Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los

materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Espacio métrico2º Bachillerato

Ángulo entre dos rectasEl ángulo de dos rectas que se cortan es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales.El ángulo de dos rectas que se cruzan es el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a las dadas.

cos (

r , s) = cos

(ur ,

us ) cos (

r , s) = – cos

(ur ,

us )

Ángulo entre dos rectas: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Sean r: czz

byy

axx 111 y s:

''' czz

byy

axx 222 dos rectas

cualesquiera. Entonces:

cos ( r , s) = |aa' + bb' + cc'|

a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2

Condición de perpendicularidad

Condición de paralelismo

''' orc.//

cc

bb

aaupropusr sr

Ángulo entre dos planos

Definición: El ángulo de dos planos secantes y es el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.

cos (

, ) = cos

(n ,

n) cos (

, ) = – cos

(n ,

n)

Ángulo de dos planos: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad

Si a y b son dos planos cualesquiera : Ax + By + Cz + D = 0 y : A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:

cos (

, ) = |AA' + BB' + CC'|

A2 + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2

Condiciones de perpendicularidad

Condiciones de paralelismo

//β C'C

B'B

A'A βn proporc.αn

Ángulo entre recta y plano

Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.

sen (

r , ) = cos

(ur ,

n) sen (

r , ) = cos

(–ur , n) = – cos

(ur , n)

Ángulo entre recta y plano: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Sean r: x – x1

a = y – y1

b = z – z1

c y : Ax + By + Cz + D = 0. Entonces:

sen (

r , ) = |aA + bB + cC|

a2 + b2 + c2 A2 + B2 + C2

Condiciones de perpendicularidad

Condiciones de paralelismo

Proyección ortogonal

1 Punto sobre plano 2 Recta sobre plano

P no pertenece

P pertenece r incluida

r no incluida

Distancia entre dos puntos

b

• B(x2, y2, z2)

a

• A(x1, y1, z1)

d (A, B) = |AB| = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

AB = (x2 – x1 , y2 – y1, z2 – z1)

a +

AB =

b

AB =

b –

a

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector AB

= 0

P n = AQ n + QP n

Distancia entre punto y plano

Dado P(x1, y1, z1) (un punto) y (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, ), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el

plano.

Según la definición anterior: d(P, ) = d(P, Q)y si Ax0, y0, z0)

AP =

AQ +

QP

|

AP n|

|n|

= |Ax1 + By1 + Cz1 + D|A2 + B2 + C2

nQPnPA ··

nQPnQPnPA ···

Distancia entre dos planos paralelos

La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.

d(, ) = d(P, ) = d(P, )(x1, y1, z1)

Ax+By+Cz+D=0

A’x+B’y+C’z+D’=0

d(P,) =

222

111 'CBADCzByAx

222

'CBA

DD

Como P cumple su ecuación

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0

d (P, r) = d(P, Q) = |QP| =

|

ArP x ur |

|ur |

=

= 0

rP x ur =

ArQ x

ur +

QP x

ur

|(x1 – xo, y1 – yo, z1 – zo) x (a, b, c)||(a, b, c)|

Distancia entre punto y recta

Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la recta.

ArP =

ArQ +

QP

(a, b, c)

(xo , y

o , zo )

(x1, y1, z1)Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)

uQPuPA xx

uQPuQPuPA xx ·

Distancia entre dos rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.

d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)

s

Distancia entre dos rectas que se cruzan

La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y el plano paralelo a s que pasa por r.

• d(r, s) = d(As, )=d(Ar, )

d (P, ) = |

AP n|

|n|

• Como sabemos que

Tomamos A = Ar ; P = As ; n =

ur x

us

Partiendo de la figura

Y nos quedará:

Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)

Perpendicular común (I)

La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.

r

s

us

ur

• Ar

• As

ur x us

p• La recta p, perpendicular

común, queda determinada por el corte de los planos y

• Se observa quer, ur, ur x us)

s, us, ur x us)

us

Perpendicular común (II)

s

r

p

us

vr

Ps

Pr

La distancia entre las dos rectas, viene dada por la distancia entre los puntos Pr y Ps situados uno sobre cada una de las rectas y en la perpendicular común

El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las correspondientes a las ecuaciones paramétricas de la recta r: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3)

Análogamente las coordenadas del punto de Ps serán: Ps = (x2 + s v1, y2 +s v2, z2 + s v3)

El vector PrPs es ortogonal a los vectores u y v, luego

0·0·

ssr

rsr

uPPuPP

Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten conocer los puntos y luego su distancia.

A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.

Áreas de paralelogramos y triángulos

S(ABCD) = | AB x AC |

S(ABC) = |AB x AC|

12

Paralelogramos

Triángulos

Volumen de paralelepípedos y tetraedros

Paralelepípedo

Tetraedro Por ser una pirámide: V = (1/3) · base · altura

Altura = h = |AD| cos(AD, h)

Por tanto:

12Base = S(ABC) = |AB x AC|

V = |det (AB, AC, AD)|

V= |AD · (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)|1

6 1

6