Esfuerzos Variables

Esfuerzos Variables -- Pg. 1 de 21

Repblica Argentina

Universidad de Buenos Aires

Departamento de Ingeniera Mecnica

rea de Docencia de Mecanismos

67.12 - MECANISMOS B

INTRODUCCIN A LOS ESFUERZOS VARIABLES

TERICO

Ing. MAYER Omar E.

[email protected]

OCTUBRE 2 006

Esfuerzos Variables -- Pg. 2 de 21 La obtencin de las propiedades mecnicas de los materiales, esto es, relaciones esfuerzos deformaciones, generalmente implican un gradual aumento de la carga actuante, partiendo la misma de cero y otorgando un adecuado tiempo para el desarrollo de la deformacin correspondiente a cada incremento del valor de la carga, esto es, con valores lmites para la velocidad del ensayo y sin cambiar a la misma de signo.

Este modo de aplicacin de las cargas se denomina modo esttico (incremento infinitesimal del valor de la carga) y muchas estructuras lo verifican, especialmente si la carga actuante ha alcanzado su valor definitivo sin haber causado falla alguna en dichas estructura y permanece con dicho valor en el tiempo. No obstante, cuerpos en movimiento, como ser ejes o rboles rotatorios trabajando a flexin constante en valor, direccin y sentido y sin considerar el centrifugado de los mismos; por cada media rotacin, las fibras exteriores (longitudinales) del eje o rbol por efecto de la misma rotacin sufren un cambio de signo (sentido) de los esfuerzos normales de flexin a los que se encuentran sometidas, como muestra la siguiente FIGURA 01.

En dicho esquema, la fibra A en el instante representado se encuentra sometida a traccin; un cuarto de rotacin adelante no est solicitada ni a traccin ni a compresin; un cuarto de rotacin mas a compresin (en media rotacin pas de traccin a compresin); con otro cuarto de rotacin mas no se encuentra bajo ninguna solicitacin y al completar una vuelta completa vuelve a estar sometida a traccin, repitindose este ciclo por cada vuelta que rota. Si tambin el eje debe soportar una fuerza axial constante o variable, esta se superpondr a la flexin, generndose esfuerzos normales totales variables en el tiempo, en general, con valores absolutos mximos y mnimos distintos. Resultan entonces los casos mostrados en las FIGURAS 02 y 03 siguiente pgina.

Resultando ser el fluctuante una situacin general, el alternativo resulta ser un caso particular del mismo, el primero con esfuerzo medio no nulo y el segundo con esfuerzo medio nulo, de donde tambin el primero un caso mas complejo de resolver que el segundo.

FIGURA 01

Mf Mf

Fibra 'A'A


En el esfuerzo alternativo, resulta tambin:

Esfuerzo mximo = Esfuerzo mnimo En el esfuerzo fluctuante, en funcin de que los valores mximo y mnimo pueden ser: ambos positivos, uno de ellos nulo o ambos negativos; puede resultar que el valor absoluto del esfuerzo mximo, sea menor que el valor absoluto del valor mnimo. La variabilidad de los esfuerzos, origina roturas denominadas roturas por solicitaciones variables, con valores resistenciales pseudoinferiores a los lmites de proporcionalidad, elsticos, de fluencia y/o de rotura que se puedan determinar estticamente. Las roturas por solicitaciones variables comienzan, generalmente, por la existencia de una discontinuidad en la constitucin fsica del cuerpo; tanto interna como externa; como ser una grieta, fisura o sopladura interna (defecto de colada, de soldadura y/o de laminacin), un cambio de seccin y/o de geometra, un alojamiento de chaveta, irregularidades en el maquinado, orificios,

Localizada una discontinuidad, la tensin ah resultante es mayor que la inmediatamente vecina y as sucesivamente, producindose o agrandndose

(Tpico Flexin 'pura rotativa')

Esfuerzomnimo

Esfuerzomximo

Esf

uerz

oE

sfue

rzo

FIGURA 02 -- ESFUERZO FLUCTUANTE

FIGURA 03 -- ESFUERZO ALTERNATIVO

Esfuerzomedio = 0

EsfuerzomximoEsfuerzomedio 0

Esfuerzomnimo

Espacio cubierto

Espacio cubie

Esfuerzos Variables -- Pg. 4 de 21 una grieta y disminuyndose la seccin resistente hasta un punto tal que esta ltima no resiste, producindose la repentina y tal vez inesperada (sin acuse de deformacin alguna) rotura del cuerpo. Analizada una rotura debida a solicitaciones variables, la misma resulta similar a la rotura (por ms dctil que pueda ser el material estticamente) de un material frgil sometido, valga la redundancia, estticamente; por lo que el elemento rompe sin deformacin alguna; al contrario de lo que sucede ante una solicitacin esttica y de ser dctil el material ante tal forma de solicitacin, en donde el cuerpo acusa una apreciable deformacin antes de romper.

RESISTENCIA A LAS SOLICITACIONES NORMALES VARIABLES ALTERNATIVAS

Uno de los mecanismos que se utiliza para medir la resistencia a las solicitaciones normales alternativas es el de someter una viga probeta rotatoria a flexin pura constante en valor, direccin y sentido, anulando en la zona de rotura (a travs del diseo del ensayo y de la probeta) los esfuerzos cortantes transversales de cizallamiento que se originan (flexin pura), y contando los ciclos o alternaciones de esfuerzos que soporta la probeta hasta su rotura. Llevando los resultados medios estadsticos obtenidos a un diagrama logartmico y si el material bajo ensayo es ACERO, resulta un diagrama conforme la siguiente FIGURA 04.

En l: log Smx: log Sfe log Sy si el material resulta dctil (con

fluencia) a las solicitaciones estticas y si se considera la llegada de la fluencia (o del valor de Sfe) como falla del material ante tales solicitaciones o

log (0,8 * Su) si el material resulta frgil (sin fluencia). log N: logaritmo vida til en ciclos, log Sf: logaritmo resistencia a las solicitaciones variables para

vida finita (flexin pura rotatoria, esfuerzos normales alternativos) en probetas (notar uso de ),

log Se: logaritmo resistencia a las solicitaciones variables para

vida infinita o indeterminada (flexin pura rotatoria, esfuerzos normales alternativos) en probetas (uso de ),

log S'f 10^4 ciclos

FIGURA 04

log

S'f

50 3 421

log S'e

10986 7

log S'mx

log N

Esfuerzos Variables -- Pg. 5 de 21 Del anlisis del diagrama surge que a partir del valor N = 10^6 ciclos, la `funcin se hace paralela a las abscisas donde se representan los valores de N y este hecho puede ser interpretado como que si un determinado cuerpo de acero, para un determinado valor de esfuerzo normal alternativo, soport 10^6 ciclos sin romper, posee una vida til infinita (mejor indeterminada), para dicho esfuerzo y mejor an, para uno de menor valor. Al valor de la resistencia a los esfuerzos normales alternativos correspondiente a 10^6 ciclos y en probetas de acero, se lo simboliza con Se y se la denomina resistencia a las solicitaciones normales alternativas para vida infinita o indeterminada en probetas (aceros). Para aceros de hasta Su = 1400 Mpa, su valor es de aproximadamente 0,5 * Su; para aceros con Su superior al marcado, Se se estaciona en 700 Mpa.

Aceros de hasta Su = 1.400 Mpa Se = 0,5 Su

Aceros con Su > 1.400 Mpa Se = 700 Mpa En el caso de materiales no ferrosos, la curva no resulta con tramo paralelo al eje N, por lo que estos materiales, sometidos los mismos a cargas variables, alguna vez rompen y no tienen, en consecuencia, lmite de resistencia a dicho tipo de cargas para vida infinita o indeterminada. Para aleaciones de aluminio, se suele tomar 10^8 ciclos como lmite de vida. El dimensionamiento de cuerpos de acero, supuestos los mismos para una duracin menor a 10^6 ciclos, arroja dimensiones menores que para duraciones iguales o mayores a 10^6 ciclos, por ser el Sf correspondiente, mayor que Se, por lo que el conocimiento de la admisibilidad conforme el ciclo de vida a cumplir por un cuerpo resulta un aspecto tal vez importante a la hora de dimensionar al mismo.

CONCENTRACIN de TENSIONES Supuesto un cuerpo como el esquematizado en la FIGURA 05 siguiente pgina, el mismo con un agujero o vaco como el indicado y sometido a traccin, la distribucin de tensiones en la seccin transversal que contiene el agujero (la mas dbil), debido a un efecto de acumulacin (concentracin) de lneas de tensin, es como la representada, verificndose en ambas fibras aledaas al agujero una tensin importantemente mayor que la que correspondera conforme los clculos tradicionales:

F Siendo: nm = Tensin nominal = ----------------

e * (b -- d)

resulta: ba = Kf * nm nm ;;;;; (bp nm)

con: Kf = Coeficiente de concentracin de tensiones 1


El coeficiente de concentracin de tensiones Kf reulta funcin del tipo y direccin relativa del esfuerzo que acta, de la forma de la entalla (vaco) (en este caso un agujero) y de las dimensiones de la misma respecto a la del cuerpo. En el caso representado, una fisura con la misma direccin que la del esfuerzo, no provocara concentracin de tensiones, mientras que una fisura transversal a la direccin del esfuerzo provocara una concentracin de tensiones infinita (al menos indeterminada).

En el caso de una fisura transversal, puede obtenerse un Kf finito (al menos, menor) si se practican dos perforaciones como se indica en el esquema izquierdo de la FIGURA 06 siguiente pgina y en el caso como en el de una perforacin, como la anteriormente vista, se disminuye el valor de Kf si se realizan perforaciones anteriores y posteriores, como se muestra en el esquema derecho de la misma FIGURA 06, en donde se desvan las lneas de tensin con anterioridad y posterioridad al concentrador de tensiones (agujero o fisura). Los materiales, conforme sea su fragilidad o ductilidad y si la solicitacin es esttica o variable, reaccionan de distinta manera ante el efecto en tratamiento: En los materiales de comportamiento dctil ante solicitaciones estticas y sometidos a dicho tipo de solicitaciones, cuando la fibra que se encuentra a mayor tensin alcanza la de fluencia, ante un aumento de la carga no ve incrementar su tensin; espera a que todas las fibras vecinas, una a otra, en forma sucesiva y hacia el borde del cuerpo, alcancen la fluencia para de ah en ms, ver incrementar el valor de la tensin que debe soportar.

FIGURA 05

F

ba

bd

bp

ba

bp

F

e


En los materiales de comportamiento frgil (sin fluencia), sometidos tanto a solicitaciones estticas como variables y por el contrario, la distribucin de tensiones, afectada la misma por el concentrador Kf, permanece constante hasta que la fibra que se encuentra a mayor tensin alcanza la de rotura, comenzando a producirse la rotura del cuerpo en dicha fibra y a propagarse consecuentemente la rotura haca el borde del cuerpo. Los materiales dctiles ante solicitaciones estticas, sometidos a solicitaciones variables, reaccionan como los materiales frgiles como en el apartado anterior se expuso; esto es, rompen sin mostrar fluencia o deformacin alguna. De lo expuesto cabe entender que ante un concentrador de tensiones, corresponde considerar el respectivo coeficiente cuando se est ante solicitaciones variables, sea dctil o frgil el material y en materiales frgiles, cuando los mismos estn solicitados estticamente. Se puede decir que un material es ms frgil o ms dctil que otro (no resulta correcto clasificar los materiales en frgiles o dctiles de manera absoluta) y que dicha comparacin depende del comportamiento de los mismos, conforme sean sus caractersticas y de la forma de ser de la carga que deben soportar y que con respecto a este ltimo aspecto, un mismo material ve variar su ductilidad (fragilidad) conforme es la forma de ser de la carga. Comprendiendo Sf (solucin general) el valor Se (solucin particular), el tema ser desarrollado exponindolo nicamente en trminos de Sf.

1 haciendo: ke = --- y siendo: ba = Kf * nm resulta:

Kf

F

F

F

F

FIGURA 06


Sfe ba = ke * Sfe Materiales frgiles ante solicitaciones normales estticas y cargados de dicha manera.

Sfe ba = Sfe Materiales dctiles ante solicitaciones normales estticas y cargados de dicha manera

Sf ba = ke * Sf Materiales frgiles o dctiles ante solicitaciones normales estticas y cargados con solicitaciones normales alternativas.

Siendo q = sensibilidad a la entalla (depende del material y de las dimensiones de la entalla) y Kt = coeficiente geomtrico de concentracin de tensiones (no depende del material y si de las dimensiones relativas de la entalla respecto a las del cuerpo), resulta:

Kf -- 1 Kf = 1 + q * (Kt -- 1) q = ----------

Kt -- 1

q 1 ;;;;;;;; Kt 1 ;;;;;;;; Kf 1 ;;;;;;;; Kf Kt

1 1 ke = --- = ------------------------- 1

Kf 1 + q * (Kt -- 1)

FACTORES QUE MODIFICAN LA RESISTENCIA LMITE Sf A LAS SOLICITACIONES VARIABLES

Resultando simbolizada con Sf, conforme la vida til pretendida, la resistencia lmite a las solicitaciones normales alternativas de una PROBETA, se simboliza con Sf la respectiva resistencia a las solicitaciones normales alternativas de CUERPOS estndares, esto es, de consumo humano directo o indirecto, los cuales y por no estar construidos como las probetas, poseern resistencias inferiores respecto a estas ltimas. La presunta es entonces: Cmo hacer cuando se trata de verificar o dimensionar un cuerpo estndar?. La solucin pasa por considerar una serie de factores (ke incluido) que modifiquen el valor de laboratorio Sf y que tomen en cuenta las condiciones de utilizacin y geometra del cuerpo en estudio. Con este concepto, se calcula para el cuerpo estndar, los valores de Sf (resistencia a las solicitaciones normales alternativas conforme la vida til requerida) con:

Sf = ( ka * kb * kc * kd * ke * kf ) * Sf

donde cualquier k 1, por resultar Sf Sf.

ka = Factor de acabado superficial. Depende de la terminacin superficial. Para rugosidad paralela (probetas) a los esfuerzos, ka = 1


kb = Factor de tamao. En flexin rotatoria pura: Dimetros de hasta 7,6 mm kb = 1 Dimetros entre 7,6 mm y 50 mm kb = 0,85 Dimetros mayores a 50 mm kb = 0,75

kc = Factor de confiabilidad (estadstico). Compara el resultado obtenido con el esperado.

kd = Factor de temperatura: Siento T la temperatura: Para T 160 F kd = 1 Para T 160 F kd = (620 / (460 + T( F)))

ke = Inversa del factor de concentracin de tensiones Kf.

kf = Factor de efectos diversos (direccin del esfuerzo respecto de la direccin de laminacin del cuerpo, tratamiento trmico, estado de la corrosin y/o tratamiento superficial de proteccin)

En solicitaciones estticas y con materiales dctiles ante tales formas de solicitacin, estos factores no variaran las condiciones resistenciales del material, por lo que ante estas situaciones dichos factores podran ser tomados como iguales a la unidad; no as en solicitaciones estticas con materiales frgiles y en todos los casos de solicitaciones variables, con posiblemente de mayor valor en materiales frgiles ante solicitaciones estticas respecto a los materiales dctiles ante el mismo tipo de solicitaciones.

RESISTENCIA DE CUERPOS SOMETIDOS A ESFUERZOS NORMALES FLUCTUANTES

Los valores de Sf y Sf tratados, corresponden a las resistencias cuando de solicitaciones normales alternativas se trata, esto es, con esfuerzo normal medio nulo, correspondiendo en tal caso el diagrama mostrado en la FIGURA 03 ya vista.

Siendo: a = Esfuerzo de trabajo alternativo Cs = Coeficiente de sobredimensionamiento 1

Sf en estos casos y cuando: a --- el cuerpo no fallara

Cs La cuestin pasa entonces por conocer que sucede con estados de esfuerzos fluctuantes (distintos al alternativo), esto es, con valores de m (tensin de trabajo media) no nula.

ESFUERZO NORMAL FLUCTUANTE

Siendo:


mx = Tensin mxima ;;; mn = Tensin mnima m = Tensin media ;;; a = Tensin alternativa

mx + mn mx -- mn resulta: m = ------------------ ;;; a = ------------------

2 2

Nota 01: Siendo (mayora matemtica) mx mn, resulta a 0

Nota 02: En esfuerzos alternativos: mx = -- mn m = 0 mx = -- mn = a

Nota 03: Aunque los esfuerzos variables se han representado con una variacin de tipo senoidal / cosenoidal (as sucede con la flexin rotativa), la forma de la onda como as tambin la frecuencia de la misma (al menos con frecuencias de uso industrial) parece no tener influencia alguna en los valores resistenciales del material. Nota 04: Esfuerzos estacionarios o estticos no deben interpretarse como esfuerzos medios; si actan conjuntamente con esfuerzos variables incrementan o disminuyen los valores mximos, mnimos y medios de estos ltimos en el mismo valor y existen debido a una precarga o carga fija, por ejemplo, resortes de vlvulas en motores de combustin interna y en compresores alternativos de gases.

RESISTENCIA A LAS SOLICITACIONES VARIABLES PARA CUALQUIER TIPO DE VARIACIN DEL ESFUERZO NORMAL

Analizado el comportamiento de distintos aceros sometidos a distintos pares de tensiones normales media y alternativa que producen la FALLA de los mismos, conforme sea la vida til pretendida y redondeando los diagramas caractersticos, resultan los diagramas a llamar de Goodman como se muestra en la FIGURA 07 siguiente pgina, cada uno de ellos para una vida N particular (tercera variable; tres variables resultan no representables en un plano). En dicho diagrama se ha trazado una lnea quebrada ABCDE compuesta por los tramos rectos AB, BC, CD y DE. Dicha lnea representa pares de tensiones admisibles alternativas medias Sa - Sm respectivamente, con los valores de Sa en el eje de las ordenadas, con los de Sm en el eje de las abcisas, con tensiones medias Sm de traccin en el semicampo derecho (abcisas positivas) y con tensiones medias de compresin en el semicampo izquierdo (abcisas negativas). As las cosas, al menos los aceros poseen una admisibilidad mayor cuando los esfuerzos medios que sobre ellos actan son de compresin.

Lnea quebrada ABCDE: Lnea de admisibilidad

Mostrndose en ordenadas el valor de Sf (cuerpos industriales sometidos a esfuerzos alternativos exclusivamente) o el de Sf (probetas sometidas a

Esfuerzos Variables -- Pg. 11 de 21 esfuerzos alternativos exclusivamente), con los valores correspondientes, dicho diagrama resulta de aplicacin tanto en un caso como en el otro y para una vida particular N dada. Para 10^6 ciclos o mas, corresponde colocar Se o Se, conforme resulte cuerpo estndar o probeta. Las rectas (rectas de carga) 1, 2 y 3, cada una de ellas por su cuenta, representan infinitos estados particulares de carga, todos ellos con la misma caracterstica de trabajo, esto es, la misma pendiente o mismo cociente de trabajo a / m.

Para dichos estados particulares de carga (misma recta de carga), corresponde un nico par de valores Sa Sm admisible, los mismos determinados con la interseccin de la recta de carga y la lnea quebrada de admisibilidad ABCDE y que indican las tensiones admisibles alternativa Sa y media Sm (FIGURA 08 siguiente pgina), respectiva y correspondientemente a las tensiones de trabajo a y m. Las rectas 1 y 2 (Figura 08 siguiente pgina), cada una de ellas en su respectiva zona (m 0 o m 0 respectivamente), indican divisin entre fallas por fluencia y fallas por solicitaciones variables. Rectas de carga comprendidas entre el eje de abscisas y las rectas 1 y 2 representan casos de solicitaciones en donde la influencia de la parte alternativa resulta no perceptible, esto es, son casos que pueden ser tratados estticamente; en cambio, rectas de carga comprendidas entre el eje de ordenadas y las rectas 1 y 2, representan casos en donde la influencia de la carga alternativa resulta crtica o de tener en cuenta y por lo tanto deben tratarse indefectiblemente bajo el concepto de solicitaciones variables.

Sa,a

Sm,m0m>0 3

m

D'1

Sfe Su

E'

m>0Sm>0

a


Ante un par particular de esfuerzos dados a - m, resulta el coeficiente de sobredimensionamiento Cs con:

Sa Sm Como siempre, a Cs = --- = ---- ;;;;;; efectos el cuerpo:

a m no falle: Cs 1 NOTA 05: Para rectas de carga comprendidas entre el eje de abscisas y la recta de carga 1 o la recta de carga 2 (esto es, como la 3), dado que la admisibilidad correspondiente queda definida por la recta Sfe Sfe (la misma a 45 o a 135, como se quiera) resulta:

Sfe = Sm + Sa ;;;;;;;;;; mx = m + a

Sa Sm Sfe Cs = ---- = ---- = ------

a m mx

En esta ltima expresin resulta que el cociente Sfe / mx equivale a tratar el caso estticamente como ms arriba se enunci (rectas de carga comprendidas entre el eje de abscisas y la recta de carga 1 o la 2).

Siendo que: a Fa Para esfuerzos normales puros se tiene: ------ = ------ m Fm

a Mfa para esfuerzos flexionantes puros resulta: ------ = ------ m Mfm

Sa4

Sa5

Sa,a

Sm,m0Sm>0

a

Esfuerzos Variables -- Pg. 13 de 21 Dado un cierto estado de cargas, por ejemplo Fa y Fm, es posible entonces determinar Sa y Sm y dimensionar la pieza por medio de:

Fm Fm * Cs Fa Fa * Cs rea = ------------- = ------------- = ------------ = ------------

Sm / Cs Sm Sa / Cs Sa

Si se tiene dimensionado el cuerpo, se tendr:

Sm Sa Fm,mx = ----- * rea ;;;;;; Fa,mx = ----- * rea

Cs Cs

Sm * rea Sa * rea o bien Cs = -------------- = -------------

Fm Fa

RESISTENCIA A LAS SOLICITACIONES VARIABLES TORSIONALES PURAS

Habiendo visto en teoras de falla que por la teora de la mxima tensin tangencial resulta:

Ss = 0,5 * S

con la misma teora corresponde:

Ssf = 0,5 * Sf ;;;;;;;;;;;;; Ssf = 0,5 * Sf y resulta ante la torsin pura el diagrama de aplicacin mostrado en la FIGURA 09 inmediatamente anterior.

Ssu

2

Ssfe


ESFUERZOS VARIABLES COMPUESTOS (NORMALES MAS TANGENCIALES) SIMPLES

La FIGURA 10 siguiente muestra un cubo elemental sometido a un estado plano de tensiones con una tensin tangencial dada constante (la misma cumpliendo el teorema de Cauchy) y con una tensin normal alternativa dada a. Excluyendo las tensiones tangenciales de cizallamiento, la figura referenciada muestra el estado de tensiones al que se encuentran sometidos los cubos constituyentes de un rbol transmisor de potencia mecnica, no estando sometido el mismo a centrifugado alguno como as tampoco a carga axial constante alguna.

Resultando a (tensin tangencial alternativa) = 0 en la direccin de y m (tensin normal media) = 0 en la direccin de a, la direccin orientada al ngulo (ver FIGURA 11 siguiente pgina) verifica, atendiendo a la variacin de la tensin normal entre + a y -- a, una tensin tangencial mxima mx y una tensin tangencial mnima mn (FIGURAS 11 y 12 siguiente pgina), ambas del mismo sentido o no (no interesa el sentido y/o el valor absoluto relativo), dadas por:

a mx = + ---- * sen(2) + * cos(2)

2

a mn = -- ---- * sen(2) + * cos(2)

2

NOTA 06: Recordando el teorema de Cauchy, la direccin perpendicular a la en anlisis verifica la misma situacin, con la nica diferencia del cambio del signo del momento que provocan las tensiones tangenciales dispuestas a 90 entre s, razn que da por vlido que dichas direcciones resultan cubiertas por el anlisis en gestin. Esta cuestin DEBE SER COMPRENDIDA, el anlisis de las direcciones perpendiculares entre si puede resultar confuso y/o complejo, en cuanto resulta de aplicar mayor cantidad de subndices y de escritura, complicando la situacin sin beneficio alguno.

a

FIGURA 10

a


De la variacin de en una direccin dada, la misma entre mx y mn, surge una tensin tangencial media m y una alternativa a, dadas por:

a + ---- * sen(2) + * cos(2) mx + mn 2

m = ------------- = 2 a -- ---- * sen(2) + * cos(2) 2

2

m = -- * * cos(2) m = * cos(2) 2

a + ---- * sen(2) + * cos(2) mx -- mn 2

a = ------------- = 2 a + ---- * sen(2) -- * cos(2) 2

FIGURA 11

FIGURA 12

mx

mn

mx

a

+ a + a a a mn

a


2 a a a = -- * ---- * sen(2) a = ---- * sen(2)

2 2 2

Conforme resultaron las expresiones para m y para a, resulta que:

A) Para direcciones orientadas a = 0 (direccin dato), m = y a = 0

B) Para direcciones orientadas a = 45, m = 0 y a = a / 2

Dado que las direcciones orientadas a 45 resultan perpendiculares a las analizadas, a las mismas les resulta de aplicacin el teorema de Cauchy (Nota 06 inmediatamente anterior) de donde resultan cubiertas por el anlisis realizado y por el intervalo 0 45 contemplado.

a Siendo m = * cos(2) a = ---- * sen(2)

2

(sen(2))^2 + (cos(2))^2 = 1

m^2 a^2 Resulta (cos(2))^2 = ------ (sen(2))^2 = ------------

^2 (a^2) / 4

a^2 m^2 * a ------------ + ------ = 1 tg (2) = ----------------- (a / 2)^2 ^2 (a / 2) * m

La ecuacin inmediatamente anterior izquierda resulta la ecuacin de una elipse (elipse de tensiones media y alternativa de trabajo) que puesta en un diagrama de Goodman (FIGURA 13 siguiente pgina), posee por coordenadas al origen los valores de en el eje de las tensiones medias (abscisas) y de a / 2 en el eje de las tensiones alternativas (ordenadas).

Siendo la pendiente de la recta de carga de una direccin cualquiera, el cociente entre las tensiones tangenciales alternativa y media, la ecuacin inmediatamente anterior derecha relaciona la direccin con la pendiente de la recta de carga correspondiente con:

a tg (2) = ------- * tg () con tg () = ---

a / 2 m


COEFICIENTE DE SOBREDIMENSIONAMIENTO Puesto el caso de que la elipse fuese una circunferencia (caso particular extremo de la elipse) la direccin que fija el coeficiente de sobredimensionamiento del cubo queda dada por la recta de carga (FIGURA 14 siguiente pgina) normal a la recta tangente a la circunferencia y paralela a la de admisibilidad simplificada Ssf Ssfe, por menor distancia entre la circunferencia y la recta de admisibilidad, esto es, por la recta de carga determinada por el punto de tangencia entre la circunferencia y la recta tangente a ella y paralela a la recta de admisibilidad. Extrapolando la situacin a una elipse (FIGURA 13), la recta de carga que fija el coeficiente de sobredimensionamiento del cubo y consecuentemente la direccin correspondiente, queda determinada por el punto de tangencia entre la elipse y la recta paralela a la de admisibilidad y tangente a la elipse.

Siendo las variables a y m las ordenadas genricas de la elipse y los valores datos a / 2 y las ordenadas al origen, la ecuacin de la elipse resulta en:

a^2 m^2 4 * a^2 m^2 ------------ + ------ = 1 ------------ + ------ = 1 (a / 2)^2 ^2 a^2 ^2

4 * ^2 * a^2 + a^2 * m^2 = a^2 * ^2

Recta paralela a la de admisibilidad

Recta de admisibilidad

Ssa

Ssm

Angulo que fija ladireccin donde ocurre la 'falla'a

Ord

a/2

Ssf

Ssfe

Ssm,m

FIGURA 13Ssa,a

Recta de carga quefija el coeficiente desobredimensionamiento

Elipse de tensionesde trabajo

m


a Derivando: 8 * ^2 * a * ----- + 2 * a^2 * m = 0

m

a -- a^2 * m----- = ------------------ m 4 * ^2 * a

Siendo la ecuacin de la recta tangente a la elipse y paralela a la recta de admisibilidad:

Ssf a = Ord -- ------ * m

Ssfe

donde Ord = ordenada al origen y -- Ssf / Ssfe) = pendiente (pendiente de la recta de admisibilidad) y siendo que la derivada de la elipse posee la pendiente de la recta tangente a ella, resulta:

a -- a^2 * m Ssf ----- = ------------------ = -- ------ m 4 * ^2 * a Ssfe

Luego las ordenadas del punto de interseccin (punto de tangencia) entre los elementos del anlisis cumplen:

a/2aSsa

Ssf

FIGURA 14

Ssm,m

Recta de carga quefija el coeficiente desobredimensionamiento

Recta paralela ala de admisibilidad

Circunferencia detensiones de trabajo

Ssmm

Ssfe

Recta de admisibilidad

Ssa,a Angulo que fija ladireccin donde

ocurre la 'falla'


4 * ^2 * Ssf m = ------------------- * a

a^2 * Ssfe Puesta esta ltima en la ecuacin de la elipse, resulta la ordenada a del punto de tangencia entre la elipse y su recta tangente paralela a la de admisibilidad:

16 * ^4 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 + a^2 * --------------------- * a^2 = a^2 * ^2

a^4 * Ssfe^2

16 * ^4 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 + ------------------------ * a^2 = a^2 * ^2

a^2 * Ssfe^2

4 * ^2 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 * 1 + ------------------- = a^2 * ^2

a^2 * Ssfe^2

a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 * ---------------------------------------- = a^2 * ^2

a^2 * Ssfe^2

a^4 * Ssfe^2a^2 * ( a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 ) = ---------------------

4

a^2 * Ssfe a = ------------------------------------------------------

2 * (a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2)^(1/2)

4 * ^2 * Ssf Puesta esta en: m = ------------------- * a

a^2 * Ssfe

2 * ^2 * Ssf Resulta: m = --------------------------------------------------

(a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2)^(1/2)

Siendo el cociente entre los valores de a y m, la pendiente de la recta de carga resultante, la ecuacin de esta recta resulta en:


a^2 * Ssfe a = m * --------------------

4 * ^2 * Ssf Siendo la ecuacin de la recta de admisibilidad:

Ssf Ssa = Ssf -- ------ * Ssm

Ssfe

los valores del par de tensiones admisibles Sa Sm resulta de la interseccin de la recta de carga y la de admisibilidad, consecuentemente:

a^2 * Ssfe Ssf Ssa = Ssm * -------------------- = Ssf -- ------ * Ssm

4 * ^2 * Ssf Ssfe

a^2 * Ssfe Ssf Ssm * -------------------- + ------ * Ssm = Ssf

4 * ^2 * Ssf Ssfe

a^2 * Ssfe Ssf Ssm * -------------------- + ------ = Ssf

4 * ^2 * Ssf Ssfe

a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 Ssm * ------------------------------------------------ = Ssf

4 * ^2 * Ssf * Ssfe

4 * ^2 * Ssf^2 * Ssfe Ssm = -------------------------------------------------

a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 Puesta esta ltima en la ecuacin de la recta de carga:

a^2 * Ssfe Ssa = Ssm * --------------------

4 * ^2 * Ssf

Resulta el Ssa correspondiente:


a^2 * Ssfe^2 * Ssf Ssa = ------------------------------------------------

a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 La obtencin del coeficiente de sobredimensionamiento para el cubo en anlisis, resulta de:

Ssa SsmCs = ---- = ----

a m

a^2 * Ssfe^2 * Ssf -------------------------------------------------------- Ssa a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2

Cs = ---- = -------------------------------------------------------- a a^2 * Ssfe -------------------------------------------------------- 2 * (a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2)^(1/2)

2 * Ssf * Ssfe

Cs = ------------------------------------------------------------ (a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2) ^ (1 / 2)

El lector puede llegar al mismo resultado con el siguiente cociente:

SsmCs = ----

m

Esfuerzos Variables

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