7/18/2019 Espacios Topológicos Conexos

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Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de Chile

MA3801 Analisis.Profesor: Carlos Conca R.Escrito por:  Francesco Vial.

Espacios Topologicos Conexos

Definicion: Un espacio topologico [X, τ ] se dice conexo si y solo si:

(∀U 1, U 2 ∈  τ )tales que   X  = U 1 ∪ U 2;   U 1 ∩ U 2  =  φ  ⇒  U 1  =  φ ∨ U 2  =  φ

.

En palabras esto significa que el espacio no es posible particionarlo en dos abiertos no vacıos disjuntos.Un subconjunto  A  de  X  se dice  conexo  ssi el subespacio topologico [A,  τ A] (con la topologıa traza) es conexo.

Los conjuntos  U 1, U 2   ;  X  = U 1 ∪ U 2   tales que  U 1 ∩ U 2  =  φ   forman una particion de  X  (cuando  U 1, U 2  = φ).

Proposicion 1: Sea [X, τ ] un e.t. Son equivalentes:

1.  X  es conexo

2.  X  no se puede particionar en dos cerrados no vacıos. Es decir: X  = F 1 ∪ F 2   con  F 1  y  F 2  cerrados entonces  F 1  =  φ

o  F 2  =  φ.

3. Los unicos conjuntos cerrados y abiertos de  X   son  X   y  φ. (A los conjuntos abiertos y cerrados a la vez en unatopologıa los llamaremos  clopen.

Proposicion 2: Sea (Ai)i∈I  una coleccion de subconjuntos conexos de un espacio topologico X  tales quei∈I  Ai = φ

entonces 

i∈I  Ai  es conexo.

Proposicion 2’(Francesco): Una forma alternativa (¿sera equivalente?) es probar que ∀i, j  ∈  I  se tiene que  Ai∩Aj  =

φ. con  Ai  conexo ∀i ∈  I   entonces i∈I Ai   es conexo.

Proposicion 3: Sea  A  una parte o subconjunto conexo de un e.t.  X . Entonces  A  es conexo.

Proposicion 4: Sea  X  un e.t. conexo y  f   : X  →  Y   una funcion continua. Entonces  f (X ) es conexo en  Y  .

Proposicion 5: Sea  X   =ni=1

X i  un e.t. producto, entonces  X   es conexo si y solo si  X i  es conexo para todo   i   en

{1, . . . , n}.

Lema: Sea D  un e.t. discreto y  |D| ≥  2. entonces:  X  es e.t conexo si y solo si ∀f   : X  → D  continua ⇒  f  es constante.

Componente conexa de un punto  x ∈  X  : Es el mayor conexo que contiene a  x, i.e. la union de todos los conexos

que contienen a  x. Se denota  C (x).

C (x) =

{C i  :  C i   es conexo y   x ∈  C i}

Componentes Conexas de un conjunto  : Sea  X  un e.t. y  M  un s.e.t. de  X  . Las componentes conexas de  M   sonlas componentes conexas de los puntos  x  ∈  M   , mirando  M   como s.e.t. dotado de la topologıa Inducida (traza) por  X .

Notas:

C (x) es cerrado, pues  C (x) es un conexo que contiene a  x  y entonces  C (x) =  C (x)

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Si  x  = y  son dos elementos de  X  , entonces la siguiente dicotomıa es cierta: o bien las componentes conexas de  x  ey  son identicas , o bien, son disjuntas.

De aquı sigue que la relacion:

xRy ⇐⇒ x  e  y  pertenecen a la misma componente conexa.

xRy ⇐⇒ C (x) =  C (y)

es una relacion de equivalencia en X ×X . Ası las clases de equivalencia de R  son las componentes conexas de X  y generanuna particion de  X .

Ejemplos :

1. Si  X  es conexo ⇒  C (x) =  X    (∀x ∈  X )

2. En  Q   los conexos son los singuletes, y entonces  C (x) =  {x}

3. Si  X  = R − {0}  , sus componentes conexas son (−∞, 0) ∪ (0,∞)

4. Si  X  = (0, 1) ∪ [2, 3) , sus componentes conexas son (0, 1) y [2, 3)

5. En  R2 , las componentes conexas de  Q × R  son las  fibras  {x} × R, x ∈ Q.

6. En  R3 , las componentes conexas de  Q × R2 son las  laminas  {x} × R2, x ∈ Q

Conexidad por caminos  : Un e.t.  X  se dice Conexo por caminos  ssi (∀a, b ∈  X ) , existe un intervalo [α, β ] en  Ry una funcion  f   : [α, β ] →  X , tal que  f   es continua y  f (α) =  a  y  f (β ) =  b, es decir cuando todo par de puntos  a, b ∈  X 

se conectan a traves de un camino, contenido en  X .

Veamos que si  X   es conexo por caminos entonces es conexo . En efecto, fijemos  x0   ∈  X   y sea  x   ∈  X   , cualquierax = x0. Existe  f x : [αx, β x] →  X  continua; tales que  f x(αx) =  x0  y  f x(β x) =  x

X =  xo=x∈X f x([αx, β x]) es conexo, pues son conexos no disjuntos (tienen interseccion no vacıa, de hecho su interseccion

es el singulete {x}), y ası la union de conexos no disjuntos es conexo por ser  f   continua.La inversa no es cierta , el contraejemplo clasico es el siguiente, sea Γ el grafo de la siguiente funcion:g : (0, 1] → R  tal que  g(x) =  sen( 1

x) , entonces: Γ = {(x,sen( 1

x)) :  x  ∈  (0, 1]}

Como   f   es continua , Γ es conexo y entonces Γ tambien es conexo en  R2 . Ahora Γ = Γ ∪ {0} × [−1, 1], que no esconexo por caminos, pues cualquier punto en el grafo de la funcion y alguno del eje Y no son conectables por ninguncamino continuo (se sale del dominio).

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