ESPACIOS VECTORIALES

download ESPACIOS VECTORIALES

of 30

  • date post

    26-Oct-2014
  • Category

    Documents

  • view

    237
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of ESPACIOS VECTORIALES

Espacios Vectoriales

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS E.A.P. DE ECONOMA

INTEGRANTES: Limachi Astocondor, Elcira G. 11120050 Salazar Quispe, Mirian K. Sicha Cruz, Sandra Soto Roca, Raquel Valencia Guerrero, Milagros CURSO: Matemtica III TEMA: Espacios Vectoriales AULA: 210 CICLO: 3 10120197 11120284 11120089 11120209

2012

Espacios Vectoriales

INDICEPRESENTACIN1 OBJETIVOS.2 ESPACIOS VECTORIALES ................................................................................................. 3 PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES .................................................... 6 SUB ESPACIO VECTORIAL ............................................................................................... 6 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL .................. Error! Bookmark not defined. SISTEMA DE GENERADORES ............................................. Error! Bookmark not defined. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL .................................. Error! Bookmark not defined. DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL. .................... Error! Bookmark not defined. TRANSFORMACIONES LINEALES ................................................................................ 16 NUCLEO Y IMAGEN .......................................................................................................... 17 COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES LINEALES ........................................... 19 BIBLIOGRAFIA21

Espacios Vectoriales

PRESENTACINEste presenta trabajo presenta los temas espacios vectoriales y transformaciones lineales los cuales son arte del curso de algebra lineal y dentro de ellos los temas de subespacios, combinaciones lineales, base y dimensin de un espacio vectorial entre otros.

Pgina 1

Espacios Vectoriales

OBJETIVOS

Con este trabajo se quiere lograr, conocer algunos conceptos necesarios para la mejor comprensin de los temas que se desarrollaran en la clase de matemtica III.

Pgina 2

Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALESDEFINICIN: El espacio vectorial es una terna (V,+, ), sean V un conjunto, k un campo y dos operaciones suma (+), y la otra producto (.). Los elementos de V son vectores, los elementos de k son escalares

APLICACIN SUMA +:VXVV (X,Y) +(X,Y)=X+Y . x+y = y+x; donde x;y V . x+(y+z)=(x+y)+z, x;y;z V axioma conmutativa axioma asociativa

x+0=0+x=x donde cero es un elemento neutro; x V; existe 0 V x+ (-x)= (-x)+ x, donde x es el opuesto de x; x V, existe x V

APLICACIN PRODUCTO . : KXV V (,x) .(,x)=x (x)= ()x; (+)X=x+x; (x+y)= x+y; x, , k x e V; x,y e V; , K k

1.x=x; x e V; 1 k un elemento multiplicativo

CONDICIONES QUE VERIFICAN LOS ESPACIOS VECTORIALES 1. 2. x+(y+z)=( x+y)+z x+y= y+x x, y,z V x,y V

Pgina 3

Espacios Vectoriales3. 4. 5. 6. 7. 8. x +0= 0+x neutro (x)= ()x x+(-x)=(-x)+ x (x +y)= x+ y 1x=x (+)x= .x+x 0 V, x V donde cero es un elemento x V , ,y R x V, existe el opuesto de x K, x,y V x V 1 K ,x V , K, x V

Ejemplo 1: V= ,

K=

(a,b) + (c,d)= (a+c, b+d) .(a,b) = (a, b) Es ( 1) , +, ., ) un espacio vectorial? (a,b)+[(c,d)+(m,n)] = (a,b)+[(c,m),(d,n)] [a+(c,m), b+(d+n)] = [(a+c)+m,(b+d) +n] (a+c, b+d) +(m,n) = [(a,b) + (c,d)] + (m,n) (a,b) + (c,d)= (a+c, b+d) =(c+a ,d+b) =(c,d) +(a,b) (a,b) (x,y) (a,b) +(x,y) = (a,b) (a+x, b+y) = (a,b) (a+x, b+y) =(a,b) a+x=a x=0 b+y=b y=0 (0,0) (a,b) +(0,0)=(a,b) (.(a,b)=(.a , .b) =.(a,b) =[.(a,b)] (a,b) , (p,q) (a,b) + (p,q) = (0,0) (a+q, b+q)= (0,0)

2)

3)

4)

5)

Pgina 4

Espacios Vectorialesa+q=0 p=-a b+q=0 q=-b 6) (-a,-b)

[(a,b)+(c,d)= (a+c, b+d) =(a+c), (b+d) = (a+c, b+d) =(a,b)+(c,d) =(a,b)+(c,d) (a,b) , 1 1.(a,b)=(1.a, 1.b) =(a,b) ( ,+,, ) es un espacio vectorial ,+, , ) ,, es un espacio vectorial donde )=( + , + , + )

7)

En general: ( ( , ,

)+( ,

CONTRAEJEMPLO: V= Se definen: x+y= x+y .x = x. Es ( ,+,, ) es un espacio vectorial) k=

1) x+y = x.y = y.x = y+x 2) (x+y)+z= (x.y) +z =(x.y).z =x(yz) =x +(yz) =x+(y+z) 3) x+e= x x.e=x 4) x+n=1 =1 e= 1

Pgina 5

Espacios Vectorialesn= 5) ( .).x= =( = ) =(.x) (+).x= = . =(.x).(.x) =x+.x (x+y)=

6)

7)

;

+

No es un espacio vectorial

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES Sea (V,+, ,) un espacio vectorial: a) El elemento 0 es nico. b) El producto escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo. c) El producto de un escalar por un vector es el vector nulo entonces el escalar es 0 o el vector es nulo es decir: six= =0 ^ x= d) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto si k, x V, (-)x=-(x)

SUB ESPACIO VECTORIAL Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial cualquiera y W , W V, diremos que W es un sub espacio vectorial de V, si y solo si:

Ejemplo 2: Sea: (R3,+, R,*) un sub espacio vectorial W = {(x, y, z) R3 /x=z} Es W un sub espacio vectorial de R3? Solucin

Pgina 6

Espacios Vectoriales

OPERACIONES CON SUB ESPACIOS Sean W1 y W2 dos sub espacios vectoriales de V. 1. INTERSECCIN DE SUB ESPACIOS La interseccin de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:

La interseccin de dos sub espacios es un sub espacio de V. Observacin: Para la interseccin sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos. 2. UNIN DE SUBESPACIOS La unin de dos sub espacios vectoriales se define de la siguiente forma:

La unin de sub espacios no siempre es sub espacio de V. 3. SUMA DE SUB ESPACIOS La suma de dos sub espacios vectoriales se define de la siguiente forma:

La suma de dos sub espacios es un sub espacio de V.

Pgina 7

Espacios VectorialesSi Wi son sub espacios vectoriales, con i=1,..., n se define la suma de estos n sub espacios vectoriales como:

4. SUMA DIRECTA DE SUB ESPACIS VECTORIALES Si la interseccin entre W1 y W2es el sub espacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa". Es decir:

SUB ESPACIO GENERADOSea (V, +, K, *) un espacio vectorial y AV un subconjunto de V , el conjunto de todas las combinaciones lineales de un numero finito de elementos de A es un sub espacio de V y se denomina sub espacio generado por A. Se denota de la siguiente manera: Ejemplo 3: En el espacio vectorial (R3,+, R,*), se considera A= {(1, 2,-1), (3, 0, 1)}. Hallar el sub espacio L(A). Solucin:

Pgina 8

Espacios VectorialesSuma de espacios vectoriales: Ya que la unin de sub espacios vectoriales no tiene por qu ser un sub espacio vectorial, necesitaramos una operacin alternativa que recoja en cierta forma la idea de JUNTAR o AADIR propia de la unin, que mantenga la estructura de sub espacio vectorial. Sean U1 y U2 sub espacios de un espacio vectorial (V;+; .;IK) y sea L V, U1 + U2 es suma directa de L, lo que se denota poniendo U1 U2 = L, si se verifica que U1 + U2 = L y U1 \ U2 = 0 Si L = V a los sub espacios U1; U2 se les denominan sub espacios suplementarios. U+V=x V / x=u +v,uU,vV Ejemplo 4: Sean los sub espacios vectoriales x, y,z) x, y, z)

/ Z=0 / X=Y=0

Se puede observar que W1 representa un plano del espacio y W2 una recta del espacio no coincidente con el plano, pudindose comprobar que , y adems

que Por tanto se puede afirmar que Adems en este caso podemos afirmar que W1 y W2 son SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS. Es decir, cuando coincide con el espacio vectorial total. COMBINACION LINEAL DEFINICIN 1: Sea un conjunto de vectores v1, v2,, vn que pertenecen al espacio vectorial V,y un vector v V, diremos que este vector v es una combinacin lineal de v1, v2,, vn si es que v puede expresarse as:

y W=V, es decir la suma directa

v=1 v1 + 2 v2 +. +n vnDonde: 1, 2, n son escalares

Pgina 9

Espacios Vectoriales

Ejemplo: El vector (x, y, z) IR3 es una C.L. de i = (1, 0,0), j = (0, 1,0), k = (0, 0,1), porque (x, y)=xi+yj+zk

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 1. DEPENDENCIA LINEAL (L.D.) Definicin 2:Tomemos otra vez a los vectores v1, v2,, vn V, se dice que este conjunto de vectores es linealmente dependiente si existen n escalares 1, 2, n, (donde debe existir por lo menos un i 0), tales que:

1 v1 + 2 v2 +. +n = 0

Observacin 1: Si un conjunto es linealmente dependiente, existe algn vector entre ellos que es combinacin lineal de los dems, pero esto no quiere decir que cualquier vector de ellos sea combinacin lineal de los dems.

Por ejemplo, el siguiente conjunto en IR3 podemos comprobar que es L.d.: u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0), k=(0,0,1), Tenemos que w = u + v (es decir, w=1u + 1v + 0k), hay un vector que es combinacin lineal de los dems. Pero no cualquier vector lo es, puesto que k no es combinacin lineal de los dems. Esto se puede ver haciendo: (0, 0,1) = (1, 0,0) + (0, 1,0) + (1, 1,0) Se obtiene un sistema incompatible. (Es decir no nos proporciona ninguna solucin).

Pgina 10

Espacios VectorialesINDEPENDENCIA LINEAL (L.I) Definicin 3Los vectores v1, v2,, vn V son linealmente independientes si la ecuacin: 1 v1 + 2 v2 +. +n = 0, implica que 1= 2== n=0 Propiedades de la dependencia e independencia lineal. 1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto es L.d. si y slo si el vector es el (Vector cero). 2. Si el (vector cero) pertenece a un conjunto de vectores, el conjunto es L.d. 3. Si en un conjunto de vectores aparecen vectores repetidos el conjunto es L.d. 4. Si el conjunto consta de ms de dos vectores: el conjunto es L.d. si y solamente si un vector del conjunto es combinacin lineal de los restantes. 5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es mltiplo escalar de otro el conjunto es L.d. 6. Si el conjunto consta de ms de dos vectores y el primer vector no es el vector cero: el conjunto es L.d