Espacios de medida

8/17/2019 Espacios de medida

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Espacios de medida

Jonathan Farfán

PUCP

Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 1 / 15

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Operaciones elementales entre conjuntos

Sean A, B conjuntos y {Aλ ; λ ∈ Λ} una familia no vaćıa de conjuntos.

La unión de los conjuntos Aλ, λ ∈ Λ, es el conjunto formado por aquelloselementos que pertenecen a al menos un Aλ.

λ∈Λ

Aλ =x ; x ∈ Aλ para al menos un λ ∈ Λ

.

La intersección de los conjuntos Aλ, λ ∈ Λ, es el conjunto formado poraquellos elementos que pertenecen a todos los Aλ.

λ∈Λ

Aλ =x ; x ∈ Aλ para todo λ ∈ Λ

.

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por aquellos

elementos que pertenecen a A

, pero que no pertenecen a B

.A − B = A\B =

x ; x ∈ A y x /∈ B

.

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto formado poraquellos elementos que pertenecen a exactamente uno de estos dos conjuntos.

A∆B = x ; o x ∈ A o x ∈ B .Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 2 / 15

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Consideremos ahora que todos los conjuntos con los que estemos trabajando sonsubconjuntos de un conjunto fijo Ω, el cual es conocido como conjunto universo.

El complemento de A es el conjunto formado por aquellos elementos (que

pertenecen a Ω y) que no pertenecen a A

.A

c =x ; x ∈ Ω y x /∈ A

.

Leyes de Morgan. λ∈Λ

Aλ

c =λ∈Λ

Ac λ

y

λ∈Λ

Aλ

c =λ∈Λ

Ac λ

.

Leyes distributivas.

A ∩ λ∈Λ

Aλ

=λ∈Λ

(A ∩ Aλ) y A ∪ λ∈Λ

Aλ

=λ∈Λ

(A ∪ Aλ) .

Sea A1,A2, . . . una sucesión de conjuntos. Se dice que:

La sucesión (An) es creciente si se cumple que A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · . En este

caso, si A =∞n=1

An, usaremos la notación An ↑ A.

La sucesión (An) es decreciente si se cumple que A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · . En

este caso, si A =∞n=1

An, usaremos la notación An ↓ A.

La sucesión (An) es monótona si es creciente o decreciente.Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 3 / 15

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ÁlgebrasSean Ω un conjunto no vaćıo y C una familia no vaćıa de subconjuntos de Ω.

Se dice que C es una álgebra sobre Ω si se cumplen:i) Si A ∈ C entonces Ac ∈ C ;

ii) Si A1,A2, . . . ,An ∈ C entoncesn

k =1

Ak ∈ C .

Observaciones.1. Si C es una álgebra sobre Ω entonces ∅, Ω ∈ C .

2. La condición ii) es equivalente a la (aparentemente más débil) condición:

ii’) Si A,B ∈ C entonces A ∪ B ∈ C .

3. C es una álgebra sobre Ω si y solo si se cumplen i) y

iii) Si A1,A2, . . . ,An ∈ C entoncesn

k =1

Ak ∈ C .

4. La condición iii) es equivalente a la condición:

iii’) Si A

,B

∈ C entonces A

∩B

∈ C .Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 4 / 15

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σ-álgebras

Se dice que C es una σ-álgebra sobre Ω si se cumplen i) y

iv) Si A1,A2, · · · ∈ C entonces∞k =1

Ak ∈ C .

Observaciones.

1. Si C es una σ-álgebra sobre Ω entonces también es una álgebra sobre Ω.

2. C es una σ-álgebra sobre Ω si y solo si se cumplen i) y

v) Si A1,A2, · · · ∈ C entonces∞k =1

Ak ∈ C .

3. Si F es una σ-álgebra sobre Ω entonces: el par (Ω, F ) es llamado espacio

medible; Ω, espacio muestral; y los elementos de F , conjuntos medibles.

4. F 1 = {∅, Ω} es una σ-álgebra sobre Ω conocida como la σ-álgebra trivial de Ω.

5. F 2 = 2Ω (conjunto potencia de Ω) es una σ-álgebra sobre Ω conocida como la

σ-álgebra total de Ω.


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Otras clases de familias de subconjuntos

Se dice que C es una clase monótona sobre Ω si se cumplen:

vi) Si A1,A2,A3, · · · ∈ C y An ↑ A entonces A ∈ C ;vii) Si A1,A2,A3, · · · ∈ C y An ↓ A entonces A ∈ C .

Se dice que C es un π-sistema sobre Ω si se cumple iii).

Se dice que C es un λ-sistema (o sistema de Dynkin) sobre Ω si se cumplen vi) y

viii) Ω ∈ C ;

ix) Si A,B ∈ C son tales que A ⊂ B entonces B \A ∈ C .

Ejercicio. Sea C una familia no vaćıa de subconjuntos de Ω. Pruebe que lassiguientes afirmaciones son equivalentes.

a) C es una σ-álgebra sobre Ω.

b) C es una álgebra y una clase monótona sobre Ω.

c) C es un λ-sistema y un π-sistema sobre Ω.


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Teorema

Si {F λ ; λ ∈ Λ} es una familia no vaćıa de σ-álgebras sobre Ω entonces

F = λ∈Λ

F λ

tambíen es una σ-álgebra sobre Ω.

Sea A una familia cualquiera de subconjuntos de Ω.

Considere la familia S A de σ-álgebras sobre Ω que contienen a A. Note que S A esno vaćıa ya que la σ-álgebra total de Ω pertenece a S A.

Entonces, si aplicamos el teorema anterior a S A obtenemos que

σ(A) =G∈SA

G

es una σ-álgebra sobre Ω, la cual es conocida como σ-álgebra generada por A.

Observación. σ(A) es la menor σ-álgebra sobre Ω que contiene a A en el sentidoque se cumple:

Si G es una σ-álgebra sobre Ω que contiene a A entonces σ(A) ⊂ G .


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El teorema anterior sigue siendo válido si cambiamos σ-álgebra por álgebra, oclase monótona, o π-sistema, o λ-sistema.

En consecuencia, si A es una familia cualquiera de subconjuntos de Ω entonces

La intersección de todas las clases monótonas sobre Ω que contienen a A esuna clase monótona sobre Ω, la cual es llamada clase monótona generada porA y es denotada por M(A).

La intersección de todos los λ-sistemas sobre Ω que contienen a A es unλ-sistema sobre Ω, el cual es llamado λ-sistema generado por A y esdenotado por λ(A).

Teorema de la clase monótona

Suponga que A es una álgebra sobre Ω entonces σ(A) = M(A).

Teorema π-λ

Suponga que A es un π-sistema sobre Ω entonces σ(A) = λ(A).


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Espacios de medidaUna medida sobre el espacio medible (Ω, F ) es una función µ : F → [0, ∞] quesatisface las siguientes condiciones:

i) µ(∅) = 0;

ii) Si A1,A2,A3, . . . son conjuntos medibles disjuntos dos a dos entonces

µ

∞n=1

An

=

∞n=1

µ(An) .

Observaciones. Sea µ una medida sobre (Ω, F ).1. La terna (Ω, F , µ) es llamada espacio de medida.

2. Se dice que µ es finita cuando µ(Ω)


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Propiedades. Sean µ una medida sobre el espacio medible (Ω, F ) yA,B ,A1,A2,A3, . . . conjuntos medibles.

1. Si A1,A2, . . . ,An son disjuntos dos a dos entonces µ nk =1

Ak

=

n

k =1

µ(Ak ) .

2. Si A ⊂ B entonces µ(B ) = µ(A) + µ(B \A). En particular, µ(A) ≤ µ(B ).

3. µ(A ∪ B ) + µ(A ∩ B ) = µ(A) + µ(B ).

4. µ ∞

n=1

An

≤

∞n=1

µ(An).

5. µ n

j =1

A j

≤

n j =1

µ(A j ).

6. Si An ↑ A entonces µ(An) ↑ µ(A).

7. Si µ(A1) < ∞ y An ↓ A entonces µ(An) ↓ µ(A).

Si además µ es una medida probabilidad entonces:

8. µ(A) ≤ 1 y µ(Ac ) = 1 − µ(A).

9. µ n

k =1

Ak =n

k =1

(−1)k −1 1≤i 1


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Ĺımites superior e inferior de una sucesión de conjuntos

Sea A1,A2,A3, . . . una sucesión de conjuntos.

El ĺımite superior y el ĺımite inferior de la sucesión de conjuntos (An) son losconjuntos definidos respectivamente por

lim supn

An =∞n=1

∞k =n

Ak y lim inf n

An =∞n=1

∞k =n

Ak .

Se dice que (An) es convergente si lim supn

An = lim inf n

An. En este caso, este último

conjunto es denotado por limnAn.

Observaciones:

1. lim inf n

An ⊂ lim supn

An.

2. lim supn

An =ω ∈ Ω ; ω ∈ An para infinitos valores de n

. Por esta razón, el ĺımite

superior de (An) también es denotado porAn i.v.

.

3. lim inf n

An = ω ∈ Ω ; ω ∈ An salvo para una cantidad finita de valores de n.Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 11 / 15

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Primer lema de Borel-Cantelli

4. Si para cada n

∈ N, definimos

B n =∞k =n

Ak y C n =∞k =n

Ak ,

entoncesB

n ↓ lim supnA

n y C

n ↑ lim inf nA

n .

Primer lema de Borel-Cantelli

Sean A1,A2,A3, . . . eventos tales que la serie∞

n=1

P (An) < ∞. Entonces

P

{An i.v.}

= 0 .


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BorelianosLa σ-álgebra de Borel en Rn es la sigma-álgebra generada por la familia deconjuntos abiertos de Rn. Esta σ-álgebra es denotada por B (Rn).

Los elementos de B (Rn) son llamados borelianos de Rn o conjuntos de Borel deRn.

Un cilindro de Rn es un subconjunto de Rn de la forma C = I 1 × I 2 × · · · × I n,donde I 1, I 2, . . . , I n son intervalos de R.

Teorema

Sean:

C =

Cilindros de Rn

;

C 1 =

(−∞, b 1] × (−∞, b 2] × · · · × (−∞, b n] ; b 1, b 2, . . . , b n ∈ R

;

C 2 =

(−∞, b 1) × (−∞, b 2) × · · · × (−∞, b n) ; b 1, b 2, . . . , b n ∈ R

;

C 3 =

(a1, b 1) × (a2, b 2) × · · · × (an, b n) ; a1, a2, . . . , an, b 1, b 2, . . . , b n ∈ Q

.

Entonces σ(C ) = σ(C 1) = σ(C 2) = σ(C 3) = B (Rn).


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Medida de LebesgueEl volumen de un cilindro C = I 1 × I 2 × · · · × I n de R

n es definido por

vol(C ) =n

k =1

(I k ) , donde (I k ) es la longitud del intervalo I k .

La medida exterior de Lebesgue en Rn es la función λ∗ : 2Rn

→ [0, ∞] definida por

λ∗(A) = inf

∞n=1

vol(C n) ; C 1,C 2,C 3, . . . son cilindros de Rn y A ⊂

∞n=1

C n

Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es Lebesgue-medible si se cumple que

λ∗(B ) = λ∗(B ∩ A) + λ∗(B ∩ Ac ) para todo B ⊂ Rn .

Lema

a) Si A ⊂ Rn y λ∗(A) = 0 entonces A es Lebesgue-medible.

b) Si C es un cilindro de Rn entonces C es Lebesgue-medible y λ∗

(C ) = vol(C ).

Teorema

La familia L(Rn) de conjuntos Lebesgue-medibles de Rn es una σ-álgebra yλ∗|L(Rn) : L(R

n) → [0, ∞] es una medida sobre el espacio medibleRn, L(Rn)

.


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La medida λ = λ∗|L(Rn) es conocida como la medida de Lebesgue en Rn.

La medida λ es completa, es decir, cumple la siguiente propiedad:

Si A

⊂ B

, B

∈ L(Rn

) y λ(B

) = 0 entonces A

∈ L(Rn

).

Teorema

Sea A ⊂ Rn. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) A es Lebesgue-medible.

b) Para todo > 0, existe un abierto O de Rn tal que O ⊃ A y λ∗(O − A) < .

c) Existen abiertos O 1,O 2, . . . de Rn tales que O =

∞n=1

O n ⊃ A y λ∗(O − A) = 0.

d) Para todo > 0, existe un cerrado F de Rn tal que F ⊂ A y λ∗(A − F ) < .

e) Existen cerrados de F 1,F 2, . . . de Rn tales que F =

∞n=1

F n ⊂ A y λ∗

(A − F ) = 0.

En particular, todo conjunto abierto (y todo cerrado) de Rn es Lebesgue-medibley B (Rn) ⊂ L(Rn).

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