Esferas de Dandelin

Las esferas de Dandelin G1 y G2 tocan al plano que se inter-seca con el cono en F1 y F2 respectivamente, cayendo siempreestos puntos en la zona (azul claro) interior al cono.

En geometra, a las curvas formadas por la interseccin(no degenerada) de un plano con un cono se les llama sec-ciones cnicas. Siempre existen uno o dos esferas interio-res al cono que son simultneamente tangentes al plano yal cono, estas son las denominadas esferas de Dande-lin. El punto en el que cada una de estas esferas toca alplano es un foco de la seccin cnica. A veces tambinson llamadas esferas focales.[1]

Las esferas de Dandelin fueron descubiertas en 1822.[1]Fueron nombradas as en honor al matemtico belgaGerminal Pierre Dandelin, aunque a Adolphe Quetelet aveces se le da tambin crdito parcial.[2] Las esferas deDandelin pueden ser usadas para probar al menos dos im-portantes teoremas. Ambos teoremas eran ya conocidosunos 15 o 16 siglos antes de Dandelin, pero l hizo mssencillo el modo de probarlos.[3]

El primer teorema es que una seccin cnica cerrada (esdecir, una elipse) es el lugar geomtrico de los puntos ta-les que la suma de las distancias a dos puntos jos (losfocos) es constante. Esto ya era conocido por los anti-guos matemticos griegos como Apolonio de Perga, pe-

ro las esferas de Dandelin facilitan la prueba de dichoteorema.[3]

El segundo teorema es que para cualquiera de las sec-ciones cnicas, la distancia de un punto jo (el foco) esproporcional a la distancia desde una lnea ja (directriz),la constante de proporcionalidad es la llamada excentri-cidad. Una vez ms, este teorema ya era conocido por losantiguos griegos, como Pappus de Alejandra, pero lasesferas de Dandelin nuevamente facilitan la prueba.

1 Prueba de que la curva tiene su-ma constante de distancias a losfocos

La ilustracinmuestra a un plano intersecndose con uncono slido de una manera tal que se forma una super-cie (la de color azul claro) cuyo permetro es una curvacerrada. Muestra adems las dos esferas de Dandelin, laG1 por encima de la supercie del plano , y la G2 pordebajo de la misma. La interseccin de cada esfera conel cono es un crculo k1 y k2 (ambos de color blanco).

Cada esfera toca al plano de la supercie de inter-seccin en un punto de tangencia, y vamos a llamara estos dos puntos F1 y F2.

Sea P un punto cualquiera de la curva perimetral ce-rrada de la supercie de interseccin.

Hiptesis: La curva perimetral cerrada (pertene-ciente al plano ) de la supercie de interseccines una elipse.

Prueba: La suma de las distancias d(F1, P) + d(F2,P) se mantiene constante para cualquier posicinque adopte el punto P a lo largo de la curva.

Una lnea (generatriz ) que pasa por P y por elvrtice S del cono se interseca con los crculosk1 y k2 en los puntos P1 and P2.

Si semueveP a lo largo de la elipse, tambin semovern P1 y P2 a lo largo de los dos crculos.

La distancia de F1 a P es la misma que la dis-tancia de P1 a P, por ser PF1 y PP1 lneasque se intersecan en P y adems ser tangentesa una misma esfera G1.

1

2 3 VASE TAMBIN

Del mismo modo, la distancia de F2 a P es lamisma que la distancia de P2 a P, por ser PF2y PP2 lneas que se intersecan en P y ademsser tangentes a una misma esfera G2.

En consecuencia, la suma de las distanciasd(F1, P) + d(F2, P) debe ser constante a me-dida que P se mueve a lo largo de la curva por-que la suma de las distancias d(P, P1) + d(P,P2) tambin se mantiene constante. Esto se deriva del hecho de que P se en-cuentra en la recta de P1 a P2, y la dis-tancia de P1 a P2 se mantiene constante.

Si (como ocurre a menudo) se toma la deni-cin de la elipse como el lugar geomtrico delos puntos P tal que d(F1, P) + d(F2, P) = 2a(siendo 2a una constante igual al eje mayor),entonces el argumento anterior demuestra quela interseccin del plano con el cono es enrealidad una elipse.

El resultado de esta demostracin no es novedoso, ya eraconocido desde la poca de Apolonio de Perga[3] (ca. 262AD ca. 190 AD), lo que si resulta novedoso es la senci-llez con la que demuestra lo mismo utilizando otro mto-do, la construccin geomtrica de las esferas de Dande-lin. Este es un caso clsico de aplicacin de la navaja deOckham en la matemtica.El hecho de que la interseccin del plano con el cono seasimtrica respecto de la mediatriz de la lnea a travs deF1 y F2 puede a veces resultar un tanto contra-intuitivo,pero sta construccin geomtrica (esferas de Dandelino focales) junto con los argumentos ya expuestos lo dejamuy claro.Adaptando la demostracin ya expuesta para la elipse seconsigue hacerlo funcionar como demostraciones vlidastambin para hiprbolas y parbolas como las intersec-ciones de un plano con un cono.Otra adaptacin que funciona (aunque solo para elipse ycrculo) es concebir a estas dos curvas como la intersec-cin de un plano y un cilindro circular recto, en estecaso ambas esferas de Dandelin seran siempre iguales ytendran el radio del cilindro seccionado.

2 Prueba de la propiedad foco-directriz

La recta directriz de una seccin cnica se puede encon-trar utilizando la construccin de Dandelin. Cada esferade Dandelin se interseca con el cono en un crculo, ca-da uno de estos crculos k1 y k2 dene su propio plano(k1 y k2), estos planos son paralelos entre s y perpen-diculares al eje del cono. Las intersecciones de estos dosplanos con el plano denirn en general dos lneas Df1

Las directrices de la elipse son las lneas (rojas) Df1 y Df2 lascuales son las intersecciones de los planos con k1 y conk2 respectivamente y e es la excentricidad de la elipse.

y Df2 (rojas en la gura), paralelas entre si, perpendicu-lares al eje del cono y externas al cono, estas lneas sonconocidas como las directrices de las secciones cnica.La parbola es un caso particular porque slo puede te-ner una esfera de Dandelin, y por lo tanto tendr una soladirectriz, la circunferencia es el otro caso particular da-do que el plano de interseccin con el cono es paraleloa los crculos k1 y k2 y en consecuencia no se produceinterseccin alguna, lo que implica que la circunferenciano tiene recta directriz.Usando de las esferas Dandelin, se puede demostrar quecualquier seccin cnica es el lugar geomtrico de lospuntos para los que la distancia de un punto llamado focoes proporcional a la distancia de la directriz.[4] Los anti-guos matemticos griegos como Pappus de Alejandra yaeran conscientes de esta propiedad, pero nuevamente lasesferas de Dandelin permiten facilitar mucho la prueba.[3]

Ni Dandelin ni Quetelet utilizaron las esferas focales parademostrar la propiedad foco-directriz. El primero en ha-cerlo fue aparentemente Morton Pierce en 1829.[1][5]Lapropiedad de foco-directriz es esencial para demostrarque los objetos astronmicos se mueven a lo largo de sec-ciones cnicas alrededor del Sol.[6]

3 Vase tambin Seccin cnica

Elipse Parbola Hiprbola Circunferencia

3 Circunferencia principal Leyes de Kepler Anexo:Ecuaciones de guras geomtricas

4 Notas[1] Taylor, Charles. An Introduction to the Ancient and Mo-

dern Geometry of Conics, page 196 (focal spheres),pages 204-205 (history of discovery) (Deighton, Bell andco., 1881).

[2] Kendig, Keith.Conics, page 86 (proof for ellipse) and page141 (for hyperbola) (Cambridge University Press, 2005).

[3] Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics, page119 (focus-directrix property), page 542 (sum of distan-ces to foci property) (Clarendon Press, 1921).

[4] Brannan, A. et al. Geometry, page 19 (Cambridge Univer-sity Press, 1999).

[5] Morton, Pierce. Geometry, Plane, Solid, and Spherical, inSix Books, page 228 (Baldwin and Cradock, 1830).

[6] Hyman, Andrew. A Simple Cartesian Treatment of Pla-netary Motion, European Journal of Physics, Vol. 14,page 145 (1993).

5 Enlaces externos Dandelin Spheres page by Hop David (en ingls) Weisstein, Eric W. Dandelin Spheres. En Weiss-tein, Eric W. MathWorld (en ingls). Wolfram Re-search.

Math Academy page on Dandelins spheres (en in-gls)

Java applet JDandelin (en ingls)

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Esferas de Dandelin Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Esferas%20de%20Dandelin?oldid=77781284 Colaboradores: BOT-Superzerocool, Gtz, CEM-bot, Ggenellina, Fixertool, Urdangaray, Comu nacho, Fede Threepwood, LucienBOT, Gusbelluwiki, Jerowiki,ChuispastonBot, Acratta, Addbot y Annimos: 2

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