ESP PFC Año Anterior

Este informe describe el proyecto fin de carrera titulado Resolucin Numrica

de EDPS asociadas a problemas de control, realizado por Carlos Lucas

Rodrguez, para la carrera Ingeniera Aeronutica dependiente del

Departamento de Ingeniera en Sistemas y Automtica de la Universidad de

Sevilla. Este proyecto fue realizado bajo la supervisin del profesor D. Jos

ngel Acosta Rodrguez.

El informe fue redactado en Microsoft Office y Adobe PDF. La familia de fuentes utilizada es Verdana, 11, para texto, y Courier Math para expresiones matemticas.

Sevilla, 20 de Septiembre de 2012.

Esta pgina ha sido intencionalmente dejada en blanco

Agradecimientos

A mi padre, mi madre y mis hermanos,

por darme todo su apoyo y confianza.

A mi abuela.

A los que no se encuentran entre nosotros,

siempre estaris presentes.

A aquellos que me ayudaron a seguir hacia adelante.

A aquellos profesores que siempre me apoyaron.

A mi tutor Jos ngel A. R.

por su apoyo y dedicacin

Resumen

Este proyecto presenta los resultados obtenidos al aplicar un caso particular

del MDF (Mtodo de las Diferencias Finitas) en la resolucin de EDPS (Sistemas

de Ecuaciones Diferenciales Parciales).

Se presentar la formulacin matemtica del MDF para funciones de dos

variables y posteriormente se implementar para funciones en derivadas

parciales de orden dos. Asimismo se utilizar esta formulacin para la

resolucin de EDPS.

El mtodo, programado en MATLAB, se ha aplicado a un caso prctico: el

pndulo invertido. El software ha sido utilizado para generar parmetros

esenciales de la ley de control que sera la responsable de estabilizar el

sistema.

La memoria finaliza con una serie de conclusiones y futuras tareas para esta

lnea de trabajo planteada.

Captulo 1. Motivacin y objetivos

1.1. Introduccin................................................................................. 1

Captulo 2. EDPS

2.1. Introduccin................................................................................. 3

2.2. Tipo ............................................................................................ 6

2.3. Sistemas de Ecuaciones ................................................................. 9

2.4. Condiciones de Contorno ............................................................. 10

Captulo 3. Resolucin de EDPS

3.1. Aproximacin de Derivadas. El MDF. ............................................. 11

3.2. El mtodo de la molcula ............................................................. 14

3.3. Ejemplos ................................................................................... 20

3.4. Clculo de soluciones en EDPS. Aproximacin de la solucin ............ 25

Captulo 4. El Integrador Numrico EDPS_MDF_2D

4.1. El Integrador Numrico: Programacin en MATLAB ......................... 27

problema.m ............................................................................. 29

modulo0.m .............................................................................. 32

modulo1.m ............................................................................. .34

modulo2.m .............................................................................. 41

modulo3.m .............................................................................. 52

modulo4.m .............................................................................. 63

modulo5.m .............................................................................. 70

modulo6.m .............................................................................. 76

script.m .................................................................................. 81

Captulo 5. Integrador EDPS_MDF_2D: Soluciones

5.1. EDP de orden uno y dos variables ................................................. 83

5.2. EDP de orden dos y dos variables ................................................. 94

a) Ejemplo 1: Ecuacin de ondas ............................................... 94

b) Ejemplo 2: Laplaciano 2D ...................................................... 94

5.3. EDPS de orden uno y dos variables ............................................... 99

Captulo 6. Aplicacin: Control del Pndulo Invertido

6.1. Ecuaciones de Euler-Lagrange .................................................... 101

6.2. Ecuaciones de Control ............................................................... 102

6.3. Anlisis y discusin de los resultados obtenidos ............................ 106

Captulo 7. Conclusiones y Trabajo Futuro

7.1. Conclusiones ............................................................................ 141

7.2. Trabajo Futuro ......................................................................... 146

Anexos

Anexo A ......................................................................................... 151

Anexo B ......................................................................................... 152

Anexo C ......................................................................................... 153

Anexo D ......................................................................................... 155

Glosario ............................................................................................. 159

Bibliografa ........................................................................................ 161

1

Captulo 1

Motivacin y objetivos

1.1 Introduccin

Para estudiar un sistema fsico ya sea ste mecnico, elctrico o de otro tipo,

es necesario realizar un modelo matemtico que refleje el comportamiento de

las magnitudes fsicas que intervienen en el sistema. Estos modelos

matemticos generalmente expresan las relaciones entre las diferentes

magnitudes a travs de ecuaciones diferenciales siendo stas, ecuaciones

diferenciales parciales si las magnitudes bajo estudio dependen de ms de una

variable.

El objetivo del presente proyecto es sentar las bases para generar un software

que permita resolver EDPS. Para ello se aplicarn mtodos numricos, en

particular el Mtodo de las Diferencias Finitas, que permitir obtener una

aproximacin de la solucin. Dicho mtodo ser programado bajo el nombre de

EDPS_MDF_2D, software del cul se hablar en detalle en el captulo 4 del

presente texto. Una vez hecho esto, se proceder a resolver un tipo especial

de EDPs que surge en problemas de control de determinados sistemas

mecnicos. Dicha solucin se utilizar para calcular la ley de control que regula

el sistema. Con ayuda de un programa de simulacin, Simulink, incluido en el

paquete MATLAB, se podr visualizar el comportamiento del sistema ante la

2

seal de control analtica y la aproximada por el mtodo numrico

implementado. Es por ello por lo que resulta interesante buscar formas de

crear un software que pueda aportar una aproximacin en la resolucin de

EDPS, ya que son muchos los fenmenos de la naturaleza que son modelados

por este tipo de ecuaciones.

El software aqu generado, EDPS_MDF_2D, ha sido programado en MATLAB.

MATLAB ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de

programacin propio (lenguaje M) estando disponible para diversos sistemas

operativos. Esto implica mayor flexibilidad a la hora de modificar o generar

nuevo cdigo.

Se ha elegido este software porque entre sus prestaciones bsicas se hallan: la

manipulacin de matrices, la representacin de datos y funciones, la

implementacin de algoritmos, la creacin de interfaces de usuario (GUI) y la

comunicacin con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos

hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que

expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulacin

multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Adems, se

pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas

(toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets).

Asimismo, MATLAB es muy usado en universidades y centros de investigacin

y desarrollo, por lo tanto es un programa actualizado. Hecho que se refleja en

el aumento del nmero de prestaciones en los ltimos aos. Una de ellas, la de

programar directamente procesadores digitales de seal o crear cdigo VHDL.

Por ltimo comentar que, si en principio ya existen programas en el mercado

que resuelven problemas especficos de ingeniera mediante mtodos

numricos, como por ejemplo, Ansys Structural para resolver problemas de

elasticidad o Ansys Fluent para simular determinados comportamientos de los

fluidos, stos son de tipo particular y no de carcter general, es decir, no

resuelven cualquier tipo de ecuaciones planteadas por el usuario.

3

Captulo 2

EDPS

2.1 Introduccin

Hoy en da los modelos matemticos usados para describir la realidad plantean

ecuaciones, generalmente en derivadas, que son resueltos mediante el uso de

computadoras. Estas facilitan y aligeran la tediosa tarea, en ocasiones

mecnica, de tener que realizar grandes cantidades de clculos para obtener

una estimacin sobre el comportamiento del sistema bajo estudio.

Es fcil pensar que si un mvil avanza un metro por cada segundo que

transcurre, a los dos segundos el mvil habr avanzado dos metros y as

sucesivamente. Esta descripcin de la realidad obedece a una simple ecuacin

diferencial , donde es la posicin, es el tiempo y la velocidad o

tasa de variacin de la posicin con respecto al tiempo, siendo en este caso

intuitiva su solucin.

Sin embargo, no todos los modelos existentes en la naturaleza son tan

sencillos. La complejidad de los modelos reside tanto en el nmero de

variables que intervienen en l como en el tipo de relaciones existentes entre

ellas. No es lo mismo analizar el comportamiento de un sistema elstico

dotado de un solo grado de libertad, (por ejemplo un muelle con un extremo

fijo) que un sistema elstico de varios grados de libertad. As mismo, no es lo

mismo considerar que este muelle que mencionbamos realice su movimiento

en el vaco, que en presencia de disipacin de energa. Es por ello por lo que el

empleo de ordenadores en la resolucin de estos modelos es imprescindible. Y

para que los resultados obtenidos sean ptimos, los mtodos de clculo

empleados, que debern ser numricos, han de ser lo ms eficiente posible.

Una vez se ha justificado el porqu del uso de un ordenador para obtener los

resultados se ha de hacer una breve descripcin de qu son las ecuaciones

diferenciales, algunos de sus tipos y los sistemas que generan.

Se entiende por ecuacin diferencial cualquier ecuacin en la que interviene

una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o ms variables

independientes. Muchas leyes de la naturaleza, en fsica, qumica, biologa o

4

astronoma, encuentran su expresin ms natural en el lenguaje de las

ecuaciones deferenciales. Son asimismo abundantes sus aplicaciones en la

propia matemtica, especialmente en geometra, y tambin en ingeniera,

economa y en otro muchos campos de las ciencias aplicadas.

Es fcil comprender la razn que se oculta tras una tan amplia gama de

aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. El lector recordar que si

es una funcin dada, su derivada se puede interpretar como el ritmo de cambio

de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas

sus ritmos de variacin estn relacionadas entre s por medio de los

principios cientficos bsicos que gobiernan dichos proceso. Al expresar tal

conexin en smbolos matemticos, el resultado es con frecuencia una

ecuacin diferencial.

El siguiente ejemplo ilustra estos comentarios. De acuerdo con la segunda ley

de Newton, la aceleracin a de un cuerpo de masa m es proporcional a la

fuerza total , que acta sobre l con 1 como constante de proporcionalidad,

de modo que , o sea,

(2.1.1)

Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa m cae bajo la sola

influencia de la gravitacin. En tal caso, la nica fuerza que acta sobre l es

mg, donde g denota la aceleracin de la gravedad. Si y es la altura medida

hacia abajo desde una cierta posicin prefijada, entonces su velocidad

es el ritmo de cambio de su posicin y su aceleracin

es el ritmo de cambio de la velocidad. Con esta notacin,

(2.1.1) se convierte en

(2.1.2)

O sea,

(2.1.3)

Si alteramos la situacin, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de

resistencia proporcional a la velocidad, la fuerza total que acta sobre el

cuerpo es , y (2.1.1) pasa a ser

(2.1.4)

Las ecuaciones (2.1.2) y (2.1.3) son las ecuaciones diferenciales que modelan

el comportamiento de los dos procesos fsicos bajo consideracin.

5

Como ejemplos adicionales de ecuaciones diferenciales cabe citar:

(2.1.5)

(2.1.6)

En cada una de esas ecuaciones la variable dependiente es , mientras que la

variable independiente es . Las letras , y representan constantes. Una

ecuacin diferencial ordinaria es una en la que slo existe una variable

independiente, de manera que todas las derivadas que aparecen en ella son

derivadas ordinarias. Todas las que acabamos de citar son ordinarias. El orden

de una ecuacin diferencial es el orden de la derivada ms alta que contiene.

Las ecuaciones (2.1.5) y (2.1.6) son de primer y segundo orden

respectivamente.

Una ecuacin diferencial en derivadas parciales es una que hace intervenir ms

de una variable independiente, de modo que las derivadas que aparecen en

ella son derivadas parciales. Por ejemplo, si es una funcin del

tiempo y de las tres coordenadas rectangulares de un punto en el espacio, las

que siguen son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo

orden:

(2.1.7)

(

)

(2.1.8)

(

)

(2.1.9)

stas son EDPs clsicas. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de

Laplace, del calor y de ondas. Cada una de ellas posee un importante

significado en fsica terica, y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas

ideas matemticas relevantes. En general, las EDPs aparecen en la mecnica

de los medios continuos, en problemas relacionados con campos elctricos,

dinmica de fluidos, difusin y movimientos ondulatorios, sin dejar de lado

todo lo relativo al estudio de fenmenos aerodinmicos. Su teora es muy

diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias, y notablemente ms

difciles de resolver en casi todas sus facetas.

6

2.2 Tipos

Una vez conocido el concepto de ecuacin diferencial parcial resulta de inters

su clasificacin. Esto ayudar a la hora de proponer una solucin, puesto que

cada tipo posee un anlisis en particular. Si bien esto puede parecer muy

prctico, hay que decir que slo en determinados casos la solucin de la

ecuacin planteada tendr solucin analtica.

A) Ecuaciones diferenciales de una variable

Existen muchos tipos de mtodos numricos para aproximar la solucin de

este tipo de ecuaciones. Su expresin genrica es:

(

)

Como se puede observar, al existir una nica variable independiente, las

derivadas no son parciales, sino totales. Por tanto, no hay que confundirlas con

una ecuacin diferencial parcial. Son ecuaciones diferenciales ordinarias.

B) EDPs de orden dos en dos variables

Segn el tipo de problema (nmero de coeficientes y valores de stos) existen

unos mtodos recomendados para resolverlos.

Su expresin ms genrica es:

Y en funcin de los coeficientes a, b y c esta ecuacin ser elptica, hiperblica,

o parablica.

Ecuacin Elptica

Si 4 < la ecuacin diferencial parcial es elptica. Estas ecuaciones son tpicas de problemas estacionarios, generalmente problemas de potencial. Dos ejemplos seran:

Ecuacin de Poisson

Ecuacin de Laplace

En ambos casos 1, y 1 y consecuentemente 4 < 4

7

En los ejemplos tratados, se han considerado los coeficientes , y constantes pero en general, estos coeficientes dependen de las variables

independientes, por lo que la ecuacin cambiar de un tipo a otro en el mismo dominio.

C) EDPs de orden dos definidas en siendo

Las EDPs de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenmenos

fsicos. Su expresin genrica es:

(

)

Un ejemplo para podra ser

(

)

donde

Ecuacin Parablica

Si 4 la ecuacin diferencial parcial es hiperblica. Estas ecuaciones son tpicas de problemas que describen flujos,

como es el caso de la conduccin de calor o de materia.

La ecuacin de calor

En este caso 1, y por lo que 4

Ecuacin Hiperblica

Si 4 la ecuacin diferencial parcial es hiperblica. Estas ecuaciones son tpicas de problemas oscilatorios. Un ejemplo

sera:

La ecuacin de ondas

En este caso 1, y

por lo que 4

8

D) EDPs de orden superior definidas en siendo

Otros procesos fsicos son modelados mediante EDPs de rdenes superiores.

Su expresin genrica es:

(

)

Ejemplos de inters de estas ecuaciones son los siguientes:

Flexin mecnica de una placa elstica:

Vibracin flexional de una viga:

[

]

Ecuacin de Korteweg-de Vries, que tiene soluciones de tipo solitn1,

[

]

Ecuacion de KadomtsevPetviashvili, utilizadas para modelar el

movimiento no lineal de una onda:

(

)

No existen mtodos genricos para su resolucin. sta depender del tipo de

problema. (Polyanin, 2002)

1 Un solitn es una onda solitaria que se propaga sin deformarse en un medio no lineal. Para un mejor

entendimiento se anexa una imagen y su explicacin. La lnea azul son las ondas portadoras, mientras que la lnea roja es la envolvente de los solitones.

9

2.3 Sistemas de Ecuaciones

Para finalizar este captulo solo quedara por describir el problema matemtico

que puede generar la agrupacin de dichas ecuaciones. Efectivamente, se est

hablando de un problema que se podra identificar como un sistema de

ecuaciones diferenciales parciales, en el que existiran ecuaciones con

incgnitas. La particularidad de este sistema residira en que las incgnitas a

resolver seran funciones en vez de variables simples. Y por tanto, la solucin

consistira en un conjunto de funciones, lineales o no lineales, dependientes

de las variables del problema, definidas por el dominio en el que estn

definidas estas funciones.

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales sera el

generado por las ecuaciones de Navier-Stokes, muy conocidas en Mecnica de

Fluidos:

( )

[ (

)] [ (

)] ( )

(

)

Donde las incgnitas son , , , , ,

definidas en pues son cuatro las variables de las que depende

cada funcin incgnita. Este sistema tiene solucin tras una serie de

simplificaciones e hiptesis que reduce tanto el nmero de incgnitas como el

nmero de variables independientes.

Con esto, se pretender dar a conocer al lector, que la resolucin de una

ecuacin diferencial parcial en s es compleja, y al aumentar el nmero de

ecuaciones y el nmero de variables, la complejidad es an mayor, por lo que,

generalmente, se requiere de simplificaciones y un estudio minucioso de cada

problema para poder llegar a soluciones analticas.

10

2.4 Condiciones de Contorno

Para concluir el captulo presente, se hablar de otro aspecto importante que

completa la definicin de toda ecuacin diferencial parcial. ste se refiere a las

condiciones de contorno. stas regulan la solucin concreta del problema que

se est tratando. Dichas condiciones modelan la funcin primitiva y son

responsables de que cambie, por norma general, la solucin planteada en un

caso y en otro.

Los tipos de condiciones de contorno que podemos encontrar son:

Condiciones de frontera tipo Dirichlet:

Son aquellas condiciones de contorno que se expresan mediante la

evaluacin directa de la funcin incgnita en la frontera, es decir, en la

frontera el valor que adquiere la funcin primitiva (aquella a la cul queremos

llegar) es conocido.

Si la variable independiente en la que est expresada la condicin de

frontera hace referencia al tiempo , suelen denominarse condiciones iniciales.

Condiciones de frontera tipo Neumann:

Son aquellas condiciones de contorno que se expresan mediante la

evaluacin de la derivada de la funcin incgnita en la frontera, es decir, se

conoce el valor que adquiere la derivada de la funcin primitiva en la frontera.

Condiciones de frontera tipo Robin:

Son aquellas que se expresan mediante una combinacin de las

anteriores.

11

Captulo 3.

Resolucin De EDPs

En este captulo se describir el mtodo numrico utilizado para resolver

aquellos problemas en los que aparecen EDPs. La idea es aproximar la

expresin de la derivada y sustituir su valor exacto por uno aproximado. Si

bien existen aproximaciones para todo tipo de rdenes de derivadas de

funciones que dependen de un nmero de variables escalares reales, en este

proyecto slo se tratarn las de orden uno y orden dos, en dos variables,

proponiendo como aproximaciones las recogidas en la bibliografa consultada

(K.A. Stroud, 2001). Estas aproximaciones estn basadas en un desarrollo en

series de Taylor en torno a un punto conocido. Este proceso y su aplicacin lo

describiremos en los epgrafes sucesivos.

3.1 Aproximacin de Derivadas. El MDF.

3.1.1 Una variable

Es sabido que si es una funcin continua y derivable en su dominio, se

puede conocer el valor de la funcin en un punto prximo a del que dista una

magnitud denotada por (paso). Esta aproximacin se realiza mediante el

desarrollo en serie de Taylor cuya expresin es la siguiente:

de forma anloga, y cambiando por obtendramos su aproximacin en

dicho punto:

Reagrupando los trminos en la primera ecuacin, se consigue la siguiente

expresin,

12

y de la segunda ecuacin se obtiene,

Despreciando los trminos de orden dos y superiores las expresiones

anteriores se transforman en

frmula de la diferencia hacia adelante

frmula de la diferencia hacia atrs

Finalmente, restando estas expresiones se obtiene la llamada frmula de la

diferencia centrada que aproximada la primera derivada

Es decir, esta expresin sugiere que una aproximacin de la derivada, para

suficientemente pequeo, es evaluar la diferencia del valor de la funcin en

dos puntos y dividirlo entre su distancia (siempre que se desprecien los

trminos anteriormente comentados). Las implicaciones son notorias, pues

convierten la derivacin en una mera resta y divisin. Esta idea, en principio

vaga, tendr una aplicacin de extremo valor a la hora de resolver los

problemas como se ir viendo a lo largo del captulo.

Si en vez de haberse restado las expresiones de las diferencias hacia adelante

y hacia atrs, se hubieran sumado hubisemos obtenido la expresin de la

frmula centrada que aproxima la segunda derivada. Esta es

Cabe decir, que desde el punto de vista de los mtodos numricos, las

frmulas de las diferencias centradas se comportan mejor en cuanto a

convergencia en la solucin, ya que el error es menor (Medina, 2007)

(Barreiro, 2012).

3.1.2 Dos variables

La idea de la aproximacin de la derivada comentada en el epgrafe anterior

puede ser extrapolada a ms de una variable. El resultado es que una funcin

13

continua y derivable que dependa de dos variables reales, e , puede

desarrollarse en series de Taylor en torno a un punto y obtener as su valor en

un punto prximo a l.

Analticamente esto se refleja en la siguiente expresin:

1

(

)

Si se desprecian los trminos de orden superior a dos, y sustituyendo los

valores por y por ; por y por ; y por y por se

obtendrn tres expresiones similares a la anterior. Sumando por un lado todas

las expresiones y restndolas en otro caso, se llegan a las expresiones de las

diferencias centradas para aproximar las derivadas primeras y segundas de las

funciones de dos variables. Estas expresiones son

Derivadas de orden uno

|

|

Derivadas de orden dos

|

|

|

4

Aunque en este caso slo utilizaremos hasta las expresiones en derivadas de

orden dos, y para funciones de dos variables, cabe decir que se pueden

obtener expresiones anlogas para rdenes superiores y ms variables. Es

decir, siempre se podr encontrar una expresin algebraica en funcin de los

valores que tome la funcin en el dominio que aproxime la derivada. (Medina,

2007)

14

Por tanto, la forma de abordar este tipo de problemas en los que aparecen

ecuaciones diferenciales parciales ser sustituir estas derivadas por sus

aproximaciones. Es por ello por lo que ser necesario discretizar el dominio y

evaluar las funciones en dichos puntos. Siendo los valores de la funcin en

estos puntos las nuevas incgnitas del problema.

3.2 El mtodo de la molcula

Si recopilamos las aproximaciones anteriores y las planteamos grficamente, el

esquema resultante sera el siguiente:

Aproximacin Derivada Orden 1

|

|

Figura 3.2.1 Molcula Computacional MDF Centradas Derivada Orden 1

15

Aproximacin Derivada Orden 2

|

|

|

4

Figura 3.2.2. Molcula Computacional MDF Centradas Derivada Orden 2

Esta configuracin grfica es muy til a la hora de resolver el problema. Ya que

se ir colocando la molcula computacional en cada nodo de la malla y se ir

observando a qu nodos afecta dicha expresin, obtenindose la

discretrizacin del problema rpidamente. Esto se explica ms fcilmente con

un ejemplo:

Supongamos que hay que resolver una EDP de orden uno dada por

en el dominio dado por [ ] [ ] [ 1] [ 1] en el

que existen condiciones tipo Neumann en y el resto son de tipo Dirichlet.

Siendo sus expresiones:

16

1

|

( ( ))

1

( ) 1

( )

Lo primero ser discretizar el dominio en la direccin y en la direccin . Se

tomar el mismo paso en ambos ejes para simplificar, siendo .

Figura 3.2.3. Generacin de parmetros para la discretizacin de en funcin de las

condiciones de contorno del problema.

El paso siguiente, puesto que se ha mencionado que existe una condicin tipo

Neumann en mientras que en el resto de extremos son de tipo Dirichlet,

consistir en ampliar en el paso , , para poder aplicar aqu la molcula

correspondiente a la condicin tipo Neumann ya que el mtodo requiere, para

aproximar la derivada en los nodos, un nodo anterior y otro posterior. Por

tanto el nuevo dominio es [ ] [ ] y por tanto la malla que

discretiza a es:

17

Figura 3.2.4. Discretizacin de en presencia de condiciones tipo Neumann.

Una vez se han hecho los pasos anteriores, se puede proceder a discretizar la

ecuacin aplicando la molcula a cada nodo que lo requiera. stos sern todos

aquellos nodos que no posean condiciones tipo Dirichlet y que adems cumplan

la condicin de encontrarse presentes en el mallado original. A continuacin se

presenta una discretizacin, usando el esquema de la molcula computacional,

de las ecuaciones que intervienen el problema:

Molcula de la ecuacin de campo:

Molcula de la condicin tipo Dirichlet en frontera:

( )

|

0

0

18

Teniendo el esquema grfico de la discretizacin de las ecuaciones, solo

quedar aplicarlo a la malla generada.

Para aquellos nodos en los que exista una condicin en derivada, se aplicar la

molcula correspondiente a dicha frontera. Un ejemplo se muestra a

continuacin:

Figura 3.2.5. Aplicacin del mtodo de la molcula para obtener una discretizacin de

las condiciones tipo Neumann.

En este caso estamos aplicando el esquema sobre el borde del mallado que

corresponde al extremo superior de la coordenada , es decir, , En este

borde el enunciando del problema expresa la condicin de contorno en forma

diferencial, es por ello por lo que se aplicar su correspondiente molcula,

obteniendo as una ecuacin por cada nodo que junto al resto de ecuaciones

permitir conocer los valores de la funcin que se desea resolver.

El procedimiento ser anlogo para los nodos que sean de tipo interno, es

decir, aquellos nodos que se encuentran dentro de las fronteras del mallado de

trabajo. Un ejemplo se muestra en la Figura 3.2.6.

Para los nodos que se encuentren en las fronteras del dominio y la condicin

impuesta sea de tipo Dirichlet solo habr que evaluar su valor en dicho nodo.

19


la ecuacin de campo.


las condiciones Dirichlet.

20

3.3 Ejemplo

Encontrar la solucin de la ecuacin

en el dominio

[ ] [ ] [ ] [ ] siendo las condiciones de contorno

|

Siendo el paso en la direccin , 1 y el paso en la direccin , 1 .

Lo primero que se realiza es el mallado del dominio y la numeracin de los

nodos. Se puede observar que existe una condicin en derivada en el extremo

1. Esto obligar a modificar el mallado original, dado en la figura 3.3.1.

Figura 3.3.1. Lmites del dominio de integracin.

aumentndolo en el paso, es decir como se ve a continuacin:

21

Figura 3.3.2 Mallado ampliado: Dominio de trabajo.

Una vez el mallado es el adecuado se procede a evaluar los valores de la

funcin (la incgnita a resolver) en los lugares conocidos. En este caso

en , e , siendo estos valores los siguientes:

(

) 4

(

) 1

(

) (

)

1 (

1) 4

(

1) 1 1

La solucin se evala en los nodos 7,8,9,12,13,14. Las condiciones de contorno

adems requerirn de los nodos 10 y 15.

Aplicando las frmulas de las diferencias centradas a la ecuacin en derivadas

parciales obtenemos la siguiente expresin:

22

( ) ( )

( )

Que se puede expresar como la siguiente molcula computacional:

Figura 3.3.3 Molcula computacional del nodo interno

O si la simplificamos obtendramos:

Figura 3.3.4 Molcula computacional del nodo interno simplificada

Aplicando este esquema a los nodos internos, es decir a los nodos

7,8,9,12,13,14 obtendremos 1 ecuacin por nodo en total:

23

4 1 1 1 4

1 1 1 1 4

1 1 1 1 14 4

11 1 1 1 4 1 4 1

1 1 1 1 14 4 1 4 1

1 1 1 1 1 4 1 4 14

Por ltimo quedara obtener las ecuaciones referentes las incgnitas de la

columna aadida al mallado original que corresponden a las incgnitas de las

condiciones de contorno. Para generarlas, primero obtendremos la expresin

en diferencias finitas de la condicin de contorno:

|

( )

Cuya molcula se presenta como:

Figura 3.3.5 Molcula computacional del nodo con condicin tipo Neumann

Aplicando esta expresin en los nodos de coordenada obtenemos las 4

ecuaciones que faltan para que el sistema sea compatible determinado

1

1 1

1

24

Si ordenamos estas ecuaciones y las expresamos en un sistema matricial tal y

como sugiere el mtodo, obtenemos el sistema:

Cuya solucin en el dominio original corresponde a los valores recogidos en la

siguiente tabla:

Y\X 0 h 2h 3h

0 5 4,00 3,00 2,00

k 3 3,11 2,33 0,88

2k 3 3,11 2,33 0,88

3k 5 4 3 2

Tabla 3.3.1 Aproximacin de en el dominio discretizado

Modificando el paso en ambas direcciones y asignndole el nuevo valor

se obtiene un total de 272 nodos y una solucin ms precisa

siendo su representacin la encontrada en la figura 3.3.6

Figura 3.3.6 Solucin al problema

25

3.4 Clculo de soluciones en EDPS. Aproximacin de la solucin

Siguiendo la idea anterior, el proceso para resolver un sistema de ecuaciones

en derivadas parciales de m ecuaciones definidas en ser el siguiente

1. Discretizar el dominio en el que se vaya a proceder a su resolucin. Esta

discretizacin depender, como se coment con anterioridad, tanto del

nmero de variables como de las condiciones de contorno establecidas:

tipo Dirichlet o tipo Neumann.

2. Aplicar las frmulas de las diferencias centradas de orden

correspondiente a cada una de las funciones incgnitas en cada ecuacin

existente. Es decir, discretizar la ecuacin objetivo.

3. Evaluar dicha expresin en todos los puntos interiores al dominio dado.

4. Evaluar las condiciones de contorno.

a. Si son expresiones que aporten el valor de la funcin en el nodo,

sustituir los valores e identificar el valor de la funcin en ese

punto con el obtenido.

b. Si son expresiones en derivadas, discretizar esta condicin

haciendo uso de las diferencias centradas y obtener la ecuacin

correspondiente.

5. Realizar el paso 2, 3 y 4 para todas y cada una de las ecuaciones

restantes.

6. Plantear el conjunto de ecuaciones anteriores surgidas tras la

discretizacin como un sistema matricial

7. Resolver el valor de del sistema.

26


27

Captulo 4.

El Integrador Numrico EDPS_MDF_2D

4.1 El Integrador Numrico: Programacin en MATLAB

El integrador numrico EDPS_MDF_2D ha sido programado en MATLAB.

EDPS_MDF_2D implementa el mtodo de las diferencias centradas para

obtener una aproximacin de la operacin derivada. De esta forma, cada

ecuacin diferencial parcial planteada se convierte en un conjunto de

ecuaciones a evaluar en una serie de puntos. Este conjunto de ecuaciones

generar un sistema matricial que permitir obtener los valores de la funcin

en los puntos del dominio. Este integrador es apropiado para resolver EDPS de

dimensin en siendo es el nmero de funciones incgnitas.

Una vez conocido el fundamento matemtico del integrador es el momento de

explicar su funcionamiento. Para ello se ha decidido estructura este captulo en

tantos subapartados como bloques componen el EDPS_MDF_2D, nueve en

total. Asimismo cada subapartado estar constituido por tres epgrafes, y

ocasionalmente cuatro, que se destinarn a explicar:

1. Finalidad del archivo.

2. Argumentos de Entrada y Salida.

3. Algoritmo y codificacin en MATLAB.

4. Funciones auxiliares del mdulo.

Antes de explicar cada bloque, a modo de introduccin, hay que decir que el

integrador est compuesto por siete mdulos gobernados por un archivo

llamado script.m:

Script lanza la orden de leer el archivo con los datos, llamado ste

generalmente problema.m

Script da rdenes tanto sobre el paso a usar para generar el mallado,

como sobre los lmites del recinto en el que se buscar la solucin.

28

Posteriormente ejecuta los mdulos de forma correcta para obtener la

solucin del problema.

Los siete mdulos que se ejecutan son los siguientes

modulo0.m: crear una plantilla base de nodos.

modulo1.m: genera los lmites del mallado para cada funcin.

modulo2.m: genera el mallado en base a los lmites.

modulo3.m: genera las ecuaciones de cada nodo

modulo4.m: extrae de cada ecuacin del EDPS las funciones incgnitas.

En cada punto del dominio se evaluarn todas las ecuaciones

correspondientes que quedarn recogidas en una submatriz.

Posteriormente sern ensambladas todas estas submatrices para

resolver todos los valores simultneamente junto a las condiciones de

contorno.

modulo5.m: Agrupa todas las matrices que discretizan cada ecuacin

del EDPS en otra matriz.

modulo6.m: procede al clculo y representacin del sistema

creado en modulo5.m

Dicho esto se pasar a describir detalladamente cada mdulo en el resto de

pginas que componen este captulo.

29

problema.m

Finalidad del archivo

El objetivo de este archivo es proporcionar al programa los datos del problema

planteado. En l se introducirn las ecuaciones a resolver, las condiciones de

contorno de cada funcin incgnita y el dominio en el que se debe buscar la

solucin.

Argumentos de Entrada y Salida

Algunos de los datos necesarios para este archivo sern proporcionados de

forma automtica por script.m, stos son , , , , , e . El resto

de datos, (condiciones de contorno y ecuaciones a resolver) debern

introducirse manualmente abriendo el fichero y escribiendo en l. Una vez que

el problema se encuentra codificado en el fichero, ste devuelve como salida

las siguientes variables:

funciones_campo variable que almacena las ecuaciones del EDPS

funciones_contorno variable que almacena las condiciones de contorno

de cada funcin

funciones_termino_F_i variable que almacena los trminos lineales de la

funcin incgnita que aparecen en las ecuaciones. Estos trminos deben estar a

la derecha de la ecuacin

parametros_dominio variable que almacena los parmetros que definen

el dominio: paso en x, paso en y, inicio en x, final en x e igual en la coordenada

y.

Algoritmo y codificacin en Matlab

A continuacin se procede a explicar el cdigo por partes.

1. Se leen los datos de entrada:

function [funciones_campo, funciones_contorno, funciones_termino_F_i,

parametros_dominio] = problema1(pasox,pasoy,xf,xi,yf,yi)

2. Se cierra todo y se reinicia la pantalla:

30

close all clc

3. Se declaran las variables en las que est definido el domino: x e y.

%vector incognitas syms x y variables = [x y]; dimension = length(variables);

4. Se introducen manualmente las ecuaciones del sistema, en este caso slo

una.

%Introducir SISTEMA DE ECUACIONES %coeficientes_funciones =

[ d2f1/dx2 d2f1/dy2 d2f1/dxdy d1f1/dx d1f1/dy c_1 ];

coeficientes_funciones = [ 1 1 0 0 0 0];

5. Se genera la variable funciones_campo que almacena los coeficientes

anteriormente metidos.

[m,n] = size(coeficientes_funciones); funciones_campo = x*zeros(m,n+2); for i=1:m

funciones_campo(i,:) = [ i, 0, coeficientes_funciones(i,:) ] ;

end clear coeficientes_funciones;

6. Se introducen los trminos lineales que dependan de la incgnita. En este

caso son nulos.

funciones_termino_F_i= [ 0 ];% a la derecha de la ecuacion

7. Se introducen manualmente las funciones de contorno. Los pasos previos a

ellos que se ven en las sucesivas lneas son para reservar la memoria

necesaria para esta variable.

%Introucir Condiciones de Contorno m_filas = 2*dimension*m; n_columnas = 4;

funciones_contorno = x*zeros(m_filas,n_columnas);

31

for i=1:m

funciones_contorno((i-1)*(2*dimension)+1:i*(2*dimension),1) =

i*ones((2*dimension),1); funciones_contorno((i-1)*(2*dimension)+1:i*(2*dimension),2) =

(1:2*dimension);

end

funciones_contorno(:,3:n_columnas) = [0, 9*y^2-9*y+5;%condicion_x0 ; 1, -6;%condicion_xf ; 0, 5-3*x;%condicion_y0 ; 0, 5-3*x];%condicion_yf

8. Se genera la variable parmetros_dominio.

dominio = [ xi, pasox xf yi, pasoy, yf ]; parametros_dominio = dominio; end

32

modulo0.m


Este mdulo crea un mallado plantilla. Es decir, lee todas las funciones de

contorno, y crea un mallado base que es el ms amplio y el que abarcara

todas las posibilidades del problema. Por tanto, a modo de ejemplo, si existe

una funcin con una condicin tipo Neumann en y otra funcin con condicin

tipo Neumann en e , este mdulo crear un mallado en el dominio

[ ] [ ]

Esta plantilla ser muy til a la hora de ordenar las ecuaciones que genera

cada nodo en un EDPS.


Hay que decir que este mdulo toma como argumentos de entrada los

parmetros del dominio, es decir los valores [ ] [ ] almacenados

en el vector parmetros_dominio, y por otro lado tomar la informacin

relativa a todas las condiciones de contorno recogidas en la variable

funciones_contorno. Un ejemplo de estos datos de entrada seran los

mostrados a continuacin:

Que mediante el comando

function plantilla = modulo0(funciones_contorno, parametros_dominio)

parametros_dominio =

-3.0000 2.0000 3.0000

-5.0000 3.3333 5.0000

funciones_contorno =

[ 1, 1, 0, (y - 3)^2/2 + 4458529838789353/4503599627370496]

[ 1, 2, 1, y + 113170775182595419/36028797018963968]

[ 1, 3, 0, (x - 5)^2/2 - cos(x)]

[ 1, 4, 0, (x + 5)^2/2 - cos(x)]

33

generara como salida una matriz de nodos llamada plantilla anloga a la

mostrada en la Figura 4.1.4.



function plantilla = modulo0(funciones_contorno, parametros_dominio)

2. Se generan la variables:

numero_de_variables = length(parametros_dominio(:,1)); numero_de_fronteras = 2*numero_de_variables; numero_incognitas_EDPs =

length(funciones_contorno(:,1))/numero_de_fronteras; CONTORNO = zeros(numero_de_fronteras,numero_incognitas_EDPs);

3. A continuacin se introducen por columna, en la matriz CONTORNO, la

tercera columna de la variable funciones_contorno que moldea cada funcin

del EDPS. Recordemos que en esta columna si la fila era 0, la condicin era

tipo Dirichlet y en caso contrario se trataba de una condicin tipo Neumann

for k = 1:numero_incognitas_EDPs CONTORNO(:,k) = funciones_contorno((k-

1)*(numero_de_fronteras)+1:k*(numero_de_fronteras),3); end

4. Hecho esto se va a generar una variable llamada contorno_estrella que va a

poseer las dimensiones de funciones_contorno. La tercera columna de esta variable tendr filas cero si la condicin es tipo Dirichlet, si no ser tipo

Neumann.

contorno_estrella = 0*funciones_contorno; contorno_estrella(:,3) = sum(CONTORNO,2);

5. A continuacin modulo1.m genera un mallado ampliado, acorde a las

condiciones de contorno establecidas en funciones_contorno.

dominio_de_funcion = modulo1(parametros_dominio, contorno_estrella);

6. Finalmente se realiza un mallado en este nuevo dominio. Obteniendo as la variable plantilla.

plantilla = modulo2(dominio_de_funcion);

34

modulo1.m


Es el encargado de establecer los lmites del mallado de la solucin que

depende de las condiciones de contorno, por lo tanto, en principio no sern los

mismos que los del dominio en el que se buscar la solucin. Por tanto,

funciona de la siguiente forma:

Si existen condiciones en derivadas en alguna frontera ( )

aumentar el dominio en el paso y si no, ser exactamente igual

a los lmites introducidos manualmente como datos.


Hay que decir que este mdulo toma como argumentos de entrada los

parmetros del dominio, es decir los valores [ ] [ ] almacenados

en el vector parmetros_dominio, y por otro lado tomar la informacin

relativa a las condiciones de contorno del vector funcin_contorno.

El comando en MATLAB sera

y un ejemplo de estos datos de entrada seran:

function [dominio_de_funcion] = modulo1(parametros_dominio, funcion_contorno)

parametros_dominio =

-3.0000 2.0000 3.0000

-5.0000 3.3333 5.0000

funciones_contorno =

[ 1, 1, 0, (y - 3)^2/2 + 4458529838789353/4503599627370496]

[ 1, 2, 1, y + 113170775182595419/36028797018963968]

[ 1, 3, 0, (x - 5)^2/2 - cos(x)]

[ 1, 4, 0, (x + 5)^2/2 - cos(x)]

35

En este caso, al existir una condicin en derivada en la frontera 2 ( )

condicin que se denota con el valor 1 en la tercera columna de la matriz

funciones_contorno, la funcin proporcionar unos nuevos lmites del dominio

donde crear el mallado para resolver los valores incgnita de la ecuacin.

Finalmente, modulo1.m proporciona un vector fila que almacena la funcin

incgnita para la cual se est haciendo el mallado, los antiguos lmites de

integracin, los nuevos y el paso en ambas variables.

En el ejemplo anterior, el resultado sera el mostrado a continuacin:

Por tanto, se ha transformado el dominio original dado por [ ] [ ]

[ ] [ ] que producira la siguiente discretizacin

Figura 4.1.1. Dominio original

dominio_de_funcion =

Columns 1 through 7

1.0000 -3.0000 3.0000 -5.0000 5.0000 -3.0000 5.0000

Columns 8 through 11

-5.0000 5.0000 2.0000 3.3333

[dominio_de_funcion] =

[incognita_numero, x0_dato_original, xf_dato_original,

y0_dato_original, yf_dato_original, x0_dato_nuevo, xf_dato_nuevo,

y0_dato_original, yf_dato_final, pasox, pasoy]

36

En el dominio [ ] [ ] [ ] [ ] que generar la

discretizacin mostrada en la Figura 4.1.2 para poder aplicar as el mtodo de

las diferencias centradas en las fronteras del dominio de integracin.

Figura 4.1.2. Dominio ampliado


A continuacin se explicar el cdigo por partes siguiendo como esquema el

diagrama de flujo mostrado en la pgina siguiente. Se ha dividido el cdigo en

pasos que se corresponden con partes del diagrama y que se referencian con

el nmero correspondiente.

38

El cdigo en MATLAB ser el siguiente


parmetros_dominio

funcin_contorno

de forma automtica con la instruccin:

2. Se leen las dimensiones de ambos datos

Esto se hace con el objeto de tener en la variable

m_columnas el nmero de condiciones de contorno existente para cada

funcin incgnita f_i a calcular (este nmero depende del nmero de

variables independientes de la funcin, que ser siempre 2*n, siendo n el nmero de variables independientes)

n_columnas aportar informacin sobre el nmero de columnas que

posee la matriz funcin_contorno. Como se recordar, los datos introducidos obligan a que las funciones contorno vayan acompaadas de su carcter en derivada o no (representado por un uno en caso

afirmativo y un cero en caso negativo), de la frontera a la que afecta la funcin, y de la funcin f_i a la que est moldeando esta condicin de

contorno.

m_dominio es el nmero de filas que posee el dato

parametros_dominio

n_dominio es el nmero de columnas que posee el dato

parmetros_dominio.

3. Se declara la existencia del vector dominio,

Este vector, de una fila y (1 + m_dominio + 2*m_dominio+2*m_dominio)

columnas, es el encargado de incluir la informacin del domino original (recinto dnde debe ser integrada la ecuacin), la relativa al nuevo dominio (ya acondicionado para poder aplicar el MDF), el paso en cada direccin del

dominio, y a qu funcin incgnita f_i corresponde.

function [dominio_de_funcion] = modulo1(parametros_dominio,

funcion_contorno)

[m_columnas, n_columnas] = size(funcion_contorno); [m_dominio , n_dominio] = size(parametros_dominio);

dominio = zeros(1, (1 + m_dominio + 2*m_dominio+2*m_dominio));

39

4. Se sobreescriben las dimensiones del nuevo vector domino en m_domino y

n_dominio

5. Se empieza a escribir la informacin en el vector dominio.

El ltimo elemento del vector se reserva para indicar a qu funcin

corresponde dicho domino. Es decir, adquiere el valor i de la funcin f_i.

En los 2*(2*n) primeros elementos se reservan los lugares impares para

guardar la informacin del domino original.

Las n posiciones finales se reservan para almacenar el valor del paso.

A continuacin, los lugares pares de los 2*(2*n) primeros elementos del vector

se rellenan con la informacin procedente de las funciones contorno.

Estos valores que se estn introduciendo son 0s o 1s e indican si existe una

condicin de contorno tipo Neumann o tipo Dirichlet.

Se ha rellenado de esta forma el vector para que en los primeros lugares,

en las posiciones impares estn los lmites del dominio y en los lugares pares

se exprese si este lmite debe ser ampliado o no, siendo un 0 no y un 1 si.

6. Finalmente, el vector dominio va a ser modificado, sobreescribiendo en los

lugares pares los nuevos datos del nuevo domino til para aplicar el MDF.

Esto se hace con un condicional en el que se preguntar si el lugar par

prximo al impar es 0 o 1. Si es cero, el lugar par adquirir el mismo valor

[m_dominio , n_dominio] = size(dominio);

[m_dominio , n_dominio] = size(dominio);

dominio(1,1:n_dominio-length(funcion_contorno(1,1))) = [

parametros_dominio(1,1), 0, parametros_dominio(2,1), 0,

parametros_dominio(1,3), 0, parametros_dominio(2,3), 0,

parametros_dominio(1,2), parametros_dominio(2,2)];

dominio(1,2) = funcion_contorno(1,n_columnas-1); dominio(1,4) = funcion_contorno(3,n_columnas-1); dominio(1,6) = funcion_contorno(2,n_columnas-1); dominio(1,8) = funcion_contorno(4,n_columnas-1);

40

que el lugar impar, y si no, el valor se aumentar o disminuir de tal forma

que el valor del lugar impar permita aumentar el dominio en el valor de un

paso.

7. Una vez el vector dominio recopila toda la informacin, se va a reordenar

para que en el primer lugar del vector est el nmero de la incgnita , a

continuacin estn los valores del mallado original, seguido de ello estn los

valores del nuevo dominio y en los ltimos lugares estn los valores de

los pasos.

Las lneas de cdigo son:

8. Por ltimo se cierra la funcin con la instruccin

if dominio(2) == 0 dominio(2) = dominio(1); else dominio(2) = dominio(1) - dominio(9); end

if dominio(4) == 0 dominio(4) = dominio(3); else dominio(4) = dominio(3) - dominio(10); end

if dominio(6) == 0 dominio(6) = dominio(5); else dominio(6) = dominio(5) + dominio(9); end

if dominio(8) == 0 dominio(8) = dominio(7); else dominio(8) = dominio(7) + dominio(10); end

dominio = [dominio(1,n_dominio), dominio(1,1:n_dominio-

length(funcion_contorno(1,1)))];

dominio_de_funcion = [dominio(1) dominio(2) dominio(6) dominio(4)

dominio(8) dominio(3) dominio(7) dominio(5) dominio(9) dominio(10)

dominio(11)];

end

41

modulo2.m


Es el encargado de discretizar el dominio, es decir, de crear los nodos

correspondientes. Crear los nodos en funcin de las coordenadas y los

clasificar segn su tipologa, la cul se explicar ms adelante.


Los datos de entrada son

dominio_de_funcion variable que almacena el dominio original y el

dominio ampliado

siendo un ejemplo de estos datos los mostrados a continuacin:

Ejecutando su comando en MATLAB:

El resultado o argumento de salida sera

nodos matriz que almacena los nodos que discretizan el dominio (ver Figura

4.1.4)

Esta variable discretiza el espacio en funcin del paso especificado en cada

direccin y asigna a cada nodo un nmero y su tipologa. Obtenemos as la

denominada malla de trabajo mostrada en la Figura 4.1.3.

function [nodos] = modulo2(dominio_de_funcion)

dominio_de_funcion =

Columns 1 through 7

1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.3333

Columns 8 through 11

0.0000 0.0000 0.3333 0.3333

42

Figura 4.1.3. Ejemplo de Discretizacin del dominio [ ] [ ]

Observando la malla, se puede distinguir que los nodos pueden ser de varios

tipos. Concretamente tres:

Nodo en Borde: representados por el color verde aguamarina son

aquellos que se encuentran en aqul punto que se encuentra fuera del

dominio original. Son afectados por las condiciones de contorno en

derivadas pero no generan ninguna ecuacin.

Nodo en Frontera: representados por el color rojo son aquellos nodos

que se encuentran exactamente en las fronteras del dominio original. Si

coinciden con frontera y con borde, se consideran que estn en frontera

y son afectados por las condiciones de tipo Dirichlet.

Nodo Interno: son aquellos nodos que se encuentran en el interior del

dominio de trabajo. Son afectados por las ecuaciones de campo que

plantea el EDPS. Si el nodo es estrictamente interno (interior al dominio

original) ste genera una sola ecuacin referente a la de campo. Si el

nodo es interno y adems se encuentra en una frontera original, este

nodo generar una ecuacin ms relativa a la condicin de contorno tipo

Neumann.

La identificacin del tipo de nodo es de vital importancia ya que dependiendo

de su posicin en la malla, el valor que toma la funcin debe ser aproximado

segn un tipo de molcula u otra, o si ste se encuentra en las fronteras

deber ser evaluado de acuerdo las condiciones de contorno establecidas.

43

Llegados a este punto, la forma de almacenar esa informacin ser en una

matriz con tantas filas como nodos y tantas columnas como caractersticas

haya que especificar sobre el nodo. En nuestro caso 18. En la Figura 4.1.4

aparece recogido un ejemplo de esta matriz.

Columna1: Numero del nodo.

Columna2: Coordenada X del nodo.

Columna3: Coordenada Y del nodo.

Columna4: 1 si est en la Frontera x0. 0 si no lo est.

Columna5: 2 si est en la Frontera . 0 si no lo est.

Columna6: 3 si est en la Frontera . 0 si no lo est.

Columna7: 4 si est en la Frontera 0 si no lo est.

Columna8: 1 si est en el Borde . 0 si no lo est.




Columna12: 1 si el nodo es interno. 0 si no lo es.

Columna13: 1 si el nodo no existe. 0 si existe.

Columna14: 1 si el nodo se representa (genera ecuacin). 0 en caso contrario.

Columna15: 1 si el nodo tiene condicin tipo Neumann en . 0 si no.




44

Datos de Salida

Figura 4.1.4: Datos de Salida. Tabla de nodos de un dominio ampliado. Tipologia.

45

Diagrama de flujo de modulo2.m

46


El cdigo para generar este archivo se muestra a continuacin. El diagrama de

flujo asociado es el mostrado anteriormente el cul se encuentra enumerado

para poder seguir su correspondencia con el cdigo.


dominio_de_funcion

de forma automtica con el comando

2. A continuacin se declara la variable n. Esta variable (que ser una matriz con tantas filas como nodos haya y tantas columnas como caractersticas

tenga cada uno) recoger la informacin de cada nodo.

3. Luego se crea la variable dominio. Aqu se almacenan los valores del dominio original y del dominio sobre el que hay que hacer el mallado. dominio = dominio_de_funcion(1,2:length(dominio_de_funcion));

4. Se establece el nmero de variables independientes, las cuales darn lugar al tipo del dominio. En este caso R2. variables = length(dominio)/5;

5. Se crean una serie de variables A, B, v y w que sern tiles posteriormente para saber si el nodo se encuentra dentro o fuera del dominio original.

A = dominio(1:(length(dominio)-variables)); B = 0*A; v = ones(1,variables); w = 1:2*variables;

A vector que almacena los valores del domino original y los del dominio

sobre el que se llevar a cabo la discretizacin: [x0_dato_original,

xf_dato_original, y0_dato_original, yf_dato_original, x0_dato_nuevo,

xf_dato_nuevo, y0_dato_original, yf_dato_final]

B vector de ceros de igual dimensin que A.

function [nodos] = modulo2(dominio_de_funcion)

n = zeros(1,18);

47

v vector de unos de una fila y tantas columnas como de variables

dependa la funcin a calcular.

w vector de una fila y . Es un vector que

tiene en cada elemento el valor .

6. Las lneas sucesivas sern para ir generando la matriz n.

Se declara un contador, que har referencia a la numeracin del nodo: nodo = 0;

Se establece identifica el nmero de divisiones en la variable y se almacena en n_prima

n_prima = length(dominio(5):dominio(9):dominio(6));

Se hace lo mismo para las divisiones en el eje OY y se almacena su valor en m_prima

m_prima = length(dominio(7):dominio(10):dominio(8));

Siendo n_prima*m_prima el nmero total de nodos existentes en la

discretizacin.

7. A continuacin se generar un bucle que haga un barrido tanto en la variable j (corresponde a x) y cuando llegue al final, que la reinicie y aumente en un paso la variable i (corresponde a y). Para ello se escriben

las siguientes lneas:

for i = 1:m_prima

for j = 1:n_prima

8. Y para cada nodo, dentro del bucle se irn haciendo las siguientes operaciones: Se aumenta en uno la numeracin para tener as el valor del nodo

nodo = nodo + 1 ;

Se guarda este valor en la fila nodo y en la columna 1 de la matriz n.

n(nodo,1) = nodo;

Se calcula la coordenadax y coordenada y del nodo y se guardarn en la fila

nodo y en la columna 2 y 3 respectivamente.

48

n(nodo,2) = dominio(5) + (j-1)*dominio(9) ; n(nodo,3) = dominio(7) + (i-1)*dominio(10) ;

A continuacin se utlizarn las variables que creamos al principio para saber en

qu frontera se encuentra el nodo, si es que se encuentra en alguna, o en qu borde se encuentra el nodo, si es que se encuentra en alguno.

Para ello se crea un vector vfx de las mismas dimensiones que v pero que contiene la coordenada x en todos sus elementos.

vfx = n(nodo,2)*v;

Se realiza lo mismo para la coordenada y generando un vector vfy que las recoja.

vfy = n(nodo,3)*v;

Se crea el vector B que recoge los vectores anteriores dispuestos de la

siguiente forma: B = [vfx, vfy, vfx, vfy];

Se crea la variable Localizador con el vector w dispuesto como se muestra a

continuacin Localizador = [w, w];

Este vector en el caso en que haya dos variables ser 1234,1234 y hace referencia a que las frontera 1234 (los 4 primeros valores) y a los bordes 1234 (los otros 4 valores)

Se restan y su valor se almacena en un vector denominado diferencia.

diferencia = B-A;

Se crea una variable llamada C de igual dimensin que diferencia. C = 0*diferencia;

A continuacin, se analiza cada elemento del vector diferencia. Si alguno de

ellos es 0 (considerando cero segn la tolerancia de MATLAB como aquel valor que es igual o inferior a 1e-14) se asigna a su homlogo en C (aqul que posea el mismo ndice) un 1.

for indice = 1:length(diferencia)

49

if abs(diferencia(indice))

50

n(nodo,14+indice) = n(nodo,3+indice) ;

else

end

end end

Una vez pasado el primer filtro y catalogacin se procede a filtrar el caso de

que est en ms de una frontera. Esto se har observando el resultado de los

2*variables primeros elementos del producto C.*Localizador. Si hay ms de un

valor distinto de cero se considera que est en ms de una frontera y se

asignar que se encuentra en la ms lejana al origen del dominio. Este criterio

no influye en el clculo.

Se aprovechar este condicional para establecer el carcter interno o no del

nodo, ya que si est en frontera y adems posee condiciones en derivada este

nodo ser interno

%Filtro2: El nodo solo puede estar en una frontera// Nodo Interno

if sum(n(nodo,4:7)) > max(n(nodo,4:7))

[a, b] = max(n(nodo,4:7));

n(nodo,4:7) = 0*n(nodo,4:7);

n(nodo,3+b) = a

else

if sum(n(nodo,15:18))/max(n(nodo,15:18)) == 1 %

n(nodo,12) = 1; %nodo interno

else

end

end

Por otro lado, el nodo puede ser interno si resulta que no est ni en borde ni

en frontera. Es decir que la suma de todos los elementos correspondientes a

estas posiciones sea nulo. O lo que es lo mismo:

if sum(n(nodo,4:11)) == 0 n(nodo,12) = 1; %nodo interno else

51

end

Si el nodo est en ms de un borde requiere que en el nodo (i-1,j-1) haya una

condicin de derivada cruzada, por tanto no seran condiciones de frontera y

obedeceran a otro tipo de problemas. En resumen, este tipo de nodos en estos

tipos de problemas no pueden existir, por tanto se eliminan del mallado.

if sum(n(nodo,8:11)) > max(n(nodo,8:11)) %nodo en mas de un

borde

else

n(nodo,13) = 1; %nodo a excluir

end

Si el nodo es real y existe, entonces se representa

if sum(n(nodo,8:11)) > 0

else

n(nodo,14) = 1; %nodo se representa

end

9. Se cierran los bucles para cada nodo end

end

10. Se declara la variable nodos y en ella se guardan los valores de n y se finaliza la funcin.

nodos = n; %(:,1:14);

end

52

modulo3.m


Es el ncleo del integrador. Este mdulo genera las ecuaciones

correspondientes a cada nodo. Es el encargado de aproximar el valor de las

derivadas por las frmulas de las diferencias centradas y de evaluar los nodos

en las fronteras.


Los argumentos de entrada son:

dominio_de_funcion es el dominio de trabajo (ampliado si procede)

nodos matriz con los nodos del mallado de trabajo y su tipologa

coeficientes_campo recoge los coeficientes de la EDP

funcion_contorno recoge las condiciones de contorno de la funcin

delta variable binaria que vale 1 si coincide el nmero de la ecuacin que se

est resolviendo con el ndice de la funcin

y da como resultados:

ecuacion matriz que discretiza a en el mallado de trabajo

termino trmino evaluado en cada uno de los nodos del mallado

representacin vector cuyo elemento valdr 1 en caso de que el nodo

haya de ser reprsentado.


En la siguiente pgina se presenta el diagrama de flujo de este mdulo y en las

pginas posteriores el cdigo correspondiente a dicho diagrama.

54

El algoritmo en Matlab sera el siguiente: 1. Se leen los datos de entrada

function [ecuacion, termino, representacion] =

modulo3(dominio_de_funcion, nodos, coeficientes_campo, funcion_contorno,

delta)

2. Se establecen como simblicas las variables

global plantilla x y

3. Se declara el nmero de filas de las que constar la matriz que va a discretizar la ecuacin. Evidentemente coincide con el nmero de nodos que

es el nmero de incgnitas. Este valor se almacena en la variable total_nodos.

total_nodos = length(plantilla(:,1));

4. Se reserva el espacio para la matriz que discretizar el sistema. Esta matriz

se llamar ecuacin. ecuacion = zeros(total_nodos, total_nodos);

5. Se realiza lo mismo para el vector que recoger los valores del trmino independiente, variable llamada termino.

termino = zeros(total_nodos,1);

6. Se genera la variable represantacion.

representacion = ones(total_nodos,1);

7. Se almacenan los lmites del mallado y el paso en las variables x0,pasox,xf, y0, pasoy, yf.

x0 = dominio_de_funcion(3); paso_x = dominio_de_funcion(10); xf = dominio_de_funcion(7);

y0 = dominio_de_funcion(5); paso_y = dominio_de_funcion(11); yf = dominio_de_funcion(9);

8. Se declara la variable lnea y la variable indiceexcluido, que sern usados a

modo de contador

indiceexcluido = 0;

55

linea = 0;

9. A continuacin se har un barrido para cada nodo. Este barrido dar como

resultado la ecuacin correspondiente al nodo dependiendo de su tipologa (mencionada en el mdulo2). Es decir, aqu se obtiene la discretizacin de la ecuacin introducida.

k = 0;

for k = 1:total_nodos

10.El primer filtro de la plantilla es saber si existe o no en el mallado de la funcin que se est evaluando, para ello se realiza lo siguiente.

for kk = 1:total_nodos

nodo_de_plantilla_en_dominio =

comparar_plantilla(plantilla(kk,2:3),nodos(:,2:3));

if nodo_de_plantilla_en_dominio == 0 %es decir es falso

%el nodo de la plantilla no existe en dominio por lo que se

avanza una linea

indiceexcluido = indiceexcluido + 1;

nodosexcluidos(indiceexcluido) = k;

linea = linea+1;

else

En este paso, se ha recurrido a la funcin comparar_plantilla. Esta funcin lee un vector de dos columnas y compara ese vector con otra serie de

vectores almacenados en la matriz a comparar. Si encuentra coincidencia devuelve un uno, cero en caso contrario.

Una vez hecho y sabido que el nodo existe en el mallado de la funcin, se analiza cada nodo para generar la ecuacin correspondiente en caso de que proceda. Este anlisis se realiza en los subapartados de 11.1 a 11.5

k = k + 1;

representacion(k,1) = nodos(k,14);

11.1 En primer lugar, se comprueba si el nodo es virtual. En ese caso no

participar en ninguna ecuacin; se almacenar en la variable nodosexcluidos qu nodo es el que debe desaparecer de los k nodos

existentes en el mallado. (Recordar que estos nodos son aquellos que se encuentran en dos o ms bordes)

if nodos(k, 13) == 0

indiceexcluido = indiceexcluido + 1; nodosexcluidos(indiceexcluido) = k;

56

else

end

11.2 Con el paso anterior se asegura que el nodo que se trate a continuacin participa como incgnita en la ecuacin. Dependiendo

de su tipologa, generar un tipo de ecuacin u otra. Para identificar el tipo de nodo se aplicarn las mismas normas de identificacin que

se establecieron en el mdulo2.

if sum(nodos(k,8:11)) > 0 % nodo en borde y no genera ecuacion

else

11.3 Con el condicional anterior, se eliminan los nodos que no generan ecuaciones. A partir de aqu, modulo3 se encargar de generar las

ecuaciones segn las condiciones que cumpla el nodo.

11.3.1 Caso nodo interno:

if nodos(k,12) == 1 linea = linea + 1; parametro = [nodos(k,1:3), paso_x, paso_y]; [ecuacion(linea,:), termino(linea,1)] =

molecula(coeficientes_campo, parametro, x, y, nodos); anexo(linea,1) = 0;

else

end

11.3.2 Nodos Dirichlet

if sum(nodos(k,4:7)) ~= 0 && nodos(k,12) == 0 linea = linea + 1; parametro = [nodos(k,1:3), nodos(k,4:7), total_nodos];

if delta == 1

[ecuacion(linea,:), termino(linea,1)] =

evaluarfrontera(funcion_contorno, parametro, x, y);

else [equ, ter] = evaluarfrontera(funcion_contorno,

parametro, x, y);

termino(linea,1) = delta*ter; ecuacion(linea,:) = delta*equ;

end

57

else

end

11.3.3 Nodos Neumann

if sum(nodos(k,15:18)) ~= 0 %la frontera tiene

condiciones en derivadas %display(frontera derivada) linea = linea + 1;

parametro = nodos(k,15:18);

[coef_molecula_frontera] =

coeficientesFrontera(funcion_contorno, parametro); parametro = [nodos(k,1:3), paso_x, paso_y];

if delta == 1 [ecuacion(linea,:), termino(linea,1)] =

molecula(coef_molecula_frontera, parametro, x, y, nodos);

anexo(linea,1) = 0;

else [equ, ter] = molecula(coef_molecula_frontera,

parametro, x, y, nodos);

termino(linea,1) = delta*ter; ecuacion(linea,:) = delta*equ;

end

else

end

11.4 Se borra la variable parmetro para evitar restos de informacin clear parametro

11.5 Se cierra el condicional que end

11.6 Se cierra el bucle.

end

Se obtiene como resultado una matriz ecuacin (A) y un vector termino (b)

que discretiza la funcin incgnita. El vector representacin hace mencin a

58

qu nodos han de ser representados (es decir, pertenecen al dominio original)

y cules no.

12 Se cierra la funcin. end

Funciones auxiliares del mdulo

En este mdulo se han usado las siguientes funciones auxiliares.

Funcin evaluarfrontera.m

Esta funcin recibe como argumentos las condiciones de contorno de la

funcin incgnita que se est resolviendo, un nodo y sus coordenadas y

las variables simblicas x e y. Con estos datos evala dicha funcin

contorno en el nodo proporcionado como resultado el valor de la funcin

incgnita en dicho nodo.

Algoritmo evaluarfrontera.m

function [ecuacion, termino] = evaluarfrontera(funcion_contorno,

parametro, x, y)

nodo = parametro(1); nodox = parametro(2); nodoy = parametro(3);

frontera = max(parametro(1,4:7));

total_nodos = parametro(8);

ecuacion = zeros(1,total_nodos);

ecuacion(nodo,nodo) = 1;

termino = subs(funcion_contorno(frontera,4),{x,y},{nodox,nodoy});

ecuacion = ecuacion(nodo,:);

end

59

Funcin coeficientesFrontera.m

Al existir una frontera con condiciones tipo Neumann es necesario

extraer los coeficientes que compondrn la molcula correspondiente a

la discretizacin de dicha condicin. A travs de esta funcin, la cul

recibe como argumentos de entrada las funciones de contorno que

definen la funcin a resolver, y la frontera en la que se encuentra el

nodo, se obtiene un vector coeficientes_fronteras con los coeficientes

que se buscaban.

Algoritmo coeficientesFrontera.m

function coeficientes_frontera =

coeficientesFrontera(funcion_contorno, parametro)

n = length(funcion_contorno(1,:)); i = max(parametro(1:n)) ; %identificamos en qu frontera

se encuentra. termino = funcion_contorno(i,n) ; %almacenos el trmino

independiente que corresponde a la condicin en derivada. w = zeros (1,length(funcion_contorno(:,1))); %construir vector

de ceros anlogo al funcin contorno pero traspuesto. w(i) = 1 ; %ser uno el lugar

(frontera) en la que est el nodo.

coeficientes = w(i).*(funcion_contorno(:,n-1)) ;%obtenemos as si

la frontera en cuestin tiene condicin en Derivada o Evaluada.

lote = length(funcion_contorno(:,1))/2 ;

for j = 1:lote

coeficiente(j) = sum(coeficientes((j-1)*(lote)+1:j*(lote),:));

end

coeficientes_frontera = [coeficiente, termino];

end

Funcin molecula.m

Esta funcin genera la discretizacin de la ecuacin de campo planteada

en un nodo interno. Toma como argumentos de entrada los coeficientes

que componen la ecuacin de campo, las coordenadas del nodo, y los

nodos vecinos necesarios para discretizar dicha ecuacin en dicho nodo.

El resultado es un vector que discretiza la ecuacin de campo y un

60

nmero llamado trmino que corresponde con el valor que adquiere la

ecuacin que se est discretizando en el nodo proporcionado.

Algoritmo molecula.m

function [ecuacion, termino] = molecula(coeficientes, parametro, x, y,

nodos)

termino = coeficientes(1,length(coeficientes));

%coeficiente del termino independiente

coeficiente = coeficientes(1:(length(coeficientes)-1));

%coeficientes de la molecula

nodo = parametro(1); nodox = parametro(2); nodoy = parametro(3); total_nodos = length(nodos(:,1));

h = parametro(4) ; %paso en x k = parametro(5) ; %paso en y

M = zeros(3,3);

if length(coeficiente) == 2 %molecula grado 1 con euler

hacia delante (x, y)

%CREAR MOLCULA DE LA ECUACION(es la que recoge el mtodo de

Integracion) m_u = coeficiente(2)*1/(2*k); m_d = -m_u; m_r = coeficiente(1)*1/(2*h); m_l = -m_r; m_c = 0;

M = [ 0, m_u, 0; m_l, m_c, m_r ; 0, m_d, 0];

elseif length(coeficiente) == 5 ; %molecula grado 2 con euler

hacia delante (x, y)

M= [-coeficiente(3)/(4*h*k)

(coeficiente(1)/(h^2)+coeficiente(5)/(2*k))

coeficiente(3)/(4*h*k) ; coeficiente(4)/(2*h)+(coeficiente(2)/(k^2)) -2*coeficiente(1)/(h^2)-

2*coeficiente(2)/(k^2) coeficiente(2)/(k^2)+coeficiente(4)/(2*h) ; coeficiente(3)/(4*h*k) (coeficiente(1)/(h^2)-coeficiente(5)/(2*k))

coeficiente(3)/(4*h*k) ]; End

[m, n] = size(M);

mol = subs(M,{x,y},{nodox,nodoy}); termino = subs(termino,{x,y},{nodox,nodoy});

61

ecuacion = zeros(1,total_nodos);

for fila = 1:m

for columna = 1:n

coordenadax = nodox + (columna-2)*h; coordenaday = nodoy - (fila-2)*k;

lugar = buscarNodo(coordenadax,coordenaday,nodos);

if lugar == 0

else ecuacion(1,lugar) = mol(fila, columna);

end

end

end

end

62

Funcion buscarNodo.m

Esta funcin proporciona el nmero del nodo en funcin a las coordenadas x

e y que lo definen.

Algoritmo buscarNodo.m

function lugar = buscarNodo(coordenadax,coordenaday,nodos)

busca(1,1) = coordenadax; busca(1,2) = coordenaday; total_nodos = length(nodos(:,1)); lugar = 0;

for k = 1:total_nodos

diferencia = nodos(k,2:3) - busca;

if sum(abs(diferencia))

63

modulo4.m


Discretiza cada ecuacin del EDPS obteniendo as su matriz correspondiente.


Los argumentos de entrada son:

funcin de campo una ecuacin a resolver del sistema propuesto

funcin de contorno cada funcin de campo albergar una combinacin de las funciones incgnitas, por tanto es necesario conocer

las funciones de contorno de dichas funciones incgnitas

funcin trmino cada ecuacin del sistema puede poseer un trmino que dependa de s mismo

parmetros de dominio para poder crear la solucin hay que dar un dominio de integracin, donde se obtendr el valor de la ecuacin del

sistema

El cdigo para llamar a esta funcin es:

Como resultado da:

sistema_ecuacion, Una matriz con el sistema de ecuaciones que

representa a la ecuacin del sistema original.

termino El trmino b correspondiente derivado de la ecuacin original

del sistema.

representacion_i Un vector que seala qu nodos han de ser representados y cules no.


A continuacin se presenta el algoritmo y el cdigo usados para generar este archivo.

function [sistema_ecuacion, termino, representacion_i] = modulo4(funcion_campo,

funciones_contorno, funcion_termino_F_i, parametros_dominio)

65

En MATLAB el cdigo es:

1. Se leen los datos de entrada de forma automtica con el siguiente

comando,

function [sistema_ecuacion, termino, representacion_i] =

modulo4(funcion_campo, funciones_contorno, funcion_termino_F_i,

parametros_dominio)

Como resultado se obtienen las variables

funcion_campo,

funciones_contorno,

funcion_termino_F_i,

parametros_dominio

Se almacena en n el nmero de coeficientes que existen en la ecuacin del sistema a resolver.

n = length(funcion_campo);

Se declara la existencia de la variable plantilla

global plantilla

2. Identificamos qu ecuacin del sistema estamos resolviendo. ecuacion_m_i(1,1) = 0; ecuacion_m_i(1,1) = funcion_campo(1,1);

3. Almacenamos en m el nmero total de incgnitas del sistema original (que coincide con el nmero de ecuaciones)

m = ones(length(funciones_contorno(:,1)),1); m(:,:) = (funciones_contorno(:,1)); m = max(m);

4. En funcion_campo ahora almacenamos slo los coeficientes que representan la ecuacin del sistema (incluyendo el trmino libre)

funcion_campo = funcion_campo(1,3:n);

5. A continuacin obtenemos el nmero de coeficientes de la ecuacin del

sistema (ahora ya no est el trmino libre) por cada funcin incgnita n = length(funcion_campo);

66

numero_coeficientes = (n-1)/m ; %se reparte de forma igualitaria

6. Se crea la variable nodos_de_incognita. Dicha variable va a almacenar el

nmero de nodos que utiliza cada funcin incgnita para ser discretizada. nodos_de_incognita = zeros(1,m+1);

7. Para todas y cada una de las funciones incgnitas que intervienen en la

ecuacin del sistema de ecuaciones que estamos tratando, realizamos el mallado, y obtenemos su correspondiente matriz A y trmino b.

for i=1:m

7.1 Con este delta estamos consiguiendo, que en una misma ecuacin, los valores en contorno de cada funcin incgnita slo

estn siendo evaluados una vez.

if ( i - ecuacion_m_i == 0 ) %variable binaria que es 1 si la

fila del sistema es igual al indicie de la funcion incognita y

0 en caso contrario delta = 1;

else delta = 0;

end

7.2 Para cada funcin incgnita se selecciona su funcin contorno.

funcion_contorno = funciones_contorno((i-1)*(4)+1:i*(4),:);

7.3 Para cada funcin incgnita se construye el domino correspondiente.

[dominio_de_funcion] = modulo1(parametros_dominio,

funcion_contorno);

7.4 Para cada funcin incgnita se obtienen los nodos

correspondientes.

[nodos] = modulo2(dominio_de_funcion);

7.5 Se crea la variable a que adquiere el valor que se ve a

continuacin: a=length(nodosexcluidos_f_i)-1;

7.6 A continuacin se observan qu nodos estn del mallado de la

funcin incgnita estn en la plantilla. Si el resultado es negativo, implica que no existen nodos a excluir, es decir, que la plantilla

coincide con el mallado de la funcin incgnita. En este caso, se

67

almacena en la posicin correcta de nodos_de_incgnita el

nmero de nodos usados. Si existieran nodos a excluir, se almacenara su nmero y se

restara al total existente obteniendo as el nmero de nodos usados en el mallado. Asimismo se anotaran qu nodos son estos para posteriormente eliminarlos del sistema creado que

representara el EDPS. Este paso se hara en modulo5. [nodosexcluidos_f_i]= excluir(nodos,plantilla); %lista de

nodos excluidos para esta funcion.

if nodosexcluidos_f_i(1) < 0

nodos_de_incognita(i+1) = length(nodos(:,1));

nodos_q_quitar(1,a+1:a+length(nodosexcluidos_f_i)) =

nodosexcluidos_f_i;

else nodos_de_incognita(i+1) = length(nodos(:,1))-

length(nodosexcluidos_f_i);

nodos_q_quitar(1,a+1:a+length(nodosexcluidos_f_i)) =

nodosexcluidos_f_i+sum(nodos_de_incognita(1,1:i));

end

7.7 Para cada funcin incgnita se extraen los coeficientes que la representan.

coeficientes_campo = funcion_campo((i-

1)*(numero_coeficientes)+1:i*(numero_coeficientes));

7.8 Almacenamos los coeficientes de cada funcin incgnita extrados

en el paso previo.

coeficientes_campo(1, numero_coeficientes + 1) =

funcion_campo(1,n);

7.9 Una vez tenemos los coeficientes que representan cada funcin incgnita (dentro de cada ecuacin del sistema) obtenemos el

sistema de ecuaciones correspondiente a dicha funcin incgnita. [ecuaciones_incognita_i, termino_incognita_i, anexo_i,

representacion_i] = modulo3(dominio_de_funcion, nodos,

coeficientes_campo, funcion_contorno, delta);

7.10 Vamos generando en cada paso, una matriz sistema_ecuacion que

recoge los valores de las incgnitas a resolver de cada funcin

incgnita de la ecuacin del sistema

[ filas , total_nodos] = size(ecuaciones_incognita_i) sistema_ecuacion(:, (i-1)*(filas)+1:i*(filas)) =

ecuaciones_incognita_i;

68

7.11 Anlogamente lo hacemos para sistema_termino_F_i.

sistema_termino_F_i(:, (i-1)*(filas)+1:i*(filas)) =

funcion_termino_F_i(i)*eye(filas);

7.12 Y tambin para el trmino independiente, que lo almacenamos en

term.

term(:,i) = termino_incognita_i;

sistema_ecuacion = sistema_ecuacion - sistema_termino_F_i; end

8. Finalmente se selecciona el trmino correspondiente a la evaluacin de las

ecuaciones de campo y en la frontera de la funcin incgnita que se est evaluando. termino= (term(:,ecuacion_m_i));

end

Funciones auxiliares del mdulo

En este mdulo se han usado dos funciones auxiliares.

Funcin comparar_plantilla.m

Con esta funcin se consigue determinar si un ve

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