ESPACIO DE PROBABILIDAD

( , A , P)

Una medida de probabilidad P sobre una - álgebrade subconjuntos A para un conjunto es unafunción de valor real, la cual tiene dominio A y

satisface las siguientes propiedades:(i) P( ) = 1;(ii) P(A) 0, A A;

(iii) Si An, n = 1, 2, 3, . . . , son conjuntosmutuamente disjuntos en A, entonces

n n

n=1n=1

P( A ) = P(A )

Definición 4. (Medida de probabilidad)

Así, toda función P definida sobre una - álgebraA, con valores en el intervalo [0, 1] y que cumpla

con los tres postulados dados en la definiciónanterior se le llama medida de probabilidad oprobabilidad axiomática.

Estos axiomas fueron establecidos por A. N.Kolmogorov en 1933.

En particular, a la tercera propiedad se le conocecomo - aditividad.

Un espacio de probabilidad, denotadopor ( , A, P), esta constituido por unconjunto , un - álgebra A de , y

una medida de probabilidad P definidasobre A.

Ejemplo: Considere un experimento aleatorio conespacio muestral , un conjunto finito. Sea 2 la -álgebra asociada al conjunto . Ahora, si A y sedefine P(A) = A/ . Entonces P es una medida deprobabilidad y ésta es llamada probabilidad clásica. Deacuerdo a esta definición, para calcular la probabilidadde un evento es necesario conocer su cardinalidad.

Ejemplo: Considere un experimento aleatorio conespacio muestral = (un conjunto infinito contable).Sea 2 la -álgebra asociada al conjunto . Ahora, si A se define:

nn A

1P A =

2

Es decir, el número natural n tiene asociada laprobabilidad ½n, esto es, P({n}) = ½n.

Es fácil mostrar que P definida de esta manera esuna medida de probabilidad, puesto que:

n nn n

1 1 P = = = 1.

2 21

(i)

n nn A n

1 1 Si A , entonces 0 P(A) = = 1,

2 2

esto es, 0 P(A) 1.

1

(ii)

1 2 k l

i i

ii

i i

Si A , A , , son tales que A A con k l,

entonces, P A = P A . Esto debido a que

cada A y los A son disjuntos.

11

(iii)

Ejemplo: Considere el espacio medible (, B()).Sea f: [0, ) una función no negativa y

continua, tal que su integral sobre el intervalo(- , ) es uno. La función P definida paracualquier conjunto de Borel A por la integral:

AP(A) = f(t) dt

Es una medida de probabilidad, ya que:

-

(i) P( ) = P((- , )) = f(t) dt = 1, por suposición.

A-

A

(ii) P(A) = f(t) dt f(t) dt = 1, y como f(t) 0,

entonces 0 f(t) dt. Esto es, 0 P(A) 1.

k k

k=1

1 2 i j

l kA A

k=1 k=1k=1

(iii) Si A , A , , donde A A = , entonces

P A = f(t) dt f(t) dt = P(A ).

Ejemplo: Sea 2 una región tal que su áreaes positiva y finita. Sea A una -álgebra de

subconjuntos de para los cuales el concepto deárea esté bien definido. Para cada A A se define

P(A) = área(A)/área( ). La función P, así definida,resulta ser una medida de probabilidad, y esllamada probabilidad geométrica. Esta definiciónpuede extenderse, evidentemente, a espacios dedimensión mayor.

Propiedades de la Función de Probabilidad

Proposición 9. Sea ( , A, P) un espacio deprobabilidad. Entonces:

(1) P( ) = 0.

(2) Si A1, A2, . . ., An A son ajenos dos a dos,entonces

n n

k k

kk=1

P A = P A .1

(3) P(Ac) = 1 – P(A).

(4) Si A B, entonces, P(B – A) = P(B) – P(A).

(5) Si A B, entonces, P(A) P(B).

(6) 0 P(A) 1.

1. Como = , por la -aditividad se

tiene que P( ) = P( ) + P( ) + P( ) + , estoes P( ) = 0.

Demostración:

2. Al tomar An+1 = An+2 = = , por la -aditividad y la propiedad 1, se tiene que:

n n

k k k k

k kk=1 k=1

P A = P A = P A = P A .1 1

3. Dado que = A Ac, aplicando 2 y la definición de

función de probabilidad se tiene que:

1 = P( ) = P(A) + P(Ac),

Esto es,

P(Ac) = 1- P(A).

4. Dado que A B, se tiene que B = A (B – A). Así,aplicando 2, tenemos que P(B) = P( A (B – A)) =

P(A) + P(B – A). Esto es, P(B – A) = P(B) – P(A).

5. Como la probabilidad de cualquier evento esun número no negativo, por la propiedad 4,en particular como, P(B – A) 0. Entonces,P(B) – P(A) = P(B – A) 0, esto es, P(A) P(B).

6. La primera desigualdad es el segundo axioma de lafunción de probabilidad, y la segunda se sigue altomar B = en la propiedad 5 y el primer axiomade probabilidad.

Para cualquier conjunto A, A Ac = y así para cualesquiera dos conjuntos A y B tenemos la siguiente descomposición de B:

B = B = (A Ac) B = (A B) (Ac B),

por lo tanto,

P(B) = P(A B)+P (Ac B)

Poniendo B= y recordando que P( )=1, concluimos que

P(Ac) = 1- P(A)

En particular P( ) = 1 - P( ), así que:

P( ) = 0

Supóngase que A B. Entonces A B=A y de donde

P(B) = P(A) + P(Ac B), si A B

Puesto que P(Ac B) 0 por (ii), vemos que:

P(B) P(A), si A B

Las leyes de D’Morgan afirman que si {An},n 1, es cualquier sucesión de conjuntos,entonces:

c c

c c

n n n n

n n n n

A = A y A = A

Ejemplo: Supóngase que se lanzan tresmoneda perfectamente balanceadas eidénticas. Encontrar la probabilidad de que almenos una de ellas caiga sol.

Se puede observar que existen ocho posiblesresultados de este experimento representadoscomo sigue:

Moneda 1 S S S S A A A A

Moneda 2 S S A A S S A A

Moneda 3 S A S A S A S A

Si A representa el evento “al menos una de lasmonedas cae sol”.

Observamos que existen ocho posiblesresultados de este experimento cada uno deellos con la misma probabilidad de serobtenido; así usando la definición deprobabilidad clásica, como #(A) = 7, entonces:

P(A) = #(A)/#( ) = 7/8.

Por otro lado, #(Ac) = 1, así que, P(Ac) = 1/8 y

P(A) = 1 – P(Ac) = 1 – 1/8 = 7/8.

La propiedad 2 sobre medida de probabilidadnos dice que para conjuntos disjuntos A y B,

P(A B)=P(A)+P(B)

Proposición 10. Sea ( , A, P) un espacio de

probabilidad. Entonces:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). (*)

Si A y B no necesariamente son disjuntos, entonces:

Demostración:Para ver que (*) es verdadera observe que losconjuntos A Bc, A B, y Ac B son mutuamentedisjuntos y su unión es exactamente A B (ver Figura2). Así,

P(A B)=P(A Bc)+P(A B) + P(Ac B)(**)

AB

A BC

A B AC

B

Figura 2

Sin embargo,

P(ABc)=P(A) - P(AB) y P(AcB) = P(B) - P(AB),

y al sustituir estas expresiones en (**), obtenemos(*).

Nota: Es inmediato de la proposición anterior y deP(A B) 0 que P(AB) P(A) + P(B).

Es decir, las probabilidades son funcionesfinitamente subaditivas.

La propiedad (2) establece que las probabilidades son funciones finitamente aditivas y la propiedad (5) que son funciones monótonas.