MECÁNICA DE SUELOS IIParte I

ESTUARDO ALONSO LIZARZABURU VELARDEINGENIERO CIVIL

Problemas de Deformaciones Planas Típicos.

Muro de Contención

Terraplén

Cimentación Corrida

zY

X

zY

Xz

Y

X

E lemento A(a)

(b)

( c )

Superfic ie del terreno

T h

T u

N u

N h

Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil del terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.

Nivel freátic o N ivel del terreno

X X

Z

Area A

Nivel freátic o

N ivel del terreno

X X

ZZ

Area A

W

W

Z Z

ZZ

Z

y

y

yyy

XX

XX

X

X

X

a)y

X

Z

b)

1

2

3

a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) esfuerzos principales

N

y

X

T y

T xHuec os (poros)

Selec c iones de las par tíc ulas

P unto de c ontac to entrepartíc ulas s ituadas por enc ima y debajo del plano de la sec c ion.

a

a

Definición de los esfuerzos en un sistema de partículas

Concepto de Esfuerzos Efectivos

HA

Area de CorteTransversal = Ā

a

a

Agua de Poro

Partícula Sólida

H

Consideración del esfuerzo efectivo para una columna de suelo saturado sin infiltración

Fuerzas que actúan en los puntos de contacto de las partículas de suelo en el nivel del punto A.

Área de CorteTransversal = Ā

a1 a2 a3a4

P1 P2P3

P4

Concepto de Esfuerzos Efectivos

Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo

EntradaVálvula (abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * z H2

h

Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia arriba

Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo

Variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poro y (c) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia arriba.

Profundidad Profundidad Profundidad

Esfuerzo Total, Presión de Poros Esfuerzo Efectivo ’

H1 W

H1W zsat

H1 W

(H1z + zi)w z(’ – i w)

H1 W H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 ’ - hw

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)

Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo

SalidaVálvula (abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * zH2

h

Entrada Q

Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo

Distribución de Esfuerzos en una masa de suelo

Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo; variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poros y (d) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia abajo.

Profundidad Profundidad Profundidad

Esfuerzo Total, Presión de Poro Esfuerzo Efectivo ’

H1 W

H1 W zsat

H1 W

(H1z - zi)w z(’ + i w)

H1 W H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 ’ + hw

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)

Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga Puntual.

Z

y

L

X

r

Z

X

P

y

z

x

y

A

Esfuerzos causados por un Carga PuntualBoussinesq (1883) resolvió el problema de los esfuerzos “producidos en cualquier punto de un medio homogéneo, elástico e isótropo como resultado de una carga puntual aplicada sobre la superficie de un semiespacio infinitamente grande. La solución de Boussinesq para los esfuerzos normales en un punto A causado por la carga puntual P es

23

2

2

22

5

2

)()21(3

2 rLzy

zLLryx

LzxP

x

Esfuerzos Normales en A causados por una Carga Puntual

23

2

2

22

5

2

)()21(3

2 rLzx

zLLrxy

LzyP

y

y

2/522

3

5

3

)(23

23

zrPz

LPz

z

donde:

22222

22

zrzyxL

yxr

= relación de poisson

z

X

N

Q por metro

x

z

Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita

Esfuerzos Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita

Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicación de una carga lineal Q por metro, son

222

2

222

2

222

3

)(2

)(2

)(2

zxxzQ

zxzxQ

zxzQ

xz

x

z

q = carga por áreaunitaria

B

X

X - r

z

A

drr

x

z

Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)

Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja Infinita

Los incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una presión uniforme q que actúa sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho B, son los siguientes:

)2(

)2cos(

)2cos(

sensenq

senq

senq

xz

x

z

Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de Franja

Carga de Franja flexible

a a

Planta

q

B 2B 2.5B

B

2B

3B

4B

5B

0.7

0.5

0.3

0.2

0.06

0.08

0.1

0 B 2B

q = 0.9

q =

Z

N

X

X

V

q

B

R1

R2

Carga con Distribución Triangular sobre una Franja Infinita

Carga con Distribución Triangular sobre una Franja Infinita

Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a través del ancho de la franja, lo cual conduce a una distribución triangular, los incrementos de esfuerzo en el punto N están dados por:

xBzq

senRRn

Bz

Bxq

senBxq

xz

x

v

22cos12

2211

221

22

21

Carga uniformemente distribuida sobre una área circular

2/3

2)/(111zR

qv

El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z bajo el centro de una área circular flexible de radio R cargada con una presión uniforme q esta dado por

Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma gráfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total como

qIv

Factor influencia l σ

Valores del factor de influencia /σ para calcular el incremento de esfuerzo vertical total σv bajo un área circular uniformemente cargada. (Según Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorización del transportation Research board).

r

V

V

Carga uniforme q

= q/

0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8

rR =10

98

76

5

4

3

2.52 1.5

1.25

00.5

rR

rR

=0.75

=1

ERR

1

zR

P

Z

Z

=I.PZ

a b

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

00.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4

b/z=

Influ

ence

Val

ue ‘

I ’

a/z

b/z=0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.80.9

b/z =1.0

b/z =0.5

1.21.4

1.61.9

2.03.0

Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados por una Carga de Terraplén (Obsterberg, 1957).

B BCarga uniforme q

=0.5qV

0.2q

0.1q

0.3q

0.4q

0.6q0.8q

0.9q

Bajo el centro

V

0.5B0.5B

BB

1.5B1.5B

2B2B

2.5B2.5B

0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0a) b)

a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.

Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo un Área Cuadrada con Carga Uniforme

zLn

zBm

El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de un área rectangular cargada uniformemente viene dado por:

Incremento de Presiones Verticales Bajo un Área Rectangular con Carga Uniforme

qIv Donde I es función de m y n, parámetros definidos como:

Valores del factor de influencia I para calcular el incremento de esfuerzo vertical total v bajo la esquina de una área rectangular uniformemente cargada (Según Fadum, 1948)

0.18 0.180.190.200.210.220.230.240.25

0.170.160.150.140.130.120.110.100.090.080.070.060.050.040.030.020.01

0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6 0.80.00 m=0.0

m=0.1

m=0.2

m=0.3

m=0.4

m=0.5

m=0.6

m=0.7

m=0.8

m=1.0

m=1.8m=2.

m=2.4m=3.0 m=

m=1.2m = 1 . 4m = 1 . 6

m=0.9

Presion uniforme q

B

LV

V =qlN

Nota m n: y son intercambiablesFa

ctor

de

influ

enci

a I

Z

n

Cálculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical

Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede hacerse un cálculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro de un cono truncado o una pirámide truncada formados por lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B, el incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estará dado aproximadamente por

))(( zBzLqLB

v

Cualquier área cargada puede considerarse como un número discreto de subáreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie del terreno

1 12 2

L x B

(L+z) x (B+z)

Z

q

Método aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzo vertical total bajo un área uniformemente cargada.

Carga puntualExpresión de Boussinesq

kxxPzP

v

8002002223

3

Z(m)V (K N/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9

0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

Z

X XX

ZZ

T zx

T zxT zx

TxzTxz

Txz0

A

Bc

T Resultantes de esfuerzos sobre ab

a) b)

ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELOCÍRCULO DE MOHR

B

A

C

1

3

T

Direc c ión de 1

3

(a)

2

2

1

1

3

3

-

+

2

A ( Coordenados , )T

T

C irc ulo de M ohr

(b)

REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS MEDIANTE EL

CÍRCULO DE MOHR

a) estado de esfuerzos en un punto.

b) Diagrama de Mohr para el estado de esfuerzos en un punto.

Representación de los esfuerzos mediante el círculo de Mohr.

22

cos)(

2cos22

cos

3131

313123

21

sensen

sen

El esfuerzo tangencial máximo en un punto, max es siempre igual a (1-3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial máximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial máximo se produce en planos que forman ± 45° con la dirección del esfuerzo principal mayor.

Ejemplo

Calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.

30 0

4kg/c m 2 4kg/c m 2

2kg/c m 2

2kg/c m 2

B

B

1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.3. Se traza la línea AA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual

actúa el esfuerzo (2,0).4. La intersección de A’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.5. Se traza la línea B’B’ por Op, paralela a BB.6. Se leen las coordenadas del punto X donde B’B’ corta al círculo de

Mohr.

1

0

-11 2 3 4

C´

A ´A ´

X

B ´

B ´

O p

C ´

A’

432

Op

B’

B’

Respuesta

2.5 kg/c m 2

2 kg/c m 2

4 kg/c m 2

0.87

Sobre BB = 2.5 kg/cm2

= -0.87 kg/cm2

Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre el que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al caso anterior.

Solución por medio de las ecuaciones

2

2

23

21

/866.060240224

/5.260cos3240cos224

224

120/2/4

cmkgsensen

cmkg

cmkgcmkg

(preguntas para el alumno. ¿Por qué es =120? ¿El resultado habria sido diferente si = 300?)

DIAGRAMAS p-q En muchos problemas conviene representar, sobre un diagrama único, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra del suelo. En otros problemas se representa en un diagrama de este tipo el estado de esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos resulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, e incluso mas difícil ver lo que se ha representado en el diagrama después de dibujar todos los círculos .

Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puede ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos cuyas coordenadas son

231 p

231 q

+ si 1 forma un ángulo igual o menor de ± 45° con la vertical

- si 1 forma un ángulo menor de ± 45° con la horizontal

En la mayoría de los casos en los que se utiliza la representación puntual, los esfuerzos principales actúan sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la ecuación se reduce a

2,

2hh qp

Este método equivale a representar un punto único de un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o el mas bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivale a la mitad del esfuerzo desviador.

Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de esfuerzos, se posee toda la información necesaria para dibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sin embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de utilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de esfuerzos.

FIN