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Señales y Sistemas Espacios de Señales Señales y Sistemas Señales y vectores. La relación entre álgebra lineal y señales. Espacios vectoriales y espacios de señales. Bases y transformaciones lineales. 4 Temas a tratar Señales y Sistemas 6 Introducción En general asociamos a las señales con “elementos aislados”. Ahora vamos a incorporar a las señales en “marcos estructurados” como los espacios vectoriales. Considerando a las señales como vectores de un espacio n-dimensional, podemos: aprovechar las propiedades de la estructura algebraica de los espacios vectoriales. interpretar el procesamiento de las señales desde una perspectiva geométrica. con un abordaje conceptual sencillo e intuitivo… Señales y Sistemas 7 Experimento conceptual 3 T 1 T 2 2 2 3 m T 2 1 Medimos la temperatura ambiente a intervalos de 1 minuto... Representamos en una gráfica en donde el eje de las ordenadas indica el tiempo y el de las abscisas la magnitud de la temperatura. 2 Señales y Sistemas 8 Señales y vectores... Si volvemos a medir luego de 1 minuto y vemos que la temperatura es 1 º C … 3 Señales y Sistemas 9 Señales y vectores... 0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 m T 60 En 1 hora ... Para señales continuas... Ya no puedo representarlo gráficamente como un “vector” en el espacio “tradicional”, pero el concepto es el mismo ... Es un solo elemento, vector o punto

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Seña

les

y Si

stem

as

Espacios de Señales

Seña

les

y Si

stem

as

• Señales y vectores.

• La relación entre álgebra lineal y señales.

• Espacios vectoriales y espacios de señales.

• Bases y transformaciones lineales.

4

Temas a tratar

Seña

les

y Si

stem

as

6

Introducción

• En general asociamos a las señales con “elementos aislados”.

• Ahora vamos a incorporar a las señales en “marcos estructurados” como los espacios vectoriales.

• Considerando a las señales como vectores de unespacio n-dimensional, podemos:

– aprovechar las propiedades de la estructura algebraica de los espacios vectoriales.

– interpretar el procesamiento de las señales desde una perspectiva geométrica.

– con un abordaje conceptual sencillo e intuitivo…

Seña

les

y Si

stem

as

7

Experimento conceptual

3

T1

T2

2

2

3

m

T

21

•Medimos la temperatura ambiente a intervalos de 1 minuto...

•Representamos en una gráfica en donde el eje de las

ordenadas indica el tiempo y el de las abscisas la magnitud de

la temperatura.

2

Seña

les

y Si

stem

as

8

Señales y vectores...

•Si volvemos a medir luego de 1 minuto y vemos que la

temperatura es 1 º C …

3

Seña

les

y Si

stem

as

9

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Señales y vectores...

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

m

T

60En 1 hora ...

Para señales continuas...

Ya no puedo representarlo

gráficamente como un “vector”

en el espacio “tradicional”,

pero el concepto es el mismo ...

Es un solo

elemento,

vector o punto

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Seña

les

y Si

stem

as

10

Señales y vectores...

• Definimos una señal x discreta en RN como:

• Definimos una señal x continua en R∞ como:

Seña

les

y Si

stem

as

11

Ahora con varios elementos...

• No nos interesa un elemento aislado…

• Sino c/u en “relación” al resto:

– Conjuntos de señales

– Espacios de señales

– Espacios lineales o vectoriales

– Espacios normados

……

……

……

Seña

les

y Si

stem

as

12

Un conjunto de

“puntos”+

un conjunto de

relaciones que lo

estructuran.

Espacio

( , )i jd x x

Seña

les

y Si

stem

as

13

Relaciones geométricas:

distancias, tamaños, formas,

alineaciones, ángulos, conexidad.

Otras relaciones definen

otros tipos de estructuras.

El caso más interesante es cuando

distintas estructuras interactúan

en un mismo espacio.

Espacios

Seña

les

y Si

stem

as

14

Métricos, topológicos, vectoriales,

afines, euclídeos, de medida,

de probabilidad, de distribuciones, ...

De Hilbert, de Banach, de Krein,

de Orlicz, de Sobolev,

de Schwartz, de Lebesgue,

...

Tipos de espacios

Seña

les

y Si

stem

as Conjuntos de Señales

El matemático alemán

George Cantor introdujo la Teoría de Conjuntos en

siglo XIX.

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Seña

les

y Si

stem

as

16

Para ello debo primero definir un conjunto:

O el conjunto de las x, tal que p sea cierto, op es cierto, implica que x pertenece a .

Otra forma es como solución de la ecuación diferencial:

{ ; ( ) Re[ exp( )]}

=2 - , ,

x t j t

f t f

x

{ ; 0}dx xdt

x

Ejemplo: conjunto de las señales sinusoidales (1)

Una “señal” es un “punto” o elemento

de un conjunto

{ ; } p p x x

x1

x2

x4

x3

Seña

les

y Si

stem

as

17

{x; x(t) ≤ A1 v x(t) ≥ A2 }

{x; x(t) = 0, T1 > t v t > T2}

1 2 1 2

( ) ( )

; ( ) 0, ,

j tX x t e dt

X

x

T1 T2

Otros ejemplos...

Señales limitadas

temporalmente (2)

Señales limitadas en

amplitud (3) Señales de banda

limitada (4)( ) X

x(t)

x(t)A1

A2

tA1

A2

t

Seña

les

y Si

stem

as

18

Sin embargo, ...

• Un espacio es un conjunto de elementos

x que satisfacen una condición p, pero además...

– Se requieren otra/s propiedad/es para poder llamar al conjunto “espacio”...

– En particular, se debe dotar al conjunto de (al menos una):

• Estructura geométrica (espacio de señales).

• Estructura algebraica (espacio vectorial).

• …

Seña

les

y Si

stem

as

Estructura Geométrica

Seña

les

y Si

stem

as

20

Espacio de Señales

• Si al conjunto de señales definido anteriormente le

agregamos una métrica d

entonces se convierte en un espacio de señales .

• Los espacios de señales

son espacios métricos

cuyos elementos son

señales.

;d

Seña

les

y Si

stem

as

21

Espacio de señales

Conjunto de señales

+

Estructura geométrica

Distancia / Norma

;d

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Seña

les

y Si

stem

as

22

Espacio de señales

Distancia / Norma

( , )i jd x x

Seña

les

y Si

stem

as

23

Espacio de señales

Distancia / Norma

( , )i jd x x

Seña

les

y Si

stem

as

Norma vs Distancia

• Norma: depende de un punto del espacio.

• Distancia: función de dos puntos del espacio.

24

Seña

les

y Si

stem

as

Norma

Analogías entre Señales y Vectores

Seña

les

y Si

stem

as

26

Norma

• Nos proporciona información acerca del “tamaño” de

una señal o vector x:

– Es un número real no negativo:

– Es homogénea con respecto a la escala:

– Satisface la desigualdad triangular:

• Hay diferentes normas pero la más empleada es la

denominada norma-p.

Seña

les

y Si

stem

as

27

Norma - p

• Secuencias temporales:

• Señales continuas:

1/

1/

( )

pp

npn

pp

p

x

x t dt

x

x

1 p

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Seña

les

y Si

stem

as

28

¿Qué pasa cuando p es infinito?

sup

sup ( )

nn

t

x

x t

x

x

Seña

les

y Si

stem

as

¿Qué pasa para p entre 0 y 1?

• La definición es todavía de interés para 0 < p <

1, pero la función resultante no define una

norma* (porque viola la desigualdad del triangulo ►DEMOSTRAR).

* Salvo en R1, donde coincide con la norma Euclidea, y en R0, donde es trivial.

29

Seña

les

y Si

stem

as

30

¿ Y cuando p es = 0 ?

0 0

0

lim

# : 0

p

pp

nn x

x x

x

“Norma-0” >> Medida de “dispersión”

Seña

les

y Si

stem

as

31

2

2

1

x

x

x

Se denomina amplitud de la señal x

Se conoce como energía de la señal x

Suele llamarse acción de la señal x

Otros nombres...

Seña

les

y Si

stem

as

32

Ejemplo: amplitud y energía

x1

E(x)1/2

A(x)

x2

Seña

les

y Si

stem

as

33

¿La norma-p es la única?

• Existen muchas normas, pero esta es la más

utilizada porque permite diferentes

comportamientos variando p.

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Seña

les

y Si

stem

as

34

¿Qué ocurre cuando varío p?

Superficie de

||x||p para

x = [x1, x2]

-10

0

10

-10

0

100

50

100

x1

p = 2

x2

||x|

| p

-10

0

10

-10

0

100

20

40

x1

p = 1.5

x2

||x|

| p

-10

0

10

-10

0

100

10

20

x1

p = 1

x2

||x|

| p

-10

0

10

-10

0

100

5

10

x1

p = 0.5

x2

||x|

| p

-10

0

10

-10

0

100

5

10

x1

p = 0.25

x2

||x|

| p

-10

0

10

-10

0

100

10

20

x1

p = 0.1

x2

||x|

| p

Seña

les

y Si

stem

as

36

¿La norma-p es la única?

• Otros ejemplos:

– Norma del Volumen Mínimo (similar a ||x||0)

– Norma de Cauchy

– Norma Varimax

– Otras dependiendo de la aplicación...

Seña

les

y Si

stem

as

37

Otras medidas útiles:

2

2

1

2

1( )

2

N

nn N

T

T

P xN

P x t dtT

x

x

Potencia media de una señal

Seña

les

y Si

stem

as

38

2

2

1lim

2

1lim ( )

2

N

nn N

T

T

P xN N

P x t dtT T

x

x

Otras medidas útiles:

Potencia media TOTAL de una señal

Seña

les

y Si

stem

as

39

Px

Otras medidas útiles:

Valor cuadrático medio (RMS):

Otras: Valor medio …

Seña

les

y Si

stem

as

Distancia

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Seña

les

y Si

stem

as

41

Distancia

• La distancia es un concepto muy importante

asociado a un espacio.

• Nos permite dar sentido geométrico al espacio

a través de una “métrica”.

• Significados: “error” o “diferencia”,

“disimilitud” o “grado de aproximación”

entre dos señales.

Seña

les

y Si

stem

as

42

Distancia vs Norma

• Una métrica puede derivarse a partir de una norma:

• La norma se refiere a un solo elemento, mientras

que la distancia a dos ( norma ≡ distancia al origen ).

Pueden existir métricas que

no deriven de normas( , )d x y x y

Seña

les

y Si

stem

as

43

yxyxdyxd 0),(0),(

),(),( xydyxd

),(),(),( zydyxdzxd

2) Es simétrica:

3) Cumple con la desigualdad del triángulo:

Distancia: Propiedades

1) Es una función de dos puntos x, y con valor real positivo:

?

Seña

les

y Si

stem

as

44

“Cada lado de un triángulo es menor que

la suma de los otros dos”

“Si antes de ir a casa paso por lo de un amigo, camino más que si

voy derecho a casa, salvo que su casa esté de camino a la mía”

“Si para volar a Buenos Aires hago una escala en Córdoba, tomo

otro vuelo de Córdoba a Buenos Aires, pago más que volando

directamente”

Desigualdad triangular: sentido común …

¡No siempre!

Seña

les

y Si

stem

as

45

¿A qué distancia está ....

… la Catedral …

… del Edificio del Libertador?

¿402 metros?

¿o 565 metros?

¿Es igual caminando

que en auto?

Seña

les

y Si

stem

as

46

Distancia en Internet

• ¿Cómo medirían

las distancias de

comunicación

por Internet?

• ¿Es razonable

medirlas en

Kms?

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Seña

les

y Si

stem

as

47

Distancia en Internet

• Mapa parcial de Internet (30%, Enero 2005, opte.org).

• Cada línea se dibuja entre dos nodos (direcciones IP).

• La longitud indica el retardo entre nodos.

• Los colores corresponden a los dominios:

– Azul: net, ca, us

– Verde: com, org

– Rojo: mil, gov, edu

– Amarillo: jp, cn, tw, au, de

– Magenta: uk, it, pl, fr

– Oro: br, kr, nl

– Blanco: desconocido

Seña

les

y Si

stem

as

48

Distancia en Internet

• El mundo visto desde Internet: ¿Qué pasa si modificamos las

distancias teniendo en cuenta la cantidad de conexiones?

Seña

les

y Si

stem

as

49

Distancia en habla ruidosa

• La SNR no es una buena medida de la inteligibilidad del

habla, ¿Cómo la medimos entonces?

Seña

les

y Si

stem

as

50

Distancia en habla ruidosa

• LAR

– Diferencia entre los espectros limpio y ruidoso:

• PESQ

– Modelo de percepción auditiva:

Leandro Di Persia, Diego Milone, Hugo Leonardo Rufiner, Masuzo Yanagida, “Perceptual

evaluation of blind source separation for robust speech recognition”, Signal Processing

88 (2008) 2578– 2583.

Seña

les

y Si

stem

as

52

Entonces …

• Diferentes relaciones, diferentes maneras

de medir distancias, estructuran el

espacio de diferentes formas.

Seña

les

y Si

stem

as

Ejemplo: Espacios señales “equidistantes”

• Defino un espacio de señales equidistantes

utilizando la distancia de Hamming…

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Seña

les

y Si

stem

as

54

La distancia de

Hamming (1915-1998)

entre dos “palabras” es

el número de posiciones

en que difieren.

Distancia de Hamming

Seña

les

y Si

stem

as

55

Algunos bytes, señales, puntos

0000000 0111100

0001111 1011010

0110011 1100110

1010101 1101001

Seña

les

y Si

stem

as

56

¿En cuántas posiciones difieren?

1011010

1010101

0001111

Difieren todos exactamente en

cuatro posiciones equidistantes

Seña

les

y Si

stem

as

57

Aplicación: Codificación señales “binarias”

100 0001111

010 0110011

001 1010101

Ocho “puntos”para codificar las

“señales”

de 3 bits

000 100

010 001

110 101

011 111

Seña

les

y Si

stem

as

58

Codificación

100 0001111

010 0110011

001 1010101

000 0000000

Seña

les

y Si

stem

as

59

Codificación

100 0001111 110 0111100

010 0110011

001 1010101

000 0000000

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Seña

les

y Si

stem

as

60

Codificación

100 0001111 110 0111100

010 0110011 101 1011010

001 1010101 011 1100110

000 0000000 111 1101001

Seña

les

y Si

stem

as

61

Corrección de errores y borrones

100 - 0001111

010 - 0110011

001 - 1010101

000 - 0000000

¿1X00010?

110 - 0111100

101 - 1011010

011 - 1100110

111 - 1101001

1100110

011

Seña

les

y Si

stem

as

62

Distancias definida por la norma-p

• Como vimos una métrica se puede definir a partir de una

norma, por ejemplo la norma-p: ( , )p

d x y x y

Seña

les

y Si

stem

as

63

¿Qué ocurre cuando varío p?

x1

x 2

p = 2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x1

x 2

p = 1.5

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x1

x 2

p = 1

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x1

x 2

p = 0.5

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x1

x 2

p = 0.25

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x1

x 2

p = 0.1

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

Curvas de nivel

de ||x||p para

x = [x1, x2]

Seña

les

y Si

stem

as

64

¿Qué ocurre cuando varío p?

x1

x 2

p= 2

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x1

x 2

p= 1

-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x

0x

0 0( , )p

d x x xx

Seña

les

y Si

stem

as

66

Otras distancias…

Distancia de Levenshtein (distancia de edición)

• Distancia entre palabras:

– Número mínimo de operaciones requeridas para transformar una

cadena de caracteres en otra.

– Operaciones: inserción, eliminación o sustitución de un carácter.

• Es útil en programas que determinan cuán

similares son dos cadenas de caracteres, como

es el caso de los correctores de ortografía.

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Seña

les

y Si

stem

as

67

Otras distancias…

Distancia de Levenshtein (distancia de edición)

• Ejemplo: la distancia de Levenshtein entre "kitten" y "sitting" es de 3 porque se necesitan al menos tres ediciones elementales para cambiar una en la otra:

– kitten → sitten (sustitución de 'k' por 's')

– sitten → sittin (sustitución de 'e' por 'i')

– sittin → sitting (inserción de 'g' al final)

• Generalización de la distancia de Hamming, que

se usa para cadenas de la misma longitud y solo

considera como operación la substitución.Vladimir

Levenshtein,

Rusia 1965.

Seña

les

y Si

stem

as

68

Otras distancias…

Distancia de Mahalanobis:

1( , ) ( ) ( )Td x y x y C x y

matriz de covarianza

Toma en cuenta la estadística de los datos

Prasanta

Chandra

Mahalanobis,India 1936.

Seña

les

y Si

stem

as

69

Otras distancias…

Distancia de Mahalanobis:

• Ejemplo: – Un pescador quiere medir la similitud entre salmones para vender los

grandes más caros.

– Para cada salmón mide su anchura y su longitud x = [x1, x2] (diferencias de escala).

– Si usa la distancia Euclídea el ancho casi no cuenta.

– Entonces debe incorporar la estadística de los datos: las variables con menos varianza tendrán más importancia que las de mayor varianza (σ11 y σ22 en C).

– Y debe tener en cuenta también que la longitud y anchura no son independientes (σ12 y σ21 en C).

1( , ) ( ) ( )Td x y x y C x y

Seña

les

y Si

stem

as

70

Otras distancias…

• Distancia de Minkowski con pesos.

• Distancia de Hamming (ya vista).

• ….

Seña

les

y Si

stem

as

Divergencia de Kullback-Leibler

• Sean x y y dos señales en N y sea DKL la

denominada "Divergencia de Kullback-

Leibler“:

• ¿Es una distancia?¿Por qué?

71

KL1

[ ]( , ) [ ]log

[ ]

N

i

x iD x i

y ix y Se

ñale

s y

Sist

emas

72

Ejemplos de espacios de señales

• Espacio de secuencias temporales reales:

• Espacio de señales de tiempo continuo reales:

– Ambos suelen usar la métrica euclideana:

{ [ ]}; ; [ ] ; 1x n n x n n N

{ ( )}; ; ( ) ; -x t t x t t

2( , )d x y x y

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Seña

les

y Si

stem

as

Producto Interno

Analogías entre Señales y Vectores

Seña

les

y Si

stem

as

74

Producto interno

Otra medida de

similitudentre señales

Seña

les

y Si

stem

as

75

Componente de un vector en otro

• Proyección de v1 sobre v2

• Menor error de modo que:

v1 = c12 v2 + ve

Seña

les

y Si

stem

as

76

Pero no cumplen la condición de error mínimo

Otras alternativas podrían ser

Seña

les

y Si

stem

as

77

¿Cómo calculamos c12?

c12 |v2| = |v1| cos(q)

La componente de la componente de v1 a lo largo de

v2 será:

Seña

les

y Si

stem

as

78

Además, sabemos que:

¿Cómo calculamos c12?

c12 |v2| = |v1| cos(q)

La componente de la componente de v1 a lo largo de

v2 será:

< v1 , v2 > = |v1| |v2| cos(q)

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Seña

les

y Si

stem

as

79

¿Cómo calculamos c12?

Ahora podemos escribir:

22

2112

,

,

vv

vvc

Seña

les

y Si

stem

as

80

c12 mide el parecido entre v1 y v2

Seña

les

y Si

stem

as

81

c12 mide el parecido entre v1 y v2

Si v2 tiene norma unitaria:

2112 , vvc

Seña

les

y Si

stem

as

82

Producto Interno, normas y métricas

• Al definir el producto interno se obtiene

también una norma y una métrica para el

espacio:

2

2,x x x

Seña

les

y Si

stem

as

83

Producto interno en

¿señales continuas?

Seña

les

y Si

stem

as

84

• El concepto de proyección y ortogonalidad

de vectores se puede extender a las señales.

• Se considerarán dos señales f1(t) y f2(t)

donde se se desea aproximar f1(t) en

términos de f2(t) en un cierto intervalo (t1, t2)

Producto interno …

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Seña

les

y Si

stem

as

85

Se desea aproximar f1 mediante f2

f1(t) ≈ C12 f2(t) en (t1 < t < t2).

Se define la función error fe(t):

fe(t) = f1(t) - C12 f2(t).

Debemos encontrar un valor de C12 que

minimice el error entre las dos funciones

Seña

les

y Si

stem

as

86

2

1121 2

2 1

( ) ( )t

t t dttEM

t t

f fC

2

1

2

2 1

( )e

tt dt

tECMt t

f

Seña

les

y Si

stem

as

87

2

1 2112 2 2

21

( ) ( )

( ( ))

t

tt

t

f t f t dt

Cf t dt

120

ECMC

Seña

les

y Si

stem

as

88

2

1 2112 2

2 21

( ) ( )

( ) ( )

t

tt

t

f t f t dt

Cf t f t dt

120

ECMC

Si nuestra señal puede tomar valores complejos

Seña

les

y Si

stem

as

89

2

1

( ) ( ) 01 2tf t f t dt

t

Ortogonalidad de Funciones

Seña

les

y Si

stem

as

90

Iguales

Ortogonales

Opuestas

Vectores Señales Produto Producto

interno

x, y > 0

x, y = 0

x, y < 0

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Seña

les

y Si

stem

as

91

0

( ) ( ) stX s x t e dt

( ) ( ) j tX x t e dt

( ) ( ). n

n

X z x n z

Transformaciones lineales...

Seña

les

y Si

stem

as

92

( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t d

( ) ( ) ( )xyR t x y t d

Otras operaciones lineales...

Seña

les

y Si

stem

as

Estructura Algebraica

Seña

les

y Si

stem

as

94

¿Qué pasa si sumo dos señales de ?

{ ; ( ) Re[ exp( )]}

=2 - , ,

x x t j t

f t f

+ =

……

……

……

?

Conjunto de las señales

sinusoidales (1)

Seña

les

y Si

stem

as

95

Campo Escalar

• K es un campo escalar (un conjunto)

– Adición + : K x KK– Producto . : K x KK

– Neutro aditivo: 0

– Neutro multiplicativo: 1

• Ejemplos: Z, R, C

Seña

les

y Si

stem

as

96

Espacio Lineal

• Conjunto para el que están definidas las

operaciones binarias (cerradas) de:

– Multiplicación de cualquier elemento por un escalar

– Adición entre cualesquiera de sus elementos

• Estas operaciones son conmutativas, asociativas y

distributivas.

• Poseen elemento neutro y cancelativo.

; ; ;

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Seña

les

y Si

stem

as

97

Espacio Lineal

; ; ;

Seña

les

y Si

stem

as

98

(1) no es

un

espacio

vectorial.

Espacio Lineal

• A los elementos de los espacios lineales

los llamamos vectores y podemos

referirnos al espacio como espacio

vectorial.

Seña

les

y Si

stem

as

99

Espacios Normados

• Son aquellos espacios vectoriales en los que

todos sus elementos poseen norma finita.

• Ejemplos:

– Los subconjuntos de señales que poseen energía

finita o acción finita son espacios normados:

2 ( )L1( )L 2 ( )1( )

Seña

les

y Si

stem

as

100

Espacios Normados

• Ejemplos:

1( ) ; ( ) ; ; ( ) ,L x x t dt t x t t

2

2 ( ) ; ( ) ; ; ( ) ;L x x t dt t x t t

1( ) ; [ ] ; ; [ ] ;n

x x n n x n n

2

2 ( ) ; [ ] ; ; [ ] ;n

x x n n x n n

(pueden definirse también en C o Z):

Seña

les

y Si

stem

as

101

Espacios con Producto Interno

• Debido a la importancia del producto interno

para comparar señales aparece este tipo

particular de espacios.

• Un espacio con producto interno:

I(x , y) = < x , y >,

es un espacio vectorial con un producto interno

definido en él.

Seña

les

y Si

stem

as

102

Espacios con Producto Interno

• Como ya vimos, al definir el producto interno

se obtiene también una norma y una métrica

para el espacio:

2

2,x x x

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Seña

les

y Si

stem

as

103

Espacio Euclídeo

• Es el espacio matemático n-dimensional usual,

una generalización de los espacios de 2 y 3

dimensiones estudiados por Euclides.

• Estructuralmente es:

– un espacio vectorial normado de

dimensión finita sobre los reales

– la norma es la asociada al producto

escalar ordinario (norma 2).

• Se denota como: RNEuclides

(300 a.C, Grecia)

Seña

les

y Si

stem

as

104

Espacios de Hilbert

• H es un espacio de Hilbert si es completo con

respecto a la norma generada por < x , x >.

• Completo significa que no tiene “agujeros”.

• Constituye una generalización

del concepto de espacio euclídeo.

• Permite extender nociones

de espacios de dimensión

finita a los de dimensión

infinita. David Hilbert

(1862-1943, Alemania)

Seña

les

y Si

stem

as

105

Conjuntos, espacios y señales …

Conjuntos de señales

Espacios

métricos

Espacios

vectoriales

Espacios

|normados|

Espacios con

producto

<.,.>

Señales

aisladas

Hilbert 2 ( )L

1( )1( )L

RN

Seña

les

y Si

stem

as

Bases y transformaciones

Próxima clase ….

Seña

les

y Si

stem

as

122

Bibliografía

• Mertins, “Signal Analysis”, John Wiley & Sons

• Franks, “Teoría de la señal”, Reverté.

• De Coulon, “Signal Theory and Processing”, Artech-

House.

• Lathi, “Modern Digital and Analog Communication

Systems”, Holt, Rinehart & Winston.

• Citas completas y repaso en:

– Milone, Rufiner, Acevedo, Di Persia, Torres,

“Introducción a las señales y los sistemas discretos”,

EDUNER (Cap. 2).