ∈ R.

Esto es,a0 + a1x+ · · ·+ anx

n = 0, ∀x ∈ R.

En particular, si x = 0, se sigue que

a0 = 0.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Ejemplo

(Continuacion)

De modo que

x(a1 + a2x+ · · ·+ anxn−1) = a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn = 0, ∀x ∈ R.

Por tanto,a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1 = 0, ∀x ∈ R

En particular, si x = 0, se sigue que

a1 = 0.

Continuando de esta manera, concluimos que

a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Ejemplo

(Continuacion)

De modo que

x(a1 + a2x+ · · ·+ anxn−1) = a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn = 0, ∀x ∈ R.

Por tanto,a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1 = 0, ∀x ∈ R

En particular, si x = 0, se sigue que

a1 = 0.

Continuando de esta manera, concluimos que

a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Ejemplo

(Continuacion)

De modo que

x(a1 + a2x+ · · ·+ anxn−1) = a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn = 0, ∀x ∈ R.

Por tanto,a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1 = 0, ∀x ∈ R

En particular, si x = 0, se sigue que

a1 = 0.

Continuando de esta manera, concluimos que

a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Ejemplo

(Continuacion)

De modo que

x(a1 + a2x+ · · ·+ anxn−1) = a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn = 0, ∀x ∈ R.

Por tanto,a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1 = 0, ∀x ∈ R

En particular, si x = 0, se sigue que

a1 = 0.

Continuando de esta manera, concluimos que

a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial, y sea U = {u1, ...,un} una coleccion finita de de vectoresen V . El espacio generado por U , denotado como gen(U), es el conjunto de todas lascombinaciones lineales de los vectores de U . Esto es

gen(U) := {v ∈ V : ∃t1, ..., tn ∈ R tal que v = t1u1 + · · ·+ tnun}:= {t1u1 + · · ·+ tnun : t1, ..., tn ∈ R}.

Ejemplo

Si v es un vector no nulo de R2, entonces gen({v}) = Lv

Ejemplo

Si u y v son vectores no nulos en R3 linealmente independientes, entonces

gen({u,v}) = P0u,v .

Ejemplo

Consideremos el conjunto de monomios Mn = {µ0, ..., µn}, entonces

gen(Mn) = Pn.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial, y sea U = {u1, ...,un} una coleccion finita de de vectoresen V . El espacio generado por U , denotado como gen(U), es el conjunto de todas lascombinaciones lineales de los vectores de U . Esto es

gen(U) := {v ∈ V : ∃t1, ..., tn ∈ R tal que v = t1u1 + · · ·+ tnun}:= {t1u1 + · · ·+ tnun : t1, ..., tn ∈ R}.

Ejemplo

Si v es un vector no nulo de R2, entonces gen({v}) = Lv

Ejemplo

Si u y v son vectores no nulos en R3 linealmente independientes, entonces

gen({u,v}) = P0u,v .

Ejemplo

Consideremos el conjunto de monomios Mn = {µ0, ..., µn}, entonces

gen(Mn) = Pn.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial, y sea U = {u1, ...,un} una coleccion finita de de vectoresen V . El espacio generado por U , denotado como gen(U), es el conjunto de todas lascombinaciones lineales de los vectores de U . Esto es

gen(U) := {v ∈ V : ∃t1, ..., tn ∈ R tal que v = t1u1 + · · ·+ tnun}:= {t1u1 + · · ·+ tnun : t1, ..., tn ∈ R}.

Ejemplo

Si v es un vector no nulo de R2, entonces gen({v}) = Lv

Ejemplo

Si u y v son vectores no nulos en R3 linealmente independientes, entonces

gen({u,v}) = P0u,v .

Ejemplo

Consideremos el conjunto de monomios Mn = {µ0, ..., µn}, entonces

gen(Mn) = Pn.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Definicion

Sea V un espacio vectorial, y sea U = {u1, ...,un} una coleccion finita de de vectoresen V . El espacio generado por U , denotado como gen(U), es el conjunto de todas lascombinaciones lineales de los vectores de U . Esto es

gen(U) := {v ∈ V : ∃t1, ..., tn ∈ R tal que v = t1u1 + · · ·+ tnun}:= {t1u1 + · · ·+ tnun : t1, ..., tn ∈ R}.

Ejemplo

Si v es un vector no nulo de R2, entonces gen({v}) = Lv

Ejemplo

Si u y v son vectores no nulos en R3 linealmente independientes, entonces

gen({u,v}) = P0u,v .

Ejemplo

Consideremos el conjunto de monomios Mn = {µ0, ..., µn}, entonces

gen(Mn) = Pn.

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Teorema

Sea V un espacio vectorial, y sea U = {u1, ...,un} una coleccion finita de devectores en V . Entonces

gen(U) = {v ∈ V : ∃t1, ..., tn ∈ R tal que v = t1u1 + · · ·+ tnun}.

es un subespacio de V .

Demostracion.

Sean s y s′ numeros reales, y sean v y v′ vectores de gen(U), es decir, para algunasconstantes t1, ..., tn y t′1, ..., t

′n,

v = t1u1 + · · ·+ tnun y v′ = t′1u1 + · · ·+ t′nun.

Entonces

sv + s′v′ = s(t1u1 + · · ·+ tnun) + s′(t′1u1 + · · ·+ t′nun)

= (st1u1 + · · ·+ stnun) + (s′t′1u1 + · · ·+ s′t′nun)

= (st1 + s′t′1)u1 + · · ·+ (stn + s′t′n)un ∈ gen(U).

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Teorema

Sea V un espacio vectorial, y sea U = {u1, ...,un} una coleccion finita de devectores en V . Entonces

gen(U) = {v ∈ V : ∃t1, ..., tn ∈ R tal que v = t1u1 + · · ·+ tnun}.

es un subespacio de V .

Demostracion.

Sean s y s′ numeros reales, y sean v y v′ vectores de gen(U), es decir, para algunasconstantes t1, ..., tn y t′1, ..., t

′n,

v = t1u1 + · · ·+ tnun y v′ = t′1u1 + · · ·+ t′nun.

Entonces

sv + s′v′ = s(t1u1 + · · ·+ tnun) + s′(t′1u1 + · · ·+ t′nun)

= (st1u1 + · · ·+ stnun) + (s′t′1u1 + · · ·+ s′t′nun)

= (st1 + s′t′1)u1 + · · ·+ (stn + s′t′n)un ∈ gen(U).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Teorema

Sea V un espacio vectorial, y sea U = {u1, ...,un} una coleccion finita de devectores en V . Entonces

gen(U) = {v ∈ V : ∃t1, ..., tn ∈ R tal que v = t1u1 + · · ·+ tnun}.

es un subespacio de V .

Demostracion.

Sean s y s′ numeros reales, y sean v y v′ vectores de gen(U), es decir, para algunasconstantes t1, ..., tn y t′1, ..., t

′n,

v = t1u1 + · · ·+ tnun y v′ = t′1u1 + · · ·+ t′nun.

Entonces

sv + s′v′ = s(t1u1 + · · ·+ tnun) + s′(t′1u1 + · · ·+ t′nun)

= (st1u1 + · · ·+ stnun) + (s′t′1u1 + · · ·+ s′t′nun)

= (st1 + s′t′1)u1 + · · ·+ (stn + s′t′n)un ∈ gen(U).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Vamos a terminar esta seccion con la prueba de un teorema bastante importante, peropara ello primero enunciamos y probamos un pequeno resultado sobre ciertos sistemasde ecuaciones.

Lema

Si 1 ≤ n < m, y sj,i ∈ R, j = 1, ...,m e i = 1, ..., n, entonces el sistemahomogeneo de n ecuaciones con m incognitas

t1s1,1 + t2s2,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0

t1s1,2 + t2s2,2 + · · ·+ tmsm,2 = 0

......

...

t1s1,n + t2s2,n + · · ·+ tmsm,n = 0,

(1)

tiene solucion no trivial (de hecho, una infinidad de soluciones).

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Prueba del Lema.

Induccion sobre m ≥ 2.

Primero, si m = 2. Una ecuacion homogenea con dos incognitas es de la forma

ax+ by = 0.

La cual tiene, evidentemente, una infinidad de soluciones. La imagen geometrica es elplano R2 (si a = 0 = b) o una recta por el origen en R2 (si a o b no es cero).

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Prueba del Lema.

Induccion sobre m ≥ 2.

Primero, si m = 2.

Una ecuacion homogenea con dos incognitas es de la forma

ax+ by = 0.

La cual tiene, evidentemente, una infinidad de soluciones. La imagen geometrica es elplano R2 (si a = 0 = b) o una recta por el origen en R2 (si a o b no es cero).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

Induccion sobre m ≥ 2.

Primero, si m = 2. Una ecuacion homogenea con dos incognitas es de la forma

ax+ by = 0.

La cual tiene, evidentemente, una infinidad de soluciones. La imagen geometrica es elplano R2 (si a = 0 = b) o una recta por el origen en R2 (si a o b no es cero).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

Induccion sobre m ≥ 2.

Primero, si m = 2. Una ecuacion homogenea con dos incognitas es de la forma

ax+ by = 0.

La cual tiene, evidentemente, una infinidad de soluciones. La imagen geometrica es elplano R2 (si a = 0 = b) o una recta por el origen en R2 (si a o b no es cero).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion)

Si m = 3, entonces una ecuacion homogenea con tres incognitas es de la forma

ax+ by + cz = 0.

La cual tiene una infinidad de soluciones: todo el espacio R3 si a = b = c = 0, o bientodos los puntos de un plano por el origen en R3 si alguna de las constantes a, b y c esdistinta de cero.

Y por otra parte, un sistema de dos ecuaciones con tres incognitas es de la forma

a1x+ b1y + c1z = 0

a2x+ b2y + c2z = 0,

cuyas soluciones son todos los puntos de R3, los puntos de un plano por el origen enR3, o bien una recta por el origen en R3. (¿En que casos?)

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion)

Si m = 3, entonces una ecuacion homogenea con tres incognitas es de la forma

ax+ by + cz = 0.

La cual tiene una infinidad de soluciones: todo el espacio R3 si a = b = c = 0, o bientodos los puntos de un plano por el origen en R3 si alguna de las constantes a, b y c esdistinta de cero.

Y por otra parte, un sistema de dos ecuaciones con tres incognitas es de la forma

a1x+ b1y + c1z = 0

a2x+ b2y + c2z = 0,

cuyas soluciones son todos los puntos de R3, los puntos de un plano por el origen enR3, o bien una recta por el origen en R3. (¿En que casos?)

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion) Supongamos valido el resultado para m− 1. Vamos a probarlo para m.Sea n < m, y consideremos un sistema como (1).

Si sj,i = 0 para todo j e i, entonces cualquier vector (t1, ..., tm) es solucion del sistema(hay entonces una infinidad de soluciones).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion) Supongamos valido el resultado para m− 1. Vamos a probarlo para m.Sea n < m, y consideremos un sistema como (1).

Si sj,i = 0 para todo j e i, entonces cualquier vector (t1, ..., tm) es solucion del sistema(hay entonces una infinidad de soluciones).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion)

Supongamos pues que al menos uno de los coeficientes si,j no es cero. Digamoss1,1 6= 0. Definimos, para 2 ≤ j ≤ m e 2 ≤ i ≤ n.

s′j,i = sj,i −sj,1s1,i

s1,1,

Por hipotesis de induccion, el sistema homogeneo de n − 1 ecuaciones con m − 1incognitas

t2s′2,2 + t3s′3,2 + · · ·+ tms′m,2 = 0

t2s′2,3 + t3s′3,2 + · · ·+ tms′m,2 = 0

......

...

t2s′2,n + t3s′3,n + · · ·+ tms′m,n = 0,

(2)

tiene solucion no trivial (t2, ..., tm) (de hecho una infinidad de soluciones).

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Prueba del Lema.

(Continuacion)

Hacemost1 = −t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1.

De modo quet1s1,1 + t2s2,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0,

y para todo 2 ≤ i ≤ n,

t1s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i =

(−t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1

)s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i

= t2

(s2,i −

s2,1s1,i

s1,1

)+ · · ·+ tm

(sm,i −

sm,1s1,i

s1,1

)= t2s

′2,i + t3s

′3,i + · · ·+ tms

′m,i

= 0.

Ası que (t1, ..., tm) es solucion no trivial del sistema (1).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion)

Hacemost1 = −t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1.

De modo quet1s1,1 + t2s2,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0,

y para todo 2 ≤ i ≤ n,

t1s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i =

(−t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1

)s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i

= t2

(s2,i −

s2,1s1,i

s1,1

)+ · · ·+ tm

(sm,i −

sm,1s1,i

s1,1

)= t2s

′2,i + t3s

′3,i + · · ·+ tms

′m,i

= 0.

Ası que (t1, ..., tm) es solucion no trivial del sistema (1).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion)

Hacemost1 = −t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1.

De modo quet1s1,1 + t2s2,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0,

y para todo 2 ≤ i ≤ n,

t1s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i =

(−t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1

)s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i

= t2

(s2,i −

s2,1s1,i

s1,1

)+ · · ·+ tm

(sm,i −

sm,1s1,i

s1,1

)= t2s

′2,i + t3s

′3,i + · · ·+ tms

′m,i

= 0.

Ası que (t1, ..., tm) es solucion no trivial del sistema (1).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Prueba del Lema.

(Continuacion)

Hacemost1 = −t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1.

De modo quet1s1,1 + t2s2,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0,

y para todo 2 ≤ i ≤ n,

t1s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i =

(−t2

s2,1

s1,1− · · · − tm

sm,1

s1,1

)s1,i + t2s2,i + · · ·+ tmsm,i

= t2

(s2,i −

s2,1s1,i

s1,1

)+ · · ·+ tm

(sm,i −

sm,1s1,i

s1,1

)= t2s

′2,i + t3s

′3,i + · · ·+ tms

′m,i

= 0.

Ası que (t1, ..., tm) es solucion no trivial del sistema (1).

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Teorema

Sea U = {u1, ...,un} un conjunto de n vectores de un espacio vectorial V . SiW = {w1, ...,wm} es un subconjunto de m vectores l.i. del subespacio gen(U),entonces m ≤ n.

Demostracion.

Equivalentemente, vamos a probar que si n < m, entonces cualquier subconjuntow1, ...,wm de m vectores de gen(U), es l.d.

Pues bien, como W ⊂ gen(U), existen constantes sj,i, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, talesque

w1 = s1,1v1 + · · ·+ s1,nvn

......

...

wm = sm,1v1 + · · ·+ sm,nvn.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Teorema

Sea U = {u1, ...,un} un conjunto de n vectores de un espacio vectorial V . SiW = {w1, ...,wm} es un subconjunto de m vectores l.i. del subespacio gen(U),entonces m ≤ n.

Demostracion.

Equivalentemente, vamos a probar que si n < m, entonces cualquier subconjuntow1, ...,wm de m vectores de gen(U), es l.d.

Pues bien, como W ⊂ gen(U), existen constantes sj,i, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, talesque

w1 = s1,1v1 + · · ·+ s1,nvn

......

...

wm = sm,1v1 + · · ·+ sm,nvn.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Teorema

Sea U = {u1, ...,un} un conjunto de n vectores de un espacio vectorial V . SiW = {w1, ...,wm} es un subconjunto de m vectores l.i. del subespacio gen(U),entonces m ≤ n.

Demostracion.

Equivalentemente, vamos a probar que si n < m, entonces cualquier subconjuntow1, ...,wm de m vectores de gen(U), es l.d.

Pues bien, como W ⊂ gen(U), existen constantes sj,i, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, talesque

w1 = s1,1v1 + · · ·+ s1,nvn

......

...

wm = sm,1v1 + · · ·+ sm,nvn.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Demostracion.

(Continuacion) Por el lema anterior, existe (t1, ..., tm) solucion no trivial del sistema den ecuaciones con m incognitas

t1s1,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0

......

...

t1s1,n + · · ·+ tmsm,n = 0.

De manera que

0 = (t1s1,1 + · · ·+ tmsm,1)u1 + · · ·+ (t1s1,n + · · ·+ tmsm,n)un

= t1(s1,1u1 + · · ·+ s1,nun) + · · ·+ tm(sm,1u1 + · · ·+ sm,nun)

= t1w1 + · · ·+ tmwm.

Por lo tanto, los vectores w1, ...,wm son l.d.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Demostracion.

(Continuacion) Por el lema anterior, existe (t1, ..., tm) solucion no trivial del sistema den ecuaciones con m incognitas

t1s1,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0

......

...

t1s1,n + · · ·+ tmsm,n = 0.

De manera que

0 = (t1s1,1 + · · ·+ tmsm,1)u1 + · · ·+ (t1s1,n + · · ·+ tmsm,n)un

= t1(s1,1u1 + · · ·+ s1,nun) + · · ·+ tm(sm,1u1 + · · ·+ sm,nun)

= t1w1 + · · ·+ tmwm.

Por lo tanto, los vectores w1, ...,wm son l.d.

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Espacios Vectoriales Basicos5. Independencia lineal. Conjunto generador

Demostracion.

(Continuacion) Por el lema anterior, existe (t1, ..., tm) solucion no trivial del sistema den ecuaciones con m incognitas

t1s1,1 + · · ·+ tmsm,1 = 0

......

...

t1s1,n + · · ·+ tmsm,n = 0.

De manera que

0 = (t1s1,1 + · · ·+ tmsm,1)u1 + · · ·+ (t1s1,n + · · ·+ tmsm,n)un

= t1(s1,1u1 + · · ·+ s1,nun) + · · ·+ tm(sm,1u1 + · · ·+ sm,nun)

= t1w1 + · · ·+ tmwm.

Por lo tanto, los vectores w1, ...,wm son l.d.

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Espacios Vectoriales Basicos

6. Base y dimension.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Definicion

Sea V un espacio vectorial y sea B = {β1, ..., βn} ⊂ V . Decimos que B es una base(vectorial) de V si

(a) B es un conjunto de vectores l.i., y

(b) gen(B) = V .

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Ejemplo

En R, si β 6= 0, entonces B = {β} es una base de R.

Ejemplo

Si b1 6= 0 6= b2 son numeros reales, y β1 = (b1, 0) y β2 = (0, b2), entonces B = {β1, β2}es una base para R2. En particular, {(1, 0), (0, 1)} es llamada base canonica.

Ejemplo

Si b1, b2 y b3 son numeros reales no nulos, y β1 = (b1, 0, 0), β2 = (0, b2, 0) y β3 =(0, 0, b3), entonces B = {β1, β2, β3} es una base de R3. En particular,

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

es llamada base canonica.

Ejemplo

En el espacio Pn, el conjunto de monomios M = {µ0, ..., µn} es una base.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Ejemplo

En R, si β 6= 0, entonces B = {β} es una base de R.

Ejemplo

Si b1 6= 0 6= b2 son numeros reales, y β1 = (b1, 0) y β2 = (0, b2), entonces B = {β1, β2}es una base para R2. En particular, {(1, 0), (0, 1)} es llamada base canonica.

Ejemplo

Si b1, b2 y b3 son numeros reales no nulos, y β1 = (b1, 0, 0), β2 = (0, b2, 0) y β3 =(0, 0, b3), entonces B = {β1, β2, β3} es una base de R3. En particular,

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

es llamada base canonica.

Ejemplo

En el espacio Pn, el conjunto de monomios M = {µ0, ..., µn} es una base.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Ejemplo

En R, si β 6= 0, entonces B = {β} es una base de R.

Ejemplo

Si b1 6= 0 6= b2 son numeros reales, y β1 = (b1, 0) y β2 = (0, b2), entonces B = {β1, β2}es una base para R2. En particular, {(1, 0), (0, 1)} es llamada base canonica.

Ejemplo

Si b1, b2 y b3 son numeros reales no nulos, y β1 = (b1, 0, 0), β2 = (0, b2, 0) y β3 =(0, 0, b3), entonces B = {β1, β2, β3} es una base de R3. En particular,

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

es llamada base canonica.

Ejemplo

En el espacio Pn, el conjunto de monomios M = {µ0, ..., µn} es una base.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Ejemplo

En R, si β 6= 0, entonces B = {β} es una base de R.

Ejemplo

Si b1 6= 0 6= b2 son numeros reales, y β1 = (b1, 0) y β2 = (0, b2), entonces B = {β1, β2}es una base para R2. En particular, {(1, 0), (0, 1)} es llamada base canonica.

Ejemplo

Si b1, b2 y b3 son numeros reales no nulos, y β1 = (b1, 0, 0), β2 = (0, b2, 0) y β3 =(0, 0, b3), entonces B = {β1, β2, β3} es una base de R3. En particular,

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

es llamada base canonica.

Ejemplo

En el espacio Pn, el conjunto de monomios M = {µ0, ..., µn} es una base.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Teorema

Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial V , tienen el mismo tamano(esto es, tienen la misma cardinalidad).

Demostracion.

Sean B = {β1, ..., βn} y B′ = {β′1, ..., β′m} bases de V .

Note entonces que B′ es un conjunto de vectores l.i. de gen(B) = V , por lo que

m ≤ n.

Pero igualmente, B es un conjunto de vectores l.i de gen(B′) = V , de modo que

n ≤ m.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Definicion

La dimension de un espacio vectorial V es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.Definimos la dimension de {0} como 0. Usamos la notacion dim(V ) para denotar ladimension de V .

Ejemplo

La dimension del espacio Pn es n.

Ejemplo

La dimension de R2 es 2, y de R3 es 3. La dimension de R es 1.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Definicion

La dimension de un espacio vectorial V es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.Definimos la dimension de {0} como 0. Usamos la notacion dim(V ) para denotar ladimension de V .

Ejemplo

La dimension del espacio Pn es n.

Ejemplo

La dimension de R2 es 2, y de R3 es 3. La dimension de R es 1.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Definicion

La dimension de un espacio vectorial V es la cardinalidad de cualquiera de sus bases.Definimos la dimension de {0} como 0. Usamos la notacion dim(V ) para denotar ladimension de V .

Ejemplo

La dimension del espacio Pn es n.

Ejemplo

La dimension de R2 es 2, y de R3 es 3. La dimension de R es 1.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Ejemplo

Sea u ∈ R3 no nulo. Es claro entonces que u es una base de Lu = {tu ∈ R3 : t ∈ R}.De modo que la dimension de Lu.

Ejemplo

Recordemos ahora que si P ⊂ R3, entonces existen vectores u y v no nulos y l.i. (estoes, ninguno de ellos es multiplo escalar del otro), tales que

P = {su+ tv ∈ R3 : s y t en R}.

Ası que {u,v} es una base de P y por lo tanto la dimension de P es 2.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Ejemplo

Sea u ∈ R3 no nulo. Es claro entonces que u es una base de Lu = {tu ∈ R3 : t ∈ R}.De modo que la dimension de Lu.

Ejemplo

Recordemos ahora que si P ⊂ R3, entonces existen vectores u y v no nulos y l.i. (estoes, ninguno de ellos es multiplo escalar del otro), tales que

P = {su+ tv ∈ R3 : s y t en R}.

Ası que {u,v} es una base de P y por lo tanto la dimension de P es 2.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Teorema

Sea V es un espacio vectorial tal que dim(V ) = n. Si U es un subespacio de V ,entonces dim(U) ≤ n.

Demostracion.

Si B = {v1, ...,vn} es una base de V y BU = {u1, ...,um} es una base de U ,entonces BU es un conjunto de vectores l.i. de gen(B) = V , por lo que m ≤ n, estoes, dim(U) = m ≤ n.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Teorema

Sea V es un espacio vectorial tal que dim(V ) = n. Si U es un subespacio de V ,entonces dim(U) ≤ n.

Demostracion.

Si B = {v1, ...,vn} es una base de V y BU = {u1, ...,um} es una base de U ,entonces BU es un conjunto de vectores l.i. de gen(B) = V , por lo que m ≤ n, estoes, dim(U) = m ≤ n.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Corolario

Los unicos subespacios de R2 son {(0, 0)}, R2 mismo, y rectas por el origen.

Corolario

Los unicos subespacios de R3 son {(0, 0, 0)}, R3 mismo, y rectas y planos por elorigen.

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Observacion

Los conceptos de base y dimension son mas profundos de lo que podemos deducir de loque acabamos de ver. En particular, existen espacios vectoriales de dimension infinita.Ninguno de los ejemplos tratados aquı tiene esa propiedad

Un problema fundamental tiene que ver con la pregunta: ¿Dado un espacio vectorialV , es posible encontrar una base para V ? ¿Como?

Se puede probar:

Teorema

Todo espacio vectorial V tiene una base.

Pero la prueba rebasa por mucho los alcances de este curso (y de todos los cursosbasicos). Lo interesante (y algunas veces controvertido) es que la prueba no nos dicecomo encontrar una base, pues esta basada en ciertos principios, digamos, no construc-tivos (especıficamente, el Lema de Zorn o su equivalencia, el Axioma de Eleccion).

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Observacion

Los conceptos de base y dimension son mas profundos de lo que podemos deducir de loque acabamos de ver. En particular, existen espacios vectoriales de dimension infinita.Ninguno de los ejemplos tratados aquı tiene esa propiedad

Un problema fundamental tiene que ver con la pregunta: ¿Dado un espacio vectorialV , es posible encontrar una base para V ? ¿Como?

Se puede probar:

Teorema

Todo espacio vectorial V tiene una base.

Pero la prueba rebasa por mucho los alcances de este curso (y de todos los cursosbasicos). Lo interesante (y algunas veces controvertido) es que la prueba no nos dicecomo encontrar una base, pues esta basada en ciertos principios, digamos, no construc-tivos (especıficamente, el Lema de Zorn o su equivalencia, el Axioma de Eleccion).

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Observacion

Los conceptos de base y dimension son mas profundos de lo que podemos deducir de loque acabamos de ver. En particular, existen espacios vectoriales de dimension infinita.Ninguno de los ejemplos tratados aquı tiene esa propiedad

Un problema fundamental tiene que ver con la pregunta: ¿Dado un espacio vectorialV , es posible encontrar una base para V ? ¿Como?

Se puede probar:

Teorema

Todo espacio vectorial V tiene una base.

Pero la prueba rebasa por mucho los alcances de este curso (y de todos los cursosbasicos). Lo interesante (y algunas veces controvertido) es que la prueba no nos dicecomo encontrar una base, pues esta basada en ciertos principios, digamos, no construc-tivos (especıficamente, el Lema de Zorn o su equivalencia, el Axioma de Eleccion).

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Espacios Vectoriales Basicos6. Base y dimension

Observacion

Los conceptos de base y dimension son mas profundos de lo que podemos deducir de loque acabamos de ver. En particular, existen espacios vectoriales de dimension infinita.Ninguno de los ejemplos tratados aquı tiene esa propiedad

Un problema fundamental tiene que ver con la pregunta: ¿Dado un espacio vectorialV , es posible encontrar una base para V ? ¿Como?

Se puede probar:

Teorema

Todo espacio vectorial V tiene una base.

Pero la prueba rebasa por mucho los alcances de este curso (y de todos los cursosbasicos). Lo interesante (y algunas veces controvertido) es que la prueba no nos dicecomo encontrar una base, pues esta basada en ciertos principios, digamos, no construc-tivos (especıficamente, el Lema de Zorn o su equivalencia, el Axioma de Eleccion).